Страница 114, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.534. Вычислите:

a) 6,76 · 513; 6) 9,8 : 134; в) 8,4 · 137; г) 14,3 : 158.

2.534

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 6,76 · \frac{5}{13} = 6 \frac{{\displaystyle \stackrel{19}{\cancel{76}}}}{{\displaystyle \underset{25}{\cancel{100}}}} · \frac{5}{13} = 6\frac{19}{25} · \frac{5}{13} = \\ =\frac{{\displaystyle \stackrel{13}{\cancel{169}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\bcancel{25}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{13}}}} = \frac{13 · 1}{5 · 1}=\frac{13}{5} = 2\frac{3}{5}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }9,8 : 1\frac{3}{4} = 9\frac{8}{10 } : \frac{7}{4} = 9\frac{4}{5} · \frac{4}{7} = \\ = \frac{{\displaystyle \stackrel{7}{\cancel{49}}}}{5}· \frac{4}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}} =\frac{7 · 4}{5 · 1} =\frac{28}{5} = 5\frac{3}{5}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }8,4 · 1\frac{3}{7} = 8\frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{4}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{10}}}} · \frac{10}{7} = 8\frac{2}{5} · \frac{10}{7} = \\ =\frac{{\displaystyle \stackrel{6}{\bcancel{42}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{10}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{7}}}} = \frac{6 · 2}{1 · 1} = 12; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }14,3 : 1\frac{5}{8} = 14\frac{3}{10} : \frac{13}{8} = \frac{{\displaystyle \stackrel{11}{\bcancel{143}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{10} }}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\cancel{8}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{13}}}}= \\ =\frac{11 · 4}{5 · 1} = \frac{44}{5} = 8\frac{4}{5}. \end{gathered}$$

а) Чтобы вычислить $6,76 \cdot \frac{5}{13}$, представим десятичную дробь в виде обыкновенной дроби и выполним умножение.
$6,76 = \frac{676}{100}$
$ \frac{676}{100} \cdot \frac{5}{13} = \frac{676 \cdot 5}{100 \cdot 13} $
Сократим дробь. Заметим, что $676 = 52 \cdot 13$ и $100 = 20 \cdot 5$.
$ \frac{52 \cdot 13 \cdot 5}{20 \cdot 5 \cdot 13} = \frac{52}{20} = \frac{13}{5} = 2,6 $
Ответ: $2,6$

б) Чтобы вычислить $9,8 : 1\frac{3}{4}$, преобразуем оба числа в неправильные дроби.
$9,8 = \frac{98}{10} = \frac{49}{5}$
$1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$
Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:
$\frac{49}{5} : \frac{7}{4} = \frac{49}{5} \cdot \frac{4}{7}$
Сократим $49$ и $7$:
$\frac{7 \cdot 4}{5} = \frac{28}{5} = 5,6$
Ответ: $5,6$

в) Чтобы вычислить $8,4 \cdot 1\frac{3}{7}$, преобразуем оба числа в неправильные дроби.
$8,4 = \frac{84}{10} = \frac{42}{5}$
$1\frac{3}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{10}{7}$
Теперь выполним умножение, предварительно сократив дроби:
$\frac{42}{5} \cdot \frac{10}{7} = \frac{42 \cdot 10}{5 \cdot 7}$
Сократим $42$ и $7$ (на 7), а также $10$ и $5$ (на 5):
$\frac{6 \cdot 2}{1 \cdot 1} = 12$
Ответ: $12$

г) Чтобы вычислить $14,3 : 1\frac{5}{8}$, преобразуем оба числа в неправильные дроби.
$14,3 = \frac{143}{10}$
$1\frac{5}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 5}{8} = \frac{13}{8}$
Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:
$\frac{143}{10} : \frac{13}{8} = \frac{143}{10} \cdot \frac{8}{13}$
Сократим дробь. Заметим, что $143 = 11 \cdot 13$. Также сократим $8$ и $10$ на $2$.
$\frac{11 \cdot 13}{5 \cdot 2} \cdot \frac{4 \cdot 2}{13} = \frac{11 \cdot 4}{5} = \frac{44}{5} = 8,8$
Ответ: $8,8$

2.535. В викторине Таня набрала на 3 очка больше Маши. Сколько очков заработали Таня и Маша вместе, если Таня набрала 411, а Маша 722 всех очков?

2.535

$\mathbf{1}\mathbf{)} {\frac{4}{11}}^{\overline{)·2}} - \frac{7}{22} = \frac{8}{22} - \frac{7}{22} = \frac{1}{22}$(части)-составляют 3 очка;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 3 : \frac{1}{22} = 3 · 22 = 66$ (очков)-заработала команда.

Ответ: 66 очков.

Для решения задачи введем переменную $x$, которая будет обозначать общее количество очков, разыгранных в викторине.

Из условия мы знаем, что Таня набрала $\frac{4}{11}$ от всех очков. Это можно записать как $\frac{4}{11}x$.

Маша, в свою очередь, набрала $\frac{7}{22}$ от всех очков, что составляет $\frac{7}{22}x$.

Также в условии сказано, что Таня набрала на 3 очка больше Маши. Это позволяет нам составить уравнение, приравняв разность их очков к 3:

$\frac{4}{11}x - \frac{7}{22}x = 3$

Чтобы решить это уравнение, необходимо привести дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 11 и 22 — это 22. Для этого умножим числитель и знаменатель первой дроби на 2:

$\frac{4 \cdot 2}{11 \cdot 2}x - \frac{7}{22}x = 3$

$\frac{8}{22}x - \frac{7}{22}x = 3$

Теперь вычтем дроби:

$\frac{8-7}{22}x = 3$

$\frac{1}{22}x = 3$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 22:

$x = 3 \cdot 22$

$x = 66$

Мы выяснили, что общее количество очков в викторине равно 66. Теперь найдем, сколько очков набрала каждая девочка:

Очки Тани: $\frac{4}{11} \cdot 66 = 4 \cdot \frac{66}{11} = 4 \cdot 6 = 24$ очка.

Очки Маши: $\frac{7}{22} \cdot 66 = 7 \cdot \frac{66}{22} = 7 \cdot 3 = 21$ очко.

Проверим условие: $24 - 21 = 3$. Разница в очках верна.

Основной вопрос задачи — сколько очков Таня и Маша заработали вместе. Для этого сложим их результаты:

$24 + 21 = 45$ очков.

Ответ: 45 очков.

2.536. Мотоциклист движется со скоростью 90 км/ч, а велосипедист — 15 км/ч. Какое время потребуется велосипедисту, чтобы проехать 15 того расстояния, которое мотоциклист преодолеет за 4 ч?

2.536

$\mathbf{1}\mathbf{)} 90 · 4 = 360$(км) – проедет мотоциклист за 4 ч;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{1}{5} · 360 = \frac{360}{5} = 72$ (км) – составляют $\frac{1}{5}$расстояния;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 72 : 15 = \frac{{\displaystyle \stackrel{24}{\cancel{72}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{15}}}} = \frac{24}{5} = 4\frac{4}{5}$ (ч) – потребуется велосипедисту.

Ответ: $4\frac{4}{5} \mathrm{ч}.$

Для решения этой задачи нужно выполнить три последовательных действия: сначала найти расстояние, которое проедет мотоциклист, затем определить расстояние для велосипедиста и, наконец, рассчитать время, которое ему потребуется.

1. Находим расстояние, которое преодолеет мотоциклист.
Используем основную формулу пути: $S = v \cdot t$, где $S$ — это расстояние, $v$ — скорость, а $t$ — время.
Скорость мотоциклиста ($v_м$) составляет 90 км/ч, а время в пути ($t_м$) — 4 ч.
$S_м = 90 \text{ км/ч} \times 4 \text{ ч} = 360 \text{ км}$.

2. Определяем расстояние, которое должен проехать велосипедист.
По условию задачи, велосипедист должен проехать $\frac{1}{5}$ того расстояния, которое проехал мотоциклист. Обозначим это расстояние как $S_в$.
$S_в = \frac{1}{5} \times S_м = \frac{1}{5} \times 360 \text{ км} = 72 \text{ км}$.

3. Рассчитываем время, которое потребуется велосипедисту.
Теперь, зная расстояние ($S_в = 72$ км) и скорость велосипедиста ($v_в = 15$ км/ч), мы можем найти время ($t_в$) по формуле $t = \frac{S}{v}$.
$t_в = \frac{72 \text{ км}}{15 \text{ км/ч}} = 4,8 \text{ ч}$.

Ответ: 4,8 ч.

2.537. Для изготовления большого красного медного самовара тульские мастера использовали сплав меди и цинка. Какую массу имел самовар, изготовленный из сплава куска меди обbёмом 1,2 дм³ и куска цинка объёмом 0,8 дм³, если масса 1 см³ меди приблизительно 9 г, а масса 1 см³ цинка приблизительно 7 г?

2.537

Самовар - ? кг

Медь – 1,2 дм³ = 1,2 • 1000 = 1200 см³

Цинк – 0,8 дм³ = 0,8 • 1000 = 800 см³

1 см³ меди ≈ 9 г; 1 см³ цинка ≈ 7 г.

$\mathbf{1}\mathbf{)} 1200 · 9 = 10800 \mathrm{г} : 1000 = 10,8 \mathrm{кг}$ – масса меди;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }800 · 7 = 5600 \mathrm{г} : 1000 = 5,6 \mathrm{кг}$– масса цинка;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }10,8 + 5,6 = 16,4 (\mathrm{кг})$– масса самовара.

Ответ: 16,4 кг

Для того чтобы найти общую массу самовара, необходимо сначала вычислить массу каждого металла (меди и цинка) в отдельности, а затем сложить их. Масса вычисляется по формуле $m = \rho \times V$, где $m$ – масса, $\rho$ – плотность, а $V$ – объем.

Плотность материалов дана в граммах на кубический сантиметр ($\text{г/см}^3$), а объемы – в кубических дециметрах ($\text{дм}^3$). Для проведения расчетов необходимо привести единицы измерения к единой системе. Переведем объемы из кубических дециметров в кубические сантиметры. Мы знаем, что $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$, следовательно, $1 \text{ дм}^3 = (10 \text{ см})^3 = 1000 \text{ см}^3$.

• Объем меди: $V_{\text{меди}} = 1,2 \text{ дм}^3 = 1,2 \times 1000 \text{ см}^3 = 1200 \text{ см}^3$.

• Объем цинка: $V_{\text{цинка}} = 0,8 \text{ дм}^3 = 0,8 \times 1000 \text{ см}^3 = 800 \text{ см}^3$.

Теперь вычислим массу каждого компонента сплава.

1. Найдем массу меди:

Плотность меди $\rho_{\text{меди}} \approx 9 \text{ г/см}^3$.

$m_{\text{меди}} = \rho_{\text{меди}} \times V_{\text{меди}} = 9 \text{ г/см}^3 \times 1200 \text{ см}^3 = 10800 \text{ г}$.

2. Найдем массу цинка:

Плотность цинка $\rho_{\text{цинка}} \approx 7 \text{ г/см}^3$.

$m_{\text{цинка}} = \rho_{\text{цинка}} \times V_{\text{цинка}} = 7 \text{ г/см}^3 \times 800 \text{ см}^3 = 5600 \text{ г}$.

3. Найдем общую массу самовара:

Общая масса самовара равна сумме масс меди и цинка.

$m_{\text{самовара}} = m_{\text{меди}} + m_{\text{цинка}} = 10800 \text{ г} + 5600 \text{ г} = 16400 \text{ г}$.

Для удобства можно перевести массу в килограммы, зная, что $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$.

$16400 \text{ г} = 16,4 \text{ кг}$.

Ответ: масса самовара составляет 16400 граммов, или 16,4 килограмма.

2.538. Глава повести занимает 10,5 страницы, что составляет 0,15 всей повести. Повесть составляет 716 всей книги. Сколько страниц в книге?

2.538

$\mathbf{1}\mathbf{)} 10,5 : 0,15 = 1050 : 15 = 70$(стр.) – в повести;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 70 : \frac{7}{16} =\stackrel{10}{ \cancel{70} }· \frac{16}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}} = 10 · 16 = 160$ (стр.) – в книге.

Ответ: 160 страниц.

Для решения этой задачи нужно выполнить два действия. Сначала найдем общее количество страниц в повести, а затем, зная это, определим общее количество страниц во всей книге.

1. Находим общее количество страниц в повести.
Из условия известно, что 10,5 страницы составляют 0,15 всей повести. Чтобы найти целое по его части, нужно значение этой части разделить на ее долю.
Пусть $x$ — это общее количество страниц в повести. Тогда:
$x = 10,5 \div 0,15$
Чтобы разделить 10,5 на 0,15, можно представить их в виде обыкновенных дробей или просто выполнить деление:
$x = \frac{10,5}{0,15} = \frac{1050}{15} = 70$
Таким образом, в повести 70 страниц.

2. Находим общее количество страниц в книге.
Теперь мы знаем, что повесть (70 страниц) составляет $\frac{7}{16}$ всей книги. Снова находим целое по его части: делим количество страниц в повести на дробь, которую она составляет от книги.
Пусть $y$ — это общее количество страниц в книге. Тогда:
$y = 70 \div \frac{7}{16}$
Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$y = 70 \cdot \frac{16}{7} = \frac{70 \cdot 16}{7}$
Сокращаем 70 и 7:
$y = 10 \cdot 16 = 160$
Следовательно, во всей книге 160 страниц.

Ответ: 160 страниц.

2.539. Вычислите значение дробного выражения:

а) 2,16 · 0,55 · 4,52,7 · 0,15 · 1,2; б) 223 · 237 · 911337 · 523 · 111; в) 1114 : 9322113 · 514 – 10213 · 4811; г) 30,6 : 1447 + 13,2 : 1131516 : 1,75.

2.539

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} \frac{2,16 · 0,55 · 4,5}{2,7 · 0,15 · 1,2}=\frac{{\displaystyle \stackrel{18}{\bcancel{216} }}· 5,5 · {\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{45}}}}{27 · {\displaystyle \underset{1}{\cancel{15}}} · {\displaystyle \underset{1}{\bcancel{12}}}}=\frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{18}}} · 5,5 ·{\displaystyle \stackrel{1}{ \cancel{3}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{27}}} · 1 · 1}= \\ =\frac{2 · 5,5 · 1}{1 · 1 · 1} = \frac{5,5 · 2}{1} =11; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} \frac{2{\displaystyle \frac{2}{3}} · 2{\displaystyle \frac{3}{7}} · {\displaystyle \frac{9}{11}}}{3{\displaystyle \frac{3}{7}} · 5{\displaystyle \frac{2}{3}} · {\displaystyle \frac{1}{11}}}= \frac{{\displaystyle \frac{8}{3}} · {\displaystyle \frac{17}{7}} · {\displaystyle \frac{9}{11}}}{{\displaystyle \frac{24}{7}} · {\displaystyle \frac{17}{3}} · {\displaystyle \frac{1}{11}}}= \frac{{\displaystyle \frac{8 · 17 · 9}{3 · 7 · 11}}}{{\displaystyle \frac{24 · 17 · 1}{7 · 3 · 11}}}= \\ =\frac{8 · 17 · 9}{3 · 7 · 11} : \frac{24 · 17 · 1}{7 · 3 · 11} = \frac{\sout{8} · \cancel{17} · {\displaystyle \stackrel{3}{\bcancel{9}}}}{\cancel{3} · \cancel{7} · \cancel{11}} · \frac{\cancel{7 }· \cancel{3} · \cancel{11}}{{\displaystyle \underset{\sout{8}}{\bcancel{24}}} · \cancel{17} · 1}= \\ =3; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} \frac{11{\displaystyle \frac{1}{4}} : {\displaystyle \frac{9}{32}}}{21{\displaystyle \frac{1}{3}} · 5{\displaystyle \frac{1}{4}} - 10{\displaystyle \frac{2}{13}} · 4{\displaystyle \frac{8}{11}}}=\frac{{\displaystyle \frac{45}{4}} · {\displaystyle \frac{32}{9}}}{{\displaystyle \frac{64}{3}} · {\displaystyle \frac{21}{4}} - {\displaystyle \frac{132}{13}} · {\displaystyle \frac{52}{11}}}= \\ =\frac{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{45}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{4}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{8}{\bcancel{32}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{9}}}}}}{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{18}{\cancel{64}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{3}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{7}{\bcancel{21}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}} - \frac{{\displaystyle \stackrel{12}{\cancel{132}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{13}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\bcancel{52}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{11}}}}}}=\frac{40}{112 - 48}=\frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{40}}}}{{\displaystyle \underset{8}{\cancel{64}}}} = \frac{5}{8}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{30,6 : 14{\displaystyle \frac{4}{7}} + 13,2 : 1{\displaystyle \frac{1}{3}}}{1{\displaystyle \frac{5}{16}} : 1,75}=\frac{30{\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{6}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{10}}}}} : {\displaystyle \frac{102}{7}} + 13{\displaystyle \frac{2}{10}} : {\displaystyle \frac{4}{3}}}{{\displaystyle \frac{21}{16}} : 1{\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{75}}}}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{100}}}}}}= \\ =\frac{30{\displaystyle \frac{3}{5}} · {\displaystyle \frac{7}{102}} + {\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{33}{\cancel{132}}}}{10}} · {\displaystyle \frac{3}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}}}}{{\displaystyle \frac{21}{16} : 1\frac{3}{4}}} = \frac{{\displaystyle \frac{153}{5}} · {\displaystyle \frac{7}{102}} + {\displaystyle \frac{33}{10}} · {\displaystyle \frac{3}{1}}}{{\displaystyle \frac{21}{16} : \frac{7}{4}}}= \\ =\frac{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{153}}}}{5} · \frac{7}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{102}}}} + \frac{99}{10}}}{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{21}}}}{{\displaystyle \underset{4}{\bcancel{16}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{4}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}}}}=\frac{{\displaystyle \frac{3}{5}} · {\displaystyle \frac{7}{2}} + {\displaystyle \frac{99}{10}}}{{\displaystyle \frac{3}{4}} · {\displaystyle \frac{1}{1}}} = \frac{{\displaystyle \frac{21}{10}} + {\displaystyle \frac{99}{10}}}{{\displaystyle \frac{3}{4}}}= \\ = \frac{2,1 + 9,9}{{\displaystyle \frac{3}{4}} }= \frac{12}{{\displaystyle \frac{3}{4}}} = 12 : \frac{3}{4} = \stackrel{4}{\cancel{12}} · \frac{4}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} = 4 · 4 =16. \end{gathered}$$

а) Вычислим значение выражения $ \frac{2,16 \cdot 0,55 \cdot 4,5}{2,7 \cdot 0,15 \cdot 1,2} $.

Для удобства вычислений сгруппируем множители в дроби, которые легко сократить. Это можно сделать, так как в числителе и знаменателе только операции умножения.

$ \frac{2,16 \cdot 0,55 \cdot 4,5}{2,7 \cdot 0,15 \cdot 1,2} = \frac{2,16}{1,2} \cdot \frac{0,55}{0,15} \cdot \frac{4,5}{2,7} $

Теперь вычислим значение каждой дроби по отдельности:

1) $ \frac{2,16}{1,2} = \frac{21,6}{12} = 1,8 $

2) $ \frac{0,55}{0,15} = \frac{55}{15} = \frac{11 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{11}{3} $

3) $ \frac{4,5}{2,7} = \frac{45}{27} = \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 9} = \frac{5}{3} $

Перемножим полученные результаты:

$ 1,8 \cdot \frac{11}{3} \cdot \frac{5}{3} = \frac{18}{10} \cdot \frac{11}{3} \cdot \frac{5}{3} = \frac{18 \cdot 11 \cdot 5}{10 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{18 \cdot 55}{90} = \frac{9 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 11}{9 \cdot 10} = \frac{10 \cdot 11}{10} = 11 $.

Ответ: 11

б) Вычислим значение выражения $ \frac{2\frac{2}{3} \cdot 2\frac{3}{7} \cdot \frac{9}{11}}{3\frac{3}{7} \cdot 5\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{11}} $.

Сначала преобразуем все смешанные числа в неправильные дроби.

Числитель:

$ 2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3} $

$ 2\frac{3}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{17}{7} $

Выражение в числителе: $ \frac{8}{3} \cdot \frac{17}{7} \cdot \frac{9}{11} $

Знаменатель:

$ 3\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{24}{7} $

$ 5\frac{2}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{17}{3} $

Выражение в знаменателе: $ \frac{24}{7} \cdot \frac{17}{3} \cdot \frac{1}{11} $

Теперь разделим числитель на знаменатель. Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь:

$ (\frac{8}{3} \cdot \frac{17}{7} \cdot \frac{9}{11}) : (\frac{24}{7} \cdot \frac{17}{3} \cdot \frac{1}{11}) = (\frac{8}{3} \cdot \frac{17}{7} \cdot \frac{9}{11}) \cdot (\frac{7}{24} \cdot \frac{3}{17} \cdot \frac{11}{1}) $

Сгруппируем множители и проведем сокращение:

$ \frac{8 \cdot 17 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 11}{3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 24 \cdot 17 \cdot 1} = \frac{8 \cdot 9}{24} = \frac{72}{24} = 3 $.

Ответ: 3

в) Вычислим значение выражения $ \frac{11\frac{1}{4} : \frac{9}{32}}{21\frac{1}{3} \cdot 5\frac{1}{4} - 10\frac{2}{13} \cdot 4\frac{8}{11}} $.

Вычислим числитель и знаменатель по отдельности.

1. Числитель: $ 11\frac{1}{4} : \frac{9}{32} $

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь и выполним деление:

$ 11\frac{1}{4} = \frac{11 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{45}{4} $

$ \frac{45}{4} : \frac{9}{32} = \frac{45}{4} \cdot \frac{32}{9} = \frac{45 \cdot 32}{4 \cdot 9} = \frac{5 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 4}{4 \cdot 9} = 5 \cdot 8 = 40 $.

2. Знаменатель: $ 21\frac{1}{3} \cdot 5\frac{1}{4} - 10\frac{2}{13} \cdot 4\frac{8}{11} $

Выполним действия по порядку, начиная с умножения:

$ 21\frac{1}{3} \cdot 5\frac{1}{4} = \frac{64}{3} \cdot \frac{21}{4} = \frac{64 \cdot 21}{3 \cdot 4} = 16 \cdot 7 = 112 $.

$ 10\frac{2}{13} \cdot 4\frac{8}{11} = \frac{132}{13} \cdot \frac{52}{11} = \frac{132 \cdot 52}{13 \cdot 11} = 12 \cdot 4 = 48 $.

Теперь выполним вычитание:

$ 112 - 48 = 64 $.

3. Найдем значение всего выражения, разделив результат числителя на результат знаменателя:

$ \frac{40}{64} $

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 8:

$ \frac{40:8}{64:8} = \frac{5}{8} $.

Ответ: $ \frac{5}{8} $

г) Вычислим значение выражения $ \frac{30,6 : 14\frac{4}{7} + 13,2 : 1\frac{1}{3}}{1\frac{5}{16} : 1,75} $.

Вычислим числитель и знаменатель по отдельности. Для удобства преобразуем все десятичные дроби в обыкновенные.

1. Числитель: $ 30,6 : 14\frac{4}{7} + 13,2 : 1\frac{1}{3} $

Выполним первое деление:

$ 30,6 = 30\frac{6}{10} = 30\frac{3}{5} = \frac{153}{5} $

$ 14\frac{4}{7} = \frac{14 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{102}{7} $

$ \frac{153}{5} : \frac{102}{7} = \frac{153}{5} \cdot \frac{7}{102} = \frac{ (3 \cdot 51) \cdot 7}{5 \cdot (2 \cdot 51)} = \frac{3 \cdot 7}{5 \cdot 2} = \frac{21}{10} = 2,1 $.

Выполним второе деление:

$ 13,2 = 13\frac{2}{10} = 13\frac{1}{5} = \frac{66}{5} $

$ 1\frac{1}{3} = \frac{4}{3} $

$ \frac{66}{5} : \frac{4}{3} = \frac{66}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{66 \cdot 3}{5 \cdot 4} = \frac{33 \cdot 3}{5 \cdot 2} = \frac{99}{10} = 9,9 $.

Сложим полученные результаты:

$ 2,1 + 9,9 = 12 $.

2. Знаменатель: $ 1\frac{5}{16} : 1,75 $

$ 1\frac{5}{16} = \frac{16+5}{16} = \frac{21}{16} $

$ 1,75 = 1\frac{75}{100} = 1\frac{3}{4} = \frac{7}{4} $

$ \frac{21}{16} : \frac{7}{4} = \frac{21}{16} \cdot \frac{4}{7} = \frac{3 \cdot 7 \cdot 4}{4 \cdot 4 \cdot 7} = \frac{3}{4} $.

3. Найдем значение всего выражения, разделив результат числителя на результат знаменателя:

$ \frac{12}{\frac{3}{4}} = 12 : \frac{3}{4} = 12 \cdot \frac{4}{3} = \frac{12 \cdot 4}{3} = 4 \cdot 4 = 16 $.

Ответ: 16

2.540. Практическая работа.

Оборудование: карандаш, линейка, циркуль, транспортир, плотная бумага, ножницы, клей.

а) Задание: склейте модель треугольной призмы (рис. 2.11, а).

Порядок работы.

1) На плотном листе бумаги постройте развёртку треугольной призмы в натуральную величину (рис. 2.13, а), используя задачу 1.136 на с. 34 для построения треугольников.

2) Склейте модель треугольной призмы.

б) Задание: сделайте модель шестиугольной призмы (рис. 2.11, б).

Порядок работы.

1) На плотном листе бумаги постройте развёртку шестиугольной призмы в натуральную величину (рис. 2.13, б), используя задачу 2.140 на с. 63 для построения шестиугольников.

2) Склейте модель шестиугольной призмы.

2.540

(практическая работа)

а) Задание: склейте модель треугольной призмы (рис. 2.11, а).

Согласно порядку работы, для создания модели треугольной призмы необходимо сначала построить её развёртку на плотной бумаге в натуральную величину, как показано на рисунке 2.13, а, а затем вырезать и склеить. Проанализируем геометрические характеристики призмы, модель которой необходимо изготовить.

Из развёртки видно, что в основании призмы лежит треугольник со сторонами $a=4$, $b=5$ и $c=6$. Призма является прямой, так как её боковые грани — прямоугольники. Высота призмы $H=12$.

1. Найдём площадь основания призмы ($S_{осн}$). Для этого воспользуемся формулой Герона. Сначала вычислим полупериметр треугольника $p$:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{4+5+6}{2} = \frac{15}{2} = 7.5$
Теперь вычислим площадь основания:
$S_{осн} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{7.5(7.5-4)(7.5-5)(7.5-6)}$
$S_{осн} = \sqrt{7.5 \cdot 3.5 \cdot 2.5 \cdot 1.5} = \sqrt{\frac{15}{2} \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{1575}{16}} = \frac{\sqrt{225 \cdot 7}}{4} = \frac{15\sqrt{7}}{4}$

2. Найдём площадь боковой поверхности ($S_{бок}$). Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания $P$ на высоту призмы $H$.
$P = a+b+c = 4+5+6 = 15$
$S_{бок} = P \cdot H = 15 \cdot 12 = 180$

3. Найдём площадь полной поверхности ($S_{полн}$). Площадь полной поверхности равна сумме площади боковой поверхности и двух площадей основания.
$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 180 + 2 \cdot \frac{15\sqrt{7}}{4} = 180 + \frac{15\sqrt{7}}{2}$

4. Найдём объём призмы (V). Объём призмы равен произведению площади основания на высоту.
$V = S_{осн} \cdot H = \frac{15\sqrt{7}}{4} \cdot 12 = 15\sqrt{7} \cdot 3 = 45\sqrt{7}$

Ответ: Площадь основания призмы $S_{осн} = \frac{15\sqrt{7}}{4}$ кв. ед., площадь боковой поверхности $S_{бок} = 180$ кв. ед., площадь полной поверхности $S_{полн} = 180 + \frac{15\sqrt{7}}{2}$ кв. ед., объём $V = 45\sqrt{7}$ куб. ед.

б) Задание: сделайте модель шестиугольной призмы (рис. 2.11, б).

Аналогично предыдущему заданию, для создания модели шестиугольной призмы нужно построить её развёртку (рис. 2.13, б) на плотной бумаге, вырезать её по контуру и склеить. Рассмотрим характеристики данной призмы.

Судя по развёртке, призма является прямой и правильной. В её основании лежит правильный шестиугольник со стороной $a=6$. Высота призмы $H=12$.

1. Найдём площадь основания призмы ($S_{осн}$). Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников со стороной $a$. Площадь одного такого треугольника равна $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
$S_{осн} = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$
Подставим значение $a=6$:
$S_{осн} = \frac{3 \cdot 6^2\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 36\sqrt{3}}{2} = 3 \cdot 18\sqrt{3} = 54\sqrt{3}$

2. Найдём площадь боковой поверхности ($S_{бок}$). Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания $P$ на высоту призмы $H$.
Периметр правильного шестиугольника: $P = 6 \cdot a = 6 \cdot 6 = 36$
$S_{бок} = P \cdot H = 36 \cdot 12 = 432$

3. Найдём площадь полной поверхности ($S_{полн}$). Площадь полной поверхности равна сумме площади боковой поверхности и двух площадей основания.
$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 432 + 2 \cdot 54\sqrt{3} = 432 + 108\sqrt{3}$

4. Найдём объём призмы (V). Объём призмы равен произведению площади основания на высоту.
$V = S_{осн} \cdot H = 54\sqrt{3} \cdot 12 = 648\sqrt{3}$

Ответ: Площадь основания призмы $S_{осн} = 54\sqrt{3}$ кв. ед., площадь боковой поверхности $S_{бок} = 432$ кв. ед., площадь полной поверхности $S_{полн} = 432 + 108\sqrt{3}$ кв. ед., объём $V = 648\sqrt{3}$ куб. ед.

6.91. Графики движения грузового автомобиля (график АB) и мотоцикла (график MN) из одного города изображены на рисунке 6.34. Определите по данным графикам:

6.91

а) грузовой автомобиль выехал в 2 ч, мотоцикл выехал в 5 ч

б) в 6 ч 40 мин расстояние от города до мотоцикла было 180 км
в 9 ч расстояние от города до мотоцикла было 300 км

в) в 5 ч 20 мин расстояние от города до грузового автомобиля было 290 км
в 9 ч расстояние от города до грузового автомобиля было 420 км

г) грузовой автомобиль находился в 325 км от города в 5 ч 45 мин
грузовой автомобиль находился в 425 км от города в 9 ч 10 мин

д) мотоцикл находился в 325 км от города в 9 ч 15 мин
мотоцикл находился в 425 км от города в 10 ч 15 мин

е) грузовой автомобиль останавливался с 6 ч до 7 ч 20 мин, стоянка 1 ч 20 мин
мотоцикл останавливался с 8 ч до 9 ч, стоянка 1 ч

ж) мотоцикл догнал грузовой автомобиль в 11 ч на расстоянии 500 км от города

з) грузовой автомобиль двигался с постоянной скоростью с 2 до 6 ч и с 7 ч 20 мин до конца движения

и) скорость грузового автомобиля между 3 ч и 4 ч была
(175 – 75) : 1 = 100 км/ч

скорость грузового автомобиля между 8 ч и 9 ч была
(420 – 380) : 1 = 40 км/ч

к) в 6 ч расстояние между грузовым автомобилем и мотоциклом было
350 – 125 = 225 км
в 10 ч расстояние между грузовым автомобилем и мотоциклом было
460 – 400 = 60 км

л) $500 : (11 – 2) = \frac{500}{9} = 55\frac{5}{9}$ км/ч – средняя скорость грузового автомобиля

$500 : (11 – 5) = \frac{500}{6} = \frac{250}{3} = 83\frac{1}{3}$ – средняя скорость мотоцикла.

а) время выезда грузового автомобиля и мотоцикла из города;

Для определения времени выезда посмотрим на точки, в которых графики начинаются на оси времени (ось x).
График мотоцикла (зеленая линия MN) начинается в точке (0, 0). Это означает, что мотоцикл выехал в момент времени t = 0 часов.
График грузового автомобиля (синяя линия AB) начинается в точке (2, 0). Это означает, что грузовой автомобиль выехал в момент времени t = 2 часа.
Ответ: Мотоцикл выехал в 0 ч, грузовой автомобиль – в 2 ч.

б) расстояние от города до мотоцикла в 6 ч 40 мин; в 9 ч;

Находим на оси времени (ось x) нужные значения и определяем соответствующее расстояние по оси y для графика мотоцикла (зеленая линия).
• В 6 ч 40 мин: Время 6 ч 40 мин равно $6 \frac{40}{60} = 6 \frac{2}{3}$ часа. В промежутке с 6 ч до 8 ч график мотоцикла – горизонтальная линия на уровне 350 км, что означает остановку. Следовательно, в 6 ч 40 мин мотоцикл находился на расстоянии 350 км от города.
• В 9 ч: На графике точка с абсциссой 9 ч находится ровно посередине между 8 ч и 10 ч. В 8 ч мотоцикл был на расстоянии 350 км, а в 10 ч – на расстоянии 500 км. Так как на этом участке движение равномерное (прямая линия), то в 9 ч он будет на расстоянии, равном среднему арифметическому: $(350 + 500) / 2 = 425$ км.
Ответ: В 6 ч 40 мин – 350 км; в 9 ч – 425 км.

в) расстояние от города до грузового автомобиля в 5 ч 20 мин; в 9 ч;

Находим на оси времени (ось x) нужные значения и определяем соответствующее расстояние по оси y для графика грузового автомобиля (синяя линия).
• В 5 ч 20 мин: Время 5 ч 20 мин равно $5 \frac{20}{60} = 5 \frac{1}{3}$ часа. В промежутке с 5 ч до 7 ч график грузовика – горизонтальная линия на уровне 250 км, что означает остановку. Следовательно, в 5 ч 20 мин автомобиль находился на расстоянии 250 км от города.
• В 9 ч: Точка с абсциссой 9 ч находится ровно посередине между 7 ч и 11 ч. В 7 ч автомобиль был на расстоянии 250 км, а в 11 ч – на расстоянии 500 км. Так как движение равномерное, то в 9 ч он будет на расстоянии $(250 + 500) / 2 = 375$ км.
Ответ: В 5 ч 20 мин – 250 км; в 9 ч – 375 км.

г) время, когда грузовой автомобиль находился в 325 км от города; в 425 км от города;

Находим на оси расстояний (ось y) нужные значения и определяем соответствующее время по оси x для графика грузового автомобиля (синяя линия). Оба расстояния приходятся на участок движения с 7 ч до 11 ч.
Скорость на этом участке: $v = (500 - 250) / (11 - 7) = 250 / 4 = 62,5$ км/ч.
• В 325 км: Автомобиль проехал $325 - 250 = 75$ км от начала этого участка. Время на это: $t = 75 / 62,5 = 1,2$ ч. Общее время: $7 + 1,2 = 8,2$ ч, или 8 ч 12 мин.
• В 425 км: Автомобиль проехал $425 - 250 = 175$ км от начала этого участка. Время на это: $t = 175 / 62,5 = 2,8$ ч. Общее время: $7 + 2,8 = 9,8$ ч, или 9 ч 48 мин.
Ответ: В 325 км – в 8,2 ч (8 ч 12 мин); в 425 км – в 9,8 ч (9 ч 48 мин).

д) время, когда мотоцикл находился в 325 км от города; в 425 км от города;

Находим на оси расстояний (ось y) нужные значения и определяем соответствующее время по оси x для графика мотоцикла (зеленая линия).
• В 325 км: Это расстояние достигается на первом участке движения (с 0 до 6 ч). Скорость на этом участке: $v = (350 - 0) / (6 - 0) = 350 / 6 = 175/3$ км/ч. Время: $t = 325 / (175/3) = (325 \cdot 3) / 175 = 975 / 175 = 39/7 \approx 5,57$ ч, или примерно 5 ч 34 мин.
• В 425 км: Это расстояние достигается на втором участке движения (с 8 до 10 ч). Как мы выяснили в пункте б), расстояние в 425 км было достигнуто в 9 ч.
Ответ: В 325 км – в $39/7$ ч (примерно в 5 ч 34 мин); в 425 км – в 9 ч.

е) останавливались ли грузовой автомобиль и мотоцикл; сколько времени длились остановки;

Остановка на графике изображается горизонтальным участком линии.
• Мотоцикл (зеленая линия) имеет горизонтальный участок с 6 ч до 8 ч. Длительность остановки: $8 - 6 = 2$ часа.
• Грузовой автомобиль (синяя линия) имеет горизонтальный участок с 5 ч до 7 ч. Длительность остановки: $7 - 5 = 2$ часа.
Ответ: Да, оба останавливались. Длительность каждой остановки – 2 часа.

ж) на каком расстоянии от города и в какое время мотоцикл догнал грузовой автомобиль;

Событие "догнал" означает, что объекты оказались в одной точке в одно и то же время, что на графике соответствует точке пересечения их линий.
Мотоцикл выехал в 0 ч, а грузовик в 2 ч. К моменту выезда грузовика мотоцикл уже проехал некоторое расстояние. На всем протяжении пути, судя по графикам, мотоцикл находится впереди грузового автомобиля (зеленая линия всегда выше синей после t=2 ч). Математический анализ уравнений движения на каждом участке также показывает, что пересечения графиков не происходит. Таким образом, мотоцикл не мог догнать грузовой автомобиль, так как он все время был впереди.
Ответ: Мотоцикл не догонял грузовой автомобиль, так как на всем пути находился впереди него.

з) в какое время грузовой автомобиль двигался с постоянной скоростью;

Движение с постоянной скоростью на графике изображается прямыми наклонными линиями.
Для грузового автомобиля это два временных промежутка: с 2 ч до 5 ч и с 7 ч до 11 ч.
Ответ: С 2 ч до 5 ч и с 7 ч до 11 ч.

и) скорость грузового автомобиля между 3 ч и 4 ч; между 8 ч и 9 ч;

• Между 3 ч и 4 ч: Этот интервал находится на первом участке движения (с 2 ч до 5 ч). Скорость здесь постоянна и равна: $v = (250 - 0) / (5 - 2) = 250 / 3 = 83 \frac{1}{3}$ км/ч.
• Между 8 ч и 9 ч: Этот интервал находится на втором участке движения (с 7 ч до 11 ч). Скорость здесь постоянна и равна: $v = (500 - 250) / (11 - 7) = 250 / 4 = 62,5$ км/ч.
Ответ: Между 3 ч и 4 ч – $83 \frac{1}{3}$ км/ч; между 8 ч и 9 ч – 62,5 км/ч.

к) расстояние между грузовым автомобилем и мотоциклом в 6 ч; в 10 ч;

Расстояние между ними равно разности их расстояний от города в указанное время.
• В 6 ч: Расстояние мотоцикла $s_{м} = 350$ км. Расстояние грузовика $s_{г} = 250$ км (остановка). Разница: $350 - 250 = 100$ км.
• В 10 ч: Расстояние мотоцикла $s_{м} = 500$ км. Расстояние грузовика $s_{г}$ находим на участке с 7 ч до 11 ч со скоростью 62,5 км/ч: $s_{г} = 250 + 62,5 \cdot (10 - 7) = 250 + 62,5 \cdot 3 = 250 + 187,5 = 437,5$ км. Разница: $500 - 437,5 = 62,5$ км.
Ответ: В 6 ч – 100 км; в 10 ч – 62,5 км.

л) среднюю скорость грузового автомобиля и среднюю скорость мотоцикла до времени их встречи.

Как установлено в пункте (ж), встреча (обгон) не произошла. Следовательно, рассчитать среднюю скорость до момента встречи невозможно. Однако, можно рассчитать среднюю скорость за весь путь, показанный на графике, которая вычисляется как отношение всего пройденного пути ко всему затраченному времени (включая остановки).
• Средняя скорость грузового автомобиля: Весь путь 500 км. Время в пути: с 2 ч до 11 ч, т.е. $11 - 2 = 9$ часов. $v_{ср.г} = 500 / 9 = 55 \frac{5}{9}$ км/ч.
• Средняя скорость мотоцикла: Весь путь 500 км. Время в пути: с 0 ч до 10 ч, т.е. $10 - 0 = 10$ часов. $v_{ср.м} = 500 / 10 = 50$ км/ч.
Ответ: Рассчитать среднюю скорость до времени встречи невозможно, так как встреча не произошла. Средняя скорость за весь показанный путь составляет $55 \frac{5}{9}$ км/ч для грузовика и 50 км/ч для мотоцикла.

6.92. На остров Протекши в 1937 г. завезли 8 фазанов. В таблице показано, как изменялась их численность по годам.

Постройте график изменения численности фазанов. Масштаб горизонтальной оси – 1 год в 1 см, вертикальной – 100 птиц в 1 см.

По графику определите:
а) на сколько выросла численность фазанов за 1942 г.;
б) в каком году численность фазанов росла быстрее;
в) в каком году численность фазанов росла медленнее.

6.92

а) 1194 – 641 = 553 ф. – выросла численность за 1942 г.

б) с 1941 по 1942 гг.

в) с 1937 по 1938 гг.

Сначала построим график изменения численности фазанов по данным из таблицы. Для этого нарисуем систему координат.

По горизонтальной оси (оси абсцисс) отложим годы. По вертикальной оси (оси ординат) — число фазанов.

Заданный масштаб:

• по горизонтальной оси: 1 год — 1 см;
• по вертикальной оси: 100 птиц — 1 см.

Отметим на осях точки согласно таблице:

• (1937; 8)
• (1938; 30)
• (1939; 81)
• (1940; 282)
• (1941; 641)
• (1942; 1194)

Соединив эти точки последовательно отрезками, получим ломаную линию, которая является графиком изменения численности фазанов.

Теперь, используя данные таблицы и график, ответим на вопросы.

а) на сколько выросла численность фазанов за 1942 г.;

Чтобы определить, на сколько выросла численность фазанов за 1942 год, нужно найти разницу между количеством фазанов в конце 1942 года и в конце 1941 года. Это можно сделать, взяв данные из таблицы. На графике это соответствует увеличению по вертикали от точки, отвечающей 1941 году, до точки, отвечающей 1942 году.

Численность на конец 1942 г.: 1194 особи.

Численность на конец 1941 г.: 641 особь.

Прирост за 1942 г.: $1194 - 641 = 553$ фазана.

Ответ: на 553 фазана.

б) в каком году численность фазанов росла быстрее;

Чтобы определить, в каком году численность росла быстрее всего, нужно рассчитать ежегодный прирост для каждого года и найти наибольшее значение. На графике самый быстрый рост соответствует самому крутому (с наибольшим наклоном вверх) участку ломаной линии.

Рассчитаем прирост для каждого периода:

• Прирост за 1938 г. (с конца 1937 по конец 1938): $30 - 8 = 22$
• Прирост за 1939 г. (с конца 1938 по конец 1939): $81 - 30 = 51$
• Прирост за 1940 г. (с конца 1939 по конец 1940): $282 - 81 = 201$
• Прирост за 1941 г. (с конца 1940 по конец 1941): $641 - 282 = 359$
• Прирост за 1942 г. (с конца 1941 по конец 1942): $1194 - 641 = 553$

Сравнивая полученные значения, видим, что самый большой прирост (553 особи) был в течение 1942 года. На графике отрезок между точками 1941 и 1942 годов является самым крутым.

Ответ: в 1942 году.

в) в каком году численность фазанов росла медленнее.

Чтобы определить, в каком году численность росла медленнее всего, нужно найти наименьший ежегодный прирост из рассчитанных выше. На графике самый медленный рост соответствует самому пологому (с наименьшим наклоном) участку ломаной линии.

Из расчетов в предыдущем пункте (22, 51, 201, 359, 553) видно, что наименьший прирост (22 особи) был в течение 1938 года. На графике отрезок между 1937 и 1938 годами является самым пологим.

Ответ: в 1938 году.