Страница 82, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.268. Какой путь преодолеет всадник за 12 мин; 23 мин, если его скорость 940 км/мин?

2.268

Скорость - $\frac{9}{40}$ км/мин

Время – $\frac{1}{2}$ мин; $\frac{2}{3}$ мин;

Расстояние - ? км.

$\mathbf{1}\mathbf{)} \frac{9}{40} · \frac{1}{2}=\frac{9 · 1}{40 · 2}=\frac{9}{80}$(км) - за $\frac{1}{2}$ мин;

$\mathbf{2}\mathbf{)} \frac{9}{40} · \frac{2}{3}=\frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{9}}} · {\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{2}}}}{{\displaystyle \underset{20}{\bcancel{40}}} · {\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}}=\frac{3 · 1}{20 · 1}=\frac{3}{20}$ (км)-за $\frac{2}{3}$ мин.

Ответ: $\frac{9}{80}$ км; $\frac{3}{20}$ км.

Для решения этой задачи используется формула нахождения расстояния (пути) через скорость и время: $S = v \cdot t$, где $S$ — это путь, $v$ — скорость, а $t$ — время.

Скорость всадника дана в условии: $v = \frac{9}{40}$ км/мин. Необходимо вычислить путь для двух разных значений времени.

за $\frac{1}{2}$ мин

Подставим в формулу значения скорости $v = \frac{9}{40}$ км/мин и времени $t = \frac{1}{2}$ мин.
$S = \frac{9}{40} \cdot \frac{1}{2}$
Чтобы перемножить дроби, умножаем их числители и знаменатели:
$S = \frac{9 \cdot 1}{40 \cdot 2} = \frac{9}{80}$ км.
Ответ: $\frac{9}{80}$ км.

за $\frac{2}{3}$ мин

Теперь подставим в формулу значения скорости $v = \frac{9}{40}$ км/мин и времени $t = \frac{2}{3}$ мин.
$S = \frac{9}{40} \cdot \frac{2}{3}$
Перемножим числители и знаменатели. Перед этим можно сократить дроби для упрощения вычислений: 9 и 3 сокращаются на 3, а 2 и 40 сокращаются на 2.
$S = \frac{9 \cdot 2}{40 \cdot 3} = \frac{\cancel{9}^3 \cdot \cancel{2}^1}{\cancel{40}_{20} \cdot \cancel{3}_1} = \frac{3 \cdot 1}{20 \cdot 1} = \frac{3}{20}$ км.
Ответ: $\frac{3}{20}$ км.

2.269. Найдите произведение дробей 3410 и 67100. Представьте эти дроби в десятичной записи и выполните умножение. Сравните результаты.

2.269

$\frac{34}{10} · \frac{67}{100}=\frac{34 · 67}{10 · 100}=\frac{2278}{1000}=2\frac{278}{1000}$

$\frac{34}{10}=3,4$

$\frac{67}{100}=0,67$

$3,4 · 0,67 = 2,278$

$2\frac{278}{1000}=2,278$

Ответ: равны

Найдите произведение дробей $\frac{34}{10}$ и $\frac{67}{100}$

Чтобы найти произведение двух обыкновенных дробей, необходимо перемножить их числители и знаменатели. Числитель произведения будет равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей.

$\frac{34}{10} \times \frac{67}{100} = \frac{34 \times 67}{10 \times 100}$

Вычислим произведение числителей: $34 \times 67 = 2278$.

Вычислим произведение знаменателей: $10 \times 100 = 1000$.

Таким образом, произведение дробей равно:

$\frac{2278}{1000}$

Ответ: $\frac{2278}{1000}$.

Представьте эти дроби в десятичной записи и выполните умножение

Сначала представим каждую обыкновенную дробь в виде десятичной. Для этого нужно разделить числитель на знаменатель.

$\frac{34}{10} = 3.4$

$\frac{67}{100} = 0.67$

Теперь выполним умножение полученных десятичных дробей. Чтобы умножить две десятичные дроби, нужно:

1. Выполнить умножение, не обращая внимания на запятые: $34 \times 67 = 2278$.
2. Отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе. В числе $3.4$ одна цифра после запятой, в числе $0.67$ — две. Всего $1 + 2 = 3$ цифры.

Отделяем в произведении $2278$ три цифры справа, получаем $2.278$.

$3.4 \times 0.67 = 2.278$

Ответ: $2.278$.

Сравните результаты

Результат умножения обыкновенных дробей: $\frac{2278}{1000}$.

Результат умножения десятичных дробей: $2.278$.

Чтобы сравнить эти два результата, представим обыкновенную дробь $\frac{2278}{1000}$ в виде десятичной. Для этого разделим числитель $2278$ на знаменатель $1000$, что равносильно переносу запятой на три знака влево.

$\frac{2278}{1000} = 2.278$

Сравниваем полученные значения:

$2.278 = 2.278$

Результаты полностью совпадают.

Ответ: Результаты, полученные при умножении дробей в виде обыкновенных и в виде десятичных, равны.

2.270. Вычислите значение произведения 34, 2225. Выполните проверку, представив множители в виде десятичных дробей.

2.270

$\frac{3}{4}·\frac{22}{25}=\frac{3 ·\cancel{ {\displaystyle \stackrel{11}{22}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{4}}} · 25}=\frac{3 · 11}{2 · 25}=\frac{33}{50}$

$\frac{3}{4}=\frac{3 · 25}{4 · 25}=\frac{75}{100}=0,75$

$\frac{22}{25}=\frac{22 · 4}{25 · 4}=\frac{88}{100}=0,88$

$0,75 · 0,88 = 0,66 =\frac{{\displaystyle \stackrel{33}{\cancel{66}}}}{{\displaystyle \underset{50}{\cancel{100}}}}=\frac{33}{50}$

Вычислите значение произведения $\frac{3}{4} \cdot \frac{22}{25}$

Для умножения двух обыкновенных дробей необходимо перемножить их числители и их знаменатели. Результат умножения числителей записывается в числитель новой дроби, а результат умножения знаменателей — в знаменатель.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{22}{25} = \frac{3 \cdot 22}{4 \cdot 25}$

Перед тем как выполнить умножение, можно сократить дробь для упрощения вычислений. Числитель 22 и знаменатель 4 имеют общий делитель 2.

$\frac{3 \cdot 22}{4 \cdot 25} = \frac{3 \cdot (11 \cdot 2)}{(2 \cdot 2) \cdot 25} = \frac{3 \cdot 11}{2 \cdot 25} = \frac{33}{50}$

Альтернативно, можно сначала перемножить числа, а затем сократить полученную дробь:

$\frac{3 \cdot 22}{4 \cdot 25} = \frac{66}{100}$

Сократим дробь $\frac{66}{100}$, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 2:

$\frac{66 \div 2}{100 \div 2} = \frac{33}{50}$

Ответ: $\frac{33}{50}$

Выполните проверку, представив множители в виде десятичных дробей

Для проверки необходимо преобразовать исходные обыкновенные дроби в десятичные.

1. Преобразуем дробь $\frac{3}{4}$. Для этого можно привести знаменатель к 100, умножив числитель и знаменатель на 25:

$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{75}{100} = 0.75$

2. Преобразуем дробь $\frac{22}{25}$. Приведем знаменатель к 100, умножив числитель и знаменатель на 4:

$\frac{22}{25} = \frac{22 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{88}{100} = 0.88$

Теперь умножим полученные десятичные дроби:

$0.75 \cdot 0.88$

Для вычисления произведения $0.75 \cdot 0.88$ умножим числа 75 на 88, а затем в результате отделим запятой столько знаков, сколько их в обоих множителях вместе ($2+2=4$).

$75 \cdot 88 = 6600$

$0.75 \cdot 0.88 = 0.6600 = 0.66$

Сравним результат проверки с результатом, полученным в первой части. Для этого преобразуем дробь $\frac{33}{50}$ в десятичную:

$\frac{33}{50} = \frac{33 \cdot 2}{50 \cdot 2} = \frac{66}{100} = 0.66$

Поскольку $0.66 = 0.66$, результаты совпали. Проверка подтверждает правильность вычислений.

Ответ: $0.66$

2.271. Представьте десятичную дробь в виде обыкновенной и выполните умножение:

а) 0,25 · 45; б) 0,9 · 59.

2.271

$\mathbf{а}\mathbf{)} 0,25 · \frac{4}{5}=\frac{25}{100} ·\frac{4}{5}=\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{25}}} · {\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{4}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{100}}} · 5}=\frac{1 · 1}{1 · 5}=\frac{1}{5};$

$\mathbf{б}\mathbf{)} 0,9 · \frac{5}{9}=\frac{9}{10} ·\frac{5}{9}=\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{9}} · \stackrel{1}{\cancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{10}} ·\bcancel{\underset{1}{ 9}}}}=\frac{1 · 1}{2 · 1}=\frac{1}{2}.$

а)

Для выполнения умножения $0,25 \cdot \frac{4}{5}$ необходимо сначала представить десятичную дробь $0,25$ в виде обыкновенной.

Десятичная дробь $0,25$ читается как "двадцать пять сотых", что в виде обыкновенной дроби записывается как $\frac{25}{100}$.

Теперь сократим дробь $\frac{25}{100}$, разделив ее числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 25:

$\frac{25}{100} = \frac{25 \div 25}{100 \div 25} = \frac{1}{4}$

Подставим полученную дробь в исходное выражение и выполним умножение:

$0,25 \cdot \frac{4}{5} = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{5}$

При умножении дробей перемножаются их числители и знаменатели. Также можно произвести сокращение:

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{1 \cdot \cancel{4}}{\cancel{4} \cdot 5} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$

б)

Для выполнения умножения $0,9 \cdot \frac{5}{9}$ представим десятичную дробь $0,9$ в виде обыкновенной.

Десятичная дробь $0,9$ читается как "девять десятых", что записывается как $\frac{9}{10}$.

Подставим эту дробь в выражение и выполним умножение:

$0,9 \cdot \frac{5}{9} = \frac{9}{10} \cdot \frac{5}{9}$

Перемножим числители и знаменатели, сократив одинаковые множители (в данном случае число 9):

$\frac{\cancel{9} \cdot 5}{10 \cdot \cancel{9}} = \frac{5}{10}$

Сократим полученную дробь $\frac{5}{10}$, разделив числитель и знаменатель на 5:

$\frac{5}{10} = \frac{5 \div 5}{10 \div 5} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

2.272. Представьте обыкновенную дробь в виде десятичной и выполните умножение:

а) 120 · 0,7; б) 625 · 7,5.

2.272

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{1}{20} · 0,7 = \frac{1 · 5}{20 · 5} · 0,7 =\frac{5}{100}· 0,7 = \\ =0,05 · 0,7 =0,035 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{6}{25} · 7,5 = \frac{6 · 4}{25 · 4} ·7,5 =\frac{24}{100}·7,5 = \\ =0,24 · 7,5 =1,8 \end{gathered}$$

а) Чтобы решить пример $\frac{1}{20} \cdot 0,7$, сначала представим обыкновенную дробь $\frac{1}{20}$ в виде десятичной. Для этого можно разделить числитель на знаменатель, либо привести знаменатель к числу 10, 100, 1000 и т.д. Удобно привести знаменатель 20 к 100, умножив числитель и знаменатель на 5:
$\frac{1}{20} = \frac{1 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{5}{100} = 0,05$
Теперь выполним умножение полученной десятичной дроби на 0,7:
$0,05 \cdot 0,7 = 0,035$
Ответ: $0,035$

б) Чтобы решить пример $\frac{6}{25} \cdot 7,5$, сначала представим обыкновенную дробь $\frac{6}{25}$ в виде десятичной. Приведем знаменатель 25 к 100, умножив числитель и знаменатель на 4:
$\frac{6}{25} = \frac{6 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{24}{100} = 0,24$
Теперь выполним умножение полученной десятичной дроби на 7,5:
$0,24 \cdot 7,5 = 1,8$
Проверим умножение в столбик, не обращая внимания на запятые:
$24 \cdot 75 = 1800$
В исходных множителях (0,24 и 7,5) общее количество знаков после запятой равно трем (два у 0,24 и один у 7,5). Отделяем три знака справа в произведении 1800, получаем $1,800$, что равно $1,8$.
Ответ: $1,8$

2.273. Найдите значение выражения:

а) 79 · 34 · 521; б) 25 · 1115 · 322; в) 45 · 720 · 2528; г) 125149 · 811 · 1211000.

2.273

$\mathbf{а}\mathbf{)} \frac{7}{9} · \frac{3}{4} · \frac{5}{21}=\frac{\cancel{7} · \cancel{3} · 5}{9 · 4 ·\cancel{21}}=\frac{1 · 1 · 5}{9 · 4 ·1}=\frac{5}{36};$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)} \frac{2}{5} · \frac{11}{15} · \frac{3}{22}=\frac{\cancel{2} · \cancel{11} ·\bcancel{3}}{5 · {\displaystyle \underset{5}{\bcancel{15}}} ·{\displaystyle \underset{\cancel{2}}{\cancel{22}}}}= \\ =\frac{1 · 1 · 1}{5 · 5 ·1}=\frac{1}{25}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)} \frac{4}{5} · \frac{7}{20} · \frac{25}{28}=\frac{\bcancel{4} · \bcancel{7} ·{\displaystyle \stackrel{5}{ \cancel{25}}}}{\cancel{5} · 20 ·\bcancel{28}}= \\ =\frac{1 · 1 · 5}{1 · 20 ·1}=\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{20}}}}=\frac{1}{4}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)} \frac{125}{149} · \frac{8}{11} · \frac{121}{1000}=\frac{\cancel{125} · \cancel{8} ·{\displaystyle \stackrel{11}{\bcancel{121}}}}{149 · \bcancel{11} ·\cancel{1000}}= \\ =\frac{1 · 1 · 11}{149 · 1 ·1}=\frac{11}{149}. \end{gathered}$$

а) Чтобы найти значение выражения, перемножим все числители и все знаменатели, записав их под одной дробной чертой:
$ \frac{7}{9} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{21} = \frac{7 \cdot 3 \cdot 5}{9 \cdot 4 \cdot 21} $
Теперь выполним сокращение дроби. Сначала сократим 3 в числителе и 9 в знаменателе на 3:
$ \frac{7 \cdot \cancel{3}^1 \cdot 5}{\cancel{9}^3 \cdot 4 \cdot 21} = \frac{7 \cdot 5}{3 \cdot 4 \cdot 21} $
Затем сократим 7 в числителе и 21 в знаменателе на 7:
$ \frac{\cancel{7}^1 \cdot 5}{3 \cdot 4 \cdot \cancel{21}^3} = \frac{5}{3 \cdot 4 \cdot 3} $
Перемножим оставшиеся числа в знаменателе:
$ \frac{5}{3 \cdot 4 \cdot 3} = \frac{5}{36} $
Ответ: $ \frac{5}{36} $

б) Запишем произведение под одной дробной чертой:
$ \frac{2}{5} \cdot \frac{11}{15} \cdot \frac{3}{22} = \frac{2 \cdot 11 \cdot 3}{5 \cdot 15 \cdot 22} $
Выполним последовательное сокращение. Сначала сократим 2 и 22 на 2:
$ \frac{\cancel{2}^1 \cdot 11 \cdot 3}{5 \cdot 15 \cdot \cancel{22}^{11}} = \frac{11 \cdot 3}{5 \cdot 15 \cdot 11} $
Теперь сократим 11 в числителе и 11 в знаменателе:
$ \frac{\cancel{11}^1 \cdot 3}{5 \cdot 15 \cdot \cancel{11}^1} = \frac{3}{5 \cdot 15} $
И, наконец, сократим 3 и 15 на 3:
$ \frac{\cancel{3}^1}{5 \cdot \cancel{15}^5} = \frac{1}{5 \cdot 5} = \frac{1}{25} $
Ответ: $ \frac{1}{25} $

в) Запишем произведение под одной дробной чертой:
$ \frac{4}{5} \cdot \frac{7}{20} \cdot \frac{25}{28} = \frac{4 \cdot 7 \cdot 25}{5 \cdot 20 \cdot 28} $
Выполним сокращение. Сначала сократим 4 и 20 на 4:
$ \frac{\cancel{4}^1 \cdot 7 \cdot 25}{5 \cdot \cancel{20}^5 \cdot 28} = \frac{7 \cdot 25}{5 \cdot 5 \cdot 28} $
Теперь мы можем сократить 25 в числителе с произведением $5 \cdot 5$ в знаменателе:
$ \frac{7 \cdot \cancel{25}^1}{\cancel{5}^1 \cdot \cancel{5}^1 \cdot 28} = \frac{7}{28} $
Сократим оставшуюся дробь на 7:
$ \frac{\cancel{7}^1}{\cancel{28}^4} = \frac{1}{4} $
Ответ: $ \frac{1}{4} $

г) Запишем произведение под одной дробной чертой:
$ \frac{125}{149} \cdot \frac{8}{11} \cdot \frac{121}{1000} = \frac{125 \cdot 8 \cdot 121}{149 \cdot 11 \cdot 1000} $
Выполним сокращение. Заметим, что $125 \cdot 8 = 1000$. Сократим эти числа в числителе и знаменателе:
$ \frac{\cancel{125}^1 \cdot \cancel{8}^1 \cdot 121}{149 \cdot 11 \cdot \cancel{1000}^1} = \frac{121}{149 \cdot 11} $
Теперь сократим 121 и 11, так как $121 = 11 \cdot 11$:
$ \frac{\cancel{121}^{11}}{149 \cdot \cancel{11}^1} = \frac{11}{149} $
Дальнейшее сокращение невозможно, так как 11 и 149 - взаимно простые числа.
Ответ: $ \frac{11}{149} $

2.274. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если его длина 712 м, ширина — 514 м, а высота 1825 м.

2.274

Длина - $\frac{7}{12}$ м

Ширина - $\frac{5}{14}$ м

Высота - $\frac{18}{25}$ м

V - ? м³

$\frac{7}{12} · \frac{5}{14} · \frac{18}{25}=\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{7}}} · {\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{5}}} · {\displaystyle \stackrel{6}{\sout{18}}}}{{\displaystyle \underset{4}{\sout{12}}} · {\displaystyle \underset{2}{\cancel{14} }}·{\displaystyle \underset{5}{ \bcancel{25}}}}=\frac{1 ·1 · {\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{6}}}}{4 · {\displaystyle \underset{1}{\cancel{2}}} · 5}=$

$=\frac{1 ·1 · 3}{4 · 1 · 5}=\frac{3}{20}$(м³ )-объем

Ответ: $\frac{3}{20}$ м³.

Объём прямоугольного параллелепипеда ($V$) вычисляется как произведение его длины ($a$), ширины ($b$) и высоты ($c$). Формула для вычисления объёма имеет следующий вид:

$V = a \cdot b \cdot c$

Согласно условию задачи, размеры параллелепипеда равны:
длина $a = \frac{7}{12}$ м;
ширина $b = \frac{5}{14}$ м;
высота $c = \frac{18}{25}$ м.

Подставим эти значения в формулу и произведём вычисление:

$V = \frac{7}{12} \cdot \frac{5}{14} \cdot \frac{18}{25}$

Чтобы перемножить дроби, нужно произведение их числителей разделить на произведение их знаменателей:

$V = \frac{7 \cdot 5 \cdot 18}{12 \cdot 14 \cdot 25}$

Для упрощения расчётов выполним сокращение дроби. Можно сократить множители в числителе и знаменателе последовательно:
1. Сократим $7$ и $14$ на общий делитель $7$: $V = \frac{1 \cdot 5 \cdot 18}{12 \cdot 2 \cdot 25}$.
2. Сократим $5$ и $25$ на общий делитель $5$: $V = \frac{1 \cdot 1 \cdot 18}{12 \cdot 2 \cdot 5}$.
3. Сократим $18$ и $12$ на общий делитель $6$: $V = \frac{3}{2 \cdot 2 \cdot 5}$.

Теперь перемножим оставшиеся числа в знаменателе:

$V = \frac{3}{4 \cdot 5} = \frac{3}{20}$

Таким образом, объём прямоугольного параллелепипеда равен $\frac{3}{20}$ кубических метра.

Ответ: $\frac{3}{20}$ м³.

2.275. Представьте в виде произведения двух дробей число:

а) 18; б) 59; в) 1514; г) 1718.

2.275

$\mathbf{а}\mathbf{)} \frac{1}{8}=\frac{1}{2} ·\frac{1}{4};$

$\mathbf{б}\mathbf{)} \frac{5}{9}=\frac{1}{3} ·\frac{5}{3};$

$\mathbf{в}\mathbf{)} \frac{15}{14}=\frac{5}{7} ·\frac{3}{2};$

$\mathbf{г}\mathbf{)} 1\frac{7}{18}=\frac{25}{18}=\frac{5}{2} ·\frac{5}{9}.$

Чтобы представить число в виде произведения двух дробей, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель этого числа (предварительно представив его в виде обыкновенной дроби, если необходимо). Произведение дробей, составленных из этих множителей, и будет искомым представлением. Важно отметить, что для каждого числа существует бесконечно много таких представлений. В решении приведены по одному из возможных вариантов.

а)

Чтобы представить дробь $\frac{1}{8}$ в виде произведения двух дробей, разложим на множители ее числитель и знаменатель.

Числитель $1$ можно представить как произведение $1 \times 1$.
Знаменатель $8$ можно представить как произведение $2 \times 4$.

Таким образом, мы можем записать:

$\frac{1}{8} = \frac{1 \times 1}{2 \times 4} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{2} \times \frac{1}{4}$

б)

Чтобы представить дробь $\frac{5}{9}$ в виде произведения двух дробей, разложим на множители ее числитель и знаменатель.

Числитель $5$ (простое число) можно представить как произведение $1 \times 5$.
Знаменатель $9$ можно представить как произведение $3 \times 3$.

Таким образом, мы можем записать:

$\frac{5}{9} = \frac{1 \times 5}{3 \times 3} = \frac{1}{3} \times \frac{5}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3} \times \frac{5}{3}$

в)

Чтобы представить дробь $\frac{15}{14}$ в виде произведения двух дробей, разложим на множители ее числитель и знаменатель.

Числитель $15$ можно представить как произведение $3 \times 5$.
Знаменатель $14$ можно представить как произведение $2 \times 7$.

Таким образом, мы можем записать:

$\frac{15}{14} = \frac{3 \times 5}{2 \times 7} = \frac{3}{2} \times \frac{5}{7}$

Ответ: $\frac{3}{2} \times \frac{5}{7}$

г)

Сначала необходимо представить смешанное число $1\frac{7}{18}$ в виде неправильной дроби.

$1\frac{7}{18} = \frac{1 \cdot 18 + 7}{18} = \frac{25}{18}$

Теперь разложим на множители числитель и знаменатель полученной дроби $\frac{25}{18}$.

Числитель $25$ можно представить как произведение $5 \times 5$.
Знаменатель $18$ можно представить как произведение $2 \times 9$.

Таким образом, мы можем записать:

$\frac{25}{18} = \frac{5 \times 5}{2 \times 9} = \frac{5}{2} \times \frac{5}{9}$

Ответ: $\frac{5}{2} \times \frac{5}{9}$

2.276. Выполните действия:

а) (49 + 512) · 1831;

б) 625 · (1115 – 920);

в) (4 – 3715) · 58;

г) (5 – 447) · (716 – 6512);

д) (1124 – 512) · (418 – 3524);

е) (1215 – 1115) · (5318 – 4127).

2.276

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\left(\frac{4}{9} \stackrel{1}{+}\frac{5}{12}\right) \stackrel{2}{·} \frac{18}{31}=\frac{1}{2} \\ 1) {\frac{4}{9}}^{\overline{)·4}} +{\frac{5}{12}}^{\overline{)·3}}=\frac{16}{36}+\frac{15}{36}=\frac{31}{36}; \\ 2) \frac{31}{36} · \frac{18}{31}=\frac{\cancel{31} · {\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{18}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{36} }}· \cancel{31}}=\frac{1 · 1}{2 · 1}=\frac{1}{2}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)} \frac{6}{25}\stackrel{2}{ ·} \left(\frac{11}{15} \stackrel{1}{-} \frac{9}{20}\right)=\frac{17}{250} \\ 1) {\frac{11}{15}}^{\overline{)·4}} - {\frac{9}{20}}^{\overline{)·3}}=\frac{44}{60} - \frac{27}{60}=\frac{17}{60}; \\ 2) \frac{6}{25} · \frac{17}{60}=\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{6}}} · 17}{25 · {\displaystyle \underset{10}{\cancel{60}}}}=\frac{1 · 17}{25 · 10}=\frac{17}{250}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\left(4 \stackrel{1}{- 3}\frac{7}{15}\right) \stackrel{2}{·} \frac{5}{8}=\frac{1}{3} \\ 1) 4 - 3\frac{7}{15}= 3 + 1 - 3\frac{7}{15}= \\ =3\frac{15}{15}-3\frac{7}{15}=\frac{8}{15}; \\ 2) \frac{8}{15} · \frac{5}{8}=\frac{\cancel{8} · {\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\bcancel{15} }· \cancel{8}}}=\frac{1 · 1}{3 · 1}=\frac{1}{3}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\left(5 \stackrel{1}{-} 4\frac{4}{7}\right)\stackrel{3}{ ·} \left(7\frac{1}{6} \stackrel{2}{-} 6\frac{5}{12}\right)=\frac{9}{28} \\ 1) 5 - 4\frac{4}{7} = 4 + 1-4\frac{4}{7}=4\frac{7}{7}-4\frac{4}{7}= \\ =\frac{3}{7}; \\ 2){ 7\frac{1}{6}}^{\overline{)·2}} - 6\frac{5}{12}=7\frac{2}{12}-6\frac{5}{12}=6 + 1 +\frac{2}{12}-6\frac{5}{12}= \\ =6\frac{14}{12}-6\frac{5}{12}=\frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{9}}}}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{12}}}}=\frac{3}{4}; \\ 3) \frac{3}{7} · \frac{3}{4}=\frac{3 · 3}{7 · 4}=\frac{9}{28}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{д}\mathbf{)}\mathbf{ }\left(1\frac{1}{24} \stackrel{1}{-} \frac{5}{12}\right)\stackrel{3}{ ·} \left(4\frac{1}{8} \stackrel{2}{-} 3\frac{5}{24}\right)=\frac{55}{96} \\ 1) 1\frac{1}{24} - {\frac{5}{12}}^{\overline{)·2}}=1\frac{1}{24} - \frac{10}{24}=\frac{25}{24} - \frac{10}{24}= \\ =\frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{15}}}}{{\displaystyle \underset{8}{\cancel{24}}}}=\frac{5}{8}; \\ 2) {4\frac{1}{8}}^{\overline{)·3}} - 3\frac{5}{24}=4\frac{3}{24} - 3\frac{5}{24}=3 + 1 +\frac{3}{24}-3\frac{5}{24}= \\ =3\frac{27}{24}-3\frac{5}{24}=\frac{{\displaystyle \stackrel{11}{\cancel{22}}}}{{\displaystyle \underset{12}{\cancel{24}}}}=\frac{11}{12}; \\ 3) \frac{5}{8} · \frac{11}{12}=\frac{5 · 11}{8 · 12}=\frac{55}{96}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{е}\mathbf{)}\mathbf{ }\left(1\frac{2}{15} \stackrel{1}{-} \frac{11}{15}\right)\stackrel{3}{ ·} \left(5\frac{3}{18} \stackrel{2}{-} 4\frac{1}{27}\right)=\frac{61}{135} \\ 1) 1\frac{2}{15} - \frac{11}{15}=\frac{17}{15} - \frac{11}{15}=\frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{6}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{15}}}} = \frac{2}{5}; \\ 2) 5\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{3}}}}{{\displaystyle \underset{6}{\cancel{18}}}} - 4\frac{1}{27}={5\frac{1}{6}}^{\overline{)·9}} - {4\frac{1}{27}}^{\overline{)·2}}= \\ =5\frac{9}{54}-4\frac{2}{54}=1\frac{7}{54}; \\ 3) \frac{2}{5} · 1\frac{7}{54}=\frac{2}{5} · \frac{61}{54}=\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{2}}} · 61}{5 · {\displaystyle \underset{27}{\cancel{54}}}}=\frac{1 · 61}{5 · 27}=\frac{61}{135}. \end{gathered}$$

а) $(\frac{4}{9} + \frac{5}{12}) \cdot \frac{18}{31}$

1. Сначала выполним действие в скобках — сложение дробей. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 9 и 12 равно 36.

$\frac{4}{9} + \frac{5}{12} = \frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 4} + \frac{5 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{16}{36} + \frac{15}{36} = \frac{16 + 15}{36} = \frac{31}{36}$

2. Теперь умножим полученный результат на дробь $\frac{18}{31}$.

$\frac{31}{36} \cdot \frac{18}{31} = \frac{31 \cdot 18}{36 \cdot 31}$

Сократим дробь на 31 и на 18:

$\frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) $\frac{6}{25} \cdot (\frac{11}{15} - \frac{9}{20})$

1. Выполним вычитание в скобках. Найдем НОК для знаменателей 15 и 20. НОК(15, 20) = 60.

$\frac{11}{15} - \frac{9}{20} = \frac{11 \cdot 4}{15 \cdot 4} - \frac{9 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{44}{60} - \frac{27}{60} = \frac{44 - 27}{60} = \frac{17}{60}$

2. Умножим результат на дробь $\frac{6}{25}$.

$\frac{6}{25} \cdot \frac{17}{60} = \frac{6 \cdot 17}{25 \cdot 60}$

Сократим дробь на 6:

$\frac{1 \cdot 17}{25 \cdot 10} = \frac{17}{250}$

Ответ: $\frac{17}{250}$.

в) $(4 - 3\frac{7}{15}) \cdot \frac{5}{8}$

1. Выполним вычитание в скобках.

$4 - 3\frac{7}{15} = 3\frac{15}{15} - 3\frac{7}{15} = \frac{15-7}{15} = \frac{8}{15}$

2. Умножим результат на дробь $\frac{5}{8}$.

$\frac{8}{15} \cdot \frac{5}{8} = \frac{8 \cdot 5}{15 \cdot 8}$

Сократим дробь на 8 и на 5:

$\frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$.

г) $(5 - 4\frac{4}{7}) \cdot (7\frac{1}{6} - 6\frac{5}{12})$

1. Вычислим значение первого выражения в скобках:

$5 - 4\frac{4}{7} = 4\frac{7}{7} - 4\frac{4}{7} = \frac{7-4}{7} = \frac{3}{7}$

2. Вычислим значение второго выражения в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю 12.

$7\frac{1}{6} - 6\frac{5}{12} = 7\frac{2}{12} - 6\frac{5}{12}$

Так как дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, "займем" единицу у целой части:

$7\frac{2}{12} = 6 + 1 + \frac{2}{12} = 6 + \frac{12}{12} + \frac{2}{12} = 6\frac{14}{12}$

$6\frac{14}{12} - 6\frac{5}{12} = \frac{14 - 5}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$

3. Перемножим полученные результаты:

$\frac{3}{7} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{7 \cdot 4} = \frac{9}{28}$

Ответ: $\frac{9}{28}$.

д) $(1\frac{1}{24} - \frac{5}{12}) \cdot (4\frac{1}{8} - 3\frac{5}{24})$

1. Вычислим значение первого выражения в скобках. Общий знаменатель 24.

$1\frac{1}{24} - \frac{5}{12} = 1\frac{1}{24} - \frac{10}{24} = \frac{25}{24} - \frac{10}{24} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8}$

2. Вычислим значение второго выражения в скобках. Общий знаменатель 24.

$4\frac{1}{8} - 3\frac{5}{24} = 4\frac{3}{24} - 3\frac{5}{24} = 3\frac{27}{24} - 3\frac{5}{24} = \frac{27-5}{24} = \frac{22}{24} = \frac{11}{12}$

3. Перемножим результаты:

$\frac{5}{8} \cdot \frac{11}{12} = \frac{5 \cdot 11}{8 \cdot 12} = \frac{55}{96}$

Ответ: $\frac{55}{96}$.

е) $(1\frac{2}{15} - \frac{11}{15}) \cdot (5\frac{3}{18} - 4\frac{1}{27})$

1. Вычислим значение первого выражения в скобках:

$1\frac{2}{15} - \frac{11}{15} = \frac{17}{15} - \frac{11}{15} = \frac{17 - 11}{15} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$

2. Вычислим значение второго выражения в скобках. Сначала упростим дробь $5\frac{3}{18} = 5\frac{1}{6}$.

$5\frac{1}{6} - 4\frac{1}{27}$

Найдем НОК для 6 и 27. НОК(6, 27) = 54.

$5\frac{1 \cdot 9}{6 \cdot 9} - 4\frac{1 \cdot 2}{27 \cdot 2} = 5\frac{9}{54} - 4\frac{2}{54} = (5-4) + (\frac{9-2}{54}) = 1\frac{7}{54}$

3. Перемножим результаты. Переведем $1\frac{7}{54}$ в неправильную дробь: $\frac{1 \cdot 54 + 7}{54} = \frac{61}{54}$.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{61}{54} = \frac{2 \cdot 61}{5 \cdot 54} = \frac{1 \cdot 61}{5 \cdot 27} = \frac{61}{135}$

Ответ: $\frac{61}{135}$.

2.277. Найдите значение произведения:

а) 5 · 235; б) 438 · 16; в) 129 · 9; г) 1 · 7811; д) 2213 · 0; е) 0 · 1617.

2.277

$\mathbf{а}\mathbf{)} 5 · 2\frac{3}{5}=5 · \frac{13}{5}=\frac{\cancel{5 }· 13}{\cancel{5}}=\frac{1 · 13}{1}=13;$

$\mathbf{б}\mathbf{)} 4\frac{3}{8} · 16=\frac{35}{8} · 16=\frac{35 · {\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{16}}}}{\cancel{8}}=\frac{35 · 2}{1}=70;$

$\mathbf{в}\mathbf{)} 1\frac{2}{9} · 9=\frac{11}{9} · 9=\frac{11 ·\cancel{ 9}}{\cancel{9}}=\frac{11 · 1}{1}=11;$

$\mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }1 · 7\frac{8}{11}=7\frac{8}{11};$

$\mathbf{д}\mathbf{)} 2\frac{2}{13} · 0=0;$

$\mathbf{е}\mathbf{)}\mathbf{ }0 · 1\frac{6}{17} = 0.$

а) Чтобы умножить целое число на смешанное число, необходимо сначала представить смешанное число в виде неправильной дроби. Затем умножить целое число на числитель этой дроби, оставив знаменатель без изменений.

1. Переведем смешанное число $2\frac{3}{5}$ в неправильную дробь:

$2\frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{10 + 3}{5} = \frac{13}{5}$

2. Выполним умножение:

$5 \cdot \frac{13}{5} = \frac{5 \cdot 13}{5}$

3. Сократим множитель 5 в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{5} \cdot 13}{\cancel{5}} = 13$

Ответ: 13

б) Для нахождения произведения смешанного числа и целого числа, переведем смешанное число в неправильную дробь и выполним умножение.

1. Переведем $4\frac{3}{8}$ в неправильную дробь:

$4\frac{3}{8} = \frac{4 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{32 + 3}{8} = \frac{35}{8}$

2. Выполним умножение. Целое число 16 можно представить как дробь $\frac{16}{1}$:

$\frac{35}{8} \cdot 16 = \frac{35}{8} \cdot \frac{16}{1} = \frac{35 \cdot 16}{8}$

3. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 8:

$\frac{35 \cdot \cancel{16}^2}{\cancel{8}_1} = 35 \cdot 2 = 70$

Ответ: 70

в) Переведем смешанное число $1\frac{2}{9}$ в неправильную дробь и умножим на 9.

1. Переведем $1\frac{2}{9}$ в неправильную дробь:

$1\frac{2}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 2}{9} = \frac{11}{9}$

2. Выполним умножение:

$1\frac{2}{9} \cdot 9 = \frac{11}{9} \cdot 9 = \frac{11 \cdot 9}{9}$

3. Сократим множитель 9 в числителе и знаменателе:

$\frac{11 \cdot \cancel{9}}{\cancel{9}} = 11$

Ответ: 11

г) При умножении любого числа на единицу, результатом будет само это число. Это одно из основных свойств умножения.

$1 \cdot 7\frac{8}{11} = 7\frac{8}{11}$

Ответ: $7\frac{8}{11}$

д) При умножении любого числа на ноль, результатом всегда будет ноль. Это нулевое свойство умножения.

$2\frac{2}{13} \cdot 0 = 0$

Ответ: 0

е) Аналогично предыдущему пункту, произведение любого числа и нуля равно нулю.

$0 \cdot 1\frac{6}{17} = 0$

Ответ: 0

2.278. Выполните действие:

а) 234 · 37; б) 59 · 123; в) 345 · 511; г) 319 · 37; д) 158 · 813; е) 1324 · 11113.

2.278

$\mathbf{а}\mathbf{)} 2\frac{3}{4} · \frac{3}{7}=\frac{11}{4}·\frac{3}{7} =\frac{11 · 3}{4 · 7}=\frac{33}{28}=1\frac{5}{28};$

$\mathit{б}\mathbf{)} \frac{5}{9} ·1\frac{2}{3}=\frac{5}{9} · \frac{5}{3}=\frac{5 · 5}{9 · 3}=\frac{25}{27};$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)} 3\frac{4}{5} · \frac{5}{11}=\frac{19}{5}·\frac{5}{11} =\frac{19 ·\cancel{ 5} }{\cancel{5} · 11}= \\ =\frac{19 · 1}{1 · 11}=\frac{19}{11}=1\frac{8}{11}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)} 3\frac{1}{9} · \frac{3}{7}=\frac{28}{9}·\frac{3}{7} =\frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\cancel{28}}} · {\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{3}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\bcancel{9}}} · {\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}}= \\ =\frac{4 · 1}{3 · 1}=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}; \end{gathered}$$

$\mathbf{д}\mathbf{)} 1\frac{5}{8} · \frac{8}{13}=\frac{13}{8}·\frac{8}{13} =\frac{\cancel{13} · \bcancel{8}}{\bcancel{8 }· \cancel{13}}=\frac{1 · 1}{1 · 1}=1;$

$\mathbf{е}\mathbf{)} \frac{13}{24} ·1 \frac{11}{13}=\frac{13}{24}·\frac{24}{13} =\frac{\cancel{13} · \bcancel{24}}{\bcancel{24} · \cancel{13}}=\frac{1 · 1}{1 · 1}=1.$

а) Чтобы умножить смешанное число $2\frac{3}{4}$ на дробь $\frac{3}{7}$, сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$2\frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{8 + 3}{4} = \frac{11}{4}$

Теперь выполним умножение дробей. Перемножим числители и знаменатели:

$\frac{11}{4} \cdot \frac{3}{7} = \frac{11 \cdot 3}{4 \cdot 7} = \frac{33}{28}$

Полученная дробь является неправильной, так как ее числитель больше знаменателя. Выделим целую часть:

$\frac{33}{28} = 1\frac{5}{28}$

Ответ: $1\frac{5}{28}$

б) Чтобы умножить дробь $\frac{5}{9}$ на смешанное число $1\frac{2}{3}$, преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{3+2}{3} = \frac{5}{3}$

Теперь выполним умножение дробей:

$\frac{5}{9} \cdot \frac{5}{3} = \frac{5 \cdot 5}{9 \cdot 3} = \frac{25}{27}$

Дробь является правильной и несократимой.

Ответ: $\frac{25}{27}$

в) Чтобы умножить смешанное число $3\frac{4}{5}$ на дробь $\frac{5}{11}$, преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$3\frac{4}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{15+4}{5} = \frac{19}{5}$

Выполним умножение. Можно сократить множитель 5 в числителе и знаменателе:

$\frac{19}{5} \cdot \frac{5}{11} = \frac{19 \cdot 5}{5 \cdot 11} = \frac{19}{11}$

Выделим целую часть из неправильной дроби:

$\frac{19}{11} = 1\frac{8}{11}$

Ответ: $1\frac{8}{11}$

г) Чтобы умножить смешанное число $3\frac{1}{9}$ на дробь $\frac{3}{7}$, преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$3\frac{1}{9} = \frac{3 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{27+1}{9} = \frac{28}{9}$

Выполним умножение. Перед перемножением сократим дроби: 28 и 7 на 7, а 9 и 3 на 3.

$\frac{28}{9} \cdot \frac{3}{7} = \frac{28 \div 7}{9 \div 3} \cdot \frac{3 \div 3}{7 \div 7} = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{1} = \frac{4}{3}$

Выделим целую часть из неправильной дроби:

$\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$

Ответ: $1\frac{1}{3}$

д) Чтобы умножить смешанное число $1\frac{5}{8}$ на дробь $\frac{8}{13}$, преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$1\frac{5}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 5}{8} = \frac{13}{8}$

Выполним умножение. Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе (13 и 8):

$\frac{13}{8} \cdot \frac{8}{13} = \frac{13 \cdot 8}{8 \cdot 13} = 1$

Ответ: $1$

е) Чтобы умножить дробь $\frac{13}{24}$ на смешанное число $1\frac{11}{13}$, преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$1\frac{11}{13} = \frac{1 \cdot 13 + 11}{13} = \frac{24}{13}$

Выполним умножение. Дроби являются взаимно обратными, их произведение равно единице. Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе (13 и 24):

$\frac{13}{24} \cdot \frac{24}{13} = \frac{13 \cdot 24}{24 \cdot 13} = 1$

Ответ: $1$

2.279. Выполните умножение:

а) 113 · 125; б) 249 · 3311; в) 118 · 179; г) 1421 · 415; д) 227 · 134; е) 115 · 11718.

2.279

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }1\frac{1}{3} · 1\frac{2}{5}=\frac{4}{3} · \frac{7}{5}=\frac{4 · 7}{3 · 5}= \\ =\frac{28}{15}=1\frac{13}{15}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }2\frac{4}{9} · 3\frac{3}{11}=\frac{22}{9} · \frac{36}{11}=\frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{22}}} ·{\displaystyle \stackrel{4}{\bcancel{36}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{9}}} · {\displaystyle \underset{1}{\cancel{11}}}}= \\ =\frac{2 · 4}{1 · 1}=8; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }1\frac{1}{8} · 1\frac{7}{9}=\frac{9}{8} · \frac{16}{9}=\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{9}} ·\stackrel{2}{\bcancel{16}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{8}} · \underset{1}{\cancel{9}}}}= \\ =\frac{1 · 2}{1 · 1}=2; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }1\frac{4}{21} · 4\frac{1}{5}=\frac{25}{21} · \frac{21}{5}=\frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{25}} ·\stackrel{1}{\bcancel{21}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{21}} · \underset{1}{\cancel{5}}}}= \\ =\frac{5 · 1}{1 · 1}=5; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{д}\mathbf{)}\mathbf{ }2\frac{2}{7} · 1\frac{3}{4}=\frac{16}{7} · \frac{7}{4}=\frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\cancel{16}} ·\stackrel{1}{\bcancel{7}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{7}} · \underset{1}{\cancel{4}}}}= \\ =\frac{4 · 1}{1 · 1}=4; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{е}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }1\frac{1}{5} · 1\frac{17}{18}=\frac{6}{5} · \frac{35}{18}=\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{6}} ·\stackrel{7}{\bcancel{35}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{5}} · \underset{3}{\cancel{18}}}}= \\ =\frac{1 · 7}{1 · 3}=\frac{7}{3}=2\frac{1}{3}. \end{gathered}$$

а) Чтобы выполнить умножение смешанных чисел $1\frac{1}{3} \cdot 1\frac{2}{5}$, сначала представим их в виде неправильных дробей.

Преобразуем первое число: $1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$.

Преобразуем второе число: $1\frac{2}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{7}{5}$.

Теперь выполним умножение полученных дробей:

$\frac{4}{3} \cdot \frac{7}{5} = \frac{4 \cdot 7}{3 \cdot 5} = \frac{28}{15}$.

Так как полученная дробь неправильная (числитель больше знаменателя), выделим из нее целую часть:

$\frac{28}{15} = 1\frac{13}{15}$.

Ответ: $1\frac{13}{15}$.

б) Для умножения $2\frac{4}{9} \cdot 3\frac{3}{11}$ преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

$2\frac{4}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{18+4}{9} = \frac{22}{9}$.

$3\frac{3}{11} = \frac{3 \cdot 11 + 3}{11} = \frac{33+3}{11} = \frac{36}{11}$.

Перемножим дроби и сократим общие множители:

$\frac{22}{9} \cdot \frac{36}{11} = \frac{22 \cdot 36}{9 \cdot 11} = \frac{\cancel{22}^2 \cdot \cancel{36}^4}{\cancel{9}^1 \cdot \cancel{11}^1} = \frac{2 \cdot 4}{1 \cdot 1} = 8$.

Ответ: $8$.

в) Для умножения $1\frac{1}{8} \cdot 1\frac{7}{9}$ преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

$1\frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{9}{8}$.

$1\frac{7}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{16}{9}$.

Перемножим дроби и сократим общие множители:

$\frac{9}{8} \cdot \frac{16}{9} = \frac{9 \cdot 16}{8 \cdot 9} = \frac{\cancel{9}^1 \cdot \cancel{16}^2}{\cancel{8}^1 \cdot \cancel{9}^1} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 1} = 2$.

Ответ: $2$.

г) Для умножения $1\frac{4}{21} \cdot 4\frac{1}{5}$ преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

$1\frac{4}{21} = \frac{1 \cdot 21 + 4}{21} = \frac{25}{21}$.

$4\frac{1}{5} = \frac{4 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{21}{5}$.

Перемножим дроби и сократим общие множители:

$\frac{25}{21} \cdot \frac{21}{5} = \frac{25 \cdot 21}{21 \cdot 5} = \frac{\cancel{25}^5 \cdot \cancel{21}^1}{\cancel{21}^1 \cdot \cancel{5}^1} = \frac{5 \cdot 1}{1 \cdot 1} = 5$.

Ответ: $5$.

д) Для умножения $2\frac{2}{7} \cdot 1\frac{3}{4}$ преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

$2\frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{14+2}{7} = \frac{16}{7}$.

$1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$.

Перемножим дроби и сократим общие множители:

$\frac{16}{7} \cdot \frac{7}{4} = \frac{16 \cdot 7}{7 \cdot 4} = \frac{\cancel{16}^4 \cdot \cancel{7}^1}{\cancel{7}^1 \cdot \cancel{4}^1} = \frac{4 \cdot 1}{1 \cdot 1} = 4$.

Ответ: $4$.

е) Для умножения $1\frac{1}{5} \cdot 1\frac{17}{18}$ преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

$1\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{6}{5}$.

$1\frac{17}{18} = \frac{1 \cdot 18 + 17}{18} = \frac{35}{18}$.

Перемножим дроби, сократив общие множители:

$\frac{6}{5} \cdot \frac{35}{18} = \frac{6 \cdot 35}{5 \cdot 18} = \frac{\cancel{6}^1 \cdot \cancel{35}^7}{\cancel{5}^1 \cdot \cancel{18}^3} = \frac{1 \cdot 7}{1 \cdot 3} = \frac{7}{3}$.

Преобразуем неправильную дробь $\frac{7}{3}$ в смешанное число:

$\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$.

Ответ: $2\frac{1}{3}$.

2.280. Найдите значение s по формуле пути s = vt, если:

а) v = 714 км/ч, t = 312 ч;

б) v = 225 м/мин, t = 114 мин.

2.280

s = vt

а) v = $7\frac{1}{4}$ км/ч, t = $3\frac{1}{2}$ ч

$\mathrm{s} =7\frac{1}{4} · 3\frac{1}{2}=\frac{29}{4}· \frac{7}{2}=\frac{29 · 7}{4 · 2}=\frac{203}{8}=25\frac{3}{8}$км.

б) v = $2\frac{2}{5}$ м/мин, t = $1\frac{1}{4}$ мин

$\mathrm{s} =2\frac{2}{5} · 1\frac{1}{4}=\frac{12}{5}· \frac{5}{4}=\frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\bcancel{12}}} · \cancel{5}}{\cancel{5} · \bcancel{4}}=\frac{3 · 1}{1 · 1}=3$м.

а) Для нахождения значения $s$ по формуле $s = vt$, необходимо подставить заданные значения скорости $v = 7\frac{1}{4}$ км/ч и времени $t = 3\frac{1}{2}$ ч. Для удобства вычислений преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

$v = 7\frac{1}{4} = \frac{7 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{29}{4}$ км/ч

$t = 3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$ ч

Теперь выполним умножение:

$s = \frac{29}{4} \cdot \frac{7}{2} = \frac{29 \cdot 7}{4 \cdot 2} = \frac{203}{8}$ км

Чтобы получить окончательный ответ, преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число:

$\frac{203}{8} = 25\frac{3}{8}$ км

Ответ: $25\frac{3}{8}$ км.

б) Аналогично, подставим в формулу $s = vt$ значения $v = 2\frac{2}{5}$ м/мин и $t = 1\frac{1}{4}$ мин. Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

$v = 2\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{12}{5}$ м/мин

$t = 1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$ мин

Выполним умножение. В данном случае удобно сократить дроби перед умножением:

$s = \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{12 \cdot 5}{5 \cdot 4}$

Сокращаем число 5 в числителе и знаменателе, а также 12 и 4 (делим 12 на 4):

$s = \frac{12}{4} = 3$ м

Ответ: 3 м.

2.281. Используя формулу объёма прямоугольного параллелепипеда V = abc, найдите значение V при a = 212 м, b = 125 м, с = 37 м.

2.281

a = $2\frac{1}{2}$ м; b = $1\frac{2}{5}$ м; c = $\frac{3}{7}$ м.

V - ? м³

$$\begin{gathered} V = 2\frac{1}{2} · 1\frac{2}{5}· \frac{3}{7}=\frac{5}{2}·\frac{7}{5} · \frac{3}{7}= \\ =\frac{\bcancel{5} · \cancel{7} · 3}{2 · \bcancel{5} · \cancel{7}}=\frac{1 · 1 · 3}{2 · 1 · 1}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}\left({\mathrm{м}}^3\right) \end{gathered}$$

Ответ: $1\frac{1}{2}$ м³.

Для нахождения объёма $V$ прямоугольного параллелепипеда используется формула $V = abc$, где $a$, $b$ и $c$ — его измерения.

Согласно условию задачи, имеем следующие значения:

$a = 2\frac{1}{2}$ м

$b = 1\frac{2}{5}$ м

$c = \frac{3}{7}$ м

Чтобы произвести вычисления, преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

Преобразование для $a$:

$a = 2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$ м

Преобразование для $b$:

$b = 1\frac{2}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{7}{5}$ м

Теперь подставим значения $a$, $b$ и $c$ в виде дробей в формулу объёма:

$V = a \cdot b \cdot c = \frac{5}{2} \cdot \frac{7}{5} \cdot \frac{3}{7}$

Выполним умножение дробей, перемножив их числители и знаменатели:

$V = \frac{5 \cdot 7 \cdot 3}{2 \cdot 5 \cdot 7}$

Сократим общие множители в числителе и знаменателе. Множитель 5 и множитель 7 присутствуют и вверху, и внизу, поэтому их можно сократить:

$V = \frac{3}{2}$

Представим результат в виде смешанного числа. Единица измерения объёма — кубические метры (м³).

$V = 1\frac{1}{2}$ м³

Ответ: $V = 1\frac{1}{2}$ м³.

Вопросы:

Что такое числовой коэффициент выражения?

Сколько коэффициентов может быть в выражении?

Какой коэффициент в выражениях cm и -cm?

38. Коэффициент

Вопросы к параграфу

• Числовой множитель в выражении, которое является произведением числа и одной или нескольких букв, называют числовым коэффициентом.

• В выражении может быть только один коэффициент.

• В выражении cm коэффициент равен 1; в выражении -cm коэффициент равен -1

Что такое числовой коэффициент выражения?

Числовой коэффициент (или просто коэффициент) — это числовой множитель в выражении, которое содержит как числа, так и буквы (переменные). Если выражение представляет собой произведение числа и одной или нескольких букв, то это число и называют числовым коэффициентом. Обычно он записывается перед буквенной частью. Например, в выражении $5ab$ число $5$ является коэффициентом. В выражении $-0.7x$ коэффициентом является число $-0.7$. Коэффициент показывает, во сколько раз нужно умножить значение буквенной части.

Ответ: Числовой коэффициент – это числовой множитель в произведении, стоящий перед буквенной частью выражения.

Сколько коэффициентов может быть в выражении?

Количество коэффициентов в выражении зависит от количества слагаемых (членов) в нем. Если выражение является одночленом (произведением чисел и переменных), то после приведения его к стандартному виду у него будет только один числовой коэффициент. Например, выражение $2a \cdot 5b$ после упрощения станет $10ab$, где коэффициент один — это $10$. Если же выражение является многочленом (суммой или разностью нескольких одночленов), то у каждого члена этого многочлена есть свой коэффициент. Например, в выражении $4x^2 - 9y + z$ три слагаемых, и у них три коэффициента: $4$, $-9$ и $1$. Таким образом, в выражении может быть от одного до любого конечного числа коэффициентов.

Ответ: В выражении может быть столько коэффициентов, сколько в нем слагаемых (членов).

Какой коэффициент в выражениях cm и -cm?

Для определения коэффициента в данных выражениях нужно учесть случаи, когда числовой множитель не записан явно.
В выражении $cm$ числовой множитель не указан. В таких случаях принято считать, что он равен $1$, так как умножение на единицу не изменяет значение выражения: $cm = 1 \cdot cm$. Следовательно, коэффициент выражения $cm$ равен $1$.
В выражении $-cm$ перед буквенной частью стоит знак минус. Это означает умножение на $-1$: $-cm = -1 \cdot cm$. Следовательно, коэффициент выражения $-cm$ равен $-1$.

Ответ: В выражении $cm$ коэффициент равен $1$, а в выражении $-cm$ коэффициент равен $-1$.

5.33. Назовите коэффициент выражения:

а) 9m · 5; б) –3 · (–23х); в) 5с · (–9); г) –2а · 14; д) –а · с; е) –х · (–z).

5.33

а) 9m ∙ 5 = 45m; коэффициент: 45;

б) -3 ∙ (-23x) = 69х; коэффициент: 69;

в) 5с ∙ (-9) = – 45; коэффициент: -45;

г) -2а ∙ 14= –28; коэффициент: -28;

д) –ас; коэффициент: -1;

е) -х ∙ (-z) = хz; коэффициент: 1.

а) Чтобы найти коэффициент выражения $9m \cdot 5$, необходимо упростить его, перемножив числовые множители. Числовые множители здесь — это 9 и 5.

Выполним умножение: $9 \cdot 5 = 45$.

После упрощения выражение принимает вид $45m$. Коэффициент — это числовой множитель при буквенной части, то есть 45.

Ответ: 45.

б) В выражении $-3 \cdot (-23x)$ нужно перемножить числовые множители -3 и -23.

Произведение двух отрицательных чисел положительно: $(-3) \cdot (-23) = 69$.

Таким образом, выражение равно $69x$. Коэффициент этого выражения равен 69.

Ответ: 69.

в) Для выражения $5c \cdot (-9)$ перемножим числовые множители 5 и -9.

Вычислим произведение: $5 \cdot (-9) = -45$.

Упрощенное выражение имеет вид $-45c$. Коэффициент равен -45.

Ответ: -45.

г) В выражении $-2a \cdot 14$ числовыми множителями являются -2 и 14.

Перемножим их: $-2 \cdot 14 = -28$.

Выражение можно записать как $-28a$. Коэффициентом является число -28.

Ответ: -28.

д) Выражение $-a \cdot c$ можно представить в виде $-1 \cdot a \cdot c$.

В этом случае числовой множитель, стоящий перед буквенной частью $ac$, равен -1. Этот множитель и является коэффициентом.

Ответ: -1.

е) Рассмотрим выражение $-x \cdot (-z)$. Его можно записать, выделив числовые множители: $(-1 \cdot x) \cdot (-1 \cdot z)$.

Используя переместительное свойство умножения, перегруппируем множители: $(-1) \cdot (-1) \cdot x \cdot z$.

Произведение числовых множителей равно: $(-1) \cdot (-1) = 1$.

Таким образом, выражение упрощается до $1 \cdot xz$, или просто $xz$. Если коэффициент равен 1, его принято не записывать, но он подразумевается.

Ответ: 1.

5.34. Упростите выражение и подчеркните его коэффициент:

а) –21 · х · (–4); б) –7,9 · 10 · у; в) 8 · (–2,5) · n; г) а · (–0,5) · 4,4; д) –4,1 · х · (–4); е) 811 · n · (–22); ж) 79 · x · (–127); з) –156 · m · 611; и) 0,16 · t · (38).

5.34

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }-21 · x · (-4)= \underline{84}х \\ \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }-7,9 · 10 · y=-\underline{ 79}у \\ \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ } 8 · (-25) · n=\underline{-200}n; \\ \mathit{г}\mathbf{)} a· (-0,5) · 4,4=\underline{-2,2}а; \\ \mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }-4,1 · x · (-4)= \underline{16,4}х \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{8}{11} · n · (-22) = \frac{8}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{11}}}} · \left(-\stackrel{2}{\cancel{22}}\right) · n = \\ = \frac{8}{1} · \left(-2\right) · n = \underline{-16}n \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{ж}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{7}{9} · х · \left(-1\frac{2}{7}\right) = \frac{7}{9} · \left(-1\frac{2}{7}\right) · х = \\ = \frac{\bcancel{7}}{\cancel{9}} · \left(-\frac{\cancel{7}}{\bcancel{9}}\right) · х = \underline{-1}х \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{з}\mathbf{)}\mathbf{ }-1\frac{5}{6} · m · \frac{6}{11} = -1\frac{5}{6} · \frac{6}{11} · m = \\ = - \frac{\bcancel{11}}{\cancel{6}} · \frac{\cancel{6}}{\bcancel{11}} · m =-\frac{1}{1} · \frac{1}{1} · m = \\ = \underline{-1}m \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{и}\mathbf{)} 0,16 · t · \frac{3}{8}=\stackrel{0,02}{\cancel{0,16} }· \frac{3}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{8}}}} · t= \\ = 0,02 · \frac{3}{1} · t= \underline{0,06}t. \end{gathered}$$

а) $-21 \cdot x \cdot (-4)$
Чтобы упростить выражение, необходимо перемножить числовые множители (коэффициенты). В данном случае это -21 и -4.
Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом: $(-21) \cdot (-4) = 84$.
Таким образом, упрощенное выражение имеет вид $84x$. Коэффициентом является числовой множитель при переменной.
Ответ: 84$x$.

б) $-7,9 \cdot 10 \cdot y$
Перемножим числовые множители -7,9 и 10.
$-7,9 \cdot 10 = -79$.
Упрощенное выражение: $-79y$. Коэффициентом является число -79.
Ответ: -79$y$.

в) $8 \cdot (-2,5) \cdot n$
Перемножим числовые множители 8 и -2,5.
$8 \cdot (-2,5) = -20$.
Упрощенное выражение: $-20n$. Коэффициент равен -20.
Ответ: -20$n$.

г) $a \cdot (-0,5) \cdot 4,4$
Перемножим числовые множители -0,5 и 4,4.
$(-0,5) \cdot 4,4 = -2,2$.
Принято записывать коэффициент перед буквенной частью, поэтому упрощенное выражение выглядит так: $-2,2a$. Коэффициент равен -2,2.
Ответ: -2,2$a$.

д) $-4,1 \cdot x \cdot (-4)$
Перемножим числовые множители -4,1 и -4.
$(-4,1) \cdot (-4) = 16,4$.
Упрощенное выражение: $16,4x$. Коэффициент равен 16,4.
Ответ: 16,4$x$.

е) $\frac{8}{11} \cdot n \cdot (-22)$
Перемножим числовые множители $\frac{8}{11}$ и -22.
$\frac{8}{11} \cdot (-22) = \frac{8 \cdot (-22)}{11} = 8 \cdot (-2) = -16$.
Упрощенное выражение: $-16n$. Коэффициент равен -16.
Ответ: -16$n$.

ж) $\frac{7}{9} \cdot x \cdot (-1\frac{2}{7})$
Для упрощения сначала преобразуем смешанное число $-1\frac{2}{7}$ в неправильную дробь: $-1\frac{2}{7} = -\frac{1 \cdot 7 + 2}{7} = -\frac{9}{7}$.
Теперь перемножим числовые коэффициенты: $\frac{7}{9} \cdot (-\frac{9}{7}) = -\frac{7 \cdot 9}{9 \cdot 7} = -1$.
Упрощенное выражение: $-1x$ или просто $-x$. Коэффициентом является число -1.
Ответ: -1$x$.

з) $-1\frac{5}{6} \cdot m \cdot \frac{6}{11}$
Преобразуем смешанное число $-1\frac{5}{6}$ в неправильную дробь: $-1\frac{5}{6} = -\frac{1 \cdot 6 + 5}{6} = -\frac{11}{6}$.
Перемножим числовые коэффициенты: $-\frac{11}{6} \cdot \frac{6}{11} = -\frac{11 \cdot 6}{6 \cdot 11} = -1$.
Упрощенное выражение: $-1m$ или $-m$. Коэффициент равен -1.
Ответ: -1$m$.

и) $0,16 \cdot t \cdot \frac{3}{8}$
Перемножим числовые коэффициенты $0,16$ и $\frac{3}{8}$. Для удобства вычислений представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,16 = \frac{16}{100} = \frac{4}{25}$.
Теперь выполним умножение дробей: $\frac{4}{25} \cdot \frac{3}{8} = \frac{4 \cdot 3}{25 \cdot 8} = \frac{1 \cdot 3}{25 \cdot 2} = \frac{3}{50}$.
Результат можно представить в виде десятичной дроби: $\frac{3}{50} = \frac{6}{100} = 0,06$.
Упрощенное выражение: $0,06t$. Коэффициент равен 0,06.
Ответ: 0,06$t$.

5.35. Упростите выражение и подчеркните его коэффициент:

а) –3р · (–2,3); б) –4,3m · (–2); в) –0,23х · (–3m); г) –17,9аb · (–1).

5.35

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} -3p · (-2,3) = \underline{6,9}p \\ \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }-4,3m · (-2) = \underline{8,6}m \\ \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }-0,23x · (-3m) = \underline{0,69}mx \\ \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }-17,9ab · (-1) =\underline{ 17,9}ab \end{gathered}$$

Для упрощения каждого выражения необходимо перемножить их числовые коэффициенты. Буквенные множители остаются без изменений. Коэффициент — это числовой множитель в выражении.

Упростим выражение $-3p \cdot (-2,3)$. Для этого перемножим числовые коэффициенты $-3$ и $-2,3$. Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом.

$-3 \cdot (-2,3) = 6,9$

Таким образом, упрощенное выражение имеет вид $6,9p$. Коэффициент этого выражения равен $6,9$.

Ответ: $6,9$$p$

Упростим выражение $-4,3m \cdot (-2)$. Перемножим коэффициенты $-4,3$ и $-2$.

$-4,3 \cdot (-2) = 8,6$

В результате получаем выражение $8,6m$, где коэффициент равен $8,6$.

Ответ: $8,6$$m$

Упростим выражение $-0,23x \cdot (-3m)$. В этом случае нужно перемножить и числовые коэффициенты, и буквенные множители.

Произведение числовых коэффициентов: $-0,23 \cdot (-3) = 0,69$.

Произведение буквенных множителей: $x \cdot m = xm$.

Соединив результаты, получаем $0,69xm$. Коэффициент выражения равен $0,69$.

Ответ: $0,69$$xm$

Упростим выражение $-17,9ab \cdot (-1)$. Умножим коэффициент $-17,9$ на $-1$. Умножение на $-1$ меняет знак числа на противоположный.

$-17,9 \cdot (-1) = 17,9$

Буквенная часть $ab$ остается прежней. Упрощенное выражение: $17,9ab$. Коэффициент равен $17,9$.

Ответ: $17,9$$ab$

5.36. Найдите коэффициент выражения:

а) 4418s · (– 911n); б) – 125a · (–137); в) 25z · (–56x) · (–56); г) –137 · (–n) · (–213).

5.36

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} \frac{44}{18}s · \left(\frac{-9}{11}n\right) = -\frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\bcancel{44}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{18}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{9}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{11}}}} · s · n = \\ =-\frac{4}{2} · \frac{1}{1} · s · n =-\frac{4}{2}sn = -2sn, \end{gathered}$$

коэффициент: -2

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }-1\frac{2}{5}а · \left(-1\frac{3}{7}\right) = -\frac{7}{5}а · \left(-\frac{10}{7}\right) = \\ = \frac{\cancel{7}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{5}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\bcancel{10}}}}{\cancel{7}} · а = \frac{1}{1} · \frac{2}{1} · а = 2а, \end{gathered}$$

коэффициент: 2

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} \frac{2}{5}z · \left(\frac{-5}{6}x\right) · \left(\frac{-5}{6}\right) = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{2}}}}{\cancel{5}} · \frac{\cancel{5}}{{\displaystyle \underset{3}{\bcancel{6}}}} · \frac{5}{6} · x · z = \\ = \frac{1}{1} · \frac{1}{3} · \frac{5}{6} · x · z = \frac{5}{18}x z, \end{gathered}$$

коэффициент: $\frac{5}{18}$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }-1\frac{3}{7} · \left(-n\right) · \left(-2\frac{1}{3}\right) = -\frac{10}{\cancel{7}} · \left(-\frac{\cancel{7}}{3}\right) · \left(-n\right)= \\ = -\frac{10}{1} · \left(-\frac{1}{3}\right) · \left(-n\right) = -\frac{10}{3}n = -3\frac{1}{3}n, \end{gathered}$$

коэффициент: $-3\frac{1}{3}.$

а) Чтобы найти коэффициент выражения $\frac{44}{18}s \cdot \left(-\frac{9}{11}n\right)$, необходимо перемножить числовые множители $\frac{44}{18}$ и $-\frac{9}{11}$. Буквенные множители $s$ и $n$ остаются.

Выполним умножение числовых коэффициентов:

$\frac{44}{18} \cdot \left(-\frac{9}{11}\right) = -\frac{44 \cdot 9}{18 \cdot 11}$

Сократим полученную дробь. Мы можем сократить 44 и 11 на 11, а 18 и 9 на 9:

$-\frac{44 \cdot 9}{18 \cdot 11} = -\frac{4 \cdot 1}{2 \cdot 1} = -\frac{4}{2} = -2$

Таким образом, исходное выражение равно $-2sn$.

Ответ: -2

б) Чтобы найти коэффициент выражения $-1\frac{2}{5}a \cdot \left(-1\frac{3}{7}\right)$, нужно перемножить числовые множители $-1\frac{2}{5}$ и $-1\frac{3}{7}$.

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$-1\frac{2}{5} = -\frac{1 \cdot 5 + 2}{5} = -\frac{7}{5}$

$-1\frac{3}{7} = -\frac{1 \cdot 7 + 3}{7} = -\frac{10}{7}$

Теперь перемножим полученные дроби. Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом.

$\left(-\frac{7}{5}\right) \cdot \left(-\frac{10}{7}\right) = \frac{7 \cdot 10}{5 \cdot 7}$

Сократим дробь: 7 в числителе и знаменателе сокращаются, а 10 и 5 сокращаются на 5.

$\frac{1 \cdot (2 \cdot 5)}{5 \cdot 1} = \frac{2}{1} = 2$

Таким образом, исходное выражение равно $2a$.

Ответ: 2

в) Чтобы найти коэффициент выражения $\frac{2}{5}z \cdot \left(-\frac{5}{6}x\right) \cdot \left(-\frac{5}{6}\right)$, необходимо перемножить все числовые множители: $\frac{2}{5}$, $-\frac{5}{6}$ и $-\frac{5}{6}$.

Выполним умножение:

$\frac{2}{5} \cdot \left(-\frac{5}{6}\right) \cdot \left(-\frac{5}{6}\right)$

Произведение двух отрицательных чисел положительно, поэтому итоговый знак будет "+".

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{2 \cdot 5 \cdot 5}{5 \cdot 6 \cdot 6}$

Сократим дробь: 5 в числителе и знаменателе сокращаются, а 2 и 6 сокращаются на 2.

$\frac{1 \cdot 1 \cdot 5}{1 \cdot 3 \cdot 6} = \frac{5}{18}$

Таким образом, исходное выражение равно $\frac{5}{18}zx$.

Ответ: $\frac{5}{18}$

г) Чтобы найти коэффициент выражения $-1\frac{3}{7} \cdot (-n) \cdot \left(-2\frac{1}{3}\right)$, нужно перемножить все числовые множители.

Обратим внимание, что $-n$ можно представить как $-1 \cdot n$. Таким образом, числовыми множителями являются $-1\frac{3}{7}$, $-1$ и $-2\frac{1}{3}$.

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$-1\frac{3}{7} = -\frac{1 \cdot 7 + 3}{7} = -\frac{10}{7}$

$-2\frac{1}{3} = -\frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{7}{3}$

Теперь перемножим все три множителя. Произведение трех отрицательных чисел является отрицательным числом.

$\left(-\frac{10}{7}\right) \cdot (-1) \cdot \left(-\frac{7}{3}\right) = -\left(\frac{10}{7} \cdot 1 \cdot \frac{7}{3}\right) = -\frac{10 \cdot 7}{7 \cdot 3}$

Сократим дробь на 7:

$-\frac{10}{3}$

Представим неправильную дробь в виде смешанного числа:

$-\frac{10}{3} = -3\frac{1}{3}$

Таким образом, исходное выражение равно $-3\frac{1}{3}n$.

Ответ: $-3\frac{1}{3}$

5.37. Какой знак у коэффициента выражения:
а) a · (–b) · (–c) · d;
б) –4a · (–3b) · (–2c) · (–5);
в) –4a · 5b · (–0,4c);
г) –17m · 0,4n · (–5z) · (–134)?

5.37

а) +

б) +

в) +

г) –

а) Чтобы определить знак коэффициента выражения $a \cdot (-b) \cdot (-c) \cdot d$, необходимо найти произведение числовых коэффициентов каждого из множителей. Коэффициенты множителей: $1$ (у $a$), $-1$ (у $-b$), $-1$ (у $-c$) и $1$ (у $d$). Произведение коэффициентов равно $1 \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot 1$. В данном произведении два отрицательных множителя. Поскольку количество отрицательных множителей чётное, результат произведения будет положительным. Расчет: $1 \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot 1 = 1$. Таким образом, коэффициент выражения положителен.
Ответ: положительный.

б) В выражении $-4a \cdot (-3b) \cdot (-2c) \cdot (-5)$ необходимо найти произведение числовых коэффициентов: $-4$, $-3$, $-2$ и $-5$. В этом произведении четыре отрицательных множителя. Поскольку количество отрицательных множителей чётное, результат произведения будет положительным. Расчет: $(-4) \cdot (-3) \cdot (-2) \cdot (-5) = 12 \cdot 10 = 120$. Коэффициент выражения положителен.
Ответ: положительный.

в) В выражении $-4a \cdot 5b \cdot (-0,4c)$ необходимо найти произведение числовых коэффициентов: $-4$, $5$ и $-0,4$. В этом произведении два отрицательных множителя ($-4$ и $-0,4$). Поскольку количество отрицательных множителей чётное, результат произведения будет положительным. Расчет: $(-4) \cdot 5 \cdot (-0,4) = -20 \cdot (-0,4) = 8$. Коэффициент выражения положителен.
Ответ: положительный.

г) В выражении $\frac{-1}{7}m \cdot 0,4n \cdot (-5z) \cdot (-1\frac{3}{4})$ необходимо найти произведение числовых коэффициентов: $-\frac{1}{7}$, $0,4$, $-5$ и $-1\frac{3}{4}$. В этом произведении три отрицательных множителя. Поскольку количество отрицательных множителей нечётное, результат произведения будет отрицательным. Проверим вычислением, преобразовав десятичную дробь и смешанное число в обыкновенные дроби: $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ и $-1\frac{3}{4} = -\frac{7}{4}$. Расчет: $(-\frac{1}{7}) \cdot \frac{2}{5} \cdot (-5) \cdot (-\frac{7}{4}) = -(\frac{1 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7}{7 \cdot 5 \cdot 4}) = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$. Коэффициент выражения отрицателен.
Ответ: отрицательный.

5.38. Упростите выражение и подчеркните его коэффициент:

а) –2а · (–7с); б) Зb · (–9k); в) –7x · (–0,8y); г) 5 · (–n) · (4m); д) –0,5 · (–4k) · (0,Зр); е) –0,6 · 5c · (–20); ж) 27z · (–14с) · (– 34); з) (–114х) · (–0,5) · (–16z); и) 59x · (–25y) · 34.

5.38

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }-2а · (-7с) = (-2) · (-7) · a · c = \underline{14}ас$

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }3b · (-9k) = 3 · (-9) · b · k = \underline{-27}bk$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} -7x · (-0,8y) = -7 · (-0,8) · x · y = \\ = \underline{5,6}xy \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} 5 · (-n) · (4m) = 5 · 4 · (-1) · n · m = \\ = \underline{-20}mn \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }-0,5 · (-4k) · (0,3p) = -0,5 · (-4) · 0,3 \times \\ \times p · k = \underline{0,6}pk \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }-0,6 · 5c · (-20) = -0,6 · 5 · (-20) · c = \\ = \underline{60}c \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{ж}\mathbf{)} \frac{2}{7}z · \left(-14c\right) · \left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{\sout{2}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}} · \left(-\stackrel{\stackrel{1}{\bcancel{2}}}{\cancel{14}}\right) · \left(-\frac{3}{{\displaystyle \underset{\sout{2}}{\bcancel{4}}}}\right) \times \\ \times z · c= \frac{1}{1} · \left(-1\right) · \left(-\frac{3}{1}\right) · z · c =\underline{ 3}cz \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{з}\mathbf{)} \left(-1\frac{1}{4}х\right) · \left(-0,5\right) · \left(-16z\right) = -\frac{5}{4} · \left(-0,5\right) \times \\ \times \left(-16\right) · x · z = -\frac{5}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}} · \stackrel{2}{\cancel{8}} · x · z = -\frac{5}{1} · 2 · x · z = \\ = \underline{-10}xz \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{и}\mathbf{)} \frac{5}{9}х · \left(\frac{-2}{5}у\right) · \frac{3}{4} = \frac{\cancel{5}}{{\displaystyle \underset{3}{\sout{9}}}} · \left(\frac{-{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{2}}}}{\cancel{5}}\right) · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\sout{3}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{4}}}} \times \\ \times х · у = \frac{1}{3} · \left(-\frac{1}{1}\right) · \frac{1}{2} · х · у = \underline{-\frac{1}{6}}ху \end{gathered}$$

а) Чтобы упростить выражение $-2a \cdot (-7c)$, необходимо перемножить числовые коэффициенты и переменные. Произведение коэффициентов: $(-2) \cdot (-7) = 14$. Произведение переменных: $a \cdot c = ac$. Таким образом, получаем выражение $14ac$. Коэффициентом является числовой множитель, то есть 14.
Ответ: 14ac

б) Упростим выражение $3b \cdot (-9k)$. Перемножим коэффициенты: $3 \cdot (-9) = -27$. Перемножим переменные: $b \cdot k = bk$. В результате получаем выражение $-27bk$. Коэффициентом является число -27.
Ответ: -27bk

в) Упростим выражение $-7x \cdot (-0,8y)$. Произведение коэффициентов равно $(-7) \cdot (-0,8) = 5,6$. Произведение переменных: $x \cdot y = xy$. Получаем выражение $5,6xy$. Коэффициент в данном выражении — 5,6.
Ответ: 5,6xy

г) Упростим выражение $5 \cdot (-n) \cdot (4m)$. Выражение $-n$ можно записать как $-1 \cdot n$. Перемножим все коэффициенты: $5 \cdot (-1) \cdot 4 = -20$. Перемножим переменные, располагая их в алфавитном порядке: $m \cdot n = mn$. В итоге получаем $-20mn$. Коэффициент равен -20.
Ответ: -20mn

д) Упростим выражение $-0,5 \cdot (-4k) \cdot (0,3p)$. Сначала перемножим числовые коэффициенты: $(-0,5) \cdot (-4) \cdot (0,3) = 2 \cdot 0,3 = 0,6$. Затем перемножим переменные: $k \cdot p = kp$. В результате получаем $0,6kp$. Коэффициент равен 0,6.
Ответ: 0,6kp

е) Упростим выражение $-0,6 \cdot 5c \cdot (-20)$. Перемножим числовые множители: $(-0,6) \cdot 5 \cdot (-20) = (-3) \cdot (-20) = 60$. Буквенная часть остается $c$. В итоге получаем $60c$. Коэффициент равен 60.
Ответ: 60c

ж) Упростим выражение $\frac{2}{7}z \cdot (-14c) \cdot (-\frac{3}{4})$. Перемножим коэффициенты: $\frac{2}{7} \cdot (-14) \cdot (-\frac{3}{4}) = \frac{2}{7} \cdot \frac{14}{1} \cdot \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 14 \cdot 3}{7 \cdot 4} = \frac{84}{28} = 3$. Перемножим переменные: $z \cdot c = cz$. В результате получаем $3cz$. Коэффициент равен 3.
Ответ: 3cz

з) Упростим выражение $(-1\frac{1}{4}x) \cdot (-0,5) \cdot (-16z)$. Сначала преобразуем смешанное число и десятичную дробь в обыкновенные: $-1\frac{1}{4} = -\frac{5}{4}$ и $-0,5 = -\frac{1}{2}$. Теперь перемножим коэффициенты: $(-\frac{5}{4}) \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot (-16) = -(\frac{5 \cdot 1 \cdot 16}{4 \cdot 2}) = -(\frac{80}{8}) = -10$. Перемножим переменные: $x \cdot z = xz$. Получаем выражение $-10xz$. Коэффициент равен -10.
Ответ: -10xz

и) Упростим выражение $\frac{5}{9}x \cdot (-\frac{2}{5}y) \cdot \frac{3}{4}$. Перемножим числовые коэффициенты: $\frac{5}{9} \cdot (-\frac{2}{5}) \cdot \frac{3}{4} = -(\frac{5 \cdot 2 \cdot 3}{9 \cdot 5 \cdot 4}) = -(\frac{30}{180}) = -\frac{1}{6}$. Перемножим переменные: $x \cdot y = xy$. В результате получаем $-\frac{1}{6}xy$. Коэффициент равен $-\frac{1}{6}$.
Ответ: $-\frac{1}{6}$xy