Страница 85, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.300. Решите уравнение:

а) t – 4712 = 258; б) 1549 – z = 10512.

2.300

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} t - 4\frac{7}{12}=2\frac{5}{8}; \\ t ={2\frac{5}{8}}^{\overline{)·3}}+{4\frac{7}{12}}^{\overline{)·2}}; \\ t = 2\frac{15}{24}+ 4\frac{14}{24}; \\ t = 6\frac{29}{24}; \\ t = 7\frac{5}{24}. \\ \mathrm{Ответ}: 7\frac{5}{24}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 15\frac{4}{9} - z = 10\frac{5}{12}; \\ z = {15\frac{4}{9}}^{\overline{)·4}} - {10\frac{5}{12}}^{\overline{)·3}}; \\ z=15\frac{16}{36} - 10 \frac{15}{36}; \\ z = 5\frac{1}{36}. \\ \mathrm{Ответ}: 5 \frac{1}{36}. \end{gathered}$$

а) $t - 4\frac{7}{12} = 2\frac{5}{8}$

В данном уравнении переменная $t$ является уменьшаемым. Чтобы найти уменьшаемое, необходимо к разности прибавить вычитаемое.

$t = 2\frac{5}{8} + 4\frac{7}{12}$

Для сложения смешанных чисел сложим их целые и дробные части по отдельности.

Сумма целых частей: $2 + 4 = 6$.

Сумма дробных частей: $\frac{5}{8} + \frac{7}{12}$.

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 8 и 12 равен 24.

$\frac{5}{8} = \frac{5 \times 3}{8 \times 3} = \frac{15}{24}$

$\frac{7}{12} = \frac{7 \times 2}{12 \times 2} = \frac{14}{24}$

Сложим полученные дроби: $\frac{15}{24} + \frac{14}{24} = \frac{15 + 14}{24} = \frac{29}{24}$.

Дробь $\frac{29}{24}$ — неправильная. Преобразуем ее в смешанное число: $\frac{29}{24} = 1\frac{5}{24}$.

Теперь сложим результат сложения целых частей и сумму дробных частей:

$t = 6 + 1\frac{5}{24} = 7\frac{5}{24}$

Ответ: $7\frac{5}{24}$.

б) $15\frac{4}{9} - z = 10\frac{5}{12}$

В данном уравнении переменная $z$ является вычитаемым. Чтобы найти вычитаемое, необходимо из уменьшаемого вычесть разность.

$z = 15\frac{4}{9} - 10\frac{5}{12}$

Для вычитания смешанных чисел вычтем их целые и дробные части по отдельности.

Разность целых частей: $15 - 10 = 5$.

Разность дробных частей: $\frac{4}{9} - \frac{5}{12}$.

Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 9 и 12 равен 36.

$\frac{4}{9} = \frac{4 \times 4}{9 \times 4} = \frac{16}{36}$

$\frac{5}{12} = \frac{5 \times 3}{12 \times 3} = \frac{15}{36}$

Выполним вычитание дробей: $\frac{16}{36} - \frac{15}{36} = \frac{16 - 15}{36} = \frac{1}{36}$.

Теперь объединим результаты, полученные для целых и дробных частей:

$z = 5 + \frac{1}{36} = 5\frac{1}{36}$

Ответ: $5\frac{1}{36}$.

2.301. Упростите выражение:

а) 2.8x + 3.6y + 1.7x + 5.9y;

б) 6.4m + 1.7n + 2.8m + 3.4n.

2.301

а) 2,8х + 3,6у + 1,7х + 5,9у = (2,8х + 1,7х) + (3,6у + 5,9у) = 4,5х + 9,5у ;

б) 6,4m + 1,7n + 2,8m + 3,4n = (6,4m + 2,8m) + (1,7n + 3,4n) = 9,2m +5,1n.

1) Для того чтобы упростить выражение $2,8x + 3,6y + 1,7x + 5,9y$, необходимо найти и сложить подобные слагаемые. Подобными называются слагаемые, у которых одинаковая буквенная часть. В данном выражении это $2,8x$ и $1,7x$, а также $3,6y$ и $5,9y$.
Сгруппируем подобные слагаемые вместе:
$2,8x + 3,6y + 1,7x + 5,9y = (2,8x + 1,7x) + (3,6y + 5,9y)$
Теперь, используя распределительное свойство умножения, вынесем общую переменную за скобки и сложим числовые коэффициенты:
$(2,8 + 1,7)x + (3,6 + 5,9)y$
Выполним сложение чисел в скобках:
$2,8 + 1,7 = 4,5$
$3,6 + 5,9 = 9,5$
В результате получаем упрощенное выражение:
$4,5x + 9,5y$
Ответ: $4,5x + 9,5y$

2) Чтобы упростить выражение $6,4m + 1,7n + 2,8m + 3,4n$, мы также приводим подобные слагаемые. Подобными слагаемыми здесь являются $6,4m$ и $2,8m$ (с переменной $m$), а также $1,7n$ и $3,4n$ (с переменной $n$).
Сгруппируем их:
$6,4m + 1,7n + 2,8m + 3,4n = (6,4m + 2,8m) + (1,7n + 3,4n)$
Вынесем общие переменные за скобки и сложим их коэффициенты:
$(6,4 + 2,8)m + (1,7 + 3,4)n$
Произведем вычисления в скобках:
$6,4 + 2,8 = 9,2$
$1,7 + 3,4 = 5,1$
Таким образом, итоговое упрощенное выражение выглядит так:
$9,2m + 5,1n$
Ответ: $9,2m + 5,1n$

2.302. Найдите произведение:

а) 1417 · 3463; б) 358 · 167; в) 51103 · 103119; г) 415 · 3049 · 78; д) 24 · 1148; е) 6 · 356; ж) 3514 · 7; з) 5445 · 9 · 15.

2.302

$\mathit{а}\mathbf{)} \frac{14}{17} · \frac{34}{63}=\frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\bcancel{14}}} · {\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{34}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{17}}} · {\displaystyle \underset{9}{\bcancel{63}}}}=\frac{2 · 2}{1 · 9}=\frac{4}{9};$

$\mathit{б}\mathbf{)} \frac{35}{8} · \frac{16}{7}=\frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\bcancel{35}} · \stackrel{2}{\cancel{16}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{8}} · \underset{1}{\bcancel{7}}}}=\frac{5 · 2}{1 · 1}=10;$

$\mathit{в}\mathbf{)} \frac{51}{103} · \frac{103}{119}=\frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\bcancel{51}} · \stackrel{1}{\cancel{103}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{103}} · \underset{7}{\bcancel{119}}}}=\frac{3 · 1}{1 · 7}=\frac{3}{7};$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} \frac{4}{15} · \frac{30}{49} · \frac{7}{8}=\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{4}} · \stackrel{2}{\cancel{30}} · \stackrel{1}{\sout{7}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{15}} · \underset{7}{\sout{49 }}· \underset{2}{\bcancel{8}}}}= \\ =\frac{1 · 2 · 1}{1 · 7 · 2}=\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{2}}}}{{\displaystyle \underset{7}{\cancel{14}}}}=\frac{1}{7}; \end{gathered}$$

$\mathbf{д}\mathbf{)} 24 · \frac{11}{48}=\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{24}}}· 11}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{48}}}}=\frac{1 · 11}{2}=\frac{11}{2}=5\frac{1}{2};$

$$\begin{gathered} \mathbf{е}\mathbf{)} 6 · 3\frac{5}{6}=6 · \frac{23}{6}=\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{6}}· 23}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{6}}}}= \\ =\frac{1 · 23}{1}=23; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{ж}\mathbf{)}\mathbf{ } 3\frac{5}{14} · 7=\frac{47}{14} · 7=\frac{{\displaystyle 47 · \stackrel{1}{\cancel{7}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{14}}}}=\frac{47 · 1}{2}= \\ =\frac{47}{2}=23\frac{1}{2}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{з}\mathbf{)}\mathbf{ }5\frac{4}{45} · 9 · 15 = \frac{229}{45}· 9 · 15 = \\ =\frac{229 · {\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{9}}} · 15}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{45}}}}=\frac{229 · {\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{15}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}}=\frac{229 · 3}{1}=687 \end{gathered}$$

а) Чтобы найти произведение дробей, нужно перемножить их числители и знаменатели. Перед вычислением произведения, сократим дроби, чтобы упростить расчеты.

$ \frac{14}{17} \cdot \frac{34}{63} = \frac{14 \cdot 34}{17 \cdot 63} $

Заметим, что 14 и 63 делятся на 7, а 34 и 17 делятся на 17.

$ \frac{14 \cdot 34}{17 \cdot 63} = \frac{(14:7) \cdot (34:17)}{(17:17) \cdot (63:7)} = \frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 9} = \frac{4}{9} $

Ответ: $ \frac{4}{9} $.

б) Перемножаем числители и знаменатели, а затем сокращаем.

$ \frac{35}{8} \cdot \frac{16}{7} = \frac{35 \cdot 16}{8 \cdot 7} $

Сокращаем 35 и 7 на 7, а 16 и 8 на 8.

$ \frac{(35:7) \cdot (16:8)}{(8:8) \cdot (7:7)} = \frac{5 \cdot 2}{1 \cdot 1} = 10 $

Ответ: $ 10 $.

в) Перемножаем дроби и сокращаем общие множители.

$ \frac{51}{103} \cdot \frac{103}{119} = \frac{51 \cdot 103}{103 \cdot 119} $

Сокращаем 103 в числителе и знаменателе.

$ \frac{51}{119} $

Теперь разложим 51 и 119 на простые множители: $ 51 = 3 \cdot 17 $ и $ 119 = 7 \cdot 17 $. Сокращаем на 17.

$ \frac{3 \cdot 17}{7 \cdot 17} = \frac{3}{7} $

Ответ: $ \frac{3}{7} $.

г) Чтобы найти произведение трех дробей, перемножаем все числители и все знаменатели.

$ \frac{4}{15} \cdot \frac{30}{49} \cdot \frac{7}{8} = \frac{4 \cdot 30 \cdot 7}{15 \cdot 49 \cdot 8} $

Проводим сокращение: 30 и 15 на 15, 7 и 49 на 7, 4 и 8 на 4.

$ \frac{4 \cdot (2 \cdot 15) \cdot 7}{15 \cdot (7 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 4)} = \frac{\cancel{4} \cdot 2 \cdot \cancel{15} \cdot \cancel{7}}{\cancel{15} \cdot \cancel{7} \cdot 7 \cdot 2 \cdot \cancel{4}} = \frac{1}{7} $

Ответ: $ \frac{1}{7} $.

д) Представим целое число 24 в виде дроби $ \frac{24}{1} $ и выполним умножение.

$ 24 \cdot \frac{11}{48} = \frac{24}{1} \cdot \frac{11}{48} = \frac{24 \cdot 11}{48} $

Сокращаем 24 и 48 на 24.

$ \frac{24 \cdot 11}{2 \cdot 24} = \frac{11}{2} $

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число.

$ \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} $

Ответ: $ 5\frac{1}{2} $.

е) Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь.

$ 3\frac{5}{6} = \frac{3 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{18 + 5}{6} = \frac{23}{6} $

Теперь выполним умножение.

$ 6 \cdot \frac{23}{6} = \frac{6 \cdot 23}{6} = 23 $

Ответ: $ 23 $.

ж) Преобразуем смешанное число в неправильную дробь.

$ 3\frac{5}{14} = \frac{3 \cdot 14 + 5}{14} = \frac{42 + 5}{14} = \frac{47}{14} $

Выполняем умножение, представив 7 как $ \frac{7}{1} $.

$ \frac{47}{14} \cdot 7 = \frac{47 \cdot 7}{14} = \frac{47 \cdot 7}{2 \cdot 7} = \frac{47}{2} $

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число.

$ \frac{47}{2} = 23\frac{1}{2} $

Ответ: $ 23\frac{1}{2} $.

з) Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь.

$ 5\frac{4}{45} = \frac{5 \cdot 45 + 4}{45} = \frac{225 + 4}{45} = \frac{229}{45} $

Теперь найдем произведение трех чисел.

$ \frac{229}{45} \cdot 9 \cdot 15 = \frac{229 \cdot 9 \cdot 15}{45} $

Заметим, что $ 9 \cdot 15 = 135 $, и $ 45 = \frac{135}{3} $. Или можно сократить последовательно. Знаменатель $ 45 = 9 \cdot 5 $.

$ \frac{229 \cdot 9 \cdot 15}{9 \cdot 5} = \frac{229 \cdot \cancel{9} \cdot 15}{\cancel{9} \cdot 5} = \frac{229 \cdot 15}{5} $

Сокращаем 15 и 5 на 5.

$ 229 \cdot \frac{15}{5} = 229 \cdot 3 = 687 $

Ответ: $ 687 $.

2.303. Выполните умножение:

а) 334 · 135; б) 1723 · 356; в) 11529 · 1920; г) 82334 · 1759; д) 213 · 145 · 147; е) 149 · 367 · 3613.

2.303

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }3\frac{3}{4} · 1\frac{3}{5}=\frac{15}{4} · \frac{8}{5}=\frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\bcancel{15}}} · {\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{8}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}} · {\displaystyle \underset{1}{\bcancel{5}}}}= \\ =\frac{3 · 2}{1 · 1}=6; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }1\frac{7}{23} · 3\frac{5}{6}=\frac{30}{23} · \frac{23}{6}=\frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\bcancel{30}} · \stackrel{1}{\cancel{23}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{23}} · \underset{1}{\bcancel{6}}}}= \\ =\frac{5 · 1}{1 · 1}=5; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }1\frac{15}{29} · 1\frac{9}{20}=\frac{44}{29} · \frac{29}{20}=\frac{{\displaystyle \stackrel{11}{\bcancel{44}} · \stackrel{1}{\cancel{29}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{29}} · \underset{5}{\bcancel{20}}}}= \\ =\frac{11 · 1}{1 · 5}=\frac{11}{5}=2\frac{1}{5}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }8\frac{23}{34} · \frac{17}{59}=\frac{295}{34} · \frac{17}{59}=\frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\bcancel{295}} · \stackrel{1}{\cancel{17}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{34}} · \underset{1}{\bcancel{59}}}}= \\ =\frac{5 · 1}{2 · 1}=\frac{5}{2}=2\frac{1}{2}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }2\frac{1}{3} · 1\frac{4}{5} ·1\frac{4}{7}=\frac{7}{3} · \frac{9}{5} · \frac{11}{7}= \\ =\frac{\cancel{7} · {\displaystyle \stackrel{3}{\bcancel{9} }}· 11}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{3}}} · 5 · \cancel{7}}=\frac{1 · 3 · 11}{1 · 5 · 1}=\frac{33}{5}=6\frac{3}{5}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} е) 1\frac{4}{9} · 3\frac{6}{7} · 3\frac{6}{13}=\frac{13}{9} · \frac{27}{7} ·\frac{45}{13}= \\ =\frac{\cancel{13} · {\displaystyle \stackrel{3}{\bcancel{27}}} · 45}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{9 }}}· 7 · \cancel{13}}=\frac{1 · 3 · 45}{1 · 7 · 1}=\frac{135}{7}=19\frac{2}{7}. \end{gathered}$$

а) $3\frac{3}{4} \cdot 1\frac{3}{5}$

Чтобы умножить смешанные числа, сначала преобразуем их в неправильные дроби. Смешанное число вида $A\frac{b}{c}$ преобразуется в неправильную дробь по формуле $\frac{A \cdot c + b}{c}$.

Преобразуем первое число: $3\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{12 + 3}{4} = \frac{15}{4}$.

Преобразуем второе число: $1\frac{3}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{5 + 3}{5} = \frac{8}{5}$.

Теперь перемножим полученные дроби, умножая числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель:

$\frac{15}{4} \cdot \frac{8}{5} = \frac{15 \cdot 8}{4 \cdot 5}$.

Сократим общие множители в числителе и знаменателе перед вычислением. Число 15 и 5 делятся на 5, а 8 и 4 делятся на 4:

$\frac{15 \cdot 8}{4 \cdot 5} = \frac{(3 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 4)}{4 \cdot 5} = 3 \cdot 2 = 6$.

Ответ: $6$

б) $1\frac{7}{23} \cdot 3\frac{5}{6}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$1\frac{7}{23} = \frac{1 \cdot 23 + 7}{23} = \frac{30}{23}$.

$3\frac{5}{6} = \frac{3 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{18 + 5}{6} = \frac{23}{6}$.

Выполним умножение дробей:

$\frac{30}{23} \cdot \frac{23}{6} = \frac{30 \cdot 23}{23 \cdot 6}$.

Сократим общие множители. 23 в числителе и знаменателе сокращаются. 30 и 6 сокращаются на 6:

$\frac{30}{6} = 5$.

Ответ: $5$

в) $1\frac{15}{29} \cdot 1\frac{9}{20}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$1\frac{15}{29} = \frac{1 \cdot 29 + 15}{29} = \frac{44}{29}$.

$1\frac{9}{20} = \frac{1 \cdot 20 + 9}{20} = \frac{29}{20}$.

Выполним умножение дробей:

$\frac{44}{29} \cdot \frac{29}{20} = \frac{44 \cdot 29}{29 \cdot 20}$.

Сократим общий множитель 29. Затем сократим 44 и 20 на их наибольший общий делитель, который равен 4:

$\frac{44}{20} = \frac{11 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{11}{5}$.

Полученная дробь — неправильная. Преобразуем ее в смешанное число, разделив числитель на знаменатель с остатком:

$11 \div 5 = 2$ и в остатке $1$.

Таким образом, $\frac{11}{5} = 2\frac{1}{5}$.

Ответ: $2\frac{1}{5}$

г) $8\frac{23}{34} \cdot \frac{17}{59}$

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$8\frac{23}{34} = \frac{8 \cdot 34 + 23}{34} = \frac{272 + 23}{34} = \frac{295}{34}$.

Выполним умножение дробей:

$\frac{295}{34} \cdot \frac{17}{59} = \frac{295 \cdot 17}{34 \cdot 59}$.

Сократим общие множители. 17 и 34 сокращаются на 17 ($34 = 2 \cdot 17$). 295 и 59 сокращаются на 59 ($295 = 5 \cdot 59$):

$\frac{(5 \cdot 59) \cdot 17}{(2 \cdot 17) \cdot 59} = \frac{5}{2}$.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$5 \div 2 = 2$ и в остатке $1$.

Таким образом, $\frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$.

Ответ: $2\frac{1}{2}$

д) $2\frac{1}{3} \cdot 1\frac{4}{5} \cdot 1\frac{4}{7}$

Преобразуем все смешанные числа в неправильные дроби:

$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$.

$1\frac{4}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{9}{5}$.

$1\frac{4}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{11}{7}$.

Выполним умножение дробей:

$\frac{7}{3} \cdot \frac{9}{5} \cdot \frac{11}{7} = \frac{7 \cdot 9 \cdot 11}{3 \cdot 5 \cdot 7}$.

Сократим общие множители. 7 в числителе и знаменателе сокращаются. 9 и 3 сокращаются на 3:

$\frac{\cancel{7} \cdot (3 \cdot \cancel{3}) \cdot 11}{\cancel{3} \cdot 5 \cdot \cancel{7}} = \frac{3 \cdot 11}{5} = \frac{33}{5}$.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$33 \div 5 = 6$ и в остатке $3$.

Таким образом, $\frac{33}{5} = 6\frac{3}{5}$.

Ответ: $6\frac{3}{5}$

е) $1\frac{4}{9} \cdot 3\frac{6}{7} \cdot 3\frac{6}{13}$

Преобразуем все смешанные числа в неправильные дроби:

$1\frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{13}{9}$.

$3\frac{6}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 6}{7} = \frac{21 + 6}{7} = \frac{27}{7}$.

$3\frac{6}{13} = \frac{3 \cdot 13 + 6}{13} = \frac{39 + 6}{13} = \frac{45}{13}$.

Выполним умножение дробей:

$\frac{13}{9} \cdot \frac{27}{7} \cdot \frac{45}{13} = \frac{13 \cdot 27 \cdot 45}{9 \cdot 7 \cdot 13}$.

Сократим общие множители. 13 в числителе и знаменателе сокращаются. 27 и 9 сокращаются на 9:

$\frac{\cancel{13} \cdot (3 \cdot \cancel{9}) \cdot 45}{\cancel{9} \cdot 7 \cdot \cancel{13}} = \frac{3 \cdot 45}{7} = \frac{135}{7}$.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$135 \div 7 = 19$ и в остатке $2$.

Таким образом, $\frac{135}{7} = 19\frac{2}{7}$.

Ответ: $19\frac{2}{7}$

2.304. Найдите значение выражения:

а) 37а при а = 37; а = 12; а = 217; а = 213; а = 2833;

б) 512b при b = 15; b = 512; b = 115; b = 225.

2.304

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{При} \mathrm{а} =\frac{3}{7}: \\ \frac{3}{7}·\mathrm{а}=\frac{3}{7} · \frac{3}{7}=\frac{3 · 3}{7 · 7}=\frac{9}{49}; \\ \mathrm{При} \mathrm{а} =\frac{1}{2}: \\ \frac{3}{7}·\mathrm{а}=\frac{3}{7} · \frac{1}{2}=\frac{3 · 1}{7 · 2}=\frac{3}{14}; \\ \mathrm{При} \mathrm{а} =2\frac{1}{7}: \\ \frac{3}{7}·\mathrm{а}=2\frac{1}{7} · \frac{3}{7}=\frac{15 · 3}{7 · 7}=\frac{45}{49}; \\ \mathrm{При} \mathrm{а} =2\frac{1}{3}: \\ 7·\mathrm{а}=2\frac{1}{3} · \frac{3}{7}=\frac{\cancel{7} · \bcancel{3}}{\bcancel{3} · \cancel{7}}=1; \\ \mathrm{При} \mathrm{а} =\frac{28}{33}: \\ \frac{3}{7}· \mathrm{а}=\frac{28}{33} · \frac{3}{7}=\frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\cancel{28}}} · {\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{3}}}}{{\displaystyle \underset{11}{\bcancel{33} }}·{\displaystyle \underset{1}{ \cancel{7}}}}= \\ =\frac{4 · 1}{11 · 1}=\frac{4}{11}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)} \mathrm{При} \mathrm{b} =\frac{1}{5}: \\ \frac{5}{12}· \mathrm{b}=\frac{5}{12} · \frac{1}{5}=\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{5}} · 1}}{{\displaystyle 12 ·\underset{1}{ \cancel{5}}}}= \\ =\frac{1 · 1}{12 · 1}=\frac{1}{12}; \\ \mathrm{При} \mathrm{b} =\frac{5}{12}: \\ \frac{5}{12}· \mathrm{b}=\frac{5}{12} · \frac{5}{12}=\frac{{\displaystyle 5· 5}}{{\displaystyle 12 ·12}}=\frac{25}{144}; \\ \mathrm{При} \mathrm{b} =1\frac{1}{5}: \\ \frac{5}{12}· \mathrm{b}=\frac{5}{12} · 1\frac{1}{5}=\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{5}} · \stackrel{1}{\bcancel{6}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{12} }·\underset{1}{ \cancel{5}}}}= \\ =\frac{1 · 1}{2 · 1}=\frac{1}{2}; \\ \mathrm{При} \mathrm{b} =2\frac{2}{5}: \\ \frac{5}{12}· \mathrm{b}=\frac{5}{12} · 2\frac{2}{5}=\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{5}} · \bcancel{12}}}{{\displaystyle \bcancel{12} ·\underset{1}{ \cancel{5}}}}= \\ =\frac{1 · 1}{1 · 1}=1. \end{gathered}$$

а) Найдем значение выражения $\frac{3}{7}a$ при заданных значениях $a$.

1. Если $a = \frac{3}{7}$, то $\frac{3}{7}a = \frac{3}{7} \times \frac{3}{7} = \frac{3 \times 3}{7 \times 7} = \frac{9}{49}$.
Ответ: $\frac{9}{49}$.

2. Если $a = \frac{1}{2}$, то $\frac{3}{7}a = \frac{3}{7} \times \frac{1}{2} = \frac{3 \times 1}{7 \times 2} = \frac{3}{14}$.
Ответ: $\frac{3}{14}$.

3. Если $a = 2\frac{1}{7}$, сначала представим $a$ в виде неправильной дроби: $2\frac{1}{7} = \frac{2 \times 7 + 1}{7} = \frac{15}{7}$.
Тогда $\frac{3}{7}a = \frac{3}{7} \times \frac{15}{7} = \frac{3 \times 15}{7 \times 7} = \frac{45}{49}$.
Ответ: $\frac{45}{49}$.

4. Если $a = 2\frac{1}{3}$, представим $a$ в виде неправильной дроби: $2\frac{1}{3} = \frac{2 \times 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$.
Тогда $\frac{3}{7}a = \frac{3}{7} \times \frac{7}{3} = \frac{3 \times 7}{7 \times 3} = 1$.
Ответ: $1$.

5. Если $a = \frac{28}{33}$, то $\frac{3}{7}a = \frac{3}{7} \times \frac{28}{33}$. Сократим дроби перед умножением: 3 и 33 делятся на 3, 28 и 7 делятся на 7.
$\frac{\cancel{3}^1}{\cancel{7}_1} \times \frac{\cancel{28}^4}{\cancel{33}_{11}} = \frac{1 \times 4}{1 \times 11} = \frac{4}{11}$.
Ответ: $\frac{4}{11}$.

б) Найдем значение выражения $\frac{5}{12}b$ при заданных значениях $b$.

1. Если $b = \frac{1}{5}$, то $\frac{5}{12}b = \frac{5}{12} \times \frac{1}{5} = \frac{\cancel{5} \times 1}{12 \times \cancel{5}} = \frac{1}{12}$.
Ответ: $\frac{1}{12}$.

2. Если $b = \frac{5}{12}$, то $\frac{5}{12}b = \frac{5}{12} \times \frac{5}{12} = \frac{5 \times 5}{12 \times 12} = \frac{25}{144}$.
Ответ: $\frac{25}{144}$.

3. Если $b = 1\frac{1}{5}$, представим $b$ в виде неправильной дроби: $1\frac{1}{5} = \frac{1 \times 5 + 1}{5} = \frac{6}{5}$.
Тогда $\frac{5}{12}b = \frac{5}{12} \times \frac{6}{5} = \frac{\cancel{5} \times 6}{12 \times \cancel{5}} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

4. Если $b = 2\frac{2}{5}$, представим $b$ в виде неправильной дроби: $2\frac{2}{5} = \frac{2 \times 5 + 2}{5} = \frac{12}{5}$.
Тогда $\frac{5}{12}b = \frac{5}{12} \times \frac{12}{5} = \frac{5 \times 12}{12 \times 5} = 1$.
Ответ: $1$.

2.305. Масса 1 м³ древесины равна 1425 т. Найдите массу 34 м³, 57 м³ и 114 м³ древесины.

2.305

$1 {\mathrm{м}}^3 = \frac{14}{25} \mathrm{т}.$

$\frac{3}{4} {\mathrm{м}}^3; \frac{5}{7} {\mathrm{м}}^3; 1\frac{1}{4} {\mathrm{м}}^3 - ? \mathrm{т}.$

$\frac{14}{25} · \frac{3}{4} = \frac{{\displaystyle \stackrel{7}{\cancel{14}}} · 3}{25 · {\displaystyle \underset{2}{\cancel{4}}}}=\frac{7 · 3 }{25 · 2}=$

$=\frac{21}{50}$(т)-масса $\frac{3}{4} {\mathrm{м}}^3$ древесины

$\frac{14}{25} · \frac{5}{7} = \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{14}} · \stackrel{1}{\bcancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\bcancel{25}}} · {\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}}=\frac{2 · 1}{5 · 1}=$

$=\frac{2}{5}$ (т)-масса $\frac{5}{7} {\mathrm{м}}^3$ древесины

$\frac{14}{25} · 1\frac{1}{4}=\frac{14}{25} · \frac{5}{4}=\frac{{\displaystyle \stackrel{7}{\cancel{14}}} · {\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\bcancel{25}}} · {\displaystyle \underset{2}{\cancel{4}}}}=$

$=\frac{7 · 1}{5 · 2}=\frac{7}{10}$(т)-масса $1\frac{1}{4}{\mathrm{м}}^3$ древесины.

Для решения задачи необходимо найти произведение массы 1 м³ древесины на указанный объем. Масса 1 м³ древесины составляет $\frac{14}{25}$ тонны.

Масса $\frac{3}{4}$ м³ древесины

Чтобы найти массу, умножим объем древесины на массу одного кубического метра:

$\frac{3}{4} \times \frac{14}{25} = \frac{3 \times 14}{4 \times 25} = \frac{42}{100}$

Сократим полученную дробь на 2:

$\frac{42 \div 2}{100 \div 2} = \frac{21}{50}$ (т)

Ответ: $\frac{21}{50}$ т.

Масса $\frac{5}{7}$ м³ древесины

Умножим объем $\frac{5}{7}$ м³ на массу одного кубического метра:

$\frac{5}{7} \times \frac{14}{25} = \frac{5 \times 14}{7 \times 25}$

Сократим дробь перед вычислением: 5 и 25 на 5, а 14 и 7 на 7.

$\frac{(5 \div 5) \times (14 \div 7)}{(7 \div 7) \times (25 \div 5)} = \frac{1 \times 2}{1 \times 5} = \frac{2}{5}$ (т)

Ответ: $\frac{2}{5}$ т.

Масса $1\frac{1}{4}$ м³ древесины

Сначала представим смешанное число $1\frac{1}{4}$ в виде неправильной дроби:

$1\frac{1}{4} = \frac{1 \times 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$

Теперь умножим полученный объем на массу одного кубического метра:

$\frac{5}{4} \times \frac{14}{25} = \frac{5 \times 14}{4 \times 25}$

Сократим дробь: 5 и 25 на 5, а 14 и 4 на 2.

$\frac{(5 \div 5) \times (14 \div 2)}{(4 \div 2) \times (25 \div 5)} = \frac{1 \times 7}{2 \times 5} = \frac{7}{10}$ (т)

Ответ: $\frac{7}{10}$ т.

2.306. Масса 1 см³ алюминия равна 279 г. Найдите массу алюминиевой пластины, измерения которой равны 114 см, 223 см, 145 м. Ответ округлите до сотых долей килограмма.

2.306

1 см³ = $2\frac{7}{9}$  г.

Измерения: $1\frac{4}{5}$ м, $2\frac{2}{3}$ см, $1\frac{1}{4}$ см.

Масса - ?

$$\begin{gathered} 1\frac{4}{5}\mathrm{м} = 1\frac{4}{5} · 100 \mathrm{см} = \frac{9}{5} · 100 \mathrm{см}= \\ =\frac{9 · {\displaystyle \stackrel{20}{\cancel{100}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}}\mathrm{см} = \frac{9 · 20}{1}=180 \mathrm{см} \end{gathered}$$

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }1\frac{1}{4} · 2\frac{2}{3} · 180 = \frac{5}{4} · \frac{8}{3} · 180 =$

$= \frac{5 · {\displaystyle \stackrel{2}{\bcancel{8 }}}·{\displaystyle \stackrel{60}{\cancel{180}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{4}} · \underset{1}{\cancel{3}}}}=\frac{5 · 2 · 60}{1 · 1}=600$(см³) -объем полоски.

$$\begin{gathered} \mathbf{2}\mathbf{)} 2\frac{7}{9} · 600 = \frac{25}{9} · 600=\frac{25 · {\displaystyle \stackrel{200}{\cancel{600}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{9}}}} (\mathrm{г}) \\ =\frac{25 · 200}{3} (\mathrm{г}) =\frac{5000}{3} (\mathrm{г}) = 1666\frac{2}{3} (\mathrm{г}) \approx \\ \approx 1666,6.. (\mathrm{г}) \approx \frac{1666,6...\left(\mathrm{г}\right)}{1000}\approx 1,666... (\mathrm{кг}) \approx \end{gathered}$$

$\approx 1,67 \left(\mathrm{кг}\right)$-масса полоски

Ответ:1,67 кг.

Для того чтобы найти массу алюминиевой пластины, необходимо сперва вычислить её объём. Объём прямоугольного параллелепипеда (форму которого имеет пластина) вычисляется как произведение его длины, ширины и высоты: $V = l \cdot w \cdot h$.

Перед вычислением объёма необходимо привести все измерения к одной единице. Плотность дана в г/см³, поэтому удобно все размеры перевести в сантиметры.Даны размеры пластины: $1\frac{1}{4}$ см, $2\frac{2}{3}$ см, $1\frac{4}{5}$ м.Два измерения уже даны в сантиметрах. Переведём третье измерение, $1\frac{4}{5}$ м, в сантиметры. Зная, что $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$:$1\frac{4}{5} \text{ м} = \frac{9}{5} \text{ м} = \frac{9}{5} \cdot 100 \text{ см} = 9 \cdot 20 \text{ см} = 180 \text{ см}$.

Теперь можно вычислить объём пластины. Переведём смешанные числа в неправильные дроби для удобства умножения:$l = 1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$$w = 2\frac{2}{3} = \frac{8}{3}$$V = \frac{5}{4} \text{ см} \cdot \frac{8}{3} \text{ см} \cdot 180 \text{ см} = \frac{5 \cdot 8 \cdot 180}{4 \cdot 3} \text{ см}^3 = \frac{7200}{12} \text{ см}^3 = 600 \text{ см}^3$.

Далее, найдём массу пластины, используя формулу $m = V \cdot \rho$, где $\rho$ - плотность. Плотность алюминия $\rho$ дана как $2\frac{7}{9}$ г/см³. Переведём это значение в неправильную дробь:$\rho = 2\frac{7}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{25}{9}$ г/см³.

Теперь вычислим массу в граммах:$m = 600 \text{ см}^3 \cdot \frac{25}{9} \text{ г/см}^3 = \frac{600 \cdot 25}{9} \text{ г} = \frac{15000}{9} \text{ г} = \frac{5000}{3} \text{ г}$.

По условию задачи, ответ необходимо дать в килограммах и округлить до сотых долей. Переведём граммы в килограммы, разделив на 1000:$m_{\text{кг}} = \frac{5000}{3} \text{ г} \div 1000 = \frac{5000}{3 \cdot 1000} \text{ кг} = \frac{5}{3} \text{ кг}$.

Наконец, преобразуем обыкновенную дробь в десятичную и округлим до сотых:$\frac{5}{3} \text{ кг} \approx 1,6666... \text{ кг}$Округляя до сотых долей (до второго знака после запятой), получаем $1,67$ кг.

Ответ: $1,67$ кг.

2.307. Велосипедист едет со скоростью 1234 км/ч. Какое расстояние он проедет за 2 ч, 23 ч и 1717 ч?

2.307

Скорость - $12\frac{3}{4}$ км/ч;

Время – 2 ч; $\frac{2}{3}$ ч; $1\frac{7}{17}$ ч.

Расстояние - ? км.

$12\frac{3}{4} · 2 =\frac{51}{4} · 2 = \frac{51 · {\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{2}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{4}}}}=$

$=\frac{51}{2}=25\frac{1}{2}$(км) – проедет за 2 ч;

$12\frac{3}{4} · \frac{2}{3} =\frac{51}{4} ·\frac{2}{3} = \frac{{\displaystyle \stackrel{17}{\bcancel{51}}} · {\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{2}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{4}} · \underset{1}{\bcancel{3}}}}=$

$=\frac{17 · 1}{2 · 1}=\frac{17}{2}=8\frac{1}{2}$(км) – проедет за $\frac{2}{3}$ ч;

$12\frac{3}{4} · 1\frac{7}{17} =\frac{51}{4} ·\frac{24}{17} = \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\bcancel{51}} · \stackrel{6}{\cancel{24}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}} · \underset{1}{\bcancel{17}}}}=$

$=\frac{3 · 6}{1 · 1}=18$(км) – проедет за $1\frac{7}{17}$ч.

Ответ: $25\frac{1}{2}$ км; $8\frac{1}{2}$ км;18 км.

Чтобы найти расстояние, которое проедет велосипедист, необходимо его скорость умножить на время в пути. Формула для расчета расстояния: $S = v \cdot t$.

Скорость велосипедиста $v = 12\frac{3}{4}$ км/ч. Для удобства вычислений переведем это смешанное число в неправильную дробь:

$12\frac{3}{4} = \frac{12 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{48 + 3}{4} = \frac{51}{4}$ км/ч.

Теперь рассчитаем расстояние для каждого промежутка времени.

За 2 ч

Найдем расстояние, умножив скорость на время:

$S = \frac{51}{4} \cdot 2 = \frac{51 \cdot 2}{4} = \frac{102}{4} = \frac{51}{2} = 25\frac{1}{2}$ км.

Ответ: $25\frac{1}{2}$ км.

За $\frac{2}{3}$ ч

Вычислим расстояние для этого промежутка времени:

$S = \frac{51}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{51 \cdot 2}{4 \cdot 3} = \frac{102}{12}$. Сократим дробь на 6: $\frac{102 \div 6}{12 \div 6} = \frac{17}{2} = 8\frac{1}{2}$ км.

Ответ: $8\frac{1}{2}$ км.

За $1\frac{7}{17}$ ч

Сначала преобразуем время в неправильную дробь: $t = 1\frac{7}{17} = \frac{1 \cdot 17 + 7}{17} = \frac{24}{17}$ ч.

Теперь вычислим искомое расстояние:

$S = \frac{51}{4} \cdot \frac{24}{17} = \frac{51 \cdot 24}{4 \cdot 17}$. Можно сократить дроби перед умножением: 51 и 17 сокращаются на 17 (получаем 3 и 1), а 24 и 4 сокращаются на 4 (получаем 6 и 1). $S = \frac{3 \cdot 6}{1 \cdot 1} = 18$ км.

Ответ: 18 км.

2.308. Деревянный брус имеет форму прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 6 м, 320 м и 110 м. Для выполнения строительных работ было куплено 40 штук такого бруса по цене 12 400 р. за 1 м³. На какую сумму был закуплен брус?

2.308

Измерения параллелепипеда: 6 м; $\frac{3}{20}$ м;  $\frac{1}{10}$ м.

Брусов – 40 шт.

Цена – 12400 р. За 1 м³.

Потраченная сумма - ? р.

$\mathbf{1}\mathbf{)} 6 · \frac{3}{20 } · \frac{1}{10}=\frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{6}}} · 3 · 1}{{\displaystyle \underset{10}{\cancel{20}}} · 10}=\frac{3 · 3 · 1}{10 · 10}=$

$=\frac{9}{100}$(м³) – объем бруса;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{9}{100} · 40=\frac{9 · {\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{40}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{100}}}}=\frac{9 · 2}{5}=$

$=\frac{18}{5}=3\frac{3}{5}$(м³) – объем всех брусов;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }12400 ·\frac{18}{5} = \frac{{\displaystyle \stackrel{2480}{\cancel{12400}}} · 18}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}}=$

$= \frac{2480 · 18}{1}=44640$(руб.) – потраченная сумма.

Ответ: 44 640 рублей

Для того чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо последовательно выполнить следующие вычисления:

1. Вычисление объема одного деревянного бруса.
Брус имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Его объем ($V$) вычисляется как произведение трех его измерений (длины, ширины и высоты) по формуле $V = a \cdot b \cdot c$.
Согласно условию, измерения бруса равны $6$ м, $\frac{3}{20}$ м и $\frac{1}{10}$ м. Подставим эти значения в формулу: $V_{1} = 6 \cdot \frac{3}{20} \cdot \frac{1}{10} = \frac{6 \cdot 3 \cdot 1}{20 \cdot 10} = \frac{18}{200} = \frac{9}{100} = 0,09$ м³. Таким образом, объем одного бруса составляет $0,09$ кубического метра.

2. Вычисление общего объема всех брусьев.
Для строительных работ было закуплено 40 штук таких брусьев. Чтобы найти их общий объем ($V_{общ}$), нужно объем одного бруса умножить на их количество: $V_{общ} = V_{1} \cdot 40 = 0,09 \text{ м³} \cdot 40 = 3,6$ м³. Общий объем закупленного бруса равен $3,6$ кубическим метрам.

3. Вычисление общей стоимости закупки.
Цена одного кубического метра бруса составляет 12 400 рублей. Чтобы определить, на какую сумму был закуплен брус, необходимо общий объем умножить на цену за 1 м³: Стоимость = $V_{общ} \cdot \text{Цена} = 3,6 \cdot 12400 = 44640$ рублей.

Ответ: 44 640 рублей.

2.309. Найдите значение выражения:

а) (112)³ – 223 · 114; б) (3,5 – 2,9) · (4122 – 3733); в) (5314 – 447) · (31115 – 125).

2.309

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\left(1\frac{1}{2}\right)\stackrel{\mathbf{1}}{{ }^{\mathbf{3}}}\stackrel{3}{-}2\frac{2}{3} \stackrel{2}{·} 1\frac{1}{4}=\frac{1}{24} \\ 1) {\left(1\frac{1}{2}\right)}^3={\left(\frac{3}{2}\right)}^3=\frac{3}{2} · \frac{3}{2} · \frac{3}{2} =\frac{27}{8}; \\ 2) 2\frac{2}{3} · 1\frac{1}{4}=\frac{8}{3} · \frac{5}{4}=\frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{8}}} · 5}{3 · {\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}}= \\ =\frac{2 · 5}{3 · 1}=\frac{10}{3}; \\ 3) {\frac{27}{8}}^{\overline{)·3}} -{\frac{10}{3}}^{\overline{)·8}}=\frac{81}{24} - \frac{80}{24}=\frac{1}{24}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\left(3,5 \stackrel{1}{-} 2,9\right) \stackrel{3}{·} \left(4\frac{1}{22}\stackrel{2}{ -} 3\frac{7}{33}\right)=\frac{1}{2} \\ 1) 3,5 - 2,9= 0,6; \\ 2) {4\frac{1}{22}}^{\overline{)·3}}-{ 3\frac{7}{33}}^{\overline{)·2}}= 4\frac{3}{66}- 3\frac{14}{66}= \\ =3\frac{69}{66}-3\frac{14}{66}=\frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{55}}}}{{\displaystyle \underset{6}{\cancel{66}}}}=\frac{5}{6}; \\ 3) 0,6 · \frac{5}{6} =\frac{6}{10 }· \frac{5}{6} = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{6}}} · {\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{10}}} · {\displaystyle \underset{1}{\cancel{6}}}}= \\ =\frac{1 · 1}{2 · 1}=\frac{1}{2}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} \left(5\frac{3}{14}\stackrel{1}{-}4\frac{4}{7}\right) \stackrel{3}{·} \left(3\frac{11}{15}\stackrel{2}{-}1\frac{2}{5}\right)=1\frac{1}{2} \\ 1) 5\frac{3}{14}-4{\frac{4}{7}}^{\overline{)·2}}= 5\frac{3}{14}-4\frac{8}{14}= \\ =4\frac{17}{14}-4\frac{8}{14}=\frac{9}{14}; \\ 2) 3\frac{11}{15}-{1\frac{2}{5}}^{\overline{)·3}}=3\frac{11}{15}-1\frac{6}{15}= \\ =2\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{15}}}}=2\frac{1}{3}; \\ 3) \frac{9}{14} · 2\frac{1}{3} = \frac{9}{14} · \frac{7}{3} = \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{9}}} · {\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{7}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{14}}} · {\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}}= \\ =\frac{3 ·1}{2 · 1}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}. \end{gathered}$$

а) $(1\frac{1}{2})^3 - 2\frac{2}{3} \cdot 1\frac{1}{4}$

Для решения этого выражения необходимо соблюдать порядок действий: сначала возведение в степень, затем умножение, и в конце вычитание. Для удобства вычислений преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$

$2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$

$1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$

2. Выполним первое действие — возведение в степень:

$(1\frac{1}{2})^3 = (\frac{3}{2})^3 = \frac{3^3}{2^3} = \frac{27}{8}$

3. Выполним второе действие — умножение:

$2\frac{2}{3} \cdot 1\frac{1}{4} = \frac{8}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{8 \cdot 5}{3 \cdot 4} = \frac{40}{12} = \frac{10}{3}$ (сократили дробь на 4)

4. Выполним третье действие — вычитание:

$\frac{27}{8} - \frac{10}{3}$

Приведем дроби к общему знаменателю, который равен 24:

$\frac{27 \cdot 3}{8 \cdot 3} - \frac{10 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{81}{24} - \frac{80}{24} = \frac{81 - 80}{24} = \frac{1}{24}$

Ответ: $\frac{1}{24}$

б) $(3,5 - 2,9) \cdot (4\frac{1}{22} - 3\frac{7}{33})$

Сначала выполним действия в скобках, а затем умножим полученные результаты.

1. Вычислим значение в первой скобке:

$3,5 - 2,9 = 0,6$

2. Вычислим значение во второй скобке:

$4\frac{1}{22} - 3\frac{7}{33}$

Приведем дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 22 и 33 — это 66.

$4\frac{1 \cdot 3}{22 \cdot 3} - 3\frac{7 \cdot 2}{33 \cdot 2} = 4\frac{3}{66} - 3\frac{14}{66}$

Поскольку дробная часть уменьшаемого ($3/66$) меньше дробной части вычитаемого ($14/66$), "займем" единицу у целой части:

$4\frac{3}{66} = 3 + 1 + \frac{3}{66} = 3 + \frac{66}{66} + \frac{3}{66} = 3\frac{69}{66}$

Теперь выполним вычитание:

$3\frac{69}{66} - 3\frac{14}{66} = (3-3) + (\frac{69-14}{66}) = 0 + \frac{55}{66} = \frac{55}{66} = \frac{5}{6}$ (сократили на 11)

3. Выполним умножение результатов:

$0,6 \cdot \frac{5}{6}$

Преобразуем десятичную дробь $0,6$ в обыкновенную: $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

$\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 6} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

в) $(5\frac{3}{14} - 4\frac{4}{7}) \cdot (3\frac{11}{15} - 1\frac{2}{5})$

Сначала выполним вычитание в каждой из скобок, затем умножим результаты.

1. Вычислим значение в первой скобке:

$5\frac{3}{14} - 4\frac{4}{7}$

Приведем дроби к общему знаменателю 14:

$5\frac{3}{14} - 4\frac{4 \cdot 2}{7 \cdot 2} = 5\frac{3}{14} - 4\frac{8}{14}$

"Займем" единицу у целой части уменьшаемого:

$5\frac{3}{14} = 4\frac{14+3}{14} = 4\frac{17}{14}$

Выполним вычитание:

$4\frac{17}{14} - 4\frac{8}{14} = (4-4) + (\frac{17-8}{14}) = \frac{9}{14}$

2. Вычислим значение во второй скобке:

$3\frac{11}{15} - 1\frac{2}{5}$

Приведем дроби к общему знаменателю 15:

$3\frac{11}{15} - 1\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = 3\frac{11}{15} - 1\frac{6}{15}$

Вычтем целые и дробные части по отдельности:

$(3-1) + (\frac{11-6}{15}) = 2 + \frac{5}{15} = 2\frac{5}{15} = 2\frac{1}{3}$ (сократили дробную часть на 5)

3. Выполним умножение результатов:

$\frac{9}{14} \cdot 2\frac{1}{3}$

Преобразуем смешанное число $2\frac{1}{3}$ в неправильную дробь: $2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$.

$\frac{9}{14} \cdot \frac{7}{3} = \frac{9 \cdot 7}{14 \cdot 3} = \frac{63}{42}$

Сократим дробь, например, на 21: $\frac{63 : 21}{42 : 21} = \frac{3}{2}$.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.

Ответ: $1\frac{1}{2}$

Вопросы:

Какие слагаемые называют подобными?

На основании какого свойства умножения выполняют приведение подобных слагаемых?

Как привести подобные слагаемые?

39. Подобные слагаемые

Вопросы к параграфу

• Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть, называют подобными слагаемыми.

• Приведение подобных слагаемых выполняется на основании распределительного свойства умножения.

• Чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.

Какие слагаемые называют подобными?

Подобными слагаемыми в алгебре называют члены выражения, которые имеют одинаковую буквенную часть (или не имеют ее вовсе, то есть являются числами), но могут отличаться числовыми коэффициентами. Буквенная часть должна быть абсолютно идентичной, включая степени переменных.

Например, в выражении $9a - 2b + 3a + 5b$ слагаемые $9a$ и $3a$ являются подобными, так как у них одинаковая буквенная часть $a$. Также подобными являются слагаемые $-2b$ и $5b$, потому что их общая буквенная часть — $b$. А вот слагаемые $9a$ и $5b$ подобными не являются, так как их буквенные части ($a$ и $b$) различны.

Другие примеры подобных слагаемых:

• $5x^2y$ и $-12x^2y$ (общая буквенная часть $x^2y$)
• $15$ и $-8$ (свободные члены, не имеющие буквенной части)

Ответ: Подобными называют слагаемые, у которых одинаковая буквенная часть.

На основании какого свойства умножения выполняют приведение подобных слагаемых?

Приведение подобных слагаемых (то есть их сложение и вычитание) выполняется на основе распределительного свойства умножения относительно сложения. Это свойство позволяет "выносить за скобки" общий множитель.

Формула распределительного свойства выглядит так: $ac + bc = (a + b)c$.

Когда мы приводим подобные слагаемые, например $7x + 2x$, буквенная часть $x$ выступает в роли общего множителя $c$, а коэффициенты $7$ и $2$ — в роли множителей $a$ и $b$. Применяя свойство, мы получаем:

$7x + 2x = (7 + 2)x = 9x$

Таким образом, мы складываем коэффициенты, а общую буквенную часть оставляем без изменений, что и является сутью приведения подобных слагаемых.

Ответ: Приведение подобных слагаемых выполняют на основании распределительного свойства умножения.

Как привести подобные слагаемые?

Приведение подобных слагаемых — это упрощение выражения путем сложения или вычитания этих слагаемых. Чтобы привести подобные слагаемые, необходимо выполнить следующие действия:

1. Сгруппировать подобные слагаемые в выражении.
2. Сложить их числовые коэффициенты, учитывая знаки.
3. Полученный результат (новую сумму коэффициентов) умножить на их общую буквенную часть.

Рассмотрим на примере упрощения выражения: $4x - 2y - 9x + 7y$.

1. Найдем и сгруппируем подобные слагаемые: $(4x - 9x) + (-2y + 7y)$.

2. Сложим коэффициенты у слагаемых с буквой $x$: $4 - 9 = -5$.

3. Сложим коэффициенты у слагаемых с буквой $y$: $-2 + 7 = 5$.

4. Запишем итоговое выражение, умножив полученные коэффициенты на соответствующие буквенные части: $-5x + 5y$.

Таким образом, $4x - 2y - 9x + 7y = -5x + 5y$.

Ответ: Чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить их коэффициенты, а результат умножить на общую буквенную часть.

5.57. Раскройте скобки:

а) 3 · (х + у – z); б) (m – n + z) · 5; в) –3,8 · (х – у – z); г) (–х – у + z) · (–4,5); д) 23 · (–х + 2у – 3); e) – 37 · (2a – 5b + 4).

5.57

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }3 · (х + у – z) = 3x + 3y – 3z$

$\mathit{б}\mathbf{)} (m – n + z) · 5 = 5m – 5n + 5z$

$\mathit{в}\mathbf{)} -3,8 · (x – y – z) = -3,8x + 3,8y + 3,8z$

$\mathit{г}\mathbf{)} (-x – y + z) · (-4,5) = 4,5x + 4,5y – 4,5z$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)} \frac{2}{3} · \left(-х +2у -3\right) = -\frac{2}{3}х + \frac{2}{3}· 2у + \\ + \frac{2}{\cancel{3}} · \left(-\cancel{3}\right) = -\frac{2}{3}х +\frac{4}{3}у - 2 = \\ = -\frac{2}{3}х + 1\frac{1}{3}у - 2. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)} - \frac{3}{7} · (2a – 5b + 4) = - \frac{3}{7} · 2а - \\ - \frac{3}{7} · \left(-5b\right) - \frac{3}{7} · 4 = -\frac{6}{7}a + \frac{15}{7}b - \\ - \frac{12}{7} = -\frac{6}{7}a + 2\frac{1}{7}b - 1\frac{5}{7} \end{gathered}$$

а) Чтобы раскрыть скобки, воспользуемся распределительным свойством умножения: умножим множитель перед скобками на каждый член внутри скобок.

$3 \cdot (x + y - z) = 3 \cdot x + 3 \cdot y + 3 \cdot (-z) = 3x + 3y - 3z$

Ответ: $3x + 3y - 3z$

б) Здесь множитель 5 стоит после скобок, но правило остается тем же: умножаем на него каждый член в скобках, а затем для удобства записи меняем множители местами.

$(m - n + z) \cdot 5 = m \cdot 5 + (-n) \cdot 5 + z \cdot 5 = 5m - 5n + 5z$

Ответ: $5m - 5n + 5z$

в) Умножим каждый член в скобках на -3,8. Важно помнить, что при умножении на отрицательное число знаки членов в скобках меняются на противоположные.

$-3,8 \cdot (x - y - z) = (-3,8) \cdot x + (-3,8) \cdot (-y) + (-3,8) \cdot (-z) = -3,8x + 3,8y + 3,8z$

Ответ: $-3,8x + 3,8y + 3,8z$

г) В этом примере мы умножаем сумму в скобках на отрицательное число -4,5. При умножении отрицательного члена на отрицательное число результат будет положительным.

$(-x - y + z) \cdot (-4,5) = (-x) \cdot (-4,5) + (-y) \cdot (-4,5) + z \cdot (-4,5) = 4,5x + 4,5y - 4,5z$

Ответ: $4,5x + 4,5y - 4,5z$

д) Применим распределительное свойство для множителя-дроби $\frac{2}{3}$.

$\frac{2}{3} \cdot (-x + 2y - 3) = \frac{2}{3} \cdot (-x) + \frac{2}{3} \cdot (2y) + \frac{2}{3} \cdot (-3) = -\frac{2}{3}x + \frac{4}{3}y - \frac{6}{3} = -\frac{2}{3}x + \frac{4}{3}y - 2$

Ответ: $-\frac{2}{3}x + \frac{4}{3}y - 2$

е) Умножим каждый член в скобках на отрицательную дробь $-\frac{3}{7}$, внимательно следя за знаками.

$-\frac{3}{7} \cdot (2a - 5b + 4) = (-\frac{3}{7}) \cdot (2a) + (-\frac{3}{7}) \cdot (-5b) + (-\frac{3}{7}) \cdot (4) = -\frac{6}{7}a + \frac{15}{7}b - \frac{12}{7}$

Ответ: $-\frac{6}{7}a + \frac{15}{7}b - \frac{12}{7}$