Страница 96, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.382. Вычислите.

2.382

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 90 – 73 = 17; \\ 17 · 4 = 68; \\ 68 – 26 = 42; \\ 42 : 7 = 6. \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 750 : 250 = 3; \\ 3 · 140 = 420; \\ 420 + 360 = 780; \\ 780 : 20 = 39. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }0,7 · 6 = 4,2; \\ 4,2 – 3,6 = 0,6; \\ 0,6 + 5 = 5,6; \\ 5,6 : 14 = 0,4. \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)} 5,4 : 0,9 = 54 : 9 = 6; \\ 6 · 0,4 = 2,4; \\ 2,4 + 1,6 = 4; \\ 4 : 10 = 0,4. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)} 0,48 : 0,6 = 4,8 : 6 = 0,8; \\ 0,8 + 4,2 = 5; \\ 5 : 2,5 = 50 : 25 = 2; \\ 2 · 10 = 20. \end{gathered}$$

а)

Решим пример по действиям:

1) $90 - 73 = 17$

2) $17 \cdot 4 = 68$

3) $68 - 26 = 42$

4) $42 : 7 = 6$

Ответ: $6$

б)

Решим пример по действиям:

1) $750 : 250 = 3$

2) $3 \cdot 140 = 420$

3) $420 + 360 = 780$

4) $780 : 20 = 39$

Ответ: $39$

в)

Решим пример по действиям:

1) $0,7 \cdot 6 = 4,2$

2) $4,2 - 3,6 = 0,6$

3) $0,6 + 5 = 5,6$

4) $5,6 : 14 = 0,4$

Ответ: $0,4$

г)

Решим пример по действиям:

1) $5,4 : 0,9 = 54 : 9 = 6$

2) $6 \cdot 0,4 = 2,4$

3) $2,4 + 1,6 = 4$

4) $4 : 10 = 0,4$

Ответ: $0,4$

д)

Решим пример по действиям:

1) $0,48 : 0,6 = 4,8 : 6 = 0,8$

2) $0,8 + 4,2 = 5$

3) $5 : 2,5 = 50 : 25 = 2$

4) $2 \cdot 10 = 20$

Ответ: $20$

2.383. Найдите произведение:

а) 49 · 97 · 717 · 1728;
б) 1317 · 1519 · 1713 · 1915;
в) 7 · 17 · 8 · 18 · 9 · 19 · 10 · 110.

2.383

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{4}{9} · \frac{9}{7}· \frac{7}{17} · \frac{17}{28}=\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{4}}} · \bcancel{9} · \cancel{7} ·\sout{17}}{\bcancel{9} · \cancel{7} · \sout{17} · {\displaystyle \underset{7}{\cancel{28}}}}= \\ =\frac{1 · 1 · 1 · 1}{1 · 1 ·1 · 7}=\frac{1}{7}; \end{gathered}$$

$\mathit{б}\mathbf{)} \frac{13}{17} · \frac{15}{19} · \frac{17}{13} · \frac{19}{15} = \frac{\cancel{13} · \bcancel{15} · \sout{17} ·\xcancel{19}}{\sout{17} · \xcancel{19} · \cancel{13} · \bcancel{15}}=1;$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} 7 · \frac{1}{7} · 8 ·\frac{1}{8} · 9 ·\frac{1}{9} · 10 · \frac{1}{10}= \\ = \frac{7 · 1 · 8 · 1 · 9 · 1 · 10 · 1}{7 · 8 · 9 · 10} =1. \end{gathered}$$

а) $\frac{4}{9} \cdot \frac{9}{7} \cdot \frac{7}{17} \cdot \frac{17}{28}$

Чтобы найти произведение дробей, нужно перемножить их числители и знаменатели. Запишем все множители под одной дробной чертой:

$\frac{4}{9} \cdot \frac{9}{7} \cdot \frac{7}{17} \cdot \frac{17}{28} = \frac{4 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 17}{9 \cdot 7 \cdot 17 \cdot 28}$

Теперь можно сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе. В данном случае это числа 9, 7 и 17.

$\frac{4 \cdot \cancel{9} \cdot \cancel{7} \cdot \cancel{17}}{\cancel{9} \cdot \cancel{7} \cdot \cancel{17} \cdot 28} = \frac{4}{28}$

Полученную дробь $\frac{4}{28}$ также можно сократить, так как числитель и знаменатель делятся на 4.

$\frac{4 \div 4}{28 \div 4} = \frac{1}{7}$

Ответ: $\frac{1}{7}$

б) $\frac{13}{17} \cdot \frac{15}{19} \cdot \frac{17}{13} \cdot \frac{19}{15}$

Аналогично предыдущему примеру, запишем произведение всех числителей и всех знаменателей под одной дробной чертой:

$\frac{13}{17} \cdot \frac{15}{19} \cdot \frac{17}{13} \cdot \frac{19}{15} = \frac{13 \cdot 15 \cdot 17 \cdot 19}{17 \cdot 19 \cdot 13 \cdot 15}$

Заметим, что в числителе и знаменателе находятся одни и те же множители. Сократим их:

$\frac{\cancel{13} \cdot \cancel{15} \cdot \cancel{17} \cdot \cancel{19}}{\cancel{17} \cdot \cancel{19} \cdot \cancel{13} \cdot \cancel{15}} = \frac{1}{1} = 1$

Ответ: $1$

в) $7 \cdot \frac{1}{7} \cdot 8 \cdot \frac{1}{8} \cdot 9 \cdot \frac{1}{9} \cdot 10 \cdot \frac{1}{10}$

В этом выражении числа умножаются на обратные им дроби. Произведение числа на обратное ему число всегда равно единице ($a \cdot \frac{1}{a} = 1$). Сгруппируем множители попарно:

$(7 \cdot \frac{1}{7}) \cdot (8 \cdot \frac{1}{8}) \cdot (9 \cdot \frac{1}{9}) \cdot (10 \cdot \frac{1}{10})$

Вычислим значение в каждой скобке:

$7 \cdot \frac{1}{7} = \frac{7}{7} = 1$

$8 \cdot \frac{1}{8} = \frac{8}{8} = 1$

$9 \cdot \frac{1}{9} = \frac{9}{9} = 1$

$10 \cdot \frac{1}{10} = \frac{10}{10} = 1$

Теперь перемножим полученные единицы:

$1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$

Ответ: $1$

2.384. Выполните действия:

а) (13)³; б) (12)³ + 14; в) (1 – 45)³.

2.384

$\mathit{а}\mathbf{)} {\left(\frac{1}{3}\right)}^3=\frac{1}{3} · \frac{1}{3} · \frac{1}{3} = \frac{1}{27};$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }{\left(\frac{1}{2}\right)}^3+\frac{1}{4}=\frac{1}{2} · \frac{1}{2} ·\frac{1}{2} +\frac{1}{4}= \\ =\frac{1}{8} + {\frac{1}{4}}^{\overline{)·2}}=\frac{1}{8} + \frac{2}{8}=\frac{3}{8}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }{\left(1 - \frac{4}{5}\right)}^3={\left(\frac{5}{5}-\frac{4}{5}\right)}^3={\left(\frac{1}{5}\right)}^3= \\ =\frac{1}{5} · \frac{1}{5} · \frac{1}{5} = \frac{1}{125}. \end{gathered}$$

а) Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень и числитель, и знаменатель дроби. $(\frac{1}{3})^3 = \frac{1^3}{3^3} = \frac{1 \times 1 \times 1}{3 \times 3 \times 3} = \frac{1}{27}$.
Ответ: $\frac{1}{27}$

б) Согласно порядку действий, сначала выполняем возведение в степень, а затем сложение.
1. Возводим дробь $\frac{1}{2}$ в куб: $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8}$.
2. Теперь выполним сложение: $\frac{1}{8} + \frac{1}{4}$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю, который равен 8. Вторую дробь домножим на 2: $\frac{1}{4} = \frac{1 \times 2}{4 \times 2} = \frac{2}{8}$.
3. Складываем дроби: $\frac{1}{8} + \frac{2}{8} = \frac{1+2}{8} = \frac{3}{8}$.
Ответ: $\frac{3}{8}$

в) Сначала выполняем действие в скобках (вычитание), а затем возводим полученный результат в степень.
1. Выполним вычитание: $1 - \frac{4}{5}$. Представим 1 как дробь со знаменателем 5: $1 = \frac{5}{5}$.
Тогда $1 - \frac{4}{5} = \frac{5}{5} - \frac{4}{5} = \frac{5-4}{5} = \frac{1}{5}$.
2. Теперь возведем полученную дробь в куб: $(\frac{1}{5})^3 = \frac{1^3}{5^3} = \frac{1 \times 1 \times 1}{5 \times 5 \times 5} = \frac{1}{125}$.
Ответ: $\frac{1}{125}$

2.385. Найдите число, от которого отняли 13 и получили:

а) 1; б) 16; в) 56; г) 2324; д) 156.

2.385

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} х - \frac{1}{3} = 1; \\ х = 1 + \frac{1}{3}; \\ х = 1\frac{1}{3}. \\ \mathrm{Ответ}: 1\frac{1}{3}. \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }х - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}; \\ х = \frac{1}{6} + {\frac{1}{3}}^{\overline{)·2}}; \\ х = \frac{1}{6} + \frac{2}{6}; \\ х = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{3}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{6}}}}; \\ х = \frac{1}{2}. \\ \mathrm{Ответ}: \frac{1}{2}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }х - \frac{1}{3} = \frac{5}{6}; \\ х = \frac{5}{6} + {\frac{1}{3}}^{\overline{)·2}}; \\ х = \frac{5}{6} + \frac{2}{6}; \\ х = \frac{7}{6}; \\ х = 1\frac{1}{6}. \\ \mathrm{Ответ}: 1\frac{1}{6}. \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} х - \frac{1}{3} = \frac{23}{24}; \\ х = \frac{23}{24} + {\frac{1}{3}}^{\overline{)·8}}; \\ х = \frac{23}{24} + \frac{8}{24}; \\ х = \frac{31}{24}; \\ х = 1\frac{7}{24}. \\ \mathrm{Ответ}: 1\frac{7}{24}. \end{gathered}$$

а) Пусть искомое число равно $x$. Согласно условию задачи, от этого числа отняли $\frac{1}{3}$ и в результате получили 1. Это можно представить в виде уравнения: $x - \frac{1}{3} = 1$. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое ($x$), необходимо к разности (1) прибавить вычитаемое ($\frac{1}{3}$). $x = 1 + \frac{1}{3}$ $x = 1\frac{1}{3}$ Другой способ — представить 1 как дробь со знаменателем 3: $x = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3+1}{3} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$. Ответ: $1\frac{1}{3}$.

б) Пусть искомое число равно $x$. По условию, $x - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$. Чтобы найти $x$, нужно сложить $\frac{1}{6}$ и $\frac{1}{3}$: $x = \frac{1}{6} + \frac{1}{3}$ Для сложения приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 3 — это 6. $x = \frac{1}{6} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{1+2}{6} = \frac{3}{6}$ Сократим полученную дробь: $x = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Ответ: $\frac{1}{2}$.

в) Пусть искомое число равно $x$. По условию, $x - \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$. Найдем $x$, выполнив сложение: $x = \frac{5}{6} + \frac{1}{3}$ Приведем дроби к общему знаменателю 6: $x = \frac{5}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5+2}{6} = \frac{7}{6}$ Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $x = 1\frac{1}{6}$. Ответ: $1\frac{1}{6}$.

г) Пусть искомое число равно $x$. По условию, $x - \frac{1}{3} = \frac{23}{24}$. Найдем $x$: $x = \frac{23}{24} + \frac{1}{3}$ Наименьший общий знаменатель для 24 и 3 — это 24. $x = \frac{23}{24} + \frac{1 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{23}{24} + \frac{8}{24} = \frac{23+8}{24} = \frac{31}{24}$ Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $x = 1\frac{7}{24}$. Ответ: $1\frac{7}{24}$.

д) Пусть искомое число равно $x$. По условию, $x - \frac{1}{3} = 1\frac{5}{6}$. Найдем $x$: $x = 1\frac{5}{6} + \frac{1}{3}$ Сначала преобразуем смешанное число $1\frac{5}{6}$ в неправильную дробь: $1\frac{5}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{11}{6}$ Теперь выполним сложение: $x = \frac{11}{6} + \frac{1}{3}$ Приведем дроби к общему знаменателю 6: $x = \frac{11}{6} + \frac{2}{6} = \frac{11+2}{6} = \frac{13}{6}$ Преобразуем результат обратно в смешанное число: $x = 2\frac{1}{6}$. Ответ: $2\frac{1}{6}$.

2.386. Как из числа, записанного в квадратике, получить числа, записанные в кружках?

2.386

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} \frac{2}{5} ·\frac{5}{8} = \frac{1}{4} \\ \frac{2}{5} · \frac{2}{5} = \frac{4}{25} \\ \frac{2}{5} · \frac{5}{6} =\frac{1}{3} \\ \frac{2}{5} · 0 = 0 \\ \frac{2}{5} · \frac{25}{4}=2\frac{1}{2} \\ \frac{2}{5} · \frac{4}{5} = \frac{8}{25} \\ \frac{2}{5} + 1= \frac{7}{5} \\ \frac{2}{5} · \frac{5}{8} = \frac{1}{4} \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} \frac{2}{5} + 2\frac{3}{5} = 3 \\ \frac{2}{5} · \frac{25}{32} = \frac{5}{16} \\ \frac{2}{5} · \frac{3}{16} = \frac{3}{40} \\ \frac{2}{5} · \frac{5}{2} = 1 \\ \frac{2}{5} · 0 = 0 \\ \frac{2}{5} · \frac{35}{6} = 2\frac{1}{3} \\ \frac{2}{5} + 2\frac{3}{5} = 3. \end{gathered}$$

В данной задаче необходимо для каждого числа в кружке определить, какую математическую операцию нужно совершить с числом в квадратике ($ \frac{2}{5} $), чтобы его получить.

Проанализируем каждый случай для числа в квадратике $ \frac{2}{5} $:

• Чтобы получить $ \frac{4}{25} $, нужно исходное число умножить само на себя (возвести в квадрат):
  $ \frac{2}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{25} $.

• Чтобы получить $ \frac{1}{3} $, нужно из исходного числа вычесть $ \frac{1}{15} $:
  $ \frac{2}{5} - \frac{1}{15} = \frac{6}{15} - \frac{1}{15} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} $.

• Чтобы получить $ 0 $, нужно из исходного числа вычесть само себя:
  $ \frac{2}{5} - \frac{2}{5} = 0 $.

• Чтобы получить $ 2\frac{1}{2} $, нужно найти число, обратное исходному (то есть разделить 1 на исходное число):
  $ 1 \div \frac{2}{5} = 1 \times \frac{5}{2} = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} $.

• Чтобы получить $ \frac{8}{25} $, нужно из исходного числа вычесть $ \frac{2}{25} $:
  $ \frac{2}{5} - \frac{2}{25} = \frac{10}{25} - \frac{2}{25} = \frac{8}{25} $.

• Чтобы получить $ \frac{7}{5} $, нужно к исходному числу прибавить 1:
  $ \frac{2}{5} + 1 = \frac{2}{5} + \frac{5}{5} = \frac{7}{5} $.

• Чтобы получить $ 1 $, нужно к исходному числу прибавить $ \frac{3}{5} $:
  $ \frac{2}{5} + \frac{3}{5} = \frac{5}{5} = 1 $.

• Чтобы получить $ \frac{1}{4} $, нужно из исходного числа вычесть $ \frac{3}{20} $:
  $ \frac{2}{5} - \frac{3}{20} = \frac{8}{20} - \frac{3}{20} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} $.

Ответ: Чтобы получить числа в кружках из числа $ \frac{2}{5} $, нужно выполнить следующие операции:

• для $ \frac{4}{25} $: умножить на $ \frac{2}{5} $ (возвести в квадрат);
• для $ \frac{1}{3} $: вычесть $ \frac{1}{15} $;
• для $ 0 $: вычесть $ \frac{2}{5} $;
• для $ 2\frac{1}{2} $: найти обратное число;
• для $ \frac{8}{25} $: вычесть $ \frac{2}{25} $;
• для $ \frac{7}{5} $: прибавить $ 1 $;
• для $ 1 $: прибавить $ \frac{3}{5} $;
• для $ \frac{1}{4} $: вычесть $ \frac{3}{20} $.

Проанализируем каждый случай для числа в квадратике $ \frac{2}{5} $:

• Чтобы получить $ 3 $, нужно исходное число разделить на $ \frac{2}{15} $:
  $ \frac{2}{5} \div \frac{2}{15} = \frac{2}{5} \times \frac{15}{2} = 3 $.

• Чтобы получить $ \frac{5}{16} $, нужно из исходного числа вычесть $ \frac{7}{80} $:
  $ \frac{2}{5} - \frac{7}{80} = \frac{32}{80} - \frac{7}{80} = \frac{25}{80} = \frac{5}{16} $.

• Чтобы получить $ 2\frac{2}{3} $, нужно исходное число разделить на $ \frac{3}{20} $:
  $ \frac{2}{5} \div \frac{3}{20} = \frac{2}{5} \times \frac{20}{3} = \frac{40}{15} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} $.

• Чтобы получить $ \frac{3}{40} $, нужно исходное число умножить на $ \frac{3}{16} $:
  $ \frac{2}{5} \times \frac{3}{16} = \frac{6}{80} = \frac{3}{40} $.

• Чтобы получить $ 1 $, нужно исходное число разделить само на себя:
  $ \frac{2}{5} \div \frac{2}{5} = 1 $.

• Чтобы получить $ \frac{3}{13} $, нужно из исходного числа вычесть $ \frac{11}{65} $:
  $ \frac{2}{5} - \frac{11}{65} = \frac{26}{65} - \frac{11}{65} = \frac{15}{65} = \frac{3}{13} $.

• Чтобы получить $ 0 $, нужно из исходного числа вычесть само себя:
  $ \frac{2}{5} - \frac{2}{5} = 0 $.

• Чтобы получить $ 2\frac{1}{3} $, нужно к исходному числу прибавить $ \frac{29}{15} $:
  $ \frac{2}{5} + \frac{29}{15} = \frac{6}{15} + \frac{29}{15} = \frac{35}{15} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} $.

Ответ: Чтобы получить числа в кружках из числа $ \frac{2}{5} $, нужно выполнить следующие операции:

• для $ 3 $: разделить на $ \frac{2}{15} $;
• для $ \frac{5}{16} $: вычесть $ \frac{7}{80} $;
• для $ 2\frac{2}{3} $: разделить на $ \frac{3}{20} $;
• для $ \frac{3}{40} $: умножить на $ \frac{3}{16} $;
• для $ 1 $: разделить на $ \frac{2}{5} $;
• для $ \frac{3}{13} $: вычесть $ \frac{11}{65} $;
• для $ 0 $: вычесть $ \frac{2}{5} $;
• для $ 2\frac{1}{3} $: прибавить $ \frac{29}{15} $.

2.387. Подсчитайте на своих моделях число граней, вершин, рёбер у треугольной пирамиды; у четырёхугольной пирамиды. А сколько граней, вершин, рёбер у семиугольной пирамиды?

2.387

Треугольная пирамида: 4 грани, 4 вершины, 6 ребер.

Четырехугольная пирамида: 5 граней, 5 вершин, 8 ребер.

Семиугольная пирамида: 8 граней, 8 вершин, 14 ребер.

У треугольной пирамиды

Треугольная пирамида, также известная как тетраэдр, имеет в основании треугольник. Подсчитаем её элементы:

Грани: 1 грань в основании (треугольник) и 3 боковые грани (также треугольники). Всего: $1 + 3 = 4$ грани.

Вершины: 3 вершины в основании и 1 общая вершина сверху (апекс). Всего: $3 + 1 = 4$ вершины.

Рёбра: 3 ребра в основании и 3 боковых ребра, которые соединяют вершины основания с апексом. Всего: $3 + 3 = 6$ рёбер.

Ответ: 4 грани, 4 вершины, 6 рёбер.

У четырёхугольной пирамиды

Четырёхугольная пирамида имеет в основании четырёхугольник. Подсчитаем её элементы:

Грани: 1 грань в основании (четырёхугольник) и 4 боковые грани (треугольники). Всего: $1 + 4 = 5$ граней.

Вершины: 4 вершины в основании и 1 апекс. Всего: $4 + 1 = 5$ вершин.

Рёбра: 4 ребра в основании и 4 боковых ребра. Всего: $4 + 4 = 8$ рёбер.

Ответ: 5 граней, 5 вершин, 8 рёбер.

У семиугольной пирамиды

Для любой n-угольной пирамиды, в основании которой лежит многоугольник с $n$ сторонами, число элементов можно вычислить по общим формулам. Для семиугольной пирамиды $n=7$.

Грани: Число граней равно $n + 1$. Для семиугольной пирамиды это $7 + 1 = 8$ граней (1 основание и 7 боковых граней).

Вершины: Число вершин равно $n + 1$. Для семиугольной пирамиды это $7 + 1 = 8$ вершин (7 вершин в основании и 1 апекс).

Рёбра: Число рёбер равно $2n$. Для семиугольной пирамиды это $2 \times 7 = 14$ рёбер (7 рёбер в основании и 7 боковых рёбер).

Ответ: 8 граней, 8 вершин, 14 рёбер.

2.388. Корабли возвращаются в порт приписки после каждого рейса. У первого корабля рейс длится 6 дней, у второго — 5 дней, а у третьего — 20 дней. Через сколько дней корабли опять встретятся в порту, если в первый рейс они вышли одновременно?

2.388

1 корабль – 6 дней;

2 корабль – 5 дней;

3 корабль – 20 дней.

Через сколько корабли встретятся -? дней.

НОК(6; 5; 20) = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 3 = 60 (дней) – встретятся.

Ответ: через 60 дней.

Для того чтобы найти, через сколько дней все три корабля снова встретятся в порту, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) для продолжительности их рейсов. Это будет наименьшее количество дней, которое делится без остатка на длительность рейса каждого из кораблей (6, 5 и 20 дней).

Задача сводится к нахождению $НОК(6, 5, 20)$.

Для этого разложим каждое число на простые множители:
$6 = 2 \times 3$
$5 = 5$ (является простым числом)
$20 = 2 \times 10 = 2 \times 2 \times 5 = 2^2 \times 5$

Теперь, чтобы найти НОК, нужно выписать все простые множители, которые встречаются в разложениях, и взять каждый из них в наибольшей степени.
- Наибольшая степень для множителя 2 это $2^2$ (из разложения числа 20).
- Наибольшая степень для множителя 3 это $3^1$ (из разложения числа 6).
- Наибольшая степень для множителя 5 это $5^1$ (из разложения чисел 5 и 20).

Перемножим эти множители:
$НОК(6, 5, 20) = 2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 = 60$

Таким образом, все три корабля снова окажутся в порту одновременно через 60 дней.

Ответ: 60 дней.

2.389. Юрий Долгорукий основал Москву в 1147 г., а Пётр I — Санкт-Петербург в 1703 г. Какой город моложе и на сколько лет?

2.389

1147 < 1703, моложе город Санкт-Петербург

1703 – 1147 = 556 (лет)

Ответ: Санкт-Петербург моложе на 556 лет.

Какой город моложе?

Чтобы определить, какой город моложе, нужно сравнить даты их основания. Москва была основана в 1147 году, а Санкт-Петербург – в 1703 году. Так как 1703 год наступил позже, чем 1147 год, то Санкт-Петербург является более молодым городом.

Ответ: Санкт-Петербург.

На сколько лет?

Чтобы узнать разницу в возрасте между городами, нужно из более поздней даты вычесть более раннюю дату:

$1703 - 1147 = 556$

Следовательно, Санкт-Петербург моложе Москвы на 556 лет.

Ответ: на 556 лет.

2. Найдите x из пропорции:

x +15 = 6x – 210.

2.

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{х} + 1}{5} = \frac{6\mathrm{х} - 2}{10} \\ 10(\mathrm{х} + 1) = 5(6\mathrm{х} – 2); \\ 10\mathrm{х} + 10 = 30\mathrm{х} – 10; \\ 10\mathrm{х} – 30\mathrm{х} = -10 – 10; \\ -20\mathrm{х} = -20; \\ \mathrm{х} = -20 : (-20); \\ \mathrm{х} = 1. \\ \mathrm{Ответ}: 1. \end{gathered}$$

Для решения данной пропорции воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов. Исходное уравнение выглядит так:

$\frac{x+1}{5} = \frac{6x-2}{10}$

Применив свойство пропорции (умножение крест-накрест), получим следующее равенство:

$10 \cdot (x+1) = 5 \cdot (6x-2)$

Теперь раскроем скобки в обеих частях уравнения, умножив число перед скобкой на каждый член внутри скобок:

$10 \cdot x + 10 \cdot 1 = 5 \cdot 6x - 5 \cdot 2$

$10x + 10 = 30x - 10$

Далее, сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а числовые слагаемые — в другой. Перенесем $10x$ в правую часть и $-10$ в левую часть (при переносе через знак равенства знак слагаемого меняется на противоположный):

$10 + 10 = 30x - 10x$

Выполним вычисления в обеих частях:

$20 = 20x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 20:

$x = \frac{20}{20}$

$x = 1$

Для проверки правильности решения подставим найденное значение $x=1$ в исходную пропорцию:

$\frac{1+1}{5} = \frac{6 \cdot 1 - 2}{10}$

$\frac{2}{5} = \frac{6 - 2}{10}$

$\frac{2}{5} = \frac{4}{10}$

Сократим дробь в правой части на 2:

$\frac{2}{5} = \frac{2}{5}$

Равенство верно, следовательно, корень уравнения найден правильно.

Ответ: $1$

3. Является ли х = –3,1 корнем уравнения

9,1 – х3 = 4,9 + х4?

3.

$$\begin{gathered} х = -3,1 \\ \frac{9,1 - х}{3} = \frac{4,9 + х}{4} \\ \frac{9,1 - \left(-3,1\right)}{3} = \frac{4,9 + \left(-3,1\right)}{4} \\ \frac{9,1 + 3,1}{3} = \frac{4,9 - 3,1}{4} \\ \frac{12,2}{3} = \frac{1,8}{4} - \mathrm{неверно} \end{gathered}$$

Ответ: не является корнем

Чтобы проверить, является ли число $x = -3,1$ корнем уравнения $\frac{9,1 - x}{3} = \frac{4,9 + x}{4}$, нужно подставить это значение $x$ в обе части уравнения и проверить, будет ли равенство верным.

1. Проверка подстановкой

Сначала подставим $x = -3,1$ в левую часть уравнения:
$\frac{9,1 - x}{3} = \frac{9,1 - (-3,1)}{3} = \frac{9,1 + 3,1}{3} = \frac{12,2}{3}$

Теперь подставим $x = -3,1$ в правую часть уравнения:
$\frac{4,9 + x}{4} = \frac{4,9 + (-3,1)}{4} = \frac{4,9 - 3,1}{4} = \frac{1,8}{4}$

Теперь сравним полученные значения.
Левая часть: $\frac{12,2}{3} \approx 4,067$
Правая часть: $\frac{1,8}{4} = 0,45$

Так как $4,067 \neq 0,45$, левая и правая части уравнения не равны. Следовательно, $x = -3,1$ не является корнем данного уравнения.

2. Проверка решением уравнения (альтернативный способ)

Можно найти корень уравнения и сравнить его с предложенным значением. Решим уравнение:
$\frac{9,1 - x}{3} = \frac{4,9 + x}{4}$
Используем основное свойство пропорции (перекрестное умножение):
$4 \cdot (9,1 - x) = 3 \cdot (4,9 + x)$
Раскроем скобки:
$36,4 - 4x = 14,7 + 3x$
Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в одну сторону, а свободные члены — в другую:
$36,4 - 14,7 = 3x + 4x$
$21,7 = 7x$
$x = \frac{21,7}{7}$
$x = 3,1$

Корень уравнения равен $3,1$. Поскольку $3,1 \neq -3,1$, мы подтверждаем, что число $-3,1$ не является корнем уравнения.

Ответ: нет, $x = -3,1$ не является корнем уравнения.

4. В задачнике по алгебре в 2 раза больше задач, чем в задачнике по геометрии, а в задачнике по вероятности и статистике на 75 задач больше, чем в задачнике по геометрии. Сколько задач в каждом сборнике, если во всех трёх сборниках 3120 задач?

4.

Пусть х задач – в задачнике по геометрии, тогда 2х задач – в задачнике по алгебре, (х + 75) задач – в задачнике по вероятности и статистике. Зная, что в трех сборниках 3120 задач, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х + 2х + х + 75 = 3120; \\ 4х = 3120 – 75 \\ 4х = 3045 \\ х = 3045 : 4 – \mathrm{не} \mathrm{является} \mathrm{целым} \mathrm{числом} \\ \mathrm{в} \mathrm{задаче} \mathrm{опечатка} \end{gathered}$$

Для решения этой задачи введём переменную и составим уравнение на основе предоставленных данных.

Пусть $x$ — это количество задач в задачнике по геометрии.

Согласно условию, в задачнике по алгебре в 2 раза больше задач, чем в задачнике по геометрии. Следовательно, количество задач в нём равно $2x$.

Также известно, что в задачнике по вероятности и статистике на 75 задач больше, чем в задачнике по геометрии. Значит, в нём $(x + 75)$ задач.

Общее количество задач во всех трёх сборниках составляет 3120. Чтобы найти $x$, составим уравнение, сложив количество задач из каждого сборника:

$x \text{ (геометрия)} + 2x \text{ (алгебра)} + (x + 75) \text{ (вероятность и статистика)} = 3120$

Теперь решим полученное уравнение:

1. Сначала сгруппируем и сложим все слагаемые с переменной $x$:

$x + 2x + x + 75 = 3120$

$4x + 75 = 3120$

2. Перенесём число 75 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$4x = 3120 - 75$

$4x = 3045$

3. Найдём значение $x$, разделив обе части уравнения на 4:

$x = \frac{3045}{4}$

$x = 761.25$

Результат вычислений показывает, что количество задач в сборнике по геометрии ($x$) должно быть равно 761.25. Однако количество задач в книге не может быть дробным числом, оно должно быть целым. Это означает, что в условии задачи содержится ошибка, которая делает невозможным получение целочисленного ответа.

Ответ: В рамках приведённых в задаче условий найти целочисленное решение невозможно, так как вычисления приводят к дробному количеству задач (761.25). Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка.