Страница 91, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.349. Найдите высоту прямоугольного параллелепипеда, если его объём равен 28,8 см³ и в основании лежит квадрат со стороной 2,4 см.

2.349

V = 28,8 см³

Сторона квадрата – 2,4 см.

Высота -? см.

1) 2,4 • 2,4 = 5,76 (см²) – площадь основания;

2) 28,8 : 5,76 = 2880 : 576 = 5 (см) – высота прямоугольного параллелепипеда.

Ответ: 5 см

Объем прямоугольного параллелепипеда ($V$) вычисляется как произведение площади его основания ($S_{осн}$) на высоту ($h$). Формула для объема выглядит так:
$V = S_{осн} \cdot h$

В основании данного параллелепипеда лежит квадрат со стороной $a = 2,4$ см. Сначала найдем площадь этого квадратного основания. Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$.
$S_{осн} = (2,4 \text{ см})^2 = 5,76 \text{ см}^2$

Теперь у нас есть объем параллелепипеда $V = 28,8 \text{ см}^3$ и площадь его основания $S_{осн} = 5,76 \text{ см}^2$. Чтобы найти высоту, выразим ее из формулы объема:
$h = \frac{V}{S_{осн}}$

Подставим известные значения в эту формулу и выполним вычисление:
$h = \frac{28,8 \text{ см}^3}{5,76 \text{ см}^2} = 5 \text{ см}$

Ответ: 5 см.

2.350. Найдите корень уравнения:
1) 178,87 - (b - 13,4) = 174,77;
2) 243,82 - (17,1 - с) = 231,32.

2.350

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }178,87 – (\mathrm{b} – 13,4) = 174,77; \\ \mathrm{b} – 13,4 = 178,87 \stackrel{1}{–} 174,77; \\ \mathrm{b} – 13,4 = 4,1; \\ \mathrm{b} = 4,1 \stackrel{2}{+} 13,4; \\ \mathrm{b} = 17,5. \\ \mathrm{Ответ}: 17,5. \end{gathered}$$

1.

2.

$$\begin{gathered} \mathbf{2}\mathbf{)} 243,82 – (17,1 – \mathrm{с}) = 231,32; \\ 17,1 – \mathrm{с} = 243,82 \stackrel{1}{– }231,32; \\ 17,1 – \mathrm{с} = 12,5; \\ \mathrm{с} = 17,1 \stackrel{2}{–} 12,5; \\ \mathrm{с} = 4,6. \\ \mathrm{Ответ}: 4,6. \end{gathered}$$

1.

2.

1) 178,87 - (b - 13,4) = 174,77;

В данном уравнении выражение в скобках $(b - 13,4)$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
$b - 13,4 = 178,87 - 174,77$
$b - 13,4 = 4,1$
Теперь в полученном уравнении $b$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.
$b = 4,1 + 13,4$
$b = 17,5$
Ответ: $17,5$.

2) 243,82 - (17,1 - c) = 231,32.

В этом уравнении выражение $(17,1 - c)$ является неизвестным вычитаемым. Найдем его, вычтя из уменьшаемого разность.
$17,1 - c = 243,82 - 231,32$
$17,1 - c = 12,5$
Теперь $c$ — это неизвестное вычитаемое. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
$c = 17,1 - 12,5$
$c = 4,6$
Ответ: $4,6$.

2.351. Вычислите и проверьте вычисления с помощью калькулятора:
1) 557,55 · (1,3689 + 0,7311) : (3,4 · 15,7 - 47,08);
2) 537,84 · (0,9078 + 1,2922) : (2,8 · 14,7 - 36,76);
3) (64,5 - 7,02 : 7,8) · (72 - 561,15 : 8,7) - 152,6;
4) (16,3 - 6,88 : 8,6) · (11,49 - 326,61 : 57) + 513,23.

2.351

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }557,55 \stackrel{4}{·} (1,3689 \stackrel{1}{+} 0,7311) \stackrel{5}{:} (3,4 \stackrel{2}{·} 15,7 \stackrel{3}{–} 47,08) = 185,85;$

1.	2.
3.	4.
5.

$\mathbf{2}\mathbf{)} 537,84 \stackrel{4}{·} (0,9078\stackrel{1}{ +} 1,2922) \stackrel{5}{:} (2,8 \stackrel{2}{· }14,7 \stackrel{3}{–} 36,76) = 268,92$

1.	2.
3.	4.
5.

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }(64,5 \stackrel{2}{–} 7,02 \stackrel{1}{: }7,8) \stackrel{5}{·} (72\stackrel{4}{ –} 561,15\stackrel{3}{ : }8,7) \stackrel{6}{–} 152,6 = 324,4$

1.	2.
3.	4.
5.	6.

$\mathbf{4}\mathbf{)} (16,3 \stackrel{2}{–} 6,88 \stackrel{1}{:} 8,6) \stackrel{5}{·} (11,49 \stackrel{4}{–} 326,61\stackrel{3}{ :} 57) \stackrel{6}{+} 513,23 = 602,51$

1.	2.
3.	4.
5.	6.

1) $557,55 \cdot (1,3689 + 0,7311) : (3,4 \cdot 15,7 - 47,08)$
Соблюдая порядок действий, выполним вычисления:
1. Действие в первой скобке: $1,3689 + 0,7311 = 2,1$.
2. Действия во второй скобке (сначала умножение, затем вычитание):
$3,4 \cdot 15,7 = 53,38$
$53,38 - 47,08 = 6,3$
3. Выполняем оставшиеся действия слева направо:
$557,55 \cdot 2,1 = 1170,855$
$1170,855 : 6,3 = 185,85$
Ответ: 185,85.

2) $537,84 \cdot (0,9078 + 1,2922) : (2,8 \cdot 14,7 - 36,76)$
Соблюдая порядок действий, выполним вычисления:
1. Действие в первой скобке: $0,9078 + 1,2922 = 2,2$.
2. Действия во второй скобке:
$2,8 \cdot 14,7 = 41,16$
$41,16 - 36,76 = 4,4$
3. Выполняем оставшиеся действия:
$537,84 \cdot 2,2 = 1183,248$
$1183,248 : 4,4 = 268,92$
Ответ: 268,92.

3) $(64,5 - 7,02 : 7,8) \cdot (72 - 561,15 : 8,7) - 152,6$
Соблюдая порядок действий, выполним вычисления:
1. Действия в первой скобке (сначала деление, затем вычитание):
$7,02 : 7,8 = 0,9$
$64,5 - 0,9 = 63,6$
2. Действия во второй скобке (сначала деление, затем вычитание):
$561,15 : 8,7 = 64,5$
$72 - 64,5 = 7,5$
3. Выполняем оставшиеся действия (сначала умножение, затем вычитание):
$63,6 \cdot 7,5 = 477$
$477 - 152,6 = 324,4$
Ответ: 324,4.

4) $(16,3 - 6,88 : 8,6) \cdot (11,49 - 326,61 : 57) + 513,23$
Соблюдая порядок действий, выполним вычисления:
1. Действия в первой скобке:
$6,88 : 8,6 = 0,8$
$16,3 - 0,8 = 15,5$
2. Действия во второй скобке:
$326,61 : 57 = 5,73$
$11,49 - 5,73 = 5,76$
3. Выполняем оставшиеся действия (сначала умножение, затем сложение):
$15,5 \cdot 5,76 = 89,28$
$89,28 + 513,23 = 602,51$
Ответ: 602,51.

2.352. В первом магазине цена коробки конфет 418 р., а цена во втором магазине составляет 1819 от цены в первом магазине. На сколько рублей коробка конфет во втором магазине дешевле?

2.352

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }418 · \frac{18}{19} = \frac{{\displaystyle \stackrel{22}{\cancel{418}}} · 18}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{19}}}}=\frac{22 · 18}{1} = 396$(р) – цена во 2 магазине;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }418 – 396 = 22$(р) – дешевле во втором магазине.

Ответ: на 22 рубля.

Для решения этой задачи можно использовать два способа.

Способ 1

1. Сначала найдем цену коробки конфет во втором магазине. По условию, она составляет $\frac{18}{19}$ от цены в первом магазине (418 рублей). Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить это число на данную дробь.

$418 \times \frac{18}{19} = \frac{418 \times 18}{19}$

Выполним деление $418$ на $19$:

$418 \div 19 = 22$

Теперь умножим полученный результат на $18$:

$22 \times 18 = 396$ (рублей) — цена коробки конфет во втором магазине.

2. Далее найдем разницу в цене. Для этого из цены в первом магазине вычтем цену во втором магазине.

$418 - 396 = 22$ (рубля).

Способ 2

1. Этот способ позволяет сразу найти разницу в цене. Цена в первом магазине — это целая величина, которую можно представить как $1$ или $\frac{19}{19}$. Цена во втором магазине составляет $\frac{18}{19}$ от цены в первом. Следовательно, разница в цене составляет:

$1 - \frac{18}{19} = \frac{19}{19} - \frac{18}{19} = \frac{1}{19}$ от цены в первом магазине.

2. Теперь найдем, сколько составляет $\frac{1}{19}$ от 418 рублей.

$418 \times \frac{1}{19} = \frac{418}{19} = 22$ (рубля).

Ответ: Коробка конфет во втором магазине дешевле на 22 рубля.

2.353. Овощная смесь состоит из горошка и моркови. Масса моркови составляет 1113 массы горошка. Найдите массу смеси, если горошка в ней 435,5 г.

2.353

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }435,5 · \frac{11}{13} = 435\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{10}}}} · \frac{11}{13}=435\frac{1}{2} · \frac{11}{13}=$

$=\frac{{\displaystyle \stackrel{67}{\cancel{871}} · 11}}{2 · {\displaystyle \underset{1}{\cancel{13}}}}=\frac{67 · 11}{2· 1}=\frac{737}{2}=368\frac{1}{2}$(г) – масса моркови в смеси;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 435\frac{1}{2}+368\frac{1}{2}=803\frac{2}{2}=804$(г) – масса смеси.

Ответ: 804 г.

Чтобы найти общую массу овощной смеси, необходимо сначала вычислить массу моркови, а затем сложить ее с массой горошка.

1. Вычисление массы моркови.

Из условия известно, что масса моркови составляет $\frac{11}{13}$ от массы горошка. Масса горошка равна 435,5 г. Чтобы найти массу моркови, умножим массу горошка на эту дробь:

$435,5 \cdot \frac{11}{13} = \frac{435,5 \cdot 11}{13} = \frac{4790,5}{13} = 368,5$ г.

Таким образом, масса моркови в смеси составляет 368,5 г.

2. Вычисление общей массы смеси.

Общая масса смеси равна сумме масс ее компонентов — горошка и моркови.

$m_{смеси} = m_{горошка} + m_{моркови}$

$435,5 \text{ г} + 368,5 \text{ г} = 804$ г.

Ответ: 804 г.

2.354. Угол А равен 40º, а угол В составляет 135 % от угла А. Найдите градусную меру суммы углов А и В.

2.354

$\mathbf{1}\mathbf{)} 40° · 1,35 = 54° - \angle В;$

$\mathbf{2}\mathbf{)} 40° + 54° = 94° - \angle А + \angle В.$

Ответ: 94°

1. Найдем градусную меру угла B.
По условию, угол A равен $40^\circ$. Угол B составляет $135\%$ от угла A. Чтобы найти величину угла B, необходимо перевести проценты в десятичную дробь и умножить на градусную меру угла А.
$135\% = \frac{135}{100} = 1.35$.
Угол B = $40^\circ \cdot 1.35 = 54^\circ$.

2. Найдем градусную меру суммы углов A и B.
Теперь сложим градусные меры углов A и B, чтобы найти их сумму.
Сумма = Угол A + Угол B = $40^\circ + 54^\circ = 94^\circ$.

Ответ: $94^\circ$.

2.355. На пакетике семян огурцов указан процент всхожести — 98 %. Сколько семян из партии 150 штук может не взойти?

2.355

Всхожесть – 98% = $\frac{98}{100}$= 0,98

Партия – 150 шт

Не взойдёт -?

1) 150 • 0,98 = 147 (шт.) – взойдет семян;

2) 150 – 147 = 3 (шт.) – может не взойти.

Ответ: 3 семян.

Общее количество семян в партии составляет 150 штук, что мы принимаем за 100%. Процент всхожести, то есть доля семян, которые должны прорасти, указан как 98%.

Чтобы найти, сколько семян может не взойти, нам сначала нужно найти процент невсхожести. Для этого мы вычитаем процент всхожести из 100%:
$100\% - 98\% = 2\%$
Таким образом, ожидается, что 2% семян из всей партии не взойдут.

Теперь необходимо рассчитать, какое именно количество семян составляют эти 2% от общего числа в 150 штук. Для этого можно перевести проценты в десятичную дробь и умножить на общее количество семян.
Переведем 2% в десятичную дробь:
$2\% = \frac{2}{100} = 0.02$
Теперь умножим общее количество семян на полученную дробь:
$150 \times 0.02 = 3$
Следовательно, 3 семени из партии в 150 штук могут не взойти.
Ответ: 3.

2.356. Численность населения Московской области в 2018 г. составляла примерно 7,6 млн человек. За год прирост населения составил 1,3 %. Найдите численность населения Московской области в 2019 г.

2.356

2018 г – 7,6 млн;

2019 г - ?, +1,3% = 0,013

1) 7,6 • 0,013 = 0,0988 (млн. чел) – прирост населения за год;

2) 7,6 + 0,0988 = 7,6988 (млн. чел) – численность населения в 2019 году

Ответ: 7,6988 млн. человек.

Для того чтобы найти численность населения Московской области в 2019 году, необходимо к численности 2018 года прибавить годовой прирост.

Исходная численность населения в 2018 году составляла $7,6$ млн человек, что равно $7 \ 600 \ 000$ человек.

Прирост населения за год составил $1,3\%$. Вычислим величину прироста в абсолютных числах. Для этого сначала переведем проценты в десятичную дробь:

$1,3\% = \frac{1,3}{100} = 0,013$

Теперь умножим численность населения 2018 года на полученную дробь:

$\text{Прирост} = 7 \ 600 \ 000 \times 0,013 = 98 \ 800$ человек.

Чтобы найти численность населения в 2019 году, сложим численность 2018 года с годовым приростом:

$\text{Численность в 2019 г.} = 7 \ 600 \ 000 + 98 \ 800 = 7 \ 698 \ 800$ человек.

Альтернативный способ решения — использование множителя. Если население увеличилось на $1,3\%$, то новая численность составляет $100\% + 1,3\% = 101,3\%$ от первоначальной. В виде десятичного множителя это $1,013$.

$\text{Численность в 2019 г.} = 7,6 \text{ млн} \times 1,013 = 7,6988 \text{ млн человек}$, что эквивалентно $7 \ 698 \ 800$ человек.

Ответ: $7 \ 698 \ 800$ человек.

2.357. Фабрика произвела 36 000 пар женской и мужской обуви. В магазины было отгружено 0,7 всех пар мужской обуви и 0,8 всех пар женской обуви. Сколько всего пар обуви отгрузили в магазины, если мужская обувь составляет 59 всей обуви?

2.357

1) 36000 • $\frac{5}{9}$= $\frac{{\displaystyle \stackrel{4000}{\cancel{36000} }}· 5}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{9}}}} = \frac{4000 · 5}{1}$= 20000 (пар) – обуви мужской;

2) 36000 – 20000 = 16000 (пар) – обуви женской;

3) 20000 • 0,7 = 14000 (пар) – мужской обуви отправили в магазин;

4) 16000 • 0,8 = 12800 (пар) – женской обуви отправили;

5) 14000 + 12800 = 26800 (пар) – обуви отправили в магазин.

Ответ: 26 800 пар обуви

Для того чтобы найти общее количество пар обуви, отгруженных в магазины, необходимо последовательно выполнить несколько шагов.

1. Вычислим количество пар мужской обуви, произведенной фабрикой.
Согласно условию, всего было произведено 36 000 пар обуви, а мужская обувь составляет $ \frac{5}{9} $ от этого количества.
$36000 \cdot \frac{5}{9} = \frac{36000 \cdot 5}{9} = 4000 \cdot 5 = 20000$ (пар) - произведено мужской обуви.

2. Вычислим количество пар женской обуви, произведенной фабрикой.
Это можно сделать, вычтя количество мужской обуви из общего количества произведенной обуви.
$36000 - 20000 = 16000$ (пар) - произведено женской обуви.

3. Найдем количество пар мужской обуви, отгруженной в магазины.
В магазины было отгружено 0,7 всех пар мужской обуви.
$20000 \cdot 0,7 = 14000$ (пар) - отгружено мужской обуви.

4. Найдем количество пар женской обуви, отгруженной в магазины.
В магазины было отгружено 0,8 всех пар женской обуви.
$16000 \cdot 0,8 = 12800$ (пар) - отгружено женской обуви.

5. Найдем общее количество пар обуви, отгруженных в магазины.
Для этого сложим количество отгруженной мужской и женской обуви.
$14000 + 12800 = 26800$ (пар).

Ответ: всего в магазины отгрузили 26 800 пар обуви.

2.358. На участке сибирского леса 70 % занимает лиственница, 512оставшейся площади занимает кедр, а остальную площадь — лиственные деревья. Сколько гектаров занимают лиственные деревья, если площадь всего участка 720 га?

2.358

1) 720 • 0,7 = 504 (га) – занимает лиственница;

2) 720 – 504 = 216 (га) – оставшаяся площадь;

3) 216 • $\frac{5}{12}$ = $\underset{1}{\frac{{\displaystyle \stackrel{18}{\cancel{216}}} · 5}{\cancel{12}}}=\frac{18 · 5}{1}=$ 90 (га) – занимает кедр;

4) 216 – 90 = 126 (га) – занимают лиственные деревья.

Ответ: 126 га.

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько последовательных вычислений.

1. Найдём площадь участка, не занятую лиственницей.

Общая площадь участка составляет 720 га. Лиственница занимает 70% этой площади. Следовательно, оставшаяся часть площади, на которой растут другие деревья, составляет:

$100\% - 70\% = 30\%$

Теперь вычислим, сколько гектаров составляют эти 30% от общей площади:

$720 \cdot \frac{30}{100} = 720 \cdot 0,3 = 216$ га.

Таким образом, площадь, на которой растут кедр и лиственные деревья, равна 216 га.

2. Найдём площадь, которую занимают лиственные деревья.

На оставшейся площади (216 га) кедр занимает $\frac{5}{12}$, а остальную часть — лиственные деревья. Чтобы найти долю, которую занимают лиственные деревья, нужно из единицы (представляющей всю оставшуюся площадь) вычесть долю кедра:

$1 - \frac{5}{12} = \frac{12}{12} - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}$

Теперь вычислим, какую площадь в гектарах занимает эта доля. Для этого умножим оставшуюся площадь на найденную долю:

$216 \cdot \frac{7}{12} = \frac{216 \cdot 7}{12} = 18 \cdot 7 = 126$ га.

Ответ: 126 га.

2.359. В кинотеатр на дневной сеанс пришло 240 человек. Из них 512 — дети, 0,4 от количества детей — подростки, остальные — взрослые. Сколько взрослых пришло на сеанс?

2.359

1) 240∙ $\frac{5}{12}$=$\frac{{\displaystyle \stackrel{20}{\cancel{240}}} · 5}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{12}}}}=\frac{20 · 5}{1}$=100 (чел.)-дети;

2) 100 ∙ 0,4 = 40 (чел.) – подростки;

3) 100 + 40 = 140 (чел.) – дети и подростки вместе;

4) 240 – 140 = 100 (чел.) – взрослые.

Ответ: 100 взрослых.

Для решения этой задачи необходимо выполнить последовательно несколько действий.

1. Найдём количество детей, пришедших на сеанс.

Согласно условию, всего в кинотеатре было 240 человек, а дети составляли $\frac{5}{12}$ от общего числа. Чтобы найти абсолютное количество детей, умножим общее число зрителей на эту дробь:

$240 \cdot \frac{5}{12} = \frac{240 \cdot 5}{12} = 20 \cdot 5 = 100$ (детей).

Таким образом, на сеансе было 100 детей.

2. Найдём количество подростков.

В условии сказано, что количество подростков составляет 0,4 от количества детей. Так как мы уже вычислили, что детей было 100, найдём количество подростков:

$100 \cdot 0,4 = 40$ (подростков).

Следовательно, на сеанс пришло 40 подростков.

3. Найдём количество взрослых.

Оставшиеся зрители были взрослыми. Чтобы узнать их количество, нужно из общего числа человек (240) вычесть сумму количества детей и подростков:

$240 - (100 + 40) = 240 - 140 = 100$ (взрослых).

Ответ: на сеанс пришло 100 взрослых.

2.360. а) В теплицах 37 всех тюльпанов — красные, 712 оставшихся тюльпанов — белые, а остальные — жёлтые и розовые. Какую часть тюльпанов составляют жёлтые и розовые?

б) Сколько жёлтых и розовых тюльпанов, если всего в теплице 4830 тюльпанов?

2.360

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }1 -\frac{3}{7} = \frac{7}{7} - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$(ч)-составляют оставшиеся тюльпаны;

$\mathbf{2}\mathbf{)} \frac{4}{7} · \frac{7}{12}=\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{4}}} ·{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{ 7}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}} · {\displaystyle \underset{3}{\bcancel{12}}}}=\frac{1 · 1}{1 · 3}=\frac{1}{3}$(ч)-составляют белые тюльпаны; 

$\mathbf{3}\mathbf{)} {\frac{4}{7}}^{\overline{)·3}} - {\frac{1}{3}}^{\overline{)·7}} = \frac{12}{21}-\frac{7}{21}=\frac{5}{21}$(ч)- составляют жёлтые и розовые тюльпаны.

Ответ:  $\frac{5}{21}$ части.

$4830 · \frac{5}{21}=\frac{4830 · 5}{21}=1150$(цветов)-желтые и розовые тюльпаны.

Ответ: 1150 цветов.

а)

1. Примем общее количество тюльпанов в теплицах за 1 (одну целую).

2. Красные тюльпаны составляют $ \frac{3}{7} $ от всех тюльпанов. Найдем, какая часть тюльпанов осталась после этого. Для этого вычтем долю красных тюльпанов из единицы:

$ 1 - \frac{3}{7} = \frac{7}{7} - \frac{3}{7} = \frac{4}{7} $

Таким образом, $ \frac{4}{7} $ всех тюльпанов — это не красные тюльпаны.

3. Белые тюльпаны составляют $ \frac{7}{12} $ от этого остатка ($ \frac{4}{7} $). Остальные тюльпаны в этом остатке — жёлтые и розовые. Найдем, какую долю от остатка составляют жёлтые и розовые тюльпаны. Для этого вычтем долю белых тюльпанов из целого остатка (приняв его за 1):

$ 1 - \frac{7}{12} = \frac{12}{12} - \frac{7}{12} = \frac{5}{12} $

Это означает, что жёлтые и розовые тюльпаны составляют $ \frac{5}{12} $ от оставшихся $ \frac{4}{7} $ тюльпанов.

4. Теперь найдем, какую часть от общего количества тюльпанов составляют жёлтые и розовые. Для этого умножим долю, которую они составляют от остатка, на величину самого остатка:

$ \frac{5}{12} \times \frac{4}{7} = \frac{5 \times 4}{12 \times 7} = \frac{20}{84} $

5. Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 20 и 84 — это 4.

$ \frac{20 \div 4}{84 \div 4} = \frac{5}{21} $

Следовательно, жёлтые и розовые тюльпаны составляют $ \frac{5}{21} $ от всех тюльпанов в теплицах.

Ответ: $ \frac{5}{21} $.

б)

1. Из пункта а) мы знаем, что жёлтые и розовые тюльпаны составляют $ \frac{5}{21} $ от общего числа тюльпанов.

2. Всего в теплице 4830 тюльпанов. Чтобы найти количество жёлтых и розовых тюльпанов, нужно общее количество умножить на их долю:

$ 4830 \times \frac{5}{21} $

3. Выполним вычисление. Удобнее сначала разделить 4830 на знаменатель 21, а затем умножить на числитель 5.

$ \frac{4830}{21} = 230 $

$ 230 \times 5 = 1150 $

Таким образом, в теплице 1150 жёлтых и розовых тюльпанов.

Ответ: 1150 тюльпанов.

2.361. Бюджет семьи в марте распределился следующим образом: 70 % бюджета составили затраты на питание и на товары повседневного спроса. Оплата коммунальных услуг и налогов составила 20 % затрат на питание и товары повседневного спроса, а остальное было израсходовано на культурный досуг и занятия спортом. Сколько процентов всего бюджета составили расходы на спорт и досуг?

2.361

1) 70% ∙ 0,2 = 14% - составляют затраты на коммунальные услуги и налоги;

2) 70% + 14% = 84% - составляют затраты на питание, услуги и налоги;

3) 100% - 84% = 16% - составляют расходы на спорт и культурный досуг.

Ответ: 16%.

Для решения данной задачи обозначим весь бюджет семьи за 100%.

1. Определим расходы на питание и товары повседневного спроса.
Согласно условию, эти затраты составляют 70% от всего бюджета.

2. Рассчитаем, какая часть бюджета ушла на оплату коммунальных услуг и налогов.
В задаче сказано, что эта статья расходов составила 20% от затрат на питание и товары повседневного спроса. Поскольку затраты на питание и товары — это 70% от всего бюджета, нам нужно найти 20% от 70%.

Для этого можно перемножить доли: $0.20 \times 70\% = 14\%$

Таким образом, на оплату коммунальных услуг и налогов было израсходовано 14% от всего бюджета семьи.

3. Найдем процент расходов на культурный досуг и занятия спортом.
Эти расходы составляют оставшуюся часть бюджета. Чтобы найти эту часть, необходимо из общего бюджета (100%) вычесть все уже учтенные расходы: на питание и товары (70%) и на коммунальные услуги и налоги (14%).

Суммарные известные расходы: $70\% + 14\% = 84\%$

Теперь вычтем эту сумму из общего бюджета: $100\% - 84\% = 16\%$

Следовательно, на культурный досуг и занятия спортом было израсходовано 16% всего бюджета.

Ответ: расходы на спорт и досуг составили 16% всего бюджета.

Вопросы:

Изменятся ли корни уравнения при умножении обеих частей уравнения на одно и то же число, не равное нулю?

Изменятся ли корни уравнения при делении обеих частей уравнения на одно и то же число, не равное нулю?

Изменится ли знак слагаемого при переносе из одной части уравнения в другую?

Какие уравнения называют линейными?

40. Решение уравнений

Вопросы к параграфу

• Если обе части уравнения умножить на одно и то же число, не равное нулю, то полученное уравнение имеет те же корни, что и данное.

• Если обе части уравнения разделить на одно и то же число, не равное нулю, то полученное уравнение имеет те же корни, что и данное

• Если перенести слагаемое из одной части уравнения в другую, то его знак изменится на противоположный.

• Уравнения вида ax = b, где а ≠ 0, называют линейным уравнением.

Изменятся ли корни уравнения при умножении обеих частей уравнения на одно и то же число, не равное нулю?

Нет, корни уравнения не изменяются. Это одно из фундаментальных свойств равенств, которое называется равносильным преобразованием. Если у нас есть верное равенство (то есть левая часть равна правой), то, умножив обе части на одно и то же число, отличное от нуля, мы получим новое, но по-прежнему верное равенство. Любое значение переменной, которое делало исходное уравнение верным, будет делать верным и преобразованное уравнение.

Рассмотрим пример. Пусть дано уравнение: $2x + 4 = 10$.
Легко видеть, что корнем этого уравнения является $x = 3$, так как $2 \cdot 3 + 4 = 6 + 4 = 10$.
Теперь умножим обе части этого уравнения, например, на число 5:
$5 \cdot (2x + 4) = 5 \cdot 10$
Раскроем скобки:
$10x + 20 = 50$
Решим новое уравнение:
$10x = 50 - 20$
$10x = 30$
$x = 30 / 10$
$x = 3$
Как видим, корень уравнения остался прежним. Это справедливо для любого уравнения и любого ненулевого множителя.

Ответ: Нет, корни уравнения не изменятся.

Изменятся ли корни уравнения при делении обеих частей уравнения на одно и то же число, не равное нулю?

Нет, корни уравнения также не изменятся. Деление обеих частей уравнения на ненулевое число — это такое же равносильное преобразование, как и умножение. Фактически, деление на число $c$ — это то же самое, что и умножение на число $\frac{1}{c}$. Поскольку $c \ne 0$, то и $\frac{1}{c}$ также не равно нулю, поэтому все свойства, описанные для умножения, сохраняются и для деления.

Рассмотрим пример. Пусть дано уравнение: $4x - 8 = 12$.
Решим его: $4x = 12 + 8$, $4x = 20$, $x = 5$. Корень уравнения — $x = 5$.
Теперь разделим обе части исходного уравнения на 4:
$(4x - 8) / 4 = 12 / 4$
Выполним деление каждого члена в левой части:
$x - 2 = 3$
Решим новое уравнение:
$x = 3 + 2$
$x = 5$
Корень уравнения не изменился.

Ответ: Нет, корни уравнения не изменятся.

Изменится ли знак слагаемого при переносе из одной части уравнения в другую?

Да, изменится. Правило переноса слагаемых из одной части уравнения в другую гласит, что при переносе знак слагаемого меняется на противоположный (плюс на минус, а минус на плюс). Это правило является удобным сокращением для математической операции — прибавления к обеим частям уравнения одного и того же числа или вычитания из обеих частей одного и того же числа.

Рассмотрим, как это работает на примере уравнения $3x + 5 = 14$.
Наша цель — изолировать слагаемые с переменной $x$ в одной части. Для этого нам нужно "убрать" число 5 из левой части. Сделаем это, вычтя 5 из обеих частей уравнения:
$(3x + 5) - 5 = 14 - 5$
В левой части $5 - 5 = 0$, поэтому остается:
$3x = 14 - 5$
Если сравнить исходное уравнение $3x + 5 = 14$ с итоговым $3x = 14 - 5$, то видно, что слагаемое $+5$ из левой части "переместилось" в правую и стало слагаемым $-5$.

Ответ: Да, знак слагаемого при переносе в другую часть уравнения меняется на противоположный.

Какие уравнения называют линейными?

Линейным уравнением с одной переменной называется уравнение вида $ax + b = 0$, где $x$ — это переменная, а $a$ и $b$ — некоторые числа (называемые коэффициентами), причем коэффициент $a$ при переменной $x$ не должен быть равен нулю ($a \ne 0$).

Ключевая особенность линейных уравнений в том, что переменная в них всегда находится в первой степени. Многие уравнения, которые на первый взгляд не выглядят как $ax + b = 0$, могут быть сведены к этому виду с помощью равносильных преобразований (перенос слагаемых, приведение подобных, умножение/деление на число).

Примеры линейных уравнений:

• $5x - 15 = 0$ (здесь $a=5$, $b=-15$)
• $2x = 8$ (можно преобразовать в $2x - 8 = 0$, где $a=2$, $b=-8$)
• $\frac{x}{3} + 1 = 2$ (можно преобразовать в $\frac{1}{3}x - 1 = 0$, где $a=\frac{1}{3}$, $b=-1$)
• $7(x-2) = 3x$ (после раскрытия скобок и переноса слагаемых: $7x - 14 = 3x \implies 4x - 14 = 0$, где $a=4$, $b=-14$)

Уравнения вида $x^2 = 9$ или $\frac{5}{x} = 1$ не являются линейными, так как в них переменная находится не в первой степени.

Ответ: Уравнения вида $ax + b = 0$, где $x$ — переменная, $a$ и $b$ — числа, причем $a \ne 0$.

5.95. Перенесите из левой части уравнения в правую слагаемое, которое не содержит неизвестного:

а) 9x + 7,8 = 11x + 30; б) 2z – 9 = –3z – 3.8.

5.95

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }9х + 7,8 = 11х + 30; \\ 9x = 11x + 30 – 7,8 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }2z – 9 = -3z – 3,8; \\ 2z = -3z – 3,8 + 9. \end{gathered}$$

а)

В уравнении $9x + 7,8 = 11x + 30$ левая часть — это $9x + 7,8$. Она состоит из двух слагаемых: $9x$ и $7,8$. Слагаемое $9x$ содержит неизвестное $x$, а слагаемое $7,8$ — не содержит.

По заданию нужно перенести слагаемое без неизвестного ($7,8$) из левой части в правую. При переносе слагаемого через знак равенства его знак меняется на противоположный. Таким образом, $+7,8$ станет $-7,8$.

Исходное уравнение:

$9x + 7,8 = 11x + 30$

Переносим $7,8$ в правую часть:

$9x = 11x + 30 - 7,8$

Теперь упростим правую часть, выполнив вычитание:

$30 - 7,8 = 22,2$

В результате получаем уравнение:

$9x = 11x + 22,2$

Ответ: $9x = 11x + 22,2$.

б)

В уравнении $2z - 9 = -3z - 3,8$ левая часть — это $2z - 9$. Слагаемое, не содержащее неизвестное $z$, это $-9$.

Перенесем слагаемое $-9$ из левой части в правую. При переносе знак меняется на противоположный, то есть $-9$ станет $+9$.

Исходное уравнение:

$2z - 9 = -3z - 3,8$

Переносим $-9$ в правую часть:

$2z = -3z - 3,8 + 9$

Упростим правую часть, выполнив сложение:

$-3,8 + 9 = 5,2$

В результате получаем уравнение:

$2z = -3z + 5,2$

Ответ: $2z = -3z + 5,2$.

5.96. Перенесите слагаемые так, чтобы в левой части уравнения были слагаемые, содержащие неизвестное, а в правой – числа:

а) 21z – 3,2 = –7z + 5,5; б) –9x + 4,3 = 6x – 1.

5.96

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 21z – 3,2 = -7z + 5,5 \\ 21z + 7z = 5,5 + 3,2 \\ \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }-9x + 4,3 = 6x – 1 \\ -9x – 6x = -1 – 4,3 \end{gathered}$$

а) В исходном уравнении $21z - 3,2 = -7z + 5,5$ нужно сгруппировать слагаемые так, чтобы все члены, содержащие неизвестное $z$, оказались в левой части, а все числовые члены — в правой.
1. Перенесем слагаемое $-7z$ из правой части в левую. При переносе через знак равенства знак слагаемого меняется на противоположный, то есть $-7z$ станет $+7z$. Левая часть примет вид: $21z + 7z$.
2. Перенесем число $-3,2$ из левой части в правую. Аналогично, знак меняется на противоположный, и $-3,2$ станет $+3,2$. Правая часть примет вид: $5,5 + 3,2$.
В результате преобразования получаем следующее уравнение:
$21z + 7z = 5,5 + 3,2$.
Ответ: $21z + 7z = 5,5 + 3,2$.

б) В исходном уравнении $-9x + 4,3 = 6x - 1$ выполним аналогичные действия: сгруппируем слагаемые с неизвестным $x$ в левой части, а числа — в правой.
1. Перенесем слагаемое $6x$ из правой части в левую. При переносе знак меняется с «+» на «–», поэтому получаем $-6x$. Левая часть примет вид: $-9x - 6x$.
2. Перенесем число $4,3$ из левой части в правую. Знак меняется с «+» на «–», и мы получаем $-4,3$. Правая часть примет вид: $-1 - 4,3$.
В результате преобразования получаем следующее уравнение:
$-9x - 6x = -1 - 4,3$.
Ответ: $-9x - 6x = -1 - 4,3$.

5.97. Решите уравнение:
а) 7x – 21 = 6x + 3;
б) –10n + 7 = –11n –3;
в) 5c + 13 = 6c + 23;
г) –24c – 9 = 23c – 9;
д) 8 + 27a = 10 + 26a;
е) 13 – 7x = 14 – 8x;
ж) 9n + 6 = –4 + 10n;
з) 2 – 5x = 4 – 6x.

5.97

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }7\mathrm{х} – 21 = 6\mathrm{х} + 3; \\ 7\mathrm{x} – 6\mathrm{x} = 3 + 21; \\ \mathrm{x} = 24. \\ \mathrm{Ответ}: 24. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }-10\mathrm{n} + 7 = -11\mathrm{n} – 3; \\ -10\mathrm{n} + 11\mathrm{n} = -3 – 7; \\ \mathrm{n} = -10. \\ \mathrm{Ответ}: -10. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }5\mathrm{с} + 13 = 6\mathrm{с} + 23; \\ 5\mathrm{с} – 6\mathrm{с} = 23 – 13; \\ - \mathrm{с} = 10; \\ \mathrm{с} = -10. \\ \mathrm{Ответ}: -10. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }-24\mathrm{с} – 9 = 23\mathrm{с} – 9; \\ -24\mathrm{с} – 23\mathrm{с} = -9 + 9; \\ -47\mathrm{с} = 0; \\ \mathrm{с} = 0 : (-47); \\ \mathrm{с} = 0. \\ \mathrm{Ответ}: 0. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{д}\mathbf{)} 8 + 27\mathrm{а} = 10 + 26\mathrm{а}; \\ 27\mathrm{а} – 26\mathrm{а} = 10 – 8; \\ \mathrm{а} = 2. \\ \mathrm{Ответ}: 2. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{е}\mathbf{)}\mathbf{ }13 – 7\mathrm{х} = 14 – 8\mathrm{х}; \\ -7\mathrm{х} + 8\mathrm{х} = 14 – 13; \\ \mathrm{х} = 1. \\ \mathrm{Ответ}: 1. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{ж}\mathbf{)}\mathbf{ }9\mathrm{n} + 6 = -4 + 10\mathrm{n}; \\ 9\mathrm{n} – 10\mathrm{n} = -4 – 6; \\ -\mathrm{n} = -10; \\ \mathrm{n} = 10. \\ \mathrm{Ответ}: 10. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{з}\mathbf{)} 2 – 5\mathrm{x} = 4 – 6\mathrm{x}; \\ -5\mathrm{x} + 6\mathrm{x} = 4 – 2; \\ \mathrm{x} = 2. \\ \mathrm{Ответ}: 2. \end{gathered}$$

а) $7x - 21 = 6x + 3$

Для решения уравнения перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть уравнения, а числа — в правую часть. При переносе слагаемых из одной части уравнения в другую их знаки меняются на противоположные.

$7x - 6x = 3 + 21$

Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:

$x = 24$

Ответ: $24$

б) $-10n + 7 = -11n - 3$

Перенесем слагаемые с переменной $n$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую, изменяя их знаки при переносе.

$-10n + 11n = -3 - 7$

Упростим обе части уравнения, выполнив сложение и вычитание:

$n = -10$

Ответ: $-10$

в) $5c + 13 = 6c + 23$

Соберем слагаемые с переменной $c$ в одной части уравнения (например, в правой), а свободные члены — в другой (в левой).

$13 - 23 = 6c - 5c$

Выполним вычисления в обеих частях уравнения:

$-10 = c$

Ответ: $-10$

г) $-24c - 9 = 23c - 9$

Перенесем все слагаемые с переменной $c$ в правую часть, а числа — в левую.

$-9 + 9 = 23c + 24c$

Упростим обе части:

$0 = 47c$

Чтобы найти $c$, разделим обе части уравнения на $47$:

$c = \frac{0}{47}$

$c = 0$

Ответ: $0$

д) $8 + 27a = 10 + 26a$

Перенесем слагаемые с переменной $a$ влево, а числа — вправо.

$27a - 26a = 10 - 8$

Приведем подобные слагаемые:

$a = 2$

Ответ: $2$

е) $13 - 7x = 14 - 8x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числа — в правую.

$-7x + 8x = 14 - 13$

Упростим обе части уравнения:

$x = 1$

Ответ: $1$

ж) $9n + 6 = -4 + 10n$

Перенесем слагаемые с переменной $n$ в правую часть, а числа — в левую, чтобы коэффициент при $n$ был положительным.

$6 + 4 = 10n - 9n$

Выполним вычисления:

$10 = n$

Ответ: $10$

з) $2 - 5x = 4 - 6x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числа — в правую.

$-5x + 6x = 4 - 2$

Приведем подобные слагаемые:

$x = 2$

Ответ: $2$