Страница 112, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.512. Вычислите:

а) 4351110; б) 214157; в) 1,6 · 14,4 ·4,27,2 · 3,2 · 37,8; г) 1,9 · 4,38 · 5,43,6 · 0,73 · 5,7.

2.512

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{4{\displaystyle \frac{3}{5}}}{1{\displaystyle \frac{1}{10}}}}^{\overline{)·10}} = \frac{\frac{23}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}} · {\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{10}}}}{\frac{11}{\cancel{10}} · \cancel{10}} = \frac{23 · 2}{11} = \\ = \frac{46}{11} = 4\frac{2}{11}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} \frac{2{\displaystyle \frac{1}{4}}}{1{\displaystyle \frac{5}{7}}} = {\frac{{\displaystyle \frac{9}{4}}}{{\displaystyle \frac{12}{7}}}}^{\overline{)·28}}= \frac{{\displaystyle \frac{9}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}} · \stackrel{7}{\cancel{28}}}}{{\displaystyle \frac{12}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{7}}}} · \stackrel{4}{\bcancel{28}}}}= \\ = \frac{9 · 7 }{12 · 4} = \frac{63}{48} = 1\frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{15}}}}{{\displaystyle \underset{16}{\cancel{48}}}} = 1\frac{5}{16}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} \frac{1,6 · 14,4 · 4,2}{7,2 · 3,2 · 37,8} = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{16}}} · {\displaystyle \stackrel{2}{\sout{144}}} · {\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{42}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\sout{72}}} ·{\displaystyle \underset{2}{ \bcancel{32}}} · {\displaystyle \underset{9}{\cancel{378}}}} = \\ =\frac{1 · \cancel{2} · 1}{1 · \cancel{2} · 9} = \frac{1}{9}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} \frac{1,9 · 4,38 · 5,4}{3,6 · 0,73 · 5,7}= \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{19 }}}· {\displaystyle \stackrel{6}{\cancel{438 }}}· {\displaystyle \stackrel{3}{\sout{54}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\sout{36}}} · {\displaystyle \underset{1}{\cancel{73}}} ·{\displaystyle \underset{3}{\bcancel{ 57}}}}= \\ = \frac{1 · 6 · \cancel{3}}{2 · 1 ·\cancel{3}} = \frac{6}{2} = 3. \end{gathered}$$

а) Чтобы разделить смешанные дроби, представленные в виде многоэтажной дроби, сначала преобразуем их в неправильные дроби. Затем выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь (перевернутую).
Преобразуем числитель и знаменатель в неправильные дроби:
$4\frac{3}{5} = \frac{4 \times 5 + 3}{5} = \frac{23}{5}$
$1\frac{1}{10} = \frac{1 \times 10 + 1}{10} = \frac{11}{10}$
Теперь выполним деление:
$\frac{4\frac{3}{5}}{1\frac{1}{10}} = \frac{\frac{23}{5}}{\frac{11}{10}} = \frac{23}{5} \div \frac{11}{10} = \frac{23}{5} \cdot \frac{10}{11}$
Сократим дробь, разделив 10 и 5 на их общий делитель 5:
$\frac{23 \cdot 10}{5 \cdot 11} = \frac{23 \cdot 2}{1 \cdot 11} = \frac{46}{11}$
Выделим целую часть, чтобы представить результат в виде смешанной дроби:
$\frac{46}{11} = 4\frac{2}{11}$
Ответ: $4\frac{2}{11}$

б) Аналогично пункту а), преобразуем смешанные дроби в неправильные.
Преобразуем числитель и знаменатель:
$2\frac{1}{4} = \frac{2 \times 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$
$1\frac{5}{7} = \frac{1 \times 7 + 5}{7} = \frac{12}{7}$
Выполним деление дробей:
$\frac{2\frac{1}{4}}{1\frac{5}{7}} = \frac{\frac{9}{4}}{\frac{12}{7}} = \frac{9}{4} \div \frac{12}{7} = \frac{9}{4} \cdot \frac{7}{12}$
Сократим дробь, разделив 9 и 12 на их общий делитель 3:
$\frac{9 \cdot 7}{4 \cdot 12} = \frac{3 \cdot 7}{4 \cdot 4} = \frac{21}{16}$
Преобразуем результат в смешанную дробь:
$\frac{21}{16} = 1\frac{5}{16}$
Ответ: $1\frac{5}{16}$

в) Для вычисления этого выражения сгруппируем множители так, чтобы было удобно производить сокращение.
$\frac{1.6 \cdot 14.4 \cdot 4.2}{7.2 \cdot 3.2 \cdot 37.8} = \frac{1.6}{3.2} \cdot \frac{14.4}{7.2} \cdot \frac{4.2}{37.8}$
Вычислим значение каждой из полученных дробей:
$\frac{1.6}{3.2} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$
$\frac{14.4}{7.2} = \frac{144}{72} = 2$
$\frac{4.2}{37.8} = \frac{42}{378}$. Заметим, что $42 \cdot 9 = 378$, поэтому $\frac{42}{378} = \frac{1}{9}$.
Теперь перемножим полученные результаты:
$\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{1}{9} = 1 \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{9}$
Ответ: $\frac{1}{9}$

г) Сгруппируем множители в числителе и знаменателе для удобства вычислений и сокращения.
$\frac{1.9 \cdot 4.38 \cdot 5.4}{3.6 \cdot 0.73 \cdot 5.7} = \frac{1.9}{5.7} \cdot \frac{4.38}{0.73} \cdot \frac{5.4}{3.6}$
Вычислим значение каждой дроби по отдельности:
$\frac{1.9}{5.7} = \frac{19}{57}$. Так как $19 \cdot 3 = 57$, то $\frac{19}{57} = \frac{1}{3}$.
$\frac{4.38}{0.73} = \frac{438}{73}$. Так как $73 \cdot 6 = 438$, то $\frac{438}{73} = 6$.
$\frac{5.4}{3.6} = \frac{54}{36}$. Сократим на 18: $\frac{54 \div 18}{36 \div 18} = \frac{3}{2}$.
Перемножим полученные значения:
$\frac{1}{3} \cdot 6 \cdot \frac{3}{2} = \frac{1 \cdot 6 \cdot 3}{3 \cdot 2} = \frac{18}{6} = 3$
Ответ: $3$

2.513. Выполните действие:

а) 0,51 · 23; б) 2,816 : 47; в) 37 · 42,7; г) 0,144 · 1213; д) 56,25 · 445; е) 2123 · 9,2; ж) 6,3 : 214; з) 647 · 5,6.

2.513

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }0,51 · \frac{2}{3} = \frac{0,51 · 2}{3} = {\frac{1,02}{3}}^{\overline{)·100}} = \\ = \frac{{\displaystyle \stackrel{34}{\cancel{102}}}}{{\displaystyle \underset{100}{\cancel{300}}}}=\frac{34}{100}=0,34; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 2,816 : \frac{4}{7} =2,816 · \frac{7}{4} = \frac{{\displaystyle \stackrel{0,704}{\cancel{2,816}}} · 7}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}} = \\ = \frac{0,704 · 7}{1} = 4,928; \end{gathered}$$

$\mathit{в}\mathbf{)} \frac{3}{7} · 42,7 = \frac{3 · {\displaystyle \stackrel{6,1}{\cancel{42,7}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}} = \frac{3 · 6,1}{1} = 18,3;$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} 0,144 : \frac{12}{13} = 0,144 · \frac{13}{12} = \frac{{\displaystyle \stackrel{0,012}{\cancel{0,144}}} · 13}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{12}}}} = \\ = \frac{0,012 · 13}{1} = 0,156; \end{gathered}$$

$\mathit{д}\mathbf{)} 56,25 · \frac{4}{45} = \frac{{\displaystyle \stackrel{1,25}{\cancel{56,25}}} · 4}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{45}}}} = \frac{1,25 · 4}{1} = 5;$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{21}{23} · 9,2 = \frac{21 · {\displaystyle \stackrel{0,4}{\cancel{9,2}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{23}}}} = \frac{21 · 0,4}{1} = \\ = 21 · 0,4 = 8,4; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{ж}\mathbf{)}\mathbf{ }6,3 : 2\frac{1}{4} = 6,3 : \frac{9}{4} = 6,3 · \frac{4}{9} = \\ = \frac{{\displaystyle \stackrel{0,7}{\cancel{6,3}}} · 4}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{9}}}} = \frac{0,7 · 4}{1} = 0,7 · 4 =2,8; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{з}\mathbf{)} 6\frac{4}{7} · 5,6 = \frac{46}{7} · 5,6 = \frac{46 · {\displaystyle \stackrel{0,8}{\cancel{5,6}}} }{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}} = \\ = \frac{46 · 0,8}{1} = 36,8. \end{gathered}$$

а) Чтобы выполнить умножение десятичной дроби на обыкновенную, преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $0,51 = \frac{51}{100}$. Далее выполним умножение дробей и сократим:
$0,51 \cdot \frac{2}{3} = \frac{51}{100} \cdot \frac{2}{3} = \frac{51 \cdot 2}{100 \cdot 3} = \frac{17 \cdot 1}{50 \cdot 1} = \frac{17}{50}$.
Переведем полученную дробь обратно в десятичную: $\frac{17}{50} = \frac{34}{100} = 0,34$.
Ответ: $0,34$.

б) Для выполнения деления преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $2,816 = \frac{2816}{1000}$. Деление на обыкновенную дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$2,816 : \frac{4}{7} = \frac{2816}{1000} \cdot \frac{7}{4} = \frac{704 \cdot 7}{1000} = \frac{4928}{1000} = 4,928$.
Ответ: $4,928$.

в) Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $42,7 = \frac{427}{10}$. Выполним умножение и сократим:
$\frac{3}{7} \cdot 42,7 = \frac{3}{7} \cdot \frac{427}{10} = \frac{3 \cdot 427}{7 \cdot 10} = \frac{3 \cdot 61}{10} = \frac{183}{10} = 18,3$.
Ответ: $18,3$.

г) Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $0,144 = \frac{144}{1000}$. Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:
$0,144 : \frac{12}{13} = \frac{144}{1000} \cdot \frac{13}{12} = \frac{12 \cdot 13}{1000} = \frac{156}{1000} = 0,156$.
Ответ: $0,156$.

д) Преобразуем десятичную дробь в неправильную обыкновенную дробь: $56,25 = 56\frac{25}{100} = 56\frac{1}{4} = \frac{225}{4}$. Выполним умножение:
$56,25 \cdot \frac{4}{45} = \frac{225}{4} \cdot \frac{4}{45} = \frac{225}{45} = 5$.
Ответ: $5$.

е) Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $9,2 = \frac{92}{10}$. Выполним умножение и сократим:
$\frac{21}{23} \cdot 9,2 = \frac{21}{23} \cdot \frac{92}{10} = \frac{21 \cdot 92}{23 \cdot 10} = \frac{21 \cdot 4}{10} = \frac{84}{10} = 8,4$.
Ответ: $8,4$.

ж) Преобразуем оба числа в неправильные дроби: $6,3 = \frac{63}{10}$ и $2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$. Выполним деление:
$6,3 : 2\frac{1}{4} = \frac{63}{10} : \frac{9}{4} = \frac{63}{10} \cdot \frac{4}{9} = \frac{7 \cdot 2}{5 \cdot 1} = \frac{14}{5}$.
Переведем результат в десятичную дробь: $\frac{14}{5} = 2,8$.
Ответ: $2,8$.

з) Преобразуем смешанное число и десятичную дробь в неправильные дроби: $6\frac{4}{7} = \frac{46}{7}$ и $5,6 = \frac{56}{10}$. Выполним умножение:
$6\frac{4}{7} \cdot 5,6 = \frac{46}{7} \cdot \frac{56}{10} = \frac{46 \cdot 8}{10} = \frac{368}{10} = 36,8$.
Ответ: $36,8$.

2.514. Найдите значение выражения:

а) 3,11,7 + 6,75,1; б) 2,54,4 + 4,613,2 в) 6,87,2 – 2,73,6; г) 2,47,7 – 2,812,1.

2.514

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} {\frac{3,1}{1,7}}^{\overline{)·3}}+ \frac{6,7}{5,1} = \frac{9,3}{5,1} + \frac{6,7}{5,1} = \\ = {\frac{16}{5,1}}^{\overline{)·10}} = \frac{160}{51} = 3\frac{7}{51}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{2,5}{4,4}}^{\overline{)·3}} + \frac{4,6}{13,2} = \frac{7,5}{13,2} + \frac{4,6}{13,2} = \\ ={\frac{12,1}{13,2}}^{\overline{)·10}} = \frac{121}{132} = \frac{121 : 11}{132 : 11}=\frac{11}{12}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{6,8}{7,2}- {\frac{2,7}{3,6} }^{\overline{)·2}}= \frac{6,8}{7,2}- \frac{5,4}{7,2} = {\frac{1,4}{7,2}}^{\overline{)·10}}= \\ =\frac{14}{72} = \frac{7}{35}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{2,4}{7,7}}^{\overline{)·100}} - {\frac{2,8}{12,1}}^{\overline{)·10}} = {\frac{24}{77}}^{\overline{)·11}} - {\frac{28}{121}}^{\overline{)·7}} = \\ = \frac{264}{847} - \frac{196}{847} = \frac{68}{847}. \end{gathered}$$

а) Для нахождения значения выражения преобразуем десятичные дроби в обыкновенные, умножив числитель и знаменатель на 10:
$ \frac{3,1}{1,7} + \frac{6,7}{5,1} = \frac{3,1 \cdot 10}{1,7 \cdot 10} + \frac{6,7 \cdot 10}{5,1 \cdot 10} = \frac{31}{17} + \frac{67}{51} $
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 17 и 51 равен 51, поскольку $ 51 = 17 \cdot 3 $. Домножим первую дробь на 3:
$ \frac{31 \cdot 3}{17 \cdot 3} + \frac{67}{51} = \frac{93}{51} + \frac{67}{51} $
Теперь сложим числители, оставив знаменатель прежним:
$ \frac{93 + 67}{51} = \frac{160}{51} $
Полученную неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа: $ 3 \frac{7}{51} $.
Ответ: $ \frac{160}{51} $

б) Сначала избавимся от десятичных дробей, умножив числитель и знаменатель каждой дроби на 10:
$ \frac{2,5}{4,4} + \frac{4,6}{13,2} = \frac{25}{44} + \frac{46}{132} $
Сократим вторую дробь, разделив ее числитель и знаменатель на 2:
$ \frac{46 \div 2}{132 \div 2} = \frac{23}{66} $
Таким образом, выражение принимает вид:
$ \frac{25}{44} + \frac{23}{66} $
Найдем наименьший общий знаменатель (НОК) для 44 и 66. Разложим знаменатели на простые множители: $ 44 = 2^2 \cdot 11 $ и $ 66 = 2 \cdot 3 \cdot 11 $.
НОК(44, 66) = $ 2^2 \cdot 3 \cdot 11 = 132 $.
Приведем дроби к знаменателю 132:
$ \frac{25 \cdot 3}{44 \cdot 3} + \frac{23 \cdot 2}{66 \cdot 2} = \frac{75}{132} + \frac{46}{132} $
Сложим числители:
$ \frac{75 + 46}{132} = \frac{121}{132} $
Сократим полученную дробь на 11, так как $ 121 = 11^2 $ и $ 132 = 12 \cdot 11 $:
$ \frac{121 \div 11}{132 \div 11} = \frac{11}{12} $
Ответ: $ \frac{11}{12} $

в) Избавимся от десятичных дробей, умножив числитель и знаменатель на 10:
$ \frac{6,8}{7,2} - \frac{2,7}{3,6} = \frac{68}{72} - \frac{27}{36} $
Сократим каждую дробь. Первую дробь сокращаем на 4, вторую — на 9:
$ \frac{68 \div 4}{72 \div 4} = \frac{17}{18} $
$ \frac{27 \div 9}{36 \div 9} = \frac{3}{4} $
Выражение принимает вид:
$ \frac{17}{18} - \frac{3}{4} $
Найдем наименьший общий знаменатель для 18 и 4. НОК(18, 4) = 36.
Приведем дроби к знаменателю 36:
$ \frac{17 \cdot 2}{18 \cdot 2} - \frac{3 \cdot 9}{4 \cdot 9} = \frac{34}{36} - \frac{27}{36} $
Выполним вычитание числителей:
$ \frac{34 - 27}{36} = \frac{7}{36} $
Ответ: $ \frac{7}{36} $

г) Преобразуем дроби, умножив числитель и знаменатель каждой на 10:
$ \frac{2,4}{7,7} - \frac{2,8}{12,1} = \frac{24}{77} - \frac{28}{121} $
Данные дроби уже являются несократимыми. Найдем наименьший общий знаменатель для 77 и 121.
Разложим знаменатели на множители: $ 77 = 7 \cdot 11 $ и $ 121 = 11^2 $.
НОК(77, 121) = $ 7 \cdot 11^2 = 7 \cdot 121 = 847 $.
Приведем дроби к общему знаменателю 847:
$ \frac{24 \cdot 11}{77 \cdot 11} - \frac{28 \cdot 7}{121 \cdot 7} = \frac{264}{847} - \frac{196}{847} $
Вычтем числители:
$ \frac{264 - 196}{847} = \frac{68}{847} $
Проверим возможность сокращения дроби. Числитель $ 68 = 2^2 \cdot 17 $. Знаменатель $ 847 = 7 \cdot 11^2 $. Общих множителей нет, следовательно, дробь несократима.
Ответ: $ \frac{68}{847} $

2.515. Вычислите значение дробного выражения:

а) 37 · 1,1 · 116 : 0,0517 : 0,25 · 225;

б) 0,3 · 7,4 : 0,37 – 11114 · 0,71 + 218 · 0,16 : 0,01;

в) 18,55 · 435 · 4,2312 · 2,12 : 70;

г) (2,75 · 35 + 2,2 : 1) · 1111(3940 – 0,575) : 45 · 0,8.

2.515

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} \frac{{\displaystyle \frac{3}{7}} · 1,1 · 1{\displaystyle \frac{1}{6}} : 0,05}{{\displaystyle \frac{1}{7}} : 0,25 · 2{\displaystyle \frac{2}{5}} } = \frac{{\displaystyle \frac{3}{7} · 1\frac{1}{10}· 1\frac{1}{6} : \frac{5}{100}}}{{\displaystyle \frac{1}{7} : \frac{{\displaystyle 25 }}{100}· \frac{12}{5} }}= \\ =\frac{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{3}}}}{\cancel{7}} · \frac{11}{{\displaystyle \underset{1}{\sout{10}}}}· \frac{\cancel{7}}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{6}}}} ·\frac{{\displaystyle \stackrel{10}{\sout{100}}}}{5}}}{{\displaystyle \frac{1}{7}· \frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\cancel{100}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{25}}}}· \frac{12}{5} }}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{1}} · {\displaystyle \frac{11}{1}} · {\displaystyle \frac{1}{2}} · {\displaystyle \frac{10}{5}}}{{\displaystyle \frac{1}{7}} · {\displaystyle \frac{4}{1}} · {\displaystyle \frac{12}{5}}}= \\ = \frac{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{11}{\cancel{110}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{10}}}}}}{{\displaystyle \frac{48}{35}}}=\frac{{\displaystyle \frac{11}{1}}}{{\displaystyle \frac{48}{35}}}= \frac{11}{{\displaystyle \frac{48}{35}} }=11 : \frac{48}{35} = 11 · \frac{35}{48}= \\ = \frac{385}{48} = 8\frac{1}{48}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{0,3 · 7,4 : 0,37 - 1{\displaystyle \frac{11}{14}} · 0,7}{1 + 2{\displaystyle \frac{1}{8}} · 16 : 0,01} = \\ = \frac{{\displaystyle \frac{3}{10}} · 7{\displaystyle \frac{4}{10}} : {\displaystyle \frac{37}{100}} - {\displaystyle \frac{25}{14}} · {\displaystyle \frac{7}{10}}}{1 + {\displaystyle \frac{17}{8}} · {\displaystyle \frac{16}{100}} : {\displaystyle \frac{1}{100}}} = \\ = \frac{{\displaystyle \frac{3}{\cancel{10}}} · {\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\bcancel{74}}}}{\cancel{10}}} · {\displaystyle \frac{\cancel{100}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{37}}}}} - {\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{25}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{14}}}}} · {\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{7}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{10}}}}}}{1 + {\displaystyle \frac{17}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{8}}}}} · {\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\bcancel{16}}}}{\cancel{100 }}} · {\displaystyle \frac{\cancel{100}}{1}}}= \frac{{\displaystyle \frac{3}{1}} · {\displaystyle \frac{2}{1}} · {\displaystyle \frac{1}{1}} - {\displaystyle \frac{5}{2}} ·{\displaystyle \frac{1}{2}}}{1 + {\displaystyle \frac{17}{1 }} · {\displaystyle \frac{2}{1}} · {\displaystyle \frac{1}{1}}}= \\ = \frac{6 - {\displaystyle \frac{5}{4}}}{1 + 34}=\frac{6 - 1{\displaystyle \frac{1}{4}}}{35}= \frac{5{\displaystyle \frac{4}{4}} - 1\frac{1}{4}}{35} =\frac{4{\displaystyle \frac{3}{4}}}{35}= \\ =4\frac{3}{4} : 35 = \frac{19}{4} · \frac{1}{35} = \frac{19}{140}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{18,55 · {\displaystyle \frac{4}{35}} · 4,2}{3{\displaystyle \frac{1}{2}} · 2,12 : 70}= \frac{18{\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{11}{\cancel{55}}}}{{\displaystyle \underset{20}{\cancel{100}}}}} · {\displaystyle \frac{4}{35}} · 4{\displaystyle \frac{2}{10}}}{{\displaystyle \frac{7}{2}} · 2{\displaystyle \frac{12}{100}} · {\displaystyle \frac{1}{70}}}= \\ = \frac{18{\displaystyle \frac{11}{20}} · {\displaystyle \frac{4}{35}} · {\displaystyle \frac{42}{10}}}{{\displaystyle \frac{7}{2} · \frac{{\displaystyle \stackrel{106}{\cancel{212}}}}{{\displaystyle \underset{50}{\cancel{100}}}} · \frac{1}{70}}}=\frac{{\displaystyle \frac{371}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{20}}}}} · {\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{4}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\bcancel{35}}}}} · {\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{6}{\bcancel{42}}}}{10}}}{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{7}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{2}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{53}{\cancel{106}}}}{50} · \frac{1}{{\displaystyle \underset{10}{\bcancel{70}}}}}}= \\ =\frac{{\displaystyle \frac{371}{5}} · {\displaystyle \frac{1}{5}} · {\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{6}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{10}}}}}}{{\displaystyle \frac{1}{1}} · {\displaystyle \frac{53}{50}} · {\displaystyle \frac{1}{10}}} = \frac{{\displaystyle \frac{371}{5} · \frac{1}{5} · \frac{3}{5}}}{{\displaystyle \frac{1}{1} · \frac{53}{50} · \frac{1}{10}}} = \\ =\frac{{\displaystyle \frac{1113}{125}}}{{\displaystyle \frac{53}{500}}}= \frac{1113}{125} : \frac{53}{500} = \frac{{\displaystyle \stackrel{21}{\cancel{1113}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{125}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\bcancel{500}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{53}}}}= \\ = \frac{21 · 4}{1 · 1} = 84; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} \frac{\left(2,75 · {\displaystyle \frac{3}{5}} + 2,2 : 1\right) · 1{\displaystyle \frac{1}{11}}}{\left({\displaystyle \frac{39}{40}} - 0,575\right) : {\displaystyle \frac{4}{5}} · 0,8} = \frac{\left(2{\displaystyle \frac{75}{100}} · {\displaystyle \frac{3}{5}} + 2,2\right) · {\displaystyle \frac{12}{11}}}{\left({\displaystyle \frac{39}{40} - \frac{{\displaystyle \stackrel{23}{\cancel{575}}}}{{\displaystyle \underset{40}{\cancel{1000}}}}}\right) · {\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\sout{5}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{4}}}}} · {\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\bcancel{8}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\sout{10}}}}}} = \\ = \frac{\left({\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{55}{\cancel{275}}}}{100}} · {\displaystyle \frac{3}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}}} + 2{\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{2}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\bcancel{10}}}}}\right) · {\displaystyle \frac{12}{11}}}{\left({\displaystyle \frac{39}{40} - \frac{{\displaystyle 23}}{40}}\right) · {\displaystyle \frac{1}{1}} · {\displaystyle \frac{2}{2}}} =\frac{\left({\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{11}{\cancel{55}}}}{{\displaystyle \underset{20}{\cancel{100}}}}} · {\displaystyle \frac{ 3}{1}} + 2{\displaystyle \frac{1}{5}}\right) · {\displaystyle \frac{12}{11}}}{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\cancel{16}}}}{{\displaystyle \underset{10}{\cancel{40}}}}} · 1} = \\ = \frac{\left({\displaystyle \frac{33}{20}} + 2{\displaystyle \frac{1}{5}}\right) · {\displaystyle \frac{12}{11}}}{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{4}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{10}}}}}} = \frac{\left({\displaystyle \frac{33}{20} + {\frac{11}{5}}^{\overline{)·4}}}\right) · {\displaystyle \frac{12}{11}}}{{\displaystyle \frac{2}{5}}} = \\ =\frac{\left({\displaystyle \frac{33}{20} + \frac{44}{20}}\right) · {\displaystyle \frac{12}{11}}}{{\displaystyle \frac{2}{5}}} = \frac{ {\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{7}{\bcancel{77}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{20}}}}} · {\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{12}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{11}}}}}}{{\displaystyle \frac{2}{5}}} = \frac{{\displaystyle \frac{7}{5}} · {\displaystyle \frac{3}{1}}}{{\displaystyle \frac{2}{5}}} = \\ = \frac{{\displaystyle \frac{21}{5}}}{{\displaystyle \frac{2}{5}}} = \frac{21}{5} : \frac{2}{5} = \frac{21}{\cancel{5}} · \frac{\cancel{ 5}}{2} = \frac{21}{2} = 10\frac{1}{2}. \end{gathered}$$

а)

Для вычисления значения выражения $\frac{\frac{3}{7} \cdot 1,1 \cdot 1\frac{1}{6} : 0,05}{\frac{1}{7} : 0,25 \cdot 2\frac{2}{5}}$ преобразуем все десятичные дроби и смешанные числа в обыкновенные дроби и выполним действия по порядку.

1. Вычислим значение числителя: $\frac{3}{7} \cdot 1,1 \cdot 1\frac{1}{6} : 0,05$.

Преобразуем числа в дроби: $1,1 = \frac{11}{10}$; $1\frac{1}{6} = \frac{7}{6}$; $0,05 = \frac{5}{100} = \frac{1}{20}$.

Выражение в числителе примет вид: $\frac{3}{7} \cdot \frac{11}{10} \cdot \frac{7}{6} : \frac{1}{20}$.

Выполним умножение: $\frac{3}{7} \cdot \frac{11}{10} \cdot \frac{7}{6} = \frac{3 \cdot 11 \cdot 7}{7 \cdot 10 \cdot 6} = \frac{3 \cdot 11}{10 \cdot 6} = \frac{33}{60} = \frac{11}{20}$.

Выполним деление: $\frac{11}{20} : \frac{1}{20} = \frac{11}{20} \cdot \frac{20}{1} = 11$.

Значение числителя равно 11.

2. Вычислим значение знаменателя: $\frac{1}{7} : 0,25 \cdot 2\frac{2}{5}$.

Преобразуем числа в дроби: $0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$; $2\frac{2}{5} = \frac{12}{5}$.

Выражение в знаменателе примет вид: $\frac{1}{7} : \frac{1}{4} \cdot \frac{12}{5}$.

Выполним деление: $\frac{1}{7} : \frac{1}{4} = \frac{1}{7} \cdot 4 = \frac{4}{7}$.

Выполним умножение: $\frac{4}{7} \cdot \frac{12}{5} = \frac{4 \cdot 12}{7 \cdot 5} = \frac{48}{35}$.

Значение знаменателя равно $\frac{48}{35}$.

3. Найдем значение всего выражения:

$\frac{11}{\frac{48}{35}} = 11 \cdot \frac{35}{48} = \frac{385}{48} = 8\frac{1}{48}$.

Ответ: $8\frac{1}{48}$.

б)

Для вычисления значения выражения $\frac{0,3 \cdot 7,4 : 0,37 - 1\frac{11}{14} \cdot 0,7}{1 + 2\frac{1}{8} \cdot 0,16 : 0,01}$ вычислим отдельно числитель и знаменатель.

1. Вычислим значение числителя: $0,3 \cdot 7,4 : 0,37 - 1\frac{11}{14} \cdot 0,7$.

Вычислим первое слагаемое: $0,3 \cdot 7,4 : 0,37$. Заметим, что $7,4 = 20 \cdot 0,37$. Тогда $0,3 \cdot (20 \cdot 0,37) : 0,37 = 0,3 \cdot 20 = 6$.

Вычислим второе слагаемое: $1\frac{11}{14} \cdot 0,7$. Преобразуем в дроби: $1\frac{11}{14} = \frac{25}{14}$ и $0,7 = \frac{7}{10}$.

$\frac{25}{14} \cdot \frac{7}{10} = \frac{25 \cdot 7}{14 \cdot 10} = \frac{5 \cdot 5 \cdot 7}{2 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 5} = \frac{5}{4} = 1,25$.

Найдем разность: $6 - 1,25 = 4,75$.

Значение числителя равно $4,75$ или $\frac{19}{4}$.

2. Вычислим значение знаменателя: $1 + 2\frac{1}{8} \cdot 0,16 : 0,01$.

Сначала выполним умножение и деление: $2\frac{1}{8} \cdot 0,16 : 0,01$.

Преобразуем в десятичные дроби: $2\frac{1}{8} = 2,125$.

$2,125 \cdot 0,16 : 0,01 = 2,125 \cdot 16 = 34$.

Теперь выполним сложение: $1 + 34 = 35$.

Значение знаменателя равно 35.

3. Найдем значение всего выражения:

$\frac{4,75}{35} = \frac{475}{3500} = \frac{19 \cdot 25}{140 \cdot 25} = \frac{19}{140}$.

Ответ: $\frac{19}{140}$.

в)

Для вычисления значения выражения $\frac{18,55 \cdot \frac{4}{35} \cdot 4,2}{3\frac{1}{2} \cdot 2,12 : 70}$ будем использовать десятичные дроби.

1. Вычислим значение числителя: $18,55 \cdot \frac{4}{35} \cdot 4,2$.

Удобнее сначала разделить $18,55$ на $35$: $18,55 : 35 = 0,53$.

Теперь выражение выглядит так: $0,53 \cdot 4 \cdot 4,2$.

$0,53 \cdot 4 = 2,12$.

$2,12 \cdot 4,2 = 8,904$.

Значение числителя равно $8,904$.

2. Вычислим значение знаменателя: $3\frac{1}{2} \cdot 2,12 : 70$.

Преобразуем $3\frac{1}{2}$ в десятичную дробь: $3,5$.

Выражение выглядит так: $3,5 \cdot 2,12 : 70$.

Удобнее сначала разделить $3,5$ на $70$: $3,5 : 70 = 0,05$.

Теперь выражение выглядит так: $0,05 \cdot 2,12 = 0,106$.

Значение знаменателя равно $0,106$.

3. Найдем значение всего выражения:

$\frac{8,904}{0,106} = \frac{8904}{106} = 84$.

Ответ: 84.

г)

Для вычисления значения выражения $\frac{\left(2,75 \cdot \frac{3}{5} + 2,2 : 1\right) \cdot 1\frac{1}{11}}{\left(\frac{39}{40} - 0,575\right) : \frac{4}{5} \cdot 0,8}$ вычислим отдельно числитель и знаменатель.

1. Вычислим значение числителя: $\left(2,75 \cdot \frac{3}{5} + 2,2 : 1\right) \cdot 1\frac{1}{11}$.

Сначала вычислим выражение в скобках: $2,75 \cdot \frac{3}{5} + 2,2$.

$2,75 \cdot \frac{3}{5} = \frac{11}{4} \cdot \frac{3}{5} = \frac{33}{20} = 1,65$.

$1,65 + 2,2 = 3,85$.

Теперь умножим результат на $1\frac{1}{11}$: $3,85 \cdot 1\frac{1}{11}$.

Преобразуем в дроби: $3,85 = \frac{385}{100} = \frac{77}{20}$ и $1\frac{1}{11} = \frac{12}{11}$.

$\frac{77}{20} \cdot \frac{12}{11} = \frac{77 \cdot 12}{20 \cdot 11} = \frac{7 \cdot 12}{20} = \frac{7 \cdot 3}{5} = \frac{21}{5} = 4,2$.

Значение числителя равно $4,2$.

2. Вычислим значение знаменателя: $\left(\frac{39}{40} - 0,575\right) : \frac{4}{5} \cdot 0,8$.

Сначала вычислим выражение в скобках: $\frac{39}{40} - 0,575$.

Преобразуем $\frac{39}{40}$ в десятичную дробь: $39 : 40 = 0,975$.

$0,975 - 0,575 = 0,4$.

Теперь вычислим остальную часть: $0,4 : \frac{4}{5} \cdot 0,8$.

Преобразуем $\frac{4}{5}$ в десятичную дробь: $0,8$.

Выполним действия по порядку: $0,4 : 0,8 \cdot 0,8 = 0,5 \cdot 0,8 = 0,4$.

Значение знаменателя равно $0,4$.

3. Найдем значение всего выражения:

$\frac{4,2}{0,4} = \frac{42}{4} = \frac{21}{2} = 10,5$.

Ответ: 10,5.

2.516. Найдите значение выражения n7,4 – 6,2 + n1,3 + 5,9 при:

а) n = 215 + 347; б) n = 1,2 · (1 – 0,4).

2.516

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{n} = 2\frac{1}{5} + 3\frac{4}{7} \\ \frac{\mathrm{n}}{7,4 - 6,2} + \frac{\mathrm{n}}{1,3 + 5,9} = \frac{{2{\displaystyle \frac{1}{5}} {\displaystyle \stackrel{1}{+}} 3{\displaystyle \frac{4}{7}}}_3}{7,4{\displaystyle \underset{2}{ -}} 6,2} \stackrel{6}{+} \frac{{2{\displaystyle \frac{1}{5}} + 3{\displaystyle \frac{4}{7}}}_5}{1,3 {\displaystyle \underset{4}{+}} 5,9} = 5\frac{11}{18} \\ 1) {2\frac{1}{5}}^{\overline{)·7}} +{ 3\frac{4}{7}}^{\overline{)·5}} =2\frac{7}{35} + 3\frac{20}{35} = 5\frac{27}{35}; \\ 2) 7,4 - 6,2 = 1,2; \\ 3) 5\frac{27}{35} : 1,2 = 5\frac{27}{35} : 1\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{2}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{10}}}} = 5\frac{27}{35} : 1\frac{1}{5} = \\ = \frac{202}{35} : \frac{6}{5} = \frac{{\displaystyle \stackrel{101}{\cancel{202}}}}{{\displaystyle \underset{7}{\bcancel{35}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{6}}}} = \frac{101 · 1}{7 · 3} = \frac{101}{21}; \\ 4) 1,3 + 5,9 = 7,2; \\ 5) 5\frac{27}{35} : 7,2 = 5\frac{27}{35} : 7\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{2}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{10}}}} = 5\frac{27}{35} : 7\frac{1}{5} = \\ = \frac{202}{35} : \frac{36}{5} = \frac{{\displaystyle \stackrel{101}{\cancel{202}}}}{{\displaystyle \underset{7}{\bcancel{35}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{18}{3\cancel{6}}}} = \frac{101 · 1}{7 · 18} = \frac{101}{126}; \\ 6) {\frac{101}{21}}^{\overline{)·6}} + \frac{101}{126} = \frac{606}{126} + \frac{101}{126} = \frac{707}{126} = 5\frac{77}{126} = 5\frac{11}{18}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{n} = 1,2 · \left(1 - 0,4\right) \\ \frac{\mathrm{n}}{ 7,4 - 6,2} + \frac{\mathrm{n}}{1,3 + 5,9} = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{{1,2 · ( 1 - 0,4)}_3}}}{{\displaystyle \underset{2}{ 7,4 - 6,2}}} \stackrel{6}{+} \frac{{1,2 · ( 1 - 0,4)}_5}{ 1,3 {\displaystyle \underset{4}{+}} 5,9} \\ 1) 1,2 · \left(1 - 0,4\right) = 1,2 · 0,6 = 0,72; \\ 2) 7,4 – 6,2 = 1,2; \\ 3) 0,72 : 1,2 = 7,2 : 12 = 0,6; \\ 4) 1,3 + 5,9 = 7,2; \\ 5) 0,72 : 7,2 = 7,2 : 72 = 0,1; \\ 6) 0,6 + 0,1 = 0,7. \end{gathered}$$

Для решения задачи сначала упростим исходное выражение $\frac{n}{7,4 - 6,2} + \frac{n}{1,3 + 5,9}$.

1. Выполним действия в знаменателях:

$7,4 - 6,2 = 1,2$

$1,3 + 5,9 = 7,2$

2. Подставим полученные значения в выражение:

$\frac{n}{1,2} + \frac{n}{7,2}$

3. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $1,2$ и $7,2$ это $7,2$, так как $1,2 \cdot 6 = 7,2$.

$\frac{n \cdot 6}{1,2 \cdot 6} + \frac{n}{7,2} = \frac{6n}{7,2} + \frac{n}{7,2} = \frac{6n + n}{7,2} = \frac{7n}{7,2}$

4. Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 10:

$\frac{7n \cdot 10}{7,2 \cdot 10} = \frac{70n}{72}$

Сократим полученную дробь на 2:

$\frac{70n}{72} = \frac{35n}{36}$

Теперь мы можем использовать упрощенное выражение $\frac{35}{36}n$ для вычисления значений при заданных $n$.

а) Найдем значение выражения при $n = 2\frac{1}{5} + 3\frac{4}{7}$.

1. Вычислим значение $n$:

$n = 2\frac{1}{5} + 3\frac{4}{7} = (2+3) + (\frac{1}{5} + \frac{4}{7})$

Приводим дробные части к общему знаменателю 35:

$n = 5 + (\frac{1 \cdot 7}{5 \cdot 7} + \frac{4 \cdot 5}{7 \cdot 5}) = 5 + (\frac{7}{35} + \frac{20}{35}) = 5 + \frac{27}{35} = 5\frac{27}{35}$

Переведем смешанное число в неправильную дробь:

$n = 5\frac{27}{35} = \frac{5 \cdot 35 + 27}{35} = \frac{175 + 27}{35} = \frac{202}{35}$

2. Подставим значение $n$ в упрощенное выражение $\frac{35}{36}n$:

$\frac{35}{36} \cdot \frac{202}{35}$

Сокращаем 35 в числителе и знаменателе:

$\frac{202}{36}$

Сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{101}{18}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$101 \div 18 = 5$ и $11$ в остатке.

$\frac{101}{18} = 5\frac{11}{18}$

Ответ: $5\frac{11}{18}$

б) Найдем значение выражения при $n = 1,2 \cdot (1 - 0,4)$.

1. Вычислим значение $n$:

$n = 1,2 \cdot (1 - 0,4) = 1,2 \cdot 0,6 = 0,72$

2. Подставим значение $n$ в упрощенное выражение $\frac{35}{36}n$:

$\frac{35}{36} \cdot 0,72$

Заметим, что $\frac{0,72}{36} = 0,02$.

$35 \cdot \frac{0,72}{36} = 35 \cdot 0,02 = 0,7$

Ответ: $0,7$

2.517. Вычислите значение выражения 2ac – a2c, если:

а) a = 17,2 – 9,4 и c = 43 – 31,8;

б) a = 456 – 213 и c = 645 + 813 – 215;

2.517

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} а = 17,2 – 9,4 = 7,8; \\ с = 43 – 31,8 = 11,2. \\ \frac{2а}{с} - \frac{а}{2с} = \frac{2 · 7,8}{11,2} - \frac{7,8}{2 · 11,2}= \\ = {\frac{15,6}{11,2}}^{\overline{)·2}} - \frac{7,8}{22,4} = \frac{31,2}{22,4} - \frac{7,8}{22,4} =\frac{23,4}{22,4}= \\ = 23\frac{4}{10} : 22\frac{4}{10} = \frac{234}{10} : \frac{224}{10} = \frac{{\displaystyle \stackrel{117}{\bcancel{234}}}}{\cancel{10}} · \frac{ \cancel{10}}{{\displaystyle \underset{112}{\bcancel{224}}}} = \\ = \frac{117}{112} = 1\frac{5}{112}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }а = 4\frac{5}{6} -{ 2\frac{1}{3}}^{\overline{)·2}} = 4\frac{5}{6} - 2\frac{2}{6} = 2\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{3}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{6}}}} = 2\frac{1}{2}; \\ с = {6\frac{4}{5}}^{\overline{)·3}} + {8 \frac{1}{3}}^{\overline{)·5}} - \frac{2}{15} = 6\frac{12}{15} + 8\frac{5}{15} - \frac{2}{15} = \\ = 14\frac{15}{15} = 15; \\ \frac{2а}{с} - \frac{а}{2с} =\frac{2 · 2{\displaystyle \frac{1}{2}}}{15} - \frac{2{\displaystyle \frac{1}{2}}}{2 · 15} = \frac{\cancel{2} · {\displaystyle \frac{5}{\cancel{2}}}}{15} - \frac{{\displaystyle \frac{5}{2}}}{30} = \\ =\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{15}}}} - \frac{{\displaystyle \frac{5}{2}}}{30} = \frac{1}{3} -\left(\frac{5}{2} : 30\right) = \frac{1}{3} - \left(\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{5}}}}{2} · \frac{1}{{\displaystyle \underset{6}{\cancel{30}}}}\right) = \\ = \frac{1}{3} - \left(\frac{1}{2} · \frac{1}{6}\right) ={\frac{1}{3} }^{\overline{)·4}}- \frac{1}{12} = \frac{4}{12} - \frac{1}{12} = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{3}}}}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{12}}}} = \frac{1}{4}. \end{gathered}$$

Для начала упростим данное выражение, приведя дроби к общему знаменателю $2c$:

$\frac{2a}{c} - \frac{a}{2c} = \frac{2 \cdot 2a}{2c} - \frac{a}{2c} = \frac{4a}{2c} - \frac{a}{2c} = \frac{4a - a}{2c} = \frac{3a}{2c}$

Теперь, когда у нас есть упрощенное выражение $\frac{3a}{2c}$, мы можем подставить в него значения $a$ и $c$ из каждого подпункта.

а)

1. Сначала вычислим значения $a$ и $c$:

$a = 17,2 - 9,4 = 7,8$

$c = 43 - 31,8 = 11,2$

2. Подставим эти значения в упрощенное выражение:

$\frac{3a}{2c} = \frac{3 \cdot 7,8}{2 \cdot 11,2} = \frac{23,4}{22,4}$

3. Чтобы упростить полученную дробь, умножим числитель и знаменатель на 10 (чтобы избавиться от десятичных знаков), а затем сократим дробь:

$\frac{23,4}{22,4} = \frac{234}{224} = \frac{117 \cdot 2}{112 \cdot 2} = \frac{117}{112}$

4. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{117}{112} = 1\frac{5}{112}$

Ответ: $1\frac{5}{112}$

б)

1. Вычислим значения $a$ и $c$, работая со смешанными дробями.

Вычисляем $a$:

$a = 4\frac{5}{6} - 2\frac{1}{3}$

Приводим дроби к общему знаменателю 6:

$a = 4\frac{5}{6} - 2\frac{2}{6} = (4 - 2) + (\frac{5}{6} - \frac{2}{6}) = 2 + \frac{3}{6} = 2\frac{1}{2}$

Вычисляем $c$:

$c = 6\frac{4}{5} + 8\frac{1}{3} - \frac{2}{15}$

Приводим дроби к общему знаменателю 15:

$c = 6\frac{12}{15} + 8\frac{5}{15} - \frac{2}{15} = (6 + 8) + (\frac{12}{15} + \frac{5}{15} - \frac{2}{15}) = 14 + \frac{17 - 2}{15} = 14 + \frac{15}{15} = 14 + 1 = 15$

2. Теперь у нас есть $a = 2\frac{1}{2}$ и $c = 15$. Подставим эти значения в упрощенное выражение $\frac{3a}{2c}$. Для удобства вычислений представим $a$ в виде неправильной дроби: $a = \frac{5}{2}$.

$\frac{3a}{2c} = \frac{3 \cdot \frac{5}{2}}{2 \cdot 15} = \frac{\frac{15}{2}}{30}$

3. Выполним деление:

$\frac{15}{2} : 30 = \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{30} = \frac{15}{2 \cdot 30} = \frac{15}{60}$

4. Сократим полученную дробь:

$\frac{15}{60} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

2.518. а) Значение выражения 6,3 – 5,0851,8 · 13,5 можно найти на калькуляторе по алгоритму 6,3 - 5,085 ÷ 1,8 ÷ 13,5 = . Выполните вычисления по этому алгоритму.

б) Составьте для калькулятора алгоритм нахождения значения выражения и выполните по нему вычисления:

а) 2,8 · 10,56 · 44,8; б) 0,85 : 3,4 + 1,926,2 · 0,28; в) 632,315 : 34,6 + 9,75254,04 · 6,25; г) (6,3 – 3,8) : 0,0053,625 : 2,9.

2.518

$\mathbf{ }\frac{6,3 - 5,085}{1,8 · 13,5} = 0,05$

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{2,8 · 10,5}{6 · 44,8} = 2,8 · 10,5 : 6 : 44,8 = 0,109375$

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{0,85 : 3,4 + 1,92}{6,2 · 0,28 } = (0,85 : 3,4 + 1,92) : 6,2 : 0,28 = 1,25;$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{632,315 : 34,6 + 9,7525}{4,04 · 6,25} = \\ = (632,315 : 34,6 + 9,7525) : 4,04 : 6,25 = 1,11; \end{gathered}$$

$\mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{\left(6,3 - 3,8\right) : 0,005}{3,625 : 2,9}\mathbf{ }= (6,3 - 3,8) : 0,005 : 3,625 · 2,9 = 400.$

a) Выполним вычисления по заданному алгоритму 6,3 - 5,085 ÷ 1,8 ÷ 13,5 = для выражения $\frac{6,3 - 5,085}{1,8 \cdot 13,5}$. Этот алгоритм предполагает последовательное выполнение операций на простом калькуляторе.

1. Вычисляем разность: $6,3 - 5,085 = 1,215$
2. Делим результат на первое число знаменателя: $1,215 : 1,8 = 0,675$
3. Делим полученный результат на второе число знаменателя: $0,675 : 13,5 = 0,05$
Таким образом, значение выражения равно 0,05.

Ответ: 0,05

б) Для каждого выражения составим алгоритм для калькулятора, использующего функцию памяти (клавиши M+, MR, MC), и выполним вычисления. Общий подход: вычислить знаменатель, сохранить его в памяти, вычислить числитель, а затем разделить результат числителя на значение из памяти.

а) Для выражения $\frac{2,8 \cdot 10,5}{6 \cdot 44,8}$
Алгоритм для калькулятора: 6 * 44,8 = M+ 2,8 * 10,5 = ÷ MR =
Вычисления:
1. Знаменатель: $6 \cdot 44,8 = 268,8$. Сохраняем в память.
2. Числитель: $2,8 \cdot 10,5 = 29,4$.
3. Конечное деление: $29,4 : 268,8 = 0,109375$.
Ответ: 0,109375

б) Для выражения $\frac{0,85 : 3,4 + 1,92}{6,2 \cdot 0,28}$
Алгоритм для калькулятора: 6,2 * 0,28 = M+ 0,85 ÷ 3,4 + 1,92 = ÷ MR =
Вычисления:
1. Знаменатель: $6,2 \cdot 0,28 = 1,736$. Сохраняем в память.
2. Числитель: $0,85 : 3,4 + 1,92 = 0,25 + 1,92 = 2,17$.
3. Конечное деление: $2,17 : 1,736 = 1,25$.
Ответ: 1,25

в) Для выражения $\frac{632,315 : 34,6 + 9,7525}{4,04 \cdot 6,25}$
Алгоритм для калькулятора: 4,04 * 6,25 = M+ 632,315 ÷ 34,6 + 9,7525 = ÷ MR =
Вычисления:
1. Знаменатель: $4,04 \cdot 6,25 = 25,25$. Сохраняем в память.
2. Числитель: $632,315 : 34,6 + 9,7525 = 18,275 + 9,7525 = 28,0275$.
3. Конечное деление: $28,0275 : 25,25 = 1,11$.
Ответ: 1,11

г) Для выражения $\frac{(6,3 - 3,8) : 0,005}{3,625 : 2,9}$
Алгоритм для калькулятора: 3,625 ÷ 2,9 = M+ ( 6,3 - 3,8 ) ÷ 0,005 = ÷ MR =
Вычисления:
1. Знаменатель: $3,625 : 2,9 = 1,25$. Сохраняем в память.
2. Числитель: $(6,3 - 3,8) : 0,005 = 2,5 : 0,005 = 500$.
3. Конечное деление: $500 : 1,25 = 400$.
Ответ: 400

2.519. Вычислите.

2.519

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 162 – 127 = 35; \\ 35 : 7 = 5; \\ 5 · 19 = 95; \\ 95 + 15 = 110. \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 900 : 150 = 6; \\ 6 · 70 = 420; \\ 420 – 312 = 108; \\ 108 : 18 = 6. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} 1,5 · 6 = 9; \\ 9 : 1,8 = 90:18 = 5; \\ 5 · 0,12 = 0,6; \\ 0,6 + 0,44 = 1,04. \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }7 – 2,1 = 4,9; \\ 4,9 : 7 = 0,7 ; \\ 0,7 · 1,4 = 0,98; \\ 0,98 + 0,02 = 1. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)} 3,6 + 3,2 = 6,8; \\ 6,8 : 0,2 = 68 : 2 = 34; \\ 34 – 33,5 = 0,5; \\ 0,5 · 9 = 4,5. \end{gathered}$$

а) Выполним вычисления по действиям:
1) $162 - 127 = 35$
2) $35 : 7 = 5$
3) $5 \cdot 19 = 95$
4) $95 + 15 = 110$
Ответ: 110.

б) Выполним вычисления по действиям:
1) $900 : 150 = 6$
2) $6 \cdot 70 = 420$
3) $420 - 312 = 108$
4) $108 : 18 = 6$
Ответ: 6.

в) Выполним вычисления по действиям:
1) $1,5 \cdot 6 = 9$
2) $9 : 1,8 = 5$
3) $5 \cdot 0,12 = 0,6$
4) $0,6 + 0,44 = 1,04$
Ответ: 1,04.

г) Выполним вычисления по действиям:
1) $7 - 2,1 = 4,9$
2) $4,9 : 7 = 0,7$
3) $0,7 \cdot 1,4 = 0,98$
4) $0,98 + 0,02 = 1$
Ответ: 1.

д) Выполним вычисления по действиям:
1) $3,6 + 3,2 = 6,8$
2) $6,8 : 0,2 = 34$
3) $34 - 33,5 = 0,5$
4) $0,5 \cdot 9 = 4,5$
Ответ: 4,5.

6.87. График зависимости роста Даши от возраста показан на рисунке 6.31.
а) Найдите рост Даши в возрасте 6 лет; 8,5 года; 10 лет.
б) Найдите возраст Даши, если её рост 81 см; 104 см; 122 см.

6.87

а) 6 лет - 115 см
8,5 лет - 127 см
10 лет - 132 см

б) 81 см - в 2 года
104 см - в 4,5 года
122 см - в 7,5 лет

а) Найдите рост Даши в возрасте 6 лет; 8,5 года; 10 лет.
Чтобы определить рост по возрасту, необходимо найти на горизонтальной оси x (Возраст, лет) заданное значение, подняться от него вертикально до пересечения с графиком и затем пройти горизонтально влево до вертикальной оси y (Рост, см), чтобы определить соответствующее значение.
– В возрасте 6 лет: находим на оси x значение 6, поднимаемся к точке на графике и от неё движемся влево к оси y. Попадаем в значение 115 см.
– В возрасте 8,5 года: находим на оси x значение 8,5 (точка посредине между 8 и 9), поднимаемся к графику и движемся влево к оси y. Попадаем в значение 127,5 см (точка посредине между 125 и 130).
– В возрасте 10 лет: находим на оси x значение 10, поднимаемся к точке на графике и движемся влево к оси y. Попадаем в значение 135 см (точка посредине между 130 и 140).
Ответ: Рост Даши в возрасте 6 лет составляет 115 см, в 8,5 года – 127,5 см, а в 10 лет – 135 см.

б) Найдите возраст Даши, если её рост 81 см; 104 см; 122 см.
Чтобы определить возраст по росту, необходимо найти на вертикальной оси y (Рост, см) заданное значение, пройти от него горизонтально вправо до пересечения с графиком и затем опуститься вертикально вниз до горизонтальной оси x (Возраст, лет), чтобы определить соответствующее значение. Поскольку не все значения роста точно соответствуют точкам на графике, для нахождения возраста между целыми годами используем метод линейной интерполяции.
– При росте 81 см: находим на оси y значение 81. Этот рост находится между значениями для возраста 1 год (рост 70 см) и 2 года (рост 82,5 см). Для нахождения точного значения возраста x решим пропорцию: $\frac{x - 1}{2 - 1} = \frac{81 - 70}{82,5 - 70}$. Из этого следует $x - 1 = \frac{11}{12,5} = 0,88$, откуда $x = 1,88$ года. Округляя, получаем приблизительно 1,9 года.
– При росте 104 см: находим на оси y значение 104. Этот рост находится между значениями для возраста 4 года (рост 102,5 см) и 5 лет (рост 110 см). Решим пропорцию: $\frac{x - 4}{5 - 4} = \frac{104 - 102,5}{110 - 102,5}$. Из этого следует $x - 4 = \frac{1,5}{7,5} = 0,2$, откуда $x = 4,2$ года.
– При росте 122 см: находим на оси y значение 122. Этот рост находится между значениями для возраста 7 лет (рост 120 см) и 8 лет (рост 125 см). Решим пропорцию: $\frac{x - 7}{8 - 7} = \frac{122 - 120}{125 - 120}$. Из этого следует $x - 7 = \frac{2}{5} = 0,4$, откуда $x = 7,4$ года.
Ответ: Возраст Даши при росте 81 см составлял примерно 1,9 года, при росте 104 см – 4,2 года, при росте 122 см – 7,4 года.

6.88. Используя график изменения температуры воздуха за сутки (рис. 6.32), установите:
а) какой была температура воздуха в 5 ч; в 18 ч;
б) когда температура воздуха равнялась 0 °C; 3 °C; –4 °C;
в) в какое время температура воздуха была отрицательной;
г) в какое время температура воздуха была положительной;
д) как изменилась температура с 3 до 11 ч; с 11 до 19 ч; с 14 до 24 ч;
e) какой была самая высокая температура и в каком часу;
ж) какой была самая низкая температура и в каком часу;
з) в какие промежутки времени температура повышалась, а в какие понижалась.

6.88

а) в 5 ч - -3℃
в 18 ч - 7℃

б) 0℃ - 6 ч и 22 ч
3℃ - в 8 ч и 20 ч 30 мин
-4℃ - в 3 ч и 24 ч

в) температура воздуха была отрицательной - с 0 ч до 6 ч и с 22 ч до 24 ч
г) температура воздуха была положительной - с 6 ч до 22 ч

д) с 3 ч до 11 ч температура воздуха поднялась с -4℃ до 6℃
с 11 ч до 19 ч температура воздуха поднялась с 6℃ до 8℃, а затем опустилась до 6℃
с 14 ч до 24 ч температура воздуха поднялась с 7,9℃ до 8℃, а затем опустилась до -4℃

е) самая высокая температура была в 15 ч и составляла 8℃

ж) самая низкая температура было в 0 ч и составляла -5℃

з) температура повышалась с 0 ч до 15 ч, понижалась с 15 ч до 24 ч

а) какой была температура воздуха в 5 ч; в 18 ч;

Чтобы найти температуру в определенное время, нужно найти это время на горизонтальной оси (оси времени), подняться или опуститься до пересечения с графиком и затем найти соответствующее значение на вертикальной оси (оси температур).

• Для времени 5 ч: Находим на горизонтальной оси отметку 5. Двигаемся вертикально вверх до графика. Точка на графике соответствует значению $-3$ на вертикальной оси. Значит, в 5 ч температура была $-3$ °C.
• Для времени 18 ч: Находим на горизонтальной оси отметку 18. Двигаемся вертикально вверх до графика. Точка на графике соответствует значению $5$ на вертикальной оси. Значит, в 18 ч температура была $5$ °C.

Ответ: В 5 ч температура воздуха была $-3$ °C, а в 18 ч — $5$ °C.

б) когда температура воздуха равнялась 0 °C; 3 °C; –4 °C;

Чтобы найти время, когда температура достигала определенного значения, нужно найти это значение на вертикальной оси, провести горизонтальную линию до пересечения с графиком и затем найти соответствующее значение на горизонтальной оси.

• Температура $0$ °C: Эта температура соответствует горизонтальной оси. График пересекает эту ось в двух точках: 6 ч и 22 ч.
• Температура $3$ °C: Находим отметку $3$ на вертикальной оси. Горизонтальная линия на этом уровне пересекает график в двух точках: 8 ч и 20 ч.
• Температура $-4$ °C: Находим отметку $-4$ на вертикальной оси. Горизонтальная линия на этом уровне пересекает график в одной точке: 4 ч.

Ответ: Температура равнялась $0$ °C в 6 ч и 22 ч; $3$ °C — в 8 ч и 20 ч; $-4$ °C — в 4 ч.

в) в какое время температура воздуха была отрицательной;

Отрицательная температура — это температура ниже $0$ °C. На графике это участки, где кривая расположена ниже горизонтальной оси (оси времени). Это происходит с начала суток до 6 ч и после 22 ч до конца суток. В моменты времени 6 ч и 22 ч температура равна нулю, поэтому эти точки не включаются в интервал.

Ответ: Температура была отрицательной в промежутках времени $[0 \text{ ч}, 6 \text{ ч})$ и $(22 \text{ ч}, 24 \text{ ч}]$.

г) в какое время температура воздуха была положительной;

Положительная температура — это температура выше $0$ °C. На графике это участок, где кривая расположена выше горизонтальной оси. Это происходит между 6 ч и 22 ч. В моменты времени 6 ч и 22 ч температура равна нулю, поэтому эти точки не включаются.

Ответ: Температура была положительной в промежутке времени $(6 \text{ ч}, 22 \text{ ч})$.

д) как изменилась температура с 3 до 11 ч; с 11 до 19 ч; с 14 до 24 ч;

Для нахождения изменения температуры на промежутке времени нужно вычесть из температуры в конечный момент времени температуру в начальный момент времени.

• С 3 до 11 ч: Температура в 3 ч была $-4,25$ °C, а в 11 ч — $6$ °C. Изменение составило: $6 - (-4,25) = 10,25$ °C. Температура повысилась.
• С 11 до 19 ч: Температура в 11 ч была $6$ °C, а в 19 ч — $4$ °C. Изменение составило: $4 - 6 = -2$ °C. Температура понизилась.
• С 14 до 24 ч: Температура в 14 ч была $8$ °C, а в 24 ч — $-3$ °C. Изменение составило: $-3 - 8 = -11$ °C. Температура понизилась.

Ответ: С 3 до 11 ч температура повысилась на $10,25$ °C; с 11 до 19 ч понизилась на $2$ °C; с 14 до 24 ч понизилась на $11$ °C.

е) какой была самая высокая температура и в каком часу;

Самая высокая температура соответствует максимальному значению на графике (пику). Самая высокая точка графика находится на уровне $8$ °C. Эта температура держится на постоянном уровне в течение некоторого времени.

Ответ: Самая высокая температура была $8$ °C, и она наблюдалась в промежутке времени с 14 ч до 16 ч.

ж) какой была самая низкая температура и в каком часу;

Самая низкая температура соответствует минимальному значению на графике. Самая низкая точка графика находится на уровне $-5$ °C. Это значение достигается в начале суток.

Ответ: Самая низкая температура была $-5$ °C в 0 ч.

з) в какие промежутки времени температура повышалась, а в какие понижалась.

Температура повышается, когда график идет вверх, и понижается, когда график идет вниз.

• Повышение: График идет вверх от самой низкой точки в 0 ч ($-5$ °C) до самой высокой точки в 14 ч ($8$ °C).
• Понижение: График идет вниз после плато, начиная с 16 ч ($8$ °C) и до конца суток в 24 ч ($-3$ °C).
• В промежутке с 14 ч до 16 ч температура была постоянной.

Ответ: Температура повышалась в промежутке времени с 0 ч до 14 ч, а понижалась в промежутке времени с 16 ч до 24 ч.