Страница 77, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.243. На филателистической выставке 27 частей количества марок было посвящено знаменательным событиям, 9 частей — природе и одну часть представляли редкие марки. Сколько всего марок было на выставке, если марок, посвящённых природе, было на 680 больше, чем редких?

2.243

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }9 – 1 = 8$(частей) – на столько больше марок о природе, чем редких;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }680 : 8 = 85$(марок) – в одной части;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 27 + 9 + 1 = 37$ (частей) – всех марок;

$\mathbf{4}\mathbf{)} 85 · 37 = 3145$(марок) – всего было на выставке.

Ответ: 3145 марок.

Для решения этой задачи необходимо сначала определить, сколько марок составляет одна часть.

По условию, марки, посвященные природе, составляют 9 частей, а редкие марки — 1 часть. Разница в количестве марок между этими двумя категориями составляет 680. Найдем разницу в частях:
$9$ частей $- 1$ часть $= 8$ частей.

Эти 8 частей соответствуют 680 маркам. Теперь мы можем найти, сколько марок содержится в одной части, разделив 680 на 8:
$680 \div 8 = 85$ марок.

Таким образом, одна часть составляет 85 марок.

Далее найдем общее количество частей всех марок на выставке:
$27$ (знаменательные события) $+ 9$ (природа) $+ 1$ (редкие) $= 37$ частей.

Чтобы найти общее количество марок на выставке, умножим общее количество частей на количество марок в одной части:
$37 \times 85 = 3145$ марок.

Ответ: 3145 марок.

2.244. Сколько можно составить шестизначных номеров телефона, которые начинаются с цифр 678?

2.244

4 –ая цифра: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0

5 –ая цифра: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0

6 –ая цифра: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0

10 • 10 • 10 = 1000 номеров.

первые три цифры не влияют на результат

Ответ: 1000 номеров

Задача состоит в том, чтобы определить количество шестизначных телефонных номеров, которые начинаются с определенной последовательности цифр.

Шестизначный номер телефона представляет собой последовательность из 6 цифр. Согласно условию, первые три цифры номера уже заданы и равны 6, 7 и 8. Это означает, что структура номера выглядит так: 6 7 8 _ _ _.

Нам остается определить, сколько существует комбинаций для оставшихся трех позиций (четвертой, пятой и шестой). Для каждой из этих позиций можно выбрать любую из 10 цифр (от 0 до 9).

Количество вариантов для четвертой цифры: 10.
Количество вариантов для пятой цифры: 10.
Количество вариантов для шестой цифры: 10.

Для нахождения общего числа возможных номеров воспользуемся комбинаторным правилом произведения. Общее число комбинаций равно произведению числа вариантов для каждой независимой позиции:

$10 \times 10 \times 10 = 10^3 = 1000$

Следовательно, существует 1000 различных шестизначных номеров телефона, которые начинаются с цифр 678.

Ответ: 1000

2.245. Найдите значение выражения:

1) 85 · 1234 – 5625 : 75 – 159 758 : 529;

2) 4225 : 65 + 75 · 2454 – 330 078 : 813.

2.245

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }85 \stackrel{1}{·} 1234 \stackrel{4}{–} 5625\stackrel{2}{ :} 75\stackrel{5}{ –} 159 758 \stackrel{3}{:} 529 = 104 513$

1.	2.
3.	4.
5.

$\mathbf{2}\mathbf{)} 4225\stackrel{1}{ :} 65 \stackrel{4}{+} 75 \stackrel{2}{·} 2454 \stackrel{5}{–} 330 078\stackrel{3}{ :} 813 = 183 709$

1.	2.
3.	4.
5.

1) $85 \cdot 1234 - 5625 : 75 - 159758 : 529$

Для решения этого выражения необходимо следовать порядку выполнения арифметических операций: сначала выполняются умножение и деление (слева направо), а затем вычитание (слева направо).

1. Выполним умножение:
$85 \cdot 1234 = 104890$

2. Выполним первое деление:
$5625 : 75 = 75$

3. Выполним второе деление:
$159758 : 529 = 302$

4. Теперь подставим полученные значения в исходное выражение и выполним вычитание:
$104890 - 75 - 302$

5. Выполняем вычитание по порядку:
$104890 - 75 = 104815$
$104815 - 302 = 104513$

Ответ: 104513

2) $4225 : 65 + 75 \cdot 2454 - 330078 : 813$

В этом выражении порядок действий следующий: сначала выполняются деление и умножение (слева направо), а затем сложение и вычитание (слева направо).

1. Выполним первое деление:
$4225 : 65 = 65$

2. Выполним умножение:
$75 \cdot 2454 = 184050$

3. Выполним второе деление:
$330078 : 813 = 406$

4. Подставим результаты в выражение:
$65 + 184050 - 406$

5. Выполняем сложение и вычитание по порядку:
$65 + 184050 = 184115$
$184115 - 406 = 183709$

Ответ: 183709

2.246. Найдите сумму:

а) 3818 + 4524; б) 41975 + 61745; в) 47314 + 1821; г) 5434 + 1856; д) 2859 + 1334; е) 47 + 235; ж) 9 + 229; з) 31124 + 16.

2.246

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}{ 38\frac{1}{8}}^{\overline{)·3}}+4\frac{5}{24}=38\frac{3}{24}+4\frac{5}{24}= \\ =(38 +4) +\left(\frac{3}{24}+\frac{5}{24}\right)=42\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{8}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{24}}}}=42\frac{1}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)}{ 4\frac{19}{75}}^{\overline{)·3}}+{6\frac{17}{45}}^{\overline{)·5}}=4\frac{57}{225}+6\frac{85}{225}= \\ =(4 +6) +\left(\frac{57}{225}+\frac{85}{225}\right)=10\frac{142}{225} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)}{ 47\frac{3}{14}}^{\overline{)·3}}+{1\frac{8}{21}}^{\overline{)·2}}=47\frac{9}{42}+1\frac{16}{42}= \\ =(47 +1) +\left(\frac{9}{42}+\frac{16}{42}\right)=48\frac{25}{42} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)}{ 54\frac{3}{4}}^{\overline{)·3}}+{18\frac{5}{6}}^{\overline{)·2}}=54\frac{9}{12}+18\frac{10}{12}= \\ =(54 +18) +\left(\frac{9}{12}+\frac{10}{12}\right)=72\frac{19}{12}= \\ =72 +1\frac{7}{12}=73\frac{7}{12} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)}{ 28\frac{5}{9}}^{\overline{)·4}}+{13\frac{3}{4}}^{\overline{)·9}}= 28\frac{20}{36}+13\frac{27}{36}= \\ =(28 +13) +\left( \frac{20}{36}+\frac{27}{36}\right)=41\frac{47}{36}= \\ =41 +1\frac{11}{36}=42\frac{11}{36} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)}{ \frac{4}{7}}^{\overline{)·5}}+{2\frac{3}{5}}^{\overline{)·7}}= \frac{20}{35}+2\frac{21}{35}= \\ =2 +\left( \frac{20}{35}+\frac{21}{35}\right)=2\frac{41}{34}= \\ =2 +1\frac{6}{35}=3\frac{6}{35} \end{gathered}$$

$\mathbf{ж}\mathbf{)} 9 + 2\frac{2}{9}=(9+2)+\frac{2}{9}=11\frac{2}{9}$

$$\begin{gathered} \mathbf{з}\mathbf{)} 3\frac{11}{24}+{\frac{1}{6}}^{\overline{)·4}}=3\frac{11}{24}+\frac{4}{24}= \\ =3 + \left(\frac{11}{24}+\frac{4}{24}\right)=3\frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{15}}}}{{\displaystyle \underset{8}{\cancel{24}}}}=3\frac{5}{8} \end{gathered}$$

а) $38\frac{1}{8} + 4\frac{5}{24}$

Для сложения смешанных чисел сложим отдельно их целые и дробные части:

$38\frac{1}{8} + 4\frac{5}{24} = (38 + 4) + (\frac{1}{8} + \frac{5}{24})$

Сложим целые части:

$38 + 4 = 42$

Сложим дробные части. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 8 и 24 - это 24.

$\frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{3}{24}$

Теперь сложим дроби:

$\frac{3}{24} + \frac{5}{24} = \frac{3+5}{24} = \frac{8}{24}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{8}{24} = \frac{1}{3}$

Сложим результат сложения целых и дробных частей:

$42 + \frac{1}{3} = 42\frac{1}{3}$

Ответ: $42\frac{1}{3}$

б) $4\frac{19}{75} + 6\frac{17}{45}$

Сложим отдельно целые и дробные части:

$(4 + 6) + (\frac{19}{75} + \frac{17}{45})$

Целая часть: $4 + 6 = 10$.

Дробная часть: найдем общий знаменатель для 75 и 45. Разложим их на простые множители: $75 = 3 \cdot 5^2$, $45 = 3^2 \cdot 5$. Наименьшее общее кратное (НОК) будет $3^2 \cdot 5^2 = 9 \cdot 25 = 225$.

$\frac{19}{75} = \frac{19 \cdot 3}{75 \cdot 3} = \frac{57}{225}$

$\frac{17}{45} = \frac{17 \cdot 5}{45 \cdot 5} = \frac{85}{225}$

Сложим дроби:

$\frac{57}{225} + \frac{85}{225} = \frac{142}{225}$

Объединим целую и дробную части:

$10 + \frac{142}{225} = 10\frac{142}{225}$

Ответ: $10\frac{142}{225}$

в) $47\frac{3}{14} + 1\frac{8}{21}$

Сложим отдельно целые и дробные части:

$(47 + 1) + (\frac{3}{14} + \frac{8}{21})$

Целая часть: $47 + 1 = 48$.

Дробная часть: найдем общий знаменатель для 14 и 21. НОК(14, 21) = 42.

$\frac{3}{14} = \frac{3 \cdot 3}{14 \cdot 3} = \frac{9}{42}$

$\frac{8}{21} = \frac{8 \cdot 2}{21 \cdot 2} = \frac{16}{42}$

Сложим дроби:

$\frac{9}{42} + \frac{16}{42} = \frac{25}{42}$

Объединим целую и дробную части:

$48 + \frac{25}{42} = 48\frac{25}{42}$

Ответ: $48\frac{25}{42}$

г) $54\frac{3}{4} + 18\frac{5}{6}$

Сложим отдельно целые и дробные части:

$(54 + 18) + (\frac{3}{4} + \frac{5}{6})$

Целая часть: $54 + 18 = 72$.

Дробная часть: найдем общий знаменатель для 4 и 6. НОК(4, 6) = 12.

$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$

$\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{10}{12}$

Сложим дроби:

$\frac{9}{12} + \frac{10}{12} = \frac{19}{12}$

Так как полученная дробь неправильная, выделим из нее целую часть:

$\frac{19}{12} = 1\frac{7}{12}$

Добавим эту целую часть к результату сложения целых частей:

$72 + 1\frac{7}{12} = 73\frac{7}{12}$

Ответ: $73\frac{7}{12}$

д) $28\frac{5}{9} + 13\frac{3}{4}$

Сложим отдельно целые и дробные части:

$(28 + 13) + (\frac{5}{9} + \frac{3}{4})$

Целая часть: $28 + 13 = 41$.

Дробная часть: найдем общий знаменатель для 9 и 4. НОК(9, 4) = 36.

$\frac{5}{9} = \frac{5 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{20}{36}$

$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 9}{4 \cdot 9} = \frac{27}{36}$

Сложим дроби:

$\frac{20}{36} + \frac{27}{36} = \frac{47}{36}$

Выделим целую часть из неправильной дроби:

$\frac{47}{36} = 1\frac{11}{36}$

Добавим результат к целой части:

$41 + 1\frac{11}{36} = 42\frac{11}{36}$

Ответ: $42\frac{11}{36}$

е) $\frac{4}{7} + 2\frac{3}{5}$

Сложим целую часть с суммой дробей:

$2 + (\frac{4}{7} + \frac{3}{5})$

Найдем общий знаменатель для 7 и 5. НОК(7, 5) = 35.

$\frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{20}{35}$

$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{21}{35}$

Сложим дроби:

$\frac{20}{35} + \frac{21}{35} = \frac{41}{35}$

Выделим целую часть:

$\frac{41}{35} = 1\frac{6}{35}$

Добавим результат к целой части:

$2 + 1\frac{6}{35} = 3\frac{6}{35}$

Ответ: $3\frac{6}{35}$

ж) $9 + 2\frac{2}{9}$

Сложим целые части, дробная часть остается без изменений:

$9 + 2\frac{2}{9} = (9 + 2) + \frac{2}{9} = 11 + \frac{2}{9} = 11\frac{2}{9}$

Ответ: $11\frac{2}{9}$

з) $3\frac{11}{24} + \frac{1}{6}$

Сложим дробные части, целая часть остается без изменений:

$3 + (\frac{11}{24} + \frac{1}{6})$

Найдем общий знаменатель для 24 и 6. НОК(24, 6) = 24.

$\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{4}{24}$

Сложим дроби:

$\frac{11}{24} + \frac{4}{24} = \frac{15}{24}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{15}{24} = \frac{15 \div 3}{24 \div 3} = \frac{5}{8}$

Объединим результат с целой частью:

$3 + \frac{5}{8} = 3\frac{5}{8}$

Ответ: $3\frac{5}{8}$

2.247. Найдите разность:

а) 1 – 417; б) 5 – 713; в) 6 – 5611; г) 459 – 3; д) 4916 – 2314; е) 11732 – 91164; ж) 1723 – 678; з) 24715 – 15512;

2.247

$\mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }1 - \frac{4}{17}=\frac{17}{17 }- \frac{4}{17}=\frac{13}{17}$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)} 5 - \frac{7}{13}=4 + 1 -\frac{7}{13}= \\ = 4 +\left(\frac{13}{13}-\frac{4}{17}\right) =4\frac{6}{13} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)} 6 - 5\frac{6}{11}=5 + 1 -5\frac{6}{11}-= \\ = \left(5 - 5\right) +\left(\frac{11}{11}-\frac{6}{11}\right) =\frac{5}{11} \end{gathered}$$

$\mathbf{г}\mathbf{)} 4\frac{5}{9}- 3=(4 -3)+\frac{5}{9}=1\frac{5}{9}$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)} {4\frac{9}{16}}^{\overline{)·7}}- {2\frac{3}{14}}^{\overline{)·8}}=4\frac{63}{112}- 2\frac{24}{112}= \\ =(4 - 2) + \left(\frac{63}{112}- \frac{24}{112}\right)= 2\frac{39}{112} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)} {11\frac{7}{32}}^{\overline{)·2}}- 9\frac{11}{64}=11\frac{14}{64}- 9\frac{11}{64}= \\ =(11 - 9) + \left(\frac{14}{64}- \frac{11}{64}\right)= 2\frac{3}{64} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{ж}\mathbf{)} {17\frac{2}{3}}^{\overline{)·8}}- {6\frac{7}{8}}^{\overline{)·3}}=17\frac{16}{24}- 6\frac{21}{24}= \\ =16 + 1 +\frac{16}{24}- 6\frac{21}{24}= 16\frac{40}{24}- 6\frac{21}{24}= \\ =(16 - 6) + \left(\frac{40}{24}- \frac{21}{24}\right)= 10\frac{19}{24} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{з}\mathbf{)}\mathbf{ }{24\frac{7}{15}}^{\overline{)·4}}-{15\frac{5}{12}}^{\overline{)·5}}=24\frac{28}{60}-15\frac{25}{60}= \\ = (24 - 15) + \left(\frac{28}{60}-\frac{25}{60}\right)=9\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{3}}}}{{\displaystyle \underset{20}{\cancel{60}}}}=9\frac{1}{20} \end{gathered}$$

а) Чтобы найти разность, представим 1 в виде дроби со знаменателем 17:
$1 - \frac{4}{17} = \frac{17}{17} - \frac{4}{17} = \frac{17-4}{17} = \frac{13}{17}$.
Ответ: $\frac{13}{17}$.

б) Чтобы вычесть дробь из целого числа, "займем" единицу у целого и представим ее в виде дроби с нужным знаменателем:
$5 - \frac{7}{13} = 4 + 1 - \frac{7}{13} = 4 + \frac{13}{13} - \frac{7}{13} = 4 + \frac{13-7}{13} = 4\frac{6}{13}$.
Ответ: $4\frac{6}{13}$.

в) Представим уменьшаемое 6 в виде смешанного числа со знаменателем 11, чтобы вычесть из него другое смешанное число:
$6 - 5\frac{6}{11} = 5\frac{11}{11} - 5\frac{6}{11}$.
Вычитаем целые части: $5-5=0$. Вычитаем дробные части: $\frac{11}{11} - \frac{6}{11} = \frac{5}{11}$.
Ответ: $\frac{5}{11}$.

г) Чтобы вычесть целое число из смешанного, достаточно вычесть его из целой части смешанного числа:
$4\frac{5}{9} - 3 = (4-3) + \frac{5}{9} = 1\frac{5}{9}$.
Ответ: $1\frac{5}{9}$.

д) Вычтем отдельно целые и дробные части. Для вычитания дробей найдем их общий знаменатель. Наименьшее общее кратное для 16 и 14 равно 112.
$4\frac{9}{16} - 2\frac{3}{14} = (4-2) + (\frac{9}{16} - \frac{3}{14}) = 2 + (\frac{9 \cdot 7}{16 \cdot 7} - \frac{3 \cdot 8}{14 \cdot 8}) = 2 + (\frac{63}{112} - \frac{24}{112}) = 2 + \frac{63-24}{112} = 2 + \frac{39}{112} = 2\frac{39}{112}$.
Ответ: $2\frac{39}{112}$.

е) Вычтем отдельно целые и дробные части. Общий знаменатель для дробей $\frac{7}{32}$ и $\frac{11}{64}$ равен 64.
$11\frac{7}{32} - 9\frac{11}{64} = (11-9) + (\frac{7}{32} - \frac{11}{64}) = 2 + (\frac{7 \cdot 2}{32 \cdot 2} - \frac{11}{64}) = 2 + (\frac{14}{64} - \frac{11}{64}) = 2 + \frac{14-11}{64} = 2 + \frac{3}{64} = 2\frac{3}{64}$.
Ответ: $2\frac{3}{64}$.

ж) Приведем дробные части к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 3 и 8 равно 24.
$17\frac{2}{3} - 6\frac{7}{8} = 17\frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8} - 6\frac{7 \cdot 3}{8 \cdot 3} = 17\frac{16}{24} - 6\frac{21}{24}$.
Так как дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого ($16 < 21$), "займем" единицу у целой части 17:
$17\frac{16}{24} = 16 + 1 + \frac{16}{24} = 16 + \frac{24}{24} + \frac{16}{24} = 16\frac{40}{24}$.
Теперь выполним вычитание: $16\frac{40}{24} - 6\frac{21}{24} = (16-6) + (\frac{40-21}{24}) = 10\frac{19}{24}$.
Ответ: $10\frac{19}{24}$.

з) Приведем дробные части к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 15 и 12 равно 60.
$24\frac{7}{15} - 15\frac{5}{12} = 24\frac{7 \cdot 4}{15 \cdot 4} - 15\frac{5 \cdot 5}{12 \cdot 5} = 24\frac{28}{60} - 15\frac{25}{60}$.
Вычитаем целые и дробные части: $(24-15) + (\frac{28}{60} - \frac{25}{60}) = 9 + \frac{3}{60}$.
Сократим дробную часть: $\frac{3}{60} = \frac{1}{20}$.
Результат: $9\frac{1}{20}$.
Ответ: $9\frac{1}{20}$.

2.246. Решите уравнение:

а) 1 – y = 724 + 14;

б) 1 + m = 35 + 615;

в) l + 356 = 716 – 223;

2.248

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} 1 - у =\frac{7}{24}+{\frac{1}{4}}^{\overline{)·6}}; \\ 1 - у =\frac{7}{24}+\frac{6}{24}; \\ 1 - у =\frac{13}{24}; \\ у = 1 - \frac{13}{24}; \\ у = \frac{24}{24}-\frac{13}{24}; \\ у = \frac{11}{24}. \\ \mathrm{Ответ}: \frac{11}{24}. \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)} 1 + m = {\frac{3}{5}}^{\overline{)·3}} +\frac{6}{15}; \\ 1 + m = \frac{9}{15}+\frac{6}{15}; \\ 1 + m = 1; \\ m = 1 -1; \\ m = 0. \\ \mathrm{Ответ}: 0. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)} l + 3\frac{5}{6}=7\frac{1}{6}-{2\frac{2}{3}}^{\overline{)·2}}; \\ l + 3\frac{5}{6}=7\frac{1}{6}-2\frac{4}{6}; \\ l + 3\frac{5}{6}=6 + 1 +\frac{1}{6}-2\frac{4}{6}; \\ l + 3\frac{5}{6}=6 \frac{7}{6}-2\frac{4}{6}; \\ l + 3\frac{5}{6}=(6 - 2) +\left(\frac{7}{6}-\frac{4}{6}\right); \\ l + 3\frac{5}{6}=4\frac{3}{6}; \\ l = 4\frac{3}{6} - 3\frac{5}{6}; \\ l = 3 + 1 +\frac{3}{6} - 3\frac{5}{6}; \\ l = 3\frac{9}{6}-3\frac{5}{6}; \\ l = \frac{4}{6}; \\ l = \frac{2}{3}. \\ \mathrm{Ответ}: \frac{2}{3}. \end{gathered}$$

а) Исходное уравнение: $1 - y = \frac{7}{24} + \frac{1}{4}$.
Сначала упростим правую часть уравнения. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 24 и 4 — это 24.
Дополнительный множитель для дроби $\frac{1}{4}$ равен $24 : 4 = 6$.
$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 6}{4 \cdot 6} = \frac{6}{24}$.
Теперь выполним сложение в правой части:
$\frac{7}{24} + \frac{6}{24} = \frac{7+6}{24} = \frac{13}{24}$.
Уравнение принимает вид:
$1 - y = \frac{13}{24}$.
В этом уравнении $y$ является вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого (1) вычесть разность ($\frac{13}{24}$).
$y = 1 - \frac{13}{24}$.
Представим 1 в виде дроби со знаменателем 24: $1 = \frac{24}{24}$.
$y = \frac{24}{24} - \frac{13}{24} = \frac{24 - 13}{24} = \frac{11}{24}$.
Ответ: $y = \frac{11}{24}$.

б) Исходное уравнение: $1 + m = \frac{3}{5} + \frac{6}{15}$.
Упростим правую часть уравнения, приведя дроби к общему знаменателю 15.
Дополнительный множитель для дроби $\frac{3}{5}$ равен $15 : 5 = 3$.
$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15}$.
Теперь сложим дроби в правой части:
$\frac{9}{15} + \frac{6}{15} = \frac{9+6}{15} = \frac{15}{15} = 1$.
Уравнение принимает вид:
$1 + m = 1$.
Чтобы найти неизвестное слагаемое $m$, нужно из суммы (1) вычесть известное слагаемое (1).
$m = 1 - 1$.
$m = 0$.
Ответ: $m = 0$.

в) Исходное уравнение: $l + 3\frac{5}{6} = 7\frac{1}{6} - 2\frac{2}{3}$.
Сначала выполним вычитание смешанных чисел в правой части уравнения. Приведем их дробные части к общему знаменателю 6.
$2\frac{2}{3} = 2\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = 2\frac{4}{6}$.
Правая часть уравнения становится: $7\frac{1}{6} - 2\frac{4}{6}$.
Так как дробная часть уменьшаемого ($\frac{1}{6}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{4}{6}$), "займем" единицу у целой части уменьшаемого:
$7\frac{1}{6} = 6 + 1 + \frac{1}{6} = 6 + \frac{6}{6} + \frac{1}{6} = 6\frac{7}{6}$.
Теперь выполним вычитание:
$6\frac{7}{6} - 2\frac{4}{6} = (6-2) + (\frac{7}{6} - \frac{4}{6}) = 4 + \frac{3}{6} = 4\frac{3}{6}$.
Сократим дробную часть: $4\frac{3}{6} = 4\frac{1}{2}$.
Уравнение принимает вид:
$l + 3\frac{5}{6} = 4\frac{1}{2}$.
Чтобы найти неизвестное слагаемое $l$, нужно из суммы ($4\frac{1}{2}$) вычесть известное слагаемое ($3\frac{5}{6}$).
$l = 4\frac{1}{2} - 3\frac{5}{6}$.
Приведем дробные части к общему знаменателю 6:
$4\frac{1}{2} = 4\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = 4\frac{3}{6}$.
Получаем: $l = 4\frac{3}{6} - 3\frac{5}{6}$.
Снова "займем" единицу у целой части уменьшаемого, так как $\frac{3}{6} < \frac{5}{6}$:
$4\frac{3}{6} = 3 + 1 + \frac{3}{6} = 3 + \frac{6}{6} + \frac{3}{6} = 3\frac{9}{6}$.
Выполним вычитание:
$l = 3\frac{9}{6} - 3\frac{5}{6} = (3-3) + (\frac{9}{6} - \frac{5}{6}) = 0 + \frac{4}{6} = \frac{4}{6}$.
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:
$l = \frac{4:2}{6:2} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $l = \frac{2}{3}$.

2.249. Выполните действия:

а) 41324 + 18 – 3124;

б) 389 + 134 + 19;

в) 512 – 2712 – 2310;

г) 423 + 234 – 1512.

2.249

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} 4\frac{13}{24}+{\frac{1}{8}}^{\overline{)·3}}-3\frac{1}{24}=4\frac{13}{24}+\frac{3}{24}-3\frac{1}{24}= \\ =(4 + 1-3) +\left(\frac{13}{24}+\frac{3}{24}-\frac{1}{24}\right)=1\frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{15}}}}{{\displaystyle \underset{8}{\cancel{24}}}}=1\frac{5}{8} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} {3\frac{8}{9}}^{\overline{)·4}}+1{\frac{3}{4}}^{\overline{)·9}}+{\frac{1}{9}}^{\overline{)·4}}=3\frac{32}{36}+1\frac{27}{36}+\frac{4}{36}= \\ =(3 + 1) +\left(\frac{32}{36}+\frac{27}{36}+\frac{4}{36}\right)=4+\frac{63}{36}= \\ =4 + 1\frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{27}}}}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{36}}}}=4 +1\frac{3}{4}=5\frac{3}{4} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)} {5\frac{1}{2}}^{\overline{)·30}}-{2\frac{7}{12}}^{\overline{)·5}}-{2\frac{3}{10}}^{\overline{)·6}}=5\frac{30}{60}-2\frac{35}{60}- \\ -2\frac{18}{60}= 4 + 1 +\frac{30}{60}-2\frac{35}{60}-2\frac{18}{60}=4\frac{90}{60}- \\ -2\frac{35}{60}-2\frac{18}{60}=(4 - 2 - 2) +\left(\frac{90}{60}-\frac{35}{60}-\frac{18}{60}\right)= \\ =\frac{37}{60} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)} {4\frac{2}{3}}^{\overline{)·4}}+{2\frac{3}{4}}^{\overline{)·3}}-1\frac{5}{12}=4\frac{8}{12}+2\frac{9}{12}-1\frac{5}{12}= \\ =(4+2-1) + \left(\frac{8}{12}+\frac{9}{12}-\frac{5}{12}\right)=5\frac{12}{12}=6. \end{gathered}$$

а) $4\frac{13}{24} + \frac{1}{8} - 3\frac{1}{24}$

Для решения этого примера сгруппируем целые и дробные части отдельно. Это удобно, так как можно сначала выполнить действия с целыми числами, а затем с дробями.

1. Выполним действия с целыми частями: $4 - 3 = 1$.

2. Теперь выполним действия с дробными частями: $\frac{13}{24} + \frac{1}{8} - \frac{1}{24}$.

Чтобы сложить и вычесть дроби, их нужно привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 24 и 8 это 24. Дроби $\frac{13}{24}$ и $\frac{1}{24}$ уже имеют этот знаменатель. Приведем дробь $\frac{1}{8}$ к знаменателю 24, умножив ее числитель и знаменатель на 3:

$\frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{3}{24}$

Теперь можно выполнить действия:

$\frac{13}{24} + \frac{3}{24} - \frac{1}{24} = \frac{13 + 3 - 1}{24} = \frac{15}{24}$

3. Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 15 и 24 это 3.

$\frac{15 \div 3}{24 \div 3} = \frac{5}{8}$

4. Сложим результат, полученный для целых и дробных частей:

$1 + \frac{5}{8} = 1\frac{5}{8}$

Ответ: $1\frac{5}{8}$

б) $3\frac{8}{9} + 1\frac{3}{4} + \frac{1}{9}$

В этом примере также удобно сгруппировать целые и дробные части. Кроме того, можно заметить, что две дроби имеют одинаковый знаменатель.

1. Сгруппируем слагаемые: $(3 + 1) + (\frac{8}{9} + \frac{1}{9}) + \frac{3}{4}$.

2. Сложим целые части: $3 + 1 = 4$.

3. Сложим дроби с одинаковым знаменателем:

$\frac{8}{9} + \frac{1}{9} = \frac{8 + 1}{9} = \frac{9}{9} = 1$

4. Теперь сложим все полученные результаты:

$4 + 1 + \frac{3}{4} = 5 + \frac{3}{4} = 5\frac{3}{4}$

Ответ: $5\frac{3}{4}$

в) $5\frac{1}{2} - 2\frac{7}{12} - 2\frac{3}{10}$

При вычитании смешанных чисел, особенно когда дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, удобно преобразовать все смешанные числа в неправильные дроби.

1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$5\frac{1}{2} = \frac{5 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{11}{2}$

$2\frac{7}{12} = \frac{2 \cdot 12 + 7}{12} = \frac{31}{12}$

$2\frac{3}{10} = \frac{2 \cdot 10 + 3}{10} = \frac{23}{10}$

2. Теперь наш пример выглядит так: $\frac{11}{2} - \frac{31}{12} - \frac{23}{10}$.

3. Найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ) для знаменателей 2, 12 и 10. Разложим их на простые множители: $2=2$, $12 = 2^2 \cdot 3$, $10 = 2 \cdot 5$. НОЗ будет произведением всех множителей в наибольшей степени: $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.

4. Приведем все дроби к знаменателю 60:

$\frac{11}{2} = \frac{11 \cdot 30}{2 \cdot 30} = \frac{330}{60}$

$\frac{31}{12} = \frac{31 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{155}{60}$

$\frac{23}{10} = \frac{23 \cdot 6}{10 \cdot 6} = \frac{138}{60}$

5. Выполним вычитание:

$\frac{330}{60} - \frac{155}{60} - \frac{138}{60} = \frac{330 - 155 - 138}{60} = \frac{175 - 138}{60} = \frac{37}{60}$

Так как 37 - простое число, дробь несократима.

Ответ: $\frac{37}{60}$

г) $4\frac{2}{3} + 2\frac{3}{4} - 1\frac{5}{12}$

Как и в первом примере, сгруппируем целые и дробные части.

1. Выполним действия с целыми частями: $4 + 2 - 1 = 5$.

2. Выполним действия с дробными частями: $\frac{2}{3} + \frac{3}{4} - \frac{5}{12}$.

3. Найдем наименьший общий знаменатель для 3, 4 и 12. Он равен 12.

4. Приведем дроби $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{4}$ к знаменателю 12:

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$

$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$

5. Теперь выполним действия с дробями:

$\frac{8}{12} + \frac{9}{12} - \frac{5}{12} = \frac{8 + 9 - 5}{12} = \frac{17 - 5}{12} = \frac{12}{12} = 1$

6. Сложим результат, полученный для целых и дробных частей:

$5 + 1 = 6$

Ответ: $6$

2.250. Один насос откачал 720 резервуара воды, а другой — 1730 этого же резервуара. Какую часть резервуара воды осталось откачать?

2.250

1 насос – $\frac{7}{20}$ резервуара.

2 насос – $\frac{17}{30}$ резервуара.

Осталось - ? резервуара.

$\mathbf{1}\mathbf{)} {\frac{7}{20}}^{\overline{)·3}}+{\frac{17}{30}}^{\overline{)·2}}=\frac{21}{60}+\frac{34}{60}=\frac{{\displaystyle \stackrel{11}{\cancel{55}}}}{{\displaystyle \underset{12}{\cancel{60}}}}=\frac{11}{12}$(резер.) – откачали оба насоса вместе;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 1 - \frac{11}{12}=\frac{12}{12}-\frac{11}{12}=\frac{1}{12}$(резер.) – осталось откачать

Ответ: $\frac{1}{12}$резервуара.

Чтобы найти, какую часть резервуара осталось откачать, необходимо сначала вычислить, какую часть воды уже откачали оба насоса вместе, а затем вычесть эту долю из всего объема резервуара, который мы принимаем за единицу (1).

1. Сначала сложим части резервуара, которые откачали первый и второй насосы:

$$ \frac{7}{20} + \frac{17}{30} $$

Для сложения дробей с разными знаменателями нужно привести их к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 20 и 30. НОК(20, 30) = 60. Теперь приведем каждую дробь к знаменателю 60:

Для первой дроби дополнительный множитель равен $ 60 \div 20 = 3 $:

$$ \frac{7}{20} = \frac{7 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{21}{60} $$

Для второй дроби дополнительный множитель равен $ 60 \div 30 = 2 $:

$$ \frac{17}{30} = \frac{17 \cdot 2}{30 \cdot 2} = \frac{34}{60} $$

Теперь сложим полученные дроби:

$$ \frac{21}{60} + \frac{34}{60} = \frac{21 + 34}{60} = \frac{55}{60} $$

Итак, оба насоса вместе откачали $ \frac{55}{60} $ часть резервуара.

2. Теперь найдем оставшуюся часть резервуара. Для этого вычтем из целого (1) откачанную часть:

$$ 1 - \frac{55}{60} $$

Представим 1 в виде дроби со знаменателем 60: $ 1 = \frac{60}{60} $.

$$ \frac{60}{60} - \frac{55}{60} = \frac{60 - 55}{60} = \frac{5}{60} $$

3. Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 5:

$$ \frac{5}{60} = \frac{5 \div 5}{60 \div 5} = \frac{1}{12} $$

Таким образом, осталось откачать $ \frac{1}{12} $ часть резервуара.

Ответ: $ \frac{1}{12} $

2.251. Первая бригада может покрасить многоэтажный дом за 8 дней, а вторая — за 12 дней. Какую часть дома останется покрасить, если первая бригада будет работать 3 дня, а вторая — 5 дней?

2.251

Какая часть осталась - ?.

$\mathbf{\text{1) }}3 : 8 =\frac{3}{8}$(часть) – покрасит за 3 дня первая бригада;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }5 : 12 = \frac{5}{12}$(часть) – покрасит за 5 дней вторая бригада;

$\mathbf{3}\mathbf{)} {\frac{3}{8}}^{\overline{)·15}}+{\frac{5}{12}}^{\overline{)·10}}=\frac{45}{120}+\frac{50}{120}=\frac{{\displaystyle \stackrel{19}{\cancel{95}}}}{{\displaystyle \underset{24}{\cancel{120}}}}=\frac{19}{24}$(часть) - покрасят они вместе;

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }1 - \frac{19}{24}=\frac{24}{24}-\frac{19}{2}=\frac{5}{24}$(часть) – останется покрасить.

Ответ: $\frac{5}{24}$ дома

Для решения этой задачи необходимо последовательно вычислить, какую часть работы выполнила каждая бригада, затем найти общую выполненную часть и, наконец, определить оставшуюся часть работы. Примем всю работу по покраске дома за 1.

1. Сначала определим производительность каждой бригады, то есть какую часть дома они красят за один день.
Первая бригада может покрасить весь дом за 8 дней, следовательно, ее производительность равна $\frac{1}{8}$ часть дома в день.
Вторая бригада может покрасить дом за 12 дней, значит, ее производительность составляет $\frac{1}{12}$ часть дома в день.

2. Теперь рассчитаем, какую часть дома покрасила каждая бригада за указанное время.
Первая бригада работала 3 дня, поэтому она выполнила: $3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$ часть работы.
Вторая бригада работала 5 дней и выполнила: $5 \times \frac{1}{12} = \frac{5}{12}$ часть работы.

3. Далее найдем, какую часть дома покрасили обе бригады вместе. Для этого сложим выполненные ими части. Чтобы сложить дроби $\frac{3}{8}$ и $\frac{5}{12}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 8 и 12 равен 24.
$\frac{3}{8} + \frac{5}{12} = \frac{3 \cdot 3}{24} + \frac{5 \cdot 2}{24} = \frac{9}{24} + \frac{10}{24} = \frac{19}{24}$
Таким образом, обе бригады вместе покрасили $\frac{19}{24}$ часть дома.

4. Наконец, чтобы найти, какая часть дома осталась не покрашенной, нужно из всей работы (1) вычесть ту часть, которая уже выполнена.
$1 - \frac{19}{24} = \frac{24}{24} - \frac{19}{24} = \frac{5}{24}$

Ответ: останется покрасить $\frac{5}{24}$ часть дома.

2.252. Развивай мышление. Дуб рос на краю обрыва. Жёлудь, висевший на дубе, оторвался и через 3 с достиг земли. На какой высоте висел жёлудь, если за первую секунду он пролетел 945 м и каждую следующую секунду пролетал на 945 м больше? Найдите среднюю скорость падения жёлудя.

2.252

$\mathbf{1}\mathbf{)} 9\frac{4}{5}+9\frac{4}{5}=18\frac{8}{5}=18 + 1\frac{3}{5}=19\frac{3}{5}$(м) – пролетел желудь за вторую секунду;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 19\frac{3}{5}+9\frac{4}{5}=28\frac{7}{5}=28 + 1\frac{2}{5}=29\frac{2}{5}$(м) – пролетел желудь за третью секунду;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }9\frac{4}{5}+19\frac{3}{5}+29\frac{2}{5}=57\frac{9}{5}=57+1\frac{4}{5}=58\frac{4}{5}$(м) – высота, на которой висел желудь;

$\mathbf{4}\mathbf{)} {58\frac{4}{5}}^{\overline{)·2}}: 3 = 58\frac{8}{10} : 3 = 58,8 : 3 = 19,6$ (м/с) – средняя скорость падения.

Ответ: $58\frac{4}{5}$ м, 19,6 м/с.

Для решения задачи нам нужно последовательно найти два значения: высоту, с которой упал жёлудь, и его среднюю скорость падения.

На какой высоте висел жёлудь?

Движение жёлудя можно описать с помощью арифметической прогрессии, где расстояние, пройденное за каждую последующую секунду, увеличивается на постоянную величину.

1. Найдём расстояние, которое жёлудь пролетел за каждую из трёх секунд падения.
- Расстояние за первую секунду ($s_1$) дано в условии: $s_1 = 9\frac{4}{5}$ м.
- Расстояние за вторую секунду ($s_2$) на $9\frac{4}{5}$ м больше, чем за первую:
$s_2 = 9\frac{4}{5} + 9\frac{4}{5} = 18\frac{8}{5} = 19\frac{3}{5}$ м.
- Расстояние за третью секунду ($s_3$) на $9\frac{4}{5}$ м больше, чем за вторую:
$s_3 = 19\frac{3}{5} + 9\frac{4}{5} = 28\frac{7}{5} = 29\frac{2}{5}$ м.

2. Чтобы найти общую высоту ($H$), с которой упал жёлудь, сложим расстояния, пройденные за каждую секунду:
$H = s_1 + s_2 + s_3 = 9\frac{4}{5} + 19\frac{3}{5} + 29\frac{2}{5}$
Для удобства вычислений сложим целые и дробные части отдельно:
$H = (9 + 19 + 29) + (\frac{4}{5} + \frac{3}{5} + \frac{2}{5}) = 57 + \frac{9}{5} = 57 + 1\frac{4}{5} = 58\frac{4}{5}$ м.

Ответ: Жёлудь висел на высоте $58\frac{4}{5}$ м.

Найдите среднюю скорость падения жёлудя.

Средняя скорость ($v_{ср}$) вычисляется по формуле: общее расстояние, делённое на общее время.

- Общее расстояние (высота) $H = 58\frac{4}{5}$ м.
- Общее время падения $t = 3$ с.

Подставим значения в формулу $v_{ср} = \frac{H}{t}$:
$v_{ср} = \frac{58\frac{4}{5}}{3}$
Переведём смешанное число $58\frac{4}{5}$ в неправильную дробь для удобства деления:
$58\frac{4}{5} = \frac{58 \times 5 + 4}{5} = \frac{290 + 4}{5} = \frac{294}{5}$.
Теперь выполним деление:
$v_{ср} = \frac{294}{5} \div 3 = \frac{294}{5 \times 3} = \frac{98}{5}$ м/с.
Представим результат в виде смешанного числа:
$\frac{98}{5} = 19\frac{3}{5}$ м/с.

Ответ: Средняя скорость падения жёлудя равна $19\frac{3}{5}$ м/с.

2.253. Берёза выше ели на 3514 м, а сосна выше берёзы на 4310 м. Какой высоты ель и сосна, если высота берёзы 121635 м?

2.253

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)} {12\frac{16}{35 }}^{\overline{)·2}}-{3\frac{5}{14}}^{\overline{)·5}}=12\frac{32}{70}-3\frac{25}{70}= \\ =(12 - 3) +\left(\frac{32}{70}-\frac{25}{70}\right)=9\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{7}}}}{{\displaystyle \underset{10}{\cancel{70}}}}=9\frac{1}{10}(\mathrm{м})-\mathrm{высота} \mathrm{ели}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }{12\frac{16}{35}}^{\overline{)·2}}+{4\frac{3}{10}}^{\overline{)·7}}=12\frac{32}{70}+4\frac{21}{70}= \\ =(12 + 4) +\left(\frac{32}{70}+\frac{21}{70}\right)=16\frac{53}{70}(\mathrm{м})-\mathrm{высота} \mathrm{сосны}. \end{gathered}$$

Ответ: $9\frac{1}{10}$ м,$16\frac{53}{70}$ м.

Для того чтобы найти высоту ели и сосны, зная высоту берёзы и разницу в высоте, необходимо выполнить следующие действия.

Высота ели
Из условия известно, что берёза выше ели на $3\frac{5}{14}$ м. Это значит, что ель ниже берёзы на эту же величину. Высота берёзы составляет $12\frac{16}{35}$ м. Чтобы найти высоту ели, нужно из высоты берёзы вычесть разницу.
$12\frac{16}{35} - 3\frac{5}{14}$
Приведем дробные части к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 35 и 14 равно 70.
$\frac{16}{35} = \frac{16 \cdot 2}{35 \cdot 2} = \frac{32}{70}$
$\frac{5}{14} = \frac{5 \cdot 5}{14 \cdot 5} = \frac{25}{70}$
Теперь выполним вычитание смешанных чисел:
$12\frac{32}{70} - 3\frac{25}{70} = (12 - 3) + (\frac{32}{70} - \frac{25}{70}) = 9 + \frac{7}{70} = 9\frac{7}{70}$
Сократим полученную дробь:
$9\frac{7}{70} = 9\frac{1}{10}$ м.
Ответ: высота ели $9\frac{1}{10}$ м.

Высота сосны
Из условия известно, что сосна выше берёзы на $4\frac{3}{10}$ м. Чтобы найти высоту сосны, нужно к высоте берёзы прибавить эту разницу.
$12\frac{16}{35} + 4\frac{3}{10}$
Приведем дробные части к общему знаменателю 70.
$\frac{16}{35} = \frac{16 \cdot 2}{35 \cdot 2} = \frac{32}{70}$
$\frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 7}{10 \cdot 7} = \frac{21}{70}$
Теперь выполним сложение смешанных чисел:
$12\frac{32}{70} + 4\frac{21}{70} = (12 + 4) + (\frac{32}{70} + \frac{21}{70}) = 16 + \frac{53}{70} = 16\frac{53}{70}$ м.
Дробь $\frac{53}{70}$ является несократимой.
Ответ: высота сосны $16\frac{53}{70}$ м.

2.254. Вычислите:

а) 435 + 2,6 – 512; б) 413 + 5,3 – 2730.

2.254

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}{ 4\frac{3}{5}}^{\overline{)·2}}+2,6 -{5\frac{1}{2}}^{\overline{)·5}}=4\frac{6}{10}+2,6 - 5\frac{5}{10}= \\ =4,6 + 2,6 - 5,5 = 7,2 - 5,5 = 1,7 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)} 4\frac{1}{3}+5,3 - 2\frac{7}{30}={4\frac{1}{3}}^{\overline{)·10}}+{5\frac{3}{10}}^{\overline{)·3}}-2\frac{7}{30}= \\ =4\frac{10}{30}+5\frac{9}{30}-2\frac{7}{30}=(4 + 5 - 2) + \\ +\left(\frac{10}{30}+\frac{9}{30}-\frac{7}{30}\right)=7\frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{12}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{30}}}}=7\frac{2}{5} \end{gathered}$$

а) $4\frac{3}{5} + 2,6 - 5\frac{1}{2}$

Чтобы решить данный пример, приведем все числа к одному виду. В данном случае удобнее всего преобразовать все числа в обыкновенные или смешанные дроби.

1. Переведем десятичную дробь $2,6$ в смешанную дробь. $2,6 = 2\frac{6}{10}$. Сократим дробную часть, разделив числитель и знаменатель на 2: $2\frac{6}{10} = 2\frac{3}{5}$.

2. Перепишем исходное выражение, заменив $2,6$ на $2\frac{3}{5}$:

$4\frac{3}{5} + 2\frac{3}{5} - 5\frac{1}{2}$

3. Выполним действия по порядку. Сначала сложим первые два числа:

$4\frac{3}{5} + 2\frac{3}{5} = (4+2) + (\frac{3}{5} + \frac{3}{5}) = 6 + \frac{6}{5} = 6 + 1\frac{1}{5} = 7\frac{1}{5}$

4. Теперь выполним вычитание:

$7\frac{1}{5} - 5\frac{1}{2}$

5. Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 2 равен 10.

$7\frac{1}{5} = 7\frac{1 \cdot 2}{5 \cdot 2} = 7\frac{2}{10}$

$5\frac{1}{2} = 5\frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = 5\frac{5}{10}$

6. Выражение принимает вид: $7\frac{2}{10} - 5\frac{5}{10}$.

7. Так как дробная часть уменьшаемого ($\frac{2}{10}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{5}{10}$), нам нужно "занять" единицу у целой части $7\frac{2}{10}$:

$7\frac{2}{10} = 6 + 1 + \frac{2}{10} = 6 + \frac{10}{10} + \frac{2}{10} = 6\frac{12}{10}$

8. Теперь вычитание можно выполнить:

$6\frac{12}{10} - 5\frac{5}{10} = (6-5) + (\frac{12-5}{10}) = 1 + \frac{7}{10} = 1\frac{7}{10}$

Ответ: $1\frac{7}{10}$.

б) $4\frac{1}{3} + 5,3 - 2\frac{7}{30}$

Для решения этого примера также приведем все числа к виду смешанных дробей.

1. Переведем десятичную дробь $5,3$ в смешанную дробь: $5,3 = 5\frac{3}{10}$.

2. Исходное выражение теперь выглядит так:

$4\frac{1}{3} + 5\frac{3}{10} - 2\frac{7}{30}$

3. Чтобы выполнить сложение и вычитание, приведем дробные части всех чисел к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 3, 10 и 30 равно 30.

$4\frac{1}{3} = 4\frac{1 \cdot 10}{3 \cdot 10} = 4\frac{10}{30}$

$5\frac{3}{10} = 5\frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} = 5\frac{9}{30}$

4. Перепишем выражение с общим знаменателем:

$4\frac{10}{30} + 5\frac{9}{30} - 2\frac{7}{30}$

5. Теперь можно выполнить действия отдельно с целыми и дробными частями.

Сложение и вычитание целых частей: $4 + 5 - 2 = 7$.

Сложение и вычитание дробных частей: $\frac{10}{30} + \frac{9}{30} - \frac{7}{30} = \frac{10+9-7}{30} = \frac{12}{30}$.

6. Сократим полученную дробную часть $\frac{12}{30}$. Наибольший общий делитель для 12 и 30 равен 6.

$\frac{12 \div 6}{30 \div 6} = \frac{2}{5}$

7. Объединим целую и дробную части, чтобы получить окончательный ответ:

$7 + \frac{2}{5} = 7\frac{2}{5}$

Ответ: $7\frac{2}{5}$.

2.255. Для приготовления яблочной пастилы на 10 частей яблок берут 1 часть сахара (по массе) Сколько килограммов яблок и килограммов сахара надо взять, чтобы получить 2 кг пастилы, если при сушке масса яблочного пюре с сахаром уменьшается в 5,5 раза?

2.255

На 10 частей яблок берут 1 часть сахара (по массе)

Яблок -? кг, сахара - ? кг,

Пастилы – 2 кг, если при сушке масса яблочного пюре с сахаром уменьшается в 5,5 раза.

1) 2 ∙ 5,5 = 11 (кг) – масса яблок и сахара

2) 10 + 1 = 11 (частей) – составляют яблоки и сахар вместе

3) 11 : 11 = 1 (кг) – сахара надо взять

4) 11 – 1 = 10 (кг) – яблок надо взять

Ответ: 10 кг, 1 кг.

Для решения этой задачи необходимо выполнить расчеты в обратном порядке, начиная с конечного продукта.

1. Сначала найдем, какой была масса яблочного пюре с сахаром до процесса сушки. Известно, что в результате сушки масса уменьшается в 5,5 раза, а масса готовой пастилы составляет 2 кг. Следовательно, масса пюре до сушки была в 5,5 раза больше.

Рассчитаем начальную массу пюре:

$2 \text{ кг} \times 5,5 = 11 \text{ кг}$

Таким образом, общая масса яблок и сахара, необходимая для приготовления, равна 11 кг.

2. Теперь распределим эту массу между яблоками и сахаром согласно указанной пропорции. По рецепту, на 10 частей яблок берут 1 часть сахара. Это означает, что вся смесь состоит из:

$10 \text{ частей (яблоки)} + 1 \text{ часть (сахар)} = 11 \text{ частей}$

3. Зная, что 11 частей имеют общую массу 11 кг, мы можем определить массу одной части:

$\frac{11 \text{ кг}}{11 \text{ частей}} = 1 \text{ кг/часть}$

4. Наконец, вычислим массу каждого ингредиента:

• Масса яблок (соответствует 10 частям): $10 \text{ частей} \times 1 \text{ кг/часть} = 10 \text{ кг}$
• Масса сахара (соответствует 1 части): $1 \text{ часть} \times 1 \text{ кг/часть} = 1 \text{ кг}$

Ответ: чтобы получить 2 кг пастилы, надо взять 10 кг яблок и 1 кг сахара.