Страница 104, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.447. Первое число на 1,8 меньше второго и в 2 раза меньше третьего. Найдите эти числа, если их среднее арифметическое равно 6,2.

2.447

Среднее арифметическое – 6,2.

Пусть х – первое число, тогда (х+1,8) – второе число и (2х) – третье число. Зная, что их среднее арифметическое равно 6,2 составим и решим уравнение:

1) (х + х + 1,8 + 2х) : 3 = 6,2;

(4х + 1,8) = 6,2 • 3;

4х + 1,8 = 18,6;

4х = 16,8;

х = 16,8 : 4;

х = 4,2 – первое число;

2) 4,2 + 1,8 = 6 – второе число;

3) 4,2 • 2 = 8,4 – третье число.

Ответ: 4,2; 6; 8,4.

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — это первое число.

Из условия известно, что первое число на 1,8 меньше второго. Следовательно, второе число на 1,8 больше первого, и его можно выразить как $x + 1.8$.

Также сказано, что первое число в 2 раза меньше третьего. Это означает, что третье число в 2 раза больше первого, и его можно выразить как $2x$.

Среднее арифметическое трех чисел — это их сумма, деленная на их количество. По условию, среднее арифметическое наших трех чисел равно 6,2. Можем составить уравнение:

$\frac{x + (x + 1.8) + 2x}{3} = 6.2$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$.

1. Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

$x + (x + 1.8) + 2x = 6.2 \times 3$

2. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в левой части, а также выполним умножение в правой:

$4x + 1.8 = 18.6$

3. Перенесем 1,8 в правую часть уравнения, изменив знак:

$4x = 18.6 - 1.8$

$4x = 16.8$

4. Найдем $x$, разделив обе части на 4:

$x = \frac{16.8}{4}$

$x = 4.2$

Итак, первое число равно 4,2.

Теперь найдем второе и третье числа:

• Второе число: $x + 1.8 = 4.2 + 1.8 = 6$.
• Третье число: $2x = 2 \times 4.2 = 8.4$.

Проверим: среднее арифметическое найденных чисел равно $\frac{4.2 + 6 + 8.4}{3} = \frac{18.6}{3} = 6.2$, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: 4,2; 6; 8,4.

2.448. Выполните действия:

1) 21,8 + 7,7 · 105,6 : 4,2 : 12,1 - 3,25;

2) 12,6 + 5,5 · 176,4 : 2,1 : 10,5 - 4,82.

2.448

$\mathbf{1}\mathbf{)} 21,8\stackrel{4}{ +} 7,7 \stackrel{1}{·} 105,6\stackrel{2}{ :} 4,2\stackrel{3}{ :} 12,1 \stackrel{5}{–} 3,25 = 34,55$

1.	2.
3.	4. 21,8 + 16 = 37,8
5.

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }12,6 \stackrel{4}{+} 5,5 \stackrel{1}{·} 176,4\stackrel{2}{ : }2,1\stackrel{3}{ :} 10,5 \stackrel{5}{–} 4,82 = 51,78.$

1.	2.
3.	4. 12,6 + 44 = 56,6
5.

1) $21,8 + 7,7 \cdot 105,6 : 4,2 : 12,1 - 3,25$

Для решения этого примера необходимо соблюдать порядок действий: сначала выполняются умножение и деление (слева направо), а затем сложение и вычитание (также слева направо).

1. Первое действие — умножение: $7,7 \cdot 105,6$.
$7,7 \cdot 105,6 = 813,12$.

2. Второе действие — первое деление: $813,12 : 4,2$.
Чтобы избавиться от дроби в делителе, умножим делимое и делитель на 10: $8131,2 : 42$.
$8131,2 : 42 = 193,6$.

3. Третье действие — второе деление: $193,6 : 12,1$.
Умножим делимое и делитель на 10: $1936 : 121$.
$1936 : 121 = 16$.

4. Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:
$21,8 + 16 - 3,25$.

5. Четвертое действие — сложение: $21,8 + 16$.
$21,8 + 16 = 37,8$.

6. Пятое действие — вычитание: $37,8 - 3,25$.
$37,80 - 3,25 = 34,55$.

Ответ: 34,55.

2) $12,6 + 5,5 \cdot 176,4 : 2,1 : 10,5 - 4,82$

Решаем пример, соблюдая порядок действий.

1. Первое действие — умножение: $5,5 \cdot 176,4$.
$5,5 \cdot 176,4 = 970,2$.

2. Второе действие — первое деление: $970,2 : 2,1$.
Умножим делимое и делитель на 10: $9702 : 21$.
$9702 : 21 = 462$.

3. Третье действие — второе деление: $462 : 10,5$.
Умножим делимое и делитель на 10: $4620 : 105$.
$4620 : 105 = 44$.

4. Подставляем результат в выражение:
$12,6 + 44 - 4,82$.

5. Четвертое действие — сложение: $12,6 + 44$.
$12,6 + 44 = 56,6$.

6. Пятое действие — вычитание: $56,6 - 4,82$.
$56,60 - 4,82 = 51,78$.

Ответ: 51,78.

2.449. Есть ли число:

а) обратное самому себе;

б) не имеющее обратного?

2.449

Ответ: а) да, 1; б) да, 0.

а) обратное самому себе;

Обратным к числу $a$ называется такое число, при умножении на которое получается 1. То есть, если мы ищем число, обратное самому себе, оно должно удовлетворять уравнению:

$a \cdot a = 1$

или

$a^2 = 1$

Это уравнение имеет два корня: $a = 1$ и $a = -1$.

Проверим оба решения:

• Для числа 1 обратным является число $\frac{1}{1} = 1$. Следовательно, число 1 является обратным самому себе.
• Для числа -1 обратным является число $\frac{1}{-1} = -1$. Следовательно, число -1 также является обратным самому себе.

Таким образом, числа, обратные самим себе, существуют.

Ответ: да, существуют. Это числа 1 и -1.

б) не имеющее обратного?

Обратное к числу $a$ находится по формуле $\frac{1}{a}$. Эта операция возможна для любого числа, кроме того, которое обращает знаменатель в ноль. Деление на ноль является неопределенной математической операцией.

Если мы возьмем число 0, то для нахождения обратного ему числа нам нужно было бы вычислить $\frac{1}{0}$. Так как на ноль делить нельзя, для числа 0 не существует обратного.

Иными словами, не существует такого числа $x$, чтобы выполнялось равенство:

$0 \cdot x = 1$

Это равенство неверно при любом значении $x$, так как произведение любого числа на ноль равно нулю, а не единице.

Ответ: да, существует. Это число 0.

2.450. Запишите множество натуральных чисел, которые являются решениями неравенства:

а) n < 4; б) n ≤ 3; в) 3 ≤n ≤ 10; г) 2 < n ≤ 7; д) 1 ≤ n ≤1,5.

2.450

а) n < 4

n = 1, 2, 3;

б) n ≤ 3

n = 1, 2, 3;

в) 3 ≤ n ≤ 10

n = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10;

г) 2 < n ≤ 7

n = 3, 4, 5, 6, 7;

д) 1 ≤ n ≤ 1,5

n = 1.

а) Необходимо найти множество натуральных чисел $n$, удовлетворяющих неравенству $n < 4$. Натуральные числа — это числа, используемые при счёте: 1, 2, 3, 4, и так далее. Мы ищем те из них, которые строго меньше 4. Такими числами являются 1, 2 и 3. Число 4 не входит в решение, так как неравенство является строгим. Таким образом, искомое множество состоит из этих трёх чисел.

Ответ: {1, 2, 3}

б) Для неравенства $n \le 3$ нужно найти все натуральные числа $n$, которые меньше или равны 3. Натуральные числа, удовлетворяющие этому условию, — это 1, 2 и 3. Число 3 включается в решение, так как неравенство нестрогое. Таким образом, решением является множество {1, 2, 3}.

Ответ: {1, 2, 3}

в) Решаем двойное неравенство $3 \le n \le 10$. Мы ищем натуральные числа $n$, которые больше или равны 3 и одновременно меньше или равны 10. Это означает, что мы должны перечислить все натуральные числа от 3 до 10 включительно. Такими числами являются 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Таким образом, множество решений — это {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

Ответ: {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

г) В двойном неравенстве $2 < n \le 7$ требуется найти натуральные числа $n$, которые строго больше 2 и одновременно меньше или равны 7. Это значит, что $n$ может быть равно 3, 4, 5, 6, 7. Число 2 не включается, так как левая часть неравенства строгая ($n > 2$), а число 7 включается, так как правая часть нестрогая ($n \le 7$). Множество решений: {3, 4, 5, 6, 7}.

Ответ: {3, 4, 5, 6, 7}

д) Для двойного неравенства $1 \le n \le 1,5$ ищем натуральные числа $n$, которые больше или равны 1 и меньше или равны 1,5. Единственное натуральное число, которое попадает в этот промежуток, — это 1. Следующее натуральное число, 2, уже больше, чем 1,5, и не удовлетворяет условию. Следовательно, решение — это множество, содержащее только одно число {1}.

Ответ: {1}

2.451. Запишите число, обратное числу:

а) 311; б) 6; в) 717; г) 0,25; д) 3,2.

2.451

$\mathit{а}\mathbf{)} \frac{3}{11} \mathrm{и} \frac{11}{3} = 3\frac{2}{3};$

$\mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }6 \mathrm{и} \frac{1}{6};$

$\mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }7\frac{1}{7} = \frac{50}{7} \mathrm{и} \frac{7}{50};$

$\mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }0,25 = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{25}}}}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{100}}}}=\frac{1}{4} \mathrm{и} 4;$

$\mathbf{д}\mathbf{)}\mathbf{ }3,2 = 3\frac{2}{10} = \frac{{\displaystyle \stackrel{16}{\cancel{32}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{10}}}}=\frac{16}{5} \mathrm{и} \frac{5}{16}.$

Два числа, произведение которых равно 1, называются взаимно обратными. Чтобы найти число, обратное данному (кроме нуля), нужно 1 разделить на это число. Для числа a обратным является число $\frac{1}{a}$. Если исходное число представлено в виде обыкновенной дроби $\frac{p}{q}$, то обратным ему будет число $\frac{q}{p}$.

а)

Дано число в виде обыкновенной дроби $\frac{3}{11}$. Чтобы найти обратное число, нужно поменять местами числитель и знаменатель.
Получаем дробь $\frac{11}{3}$.
Эту неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа: $11 \div 3 = 3$ с остатком 2, то есть $3\frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{11}{3}$ или $3\frac{2}{3}$.

б)

Дано целое число 6. Любое целое число можно представить в виде дроби со знаменателем 1.
$6 = \frac{6}{1}$.
Число, обратное $\frac{6}{1}$, получаем, поменяв местами числитель и знаменатель: $\frac{1}{6}$.
Ответ: $\frac{1}{6}$.

в)

Дано смешанное число $7\frac{1}{7}$. Сначала необходимо преобразовать его в неправильную дробь.
$7\frac{1}{7} = \frac{7 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{49+1}{7} = \frac{50}{7}$.
Теперь найдем обратное число для дроби $\frac{50}{7}$, поменяв местами числитель и знаменатель.
Обратное число равно $\frac{7}{50}$.
Ответ: $\frac{7}{50}$.

г)

Дана десятичная дробь 0,25. Для нахождения обратного числа преобразуем ее в обыкновенную дробь.
$0,25 = \frac{25}{100}$.
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 25:
$\frac{25 \div 25}{100 \div 25} = \frac{1}{4}$.
Число, обратное $\frac{1}{4}$, равно $\frac{4}{1}$, или просто 4.
Ответ: 4.

д)

Дана десятичная дробь 3,2. Преобразуем ее в обыкновенную дробь.
$3,2 = 3\frac{2}{10} = \frac{32}{10}$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 2:
$\frac{32 \div 2}{10 \div 2} = \frac{16}{5}$.
Число, обратное $\frac{16}{5}$, равно $\frac{5}{16}$.
Ответ: $\frac{5}{16}$.

2.452. Являются ли числа m и n взаимно обратными, если:

а) m = 0,5, n = 2;
б) m = 1,75, n = 47;
в) m = 0,35, n = 267?

2.452

а) $m = 0,5; n = 2$

$m · n = 0,5 · 2 = 1$- являются взаимно обратными;

б) $\mathrm{m} = 1,75; \mathrm{n} =\frac{4}{7}$

$m · n = 1,75 · \frac{4}{7} =$

$= 1\frac{3}{4} · \frac{4}{7} = \frac{\cancel{7}}{\bcancel{4}} · \frac{\bcancel{4}}{\cancel{7}} =1$ - являются взаимно обратными;

в) $m = 0,35; n = 2\frac{6}{7}$

$m · n = 0,35 · 2\frac{6}{7} =$

$=\frac{{\displaystyle \stackrel{7}{\cancel{35}}}}{{\displaystyle \underset{20}{\cancel{100}}}} · \frac{20}{7} = \frac{\cancel{7}}{\bcancel{20}} · \frac{\bcancel{20}}{\cancel{7}} =1$ - являются взаимно обратными.

Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно единице. Чтобы проверить, являются ли данные числа m и n взаимно обратными, необходимо найти их произведение. Если $m \cdot n = 1$, то числа являются взаимно обратными.

а) Даны числа $m = 0,5$ и $n = 2$.

Найдем их произведение:

$m \cdot n = 0,5 \cdot 2 = 1$.

Так как произведение равно 1, числа являются взаимно обратными.

Ответ: да, являются.

б) Даны числа $m = 1,75$ и $n = \frac{4}{7}$.

Для выполнения умножения представим десятичную дробь $m = 1,75$ в виде обыкновенной дроби:

$m = 1,75 = 1\frac{75}{100} = 1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$.

Теперь найдем произведение чисел:

$m \cdot n = \frac{7}{4} \cdot \frac{4}{7} = \frac{7 \cdot 4}{4 \cdot 7} = \frac{28}{28} = 1$.

Произведение равно 1, следовательно, числа являются взаимно обратными.

Ответ: да, являются.

в) Даны числа $m = 0,35$ и $n = 2\frac{6}{7}$.

Представим оба числа в виде неправильных дробей для удобства вычислений.

Переведем десятичную дробь $m = 0,35$ в обыкновенную:

$m = 0,35 = \frac{35}{100} = \frac{7}{20}$ (после сокращения числителя и знаменателя на 5).

Переведем смешанное число $n = 2\frac{6}{7}$ в неправильную дробь:

$n = 2\frac{6}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 6}{7} = \frac{14+6}{7} = \frac{20}{7}$.

Найдем произведение полученных дробей:

$m \cdot n = \frac{7}{20} \cdot \frac{20}{7} = \frac{7 \cdot 20}{20 \cdot 7} = \frac{140}{140} = 1$.

Так как произведение равно 1, данные числа являются взаимно обратными.

Ответ: да, являются.

2.453. Найдите частное и результат округлите до тысячных:

а) 4,8 : 0,9; б) 25,31 : 2,4; в) 234 : 21; г) 0,00539 : 1,2.

2.453

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }4,8 : 0,9 = 48 : 9 = 5,3333\dots \approx 5,333$

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }25,31 : 2,4 = 253,1 : 24 = 10,5458\dots \approx 10,546$

$\mathit{в}\mathbf{)} 234 : 21 = 11,1428\dots \approx 11,143$

$\mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }0,00539 : 1,2 = 0,0539 : 12 = 0,00449\dots \approx 0,004$

а) Чтобы найти частное от деления $4,8$ на $0,9$, сначала избавимся от десятичной дроби в делителе. Для этого умножим делимое и делитель на 10, что не изменит результат деления:
$4,8 : 0,9 = (4,8 \times 10) : (0,9 \times 10) = 48 : 9$.
Теперь выполним деление. Чтобы округлить результат до тысячных (третьего знака после запятой), нам необходимо вычислить как минимум четыре знака после запятой.
$48 : 9 = 5,3333...$
Для округления до тысячных смотрим на четвертый знак после запятой. Это цифра 3. Поскольку $3 < 5$, мы оставляем цифру в разряде тысячных (третью цифру после запятой) без изменений, а последующие цифры отбрасываем.
$5,3333... \approx 5,333$.
Ответ: 5,333.

б) Чтобы найти частное от деления $25,31$ на $2,4$, умножим делимое и делитель на 10, чтобы делитель стал целым числом:
$25,31 : 2,4 = (25,31 \times 10) : (2,4 \times 10) = 253,1 : 24$.
Выполним деление столбиком, вычисляя до четвертого знака после запятой:
$253,1 : 24 \approx 10,5458...$
Теперь округлим результат до тысячных. Смотрим на четвертый знак после запятой — это 8. Поскольку $8 \ge 5$, мы увеличиваем цифру в разряде тысячных (5) на единицу: $5 + 1 = 6$.
$10,5458... \approx 10,546$.
Ответ: 10,546.

в) Чтобы найти частное от деления $234$ на $21$, выполним деление столбиком. Делитель уже является целым числом. Вычисляем частное с точностью до четвертого знака после запятой.
$234 : 21 \approx 11,1428...$
Округлим полученный результат до тысячных. Четвертая цифра после запятой — это 8. Так как $8 \ge 5$, мы должны увеличить цифру в разряде тысячных (2) на единицу: $2 + 1 = 3$.
$11,1428... \approx 11,143$.
Ответ: 11,143.

г) Чтобы найти частное от деления $0,00539$ на $1,2$, умножим делимое и делитель на 10, чтобы делитель стал целым числом:
$0,00539 : 1,2 = (0,00539 \times 10) : (1,2 \times 10) = 0,0539 : 12$.
Выполним деление столбиком. Нам нужно вычислить результат как минимум до четвертого знака после запятой, чтобы выполнить округление.
$0,0539 : 12 \approx 0,00449...$
Округлим результат до тысячных. Третья цифра после запятой (разряд тысячных) — это 4. Смотрим на четвертую цифру — это тоже 4. Поскольку $4 < 5$, цифру в разряде тысячных оставляем без изменений.
$0,00449... \approx 0,004$.
Ответ: 0,004.

2.454. Округлите числа:

а) 0,588; 2,062; 3,850; 9,3762 до сотых;

б) 0,0915; 0,7549; 2,4587; 6,59012 до тысячных.

2.454

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 0,5\underline{8}8 \approx 0,59 \\ 2,0\underline{6}2 \approx 2,06 \\ 3,8\underline{5}0 \approx 3,85 \\ 9,3\underline{7}62 \approx 9,38 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 0,09\underline{1}5 \approx 0,092 \\ 0,75\underline{4}9 \approx 0,755 \\ 2,45\underline{8}7 \approx 2,459 \\ 6,59\underline{0}12 \approx 6,590. \end{gathered}$$

а) Округление до сотых означает, что в числе должно остаться два знака после запятой. Для этого нужно посмотреть на третью цифру после запятой. Если эта цифра от 5 до 9, то вторая цифра после запятой увеличивается на единицу. Если третья цифра от 0 до 4, то вторая цифра остается без изменений. Все последующие цифры отбрасываются.

- Число 0,588. Третья цифра после запятой – 8. Так как $8 \ge 5$, то цифру в разряде сотых (8) увеличиваем на 1. Получаем 9. $0,588 \approx 0,59$.

- Число 2,062. Третья цифра после запятой – 2. Так как $2 < 5$, то цифру в разряде сотых (6) оставляем без изменений. $2,062 \approx 2,06$.

- Число 3,850. Третья цифра после запятой – 0. Так как $0 < 5$, то цифру в разряде сотых (5) оставляем без изменений. $3,850 \approx 3,85$.

- Число 9,3762. Третья цифра после запятой – 6. Так как $6 \ge 5$, то цифру в разряде сотых (7) увеличиваем на 1. Получаем 8. $9,3762 \approx 9,38$.

Ответ: 0,59; 2,06; 3,85; 9,38.

б) Округление до тысячных означает, что в числе должно остаться три знака после запятой. Для этого нужно посмотреть на четвертую цифру после запятой. Если эта цифра от 5 до 9, то третья цифра после запятой увеличивается на единицу. Если четвертая цифра от 0 до 4, то третья цифра остается без изменений. Все последующие цифры отбрасываются.

- Число 0,0915. Четвертая цифра после запятой – 5. Так как $5 \ge 5$, то цифру в разряде тысячных (1) увеличиваем на 1. Получаем 2. $0,0915 \approx 0,092$.

- Число 0,7549. Четвертая цифра после запятой – 9. Так как $9 \ge 5$, то цифру в разряде тысячных (4) увеличиваем на 1. Получаем 5. $0,7549 \approx 0,755$.

- Число 2,4587. Четвертая цифра после запятой – 7. Так как $7 \ge 5$, то цифру в разряде тысячных (8) увеличиваем на 1. Получаем 9. $2,4587 \approx 2,459$.

- Число 6,59012. Четвертая цифра после запятой – 1. Так как $1 < 5$, то цифру в разряде тысячных (0) оставляем без изменений. $6,59012 \approx 6,590$.

Ответ: 0,092; 0,755; 2,459; 6,590.

2.455. Пчёлка Лили при сборе нектара пролетела расстояние между ульем и цветком за 1 мин 15 с, а пчёлка Фили — на 16 % быстрее. Сколько времени летела Фили?

2.455

1 мин 15 с = 75 с

1) 75 • 0,16 = 12 (с) – быстрее пчелка Фили;

2) 75 – 12 = 63 с = 1 мин 3 с – летела Фили.

Ответ: 1 мин 3 с.

Для решения задачи сначала переведем время полета пчёлки Лили, 1 минута 15 секунд, в секунды. Поскольку в 1 минуте 60 секунд, то:
$t_{Лили} = 1 \cdot 60 \text{ с} + 15 \text{ с} = 75 \text{ секунд}$.

В условии сказано, что пчёлка Фили летела на 16% быстрее. Это значит, что она затратила на полет на 16% меньше времени, чем Лили. Следовательно, время полета Фили составляет $100\% - 16\% = 84\%$ от времени полета Лили. Вычислим это время:

$t_{Фили} = 75 \cdot \frac{84}{100} = 75 \cdot 0.84 = 63 \text{ секунды}$.

Чтобы получить ответ в исходном формате, переведем 63 секунды обратно в минуты и секунды:
$63 \text{ с} = 1 \text{ минута } 3 \text{ секунды}$.

Ответ: пчёлка Фили летела 1 минуту 3 секунды.

2.456. 1) Телевизионная антенна улавливает 60 каналов. Из них 35 каналов Свете неинтересны, и она их никогда не включает, 0,6 от числа остальных каналов показывают новости, 0,2 от числа новостных каналов — музыкальные, а остальные — детские и познавательные, которые Света любит смотреть. Сколько каналов любит смотреть Света?

2) В библиотеке на стеллаже стояло 180 книг. Из них 60 — учебники, 0,7 от числа остальных книг — художественная литература, 0,25 от числа книг художественной литературы — познавательная, а остальные книги — справочная литература и энциклопедии. Сколько экземпляров справочной и энциклопедической литературы стояло на стеллаже?

2.456

1) 60 – 35 = 25 (к) – остальные каналы;

2) 25 • 0,6 = 15 (к) – показывают новости;

3) 15 • 0,2 = 3 (к) – музыкальные;

4) 25 – (15 + 3) = 7 (к) – любит смотреть Света

Ответ: 7 каналов.

1) 180 – 60 = 120 (к) – не учебники;

2) 120 • 0,7 = 84 (к) – художественная литература;

3) $84 • 0,25 =\stackrel{21}{ \cancel{84} }• \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}}= 21$ (к) – познавательная литература;

4) 120 – (84 + 21) = 15 (к) – справочная и энциклопедическая литература.

Ответ: 15 книг.

1)

Сначала найдем количество каналов, которые Света в принципе может смотреть. Для этого из общего числа каналов вычтем те, которые ей неинтересны:
$60 - 35 = 25$ каналов.

Теперь определим, сколько из этих 25 каналов являются новостными. По условию, их 0,6 от этого числа:
$25 \cdot 0,6 = 15$ новостных каналов.

Далее найдем количество музыкальных каналов. Оно составляет 0,2 от числа новостных каналов:
$15 \cdot 0,2 = 3$ музыкальных канала.

Оставшиеся каналы из тех 25, которые Света не отключает, — это детские и познавательные, которые она любит смотреть. Чтобы найти их количество, нужно из 25 каналов вычесть новостные и музыкальные:
$25 - 15 - 3 = 7$ каналов.

Ответ: Света любит смотреть 7 каналов.

2)

Сначала найдем, сколько книг стояло на стеллаже, не считая учебников. Для этого из общего количества книг вычтем количество учебников:
$180 - 60 = 120$ книг.

Теперь определим количество художественной литературы. Оно составляет 0,7 от числа оставшихся книг:
$120 \cdot 0,7 = 84$ книги.

Далее вычислим количество познавательной литературы. По условию, это 0,25 от числа книг художественной литературы:
$84 \cdot 0,25 = 21$ книга.

Остальные книги на стеллаже (за вычетом учебников) — это справочная литература и энциклопедии. Чтобы найти их количество, нужно из 120 книг вычесть художественную и познавательную литературу:
$120 - 84 - 21 = 15$ экземпляров.

Ответ: на стеллаже стояло 15 экземпляров справочной и энциклопедической литературы.

2.457. Найдите корень уравнения:

1) (0,Зх + 0,5х) · 4,5 = 10,8;

2) (0,9х - 0,4х) · 7,2 = 10,8;

3) (z - 0,4z) : 0,4 = 1,2;

4) (0,8z + z) : 0,9 = 1,6.

2.457

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }(0,3х + 0,5х) • 4,5 = 10,8; \\ 0,8х = 10,8 : 4,5; \\ 0,8х = 108 : 45; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 0,8х = 2,4; \\ х = 2,4 : 0,8; \\ х = 24 : 8; \\ х = 3. \\ \mathrm{Ответ}: 3. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }(0,9х – 0,4х) · 7,2 = 10,8; \\ 0,5х = 10,8 : 7,2; \\ 0,5х = 108 : 72; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 0,5х = 1,5; \\ х = 1,5 : 0,5; \\ х = 15 : 5; \\ х = 3. \\ \mathrm{Ответ}: 3. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{3}\mathbf{)} (z – 0,4z) : 0,4 = 1,2; \\ 0,6z = 1,2 • 0,4; \\ 0,6z = 0,48; \\ z = 0,48 : 0,6; \\ z = 4,8 : 6; \\ z = 0,8. \\ \mathrm{Ответ}: 0,8. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{4}\mathbf{)} (0,8z + z) : 0,9 = 1,6; \\ 1,8z = 1,6 · 0,9; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 1,8z = 1,44; \\ z = 1,44 : 1,8; \\ z = 14,4 : 18; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} z = 0,8. \\ \mathrm{Ответ}: 0,8. \end{gathered}$$

1) $(0,3x + 0,5x) \cdot 4,5 = 10,8$

Сначала упростим выражение в скобках, сложив подобные слагаемые: $0,3x + 0,5x = 0,8x$.

Теперь уравнение выглядит так: $0,8x \cdot 4,5 = 10,8$.

Чтобы найти неизвестный множитель $0,8x$, нужно произведение $10,8$ разделить на известный множитель $4,5$:

$0,8x = 10,8 : 4,5$

$0,8x = 2,4$

Теперь, чтобы найти $x$, нужно произведение $2,4$ разделить на известный множитель $0,8$:

$x = 2,4 : 0,8$

$x = 3$

Ответ: $3$

2) $(0,9x - 0,4x) \cdot 7,2 = 10,8$

Упростим выражение в скобках, выполнив вычитание подобных слагаемых: $0,9x - 0,4x = 0,5x$.

Уравнение принимает вид: $0,5x \cdot 7,2 = 10,8$.

Найдём неизвестный множитель $0,5x$, разделив произведение на известный множитель:

$0,5x = 10,8 : 7,2$

$0,5x = 1,5$

Теперь найдём корень уравнения $x$:

$x = 1,5 : 0,5$

$x = 3$

Ответ: $3$

3) $(z - 0,4z) : 0,4 = 1,2$

Упростим выражение в скобках. Примем, что $z$ это $1z$: $1z - 0,4z = 0,6z$.

Уравнение становится таким: $0,6z : 0,4 = 1,2$.

Чтобы найти неизвестное делимое $0,6z$, нужно частное $1,2$ умножить на делитель $0,4$:

$0,6z = 1,2 \cdot 0,4$

$0,6z = 0,48$

Теперь найдём $z$, разделив произведение $0,48$ на известный множитель $0,6$:

$z = 0,48 : 0,6$

$z = 0,8$

Ответ: $0,8$

4) $(0,8z + z) : 0,9 = 1,6$

Сначала упростим выражение в скобках, сложив подобные слагаемые: $0,8z + 1z = 1,8z$.

Уравнение принимает вид: $1,8z : 0,9 = 1,6$.

Чтобы найти неизвестное делимое $1,8z$, умножим частное $1,6$ на делитель $0,9$:

$1,8z = 1,6 \cdot 0,9$

$1,8z = 1,44$

Теперь найдём $z$, разделив произведение $1,44$ на известный множитель $1,8$:

$z = 1,44 : 1,8$

$z = 0,8$

Ответ: $0,8$

2.458. Какие числа обратны числам:

а) 1036, 1365, 3165, 13134, 17428, 104, 367;

б) 131314, 140, 50, 100, 1, 0,5, 2,8?

2.458

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{10}{36} \mathrm{и} \frac{36}{10}=3\frac{6}{10;} \\ \frac{13}{65} \mathrm{и} \frac{65}{13} =5; \\ \frac{31}{65} \mathrm{и} \frac{65}{31}=2\frac{3}{31}; \\ \frac{13}{134} \mathrm{и} \frac{134}{13} = 10\frac{4}{13}; \\ \frac{17}{428} \mathrm{и} \frac{428}{17} = 25\frac{3}{17}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{10}{4} \mathrm{и} \frac{4}{10}; \\ \frac{36}{7} \mathrm{и} \frac{7}{36}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }13\frac{13}{14} = \frac{195}{14} \mathrm{и} \frac{14}{195}; \\ \frac{1}{40} \mathrm{и} 40; \\ 50 \mathrm{и} \frac{1}{50}; \\ 100 \mathrm{и} \frac{1}{100}; \\ 1 \mathrm{и} 1; \\ 0,5 =\frac{1}{2} \mathrm{и} 2; \\ 2,8 = \frac{28}{10} \mathrm{и} \frac{10}{28}. \end{gathered}$$

Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1. Чтобы найти число, обратное данной дроби $\frac{a}{b}$, нужно поменять местами её числитель и знаменатель, получив дробь $\frac{b}{a}$. Для целых, смешанных или десятичных чисел их необходимо сначала представить в виде обыкновенной (или неправильной) дроби.

а)

Для дроби $\frac{10}{36}$ обратной является дробь $\frac{36}{10}$. Сократив её на 2, получим: $\frac{36}{10} = \frac{18}{5}$.

Для дроби $\frac{13}{65}$ обратной является дробь $\frac{65}{13}$. Поскольку $65 \div 13 = 5$, обратное число равно $5$.

Для дроби $\frac{31}{65}$ обратной является дробь $\frac{65}{31}$.

Для дроби $\frac{13}{134}$ обратной является дробь $\frac{134}{13}$.

Для дроби $\frac{17}{428}$ обратной является дробь $\frac{428}{17}$.

Для дроби $\frac{10}{4}$ обратной является дробь $\frac{4}{10}$. Сократив её на 2, получим: $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

Для дроби $\frac{36}{7}$ обратной является дробь $\frac{7}{36}$.

Ответ: $\frac{18}{5}$; $5$; $\frac{65}{31}$; $\frac{134}{13}$; $\frac{428}{17}$; $\frac{2}{5}$; $\frac{7}{36}$.

б)

Для смешанного числа $13\frac{13}{14}$ сначала переведём его в неправильную дробь: $13\frac{13}{14} = \frac{13 \cdot 14 + 13}{14} = \frac{182 + 13}{14} = \frac{195}{14}$. Обратным числом будет $\frac{14}{195}$.

Для дроби $\frac{1}{40}$ обратным числом является $\frac{40}{1}$, то есть $40$.

Для целого числа $50$, представленного как $\frac{50}{1}$, обратным является число $\frac{1}{50}$.

Для целого числа $100$ обратным является число $\frac{1}{100}$.

Число $1$ обратно самому себе, поскольку $1 \times 1 = 1$.

Для десятичной дроби $0.5$ представим её в виде обыкновенной дроби: $0.5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$. Обратным числом будет $\frac{2}{1}$, то есть $2$.

Для десятичной дроби $2.8$ представим её в виде обыкновенной дроби: $2.8 = \frac{28}{10} = \frac{14}{5}$. Обратным числом будет $\frac{5}{14}$.

Ответ: $\frac{14}{195}$; $40$; $\frac{1}{50}$; $\frac{1}{100}$; $1$; $2$; $\frac{5}{14}$.

2.45. Найдите значение выражения:

а) 613 · 1912; б) 11011 · 317; в) 0,4 · 313 ; г) 0,6 · 23; д) (0,3 + 0,5) · 112; е) (1,3 – 0,7) · 123.

2.459

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{6}{13} · 19\frac{1}{2} = \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{6}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{13}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\bcancel{39}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{2}}}} = \\ = \frac{3 · 3}{1 · 1} =9; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 1\frac{10}{11} · 3\frac{1}{7} = \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{21}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{11}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\bcancel{22}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}} = \\ = \frac{3 · 2 }{1 · 1} =6; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} 0,4 · 3\frac{1}{3} = \frac{4}{\cancel{10}} · \frac{\cancel{10}}{3} = \\ = \frac{4 · 1}{1 · 3} =\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }0,6 · \frac{2}{3} = \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{6}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{10}}}}· \frac{2}{3} =\frac{\cancel{3} · 2}{5 · \cancel{3}}= \\ =\frac{1 · 2}{5 · 1}=\frac{2}{5}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)} \left(0,3 + 0,5\right) ·1\frac{1}{2} = 0,8 · 1\frac{1}{2} = \\ = 0,8 · 1,5 = 1,2; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }\left(1,3 - 0,7\right) · 1\frac{2}{3} = 0,6 · \frac{5}{3} = \\ = \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{6}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{10}}}} · \frac{5}{3} = \frac{3}{5} · \frac{5}{3} = 1. \end{gathered}$$

а) Чтобы найти значение выражения, сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $19\frac{1}{2} = \frac{19 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{39}{2}$. Теперь выполним умножение дробей, предварительно сократив их: $\frac{6}{13} \cdot 19\frac{1}{2} = \frac{6}{13} \cdot \frac{39}{2} = \frac{6 \cdot 39}{13 \cdot 2}$. Сокращаем 6 и 2 на 2, а 39 и 13 на 13: $\frac{3 \cdot 3}{1 \cdot 1} = 9$.
Ответ: 9.

б) Преобразуем оба смешанных числа в неправильные дроби: $1\frac{10}{11} = \frac{1 \cdot 11 + 10}{11} = \frac{21}{11}$; $3\frac{1}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{22}{7}$. Теперь умножим полученные дроби: $1\frac{10}{11} \cdot 3\frac{1}{7} = \frac{21}{11} \cdot \frac{22}{7}$. Сокращаем 21 и 7 на 7, а 22 и 11 на 11: $\frac{3 \cdot 2}{1 \cdot 1} = 6$.
Ответ: 6.

в) Для удобства вычислений представим десятичную дробь и смешанное число в виде обыкновенных дробей: $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$; $3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$. Выполним умножение: $0,4 \cdot 3\frac{1}{3} = \frac{2}{5} \cdot \frac{10}{3}$. Сокращаем 10 и 5 на 5: $\frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3} = \frac{4}{3}$. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$.
Ответ: $1\frac{1}{3}$.

г) Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$. Теперь выполним умножение: $0,6 \cdot \frac{2}{3} = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3}$. Сокращаем числитель и знаменатель на 3: $\frac{1 \cdot 2}{5 \cdot 1} = \frac{2}{5}$. Можно также записать в виде десятичной дроби: 0,4.
Ответ: $\frac{2}{5}$.

д) Сначала выполним действие в скобках: $0,3 + 0,5 = 0,8$. Теперь выражение выглядит так: $0,8 \cdot 1\frac{1}{2}$. Преобразуем оба множителя в обыкновенные дроби: $0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$; $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$. Перемножим дроби: $\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{2}$. Сокращаем 4 и 2 на 2: $\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 1} = \frac{6}{5}$. Преобразуем в смешанное число: $\frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}$. Можно также записать в виде десятичной дроби: 1,2.
Ответ: $1\frac{1}{5}$.

е) Сначала выполним вычитание в скобках: $1,3 - 0,7 = 0,6$. Теперь необходимо умножить $0,6$ на $1\frac{2}{3}$. Преобразуем оба числа в обыкновенные дроби: $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$; $1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$. Выполним умножение: $\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3} = \frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 3} = 1$.
Ответ: 1.

6.40. а) Постройте угол MNК, равный 50°. Отметьте точку D на стороне NK и проведите луч DL, параллельный стороне NM. Измерьте угол LDK и сравните с углом MNK. Сделайте предположение.

б) Начертите любой тупой угол и выполните задание а). Сделайте вывод.

6.40

а)

$\angle MNK = 50°; NM ║DL; \angle LDK = 50°$

б)

$NM ║DL ; \angle MNK = \angle LDK$

Если на одной стороне угла поставить точку, и через нее провести прямую, параллельную второй стороне угла, то углы будут равны.

Для выполнения этого задания нам понадобятся линейка и транспортир.

1. Построение угла $\angle MNK$. Сначала проведем произвольный луч NK с началом в точке N. Затем приложим транспортир так, чтобы его центр совпал с точкой N, а нулевая отметка на его шкале лежала на луче NK. Найдём на шкале транспортира отметку 50° и поставим рядом с ней точку M. Соединим точки N и M лучом. Мы получили угол $\angle MNK$, равный 50°.

2. Построение параллельного луча DL. На луче NK отметим произвольную точку D. Чтобы провести луч DL, параллельный стороне NM, мы должны построить угол $\angle LDK$, который будет соответственным углом к $\angle MNK$ при пересечении прямых NM и DL секущей NK. Известно, что соответственные углы при параллельных прямых равны. Поэтому нам нужно построить $\angle LDK = \angle MNK = 50^{\circ}$. Для этого приложим центр транспортира к точке D, совместив нулевую отметку с лучом DK. Найдем на шкале 50° и поставим точку L. Проведем луч DL. По построению, луч DL параллелен стороне NM ($DL \parallel NM$).

3. Измерение и сравнение углов. Теперь измерим угол $\angle LDK$ с помощью транспортира. Его величина равна 50°. Сравним его с углом $\angle MNK$: $\angle LDK = 50^{\circ}$ и $\angle MNK = 50^{\circ}$. Очевидно, что $\angle LDK = \angle MNK$.

4. Предположение. На основе этого построения можно сделать предположение: если две параллельные прямые пересечены третьей прямой (секущей), то соответственные углы, которые при этом образуются, равны.

Ответ: Угол $\angle LDK$ равен 50°, он равен углу $\angle MNK$. Предположение: соответственные углы при параллельных прямых и секущей равны.

1. Построение с тупым углом. Начертим произвольный тупой угол, например, $\angle MNK = 140^{\circ}$. Сделаем это аналогично пункту а), используя транспортир.

2. Выполнение задания из пункта а). На стороне NK отметим произвольную точку D. Чтобы построить луч DL, параллельный стороне NM, построим угол $\angle LDK$, равный углу $\angle MNK$, то есть 140°. Этот угол является соответственным углом к $\angle MNK$. После построения луча DL он будет параллелен стороне NM.

3. Измерение и сравнение. Измерим получившийся угол $\angle LDK$. Его величина составит 140°. Сравнивая его с исходным углом, мы видим, что $\angle LDK = \angle MNK = 140^{\circ}$.

4. Вывод. Проведенный эксперимент с тупым углом полностью подтверждает предположение, сделанное в пункте а). Величина угла (острый он или тупой) не влияет на результат.

Ответ: При выполнении задания с тупым углом (например, 140°) построенный угол $\angle LDK$ также оказывается равен исходному углу $\angle MNK$. Вывод: при пересечении двух параллельных прямых секущей образующиеся соответственные углы всегда равны между собой. Это одно из фундаментальных свойств параллельных прямых.

6.41. На складе было 35 коробок с планшетами. В одних коробках было по 4 планшета, а в других – по 5 планшетов. Сколько на складе было коробок с четырьмя планшетами и сколько с пятью планшетами, если общее число всех планшетов равно 156?

6.41

Пусть х коробок – было с 4 планшетами, тогда (35 – х) коробок – было с 5 планшетами. Зная, что общее количество планшетов 156, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} 4х + 5(35 – х) = 156; \\ 4х + 175 – 5х = 156; \\ 4х – 5х = 156 – 175; \\ -х = -19 \\ х = -19 : (-1); \end{gathered}$$

х = 19 (коробок) – с 4 планшетами;

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }35 – 19 = 16$ (коробок) – с 5 планшетами.

Ответ: 19 коробок с 4 планшетами и 16 коробок с 5 планшетами.

Решение:

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $x$ — это количество коробок с 4 планшетами, а $y$ — количество коробок с 5 планшетами.

Согласно условию, всего на складе было 35 коробок. Это дает нам первое уравнение:

$x + y = 35$

Общее число всех планшетов составляет 156. Количество планшетов в коробках первого типа равно $4x$, а в коробках второго типа — $5y$. На основе этого составим второе уравнение:

$4x + 5y = 156$

Получаем систему из двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 35 \\ 4x + 5y = 156 \end{cases} $

Для решения системы выразим переменную $x$ из первого уравнения:

$x = 35 - y$

Теперь подставим полученное выражение во второе уравнение системы:

$4(35 - y) + 5y = 156$

Раскроем скобки и решим получившееся уравнение:

$140 - 4y + 5y = 156$

$140 + y = 156$

$y = 156 - 140$

$y = 16$

Мы нашли, что количество коробок с 5 планшетами равно 16.

Теперь найдем количество коробок с 4 планшетами, подставив значение $y$ в выражение для $x$:

$x = 35 - 16$

$x = 19$

Следовательно, количество коробок с 4 планшетами равно 19.

Проверка:

1. Проверим общее количество коробок: $19 + 16 = 35$ коробок. Это соответствует условию.

2. Проверим общее количество планшетов: $19 \times 4 + 16 \times 5 = 76 + 80 = 156$ планшетов. Это также соответствует условию.

Ответ: на складе было 19 коробок с четырьмя планшетами и 16 коробок с пятью планшетами.

6.42. Товар был куплен продавцом на оптовом складе по цене 300 р. за единицу товара, а продан по цене 480 р. за единицу товара. Сколько процентов от оптовой цены составила розничная цена? На сколько процентов продавец увеличил цену товара?

6.42

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{{\displaystyle \stackrel{8}{\cancel{480}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{300}}}}\mathbf{ }· 100\% = \frac{8}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{5}}}} ·\stackrel{20}{ \bcancel{100}}\% = \frac{8}{1} · 20\% = 160\%$ - составляла розничная цена от оптовой цены;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }160\% – 100\% = 60\%$- продавец увеличил цену

Ответ: 160%; на 60%.

Сколько процентов от оптовой цены составила розничная цена?

Для того чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, необходимо первое число разделить на второе (которое принимается за 100%) и результат умножить на 100.

В нашем случае:

• Оптовая цена (база для сравнения, 100%) = 300 р.
• Розничная цена = 480 р.

Составим пропорцию, где $x$ — это процентное выражение розничной цены по отношению к оптовой:

300 р. — 100%

480 р. — $x$%

Отсюда $x = \frac{480 \times 100}{300}$.

Выполним вычисление:

$ \frac{480 \times 100}{300} = \frac{480}{3} = 160\% $

Таким образом, розничная цена составляет 160% от оптовой.

Ответ: 160%.

На сколько процентов продавец увеличил цену товара?

Чтобы найти, на сколько процентов увеличилась цена, нужно найти разницу между новой и старой ценой (наценку), а затем вычислить, какой процент эта разница составляет от первоначальной (оптовой) цены.

1. Найдем величину наценки в рублях:

$ \text{Наценка} = \text{Розничная цена} - \text{Оптовая цена} $

$ 480 \text{ р.} - 300 \text{ р.} = 180 \text{ р.} $

2. Теперь определим, какой процент составляет наценка (180 р.) от оптовой цены (300 р.):

$ \frac{\text{Наценка}}{\text{Оптовая цена}} \times 100\% = \frac{180}{300} \times 100\% $

Выполним вычисление:

$ \frac{180}{300} \times 100\% = 0.6 \times 100\% = 60\% $

Альтернативный способ: так как оптовая цена — это 100%, а розничная, как мы выяснили, — 160% от оптовой, то увеличение составляет:

$ 160\% - 100\% = 60\% $

Ответ: 60%.

6.43. На пришкольном участке разбит сад, который занимает 37 всего участка, а 34 сада занимают яблони. Какую площадь занимают яблони, если площадь пришкольного участка составляет 134 га?

6.43

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }1\frac{3}{4} · \frac{3}{7} = \frac{\cancel{7}}{4} · \frac{3}{\cancel{7}} =\frac{3}{4}$ (га)-занимает сад.

$\mathbf{2}\mathbf{)} \frac{3}{4} · \frac{3}{4} = \frac{9}{16}$ (га)-занимают яблони.

Ответ: $\frac{9}{16} \mathrm{га}$

Для того чтобы найти площадь, которую занимают яблони, необходимо последовательно выполнить два действия: сначала вычислить площадь сада, а затем найти, какую часть этой площади занимают яблони.

1. Вычислим площадь сада. Общая площадь пришкольного участка составляет $1 \frac{3}{4}$ га. Сад занимает $\frac{3}{7}$ от этой площади. Сначала переведем площадь участка из смешанного числа в неправильную дробь:

$1 \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$ га.

Теперь найдем площадь сада, умножив общую площадь участка на долю, которую он занимает:

$\frac{7}{4} \cdot \frac{3}{7} = \frac{7 \times 3}{4 \times 7} = \frac{21}{28}$ га.

Сократим полученную дробь:

$\frac{21}{28} = \frac{3 \times 7}{4 \times 7} = \frac{3}{4}$ га.

Таким образом, площадь сада составляет $\frac{3}{4}$ га.

2. Вычислим площадь, которую занимают яблони. Яблони занимают $\frac{3}{4}$ от площади сада. Чтобы найти эту площадь, умножим площадь сада на $\frac{3}{4}$:

$\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 4} = \frac{9}{16}$ га.

Ответ: площадь, которую занимают яблони, составляет $\frac{9}{16}$ га.

6.44. Выполните действия:
а) (845 : 8 – 6,016 · 0,375 – 235 · 0,07) : 1425 ;
б) (5720 – 3,66) : 167 + (458 – 114) : 0,625;
в) (80,6 · 42,2 – 330,52) · (298,53 : 27,9) – 857,56.

6.44

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} \left(8\frac{4}{5} : 8 - 6,016 \stackrel{1}{·} 0,375 - \frac{2}{35} · 0,07\right) : 1\frac{4}{25}= \\ =\left(\frac{{\displaystyle \stackrel{11}{\cancel{44}}}}{5} ·\frac{1}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{8}}}}- 2,256 - \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{2}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\sout{35}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\sout{7}}}}{{\displaystyle \underset{50}{\bcancel{100}}}}\right) : \frac{29}{25}= \\ = \left(\frac{11}{5} ·\frac{1}{2}- 2,256 - \frac{1}{5} · \frac{1}{50}\right) · \frac{25}{29} = \\ = \left(\frac{11}{10} - 2,256 - \frac{1}{250}\right) · \frac{25}{29} =(1,1 \stackrel{2}{–} 2,256 -0,004) \times \\ \times \frac{25}{29} = ( – 1,156 -0,004) · \frac{25}{29} = -1,16 · \frac{25}{29} = \\ = -\frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\bcancel{116}}}}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{100}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{25}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{29}}}} = -\frac{4}{4} · \frac{1}{1} = -1 \end{gathered}$$

1.

2.

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} \left({5\frac{7}{20}}^{\overline{)·5}} - 3,66\right) : 1\frac{6}{7} + \left(4\frac{5}{8} -{ 1\frac{1}{4}}^{\overline{)·2}}\right) : 0,625 = \\ = \left(5\frac{35}{100} - 3,66\right) : \frac{13}{7} + \left(4\frac{5}{8} - 1\frac{2}{8}\right) : 0,625 = \\ = \left(5,35 - 3,66\right) · \frac{7}{13} + 3\frac{3}{8} : 0,625 = \\ = 1,69 · \frac{7}{13} + \frac{27}{8} : 0,625 = \frac{{\displaystyle \stackrel{13}{\cancel{169}}}}{100} · \frac{7}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{13}}}} + \frac{27}{8} · \frac{{\displaystyle \stackrel{40}{\cancel{1000}}}}{{\displaystyle \underset{25}{\cancel{625}}}} = \\ = \frac{13}{100} · \frac{7}{1} + \frac{27}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{8}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{\stackrel{1}{\bcancel{5}}}{\cancel{40}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\bcancel{25}}}} = \frac{13}{100} · \frac{7}{1} + \frac{27}{1} · \frac{1}{5}= \\ = \frac{91}{100} + {\frac{27}{5}}^{\overline{)·2}} = \frac{91}{100} + \frac{54}{10} = 0,91 + 5,4 = 6,31 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} (80,6 \stackrel{1}{·} 42,2 – 330,52) · (298,53 \stackrel{2}{:} 27,9) – 857,56 = \\ = (3401,32 \stackrel{3}{–} 330,52) · 10,7 – 857,56 = \\ = 3070,8 \stackrel{4}{· }10,7 – 857,56 = 32857,56 \stackrel{5}{–} 857,56 = \\ = 32000 \end{gathered}$$

1.	2.
3.	4.
5.

а) Решим выражение $(8\frac{4}{5} : 8 - 6,016 \cdot 0,375 - \frac{2}{35} \cdot 0,07) : 1\frac{4}{25}$ по действиям.

1. Выполним деление в скобках: $8\frac{4}{5} : 8$.
Переведем смешанное число в неправильную дробь: $8\frac{4}{5} = \frac{8 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{44}{5}$.
$ \frac{44}{5} : 8 = \frac{44}{5} \cdot \frac{1}{8} = \frac{44}{40} = \frac{11}{10} = 1,1$.

2. Выполним первое умножение в скобках: $6,016 \cdot 0,375$.
Представим $0,375$ в виде обыкновенной дроби: $0,375 = \frac{375}{1000} = \frac{3}{8}$.
$6,016 \cdot \frac{3}{8} = \frac{6016}{1000} \cdot \frac{3}{8} = \frac{6016 \cdot 3}{1000 \cdot 8} = \frac{752 \cdot 3}{1000} = \frac{2256}{1000} = 2,256$.

3. Выполним второе умножение в скобках: $\frac{2}{35} \cdot 0,07$.
Представим $0,07$ в виде обыкновенной дроби: $0,07 = \frac{7}{100}$.
$\frac{2}{35} \cdot \frac{7}{100} = \frac{2 \cdot 7}{35 \cdot 100} = \frac{2}{5 \cdot 100} = \frac{2}{500} = \frac{4}{1000} = 0,004$.

4. Выполним вычитание в скобках, используя результаты предыдущих действий:
$1,1 - 2,256 - 0,004 = -1,156 - 0,004 = -1,16$.

5. Выполним последнее действие — деление.
Переведем делитель $1\frac{4}{25}$ в десятичную дробь: $1\frac{4}{25} = 1 + \frac{4 \cdot 4}{25 \cdot 4} = 1 + \frac{16}{100} = 1,16$.
$-1,16 : 1,16 = -1$.

Ответ: $-1$

б) Решим выражение $(5\frac{7}{20} - 3,66) : 1\frac{6}{7} + (4\frac{5}{8} - 1\frac{1}{4}) : 0,625$ по действиям.

1. Вычислим первую часть выражения: $(5\frac{7}{20} - 3,66) : 1\frac{6}{7}$.
- Сначала выполним вычитание в скобках. Переведем $5\frac{7}{20}$ в десятичную дробь: $5\frac{7}{20} = 5 + \frac{7}{20} = 5 + \frac{35}{100} = 5,35$.
$5,35 - 3,66 = 1,69$.
- Теперь выполним деление. Переведем $1,69$ и $1\frac{6}{7}$ в дроби: $1,69 = \frac{169}{100}$, $1\frac{6}{7} = \frac{13}{7}$.
$\frac{169}{100} : \frac{13}{7} = \frac{169}{100} \cdot \frac{7}{13} = \frac{13 \cdot 13 \cdot 7}{100 \cdot 13} = \frac{13 \cdot 7}{100} = \frac{91}{100} = 0,91$.

2. Вычислим вторую часть выражения: $(4\frac{5}{8} - 1\frac{1}{4}) : 0,625$.
- Выполним вычитание в скобках: $4\frac{5}{8} - 1\frac{1}{4} = 4\frac{5}{8} - 1\frac{2}{8} = 3\frac{3}{8}$.
- Теперь выполним деление. Переведем $3\frac{3}{8}$ и $0,625$ в обыкновенные дроби: $3\frac{3}{8} = \frac{27}{8}$, $0,625 = \frac{625}{1000} = \frac{5}{8}$.
$\frac{27}{8} : \frac{5}{8} = \frac{27}{8} \cdot \frac{8}{5} = \frac{27}{5} = 5,4$.

3. Сложим результаты, полученные в пунктах 1 и 2:
$0,91 + 5,4 = 6,31$.

Ответ: $6,31$

в) Решим выражение $(80,6 \cdot 42,2 - 330,52) \cdot (298,53 : 27,9) - 857,56$ по действиям.

1. Вычислим значение в первой скобке: $(80,6 \cdot 42,2 - 330,52)$.
- $80,6 \cdot 42,2 = 3401,32$.
- $3401,32 - 330,52 = 3070,8$.

2. Вычислим значение во второй скобке: $(298,53 : 27,9)$.
- $298,53 : 27,9 = 2985,3 : 279 = 10,7$.

3. Перемножим результаты, полученные в скобках:
$3070,8 \cdot 10,7 = 32857,56$.

4. Выполним конечное вычитание:
$32857,56 - 857,56 = 32000$.

Ответ: $32000$

1. На рисунке 6.18 изображены прямые а, b, с, d и f.
а) Какие прямые параллельны?
б) Какие прямые пересекаются?
в) Есть ли на рисунке перпендикулярные прямые?

Если да, запишите все пары перпендикулярных прямых.

Проверочная работа

1.

$\mathit{а}\mathbf{)} a \parallel d, c \parallel d, a \parallel c$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)} \mathrm{пересекаются} \mathrm{прямые}: \\ \mathrm{a} \mathrm{и} \mathrm{b}, \mathrm{a} \mathrm{и} \mathrm{f}, \mathrm{f} \mathrm{и} \mathrm{d}, \mathrm{f} \mathrm{и} \mathrm{c}, \mathrm{b} \mathrm{и} \mathrm{с} \end{gathered}$$

$\mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{a} \perp \mathrm{f}, \mathrm{f} \perp \mathrm{d}, \mathrm{f} \perp \mathrm{c}$

а) Какие прямые параллельны?

Параллельными называются прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются, сколько бы их ни продолжали. На рисунке 6.18 мы видим, что прямые a, c и d изображены как горизонтальные. Прямые, которые параллельны одной и той же прямой, параллельны и между собой. Поскольку все три прямые горизонтальны, они параллельны друг другу. Прямая b — наклонная, а прямая f — вертикальная, поэтому они не параллельны ни одной из горизонтальных прямых.

Таким образом, параллельными являются следующие прямые: a и c, a и d, c и d. В математике это записывается с помощью знака параллельности ($ \parallel $): $a \parallel c$, $a \parallel d$, $c \parallel d$.

Ответ: $a \parallel c$, $a \parallel d$, $c \parallel d$.

б) Какие прямые пересекаются?

Пересекающимися называются прямые, которые имеют одну общую точку. В евклидовой геометрии на плоскости любые две прямые либо параллельны, либо пересекаются. Проанализируем все пары прямых, которые не являются параллельными:

• Прямая a (горизонтальная) пересекает наклонную прямую b и вертикальную прямую f.
• Прямая b (наклонная) пересекает все остальные прямые, так как ни одна из них ей не параллельна: a, c, d и f.
• Прямые c и d (горизонтальные) пересекают те же прямые, что и прямая a, то есть b и f.
• Прямая f (вертикальная) пересекает все горизонтальные прямые (a, c, d) и наклонную прямую b.

Таким образом, можно составить следующий список пар пересекающихся прямых: (a, b), (a, f), (b, c), (b, d), (b, f), (c, f), (d, f).

Ответ: Пересекаются следующие пары прямых: a и b; a и f; b и c; b и d; b и f; c и f; d и f.

в) Есть ли на рисунке перпендикулярные прямые? Если да, запишите все пары перпендикулярных прямых.

Перпендикулярными называются прямые, которые пересекаются под прямым углом (равным $90^\circ$). На рисунке прямая f изображена как вертикальная, а прямые a, c и d — как горизонтальные. При пересечении вертикальной и горизонтальной прямых всегда образуется прямой угол.

Следовательно, на рисунке есть перпендикулярные прямые. Это все пары, состоящие из одной из горизонтальных прямых и вертикальной прямой f. Запись с помощью математического знака перпендикулярности ($ \perp $) выглядит так:

• Прямая a перпендикулярна прямой f: $a \perp f$.
• Прямая c перпендикулярна прямой f: $c \perp f$.
• Прямая d перпендикулярна прямой f: $d \perp f$.

Ответ: Да, есть. Пары перпендикулярных прямых: $a \perp f$, $c \perp f$, $d \perp f$.

2. Начертите прямоугольный треугольник АВС с прямым углом В. Какие из утверждений верны?
а) Прямые АВ и ВС пересекаются.
б) Прямые АВ и ВС перпендикулярны.
в) Прямые АВ и ВС параллельны.
г) Прямые АС и ВА перпендикулярны.
д) Прямые АС и ВА пересекаются.
е) Прямые ВС и АС пересекаются.
ж) Прямые ВС и АС не перпендикулярны.

2.

Верные утверждения: а, б, д, е, ж

По условию задачи, дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором угол $B$ является прямым. Это означает, что угол при вершине $B$ равен $90^\circ$, то есть $\angle B = 90^\circ$. Стороны $AB$ и $BC$, образующие прямой угол, называются катетами. Сторона $AC$, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой. Проанализируем каждое утверждение, рассматривая прямые, на которых лежат стороны треугольника.

а) Прямые AB и BC пересекаются.

Прямые $AB$ и $BC$ содержат катеты треугольника, которые сходятся в вершине $B$. Следовательно, эти прямые имеют общую точку $B$, то есть пересекаются. Утверждение верно.

Ответ: верно.

б) Прямые AB и BC перпендикулярны.

Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом ($90^\circ$). По условию задачи, угол между сторонами $AB$ и $BC$ является прямым ($\angle B = 90^\circ$). Значит, прямые $AB$ и $BC$ перпендикулярны. Математически это записывается как $AB \perp BC$. Утверждение верно.

Ответ: верно.

в) Прямые AB и BC параллельны.

Параллельные прямые по определению не пересекаются. Как было показано в пункте (а), прямые $AB$ и $BC$ пересекаются в точке $B$. Следовательно, они не могут быть параллельными. Утверждение неверно.

Ответ: неверно.

г) Прямые AC и BA перпендикулярны.

Прямые $AC$ (гипотенуза) и $BA$ (катет) пересекаются в вершине $A$, образуя угол $\angle A$. В любом треугольнике сумма углов равна $180^\circ$. Для прямоугольного треугольника $ABC$ имеем: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$. Поскольку $\angle B = 90^\circ$, то $\angle A + \angle C = 90^\circ$. В невырожденном треугольнике все углы больше $0^\circ$, поэтому $\angle A < 90^\circ$. Так как угол $\angle A$ не прямой, прямые $AC$ и $BA$ не являются перпендикулярными. Утверждение неверно.

Ответ: неверно.

д) Прямые AC и BA пересекаются.

Прямые $AC$ и $BA$ содержат стороны треугольника, которые имеют общую вершину $A$. Следовательно, эти прямые пересекаются в точке $A$. Утверждение верно.

Ответ: верно.

е) Прямые BC и AC пересекаются.

Прямые $BC$ и $AC$ содержат стороны треугольника, которые имеют общую вершину $C$. Следовательно, эти прямые пересекаются в точке $C$. Утверждение верно.

Ответ: верно.

ж) Прямые BC и AC не перпендикулярны.

Прямые $BC$ и $AC$ пересекаются в вершине $C$, образуя угол $\angle C$. Как было показано в пункте (г), сумма острых углов $\angle A + \angle C = 90^\circ$. Так как $\angle A > 0^\circ$, то $\angle C < 90^\circ$. Поскольку угол $\angle C$ не является прямым, прямые $BC$ и $AC$ не перпендикулярны. Утверждение гласит, что они не перпендикулярны, что соответствует действительности. Утверждение верно.

Ответ: верно.

3. Начертите четырёхугольник PQRT, у которого:
а) PQ || RT;
б) PQ || RT, PT || RQ и PT ⟂ RT.

3.

а) PQ ∥ RT

б) PQ ∥ RT, PT ∥ RQ и PT ⊥ RT

а) PQ || RT;

По условию, в четырёхугольнике PQRT стороны PQ и RT должны быть параллельны ($PQ \parallel RT$). Четырёхугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие не параллельны, называется трапецией. Стороны PQ и RT являются основаниями этой трапеции.

Построение такой фигуры можно выполнить следующим образом:

1. Начертите прямую и отметьте на ней отрезок RT.
2. Проведите вторую прямую, параллельную первой.
3. На второй прямой отметьте отрезок PQ. Длина и расположение отрезка PQ относительно RT могут быть произвольными (за исключением случая, когда PQRT становится параллелограммом).
4. Соедините последовательно точки P, Q, R, T отрезками.

Полученный четырёхугольник PQRT будет трапецией, так как у него одна пара параллельных сторон. Если стороны PT и QR также окажутся параллельными, то фигура будет параллелограммом, что также удовлетворяет исходному условию $PQ \parallel RT$.

Пример чертежа (трапеция):

Ответ: Четырёхугольник PQRT, у которого $PQ \parallel RT$, является трапецией (или параллелограммом в частном случае).

б) PQ || RT, PT || RQ и PT ⊥ RT.

Рассмотрим все условия по порядку:

1. Условие $PQ \parallel RT$ и $PT \parallel RQ$ означает, что у четырёхугольника PQRT противолежащие стороны попарно параллельны. Такой четырёхугольник по определению является параллелограммом.
2. Условие $PT \perp RT$ означает, что стороны PT и RT перпендикулярны, то есть угол между ними равен $90^\circ$. Следовательно, $\angle T = 90^\circ$.

Теперь объединим эти факты. Мы имеем параллелограмм PQRT, у которого один из углов прямой ($\angle T = 90^\circ$). У параллелограмма противолежащие углы равны, значит $\angle Q = \angle T = 90^\circ$. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Поэтому:
$\angle R + \angle T = 180^\circ \implies \angle R + 90^\circ = 180^\circ \implies \angle R = 90^\circ$.
$\angle P + \angle T = 180^\circ \implies \angle P + 90^\circ = 180^\circ \implies \angle P = 90^\circ$.

Таким образом, все углы четырёхугольника PQRT равны $90^\circ$. Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.

Пример чертежа (прямоугольник):

Ответ: Четырёхугольник PQRT, удовлетворяющий всем заданным условиям, является прямоугольником.