Страница 119, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

6.121. Лодка прошла 80 км до устья реки и вернулась обратно. Чему равна средняя скорость лодки на всём пути, если скорость течения 4 км/ч, а скорость движения лодки до устья реки 20 км/ч?

6.123

S_{по течению} = S_{против течения} = 80 км
v _{по течению} = 20 км/ч
v_{течения} = 4 км/ч
v_{средняя} - ?

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }20 – 4 – 4 = 12$ (км/ч) – скорость лодки от устья реки

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }80 : 20 = 4$ (ч) – время движения лодки до устья реки

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }80 : 12 = \frac{80}{12} = \frac{20}{3} = 6\frac{2}{3}$ (ч) – время движения лодки от устья реки

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }4 + 6\frac{2}{3} = 10\frac{2}{3}$ (ч) – общее время движения лодки

$\mathbf{5}\mathbf{)} 80 + 80 = 160$ (км) – общее расстояние

$\mathbf{6}\mathbf{)} 160 : 10\frac{2}{3}= 160 : \frac{32}{3} = \stackrel{5}{\cancel{160}} · \frac{3}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{32}}}} = 5 · 3 = 15$(км/ч) – средняя скорость лодки

Ответ: 15 км/ч.

Для определения средней скорости лодки на всём пути, необходимо разделить общее пройденное расстояние на общее затраченное время. Средняя скорость вычисляется по формуле:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Сначала определим собственную скорость лодки. В условии сказано, что скорость движения лодки до устья реки равна 20 км/ч. Движение к устью — это движение по течению. Скорость по течению ($v_{по}$) является суммой собственной скорости лодки ($v_{л}$) и скорости течения ($v_{т} = 4$ км/ч).

$v_{по} = v_{л} + v_{т}$

Отсюда находим собственную скорость лодки:

$v_{л} = v_{по} - v_{т} = 20 \text{ км/ч} - 4 \text{ км/ч} = 16 \text{ км/ч}$

На обратном пути лодка движется против течения. Её скорость ($v_{пр}$) будет равна разности собственной скорости и скорости течения:

$v_{пр} = v_{л} - v_{т} = 16 \text{ км/ч} - 4 \text{ км/ч} = 12 \text{ км/ч}$

Теперь рассчитаем время, затраченное на каждый участок пути. Расстояние в одну сторону равно 80 км.

Время движения по течению:

$t_{по} = \frac{80 \text{ км}}{20 \text{ км/ч}} = 4 \text{ ч}$

Время движения против течения:

$t_{пр} = \frac{80 \text{ км}}{12 \text{ км/ч}} = \frac{20}{3} \text{ ч}$

Общее расстояние, пройденное лодкой, составляет $S_{общ} = 80 \text{ км} + 80 \text{ км} = 160$ км. Общее время в пути равно сумме времени движения туда и обратно:

$t_{общ} = t_{по} + t_{пр} = 4 \text{ ч} + \frac{20}{3} \text{ ч} = \frac{12}{3} \text{ ч} + \frac{20}{3} \text{ ч} = \frac{32}{3} \text{ ч}$

Наконец, вычисляем среднюю скорость на всём пути:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{160 \text{ км}}{\frac{32}{3} \text{ ч}} = \frac{160 \cdot 3}{32} \text{ км/ч} = 5 \cdot 3 = 15 \text{ км/ч}$

Ответ: средняя скорость лодки на всём пути равна 15 км/ч.

6.124. Банк платит вкладчикам 6 % годовых. За год вклад одного из вкладчиков увеличился на 6400 р.
а) Какая сумма была внесена первоначально на счёт?
б) Какая сумма будет на счёте через год, если сумма по процентам зачислена на счёт?
в) Какая сумма будет на счёте через 2 года, если сумма по процентам зачислена на счёт?

6.124

$\mathit{а}\mathbf{)} 6 400 : 0,06 = \frac{640 000}{6} = 106 666\frac{2}{3}$ (руб.) – внесено на счет;

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }106 666\frac{2}{3} + 6 400 = 113066\frac{2}{3}$ (руб.) – станет на счете через год;

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }113 066\frac{2}{3} + 1013066\frac{2}{3} · 0,06 = \\ = 113055\frac{2}{3} · \left(1 + 0,06\right) =113066\frac{2}{3} · 1,06 = \\ = \frac{3392\cancel{00}}{3} · \frac{106}{1\cancel{00}} = \frac{3392 · 106}{3} = \frac{359552}{3} = \end{gathered}$$

$= 119850\frac{2}{3}$ (руб.) – станет через 2 года.

а) Какая сумма была внесена первоначально на счёт?
Пусть $P$ - первоначальная сумма вклада. Годовая процентная ставка составляет $r = 6\% = 0.06$. За год вклад увеличился на 6400 руб., эта сумма и является начисленными процентами за первый год ($I$). Сумма процентов вычисляется по формуле: $I = P \cdot r$. Чтобы найти первоначальную сумму вклада $P$, выразим её из формулы: $P = \frac{I}{r}$ Подставим известные значения: $P = \frac{6400}{0.06} = \frac{640000}{6} = \frac{320000}{3}$ руб. В виде десятичной дроби это составляет 106 666,66... руб., что можно округлить до 106 666 руб. 67 коп.
Ответ: $\frac{320000}{3}$ руб. (или примерно 106 666,67 руб.).

б) Какая сумма будет на счёте через год, если сумма по процентам зачислена на счёт?
Сумма на счёте через год ($A_1$) будет равна первоначальной сумме плюс начисленные за год проценты. $A_1 = P + I$ Подставим значения: $A_1 = \frac{320000}{3} + 6400 = \frac{320000}{3} + \frac{19200}{3} = \frac{320000 + 19200}{3} = \frac{339200}{3}$ руб. В виде десятичной дроби это составляет 113 066,66... руб., что можно округлить до 113 066 руб. 67 коп.
Ответ: $\frac{339200}{3}$ руб. (или примерно 113 066,67 руб.).

в) Какая сумма будет на счёте через 2 года, если сумма по процентам зачислена на счёт?
Сумма на счёте через 2 года ($A_2$) вычисляется с учётом капитализации процентов (сложные проценты). Это означает, что проценты за второй год начисляются на всю сумму, которая была на счёте в конце первого года ($A_1$). Сумму через 2 года можно найти по формуле сложных процентов: $A_2 = P \cdot (1 + r)^2$. Подставим наши значения: $A_2 = \frac{320000}{3} \cdot (1 + 0.06)^2 = \frac{320000}{3} \cdot (1.06)^2 = \frac{320000}{3} \cdot 1.1236 = \frac{359552}{3}$ руб.
Другой способ — рассчитать проценты за второй год и прибавить их к сумме после первого года. Проценты за второй год ($I_2$) составят: $I_2 = A_1 \cdot r = \frac{339200}{3} \cdot 0.06 = \frac{339200 \cdot 0.06}{3} = \frac{20352}{3} = 6784$ руб. Итоговая сумма через 2 года: $A_2 = A_1 + I_2 = \frac{339200}{3} + 6784 = \frac{339200}{3} + \frac{20352}{3} = \frac{359552}{3}$ руб. В виде десятичной дроби это составляет 119 850,66... руб., что можно округлить до 119 850 руб. 67 коп.
Ответ: $\frac{359552}{3}$ руб. (или примерно 119 850,67 руб.).

6.125. Выполните действия:
а) (114 – 27) : (–3) – 6113 : (– 6113);
б) (7 – 845) · 279 – 15 : (18 – 34);
в) (204,12 : 10,5 – 3,2 · 1,2) · 612 + 7 : 213.

6.125

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} \left(\frac{1}{14} - {\frac{2}{7}}^{\overline{)·2}}\right) : (-3) - 6\frac{1}{13} : \left(-6\frac{1}{13}\right) = \\ = \left(\frac{1}{14} - \frac{4}{14}\right) · \left(-\frac{1}{3}\right) + 1 = \left( -\frac{\cancel{3}}{14}\right) · \left(-\frac{1}{\cancel{3}}\right) + 1 = \\ = \frac{1}{14} + 1 = 1\frac{1}{14} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} \left(7 - 8\frac{4}{5}\right) · 2\frac{7}{9} - 15 : \left(\frac{1}{8} - {\frac{3}{4}}^{\overline{)·2}}\right)= \\ =- 1\frac{4}{5} · \frac{25}{9} - 15 : \left(\frac{1}{8} - \frac{6}{8}\right)=- \frac{\cancel{9}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{5}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\bcancel{25}}}}{\cancel{9}} - \\ - 15 : \left(- \frac{5}{8}\right)=-5 + \stackrel{3}{\cancel{15} }· \frac{8}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}} = -5 + 24 = 19 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} (204,12 : 10,5 – 3,2 \stackrel{1}{·} 1,2) · 6\frac{1}{2} + 7 : 2\frac{1}{3} = \\ = (2041,2 \stackrel{2}{:} 105 – 3,84) · \frac{13}{2} + 7 : \frac{7}{3} = \\ = (19,44 \stackrel{3}{–} 3,84) · \frac{13}{2} + \cancel{7} · \frac{3}{\cancel{7}} =15,6 · \frac{13}{2} + 1· \frac{3}{1}= \\ = \frac{{\displaystyle \stackrel{78}{\cancel{156}}}}{10} · \frac{13}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{2}}}} + 3 = \frac{78}{10}\stackrel{4}{ ·} \frac{13}{1} + 3 = \frac{1014}{10} + 3 = \\ = 101,4 + 3 = 104,4. \end{gathered}$$

1.	2.
3.	4.

а) $(\frac{1}{14} - \frac{2}{7}) : (-3) - 6\frac{1}{13} : (-6\frac{1}{13})$

Решим по действиям:

1. Выполним вычитание в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 14:
$\frac{1}{14} - \frac{2}{7} = \frac{1}{14} - \frac{2 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{1}{14} - \frac{4}{14} = -\frac{3}{14}$

2. Выполним первое деление:
$(-\frac{3}{14}) : (-3) = -\frac{3}{14} \cdot (-\frac{1}{3}) = \frac{3}{14 \cdot 3} = \frac{1}{14}$

3. Выполним второе деление. Так как мы делим число само на себя с противоположным знаком, результат будет -1:
$6\frac{1}{13} : (-6\frac{1}{13}) = -1$

4. Выполним последнее действие - вычитание:
$\frac{1}{14} - (-1) = \frac{1}{14} + 1 = 1\frac{1}{14}$

Ответ: $1\frac{1}{14}$

б) $(7 - 8\frac{4}{5}) \cdot 2\frac{7}{9} - 15 : (\frac{1}{8} - \frac{3}{4})$

Решим по действиям:

1. Выполним вычитание в первых скобках. Представим $8\frac{4}{5}$ как неправильную дробь $\frac{44}{5}$:
$7 - 8\frac{4}{5} = 7 - \frac{44}{5} = \frac{7 \cdot 5}{5} - \frac{44}{5} = \frac{35 - 44}{5} = -\frac{9}{5}$

2. Выполним умножение. Представим $2\frac{7}{9}$ как неправильную дробь $\frac{25}{9}$:
$(-\frac{9}{5}) \cdot 2\frac{7}{9} = -\frac{9}{5} \cdot \frac{25}{9} = -\frac{9 \cdot 25}{5 \cdot 9} = -5$

3. Выполним вычитание во вторых скобках. Приведем дроби к общему знаменателю 8:
$\frac{1}{8} - \frac{3}{4} = \frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{1}{8} - \frac{6}{8} = -\frac{5}{8}$

4. Выполним деление:
$15 : (-\frac{5}{8}) = 15 \cdot (-\frac{8}{5}) = -\frac{15 \cdot 8}{5} = -3 \cdot 8 = -24$

5. Выполним последнее действие - вычитание:
$-5 - (-24) = -5 + 24 = 19$

Ответ: $19$

в) $(204,12 : 10,5 - 3,2 \cdot 1,2) \cdot 6\frac{1}{2} + 7 : 2\frac{1}{3}$

Решим по действиям, сначала выполним операции в скобках:

1. Деление в скобках:
$204,12 : 10,5 = 19,44$

2. Умножение в скобках:
$3,2 \cdot 1,2 = 3,84$

3. Вычитание в скобках:
$19,44 - 3,84 = 15,6$

4. Теперь выполним умножение результата из скобок. Представим $6\frac{1}{2}$ как $6,5$:
$15,6 \cdot 6\frac{1}{2} = 15,6 \cdot 6,5 = 101,4$

5. Выполним деление в конце выражения. Представим $2\frac{1}{3}$ как неправильную дробь $\frac{7}{3}$:
$7 : 2\frac{1}{3} = 7 : \frac{7}{3} = 7 \cdot \frac{3}{7} = 3$

6. Выполним последнее действие - сложение:
$101,4 + 3 = 104,4$

Ответ: $104,4$

6.126. Выполните действия:
а) (5,78 + 178,64 : 81,2) : 2,1 – 0,8;
б) –11 – 2,5 · (8,4 – 13,8);
в) 14,6 : 7,3 · (–1,6) – 2,8 · (–4,5) : 14;
г) –14,6 : (–7,3) · (–1,7) + 3,6 : (–18) · 1,3.

6.126

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }(5,78 + 178,64: 81,2) : 2,1 – 0,8 = \\ = (5,78 + 1786,4\stackrel{1}{ : }812) : 2,1 – 0,8 = \\ = (5,78 \stackrel{2}{+} 2,2) : 2,1 – 0,8 = 7,98 : 2,1 – 0,8 = \\ = 79,8 \stackrel{3}{: }21 – 0,8 = 3,8 – 0,8 = 3 \end{gathered}$$

1.
2.	3.

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }-11 – 2,5 · (8,4 – 13,8) = -11 – 2,5 · ( – 5,4) = \\ = -11 + 13,5 = 2,5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }14,6 : 7,3 · (-1,6) – 2,8 \stackrel{1}{·} (-4,5) : 14 = \\ = 146 : 73 · (-1,6) + 12,6 : 14 = \\ = 2 · (-1,6) + 12,6 \stackrel{2}{:} 14 = - 3,2 + 0,9 = -2,3 \end{gathered}$$

1.

2.

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }-14,6 : (-7,3) · (-1,7) + 3,6 : (-18) · 1,3 = \\ = -146 : (-73) · (-1,7) + 3,6 : (-18) · 1,3 = \\ = 2 · (-1,7) – 0,2 · 1,3 = - 3,4 - 0,26 = -3,66 \end{gathered}$$

а) $(5,78 + 178,64 : 81,2) : 2,1 - 0,8$

Решим пример по действиям, соблюдая правильный порядок: сначала действия в скобках (в первую очередь деление, затем сложение), потом деление за скобками и в конце вычитание.

1) Выполним деление в скобках: $178,64 : 81,2$. Для удобства можно умножить делимое и делитель на 10, чтобы делитель стал целым числом: $1786,4 : 812 = 2,2$.

2) Выполним сложение в скобках: $5,78 + 2,2 = 7,98$.

3) Теперь выполним деление результата из скобок на 2,1: $7,98 : 2,1$. Также умножим делимое и делитель на 10: $79,8 : 21 = 3,8$.

4) Последнее действие — вычитание: $3,8 - 0,8 = 3$.

Полная последовательность вычислений: $(5,78 + 178,64 : 81,2) : 2,1 - 0,8 = (5,78 + 2,2) : 2,1 - 0,8 = 7,98 : 2,1 - 0,8 = 3,8 - 0,8 = 3$.

Ответ: 3

б) $-11 - 2,5 \cdot (8,4 - 13,8)$

Согласно порядку действий, сначала выполним вычитание в скобках, затем умножение и в конце вычитание.

1) Вычитание в скобках: $8,4 - 13,8 = -5,4$.

2) Умножение: $2,5 \cdot (-5,4)$. Произведение чисел с разными знаками отрицательно. $2,5 \cdot 5,4 = 13,5$. Следовательно, $2,5 \cdot (-5,4) = -13,5$.

3) Вычитание: $-11 - (-13,5)$. Вычитание отрицательного числа равносильно сложению: $-11 + 13,5 = 2,5$.

Полная последовательность вычислений: $-11 - 2,5 \cdot (8,4 - 13,8) = -11 - 2,5 \cdot (-5,4) = -11 - (-13,5) = -11 + 13,5 = 2,5$.

Ответ: 2,5

в) $14,6 : 7,3 \cdot (-1,6) - 2,8 \cdot (-4,5) : 14$

В этом выражении умножение и деление имеют одинаковый приоритет и выполняются слева направо в каждой из двух частей выражения, разделенных знаком минус.

1) Вычислим первую часть выражения: $14,6 : 7,3 \cdot (-1,6)$.

$14,6 : 7,3 = 2$.

$2 \cdot (-1,6) = -3,2$.

2) Вычислим вторую часть выражения: $2,8 \cdot (-4,5) : 14$.

$2,8 \cdot (-4,5) = -12,6$.

$-12,6 : 14 = -0,9$.

3) Выполним вычитание результатов: $-3,2 - (-0,9) = -3,2 + 0,9 = -2,3$.

Ответ: -2,3

г) $-14,6 : (-7,3) \cdot (-1,7) + 3,6 : (-18) \cdot 1,3$

Выражение состоит из двух слагаемых. Сначала вычислим значение каждого слагаемого, а затем сложим их.

1) Вычислим первое слагаемое: $-14,6 : (-7,3) \cdot (-1,7)$.

$-14,6 : (-7,3)$. Деление двух отрицательных чисел дает положительное число: $14,6 : 7,3 = 2$.

$2 \cdot (-1,7) = -3,4$.

2) Вычислим второе слагаемое: $3,6 : (-18) \cdot 1,3$.

$3,6 : (-18)$. Деление положительного числа на отрицательное дает отрицательное: $3,6 : 18 = 0,2$, значит, результат $-0,2$.

$-0,2 \cdot 1,3 = -0,26$.

3) Сложим полученные результаты: $-3,4 + (-0,26) = -3,4 - 0,26 = -3,66$.

Ответ: -3,66