Страница 64, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2. Приведите дробь:

а) 413 к знаменателю 156;

б) 31124 к знаменателю 1612.

2.

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{4}{13}=\frac{4 · 12}{13 · 12}=\frac{48}{156}$

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{31}{124}=\frac{31 · 13}{124 · 13}=\frac{403}{1612}$

а) Чтобы привести дробь к новому знаменателю, нужно найти дополнительный множитель. Для этого разделим новый знаменатель (156) на исходный знаменатель (13).
$k = 156 \div 13 = 12$
Теперь, согласно основному свойству дроби, умножим числитель и знаменатель исходной дроби на этот дополнительный множитель:
$\frac{4}{13} = \frac{4 \times 12}{13 \times 12} = \frac{48}{156}$
Ответ: $\frac{48}{156}$

б) Аналогично, чтобы привести дробь $\frac{31}{124}$ к знаменателю 1612, сначала найдем дополнительный множитель. Разделим новый знаменатель на старый:
$k = 1612 \div 124 = 13$
Далее умножим числитель и знаменатель исходной дроби на найденный множитель:
$\frac{31}{124} = \frac{31 \times 13}{124 \times 13} = \frac{403}{1612}$
Ответ: $\frac{403}{1612}$

3. Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби:

а) 1112 и 730; б) 57112 и 2584.

3.

а) $\frac{11}{12} \mathrm{и} \frac{7}{30}$

$$\begin{gathered} \mathrm{НОК} (12; 30) = 2 · 3 · 5 · 2 = 60 \\ \frac{11}{12} = \frac{11 · 5 }{12 · 5} = \frac{55}{60} \\ \frac{7}{30} = \frac{7 · 2}{30 · 2} = \frac{14}{60} \\ \mathrm{Ответ}: \frac{55}{60} \mathrm{и} \frac{14}{60} \end{gathered}$$

б) $\frac{57}{112} \mathrm{и} \frac{25}{84}$

$$\begin{gathered} \mathrm{НОК} (112; 84) = 2 · 2 · 2 · 2 · 7 · 3 = 336 \\ \frac{57}{112} = \frac{57 · 3}{112 · 3} = \frac{171}{336} \\ \frac{25}{84} = \frac{25 · 4}{84 · 4} = \frac{100}{336} \\ \mathrm{Ответ}: \frac{171}{336} \mathrm{и} \frac{100}{336}. \end{gathered}$$

а) Чтобы привести дроби $\frac{11}{12}$ и $\frac{7}{30}$ к наименьшему общему знаменателю, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей, то есть чисел 12 и 30. Для этого разложим знаменатели на простые множители:

$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$

$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$

Наименьший общий знаменатель будет равен НОК(12, 30). Для его нахождения необходимо взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножить их:

$НОК(12, 30) = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$

Теперь найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для дроби $\frac{11}{12}$ дополнительный множитель равен $60 \div 12 = 5$. Для дроби $\frac{7}{30}$ дополнительный множитель равен $60 \div 30 = 2$.

Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель:

$\frac{11}{12} = \frac{11 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{55}{60}$

$\frac{7}{30} = \frac{7 \cdot 2}{30 \cdot 2} = \frac{14}{60}$

Ответ: $\frac{55}{60}$ и $\frac{14}{60}$.

б) Чтобы привести дроби $\frac{57}{112}$ и $\frac{25}{84}$ к наименьшему общему знаменателю, найдем НОК их знаменателей, то есть чисел 112 и 84. Разложим их на простые множители:

$112 = 2 \cdot 56 = 2 \cdot 2 \cdot 28 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 14 = 2^4 \cdot 7$

$84 = 2 \cdot 42 = 2 \cdot 2 \cdot 21 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$

Наименьший общий знаменатель равен НОК(112, 84). Найдем его, взяв каждый простой множитель в наибольшей степени:

$НОК(112, 84) = 2^4 \cdot 3^1 \cdot 7^1 = 16 \cdot 3 \cdot 7 = 336$

Найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для дроби $\frac{57}{112}$ дополнительный множитель равен $336 \div 112 = 3$. Для дроби $\frac{25}{84}$ дополнительный множитель равен $336 \div 84 = 4$.

Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на свой дополнительный множитель:

$\frac{57}{112} = \frac{57 \cdot 3}{112 \cdot 3} = \frac{171}{336}$

$\frac{25}{84} = \frac{25 \cdot 4}{84 \cdot 4} = \frac{100}{336}$

Ответ: $\frac{171}{336}$ и $\frac{100}{336}$.

4.340. Следующие числа представьте в виде рационального числа pq, где р – целое число, a q – натуральное число:
а) 4; 1; 0; –1;
б) 0,35; 1,23; –3,18; –1,008;
в) 257; – 23; – 712; – 389.

4.340

$\mathit{а}\mathbf{)} 4 = \frac{4}{1}; 1 = \frac{1}{1}; 0 =\frac{0}{2}; -1 = \frac{-1}{1}$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 0,35 = \frac{35}{100}=\frac{7}{20}; 1,23 = \frac{123}{100}; \\ -3,18 = \frac{-318}{100}=\frac{-159}{50}; \\ -1,008 = \frac{-1008}{1000}=\frac{-126}{125} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }2\frac{5}{7} = \frac{19}{7}; -\frac{2}{3} = \frac{-2}{3}; \\ -\frac{7}{12} = \frac{-7}{12}; -3\frac{8}{9} = \frac{-35}{9} \end{gathered}$$

а)

Любое целое число $z$ можно представить в виде рационального числа $\frac{p}{q}$, записав его как дробь со знаменателем 1: $z = \frac{z}{1}$. В этом случае $p=z$ является целым числом, а $q=1$ — натуральным, что соответствует условию задачи.

$4 = \frac{4}{1}$

$1 = \frac{1}{1}$

$0 = \frac{0}{1}$

$-1 = \frac{-1}{1}$

Ответ: $4 = \frac{4}{1}$; $1 = \frac{1}{1}$; $0 = \frac{0}{1}$; $-1 = \frac{-1}{1}$.

б)

Чтобы представить конечную десятичную дробь в виде рационального числа, нужно записать ее как дробь, где в числителе стоит исходное число без десятичной запятой, а в знаменателе — единица с таким количеством нулей, сколько знаков было после запятой. После этого, если возможно, следует сократить полученную дробь.

$0,35 = \frac{35}{100}$. Наибольший общий делитель для 35 и 100 равен 5, сокращаем дробь: $\frac{35 \div 5}{100 \div 5} = \frac{7}{20}$.

$1,23 = \frac{123}{100}$. Числа 123 и 100 являются взаимно простыми, поэтому эта дробь несократима.

$-3,18 = -\frac{318}{100}$. Сокращаем числитель и знаменатель на 2: $-\frac{318 \div 2}{100 \div 2} = -\frac{159}{50}$.

$-1,008 = -\frac{1008}{1000}$. Наибольший общий делитель для 1008 и 1000 равен 8, сокращаем дробь: $-\frac{1008 \div 8}{1000 \div 8} = -\frac{126}{125}$.

Ответ: $0,35 = \frac{7}{20}$; $1,23 = \frac{123}{100}$; $-3,18 = -\frac{159}{50}$; $-1,008 = -\frac{126}{125}$.

в)

Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби (требуемого рационального числа), нужно его целую часть умножить на знаменатель дробной части и к полученному произведению прибавить числитель. Результат будет числителем новой дроби, а знаменатель останется прежним. Обыкновенные дроби уже представлены в нужной форме.

Для числа $2\frac{5}{7}$: целая часть 2, числитель 5, знаменатель 7. $2\frac{5}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 5}{7} = \frac{14 + 5}{7} = \frac{19}{7}$.

Число $-\frac{2}{3}$ уже является рациональным числом вида $\frac{p}{q}$, где $p=-2$ (целое) и $q=3$ (натуральное).

Число $-\frac{7}{12}$ также представлено в требуемом виде, где $p=-7$ и $q=12$.

Для числа $-3\frac{8}{9}$: сначала преобразуем положительное смешанное число $3\frac{8}{9}$, а затем добавим знак минус. $-3\frac{8}{9} = -(\frac{3 \cdot 9 + 8}{9}) = -(\frac{27 + 8}{9}) = -\frac{35}{9}$.

Ответ: $2\frac{5}{7} = \frac{19}{7}$; $-\frac{2}{3}$; $-\frac{7}{12}$; $-3\frac{8}{9} = -\frac{35}{9}$.

4.341. Значение выражения представьте в виде pq, где р – целое число, q – натуральное число:

а) – 79 + 518; б) 2413 – 11126; в) 58 – 716; г) 1,3 – 4,5.

4.341

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }{-\frac{7}{9}}^{\overline{)·2}} + \frac{5}{18} = -\frac{14}{18} + \frac{5}{18} = \\ = -\left(\frac{14}{18} - \frac{5}{18}\right) = -\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{9}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{18}}}} = -\frac{1}{2} = \frac{-1}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }{2\frac{4}{13}}^{\overline{)·2}} - 1\frac{11}{26} = 2\frac{8}{26} - 1\frac{11}{26} = \\ = 1\frac{34}{26} - 1\frac{11}{26} =\frac{23}{26} \end{gathered}$$

$\mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{5}{8}}^{\overline{)·2}} - \frac{7}{16} = \frac{10}{16} - \frac{7}{16} = \frac{3}{16}$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }1,3 – 4,5 = -(4,5 – 1,3) = -3,2 = \\ = -3\frac{2}{10} = -3\frac{1}{5} = -\frac{16}{5} =\frac{-16}{5} \end{gathered}$$

а) Чтобы найти значение выражения $-\frac{7}{9} + \frac{5}{18}$, необходимо привести дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 9 и 18 равен 18. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель 2:
$-\frac{7}{9} + \frac{5}{18} = -\frac{7 \cdot 2}{9 \cdot 2} + \frac{5}{18} = -\frac{14}{18} + \frac{5}{18} = \frac{-14 + 5}{18} = \frac{-9}{18}$.
Теперь сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 9:
$\frac{-9}{18} = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

б) Для вычисления разности смешанных чисел $2\frac{4}{13} - 1\frac{11}{26}$ сначала преобразуем их в неправильные дроби:
$2\frac{4}{13} = \frac{2 \cdot 13 + 4}{13} = \frac{26 + 4}{13} = \frac{30}{13}$;
$1\frac{11}{26} = \frac{1 \cdot 26 + 11}{26} = \frac{26 + 11}{26} = \frac{37}{26}$.
Теперь выполним вычитание полученных дробей:
$\frac{30}{13} - \frac{37}{26}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 26. Дополнительный множитель для первой дроби равен $26 \div 13 = 2$:
$\frac{30 \cdot 2}{13 \cdot 2} - \frac{37}{26} = \frac{60}{26} - \frac{37}{26} = \frac{60 - 37}{26} = \frac{23}{26}$.
Ответ: $\frac{23}{26}$.

в) Чтобы найти разность $\frac{5}{8} - \frac{7}{16}$, приведем дроби к общему знаменателю 16. Дополнительный множитель для дроби $\frac{5}{8}$ равен $16 \div 8 = 2$:
$\frac{5}{8} - \frac{7}{16} = \frac{5 \cdot 2}{8 \cdot 2} - \frac{7}{16} = \frac{10}{16} - \frac{7}{16} = \frac{10 - 7}{16} = \frac{3}{16}$.
Ответ: $\frac{3}{16}$.

г) Сначала вычислим разность десятичных дробей:
$1,3 - 4,5 = -3,2$.
Теперь представим результат в виде обыкновенной дроби. Число $-3,2$ читается как "минус три целых две десятых", что можно записать в виде дроби $-\frac{32}{10}$.
Сократим эту дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 2:
$-\frac{32}{10} = -\frac{32 \div 2}{10 \div 2} = -\frac{16}{5}$.
Ответ: $-\frac{16}{5}$.

4.342. Значение выражения представьте в виде pq, где р – целое число, q – натуральное число:

а) 49 · (– 38); б) – 217 · 1,4; в) –1,3 · 1513; г) –1613 · 119.

4.342

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{4}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{9}}}} · \left(-\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{3}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{8}}}}\right) = \frac{1}{3} · \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{6}$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }-2\frac{1}{7} · 1,4 = -\frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\bcancel{15}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{14}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{10}}}} = -\frac{3}{1} · \frac{\cancel{2}}{\cancel{2}}= \\ = -\frac{3}{1} · \frac{1}{1} = \frac{-3}{1} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }-1,3 · \frac{15}{13} = -\frac{\cancel{13}}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{10}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\bcancel{15}}}}{\cancel{13}} =-\frac{1}{2} · \frac{3}{1}= \\ =\frac{-3}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }-1\frac{6}{13} · \frac{1}{19} = -\frac{\cancel{19}}{13} · \frac{1}{\cancel{19}} = \\ =-\frac{1}{13} · \frac{1}{1} = \frac{-1}{13} \end{gathered}$$

а) Чтобы умножить две обыкновенные дроби, необходимо перемножить их числители и знаменатели. Так как мы умножаем положительную дробь на отрицательную, результат будет отрицательным.

$\frac{4}{9} \cdot \left(-\frac{3}{8}\right) = -\left(\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8}\right) = -\frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 8}$

Теперь сократим полученную дробь. Числитель 4 и знаменатель 8 можно сократить на 4. Числитель 3 и знаменатель 9 можно сократить на 3.

$-\frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 8} = -\frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 2} = -\frac{1}{6}$

В результате $p = -1$ (целое число), $q = 6$ (натуральное число).

Ответ: $-\frac{1}{6}$

б) Для выполнения умножения представим оба множителя в виде неправильных дробей. Смешанное число $-2\frac{1}{7}$ и десятичную дробь $1,4$ переведем в дроби.

$-2\frac{1}{7} = -\frac{2 \cdot 7 + 1}{7} = -\frac{15}{7}$

$1,4 = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$

Теперь перемножим полученные дроби. Произведение отрицательного и положительного числа отрицательно.

$-\frac{15}{7} \cdot \frac{7}{5} = -\frac{15 \cdot 7}{7 \cdot 5}$

Сократим дробь: 15 и 5 сокращаются на 5, а 7 и 7 сокращаются.

$-\frac{15 \cdot 7}{7 \cdot 5} = -\frac{3 \cdot 1}{1 \cdot 1} = -3$

Представим целое число -3 в виде дроби $\frac{p}{q}$:

$-3 = \frac{-3}{1}$

Здесь $p = -3$ (целое число), $q = 1$ (натуральное число).

Ответ: $\frac{-3}{1}$

в) Представим десятичную дробь $-1,3$ в виде обыкновенной дроби и выполним умножение.

$-1,3 = -\frac{13}{10}$

Умножим полученную дробь на $\frac{15}{13}$.

$-\frac{13}{10} \cdot \frac{15}{13} = -\frac{13 \cdot 15}{10 \cdot 13}$

Сократим дробь: 13 в числителе и знаменателе сокращаются. 15 и 10 сокращаются на 5.

$-\frac{13 \cdot 15}{10 \cdot 13} = -\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 1} = -\frac{3}{2}$

В результате $p = -3$ (целое число), $q = 2$ (натуральное число).

Ответ: $-\frac{3}{2}$

г) Сначала представим смешанное число $-1\frac{6}{13}$ в виде неправильной дроби.

$-1\frac{6}{13} = -\frac{1 \cdot 13 + 6}{13} = -\frac{19}{13}$

Теперь выполним умножение дробей.

$-\frac{19}{13} \cdot \frac{1}{19} = -\frac{19 \cdot 1}{13 \cdot 19}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 19.

$-\frac{19 \cdot 1}{13 \cdot 19} = -\frac{1}{13}$

В результате $p = -1$ (целое число), $q = 13$ (натуральное число).

Ответ: $-\frac{1}{13}$

4.343. Значение выражения представьте в виде pq, где р – целое число, q – натуральное число:

а) 35 : (– 1115); б) 0,56 : 0,8; в) –0,45 : (–0,15); г) – 17 : 0,7.

4.343

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{3}{5} : \left(-\frac{11}{15}\right) = -\frac{3}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{15}}}}{11} = -\frac{3}{1} · \frac{3}{11} = \\ =\frac{-9}{11} \end{gathered}$$

$\mathit{б}\mathbf{)} 0,56 : 0,8 = 5,6:8=0,7= \frac{7}{10}$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}-0,45 : (-0,15) = 0,45:0,15 = \\ = 45:15= 3=\frac{3}{1} \end{gathered}$$

$\mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }-\frac{1}{7} : 0,7 = -\frac{1}{7} · \frac{10}{7} = \frac{-10}{49}$

а) Чтобы разделить одну дробь на другую, необходимо делимое умножить на дробь, обратную делителю. При делении положительного числа на отрицательное результат будет отрицательным.

$\frac{3}{5} : (-\frac{11}{15}) = -(\frac{3}{5} \cdot \frac{15}{11}) = -\frac{3 \cdot 15}{5 \cdot 11}$

Сократим числитель и знаменатель на общий множитель 5:

$-\frac{3 \cdot (3 \cdot 5)}{5 \cdot 11} = -\frac{3 \cdot 3}{11} = -\frac{9}{11}$

В полученной дроби $p = -9$ (целое число) и $q = 11$ (натуральное число).

Ответ: $-\frac{9}{11}$

б) Для выполнения деления представим десятичные дроби в виде обыкновенных, а затем выполним деление дробей.

$0,56 = \frac{56}{100}$

$0,8 = \frac{8}{10}$

$0,56 : 0,8 = \frac{56}{100} : \frac{8}{10} = \frac{56}{100} \cdot \frac{10}{8} = \frac{56 \cdot 10}{100 \cdot 8}$

Сократим полученную дробь. Разделим 56 и 8 на 8, а 10 и 100 на 10:

$\frac{(7 \cdot 8) \cdot 10}{(10 \cdot 10) \cdot 8} = \frac{7}{10}$

В полученной дроби $p = 7$ (целое число) и $q = 10$ (натуральное число).

Ответ: $\frac{7}{10}$

в) Деление отрицательного числа на отрицательное дает в результате положительное число. Для упрощения вычислений можно умножить и делимое, и делитель на 100, чтобы работать с целыми числами.

$-0,45 : (-0,15) = 0,45 : 0,15 = (0,45 \cdot 100) : (0,15 \cdot 100) = 45 : 15 = 3$

Чтобы представить целое число 3 в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $q$ - натуральное число, запишем его со знаменателем 1.

$3 = \frac{3}{1}$

В полученной дроби $p = 3$ (целое число) и $q = 1$ (натуральное число).

Ответ: $\frac{3}{1}$

г) Для выполнения деления представим десятичную дробь в виде обыкновенной.

$0,7 = \frac{7}{10}$

Теперь разделим дроби. При делении отрицательного числа на положительное результат будет отрицательным.

$-\frac{1}{7} : 0,7 = -\frac{1}{7} : \frac{7}{10} = -(\frac{1}{7} \cdot \frac{10}{7}) = -\frac{1 \cdot 10}{7 \cdot 7} = -\frac{10}{49}$

В полученной дроби $p = -10$ (целое число) и $q = 49$ (натуральное число).

Ответ: $-\frac{10}{49}$

4.344. Запишите в виде десятичной дроби (конечной или периодической) число:

а) 49; б) 815; в) 2980; г) 1118; д) 6920; е) 3712; ж) 4724; з) 22156.

4.334

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{4}{9} = 0,444... = 0,(4)$

$\mathit{б}\mathbf{)} \frac{8}{15} = 0,533... = 0,5(3)$

$\mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{29}{80} =0,3625$

$\mathit{г}\mathbf{)} \frac{11}{18} = 0,611... = 0,6(1)$

$\mathit{д}\mathbf{)}{ 6\frac{9}{20}}^{\overline{)·5}} = 6\frac{45}{100} = 6,45$

$\mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }3\frac{7}{12} = 3,5833.. = 3,58(3)$

$\mathit{ж}\mathbf{)} 4\frac{7}{24} = 4,29166... = 4,291(6)$

$\mathit{з}\mathbf{)} 2\frac{21}{56} ={ 2\frac{3}{8}}^{\overline{)·125}} = 2\frac{375}{1000} = 2,375$

а) Чтобы перевести обыкновенную дробь $\frac{4}{9}$ в десятичную, необходимо разделить ее числитель на знаменатель. Выполним деление 4 на 9:
$4 \div 9 = 0,444...$
При делении в частном бесконечно повторяется цифра 4. Это чистая периодическая дробь, которая записывается как $0,(4)$.
Ответ: $0,(4)$.

б) Чтобы перевести дробь $\frac{8}{15}$ в десятичную, разделим числитель 8 на знаменатель 15:
$8 \div 15 = 0,5333...$
В десятичной записи после цифры 5 бесконечно повторяется цифра 3. Это смешанная периодическая дробь, которая записывается как $0,5(3)$.
Ответ: $0,5(3)$.

в) Чтобы перевести дробь $\frac{29}{80}$ в десятичную, разделим 29 на 80:
$29 \div 80 = 0,3625$.
Деление дает конечный результат. Дробь является конечной десятичной. Это можно было определить заранее, так как разложение знаменателя на простые множители ($80 = 2^4 \cdot 5^1$) содержит только множители 2 и 5.
Ответ: $0,3625$.

г) Чтобы перевести дробь $\frac{11}{18}$ в десятичную, разделим 11 на 18:
$11 \div 18 = 0,6111...$
В десятичной записи после цифры 6 бесконечно повторяется цифра 1. Это смешанная периодическая дробь, которая записывается как $0,6(1)$.
Ответ: $0,6(1)$.

д) Для смешанного числа $6 \frac{9}{20}$ целая часть равна 6. Необходимо преобразовать в десятичную дробь только дробную часть $\frac{9}{20}$.
$9 \div 20 = 0,45$.
Это конечная десятичная дробь. Теперь сложим целую и полученную дробную части: $6 + 0,45 = 6,45$.
Ответ: $6,45$.

е) Для смешанного числа $3 \frac{7}{12}$ целая часть равна 3. Преобразуем в десятичную дробь его дробную часть $\frac{7}{12}$.
$7 \div 12 = 0,58333... = 0,58(3)$.
Это смешанная периодическая дробь. Сложим целую и дробную части: $3 + 0,58(3) = 3,58(3)$.
Ответ: $3,58(3)$.

ж) Для смешанного числа $4 \frac{7}{24}$ целая часть равна 4. Преобразуем в десятичную дробь его дробную часть $\frac{7}{24}$.
$7 \div 24 = 0,291666... = 0,291(6)$.
Это смешанная периодическая дробь. Сложим целую и дробную части: $4 + 0,291(6) = 4,291(6)$.
Ответ: $4,291(6)$.

з) Для смешанного числа $2 \frac{21}{56}$ целая часть равна 2. Сначала упростим (сократим) его дробную часть $\frac{21}{56}$, разделив числитель и знаменатель на 7:
$\frac{21}{56} = \frac{21 \div 7}{56 \div 7} = \frac{3}{8}$.
Теперь преобразуем полученную дробь $\frac{3}{8}$ в десятичную: $3 \div 8 = 0,375$.
Это конечная десятичная дробь. Сложим целую и дробную части: $2 + 0,375 = 2,375$.
Ответ: $2,375$.

4.345. Какую из дробей можно представить в виде конечной десятичной дроби:

58; 1921; 1935; 2135; 11250; 1940; 29; 512; 2156; 732?

4.345

$\frac{5}{8}; \frac{21}{35} = \frac{3}{5}; \frac{11}{250}; \frac{19}{40}; \frac{21}{56} = \frac{3}{8} ; \frac{7}{32}.$

Для того чтобы обыкновенную дробь можно было представить в виде конечной десятичной дроби, необходимо сначала сократить дробь до несократимого вида, а затем проверить знаменатель. Если в разложении знаменателя несократимой дроби на простые множители содержатся только числа 2 и 5, то дробь можно представить в виде конечной десятичной. В противном случае — нельзя.

Рассмотрим каждую дробь:

$\frac{5}{8}$

Дробь несократимая. Разложим знаменатель на простые множители: $8 = 2^3$. В разложении знаменателя содержится только множитель 2. Следовательно, дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби.

Ответ: можно.

$\frac{19}{21}$

Дробь несократимая. Разложим знаменатель на простые множители: $21 = 3 \times 7$. В разложении знаменателя содержатся множители 3 и 7, которые отличны от 2 и 5. Следовательно, дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби.

Ответ: нельзя.

$\frac{19}{35}$

Дробь несократимая. Разложим знаменатель на простые множители: $35 = 5 \times 7$. В разложении знаменателя содержится множитель 7, который отличен от 2 и 5. Следовательно, дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби.

Ответ: нельзя.

$\frac{21}{35}$

Дробь является сократимой. Сократим ее, разделив числитель и знаменатель на 7: $\frac{21}{35} = \frac{21 \div 7}{35 \div 7} = \frac{3}{5}$. Знаменатель полученной несократимой дроби равен 5. В его разложении на простые множители нет чисел, кроме 5. Следовательно, дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби.

Ответ: можно.

$\frac{11}{250}$

Дробь несократимая. Разложим знаменатель на простые множители: $250 = 25 \times 10 = 5^2 \times 2 \times 5 = 2 \times 5^3$. В разложении знаменателя содержатся только множители 2 и 5. Следовательно, дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби.

Ответ: можно.

$\frac{19}{40}$

Дробь несократимая. Разложим знаменатель на простые множители: $40 = 4 \times 10 = 2^2 \times 2 \times 5 = 2^3 \times 5$. В разложении знаменателя содержатся только множители 2 и 5. Следовательно, дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби.

Ответ: можно.

$\frac{2}{9}$

Дробь несократимая. Разложим знаменатель на простые множители: $9 = 3^2$. В разложении знаменателя содержится множитель 3, который отличен от 2 и 5. Следовательно, дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби.

Ответ: нельзя.

$\frac{5}{12}$

Дробь несократимая. Разложим знаменатель на простые множители: $12 = 4 \times 3 = 2^2 \times 3$. В разложении знаменателя содержится множитель 3, который отличен от 2 и 5. Следовательно, дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби.

Ответ: нельзя.

$\frac{21}{56}$

Дробь является сократимой. Сократим ее, разделив числитель и знаменатель на 7: $\frac{21}{56} = \frac{21 \div 7}{56 \div 7} = \frac{3}{8}$. Разложим знаменатель полученной несократимой дроби на простые множители: $8 = 2^3$. В разложении знаменателя содержится только множитель 2. Следовательно, дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби.

Ответ: можно.

$\frac{7}{32}$

Дробь несократимая. Разложим знаменатель на простые множители: $32 = 2^5$. В разложении знаменателя содержится только множитель 2. Следовательно, дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби.

Ответ: можно.

Итоговый ответ: В виде конечной десятичной дроби можно представить следующие дроби: $\frac{5}{8}$, $\frac{21}{35}$, $\frac{11}{250}$, $\frac{19}{40}$, $\frac{21}{56}$, $\frac{7}{32}$.

4.346. Верны ли следующие равенства:

а) 0,555... = 59; б) 4,(148) = 4427; в) 0,0202... = 299; г) 0,(12) = 433; д) 0,41666... = 512; е) 5,4(06) = 567165?

4.346

$\mathbf{а}\mathbf{)} 0,555\dots = \frac{5}{9} – \mathrm{верно}$

$\mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }4,(148) = 4\frac{4}{27} – \mathrm{верно}$

$\mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }0,0202\dots = \frac{2}{99} – \mathrm{верно}$

$\mathbf{г}\mathbf{)} 0,(12) = \frac{4}{33} – \mathrm{верно}$

$\mathbf{д}\mathbf{)}\mathbf{ }0,41666\dots = \frac{5}{12}– \mathrm{верно}$

$\mathbf{е}\mathbf{)} 5,4(06) = 5\frac{67}{165} – \mathrm{верно}$

а) Проверим равенство $0,555... = \frac{5}{9}$.

Данное число является чистой периодической десятичной дробью, которую можно записать как $0,(5)$. Для перевода такой дроби в обыкновенную, нужно в числитель записать число в периоде (5), а в знаменатель — столько девяток, сколько цифр в периоде (одна). Таким образом, $0,(5) = \frac{5}{9}$.

Алгебраический способ:

Пусть $x = 0,555...$

Умножим обе части на 10:

$10x = 5,555...$

Вычтем из второго уравнения первое:

$10x - x = 5,555... - 0,555...$

$9x = 5$

$x = \frac{5}{9}$

Равенство верно.

Ответ: да, равенство верно.

б) Проверим равенство $4,(148) = 4\frac{4}{27}$.

Это смешанное число, состоящее из целой части 4 и дробной части $0,(148)$. Преобразуем периодическую дробь $0,(148)$ в обыкновенную.

Пусть $x = 0,148148...$

Период дроби состоит из трех цифр, поэтому умножим обе части на 1000:

$1000x = 148,148148...$

Вычтем из второго уравнения первое:

$1000x - x = 148,148148... - 0,148148...$

$999x = 148$

$x = \frac{148}{999}$

Сократим полученную дробь. Заметим, что $148 = 4 \times 37$ и $999 = 27 \times 37$.

$x = \frac{4 \times 37}{27 \times 37} = \frac{4}{27}$

Следовательно, $4,(148) = 4 + 0,(148) = 4 + \frac{4}{27} = 4\frac{4}{27}$. Равенство верно.

Ответ: да, равенство верно.

в) Проверим равенство $0,0202... = \frac{2}{99}$.

Данное число является чистой периодической десятичной дробью $0,(02)$.

Пусть $x = 0,0202...$

Период дроби состоит из двух цифр, поэтому умножим обе части на 100:

$100x = 2,0202...$

Вычтем из второго уравнения первое:

$100x - x = 2,0202... - 0,0202...$

$99x = 2$

$x = \frac{2}{99}$

Равенство верно.

Ответ: да, равенство верно.

г) Проверим равенство $0,(12) = \frac{4}{33}$.

Дробь $0,(12)$ является чистой периодической.

Пусть $x = 0,1212...$

Период состоит из двух цифр, умножим на 100:

$100x = 12,1212...$

Вычтем исходное уравнение:

$100x - x = 12,1212... - 0,1212...$

$99x = 12$

$x = \frac{12}{99}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 3:

$x = \frac{12 \div 3}{99 \div 3} = \frac{4}{33}$

Равенство верно.

Ответ: да, равенство верно.

д) Проверим равенство $0,41666... = \frac{5}{12}$.

Данное число является смешанной периодической десятичной дробью $0,41(6)$.

Пусть $x = 0,41666...$

Умножим на 100, чтобы непериодическая часть (41) оказалась слева от запятой:

$100x = 41,666...$

Умножим исходное уравнение на 1000, чтобы и один период (6) оказался слева от запятой:

$1000x = 416,666...$

Вычтем из второго полученного уравнения первое:

$1000x - 100x = 416,666... - 41,666...$

$900x = 375$

$x = \frac{375}{900}$

Сократим дробь. Наибольший общий делитель для 375 и 900 равен 75:

$x = \frac{375 \div 75}{900 \div 75} = \frac{5}{12}$

Равенство верно.

Ответ: да, равенство верно.

е) Проверим равенство $5,4(06) = 5\frac{67}{165}$.

Рассмотрим дробную часть $0,4(06)$. Это смешанная периодическая дробь.

Пусть $x = 0,40606...$

Умножим на 10, чтобы непериодическая часть (4) оказалась слева от запятой:

$10x = 4,0606...$

Умножим исходное уравнение на 1000, чтобы и один период (06) оказался слева от запятой:

$1000x = 406,0606...$

Вычтем из второго полученного уравнения первое:

$1000x - 10x = 406,0606... - 4,0606...$

$990x = 402$

$x = \frac{402}{990}$

Сократим дробь на 6 (так как оба числа делятся на 2 и на 3):

$x = \frac{402 \div 6}{990 \div 6} = \frac{67}{165}$

Число 67 является простым, поэтому дробь несократима.

Таким образом, $5,4(06) = 5 + 0,4(06) = 5 + \frac{67}{165} = 5\frac{67}{165}$. Равенство верно.

Ответ: да, равенство верно.

4.347. Запишите в виде двойного неравенства десятичные приближения с недостатком и с избытком дробей 411 и 727 до: а) десятых; б) сотых; в) тысячных.

4.347

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }0,3<\frac{4}{11}<0,4;$

$0,2< \frac{7}{27} <0,3$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 0,36< \frac{4}{11}<0,37; \\ 0,25< \frac{7}{27} <0,26 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} 0,363< \frac{4}{11}<0,364; \\ 0,259< \frac{7}{27}<0,260 \end{gathered}$$

Для того чтобы записать десятичные приближения дробей в виде двойного неравенства, сначала необходимо перевести эти дроби в десятичный формат. Это делается путем деления числителя на знаменатель.

1. Переведем дробь $\frac{4}{11}$ в десятичную:

$4 \div 11 = 0.363636... = 0.(36)$

2. Переведем дробь $\frac{7}{27}$ в десятичную:

$7 \div 27 = 0.259259... = 0.(259)$

Теперь найдем десятичные приближения с недостатком и с избытком для каждой дроби до указанной точности.

Десятичное приближение с недостатком (по недостатку) – это число, которое получается, если в десятичной записи числа отбросить все цифры, следующие за указанным разрядом.

Десятичное приближение с избытком (по избытку) – это число, которое получается, если к приближению с недостатком прибавить единицу наименьшего разряда, который учитывается (для десятых это $0.1$, для сотых – $0.01$, и т.д.).

а) десятых:

Для дроби $\frac{4}{11} \approx 0.36...$ приближение с недостатком равно $0.3$, а приближение с избытком равно $0.3 + 0.1 = 0.4$.

Ответ: $0.3 < \frac{4}{11} < 0.4$.

Для дроби $\frac{7}{27} \approx 0.25...$ приближение с недостатком равно $0.2$, а приближение с избытком равно $0.2 + 0.1 = 0.3$.

Ответ: $0.2 < \frac{7}{27} < 0.3$.

б) сотых:

Для дроби $\frac{4}{11} \approx 0.363...$ приближение с недостатком равно $0.36$, а приближение с избытком равно $0.36 + 0.01 = 0.37$.

Ответ: $0.36 < \frac{4}{11} < 0.37$.

Для дроби $\frac{7}{27} \approx 0.259...$ приближение с недостатком равно $0.25$, а приближение с избытком равно $0.25 + 0.01 = 0.26$.

Ответ: $0.25 < \frac{7}{27} < 0.26$.

в) тысячных:

Для дроби $\frac{4}{11} \approx 0.3636...$ приближение с недостатком равно $0.363$, а приближение с избытком равно $0.363 + 0.001 = 0.364$.

Ответ: $0.363 < \frac{4}{11} < 0.364$.

Для дроби $\frac{7}{27} \approx 0.2592...$ приближение с недостатком равно $0.259$, а приближение с избытком равно $0.259 + 0.001 = 0.260$.

Ответ: $0.259 < \frac{7}{27} < 0.260$.

4.348. Округлите дроби до сотых:

215, 1130, 1011, 3911, 314.

4.348

$\frac{2}{15} = 0,133\dots \approx 0,13$

$\frac{11}{30}= 0,366\dots \approx 0,37$

$\frac{10}{11} = 0,9090\dots \approx 0,91$

$3\frac{9}{11} = 3,8181\dots \approx 3,82$

$\frac{3}{14} = 0,214\dots \approx 0,21$

Чтобы округлить дробь до сотых, сначала нужно перевести ее в десятичную дробь, разделив числитель на знаменатель. Затем посмотреть на цифру в разряде тысячных (третья цифра после запятой). Если эта цифра 5 или больше, то цифру в разряде сотых увеличиваем на 1, а все последующие цифры отбрасываем. Если цифра в разряде тысячных меньше 5, то цифру в разряде сотых оставляем без изменений, а все последующие цифры отбрасываем.

$\frac{2}{15}$

1. Переведем обыкновенную дробь в десятичную. Для этого разделим числитель 2 на знаменатель 15.

$2 \div 15 = 0,1333...$

2. Округлим полученную десятичную дробь до сотых. Разряд сотых — это вторая цифра после запятой, в нашем случае это 3. Смотрим на следующую цифру (в разряде тысячных) — это тоже 3.

3. Так как $3 < 5$, цифру в разряде сотых оставляем без изменений.

$\frac{2}{15} \approx 0,13$

Ответ: 0,13

$\frac{11}{30}$

1. Переведем дробь в десятичную, разделив 11 на 30.

$11 \div 30 = 0,3666...$

2. Для округления до сотых смотрим на третью цифру после запятой (разряд тысячных). В данном случае это 6.

3. Так как $6 \ge 5$, цифру в разряде сотых (которая равна 6) увеличиваем на единицу: $6 + 1 = 7$.

$\frac{11}{30} \approx 0,37$

Ответ: 0,37

$\frac{10}{11}$

1. Переведем дробь в десятичную, разделив 10 на 11.

$10 \div 11 = 0,909090...$

2. Цифра в разряде сотых — 0. Цифра в разряде тысячных — 9.

3. Так как $9 \ge 5$, цифру в разряде сотых увеличиваем на единицу: $0 + 1 = 1$.

$\frac{10}{11} \approx 0,91$

Ответ: 0,91

$3\frac{9}{11}$

1. Это смешанная дробь. Сначала переведем дробную часть $\frac{9}{11}$ в десятичную дробь.

$9 \div 11 = 0,818181...$

2. Прибавим целую часть:

$3 + 0,818181... = 3,818181...$

3. Для округления до сотых смотрим на третью цифру после запятой. Цифра в разряде сотых — 1, цифра в разряде тысячных — 8.

4. Так как $8 \ge 5$, цифру в разряде сотых увеличиваем на единицу: $1 + 1 = 2$.

$3\frac{9}{11} \approx 3,82$

Ответ: 3,82

$\frac{3}{14}$

1. Переведем дробь в десятичную, разделив 3 на 14.

$3 \div 14 = 0,21428...$

2. Цифра в разряде сотых — 1. Цифра в разряде тысячных — 4.

3. Так как $4 < 5$, цифру в разряде сотых оставляем без изменений.

$\frac{3}{14} \approx 0,21$

Ответ: 0,21