Страница 106, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.471. Найдите значение выражения:

а) (1,704 : 0,8 – 1,73) · 7,16 – 2,64;

б) 227,36 : (865,6 – 20,8 · 40,5) · 8,38 + 1,12;

в) 5,4 · 0,01 – 0,1 · 0,04 + 260 · 0,001;

г) 0,08 : 0,01 – 0,00132 : 0,001 + 0,0332 : 0,01;

д) 0,356 : 0,01 – 0,08 : 0,1 + 2,03 : 0,001.

2.471

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }(1,704\stackrel{1}{ :} 0,8 \stackrel{2}{–} 1,73)\stackrel{3}{ ·} 7,16\stackrel{4}{ –} 2,64 = 0,224$

1.	2.
3.	4.

$\mathit{б}\mathbf{)} 227,36 \stackrel{3}{: }(865,6 \stackrel{2}{–} 20,8 \stackrel{1}{·} 40,5)\stackrel{4}{ ·} 8,38 \stackrel{5}{+} 1,12 = 83,244$

1.	2.
3.	4.
5.

$\mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }5,4 \stackrel{1}{·} 0,01 \stackrel{4}{–} 0,1\stackrel{2}{ ·} 0,04 \stackrel{5}{+} 260\stackrel{3}{ ·} 0,001 = 0,31$

1. 5,4 • 0,01 = 0,054 2. 0,1 • 0,04 = 0,004 3. 260 • 0,001 = 0,26

4. 5. 0,05 + 0,26 = 0,31

$\mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }0,08 \stackrel{1}{: }0,01\stackrel{4}{ –} 0,00132 \stackrel{2}{: }0,001 \stackrel{5}{+} 0,0332\stackrel{3}{ :} 0,01 = 10$

0,08 : 0,01 = 8 : 1 = 8 0,00132 : 0,001 = 1,32 0,0332 : 0,01 = 3,32

4.

5.

$\mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }0,356\stackrel{1}{ :} 0,01\stackrel{4}{ – }0,08\stackrel{2}{ :} 0,1 \stackrel{5}{+} 2,03 \stackrel{3}{:} 0,001 = 2064,8$

0,356 : 0,01 = 35,6 0,08 : 0,1 = 0,8 2,03 : 0,001 = 2030

4.

5.

а)

Выполним вычисления по действиям, соблюдая порядок операций (сначала в скобках, затем умножение и вычитание):

1) $1,704 : 0,8 = 2,13$

2) $2,13 - 1,73 = 0,4$

3) $0,4 \cdot 7,16 = 2,864$

4) $2,864 - 2,64 = 0,224$

Ответ: 0,224

б)

Выполним вычисления по действиям, соблюдая порядок операций (сначала в скобках, затем деление, умножение и сложение):

1) $20,8 \cdot 40,5 = 842,4$

2) $865,6 - 842,4 = 23,2$

3) $227,36 : 23,2 = 9,8$

4) $9,8 \cdot 8,38 = 82,124$

5) $82,124 + 1,12 = 83,244$

Ответ: 83,244

в)

Выполним вычисления по действиям, соблюдая порядок операций (сначала умножение, затем вычитание и сложение слева направо):

1) $5,4 \cdot 0,01 = 0,054$

2) $0,1 \cdot 0,04 = 0,004$

3) $260 \cdot 0,001 = 0,26$

4) $0,054 - 0,004 + 0,26 = 0,05 + 0,26 = 0,31$

Ответ: 0,31

г)

Выполним вычисления по действиям, соблюдая порядок операций (сначала деление, затем вычитание и сложение слева направо):

1) $0,08 : 0,01 = 8$

2) $0,00132 : 0,001 = 1,32$

3) $0,0332 : 0,01 = 3,32$

4) $8 - 1,32 + 3,32 = 6,68 + 3,32 = 10$

Ответ: 10

д)

Выполним вычисления по действиям, соблюдая порядок операций (сначала деление, затем вычитание и сложение слева направо):

1) $0,356 : 0,01 = 35,6$

2) $0,08 : 0,1 = 0,8$

3) $2,03 : 0,001 = 2030$

4) $35,6 - 0,8 + 2030 = 34,8 + 2030 = 2064,8$

Ответ: 2064,8

1. Являются ли взаимно обратными числа:

а) 537 и 738; б) 416 и 256; в) 214 и 0,2?

Проверочная работа

1.

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }5 \frac{3}{7} · \frac{7}{38} = \frac{38}{7}·\frac{7}{38} = 1$-являются

$\mathit{б}\mathbf{)} 4\frac{1}{6} · \frac{25}{6} = \frac{25}{6} · \frac{25}{6} =\frac{625}{36} \ne 1$ - не являются

$\mathit{в}\mathbf{)} 2\frac{1}{4} · 0,2 = \frac{9}{4} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{2}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{10}}}} = \frac{9}{4} · \frac{1}{5} = \frac{9}{20} \ne 1$ -не являются.

Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно единице. Чтобы проверить, являются ли данные пары чисел взаимно обратными, необходимо найти их произведение.

а) $5\frac{3}{7}$ и $\frac{7}{38}$

Сначала представим смешанное число $5\frac{3}{7}$ в виде неправильной дроби. Для этого умножим целую часть на знаменатель и прибавим числитель, а знаменатель оставим прежним:
$5\frac{3}{7} = \frac{5 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{35+3}{7} = \frac{38}{7}$.
Теперь умножим полученную дробь на второе число:
$\frac{38}{7} \cdot \frac{7}{38} = \frac{38 \cdot 7}{7 \cdot 38} = 1$.
Поскольку произведение чисел равно 1, они являются взаимно обратными.
Ответ: да.

б) $4\frac{1}{6}$ и $\frac{25}{6}$

Представим смешанное число $4\frac{1}{6}$ в виде неправильной дроби:
$4\frac{1}{6} = \frac{4 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{24+1}{6} = \frac{25}{6}$.
Теперь умножим полученную дробь на второе число:
$\frac{25}{6} \cdot \frac{25}{6} = \frac{25 \cdot 25}{6 \cdot 6} = \frac{625}{36}$.
Так как $\frac{625}{36} \neq 1$, эти числа не являются взаимно обратными.
Ответ: нет.

в) $2\frac{1}{4}$ и $0,2$

Для проверки преобразуем оба числа в обыкновенные дроби.
Преобразуем смешанное число $2\frac{1}{4}$ в неправильную дробь:
$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{8+1}{4} = \frac{9}{4}$.
Преобразуем десятичную дробь $0,2$ в обыкновенную:
$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Теперь найдем произведение полученных дробей:
$\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{5} = \frac{9 \cdot 1}{4 \cdot 5} = \frac{9}{20}$.
Так как $\frac{9}{20} \neq 1$, эти числа не являются взаимно обратными.
Ответ: нет.

2. Найдите х, если:

а) 123x = 35; б) x · 179 = 123.

2.

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }1\frac{2}{3} х = \frac{3}{5}; \\ \frac{5}{3} х = \frac{3}{5}; \\ х = \frac{3}{5} : \frac{5}{3}; \\ х = \frac{3}{5} · \frac{3}{5}; \\ х = \frac{9}{25}. \\ \mathrm{Ответ}: \frac{9}{25}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} х · 1\frac{7}{9} = 1\frac{2}{3}; \\ х = 1\frac{2}{3} : 1\frac{7}{9}; \\ х = \frac{5}{3} : \frac{16}{9}; \\ х = \frac{5}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{9}}}}{16}; \\ х = \frac{5 · 3}{1 · 16}; \\ х = \frac{15}{16}. \\ \mathrm{Ответ}: \frac{15}{16}. \end{gathered}$$

Чтобы найти $x$ в уравнении $1\frac{2}{3}x = \frac{3}{5}$, необходимо выполнить следующие шаги.

1. Преобразуем смешанное число $1\frac{2}{3}$ в неправильную дробь:

$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$

2. Подставим полученную дробь в исходное уравнение:

$\frac{5}{3}x = \frac{3}{5}$

3. Чтобы найти неизвестный множитель $x$, разделим произведение ($\frac{3}{5}$) на известный множитель ($\frac{5}{3}$). Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$x = \frac{3}{5} \div \frac{5}{3} = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5}$

4. Выполним умножение дробей:

$x = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 5} = \frac{9}{25}$

Ответ: $\frac{9}{25}$

Чтобы найти $x$ в уравнении $x \cdot 1\frac{7}{9} = 1\frac{2}{3}$, необходимо выполнить следующие шаги.

1. Преобразуем оба смешанных числа в неправильные дроби:

$1\frac{7}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{16}{9}$

$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$

2. Подставим полученные дроби в уравнение:

$x \cdot \frac{16}{9} = \frac{5}{3}$

3. Чтобы найти неизвестный множитель $x$, разделим произведение ($\frac{5}{3}$) на известный множитель ($\frac{16}{9}$). Заменим деление умножением на обратную дробь:

$x = \frac{5}{3} \div \frac{16}{9} = \frac{5}{3} \cdot \frac{9}{16}$

4. Перед умножением сократим дроби (9 и 3 делятся на 3):

$x = \frac{5}{\cancel{3}_1} \cdot \frac{\cancel{9}_3}{16} = \frac{5 \cdot 3}{1 \cdot 16} = \frac{15}{16}$

Ответ: $\frac{15}{16}$

3. Выполните действия:

а) 315 : (16 : 113); б) (1 – 25) : (2611 : 56121).

3.

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }3\frac{1}{5} : \left(16 : 1\frac{1}{3}\right) = \frac{16}{5} : \left(16 : \frac{4}{3}\right)= \\ = \frac{16}{5} : \left(\stackrel{4}{\cancel{16} }· \frac{3}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}}\right) = \frac{16}{5} : 12= \frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\cancel{16}}}}{5} · \frac{1}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{12}}}}= \\ = \frac{4 · 1}{5 · 3} = \frac{4}{15}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\left(1 - \frac{2}{5}\right) : \left(2\frac{6}{11} : \frac{56}{121}\right) = \left(\frac{5}{5} - \frac{2}{5}\right) : \left(\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{28}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{11}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{11}{\cancel{121}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{56}}}}\right) = \\ = \frac{3}{5} : \left(\frac{1 · 11}{1 · 2}\right) = \frac{3}{5} · \frac{2}{11} = \frac{6}{55}. \end{gathered}$$

а) $3\frac{1}{5} : (16 : 1\frac{1}{3})$

Решим данный пример по действиям, соблюдая порядок их выполнения. Сначала выполним действие в скобках.

1. Первое действие — деление в скобках. Для этого сначала преобразуем смешанное число $1\frac{1}{3}$ в неправильную дробь:

$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$

Теперь выполним деление:

$16 : \frac{4}{3} = \frac{16}{1} \cdot \frac{3}{4} = \frac{16 \cdot 3}{1 \cdot 4}$

Сократим 16 и 4 на 4:

$\frac{4 \cdot 3}{1} = 12$

2. Второе действие — деление $3\frac{1}{5}$ на результат первого действия. Сначала преобразуем смешанное число $3\frac{1}{5}$ в неправильную дробь:

$3\frac{1}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{16}{5}$

Теперь выполним деление:

$\frac{16}{5} : 12 = \frac{16}{5} : \frac{12}{1} = \frac{16}{5} \cdot \frac{1}{12} = \frac{16}{5 \cdot 12}$

Сократим 16 и 12 на 4:

$\frac{4}{5 \cdot 3} = \frac{4}{15}$

Ответ: $\frac{4}{15}$.

б) $(1 - \frac{2}{5}) : (2\frac{6}{11} : \frac{56}{121})$

Решим данный пример по действиям. Сначала выполним действия в каждой из скобок.

1. Вычислим значение выражения в первой скобке:

$1 - \frac{2}{5} = \frac{5}{5} - \frac{2}{5} = \frac{5-2}{5} = \frac{3}{5}$

2. Вычислим значение выражения во второй скобке. Для этого сначала преобразуем смешанное число $2\frac{6}{11}$ в неправильную дробь:

$2\frac{6}{11} = \frac{2 \cdot 11 + 6}{11} = \frac{22 + 6}{11} = \frac{28}{11}$

Теперь выполним деление во второй скобке:

$\frac{28}{11} : \frac{56}{121} = \frac{28}{11} \cdot \frac{121}{56}$

Сократим дроби. Заметим, что $56 = 28 \cdot 2$ и $121 = 11 \cdot 11$:

$\frac{28 \cdot 121}{11 \cdot 56} = \frac{28 \cdot 11 \cdot 11}{11 \cdot 28 \cdot 2} = \frac{11}{2}$

3. Теперь разделим результат первого действия на результат второго действия:

$\frac{3}{5} : \frac{11}{2} = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{11} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 11} = \frac{6}{55}$

Ответ: $\frac{6}{55}$.

4. Найдите периметр прямоугольной комнаты, площадь которой равна 1927 м², а длина — 3314 м.

4.

$S = 19\frac{2}{7} {\mathrm{м}}^2$

Длина - $3\frac{3}{14}$ м

Р - ? м.

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }19\frac{2}{7} : 3\frac{3}{14} = \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{135}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{7}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\bcancel{14}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{45}}}} = \frac{3 · 2}{1 · 1} = 6$ (м)-ширина прямоугольника;

$$\begin{gathered} \mathbf{2}\mathbf{)} \mathrm{Р} = \left(3\frac{3}{14} + 6\right) · 2 = 9\frac{3}{14} · 2 = \\ = \left(9 + \frac{3}{14}\right) · 2 =9 · 2 + \frac{3}{{\displaystyle \underset{7}{\cancel{14}}}} · \stackrel{1}{\cancel{2}} = \end{gathered}$$

$= 18 + \frac{3}{7} = 18\frac{3}{7} \left(\mathrm{м}\right).$

Ответ: $18\frac{3}{7} \mathrm{м}.$

Для того чтобы найти периметр прямоугольной комнаты, необходимо знать ее длину и ширину. По условию задачи нам известны площадь $S$ и длина $a$. Периметр $P$ вычисляется по формуле $P = 2 \cdot (a + b)$, а площадь — по формуле $S = a \cdot b$, где $b$ — ширина комнаты.

Сначала найдем ширину комнаты. Для этого разделим площадь на длину: $b = S \div a$.

Представим исходные данные в виде неправильных дробей для удобства вычислений:

Площадь: $S = 19\frac{2}{7} \text{ м}^2 = \frac{19 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{133 + 2}{7} = \frac{135}{7} \text{ м}^2$.

Длина: $a = 3\frac{3}{14} \text{ м} = \frac{3 \cdot 14 + 3}{14} = \frac{42 + 3}{14} = \frac{45}{14} \text{ м}$.

Теперь вычислим ширину $b$:

$b = \frac{135}{7} \div \frac{45}{14} = \frac{135}{7} \cdot \frac{14}{45}$

Сократим дроби перед умножением: 135 и 45 делятся на 45 (получаем 3 и 1), а 14 и 7 делятся на 7 (получаем 2 и 1).

$b = \frac{\cancel{135}^3}{\cancel{7}^1} \cdot \frac{\cancel{14}^2}{\cancel{45}^1} = 3 \cdot 2 = 6$ м.

Итак, ширина комнаты составляет 6 м.

Теперь, зная длину и ширину, мы можем найти периметр по формуле $P = 2 \cdot (a + b)$:

$P = 2 \cdot (3\frac{3}{14} + 6) = 2 \cdot (9\frac{3}{14})$

Переведем смешанное число $9\frac{3}{14}$ в неправильную дробь, чтобы выполнить умножение:

$9\frac{3}{14} = \frac{9 \cdot 14 + 3}{14} = \frac{126 + 3}{14} = \frac{129}{14}$.

Вычислим периметр:

$P = 2 \cdot \frac{129}{14} = \frac{2 \cdot 129}{14} = \frac{129}{7}$.

Наконец, преобразуем полученную неправильную дробь обратно в смешанное число:

$\frac{129}{7} = 18\frac{3}{7}$ м (так как $129 = 7 \cdot 18 + 3$).

Ответ: $18\frac{3}{7}$ м.

6.45. Из точки О можно идти справа налево и вверх или вниз, чтобы попасть в точки А, В, С, D и Е (рис. 6.21). Найдите длины этих маршрутов, если сторона клетки равна 5 м.

6.45

$$\begin{gathered} \mathrm{ОА} = 3 · 5 + 8 · 5 = 15 + 40 = 55 \mathrm{м} \\ \mathrm{ОВ} = 6 · 5 = 30 \mathrm{м} \\ \mathrm{ОС} = 5 · 5 + 5 · 5 = 25 + 25 = 50 \mathrm{м} \\ \mathrm{ОD} = 4 · 5 = 20 \mathrm{м} \\ \mathrm{ОЕ} = 6 · 5 + 2· 5 = 30 + 10 = 40 \mathrm{м} \end{gathered}$$

Для решения задачи необходимо найти длину каждого маршрута от точки O до точек A, B, C, D и E. Согласно условию, движение возможно только по линиям сетки: в горизонтальном направлении — только справа налево, а в вертикальном — вверх или вниз. Длина маршрута определяется как общее количество пройденных клеток, умноженное на длину стороны одной клетки, которая составляет 5 метров.

A
Чтобы попасть из точки О в точку А, нужно переместиться на 4 клетки влево и на 4 клетки вверх. Общее количество клеток, которые нужно пройти, равно сумме перемещений по горизонтали и вертикали: $4 + 4 = 8$ клеток. Чтобы найти длину маршрута в метрах, умножим количество клеток на длину стороны одной клетки: $8 \times 5 \text{ м} = 40 \text{ м}$.
Ответ: 40 м.

B
Чтобы попасть из точки О в точку B, нужно переместиться на 5 клеток влево и на 2 клетки вниз. Общее количество клеток на маршруте: $5 + 2 = 7$ клеток. Длина маршрута в метрах: $7 \times 5 \text{ м} = 35 \text{ м}$.
Ответ: 35 м.

C
Чтобы попасть из точки О в точку C, нужно переместиться на 5 клеток влево и на 2 клетки вверх. Общее количество клеток на маршруте: $5 + 2 = 7$ клеток. Длина маршрута в метрах: $7 \times 5 \text{ м} = 35 \text{ м}$.
Ответ: 35 м.

D
Чтобы попасть из точки О в точку D, нужно переместиться на 2 клетки влево и на 1 клетку вверх. Общее количество клеток на маршруте: $2 + 1 = 3$ клетки. Длина маршрута в метрах: $3 \times 5 \text{ м} = 15 \text{ м}$.
Ответ: 15 м.

E
Чтобы попасть из точки О в точку E, нужно переместиться на 5 клеток влево и на 4 клетки вниз. Общее количество клеток на маршруте: $5 + 4 = 9$ клеток. Длина маршрута в метрах: $9 \times 5 \text{ м} = 45 \text{ м}$.
Ответ: 45 м.

6.46. Назовите координаты точки, в которую попадёшь из точки О, если будешь идти на запад 2 км, а потом на север 5 км (рис. 6.22). Составьте маршруты движения из точки О в точки A, R, Т, S, Z, W. Назовите их координаты.

6.46

Если идти из точки О на запад 2 км, а потом на север 5 км, то попадешь в точку F (-2; 5)

В точку А: 6 км на запад, 6 км на север; А(–6; 6).

В точку R: 3 км на восток, 6 км на север; R(3; 6).

В точку T: 5 км на запад, 3 км на юг; T(–5; –3).

В точку S: 3 км на восток, 3 км на юг; S(3; –3).

В точку Z: 7 км на восток, 1 км на север; Z(7; 1).

В точку W: 7 км на восток, 4 км на север; W(7; 4).

Для решения задачи воспользуемся координатной плоскостью, представленной на рисунке 6.22. Точка O является началом координат, то есть имеет координаты $(0, 0)$. Ось, направленная на восток, является положительной частью оси абсцисс (x), а на запад — отрицательной. Ось, направленная на север, является положительной частью оси ординат (y), а на юг — отрицательной. Масштаб сетки составляет 1 клетка = 1 км.

1. Нахождение координат точки после перемещения

Начальная точка — O $(0, 0)$.
Движение на 2 км на запад означает изменение координаты x на -2. Новые координаты: $(0-2, 0) = (-2, 0)$.
Движение на 5 км на север означает изменение координаты y на +5. Итоговые координаты: $(-2, 0+5) = (-2, 5)$.
На рисунке эта точка обозначена буквой A.
Ответ: Мы попадём в точку с координатами $(-2, 5)$, которая на рисунке обозначена как точка A.

2. Составление маршрутов и определение координат точек

Маршрут до точки A
Чтобы попасть из точки O в точку A, нужно переместиться на 2 клетки влево (на запад) и на 5 клеток вверх (на север).
Маршрут: 2 км на запад, 5 км на север.
Ответ: Координаты точки A: $(-2, 5)$.

Маршрут до точки R
Чтобы попасть из точки O в точку R, нужно переместиться на 2 клетки вправо (на восток) и на 4 клетки вверх (на север).
Маршрут: 2 км на восток, 4 км на север.
Ответ: Координаты точки R: $(2, 4)$.

Маршрут до точки T
Чтобы попасть из точки O в точку T, нужно переместиться на 2 клетки влево (на запад) и на 3 клетки вниз (на юг).
Маршрут: 2 км на запад, 3 км на юг.
Ответ: Координаты точки T: $(-2, -3)$.

Маршрут до точки S
Чтобы попасть из точки O в точку S, нужно переместиться на 3 клетки вправо (на восток) и на 4 клетки вниз (на юг).
Маршрут: 3 км на восток, 4 км на юг.
Ответ: Координаты точки S: $(3, -4)$.

Маршрут до точки Z
Чтобы попасть из точки O в точку Z, нужно переместиться на 5 клеток вправо (на восток) и на 1 клетку вверх (на север).
Маршрут: 5 км на восток, 1 км на север.
Ответ: Координаты точки Z: $(5, 1)$.

Маршрут до точки W
Чтобы попасть из точки O в точку W, нужно переместиться на 5 клеток вправо (на восток) и на 3 клетки вверх (на север).
Маршрут: 5 км на восток, 3 км на север.
Ответ: Координаты точки W: $(5, 3)$.

6.47. По географической карте назовите широту и долготу городов: Москва, Санкт Петербург, Екатеринбург, Владивосток.

6.47

Москва: северная широта 55°, восточная долгота 37°

Санкт – Петербург: северная широта 60°, восточная долгота 30°

Екатеринбург: северная широта 57°, восточная долгота 60°

Владивосток: северная широта 43°, восточная долгота 132°

Для определения широты и долготы городов необходимо воспользоваться географической картой. Широта — это угол между местным направлением зенита и плоскостью экватора, отсчитываемый от 0 до 90 градусов в обе стороны от экватора (северная и южная широта). Долгота — это угол между плоскостью меридиана, проходящего через данную точку, и плоскостью начального нулевого меридиана (Гринвичского), от которого ведётся отсчёт долготы (восточная и западная долгота). Все перечисленные города находятся в Северном полушарии (северная широта) и Восточном полушарии (восточная долгота).

Москва
Находим на карте столицу России. Определяем её координаты по сетке параллелей и меридианов. Город расположен примерно на 56-й параллели к северу от экватора и на 38-м меридиане к востоку от Гринвича. Точные координаты центра города — 55°45′ с.ш., 37°37′ в.д. Для ответа в рамках школьной программы используются округленные значения.
Ответ: приблизительно $56^\circ$ с.ш. (северной широты) и $38^\circ$ в.д. (восточной долготы).

Санкт-Петербург
Находим на карте город Санкт-Петербург. Он расположен северо-западнее Москвы, на побережье Финского залива. Его широта близка к 60-й параллели, а долгота — к 30-му меридиану. Точные координаты — 59°57′ с.ш., 30°19′ в.д.
Ответ: приблизительно $60^\circ$ с.ш. и $30^\circ$ в.д.

Екатеринбург
Находим на карте Екатеринбург. Этот город расположен на Урале, на границе Европы и Азии. Его географические координаты на карте определяются примерно на 57-й параллели и 61-м меридиане. Точные координаты — 56°50′ с.ш., 60°35′ в.д.
Ответ: приблизительно $57^\circ$ с.ш. и $61^\circ$ в.д.

Владивосток
Находим на карте Владивосток, который находится на Дальнем Востоке России, на побережье Японского моря. Он расположен значительно южнее и восточнее других перечисленных городов. Его широта находится около 43-й параллели, а долгота — около 132-го меридиана. Точные координаты — 43°07′ с.ш., 131°54′ в.д.
Ответ: приблизительно $43^\circ$ с.ш. и $132^\circ$ в.д.

6.48. В системе координат с единичным отрезком 1 клетка отметьте точки Х(3; 9), Y(5; –2), Z(–6; 7), Q(–2; –9), R(0; 7), S(0; –5), L(9; 0), Т(–8; 0)?

6.48

Для того чтобы отметить точку с координатами $(x; y)$ в системе координат, где единичный отрезок равен 1 клетке, нужно от начала координат, точки $O(0; 0)$, сместиться на $x$ клеток по горизонтали (вправо при $x > 0$ и влево при $x < 0$) и на $y$ клеток по вертикали (вверх при $y > 0$ и вниз при $y < 0$).

Точка X(3; 9). Для построения этой точки необходимо от начала координат сместиться на 3 клетки вправо вдоль оси абсцисс $Ox$ и затем на 9 клеток вверх параллельно оси ординат $Oy$. Точка будет расположена в I (первой) координатной четверти. Ответ: Точка $X$ отмечена в соответствии с координатами $(3; 9)$.

Точка Y(5; -2). Для построения этой точки необходимо от начала координат сместиться на 5 клеток вправо вдоль оси $Ox$ и затем на 2 клетки вниз параллельно оси $Oy$. Точка будет расположена в IV (четвертой) координатной четверти. Ответ: Точка $Y$ отмечена в соответствии с координатами $(5; -2)$.

Точка Z(-6; 7). Для построения этой точки необходимо от начала координат сместиться на 6 клеток влево вдоль оси $Ox$ и затем на 7 клеток вверх параллельно оси $Oy$. Точка будет расположена во II (второй) координатной четверти. Ответ: Точка $Z$ отмечена в соответствии с координатами $(-6; 7)$.

Точка Q(-2; -9). Для построения этой точки необходимо от начала координат сместиться на 2 клетки влево вдоль оси $Ox$ и затем на 9 клеток вниз параллельно оси $Oy$. Точка будет расположена в III (третьей) координатной четверти. Ответ: Точка $Q$ отмечена в соответствии с координатами $(-2; -9)$.

Точка R(0; 7). Поскольку абсцисса (координата $x$) равна нулю, точка лежит на оси ординат $Oy$. Для ее построения необходимо от начала координат сместиться на 7 клеток вверх вдоль оси $Oy$. Ответ: Точка $R$ отмечена на положительной части оси ординат в соответствии с координатами $(0; 7)$.

Точка S(0; -5). Поскольку абсцисса (координата $x$) равна нулю, точка лежит на оси ординат $Oy$. Для ее построения необходимо от начала координат сместиться на 5 клеток вниз вдоль оси $Oy$. Ответ: Точка $S$ отмечена на отрицательной части оси ординат в соответствии с координатами $(0; -5)$.

Точка L(9; 0). Поскольку ордината (координата $y$) равна нулю, точка лежит на оси абсцисс $Ox$. Для ее построения необходимо от начала координат сместиться на 9 клеток вправо вдоль оси $Ox$. Ответ: Точка $L$ отмечена на положительной части оси абсцисс в соответствии с координатами $(9; 0)$.

Точка T(-8; 0). Поскольку ордината (координата $y$) равна нулю, точка лежит на оси абсцисс $Ox$. Для ее построения необходимо от начала координат сместиться на 8 клеток влево вдоль оси $Ox$. Ответ: Точка $T$ отмечена на отрицательной части оси абсцисс в соответствии с координатами $(-8; 0)$.

6.49. Запишите координаты точек М, N, К, Р, R, Т, отмеченных на координатной плоскости (рис. 6.23).

6.49

М(3; 3), N(-2; 4), K(-4; -3), P(2; -2), R(-3; 0), T(0; -1)

Чтобы определить координаты точки на координатной плоскости, необходимо найти её абсциссу (значение по горизонтальной оси $x$) и ординату (значение по вертикальной оси $y$). Координаты записываются в формате $(x; y)$.

M

Чтобы найти абсциссу точки $M$, опустим из неё перпендикуляр на ось $x$. Перпендикуляр попадает в точку $3$. Следовательно, абсцисса точки $M$ равна $3$.
Чтобы найти ординату точки $M$, проведём из неё перпендикуляр к оси $y$. Перпендикуляр попадает в точку $3$. Следовательно, ордината точки $M$ равна $3$.
Таким образом, координаты точки $M$ — это $(3; 3)$.

Ответ: $M(3; 3)$

N

Проекция точки $N$ на ось $x$ — это точка $-2$, а на ось $y$ — точка $4$.
Следовательно, абсцисса равна $-2$, а ордината равна $4$.
Координаты точки $N$ — это $(-2; 4)$.

Ответ: $N(-2; 4)$

K

Проекция точки $K$ на ось $x$ — это точка $-4$, а на ось $y$ — точка $-3$.
Следовательно, абсцисса равна $-4$, а ордината равна $-3$.
Координаты точки $K$ — это $(-4; -3)$.

Ответ: $K(-4; -3)$

P

Проекция точки $P$ на ось $x$ — это точка $2$, а на ось $y$ — точка $-2$.
Следовательно, абсцисса равна $2$, а ордината равна $-2$.
Координаты точки $P$ — это $(2; -2)$.

Ответ: $P(2; -2)$

R

Точка $R$ лежит на оси абсцисс ($x$). Это означает, что её ордината (координата $y$) равна $0$.
Абсцисса точки $R$ равна $-3$.
Координаты точки $R$ — это $(-3; 0)$.

Ответ: $R(-3; 0)$

T

Точка $T$ лежит на оси ординат ($y$). Это означает, что её абсцисса (координата $x$) равна $0$.
Ордината точки $T$ равна $-1$.
Координаты точки $T$ — это $(0; -1)$.

Ответ: $T(0; -1)$

6.50. Постройте отрезок по координатам его концов:

а) А(4; 3), В(–5; 6);
б) С(0; 2), D(–4; 0).

6.50

а)

б)

а) Для построения отрезка по координатам его концов $A(4; 3)$ и $B(-5; 6)$, необходимо выполнить следующие действия на координатной плоскости. Сначала начертим прямоугольную систему координат с осью абсцисс $Ox$ (горизонтальная) и осью ординат $Oy$ (вертикальная).

1. Находим и отмечаем точку $A(4; 3)$. Для этого от начала координат $O(0;0)$ откладываем 4 единицы вправо по оси $Ox$, а затем 3 единицы вверх параллельно оси $Oy$. Отмечаем полученную точку и подписываем ее буквой $A$.

2. Находим и отмечаем точку $B(-5; 6)$. Для этого от начала координат откладываем 5 единиц влево по оси $Ox$ (так как абсцисса отрицательна), а затем 6 единиц вверх параллельно оси $Oy$. Отмечаем полученную точку и подписываем ее буквой $B$.

3. С помощью линейки соединяем точки $A$ и $B$. Полученная прямая линия между точками $A$ и $B$ и есть искомый отрезок $AB$.

Ответ: Построение отрезка $AB$ по заданным координатам выполнено.

б) Для построения отрезка по координатам его концов $C(0; 2)$ и $D(-4; 0)$ выполняем аналогичные действия.

1. Находим и отмечаем точку $C(0; 2)$. Так как ее первая координата (абсцисса) равна 0, точка будет расположена на оси $Oy$. От начала координат откладываем 2 единицы вверх по оси $Oy$ и отмечаем точку $C$.

2. Находим и отмечаем точку $D(-4; 0)$. Так как ее вторая координата (ордината) равна 0, точка будет расположена на оси $Ox$. От начала координат откладываем 4 единицы влево по оси $Ox$ и отмечаем точку $D$.

3. С помощью линейки соединяем точки $C$ и $D$. Полученная линия является искомым отрезком $CD$.

Ответ: Построение отрезка $CD$ по заданным координатам выполнено.

6.51. Где на координатной плоскости расположены точки:
а) ординаты которых равны –3;
б) абсциссы которых равны 5?

6.51

а) на прямой у = -3

б) на прямой х = 5.

а) ординаты которых равны –3;

В декартовой системе координат каждая точка на плоскости определяется парой чисел $(x, y)$, где $x$ называется абсциссой, а $y$ — ординатой.

Условие "ординаты которых равны –3" означает, что для всех искомых точек координата $y$ всегда равна $-3$. Координата $x$ (абсцисса) при этом может быть любым действительным числом.

Это условие описывается уравнением $y = -3$. Графиком этого уравнения является прямая линия. Так как значение $y$ постоянно, а $x$ меняется, эта прямая будет параллельна оси абсцисс ($Ox$). Она будет проходить через все точки вида $(x, -3)$, например, через $(-2, -3)$, $(0, -3)$, $(5, -3)$ и так далее. Эта прямая пересекает ось ординат ($Oy$) в точке, где $y = -3$.

Ответ: Точки, ординаты которых равны $-3$, расположены на прямой линии, параллельной оси абсцисс ($Ox$) и проходящей через точку $(0, -3)$ на оси ординат.

б) абсциссы которых равны 5?

Условие "абсциссы которых равны 5" означает, что для всех искомых точек координата $x$ всегда равна $5$. Координата $y$ (ордината) при этом может быть любым действительным числом.

Это условие описывается уравнением $x = 5$. Графиком этого уравнения также является прямая линия. Так как значение $x$ постоянно, а $y$ меняется, эта прямая будет параллельна оси ординат ($Oy$). Она будет проходить через все точки вида $(5, y)$, например, через $(5, -1)$, $(5, 0)$, $(5, 4)$ и так далее. Эта прямая пересекает ось абсцисс ($Ox$) в точке, где $x = 5$.

Ответ: Точки, абсциссы которых равны $5$, расположены на прямой линии, параллельной оси ординат ($Oy$) и проходящей через точку $(5, 0)$ на оси абсцисс.

6.52. Постройте систему координат с единичным отрезком 1 см и отметьте в ней точки М(–4; –4), N(–3; –3), R(0; 0), S(5; 5).
а) Используя линейку, проверьте, как расположены отмеченные точки.
б) Лежат ли на этой прямой точки А(–6; 6), D(–3,5; 3,5)?

6.52

а) точки лежат на одной прямой

б) точки А(-6; 6) и D(-3,5; 3,5) не лежат на этой прямой

Для решения задачи построим прямоугольную систему координат. Ось абсцисс (горизонтальная) назовем Ox, ось ординат (вертикальная) — Oy. Точка их пересечения R(0; 0) — начало координат. Единичный отрезок по каждой оси равен 1 см.

Отметим на этой системе координат заданные точки:

• M(–4; –4): от начала координат откладываем 4 см влево по оси Ox и 4 см вниз по оси Oy.
• N(–3; –3): от начала координат откладываем 3 см влево по оси Ox и 3 см вниз по оси Oy.
• R(0; 0): это точка начала координат.
• S(5; 5): от начала координат откладываем 5 см вправо по оси Ox и 5 см вверх по оси Oy.

а) Используя линейку, проверьте, как расположены отмеченные точки.

Если приложить линейку к любым двум из построенных точек, например, к R и S, можно увидеть, что все четыре точки (M, N, R и S) лежат на одной прямой. Это можно проверить и аналитически: для всех этих точек выполняется условие, что их абсцисса (координата $x$) равна их ординате (координата $y$). Такие точки всегда лежат на прямой, которая задается уравнением $y = x$. Эта прямая является биссектрисой первого и третьего координатных углов.

Ответ: все отмеченные точки лежат на одной прямой.

б) Лежат ли на этой прямой точки A(–6; 6), D(–3,5; 3,5)?

Чтобы определить, лежит ли точка на прямой, нужно проверить, удовлетворяют ли её координаты уравнению этой прямой. Как мы выяснили в пункте а), уравнение прямой, на которой лежат точки M, N, R и S, это $y = x$.

Проверим точку A(–6; 6):

Её абсцисса $x = -6$, а ордината $y = 6$. Подставим эти значения в уравнение прямой $y = x$:

$6 = -6$

Это равенство неверное. Следовательно, точка A не лежит на данной прямой.

Проверим точку D(–3,5; 3,5):

Её абсцисса $x = -3.5$, а ордината $y = 3.5$. Подставим эти значения в уравнение прямой $y = x$:

$3.5 = -3.5$

Это равенство также неверное. Следовательно, точка D не лежит на данной прямой.

Для точек A и D выполняется другое соотношение: $y = -x$. Они лежат на другой прямой, которая является биссектрисой второго и четвертого координатных углов.

Ответ: нет, точки A и D не лежат на прямой, проходящей через точки M, N, R и S.