Страница 102, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.427. Вычислите:

а) 217 · (214 : 367); б) (129 + 159) · 145; в) (713 – 516) : 313; г) (2215 – 125) · 614; д) (223 + 156) : 412; е) (718 – 635) : 415.

2.427

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 2\frac{1}{7} · \left(2\frac{1}{4} : 3\frac{6}{7}\right) = \frac{15}{7} · \left(\frac{9}{4} : \frac{27}{7}\right) = \\ = \frac{15}{7} · \left(\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{9}}}}{4} · \frac{7}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{27}}}}\right) = \frac{15}{7} · \left(\frac{1}{4} · \frac{7}{3}\right) = \\ = \frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\bcancel{15}}}}{\cancel{7}} · \frac{\cancel{7}}{{\displaystyle \underset{4}{\bcancel{12}}}} = \frac{5 · 1}{1 · 4} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\left(1\frac{2}{9} + 1\frac{5}{9}\right) · 1\frac{4}{5} = 2\frac{7}{9} · 1\frac{4}{5} = \\ = \frac{25}{9} · \frac{9}{5} = \frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\bcancel{25}}} · \cancel{9 }}{\cancel{9} · {\displaystyle \underset{1}{\bcancel{5}}}} = \frac{ 5 · 1}{1 · 1}=5. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} \left({7 \frac{1}{3}}^{\overline{)·2}} - 5\frac{1}{6} \right) : 3\frac{1}{3} = \left(7 \frac{2}{6} - 5\frac{1}{6} \right) : 3\frac{1}{3} = \\ = 2\frac{1}{6} : 3\frac{1}{3} = \frac{13}{6} : \frac{10}{3} = \frac{13}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{6}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{3}}}}{10}= \\ = \frac{13 · 1}{2 · 10} = \frac{13}{20}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} \left(2\frac{2}{15} - {1\frac{2}{5}}^{\overline{)·3}}\right) · 6\frac{1}{4} = \left(2\frac{2}{15} - 1\frac{6}{15}\right) · 6\frac{1}{4} = \\ = \left(1\frac{17}{15} - 1\frac{6}{15}\right) · 6\frac{1}{4} = \frac{11}{15} · 6\frac{1}{4} =\frac{11}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{15}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{25}}}}{4} = \\ = \frac{11 · 5}{3 · 4} = \frac{55}{12} = 4\frac{7}{12}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }\left({2\frac{2}{3}}^{\overline{)·2}} + 1\frac{5}{6}\right) : 4\frac{1}{2} =\left(2\frac{4}{6} + 1\frac{5}{6}\right) : 4\frac{1}{2} = \\ =4\frac{1}{2} : 4\frac{1}{2} = 1. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)} \left({7\frac{1}{8}}^{\overline{)·5}} - {6\frac{3}{5}}^{\overline{)·8}}\right) : 4\frac{1}{5} =\left(7\frac{5}{40} - 6\frac{24}{40}\right) : 4\frac{1}{5} = \\ =\left(6\frac{45}{40} - 6\frac{24}{40}\right) : 4\frac{1}{5} =\frac{21}{40} : \frac{21}{5} = \frac{\cancel{21}}{{\displaystyle \underset{8}{\bcancel{40}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{5}}}}{\cancel{21}}= \\ = \frac{1 · 1}{8 · 1}= \frac{1}{8}. \end{gathered}$$

а) $2\frac{1}{7} \cdot \left(2\frac{1}{4} : 3\frac{6}{7}\right)$

1. Сначала выполним действие в скобках. Для этого преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$

$3\frac{6}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 6}{7} = \frac{27}{7}$

2. Выполним деление. Деление на дробь заменяется умножением на обратную дробь:

$2\frac{1}{4} : 3\frac{6}{7} = \frac{9}{4} : \frac{27}{7} = \frac{9}{4} \cdot \frac{7}{27} = \frac{9 \cdot 7}{4 \cdot 27} = \frac{1 \cdot 7}{4 \cdot 3} = \frac{7}{12}$

3. Теперь выполним умножение. Преобразуем $2\frac{1}{7}$ в неправильную дробь:

$2\frac{1}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{15}{7}$

4. Выполним умножение и сократим дробь:

$\frac{15}{7} \cdot \frac{7}{12} = \frac{15 \cdot 7}{7 \cdot 12} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$

5. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$

Ответ: $1\frac{1}{4}$

б) $\left(1\frac{2}{9} + 1\frac{5}{9}\right) \cdot 1\frac{4}{5}$

1. Сначала выполним сложение в скобках. Так как знаменатели одинаковы, сложим целые и дробные части:

$1\frac{2}{9} + 1\frac{5}{9} = (1+1) + \left(\frac{2}{9} + \frac{5}{9}\right) = 2 + \frac{7}{9} = 2\frac{7}{9}$

2. Теперь выполним умножение. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$2\frac{7}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{25}{9}$

$1\frac{4}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{9}{5}$

3. Перемножим полученные дроби:

$\frac{25}{9} \cdot \frac{9}{5} = \frac{25 \cdot 9}{9 \cdot 5} = \frac{25}{5} = 5$

Ответ: 5

в) $\left(7\frac{1}{3} - 5\frac{1}{6}\right) : 3\frac{1}{3}$

1. Выполним вычитание в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$7\frac{1}{3} = 7\frac{2}{6}$

$7\frac{2}{6} - 5\frac{1}{6} = (7-5) + \left(\frac{2}{6} - \frac{1}{6}\right) = 2 + \frac{1}{6} = 2\frac{1}{6}$

2. Теперь выполним деление. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$2\frac{1}{6} = \frac{13}{6}$

$3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$

3. Выполним деление дробей:

$\frac{13}{6} : \frac{10}{3} = \frac{13}{6} \cdot \frac{3}{10} = \frac{13 \cdot 3}{6 \cdot 10} = \frac{13 \cdot 1}{2 \cdot 10} = \frac{13}{20}$

Ответ: $\frac{13}{20}$

г) $\left(2\frac{2}{15} - 1\frac{2}{5}\right) \cdot 6\frac{1}{4}$

1. Выполним вычитание в скобках. Приведем дробь $1\frac{2}{5}$ к знаменателю 15: $1\frac{2}{5} = 1\frac{6}{15}$.

$2\frac{2}{15} - 1\frac{6}{15}$. Так как дробная часть уменьшаемого меньше вычитаемого, преобразуем $2\frac{2}{15}$:

$2\frac{2}{15} = 1\frac{15+2}{15} = 1\frac{17}{15}$

$1\frac{17}{15} - 1\frac{6}{15} = \frac{11}{15}$

2. Теперь выполним умножение. Преобразуем $6\frac{1}{4}$ в неправильную дробь: $6\frac{1}{4} = \frac{25}{4}$.

$\frac{11}{15} \cdot \frac{25}{4} = \frac{11 \cdot 25}{15 \cdot 4} = \frac{11 \cdot 5}{3 \cdot 4} = \frac{55}{12}$

3. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{55}{12} = 4\frac{7}{12}$

Ответ: $4\frac{7}{12}$

д) $\left(2\frac{2}{3} + 1\frac{5}{6}\right) : 4\frac{1}{2}$

1. Выполним сложение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю 6: $2\frac{2}{3} = 2\frac{4}{6}$.

$2\frac{4}{6} + 1\frac{5}{6} = (2+1) + \left(\frac{4}{6} + \frac{5}{6}\right) = 3 + \frac{9}{6} = 3\frac{9}{6}$

2. Упростим полученное смешанное число:

$3\frac{9}{6} = 3 + 1\frac{3}{6} = 4\frac{3}{6} = 4\frac{1}{2}$

3. Теперь выполним деление:

$4\frac{1}{2} : 4\frac{1}{2} = 1$

Ответ: 1

е) $\left(7\frac{1}{8} - 6\frac{3}{5}\right) : 4\frac{1}{5}$

1. Выполним вычитание в скобках. Общий знаменатель для 8 и 5 это 40.

$7\frac{1}{8} = 7\frac{5}{40}$

$6\frac{3}{5} = 6\frac{24}{40}$

$7\frac{5}{40} - 6\frac{24}{40}$. "Займем" единицу у целой части: $7\frac{5}{40} = 6\frac{45}{40}$.

$6\frac{45}{40} - 6\frac{24}{40} = \frac{45-24}{40} = \frac{21}{40}$

2. Теперь выполним деление. Преобразуем $4\frac{1}{5}$ в неправильную дробь:

$4\frac{1}{5} = \frac{21}{5}$

3. Выполним деление дробей:

$\frac{21}{40} : \frac{21}{5} = \frac{21}{40} \cdot \frac{5}{21} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}$

Ответ: $\frac{1}{8}$

2.428. Выполните действия:

а) (413 + 2315) : (415 – 1825);

б) (81124 – 7112) : (314 + 218).

2.428

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} \left(4\frac{1}{3} \stackrel{1}{+} 2\frac{3}{15}\right) \stackrel{3}{:} \left(4\frac{1}{5} \stackrel{2}{-} 1\frac{8}{25}\right)= 2\frac{29}{108}. \\ 1) {4\frac{1}{3}}^{\overline{)·5}} + 2\frac{3}{15} = 4\frac{5}{15} + 2\frac{3}{15} = 6\frac{8}{15}; \\ 2) {4\frac{1}{5}}^{\overline{)·5}} - 1\frac{8}{25} = 4\frac{5}{25} - 1\frac{8}{25} = 3\frac{30}{25} - \\ - 1\frac{8}{25} = 2\frac{22}{25}; \\ 3) 6\frac{8}{15} : 2\frac{22}{25} = \frac{98}{15} : \frac{72}{25} = \frac{{\displaystyle \stackrel{49}{\bcancel{98}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{15}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{25}}}}{{\displaystyle \underset{36}{\bcancel{72}}}}= \\ =\frac{49 · 5}{3 · 26} = \frac{245}{108}=2\frac{29}{108}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\left(8\frac{11}{24} \stackrel{1}{-} 7\frac{1}{12}\right) \stackrel{3}{:} \left(3\frac{1}{4} \stackrel{2}{+} 2\frac{1}{8}\right) = \frac{11}{43}. \\ 1) 8\frac{11}{24} - {7\frac{1}{12}}^{\overline{)·2}} = 8\frac{11}{24} - 7\frac{2}{24} = \\ = 1\frac{9}{24}=1\frac{3}{8}; \\ 2) {3\frac{1}{4}}^{\overline{)·2}} + 2\frac{1}{8} = 3\frac{2}{8} + 2\frac{1}{8} = 5\frac{3}{8}; \\ 3) 1\frac{3}{8} : 5\frac{3}{8} = \frac{11}{8} : \frac{43}{8} = \frac{11}{\cancel{8}} · \frac{\cancel{8}}{43}= \\ =\frac{11}{43}. \end{gathered}$$

а) $(4\frac{1}{3} + 2\frac{3}{15}) : (4\frac{1}{5} - 1\frac{8}{25})$

Решение будет выполнено по действиям в соответствии с порядком операций (сначала действия в скобках, затем деление).

1. Выполним сложение в первых скобках. Сначала упростим дробь $\frac{3}{15}$, сократив ее на 3: $\frac{3}{15} = \frac{1}{5}$.

$4\frac{1}{3} + 2\frac{3}{15} = 4\frac{1}{3} + 2\frac{1}{5}$

Сложим целые и дробные части отдельно. Для сложения дробей найдем общий знаменатель, который равен 15.

$(4+2) + (\frac{1}{3} + \frac{1}{5}) = 6 + (\frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 3}) = 6 + (\frac{5}{15} + \frac{3}{15}) = 6 + \frac{8}{15} = 6\frac{8}{15}$

Для удобства последующего деления переведем смешанное число в неправильную дробь:

$6\frac{8}{15} = \frac{6 \cdot 15 + 8}{15} = \frac{90 + 8}{15} = \frac{98}{15}$

2. Выполним вычитание во вторых скобках. Приведем дроби к общему знаменателю 25.

$4\frac{1}{5} - 1\frac{8}{25} = 4\frac{1 \cdot 5}{5 \cdot 5} - 1\frac{8}{25} = 4\frac{5}{25} - 1\frac{8}{25}$

Так как дробная часть уменьшаемого ($\frac{5}{25}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{8}{25}$), "займем" единицу у целой части:

$4\frac{5}{25} = 3 + 1 + \frac{5}{25} = 3 + \frac{25}{25} + \frac{5}{25} = 3\frac{30}{25}$

Теперь вычитаем:

$3\frac{30}{25} - 1\frac{8}{25} = (3-1) + (\frac{30-8}{25}) = 2\frac{22}{25}$

Переведем в неправильную дробь:

$2\frac{22}{25} = \frac{2 \cdot 25 + 22}{25} = \frac{50+22}{25} = \frac{72}{25}$

3. Теперь выполним деление результатов, полученных в действиях 1 и 2. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь.

$\frac{98}{15} : \frac{72}{25} = \frac{98}{15} \cdot \frac{25}{72}$

Сократим дроби перед умножением: 98 и 72 делятся на 2; 15 и 25 делятся на 5.

$\frac{98 \cdot 25}{15 \cdot 72} = \frac{(49 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 5)}{(3 \cdot 5) \cdot (36 \cdot 2)} = \frac{49 \cdot 5}{3 \cdot 36} = \frac{245}{108}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число, разделив числитель на знаменатель с остатком:

$245 \div 108 = 2$ (остаток $245 - 2 \cdot 108 = 245 - 216 = 29$)

$\frac{245}{108} = 2\frac{29}{108}$

Ответ: $2\frac{29}{108}$.

б) $(8\frac{11}{24} - 7\frac{1}{12}) \cdot (3\frac{1}{4} + 2\frac{1}{8})$

Решение будет выполнено по действиям.

1. Выполним вычитание в первых скобках. Приведем дробные части к общему знаменателю 24.

$8\frac{11}{24} - 7\frac{1}{12} = 8\frac{11}{24} - 7\frac{1 \cdot 2}{12 \cdot 2} = 8\frac{11}{24} - 7\frac{2}{24}$

Вычтем целые и дробные части по отдельности:

$(8-7) + (\frac{11-2}{24}) = 1 + \frac{9}{24} = 1\frac{9}{24}$

Сократим дробную часть, разделив числитель и знаменатель на 3:

$1\frac{9}{24} = 1\frac{3}{8}$

2. Выполним сложение во вторых скобках. Приведем дробные части к общему знаменателю 8.

$3\frac{1}{4} + 2\frac{1}{8} = 3\frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} + 2\frac{1}{8} = 3\frac{2}{8} + 2\frac{1}{8}$

Сложим целые и дробные части:

$(3+2) + (\frac{2+1}{8}) = 5 + \frac{3}{8} = 5\frac{3}{8}$

3. Теперь выполним умножение результатов. Для этого переведем оба смешанных числа в неправильные дроби.

$1\frac{3}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{11}{8}$

$5\frac{3}{8} = \frac{5 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{43}{8}$

Умножим полученные дроби:

$\frac{11}{8} \cdot \frac{43}{8} = \frac{11 \cdot 43}{8 \cdot 8} = \frac{473}{64}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$473 \div 64 = 7$ (остаток $473 - 7 \cdot 64 = 473 - 448 = 25$)

$\frac{473}{64} = 7\frac{25}{64}$

Ответ: $7\frac{25}{64}$.

2.429. Вычислите:

а) (16 + 0,5 + 18) : 316; б) 9 : 0,18 – 3712 · 0,64; в) 12,5 · 4 – 773 : 11 + 4,8 · 916; г) ((115)² – 1,08) : 0,03.

2.429

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} \left(\stackrel{1}{\frac{1}{6} + 0,5 + \frac{1}{8}}\right) \stackrel{2}{:} 3\frac{1}{6} = \frac{1}{4}. \\ 1) \frac{1}{6} + 0,5 + \frac{1}{8} = {\frac{1}{6}}^{\overline{)·4}} + {\frac{1}{2}}^{\overline{)·12}}+ {\frac{1}{8}}^{\overline{)·3}}= \\ =\frac{4}{24} + \frac{12}{24} + \frac{3}{24} = \frac{19}{24}; \\ 2) \frac{19}{24} : 3\frac{1}{6} = \frac{19}{24} : \frac{19}{6} = \frac{\cancel{19}}{{\displaystyle \underset{4}{\bcancel{24}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{6}}}}{\cancel{19}}=\frac{1}{4}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 9 : 0,18 - 37\frac{1}{2} · 0,64 = 26. \\ 1) 9 : 0,18 = 900 : 18 = 50; \\ 2) 37\frac{1}{2} · 0,64 = 37\frac{1}{2} · \frac{{\displaystyle \stackrel{16}{\cancel{64}}}}{{\displaystyle \underset{25}{\cancel{100}}}}= \\ =\frac{75}{2} · \frac{16}{25}= \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\bcancel{75}}} · {\displaystyle \stackrel{8}{\cancel{16}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{2}}} · {\displaystyle \underset{1}{\bcancel{25}}}} = \frac{3 · 8}{1 · 1 }=24; \\ 3) 50 - 24 = 26. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} 12,5 \stackrel{1}{·} 4 \stackrel{4}{-} 7\frac{7}{3}\stackrel{2}{ : }11 \stackrel{5}{+} 4,8 \stackrel{3}{· }9\frac{1}{6} =93\frac{5}{33} \\ 1) 12,5 · 4 = 50; \\ 2) 7\frac{7}{3} : 11 = \frac{28}{3} · \frac{1}{11} = \frac{28}{33}; \\ 3) 4,8 · 9 \frac{1}{6} =4\frac{8}{10} · 9 \frac{1}{6} =4\frac{4}{5} · \frac{55}{6} = \\ = \frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\cancel{24}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{5}}} } · \frac{{\displaystyle \stackrel{11}{\bcancel{55}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{6}}}} = \frac{4 · 11}{1 · 1} =44; \\ 4) 50 - \frac{28}{33} = 49\frac{33}{33} - \frac{28}{33}=49\frac{5}{33}; \\ 5) 49\frac{5}{33} + 44 = 93\frac{5}{33}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} \left({\left(1\frac{1}{5}\right)}^{\stackrel{1}{2}}\stackrel{2}{- }1,08\right) \stackrel{3}{:} 0,03 = 12 \\ 1) {\left(1\frac{1}{5}\right)}^2 = {\left(\frac{6}{5}\right)}^2 = \frac{6}{5} · \frac{6}{5} = \frac{36}{25} = 1\frac{11}{25}; \\ 2) {1\frac{11}{25}}^{\overline{)·4}} - 1,08 = 1 \frac{44}{100} - 1,08 = \\ = 1,44 - 1,08 - 0,36; \\ 3) 0,36 : 0,03 = 36 : 3 = 12. \end{gathered}$$

а) Решим выражение $(\frac{1}{6} + 0,5 + \frac{1}{8}) : 3\frac{1}{6}$ по действиям.

1. Сначала выполним сложение в скобках. Для этого преобразуем десятичную дробь $0,5$ в обыкновенную: $0,5 = \frac{1}{2}$. Теперь найдем сумму трех дробей, приведя их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6, 2 и 8 - это 24.
$\frac{1}{6} + \frac{1}{2} + \frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 4}{24} + \frac{1 \cdot 12}{24} + \frac{1 \cdot 3}{24} = \frac{4 + 12 + 3}{24} = \frac{19}{24}$.

2. Теперь выполним деление. Преобразуем смешанное число $3\frac{1}{6}$ в неправильную дробь: $3\frac{1}{6} = \frac{3 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{19}{6}$.
$\frac{19}{24} : \frac{19}{6} = \frac{19}{24} \cdot \frac{6}{19}$.

3. Сократим дроби и вычислим результат:
$\frac{19 \cdot 6}{24 \cdot 19} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$

б) Решим выражение $9 : 0,18 - 37\frac{1}{2} \cdot 0,64$ по действиям, соблюдая порядок операций (сначала деление и умножение, затем вычитание).

1. Выполним деление. Удобнее представить $0,18$ как обыкновенную дробь: $0,18 = \frac{18}{100}$.
$9 : 0,18 = 9 : \frac{18}{100} = 9 \cdot \frac{100}{18} = \frac{9 \cdot 100}{18} = \frac{1 \cdot 100}{2} = 50$.

2. Выполним умножение. Преобразуем $37\frac{1}{2}$ в десятичную дробь: $37\frac{1}{2} = 37,5$.
$37,5 \cdot 0,64 = 24$.

3. Выполним вычитание:
$50 - 24 = 26$.
Ответ: 26

в) Решим выражение $12,5 \cdot 4 - 7\frac{7}{9} : 11 + 4,8 \cdot 9\frac{1}{6}$ по действиям.

1. Первое действие – умножение: $12,5 \cdot 4 = 50$.

2. Второе действие – деление. Преобразуем $7\frac{7}{9}$ в неправильную дробь: $7\frac{7}{9} = \frac{7 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{70}{9}$.
$\frac{70}{9} : 11 = \frac{70}{9} \cdot \frac{1}{11} = \frac{70}{99}$.

3. Третье действие – умножение. Преобразуем оба числа в обыкновенные дроби: $4,8 = \frac{48}{10} = \frac{24}{5}$ и $9\frac{1}{6} = \frac{9 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{55}{6}$.
$\frac{24}{5} \cdot \frac{55}{6} = \frac{24 \cdot 55}{5 \cdot 6} = \frac{4 \cdot 11}{1 \cdot 1} = 44$.

4. Теперь объединим результаты: $50 - \frac{70}{99} + 44$.
$50 + 44 - \frac{70}{99} = 94 - \frac{70}{99} = 93 + 1 - \frac{70}{99} = 93 + \frac{99}{99} - \frac{70}{99} = 93 + \frac{29}{99} = 93\frac{29}{99}$.
Ответ: $93\frac{29}{99}$

г) Решим выражение $\left( \left(1\frac{1}{5}\right)^2 - 1,08 \right) : 0,03$ по действиям.

1. Первым делом выполним действие в самых внутренних скобках – возведение в степень. Удобнее работать с десятичными дробями: $1\frac{1}{5} = 1,2$.
$(1,2)^2 = 1,44$.

2. Теперь выполним вычитание в скобках:
$1,44 - 1,08 = 0,36$.

3. Последнее действие – деление:
$0,36 : 0,03 = \frac{0,36}{0,03} = \frac{36}{3} = 12$.
Ответ: 12

2.430. Решите уравнение:

а) 27z = 117; б) 35n = 2710 – 35; в) 49b + 37 = 1; г) 59m – 12 = 518.

2.430

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} \frac{2}{7} \mathrm{z}= 1\frac{1}{7}; \\ \mathrm{z} = 1\frac{1}{7} : \frac{2}{7}; \\ \mathrm{z} = \frac{8}{\cancel{7}} · \frac{\cancel{7}}{2}; \\ \mathrm{z} = \frac{8}{2}; \\ \mathrm{z} = 4. \\ \mathrm{Ответ} : 4. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} \frac{3}{5} n = 2\frac{7}{10}-{\frac{3}{5}}^{\overline{)·2}}; \\ \frac{3}{5} n = 2\frac{7}{10}-\frac{6}{10}; \\ \frac{3}{5} n = 2\frac{1}{10}; \\ n = 2\frac{1}{10} : \frac{3}{5}; \\ n = \frac{21}{10} : \frac{3}{5}; \\ n = \frac{{\displaystyle \stackrel{7}{\bcancel{21}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{10}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{3}}}}; \\ n = \frac{7 · 1}{2 · 1}; \\ n = \frac{7}{2}; \\ n = 3\frac{1}{2}. \\ \mathrm{Ответ}: 3\frac{1}{2}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} \frac{4}{9} b + \frac{3}{7} =1; \\ \frac{4}{9} b = 1 - \frac{3}{7}; \\ \frac{4}{9} b = \frac{7}{7} -\frac{3}{7}; \\ \frac{4}{9} b = \frac{4}{7}; \\ b = \frac{4}{7} : \frac{4}{9}; \\ b = \frac{{}^1\cancel{4}}{7} · \frac{9}{{\cancel{4}}_1}; \\ b = \frac{9}{7}; \\ b = 1\frac{2}{7}. \\ \mathrm{Ответ}: 1\frac{2}{7}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} \frac{5}{9} m - \frac{1}{2} = \frac{5}{18}; \\ \frac{5}{9} m = \frac{5}{18} + {\frac{1}{2}}^{\overline{)·9}}; \\ \frac{5}{9} m =\frac{5}{18} + \frac{9}{18}; \\ \frac{5}{9} m =\frac{14}{18}; \\ m = \frac{14}{18} : \frac{5}{9}; \\ m = \frac{14}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{18}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{9}}}}{5}; \\ m = \frac{14 · 1}{2 · 5}; \\ m = \frac{14}{10}; \\ m = 1,4. \\ \mathrm{Ответ}: 1,4. \end{gathered}$$

а) $\frac{2}{7}z = 1\frac{1}{7}$

Это уравнение, в котором неизвестная $z$ является одним из множителей. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.

Сначала преобразуем смешанное число в правой части уравнения в неправильную дробь:

$1\frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{8}{7}$

Теперь уравнение выглядит так:

$\frac{2}{7}z = \frac{8}{7}$

Найдем $z$:

$z = \frac{8}{7} \div \frac{2}{7}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$z = \frac{8}{7} \cdot \frac{7}{2} = \frac{8 \cdot 7}{7 \cdot 2} = \frac{8}{2} = 4$

Ответ: $z = 4$

б) $\frac{3}{5}n = 2\frac{7}{10} - \frac{3}{5}$

Сначала выполним вычитание в правой части уравнения. Для этого приведем дроби к общему знаменателю.

Преобразуем смешанное число $2\frac{7}{10}$ в неправильную дробь:

$2\frac{7}{10} = \frac{2 \cdot 10 + 7}{10} = \frac{27}{10}$

Общий знаменатель для дробей $\frac{27}{10}$ и $\frac{3}{5}$ равен 10. Приведем дробь $\frac{3}{5}$ к знаменателю 10:

$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{6}{10}$

Теперь выполним вычитание:

$\frac{27}{10} - \frac{6}{10} = \frac{21}{10}$

Уравнение принимает вид:

$\frac{3}{5}n = \frac{21}{10}$

Найдем неизвестный множитель $n$:

$n = \frac{21}{10} \div \frac{3}{5} = \frac{21}{10} \cdot \frac{5}{3} = \frac{21 \cdot 5}{10 \cdot 3} = \frac{7 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{7}{2}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$n = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}$

Ответ: $n = 3\frac{1}{2}$

в) $\frac{4}{9}b + \frac{3}{7} = 1$

В этом уравнении $\frac{4}{9}b$ является неизвестным слагаемым. Чтобы его найти, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

$\frac{4}{9}b = 1 - \frac{3}{7}$

Представим 1 в виде дроби со знаменателем 7: $1 = \frac{7}{7}$

$\frac{4}{9}b = \frac{7}{7} - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$

Теперь у нас уравнение $\frac{4}{9}b = \frac{4}{7}$. Найдем неизвестный множитель $b$:

$b = \frac{4}{7} \div \frac{4}{9} = \frac{4}{7} \cdot \frac{9}{4} = \frac{4 \cdot 9}{7 \cdot 4} = \frac{9}{7}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$b = \frac{9}{7} = 1\frac{2}{7}$

Ответ: $b = 1\frac{2}{7}$

г) $\frac{5}{9}m - \frac{1}{2} = \frac{5}{18}$

В этом уравнении $\frac{5}{9}m$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы его найти, нужно к разности прибавить вычитаемое.

$\frac{5}{9}m = \frac{5}{18} + \frac{1}{2}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 18:

$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 9}{2 \cdot 9} = \frac{9}{18}$

Теперь выполним сложение:

$\frac{5}{9}m = \frac{5}{18} + \frac{9}{18} = \frac{14}{18}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{14}{18} = \frac{7}{9}$

Уравнение принимает вид:

$\frac{5}{9}m = \frac{7}{9}$

Найдем неизвестный множитель $m$:

$m = \frac{7}{9} \div \frac{5}{9} = \frac{7}{9} \cdot \frac{9}{5} = \frac{7 \cdot 9}{9 \cdot 5} = \frac{7}{5}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$m = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5}$

Ответ: $m = 1\frac{2}{5}$

2.431. Найдите корень уравнения:

а) 19x + 49x = 3118; б) 57y + 23y – 4 = 17; в) n + 514n = 17; г) y – 19y = 513; д) 27c + 23c – 1121c = 312; е) 58x + x – 34x = 134.

2.431

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} \frac{1}{9} х + \frac{4}{9} х = 3\frac{1}{18}; \\ \left(\frac{1}{9} + \frac{4}{9} \right)х = 3\frac{1}{18}; \\ \frac{5}{9} х =3\frac{1}{18}; \\ х = 3\frac{1}{18} : \frac{5}{9} ; \\ х = \frac{{\displaystyle \stackrel{11}{\cancel{55}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{18}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{9}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}}; \\ х = \frac{11 · 1}{2 · 1}; \\ х = \frac{11}{2}; \\ х = 5\frac{1}{2}. \\ \mathrm{Ответ}: 5\frac{1}{2}. \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{5}{7} у + \frac{2}{3} у - 4 = \frac{1}{7}; \\ \left({\frac{5}{7}}^{\overline{)·3}} + {\frac{2}{3}}^{\overline{)·7}}\right) у = \frac{1}{7} + 4; \\ \left(\frac{15}{21} + \frac{14}{21}\right) у = 4\frac{1}{7}; \\ \frac{29}{21} у = 4\frac{1}{7}; \\ у = 4\frac{1}{7} : \frac{29}{21}; \\ у = \frac{\cancel{29}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{7}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\bcancel{21}}}}{\cancel{29}}; \\ у = \frac{3}{1}; \\ у = 3. \\ \mathrm{Ответ}: 3. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} n + \frac{5}{14} n = \frac{1}{7}; \\ \left(1 + \frac{5}{14}\right) n = \frac{1}{7}: \\ 1\frac{5}{14} n = \frac{1}{7}; \\ n = \frac{1}{7} : 1\frac{5}{14}; \\ n = \frac{1}{7} : \frac{19}{14}; \\ n = \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{14}}}}{19}; \\ n = \frac{1 · 2}{1 · 19}; \\ n = \frac{2}{19}. \\ \mathrm{Ответ}: \frac{2}{19}. \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }у - \frac{1}{9} у = 5\frac{1}{3}; \\ \left(1 - \frac{1}{9}\right) у = 5\frac{1}{3}; \\ \frac{8}{9} у = 5\frac{1}{3}; \\ у = 5\frac{1}{3} : \frac{8}{9}; \\ у = \frac{16}{3} : \frac{8}{9}; \\ у = \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\bcancel{16}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{9}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{8}}}}; \\ у = \frac{2 · 3}{1 · 1}; \\ у = 6. \\ \mathrm{Ответ}: 6. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)} \frac{2}{7} с + \frac{2}{3} с - \frac{11}{21}с = 3\frac{1}{2}; \\ \left({\frac{2}{7}}^{\overline{)·3}} + {\frac{2}{3}}^{\overline{)·7}} - \frac{11}{21}\right) с = 3\frac{1}{2}; \\ \left(\frac{6}{21} + \frac{14}{21} - \frac{11}{21}\right) с = 3\frac{1}{2}; \\ \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{9}}}}{{\displaystyle \underset{7}{\cancel{21}}}} с = 3\frac{1}{2}; \\ \frac{3}{7}с = \frac{7}{2}; \\ с = \frac{7}{2} : \frac{3}{7}; \\ с = \frac{7}{2} · \frac{7}{3}; \\ с = \frac{49}{6}; \\ с = 8\frac{1}{6}. \\ \mathrm{Ответ}: 8\frac{1}{6}. \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{5}{8} х + х - \frac{3}{4} х =1\frac{3}{4}; \\ \left(\frac{5}{8} + 1- {\frac{3}{4}}^{\overline{)·2}} \right) х=1\frac{3}{4}; \\ \left(\frac{5}{8} + \frac{8}{8}- \frac{6}{8} \right) х=1\frac{3}{4}; \\ \frac{7}{8} х = \frac{7}{4}; \\ х = \frac{7}{4} : \frac{7}{8}; \\ х = \frac{\cancel{7}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{4}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\bcancel{8}}}}{\cancel{7}}; \\ х = \frac{2}{1}; \\ х =2. \\ \mathrm{Ответ}: 2 \end{gathered}$$

а) $ \frac{1}{9}x + \frac{4}{9}x = 3\frac{1}{18} $
Сначала сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части уравнения и выполним сложение коэффициентов, так как у них общий знаменатель:
$ (\frac{1}{9} + \frac{4}{9})x = 3\frac{1}{18} $
$ \frac{5}{9}x = 3\frac{1}{18} $
Теперь преобразуем смешанное число в правой части в неправильную дробь:
$ 3\frac{1}{18} = \frac{3 \cdot 18 + 1}{18} = \frac{54+1}{18} = \frac{55}{18} $
Уравнение принимает вид:
$ \frac{5}{9}x = \frac{55}{18} $
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $ \frac{5}{9} $. Это эквивалентно умножению на обратную дробь $ \frac{9}{5} $:
$ x = \frac{55}{18} \cdot \frac{9}{5} $
Сократим дробь, разделив 55 и 5 на 5, а 18 и 9 на 9:
$ x = \frac{11}{2} \cdot \frac{1}{1} = \frac{11}{2} $
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$ x = 5\frac{1}{2} $
Ответ: $ 5\frac{1}{2} $

б) $ \frac{5}{7}y + \frac{2}{3}y - 4 = \frac{1}{7} $
Перенесем слагаемое -4 из левой части в правую, изменив его знак на противоположный:
$ \frac{5}{7}y + \frac{2}{3}y = \frac{1}{7} + 4 $
Вычислим значение в правой части:
$ \frac{1}{7} + 4 = \frac{1}{7} + \frac{28}{7} = \frac{29}{7} $
Теперь сгруппируем слагаемые с переменной $y$ в левой части. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 21:
$ (\frac{5 \cdot 3}{7 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7})y = \frac{29}{7} $
$ (\frac{15}{21} + \frac{14}{21})y = \frac{29}{7} $
$ \frac{29}{21}y = \frac{29}{7} $
Чтобы найти $y$, умножим обе части на дробь, обратную $ \frac{29}{21} $:
$ y = \frac{29}{7} \cdot \frac{21}{29} $
Сократим дроби:
$ y = \frac{21}{7} = 3 $
Ответ: $ 3 $

в) $ n + \frac{5}{14}n = \frac{1}{7} $
Сгруппируем слагаемые с переменной $n$ в левой части, помня, что $ n $ это $ 1n $:
$ (1 + \frac{5}{14})n = \frac{1}{7} $
$ (\frac{14}{14} + \frac{5}{14})n = \frac{1}{7} $
$ \frac{19}{14}n = \frac{1}{7} $
Чтобы найти $n$, умножим обе части на дробь, обратную $ \frac{19}{14} $:
$ n = \frac{1}{7} \cdot \frac{14}{19} $
Сократим 14 и 7 на 7:
$ n = \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{19} = \frac{2}{19} $
Ответ: $ \frac{2}{19} $

г) $ y - \frac{1}{9}y = 5\frac{1}{3} $
Сгруппируем слагаемые с переменной $y$ в левой части, помня, что $ y $ это $ 1y $:
$ (1 - \frac{1}{9})y = 5\frac{1}{3} $
$ (\frac{9}{9} - \frac{1}{9})y = 5\frac{1}{3} $
$ \frac{8}{9}y = 5\frac{1}{3} $
Преобразуем смешанное число в правой части в неправильную дробь:
$ 5\frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{16}{3} $
Уравнение принимает вид:
$ \frac{8}{9}y = \frac{16}{3} $
Чтобы найти $y$, умножим обе части на дробь, обратную $ \frac{8}{9} $:
$ y = \frac{16}{3} \cdot \frac{9}{8} $
Сократим дроби:
$ y = \frac{2 \cdot 8 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 8} = 2 \cdot 3 = 6 $
Ответ: $ 6 $

д) $ \frac{2}{7}c + \frac{2}{3}c - \frac{11}{21}c = 3\frac{1}{2} $
Сгруппируем слагаемые с переменной $c$ в левой части. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 21:
$ (\frac{2 \cdot 3}{21} + \frac{2 \cdot 7}{21} - \frac{11}{21})c = 3\frac{1}{2} $
$ (\frac{6}{21} + \frac{14}{21} - \frac{11}{21})c = 3\frac{1}{2} $
$ \frac{6+14-11}{21}c = 3\frac{1}{2} $
$ \frac{9}{21}c = 3\frac{1}{2} $
Сократим коэффициент $ \frac{9}{21} $ на 3: $ \frac{3}{7}c $.
Преобразуем смешанное число в правой части в неправильную дробь:
$ 3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2} $
Уравнение принимает вид:
$ \frac{3}{7}c = \frac{7}{2} $
Чтобы найти $c$, умножим обе части на дробь, обратную $ \frac{3}{7} $:
$ c = \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{3} = \frac{49}{6} $
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$ c = 8\frac{1}{6} $
Ответ: $ 8\frac{1}{6} $

е) $ \frac{5}{8}x + x - \frac{3}{4}x = 1\frac{3}{4} $
Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 8:
$ (\frac{5}{8} + 1 - \frac{3}{4})x = 1\frac{3}{4} $
$ (\frac{5}{8} + \frac{8}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2})x = 1\frac{3}{4} $
$ (\frac{5}{8} + \frac{8}{8} - \frac{6}{8})x = 1\frac{3}{4} $
$ \frac{5+8-6}{8}x = 1\frac{3}{4} $
$ \frac{7}{8}x = 1\frac{3}{4} $
Преобразуем смешанное число в правой части в неправильную дробь:
$ 1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4} $
Уравнение принимает вид:
$ \frac{7}{8}x = \frac{7}{4} $
Чтобы найти $x$, умножим обе части на дробь, обратную $ \frac{7}{8} $:
$ x = \frac{7}{4} \cdot \frac{8}{7} $
Сократим дроби:
$ x = \frac{8}{4} = 2 $
Ответ: $ 2 $

2.432. Решите уравнение:

а) 157 : x = 67 : 2; б) а : 134 = 134 · 14; в) 123 · (13n + 37) = 214; г) (54z – 35) · 78 = 78.

2.432

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }1\frac{5}{7} : х =\frac{6}{7} : 2; \\ \frac{12}{7} : х = \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{6}}}}{7} · \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{2}}}}; \\ \frac{12}{7} : х = \frac{3}{7}; \\ х = \frac{12}{7} : \frac{3}{7}; \\ х = \frac{12}{\cancel{7}} · \frac{\cancel{7}}{3}; \\ х = \frac{12}{3}; \\ х = 4. \\ \mathrm{Ответ}: 4. \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }а : 1\frac{3}{4} = 1\frac{3}{4} · \frac{1}{4}: \\ а : \frac{7}{4} = \frac{7}{4} ·\frac{1}{4}; \\ а : \frac{7}{4} = \frac{7}{16}; \\ а = \frac{7}{16} · \frac{7}{4}; \\ а = \frac{49}{64}. \\ \mathrm{Ответ}: \frac{49}{64}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} 1\frac{2}{3} · \left(\frac{1}{3} n + \frac{3}{7}\right) = 2\frac{1}{4}; \\ \frac{1}{3} n + \frac{3}{7} = 2\frac{1}{4} : 1\frac{2}{3}; \\ \frac{1}{3} n + \frac{3}{7} = \frac{9}{4} : \frac{5}{3}; \\ \frac{1}{3} n + \frac{3}{7} = \frac{9}{4} · \frac{3}{5}; \\ \frac{1}{3} n + \frac{3}{7} = \frac{27}{20}; \\ \frac{1}{3} n = {\frac{27}{20}}^{\overline{)·7}} - {\frac{3}{7}}^{\overline{)·20}}; \\ \frac{1}{3} n = \frac{189}{140} - \frac{60}{140}; \\ \frac{1}{3} n = \frac{129}{140}; \\ n = \frac{129}{140} : \frac{1}{3}; \\ n = \frac{129}{140} · \frac{3}{1}; \\ n = \frac{387}{140}; \\ n = 2\frac{107}{140}. \\ \mathrm{Ответ}: 2\frac{107}{140}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} \left(\frac{5}{4} z - \frac{3}{5}\right) · \frac{7}{8} = \frac{7}{8}; \\ \frac{5}{4} z - \frac{3}{5} = \frac{7}{8} : \frac{7}{8}; \\ \frac{5}{4} z - \frac{3}{5} =\frac{7}{8} · \frac{8}{7}; \\ \frac{5}{4} z - \frac{3}{5} = 1; \\ \frac{5}{4} z = 1 + \frac{3}{5}; \\ \frac{5}{4} z = 1\frac{3}{5}; \\ \frac{5}{4} z =\frac{8}{5}; \\ z = \frac{8}{5} : \frac{5}{4}; \\ z = \frac{8}{5} · \frac{4}{5}; \\ z = \frac{32}{25}; \\ z = 1\frac{7}{25}. \\ \mathrm{Ответ}: 1\frac{7}{25}. \end{gathered}$$

а) Исходное уравнение: $1\frac{5}{7} : x = \frac{6}{7} : 2$.
Данное уравнение представляет собой пропорцию. Согласно основному свойству пропорции, произведение средних членов равно произведению крайних членов.
Средние члены пропорции: $x$ и $\frac{6}{7}$. Крайние члены: $1\frac{5}{7}$ и $2$.
Запишем равенство произведений:
$x \cdot \frac{6}{7} = 1\frac{5}{7} \cdot 2$
Переведем смешанное число $1\frac{5}{7}$ в неправильную дробь: $1\frac{5}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 5}{7} = \frac{12}{7}$.
Подставим полученное значение в уравнение:
$x \cdot \frac{6}{7} = \frac{12}{7} \cdot 2$
$x \cdot \frac{6}{7} = \frac{24}{7}$
Чтобы найти неизвестный множитель $x$, необходимо произведение ($\frac{24}{7}$) разделить на известный множитель ($\frac{6}{7}$):
$x = \frac{24}{7} : \frac{6}{7}$
$x = \frac{24}{7} \cdot \frac{7}{6} = \frac{24}{6} = 4$
Ответ: 4.

б) Исходное уравнение: $a : 1\frac{3}{4} = 1\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4}$.
В данном уравнении переменная $a$ является делимым. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.
Сначала вычислим значение правой части уравнения (частное). Переведем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{3}{4} = \frac{7}{4}$.
$1\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{7}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{7}{16}$
Теперь уравнение выглядит так:
$a : 1\frac{3}{4} = \frac{7}{16}$
Теперь найдем $a$, умножив частное на делитель:
$a = \frac{7}{16} \cdot 1\frac{3}{4} = \frac{7}{16} \cdot \frac{7}{4} = \frac{7 \cdot 7}{16 \cdot 4} = \frac{49}{64}$
Ответ: $\frac{49}{64}$.

в) Исходное уравнение: $1\frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{3}n + \frac{3}{7}) = 2\frac{1}{4}$.
Выражение в скобках $(\frac{1}{3}n + \frac{3}{7})$ — это неизвестный множитель. Чтобы его найти, нужно произведение ($2\frac{1}{4}$) разделить на известный множитель ($1\frac{2}{3}$).
Переведем смешанные числа в неправильные дроби:
$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$
$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$
Найдем выражение в скобках:
$\frac{1}{3}n + \frac{3}{7} = \frac{9}{4} : \frac{5}{3} = \frac{9}{4} \cdot \frac{3}{5} = \frac{27}{20}$
Теперь имеем более простое уравнение: $\frac{1}{3}n + \frac{3}{7} = \frac{27}{20}$.
Здесь $\frac{1}{3}n$ — неизвестное слагаемое. Найдем его, вычтя из суммы ($\frac{27}{20}$) известное слагаемое ($\frac{3}{7}$):
$\frac{1}{3}n = \frac{27}{20} - \frac{3}{7}$
Приведем дроби к общему знаменателю $140$:
$\frac{1}{3}n = \frac{27 \cdot 7}{20 \cdot 7} - \frac{3 \cdot 20}{7 \cdot 20} = \frac{189}{140} - \frac{60}{140} = \frac{129}{140}$
Чтобы найти $n$, разделим произведение ($\frac{129}{140}$) на известный множитель ($\frac{1}{3}$):
$n = \frac{129}{140} : \frac{1}{3} = \frac{129}{140} \cdot 3 = \frac{387}{140}$
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$n = 2\frac{107}{140}$
Ответ: $2\frac{107}{140}$.

г) Исходное уравнение: $(\frac{5}{4}z - \frac{3}{5}) \cdot \frac{7}{8} = \frac{7}{8}$.
Выражение в скобках $(\frac{5}{4}z - \frac{3}{5})$ — неизвестный множитель. Чтобы его найти, разделим произведение ($\frac{7}{8}$) на известный множитель ($\frac{7}{8}$).
$\frac{5}{4}z - \frac{3}{5} = \frac{7}{8} : \frac{7}{8}$
Так как любое число (кроме нуля), деленное на само себя, равно 1:
$\frac{5}{4}z - \frac{3}{5} = 1$
Теперь $\frac{5}{4}z$ — неизвестное уменьшаемое. Чтобы его найти, к разности (1) прибавим вычитаемое ($\frac{3}{5}$):
$\frac{5}{4}z = 1 + \frac{3}{5} = \frac{5}{5} + \frac{3}{5} = \frac{8}{5}$
Чтобы найти $z$, разделим произведение ($\frac{8}{5}$) на известный множитель ($\frac{5}{4}$):
$z = \frac{8}{5} : \frac{5}{4} = \frac{8}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{32}{25}$
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$z = 1\frac{7}{25}$
Ответ: $1\frac{7}{25}$.

2.433. Углы АОВ и ВОС вместе составляют развёрнутый угол АОС. При этом угол АОВ в 125 раза больше угла ВОС. Найдите градусные меры углов АОВ и ВОС. Выполните построение этих углов с помощью транспортира.

2.433

$\angle AOB + \angle BOC = 180°$

$\angle AOB - ?, в 1\frac{2}{5} раза>\angle BOC$

$\angle BOC - ?$

Пусть $\angle BOC$– х, тогда $\angle АОВ$- $1\frac{2}{5}$  х. Зная, что$\angle AOB + \angle BOC = 180°$ составим и решим уравнение.

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }1\frac{2}{5} х + х=180; \\ \left(1\frac{2}{5} + 1\right) х = 180; \\ 2\frac{2}{5} х = 180; \\ х = 180 : 2\frac{2}{5}; \\ х = \frac{{\displaystyle \stackrel{15}{\cancel{180}}}}{1} · \frac{5}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{12}}}}; \\ х = \frac{15 · 5}{1 · 1}; \\ х = 75° - \angle BOC; \end{gathered}$$

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }180° - 75° = 105° - \angle AOB.$

Ответ: 75°; 105°.

Найдите градусные меры углов AOB и BOC.

По условию задачи, углы AOB и BOC вместе составляют развёрнутый угол AOC. Градусная мера развёрнутого угла равна $180^\circ$. Следовательно, сумма градусных мер углов AOB и BOC также равна $180^\circ$:
$\angle AOB + \angle BOC = 180^\circ$

Также известно, что угол AOB в $1\frac{2}{5}$ раза больше угла BOC. Обозначим градусную меру угла BOC за $x$.
Тогда $\angle BOC = x$.
Соответственно, градусная мера угла AOB будет равна $1\frac{2}{5}x$.

Составим уравнение, исходя из того, что сумма углов равна $180^\circ$:
$1\frac{2}{5}x + x = 180$

Для решения уравнения сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$1\frac{2}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{7}{5}$

Подставим это значение в уравнение и решим его:
$\frac{7}{5}x + x = 180$
$(\frac{7}{5} + 1)x = 180$
$(\frac{7}{5} + \frac{5}{5})x = 180$
$\frac{12}{5}x = 180$

Теперь найдём $x$:
$x = 180 : \frac{12}{5}$
$x = 180 \cdot \frac{5}{12}$
$x = \frac{180 \cdot 5}{12} = 15 \cdot 5 = 75$

Таким образом, мы нашли градусную меру угла BOC:
$\angle BOC = x = 75^\circ$

Теперь найдём градусную меру угла AOB:
$\angle AOB = 1\frac{2}{5} \cdot \angle BOC = \frac{7}{5} \cdot 75^\circ = 7 \cdot 15^\circ = 105^\circ$

Проверим правильность решения: $105^\circ + 75^\circ = 180^\circ$.

Ответ: градусная мера угла AOB равна $105^\circ$, а угла BOC — $75^\circ$.

Выполните построение этих углов с помощью транспортира.

Построение выполняется в несколько шагов:
1. Начертите прямую линию и отметьте на ней точку O (вершину углов). На этой прямой по разные стороны от точки O отметьте точки A и C. Таким образом, вы получите развёрнутый угол AOC, равный $180^\circ$.
2. Приложите транспортир так, чтобы его центр совпал с точкой O, а нулевая отметка (или отметка $180^\circ$) на его шкале легла на луч OC.
3. Отсчитайте по шкале транспортира от луча OC угол в $75^\circ$ и поставьте в этом месте точку B.
4. Проведите луч OB из точки O через точку B.
В результате вы построите два смежных угла: $\angle BOC$, равный $75^\circ$, и $\angle AOB$. Градусная мера угла AOB будет равна разности $180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$.

Ответ: построение выполнено согласно описанным шагам.

2.434. Луч ВК делит прямой угол АВС на углы АВК и КВС. Угол АВК меньше угла КВС в 312 раза. Найдите градусные меры углов АВК и КВС. Постройте эти углы.

2.434

Пусть х - ∠ ABK , тогда $3\frac{1}{2}$ х - ∠ KBC . Зная, что ∠ ABK +∠ KBC = 90°, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)} х + 3\frac{1}{2} х =90; \\ \left(1 + 3\frac{1}{2}\right) х = 90; \\ 4\frac{1}{2} х = 90; \\ х = 90 : 4\frac{1}{2}; \\ х = 90 : \frac{9}{2}; \\ х = \stackrel{10}{\cancel{90}} · \frac{2}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{9}}}}; \\ х = 20° - \angle ABK ; \end{gathered}$$

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }90° - 20° = 70° - \angle KBC .$

Ответ: 20°; 70° .

Нахождение градусных мер углов

Пусть градусная мера меньшего угла, $∠АВК$, равна $x$. Согласно условию задачи, угол АВК меньше угла КВС в $3\frac{1}{2}$ раза. Это значит, что угол КВС больше угла АВК в $3\frac{1}{2}$ раза. Переведем смешанное число в десятичную дробь для удобства вычислений: $3\frac{1}{2} = 3.5$. Таким образом, градусная мера угла КВС равна $3.5x$.

Луч ВК делит прямой угол АВС, градусная мера которого составляет $90°$. Следовательно, сумма углов АВК и КВС равна $90°$.
$∠АВК + ∠КВС = 90°$

Составим и решим уравнение:
$x + 3.5x = 90$
$4.5x = 90$
$x = \frac{90}{4.5}$
$x = \frac{900}{45}$
$x = 20$

Итак, градусная мера угла АВК равна $20°$. Теперь найдем градусную меру угла КВС:
$∠КВС = 3.5 \times x = 3.5 \times 20° = 70°$.

Проверим наше решение: $∠АВК + ∠КВС = 20° + 70° = 90°$. Условие выполняется.

Ответ: $∠АВК = 20°$, $∠КВС = 70°$.

Построение этих углов

Для построения углов понадобятся линейка и транспортир.

1. Начертите произвольный луч ВС с началом в точке В.
2. Приложите транспортир так, чтобы его центр совпал с точкой В, а нулевая отметка на шкале прошла через луч ВС.
3. Найдите на шкале транспортира отметку $90°$ и поставьте точку А.
4. Соедините точку В с точкой А. Вы получили прямой угол $∠АВС = 90°$.
5. Не убирая транспортир, найдите на той же шкале отметку $70°$ (для угла КВС) и поставьте точку К.
6. Проведите луч ВК из точки В через точку К.
7. В результате угол АВС будет разделен лучом ВК на два угла: $∠КВС = 70°$ и $∠АВК = 90° - 70° = 20°$.

Ответ: Построение выполнено согласно инструкции выше.

2.435. Мать старше дочери в 4411 раза, или на 37 лет. Сколько лет каждой из них?

2.435

Мама - ?, в $4\frac{4}{11}$ раза > , на 37 >

Дочь - ?.

Пусть х лет – дочери, тогда $4\frac{4}{11}$х лет – матери. Зная, что мать старше дочери на 37 лет, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }4\frac{4}{11} х - х = 37; \\ \left(4\frac{4}{11} - 1\right) х = 37; \\ 3\frac{4}{11} х = 37; \\ \frac{37}{11} х = 37; \\ х = 37 : \frac{37}{11}; \\ х =\cancel{ 37 }· \frac{11}{\cancel{37}}; \\ х = 11 (\mathrm{лет}) – \mathrm{дочери}; \end{gathered}$$

$\mathbf{2}\mathbf{)} 11 + 37 = 48$(лет) – матери.

Ответ: 11 лет и 48 лет.

Для решения этой задачи составим уравнение. Пусть возраст дочери равен $x$ лет.

Из условия известно, что мать старше дочери в $4\frac{4}{11}$ раза. Следовательно, возраст матери можно выразить как $4\frac{4}{11} \cdot x$ лет.

Также в условии сказано, что мать старше дочери на 37 лет. Это означает, что разница между возрастом матери и возрастом дочери равна 37. Можем составить уравнение:

$(4\frac{4}{11} \cdot x) - x = 37$

Для удобства вычислений преобразуем смешанное число $4\frac{4}{11}$ в неправильную дробь:

$4\frac{4}{11} = \frac{4 \cdot 11 + 4}{11} = \frac{44+4}{11} = \frac{48}{11}$

Теперь подставим полученную дробь обратно в наше уравнение:

$\frac{48}{11}x - x = 37$

Вынесем переменную $x$ за скобки в левой части уравнения:

$x \cdot (\frac{48}{11} - 1) = 37$

Чтобы выполнить вычитание в скобках, представим 1 как дробь со знаменателем 11, то есть $1 = \frac{11}{11}$:

$x \cdot (\frac{48}{11} - \frac{11}{11}) = 37$

$x \cdot \frac{37}{11} = 37$

Чтобы найти $x$, нужно разделить обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на дробь $\frac{37}{11}$. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:

$x = 37 \div \frac{37}{11} = 37 \cdot \frac{11}{37}$

$x = \frac{37 \cdot 11}{37} = 11$

Таким образом, мы нашли возраст дочери — ей 11 лет.

Теперь определим возраст матери. Мы знаем, что она на 37 лет старше дочери:

Возраст матери = $11 + 37 = 48$ лет.

Проверим, соответствует ли найденное решение обоим условиям задачи. Разница в возрасте: $48 - 11 = 37$ лет. Соотношение возрастов: $\frac{48}{11} = 4\frac{4}{11}$. Оба условия выполняются.

Ответ: возраст дочери — 11 лет, возраст матери — 48 лет.

2.436. Масса двух арбузов равна 1334 кг. При этом масса одного арбуза составляет 47 массы другого арбуза. Чему равна масса каждого арбуза?

2.436

Пусть х кг – масса одного арбуза, тогда $\frac{4}{7}$х кг – масса второго арбуза. Зная, что вместе они весят $13\frac{3}{4}$ кг, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)} х + \frac{4}{7} х = 13\frac{3}{4}; \\ \left(1 + \frac{4}{7}\right) х = 13\frac{3}{4}; \\ 1\frac{4 }{7} х = 13\frac{3}{4}; \\ х = 13\frac{3}{4} : 1\frac{4 }{7}; \\ х = \frac{55}{\cancel{7}} · \frac{\cancel{7}}{11}; \\ х = \frac{55}{11}; \\ х = 5 (\mathrm{кг}) – \mathrm{масса} \mathrm{одного} \mathrm{арбуза}; \end{gathered}$$

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }13\frac{3}{4} - 5 = 8\frac{3}{4}$(кг) – масса другого арбуза.

Ответ: 5 кг и $8\frac{3}{4}$ кг.

Для решения задачи обозначим массу одного арбуза (более тяжелого) через $x$ кг. Согласно условию, масса другого арбуза составляет $\frac{4}{7}$ от массы первого, то есть она равна $\frac{4}{7}x$ кг.

Общая масса двух арбузов равна $13\frac{3}{4}$ кг. Мы можем составить уравнение, сложив массы обоих арбузов:

$x + \frac{4}{7}x = 13\frac{3}{4}$

Теперь решим это уравнение. Сначала выполним сложение в левой части:

$1x + \frac{4}{7}x = (1 + \frac{4}{7})x = (\frac{7}{7} + \frac{4}{7})x = \frac{11}{7}x$

Переведем смешанное число $13\frac{3}{4}$ в неправильную дробь для удобства вычислений:

$13\frac{3}{4} = \frac{13 \times 4 + 3}{4} = \frac{52 + 3}{4} = \frac{55}{4}$

Теперь наше уравнение выглядит так:

$\frac{11}{7}x = \frac{55}{4}$

Чтобы найти $x$, разделим правую часть уравнения на коэффициент при $x$:

$x = \frac{55}{4} \div \frac{11}{7}$

Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$x = \frac{55}{4} \times \frac{7}{11}$

Сократим числа 55 и 11 на 11:

$x = \frac{5 \times 7}{4 \times 1} = \frac{35}{4}$

Преобразуем полученную неправильную дробь обратно в смешанное число:

$x = 8\frac{3}{4}$ кг

Итак, масса более тяжелого арбуза равна $8\frac{3}{4}$ кг.

Теперь найдем массу второго арбуза:

$\frac{4}{7} \times x = \frac{4}{7} \times \frac{35}{4}$

Сократим 4 в числителе и знаменателе, а также 35 и 7 на 7:

$\frac{4 \times 35}{7 \times 4} = \frac{35}{7} = 5$ кг

Таким образом, масса второго арбуза равна 5 кг.

Проверка: $5 + 8\frac{3}{4} = 13\frac{3}{4}$ кг. Сумма масс верна.

Ответ: масса одного арбуза 5 кг, а масса другого — $8\frac{3}{4}$ кг.

2.437. В День леса два отряда высадили саженцы 780 сосен, причём первый отряд высадил 95 % числа саженцев, высаженных вторым отрядом. Сколько сосен посадил каждый отряд?

2.437

Пусть х саженцев – высадил второй отряд, тогда 0,95х саженцев – высадил первый отряд. Зная, что вместе они высадили 780 саженцев, составим и решим уравнение:

х + 0,95х = 780;

(1+0,95) х = 780;

1,95х = 780;

х = 780 : 1,95;

х = 7800 : 195;

х = 400 саженцев – высадил второй отряд;

1) 780 – 400 = 380 саженцев – высадил первый отряд

Ответ: 380 и 400 саженцев.

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество саженцев сосен, которое высадил второй отряд. Согласно условию, первый отряд высадил 95% от числа саженцев, высаженных вторым отрядом. Чтобы найти 95% от $x$, нужно умножить $x$ на 0,95. Таким образом, первый отряд высадил $0.95x$ саженцев.

Общее количество саженцев, высаженных обоими отрядами, равно 780. Мы можем составить уравнение, сложив количество саженцев, посаженных каждым отрядом, и приравняв сумму к общему числу:

$x + 0.95x = 780$

Теперь решим это уравнение. Сначала сложим коэффициенты при $x$:

$1.95x = 780$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 1,95:

$x = \frac{780}{1.95}$

$x = 400$

Итак, мы выяснили, что второй отряд высадил 400 сосен.

Теперь найдем, сколько сосен высадил первый отряд. Для этого умножим количество сосен второго отряда на 0,95:

$400 \cdot 0.95 = 380$

Другой способ найти количество сосен первого отряда — вычесть из общего количества сосен то, что посадил второй отряд:

$780 - 400 = 380$

Оба способа дают одинаковый результат.

Проверим, правильно ли решена задача: $400$ (второй отряд) + $380$ (первый отряд) = $780$ сосен. Условие выполнено.

Ответ: первый отряд посадил 380 сосен, второй отряд посадил 400 сосен.

Вопросы:

Как могут располагаться на плоскости две прямые?

Какие прямые называются параллельными?

Какие отрезки называются параллельными?

Как читают запись г || s?

Сколько прямых, параллельных данной, можно провести через точку, не лежащую на этой прямой?

Пересекутся ли две прямые, перпендикулярные одной прямой?

42. Параллельные прямые

Вопросы к параграфу

• Прямые на плоскости могут пересекаться и могут не пересекаться

• Прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются

• Отрезки, которые лежат на параллельных прямых, называются параллельными отрезками

• Прямая r параллельна прямой s или прямые r и s параллельны

• Через точку, не лежащую на прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной

• Две прямые, перпендикулярные одной прямой, параллельны

Как могут располагаться на плоскости две прямые? Две прямые на плоскости могут иметь три варианта взаимного расположения:
1. Пересекаться, то есть иметь одну общую точку.
2. Быть параллельными, то есть не иметь ни одной общей точки.
3. Совпадать, то есть иметь бесконечное множество общих точек. Ответ:

Какие прямые называются параллельными? Параллельными называются две прямые на плоскости, которые не пересекаются, сколько бы их ни продолжали. Расстояние между такими прямыми в любой точке одинаково. Ответ:

Какие отрезки называются параллельными? Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. То же самое определение справедливо для лучей, а также для отрезка и прямой, луча и прямой, отрезка и луча. Ответ:

Как читают запись $r \parallel s$? Запись $r \parallel s$ читается так: «прямая r параллельна прямой s». Символ $ \parallel $ обозначает параллельность. Ответ:

Сколько прямых, параллельных данной, можно провести через точку, не лежащую на этой прямой? Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Это утверждение является одной из фундаментальных аксиом евклидовой геометрии, известной как пятый постулат Евклида или аксиома параллельности. Ответ:

Пересекутся ли две прямые, перпендикулярные одной прямой? Нет, на плоскости такие прямые не пересекутся. Согласно свойству параллельных прямых, две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны между собой. Если у нас есть прямая $c$ и две прямые $a$ и $b$ такие, что $a \perp c$ и $b \perp c$, то из этого следует, что $a \parallel b$. Так как прямые $a$ и $b$ параллельны, они не имеют общих точек и, следовательно, не пересекаются. Ответ:

6.19. Проведите прямую l и отметьте точки М и К по разные стороны этой прямой. Проведите через точки М и К прямые, параллельные прямой l.

6.19

Для решения этой задачи необходимо выполнить последовательность геометрических построений. Классический метод предполагает использование циркуля и линейки без делений.

1. Начальное построение

С помощью линейки проводим произвольную прямую и обозначаем ее $l$. Затем отмечаем точку $M$ с одной стороны от прямой $l$ и точку $K$ с другой (противоположной) стороны от этой прямой.

2. Построение прямой через точку M, параллельной прямой l

Чтобы построить прямую, проходящую через $M$ и параллельную $l$, воспользуемся методом построения равных накрест лежащих углов. Назовем искомую прямую $m$.

1. Проведем через точку $M$ и произвольную точку $A$ на прямой $l$ вспомогательную прямую (секущую) $AM$.
2. С центром в точке $A$ проведем дугу окружности произвольного радиуса $r$ так, чтобы она пересекла прямую $l$ в точке $B$ и секущую $AM$ в точке $C$.
3. Не меняя радиуса циркуля ($r$), проведем с центром в точке $M$ дугу так, чтобы она пересекла секущую $AM$ в точке $D$ (точка $D$ лежит на отрезке $AM$).
4. Измерим циркулем расстояние между точками $B$ и $C$.
5. С центром в точке $D$ проведем дугу радиусом, равным расстоянию $BC$, так, чтобы она пересекла дугу, построенную в шаге 3. Точку пересечения обозначим $N$. Точка $N$ должна находиться с противоположной стороны от секущей $AM$ относительно точки $B$.
6. С помощью линейки проведем прямую через точки $M$ и $N$. Эта прямая $m$ и будет искомой.

По построению накрест лежащие углы $\angle NMD$ и $\angle BAC$ равны, следовательно, прямая $m$ параллельна прямой $l$ ($m \parallel l$).

3. Построение прямой через точку K, параллельной прямой l

Построение прямой $k$, проходящей через точку $K$ и параллельной $l$, выполняется абсолютно аналогично. Необходимо повторить все шаги (1-6) из предыдущего пункта, но для точки $K$ (например, проведя секущую через $K$ и новую точку $A_1$ на прямой $l$). В результате будет построена прямая $k$, проходящая через точку $K$ и параллельная прямой $l$ ($k \parallel l$).

Так как обе построенные прямые $m$ и $k$ параллельны одной и той же прямой $l$, то по свойству транзитивности параллельности (две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой) они также параллельны друг другу ($m \parallel k$).

Ответ: В результате описанных построений проведены прямые $m$ и $k$, где прямая $m$ проходит через точку $M$, прямая $k$ проходит через точку $K$, и обе прямые ($m$ и $k$) параллельны исходной прямой $l$.

6.20. Определите на глаз параллельные прямые на рисунке 6.15, а потом проверьте с помощью линейки и чертёжного треугольника параллельность этих прямых. Запишите их.

6.20

$l ║d, c ║a$

Определение параллельных прямых на глаз

При визуальном осмотре рисунка 6.15 можно выдвинуть гипотезу о параллельности двух групп прямых:

1. Группа прямых, расположенных почти горизонтально: c (зелёная), a (красная), q (розовая) и r (жёлтая). Визуально они сохраняют одинаковое расстояние друг от друга по всей длине.

2. Группа наклонных прямых: l (фиолетовая) и d (голубая). Они имеют одинаковый наклон и не semblent пересекаться.

Проверка параллельности с помощью линейки и чертёжного треугольника

Чтобы убедиться в параллельности прямых, необходимо выполнить проверку с помощью чертёжных инструментов. Стандартный метод проверки выглядит следующим образом:

1. Приложить один из катетов чертёжного треугольника (угольника) к одной из прямых, например, к прямой c.

2. К другому катету треугольника плотно приложить линейку.

3. Удерживая линейку неподвижно, плавно сдвигать треугольник вдоль неё до тех пор, пока его первый катет не совместится со следующей проверяемой прямой, например, с прямой a.

4. Если катет треугольника полностью совпал с прямой a, то прямые c и a параллельны. Если нет — они не параллельны.

Применив этот метод последовательно к прямым c, a, q, r, мы подтверждаем, что все они параллельны друг другу. Аналогичная проверка для прямых l и d показывает, что они также параллельны.

Существует и альтернативный способ проверки для прямых c, a, q. Можно заметить, что прямая p пересекает их под прямым углом. Проверив это с помощью угольника, мы можем воспользоваться свойством: если две прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны. Этот метод также подтверждает, что $c \parallel a \parallel q$.

Запись параллельных прямых

По итогам проверки с помощью инструментов были установлены следующие параллельные прямые.

Ответ: На рисунке параллельны следующие прямые: $c \parallel a \parallel q \parallel r$ и $l \parallel d$.

6.21. Нарисуйте квадрат и проведите через каждую его вершину прямую, параллельную его диагонали. Обозначьте точки пересечения прямых буквами. Какой четырёхугольник с вершинами в отмеченных точках получился?

6.21

АВСD – квадрат

Задача состоит из двух частей: построение фигуры и определение её вида.

Построение

1. Нарисуем исходный квадрат. Обозначим его вершины буквами $A, B, C, D$ против часовой стрелки.

2. Проведём в этом квадрате диагонали $AC$ и $BD$.

3. Теперь, согласно условию, через каждую вершину проведём прямую, параллельную одной из диагоналей. Чтобы получить замкнутую фигуру, будем проводить прямую через вершину параллельно той диагонали, которая не проходит через эту вершину:

• Через вершины $A$ и $C$ проведём прямые, параллельные диагонали $BD$.
• Через вершины $B$ и $D$ проведём прямые, параллельные диагонали $AC$.

4. Эти четыре прямые пересекутся в четырёх точках. Обозначим эти точки пересечения буквами $K, L, M, N$. Эти точки являются вершинами нового четырёхугольника.

Наглядно это можно представить на чертеже:

Анализ полученной фигуры $KLMN$

Чтобы определить, какой четырёхугольник получился, проверим его свойства: параллельность сторон, равенство углов и равенство длин сторон.

1. Параллельность сторон. По построению, прямая $KL$ (проходящая через $A$) и прямая $NM$ (проходящая через $C$) параллельны диагонали $BD$. Значит, $KL \parallel NM$. Аналогично, прямая $LM$ (проходящая через $B$) и прямая $KN$ (проходящая через $D$) параллельны диагонали $AC$. Значит, $LM \parallel KN$. Так как противолежащие стороны четырёхугольника попарно параллельны, $KLMN$ является параллелограммом.

2. Углы. Рассмотрим угол при вершине $L$. Он образован пересечением прямых $KL$ и $LM$. Мы знаем, что $KL \parallel BD$ и $LM \parallel AC$. Угол между пересекающимися прямыми равен углу между любыми другими двумя прямыми, которые им соответственно параллельны. Диагонали квадрата $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны, то есть угол между ними составляет $90^\circ$. Следовательно, угол $\angle K L M = 90^\circ$. Параллелограмм, у которого хотя бы один угол прямой, является прямоугольником.

3. Длины сторон. Пусть сторона исходного квадрата $ABCD$ равна $a$. Тогда по теореме Пифагора длина его диагоналей $AC$ и $BD$ одинакова и равна $d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.
Сторона $LM$ нового прямоугольника равна расстоянию между параллельными прямыми $KL$ и $NM$. Это расстояние равно длине диагонали $AC$, так как прямые $KL$ и $NM$ перпендикулярны $AC$ (поскольку $KL \parallel BD$ и $BD \perp AC$). Таким образом, длина стороны $LM = AC = a\sqrt{2}$.
Аналогично, длина стороны $KL$ равна расстоянию между параллельными прямыми $LM$ и $KN$. Это расстояние равно длине диагонали $BD$. Таким образом, длина стороны $KL = BD = a\sqrt{2}$.
Мы получили, что смежные стороны прямоугольника $KLMN$ равны: $KL = LM = a\sqrt{2}$. Прямоугольник с равными сторонами является квадратом.

Ответ: Получившийся четырёхугольник с вершинами в отмеченных точках является квадратом.

6.22. Нарисуйте четырёхугольник. Отметьте точками А, В, С и D середины сторон. Проведите отрезки АВ, ВС, CD и AD. Проверьте, будут ли параллельны противоположные стороны четырёхугольника ABCD.

6.22

$AB║CD, AD║BC$

Эта задача является частным случаем теоремы Вариньона, которая утверждает, что отрезки, соединяющие середины сторон произвольного четырёхугольника, образуют параллелограмм. А у параллелограмма, по определению, противоположные стороны параллельны. Давайте докажем это утверждение по шагам.

Нарисуйте четырёхугольник. Отметьте точки A, B, C и D середины сторон. Проведите отрезки AB, BC, CD и AD.

Пусть дан произвольный четырёхугольник, вершины которого мы обозначим как $M_1, M_2, M_3, M_4$. Отметим точки $A, B, C, D$ как середины его сторон в последовательном порядке: $A$ — середина стороны $M_1M_2$, $B$ — середина стороны $M_2M_3$, $C$ — середина стороны $M_3M_4$, $D$ — середина стороны $M_4M_1$. Соединим эти точки отрезками и получим четырёхугольник $ABCD$.

Проверьте, будут ли параллельны противоположные стороны четырёхугольника ABCD.

Чтобы проверить параллельность противоположных сторон ($AB$ и $CD$, а также $AD$ и $BC$), мы используем теорему о средней линии треугольника. Для этого проведём диагонали в исходном четырёхугольнике $M_1M_2M_3M_4$.

1. Проверка параллельности сторон $AB$ и $CD$.
Проведём диагональ $M_1M_3$. Она делит четырёхугольник на два треугольника: $\triangle M_1M_2M_3$ и $\triangle M_1M_3M_4$.

В треугольнике $\triangle M_1M_2M_3$ отрезок $AB$ соединяет середины сторон $M_1M_2$ и $M_2M_3$. По теореме о средней линии треугольника, этот отрезок параллелен третьей стороне ($M_1M_3$) и равен её половине: $AB \parallel M_1M_3$ и $AB = \frac{1}{2} M_1M_3$.

В треугольнике $\triangle M_1M_3M_4$ отрезок $CD$ соединяет середины сторон $M_3M_4$ и $M_4M_1$. Следовательно, $CD$ также является средней линией, и он параллелен стороне $M_1M_3$ и равен её половине: $CD \parallel M_1M_3$ и $CD = \frac{1}{2} M_1M_3$.

Так как отрезки $AB$ и $CD$ параллельны одному и тому же отрезку $M_1M_3$, они параллельны друг другу: $AB \parallel CD$.

2. Проверка параллельности сторон $AD$ и $BC$.
Теперь проведём другую диагональ, $M_2M_4$. Она делит четырёхугольник на треугольники $\triangle M_1M_2M_4$ и $\triangle M_2M_3M_4$.

В треугольнике $\triangle M_1M_2M_4$ отрезок $AD$ соединяет середины сторон $M_1M_2$ и $M_4M_1$. Следовательно, $AD$ — средняя линия, и $AD \parallel M_2M_4$ и $AD = \frac{1}{2} M_2M_4$.

В треугольнике $\triangle M_2M_3M_4$ отрезок $BC$ соединяет середины сторон $M_2M_3$ и $M_3M_4$. Следовательно, $BC$ — средняя линия, и $BC \parallel M_2M_4$ и $BC = \frac{1}{2} M_2M_4$.

Так как отрезки $AD$ и $BC$ параллельны одному и тому же отрезку $M_2M_4$, они параллельны друг другу: $AD \parallel BC$.

Мы доказали, что в четырёхугольнике $ABCD$ противоположные стороны попарно параллельны.

Ответ: Да, противоположные стороны четырёхугольника $ABCD$, образованного серединами сторон произвольного четырёхугольника, всегда будут параллельны.

6.23. Нарисуйте треугольник АВС и проведите через его вершины А, В и С прямые, параллельные противоположным сторонам. Обозначьте вершины получившегося треугольника А₁, В₁ и С₁ так, чтобы точки А и А₁ лежали по разные стороны от прямой ВС, а точки В и В₁ – от прямой АС. Сравните длины сторон АВ и А₁В₁, АС и А₁С₁, ВС и В₁С₁. Сделайте предположение.

6.23

А₁В₁ = 2АВ; В₁С₁ = 2ВС; А₁С₁ = 2АС

Длины сторон получившегося треугольника вдвое больше соответствующих сторон данного треугольника.

Нарисуем произвольный треугольник $ABC$. Проведем через каждую его вершину прямую, параллельную противолежащей стороне. Пусть прямая, проходящая через $A$, параллельна $BC$; прямая, проходящая через $B$, параллельна $AC$; и прямая, проходящая через $C$, параллельна $AB$. Эти три прямые образуют новый треугольник $A_1B_1C_1$. Согласно условию, вершина $A_1$ находится по другую сторону от прямой $BC$, чем $A$. Это означает, что $A_1$ является точкой пересечения прямых, проведенных через $B$ и $C$. Аналогично, $B_1$ — точка пересечения прямых, проведенных через $A$ и $C$, а $C_1$ — точка пересечения прямых, проведенных через $A$ и $B$.

Рассмотрим образовавшиеся четырехугольники. Четырехугольник $ACBC_1$ является параллелограммом, так как по построению его противоположные стороны попарно параллельны ($AC_1 \parallel BC$ и $BC_1 \parallel AC$). Следовательно, его противоположные стороны равны: $AC = BC_1$ и $BC = AC_1$. Аналогично доказывается, что $ABCB_1$ и $ABA_1C$ также являются параллелограммами. Из этого следует, что $AB = CB_1$ и $BC = AB_1$ (из параллелограмма $ABCB_1$), а также $AB = CA_1$ и $AC = BA_1$ (из параллелограмма $ABA_1C$).

Сравнение длин сторон

Используя свойства полученных параллелограммов, сравним длины сторон треугольников. Сторона $A_1B_1$ нового треугольника проходит через точку $C$, поэтому ее длина $A_1B_1 = A_1C + CB_1$. Так как $A_1C = AB$ (из параллелограмма $ABA_1C$) и $CB_1 = AB$ (из параллелограмма $ABCB_1$), получаем $A_1B_1 = AB + AB = 2 \cdot AB$. Аналогично, для стороны $B_1C_1$, проходящей через $A$, имеем $B_1C_1 = B_1A + AC_1$. Так как $B_1A = BC$ (из параллелограмма $ABCB_1$) и $AC_1 = BC$ (из параллелограмма $ACBC_1$), получаем $B_1C_1 = BC + BC = 2 \cdot BC$. Для стороны $A_1C_1$, проходящей через $B$, имеем $A_1C_1 = A_1B + BC_1$. Так как $A_1B = AC$ (из параллелограмма $ABA_1C$) и $BC_1 = AC$ (из параллелограмма $ACBC_1$), получаем $A_1C_1 = AC + AC = 2 \cdot AC$.

Ответ: Длина каждой стороны нового треугольника $A_1B_1C_1$ ровно в два раза больше длины соответствующей (параллельной ей) стороны исходного треугольника $ABC$. То есть: $A_1B_1 = 2 \cdot AB$, $B_1C_1 = 2 \cdot BC$ и $A_1C_1 = 2 \cdot AC$.

Предположение

Из проведенного сравнения сторон следует, что $A_1C = CB_1 = AB$, $B_1A = AC_1 = BC$ и $A_1B = BC_1 = AC$. Это означает, что точки $C$, $A$ и $B$ являются серединами сторон $A_1B_1$, $B_1C_1$ и $A_1C_1$ нового треугольника соответственно. Треугольник, отрезки которого соединяют середины сторон другого треугольника, называется срединным треугольником.

Ответ: Предположение состоит в том, что вершины исходного треугольника $ABC$ являются серединами сторон построенного треугольника $A_1B_1C_1$, а сам треугольник $ABC$ является срединным треугольником для треугольника $A_1B_1C_1$.