Страница 108, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.483. Город Тула знаменит своими самоварами, которые в XIX в. изготавливали из разных материалов: зелёной меди (латуни), красной меди, томпака и мельхиора. Мельхиор содержал 60 % меди, 25 % цинка, а остальную часть сплава составлял никель. Какую массу имел мельхиоровый самовар, если масса никеля в нём составляла 1,8 кг?

2.483

Медь – ? кг, 60%

Цинк – ? кг, 25%

Никель – 1,8 кг.

Масса самовара - ? кг.

1) 60% + 25% = 85% - составляли медь и цинк;

2) 100% - 85% = 15% - составлял никель;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 1,8 : \frac{15}{100} = 1,8 : 0,15 = 180 : 15 = 12$ (кг) – масса самовара.

Ответ: 12 кг.

Для решения задачи сначала определим, какую долю от общей массы сплава составляет никель. Вся масса сплава принимается за 100%. Известно, что в мельхиоре содержится 60% меди и 25% цинка. Чтобы найти процентное содержание никеля, нужно из 100% вычесть сумму процентного содержания меди и цинка.

1. Найдем процентное содержание никеля в сплаве:

$100\% - (60\% + 25\%) = 100\% - 85\% = 15\%$

Таким образом, никель составляет 15% от общей массы мельхиорового самовара.

2. Теперь, зная, что масса никеля в самоваре составляет 1,8 кг, и это соответствует 15% от общей массы, мы можем найти общую массу самовара. Обозначим общую массу самовара за $x$. Тогда 15% от $x$ равно 1,8 кг.

Можно составить пропорцию:

1,8 кг — 15%

$x$ кг — 100%

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{1,8 \times 100}{15}$

Выполним вычисления:

$x = \frac{180}{15} = 12$ кг.

Итак, общая масса мельхиорового самовара составляет 12 кг.

Ответ: масса мельхиорового самовара имела 12 кг.

2.484. Три бригады посадили саженцы ели для нового леса. Первая бригада посадила 35 % всех саженцев, вторая — 60 % оставшихся саженцев, а третья — остальные 520 саженцев. Сколько всего саженцев посадили?

2.484

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }100\% - 35\% = 65\%$ - посадили вторая и третья бригады;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 65\% · 0,6 = 39\%$- посадила вторая бригада;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 65\% - 39\% = 26\%$ - посадила третья бригада;

$\mathbf{4}\mathbf{)} 520 : \frac{26}{100} = 520 : 0,26 =$

$= 52000 : 26 = 2000$ (саженцев) – посадили всего.

Ответ: 2000 саженцев.

Пусть $x$ — это общее количество саженцев, которое посадили три бригады.

Первая бригада посадила $35\%$ всех саженцев. В виде десятичной дроби это составляет $0.35x$.

После того как первая бригада выполнила свою работу, осталось посадить $100\% - 35\% = 65\%$ от общего числа саженцев. Это равно $x - 0.35x = 0.65x$.

Вторая бригада посадила $60\%$ от этого остатка. Чтобы найти, какую долю от общего количества $x$ это составляет, умножим долю остатка на долю работы второй бригады:
$0.65x \times 0.60 = 0.39x$.

Третья бригада посадила все саженцы, которые остались после первых двух бригад. Найдем эту долю. Из остатка после первой бригады ($0.65x$) вычтем ту часть, что посадила вторая ($0.39x$):
$0.65x - 0.39x = 0.26x$.

Из условия задачи мы знаем, что третья бригада посадила 520 саженцев. Теперь мы можем составить уравнение, приравняв долю третьей бригады к известному количеству саженцев:
$0.26x = 520$.

Решим уравнение, чтобы найти общее количество саженцев $x$:
$x = \frac{520}{0.26}$
$x = \frac{52000}{26}$
$x = 2000$.

Таким образом, всего три бригады посадили 2000 саженцев.

Ответ: 2000 саженцев.

2.485. Три бригады ремонтировали дорогу. Первая бригада отремонтировала 0,4 дороги, вторая — 0,6 оставшегося участка 11,52 км. Найдите длину дороги.

2.485

1) 1 – 0,4 = 0,6 дороги – остаток после 1 бригады;

2) 0,6 • 0,6 = 0,36 дороги – отремонтировала 2 бригада;

3) 1 – (0,4 + 0,36) = 1 – 0,76 = 0,24 дороги – отремонтировала 3 бригада;

4) 11,52 : 0,24 = 1152 : 24 = 48 (км) – длина дороги.

Ответ: 48 км.

Для решения задачи обозначим общую длину дороги переменной $x$ (в километрах).

1. Первая бригада отремонтировала 0,4 от всей длины дороги. Это составляет:
$0,4x$ км.

2. После того как первая бригада закончила свою работу, остался не отремонтированным следующий участок:
$x - 0,4x = 0,6x$ км.

3. Вторая бригада отремонтировала 0,6 от этого оставшегося участка. Длина участка, отремонтированного второй бригадой, равна:
$0,6 \times (0,6x) = 0,36x$ км.

4. Третья бригада отремонтировала остальную часть дороги. Чтобы найти ее долю, вычтем из остатка после первой бригады ту часть, что сделала вторая бригада:
$0,6x - 0,36x = 0,24x$.

5. Из условия задачи известно, что третья бригада отремонтировала 11,52 км. Мы можем приравнять это значение к выражению, полученному в предыдущем шаге, и составить уравнение:
$0,24x = 11,52$

6. Теперь решим уравнение относительно $x$, чтобы найти общую длину дороги:
$x = \frac{11,52}{0,24}$
Для упрощения деления можно умножить числитель и знаменатель на 100:
$x = \frac{1152}{24}$
$x = 48$

Таким образом, общая длина всей дороги составляет 48 км.

Проверка:
- Работа первой бригады: $48 \text{ км} \times 0,4 = 19,2 \text{ км}$.
- Остаток дороги: $48 \text{ км} - 19,2 \text{ км} = 28,8 \text{ км}$.
- Работа второй бригады: $28,8 \text{ км} \times 0,6 = 17,28 \text{ км}$.
- Работа третьей бригады (остаток): $28,8 \text{ км} - 17,28 \text{ км} = 11,52 \text{ км}$.
Полученное значение совпадает с данными в условии задачи, значит, решение верное.

Ответ: 48 км.

2.486. Бригада железнодорожников в первый день отремонтировала 29 всего участка железнодорожного пути, во второй день — 47 оставшегося участка пути, а в третий — остальные 6 км. Сколько километров железнодорожного пути отремонтировала бригада за три дня?

2.486

$\mathbf{1}\mathbf{)} 1 - \frac{2}{9} = \frac{9}{9} - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$ (части)-остаток после 1 дня;

$\mathbf{2}\mathbf{)} \frac{\cancel{7}}{9} · \frac{4}{\cancel{7}} = \frac{4}{9}$ (части)-за второй день; 

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{7}{9} - \frac{4}{9} =\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{3}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{9}}}} = \frac{1}{3}$(часть)-за третий день;

$\mathbf{4}\mathbf{)} 6 : \frac{1}{3} = 6 · 3 =18$ (км)-за три дня.

Ответ: 18 км.

Для решения этой задачи будем рассуждать поэтапно, двигаясь от конца к началу.

1. Определим длину участка, оставшегося после первого дня.

Во второй день бригада отремонтировала $\frac{4}{7}$ оставшегося после первого дня участка пути. Это значит, что на третий день осталась неоконченная часть этого остатка. Примем весь остаток за единицу (1). Тогда на третий день осталось:

$1 - \frac{4}{7} = \frac{7}{7} - \frac{4}{7} = \frac{3}{7}$

Из условия мы знаем, что эта часть, равная $\frac{3}{7}$ от остатка, составляет 6 км. Чтобы найти всю длину остатка после первого дня (целое по его части), нужно число разделить на дробь:

$6 \div \frac{3}{7} = 6 \times \frac{7}{3} = \frac{42}{3} = 14$ км.

Таким образом, после первого дня работы оставалось отремонтировать 14 км пути.

2. Определим общую длину всего железнодорожного пути.

В первый день бригада отремонтировала $\frac{2}{9}$ всего участка. Следовательно, оставшиеся 14 км составляют часть всего пути, равную:

$1 - \frac{2}{9} = \frac{9}{9} - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$

Итак, $\frac{7}{9}$ всего пути — это 14 км. Чтобы найти общую длину всего пути (целое по его части), снова разделим число на дробь:

$14 \div \frac{7}{9} = 14 \times \frac{9}{7} = \frac{126}{7} = 18$ км.

Общая длина железнодорожного пути, которую бригада отремонтировала за три дня, и есть вся длина участка.

Проверка:

• День 1: $\frac{2}{9} \times 18 = 4$ км. Остаток: $18 - 4 = 14$ км.
• День 2: $\frac{4}{7} \times 14 = 8$ км. Остаток: $14 - 8 = 6$ км.
• День 3: 6 км.
• Всего: $4 + 8 + 6 = 18$ км.

Ответ: 18 км.

2.487. Если на калькуляторе есть клавиша % , то, например, найти число, 3,9 % которого составляет 12,48, можно по следующему алгоритму: 12,48 ÷ 3,9 % . Найдите по этому алгоритму число:

а) 37,8 % которого равны 5,2542; б) 4,36 % которого равны 7,3684.

Если такой клавиши нет, то переведите проценты в десятичные дроби и вычислите.

2.487

а) 37,8% = 0,378

5,2542 : 0,378 = 5254,2 : 378 = 13,9;

б) 4,36% = 0,0436

7,3684 : 0,0436 = 73684 : 436 = 169.

а)

Чтобы найти число, 37,8% которого равны 5,2542, нужно найти целое число (100%) по его известной части. Для этого значение части (5,2542) необходимо разделить на долю, которую эта часть составляет от целого (37,8%). Следуя указанному в задаче алгоритму, мы переведем проценты в десятичную дробь и выполним деление.

1. Переведем проценты в десятичную дробь. Для этого разделим число процентов на 100:

$37,8\% = \frac{37,8}{100} = 0,378$

2. Теперь разделим данное число на полученную десятичную дробь, чтобы найти исходное число:

$5,2542 \div 0,378 = 13,9$

Проверка: $13,9 \times 0,378 = 5,2542$.

Ответ: 13,9.

б)

Аналогично решим вторую часть задачи. Нам нужно найти число, 4,36% которого равны 7,3684.

1. Переведем проценты в десятичную дробь:

$4,36\% = \frac{4,36}{100} = 0,0436$

2. Разделим известную часть на ее долю в десятичном выражении:

$7,3684 \div 0,0436 = 169$

Проверка: $169 \times 0,0436 = 7,3684$.

Ответ: 169.

2.488. Вычислите.

2.488

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 6 – 1,2 = 4,8; \\ 4,8 : 8 = 0,6 ; \\ 0,6 · 10 = 6; \\ 6 : 5 = 1,2. \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }1 – 0,79 = 0,21; \\ 0,21 : 0,3 = 2,1 : 3 = 0,7; \\ 0,7 + 5,3 = 6; \\ 6 : 1,5 = 60 : 15 = 4. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} 9 – 4,5 = 4,5; \\ 4,5 : 1,5 = 45 : 15 = 3; \\ 3 · 1,7 = 5,1; \\ 5,1 + 4,9 = 10. \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }10 : 2,5 = 100 : 25 = 4; \\ 4 · 1,5 = 6; \\ 6 : 12 = 0,5; \\ 0,5 · 18 = 9. \end{gathered}$$

а) Решим пример по действиям:

1) Первым действием выполним вычитание: $6 - 1,2 = 4,8$.

2) Далее выполним деление: $4,8 : 8 = 0,6$.

3) Теперь умножим результат на 10: $0,6 \cdot 10 = 6$.

4) Последним действием разделим полученное число на 5: $6 : 5 = 1,2$.

Ответ: 1,2

б) Решим пример по действиям:

1) Выполним вычитание: $1 - 0,79 = 0,21$.

2) Выполним деление: $0,21 : 0,3 = 0,7$.

3) Выполним сложение: $0,7 + 5,3 = 6$.

4) Выполним деление: $6 : 1,5 = 4$.

Ответ: 4

в) Решим пример по действиям:

1) Выполним вычитание: $9 - 4,5 = 4,5$.

2) Выполним деление: $4,5 : 1,5 = 3$.

3) Выполним умножение: $3 \cdot 1,7 = 5,1$.

4) Выполним сложение: $5,1 + 4,9 = 10$.

Ответ: 10

г) Решим пример по действиям:

1) Выполним деление: $10 : 2,5 = 4$.

2) Выполним умножение: $4 \cdot 1,5 = 6$.

3) Выполним деление: $6 : 12 = 0,5$.

4) Выполним умножение: $0,5 \cdot 18 = 9$.

Ответ: 9

2.489. Найдите частное от деления числа в квадратике на число в кружочках.

2.489

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{5}{9} : \frac{5}{7} = \frac{\cancel{5}}{9} · \frac{7}{\cancel{5}} = \frac{7}{9}; \\ \frac{5}{9} : \frac{1}{5} = \frac{5}{9} · \frac{5}{1} = \frac{25}{9} = 2\frac{7}{9}; \\ \frac{5}{9} : 1 = \frac{5}{9} · 1 = \frac{5}{9}; \\ \frac{5}{9} : 9 = \frac{5}{9} · \frac{1}{9} = \frac{5}{81;} \\ \frac{5}{9} : \frac{7}{5} = \frac{5}{9} · \frac{5}{7} = \frac{25}{63}; \\ \frac{5}{9} : \frac{1}{2} = \frac{5}{9} · \frac{2}{1} = \frac{10}{9} = 1\frac{1}{9}; \\ \frac{5}{9} : 5 = \frac{\cancel{5}}{9} · \frac{1}{\cancel{5}} = \frac{1}{9}; \\ \frac{5}{9} : 0,5 = \frac{5}{9} : \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{10}}}}=\frac{5}{9} : \frac{1}{2} = \\ =\frac{5}{9} · \frac{2}{1} =\frac{10}{9} = 1\frac{1}{9}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }4 : \frac{4}{9} = \cancel{4} · \frac{9}{\cancel{4}} = 9; \\ 4 : 12 = 4 · \frac{1}{12} = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{4}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{12}}}} = \frac{1}{3}; \\ 4 : 1 = 4; \\ 4 : 0,4 = 40 : 4 = 10; \\ 4 : \frac{8}{13} =\stackrel{1}{ 4} · \frac{13}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{8}}}} = \frac{13}{2} = 6\frac{1}{2}; \\ 4 : 9 = \frac{4}{9}; \\ 4 : \frac{1}{4} = 4 · \frac{4}{1} = 16; \\ 4 : \frac{1}{3} = 4 · \frac{3}{1}=12. \end{gathered}$$

а)

Для решения этой задачи необходимо разделить число в квадрате, $\frac{5}{9}$, на каждое из чисел, расположенных в кружочках. Деление на число — это умножение на обратное ему число.

Выполним деление поочередно для каждого числа в кружочке, двигаясь по часовой стрелке:

• $\frac{5}{9} \div \frac{1}{5} = \frac{5}{9} \times \frac{5}{1} = \frac{25}{9} = 2\frac{7}{9}$
• $\frac{5}{9} \div 1 = \frac{5}{9}$
• $\frac{5}{9} \div 9 = \frac{5}{9} \times \frac{1}{9} = \frac{5}{81}$
• $\frac{5}{9} \div \frac{7}{5} = \frac{5}{9} \times \frac{5}{7} = \frac{25}{63}$
• $\frac{5}{9} \div \frac{1}{2} = \frac{5}{9} \times 2 = \frac{10}{9} = 1\frac{1}{9}$
• $\frac{5}{9} \div 5 = \frac{5}{9} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{9}$
• $\frac{5}{9} \div 0,5 = \frac{5}{9} \div \frac{1}{2} = \frac{5}{9} \times 2 = \frac{10}{9} = 1\frac{1}{9}$
• $\frac{5}{9} \div \frac{5}{7} = \frac{5}{9} \times \frac{7}{5} = \frac{7}{9}$

Ответ: частные равны $2\frac{7}{9}$; $\frac{5}{9}$; $\frac{5}{81}$; $\frac{25}{63}$; $1\frac{1}{9}$; $\frac{1}{9}$; $1\frac{1}{9}$; $\frac{7}{9}$.

б)

Аналогично, разделим число в квадрате, $4$, на каждое из чисел в кружочках.

Выполним деление поочередно для каждого числа в кружочке, двигаясь по часовой стрелке:

• $4 \div 12 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$
• $4 \div 1 = 4$
• $4 \div 0,4 = 4 \div \frac{4}{10} = 4 \times \frac{10}{4} = 10$
• $4 \div \frac{8}{13} = 4 \times \frac{13}{8} = \frac{52}{8} = \frac{13}{2} = 6\frac{1}{2}$
• $4 \div 9 = \frac{4}{9}$
• $4 \div \frac{1}{4} = 4 \times 4 = 16$
• $4 \div \frac{1}{3} = 4 \times 3 = 12$
• $4 \div \frac{4}{9} = 4 \times \frac{9}{4} = 9$

Ответ: частные равны $\frac{1}{3}$; $4$; $10$; $6\frac{1}{2}$; $\frac{4}{9}$; $16$; $12$; $9$.

2.490. Во сколько раз обратное число больше числа:

17; 34; 19; 0,4?

2.490

$\frac{1}{7} \mathrm{и} 7; 7 : \frac{1}{7} = 7 · 7 =49 \mathrm{раз};$

$\frac{3}{4} \mathrm{и} \frac{4}{3}; \frac{4}{3} : \frac{3}{4} = \frac{4}{3} · \frac{4}{3} =\frac{16}{9}=1\frac{7}{9} \mathrm{раз};$

$\frac{1}{9} \mathrm{и} 9; 9 : \frac{1}{9} = 9 · 9 =81 \mathrm{раз};$

$$\begin{gathered} 0,4 = \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{4}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{10}}}}=\frac{2}{5} \mathrm{и} \frac{5}{2}; \\ \frac{5}{2} : \frac{2}{5} = \frac{5}{2} · \frac{5}{2} =\frac{25}{4} = 6\frac{1}{4} \mathrm{раз}. \end{gathered}$$

Чтобы найти, во сколько раз обратное число больше данного числа, нужно разделить обратное число на данное число. Пусть данное число это $a$. Тогда обратное ему число — это $\frac{1}{a}$. Нам нужно найти значение выражения $\frac{1}{a} : a = \frac{1}{a^2}$.

$\frac{1}{7}$

Число, обратное к $\frac{1}{7}$, это $\frac{1}{1/7} = 7$. Чтобы найти, во сколько раз $7$ больше, чем $\frac{1}{7}$, разделим большее число на меньшее:

$7 : \frac{1}{7} = 7 \cdot \frac{7}{1} = 49$.

Ответ: в 49 раз.

$\frac{3}{4}$

Число, обратное к $\frac{3}{4}$, это $\frac{4}{3}$. Теперь найдем, во сколько раз $\frac{4}{3}$ больше, чем $\frac{3}{4}$:

$\frac{4}{3} : \frac{3}{4} = \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{3} = \frac{16}{9} = 1\frac{7}{9}$.

Ответ: в $1\frac{7}{9}$ раза.

$\frac{1}{9}$

Число, обратное к $\frac{1}{9}$, это $\frac{1}{1/9} = 9$. Найдем отношение обратного числа к исходному:

$9 : \frac{1}{9} = 9 \cdot \frac{9}{1} = 81$.

Ответ: в 81 раз.

$0,4$

Сначала представим десятичную дробь $0,4$ в виде обыкновенной дроби: $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$. Число, обратное к $\frac{2}{5}$, это $\frac{5}{2}$. Найдем, во сколько раз обратное число больше исходного:

$\frac{5}{2} : \frac{2}{5} = \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} = \frac{25}{4} = 6\frac{1}{4} = 6,25$.

Ответ: в 6,25 раза.

2.491. Запишите число, которое больше своего обратного числа в: 3 раза; 11 раз.

2.491

а) Пусть $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$ -число, тогда $\frac{b}{a}$-обратное ему.

Тогда $\frac{a}{b} : \frac{b}{a} = {\left(\frac{a}{b}\right)}^2 = 3.$

Но нет такого числа, квадрат которого равен 3.

б) Пусть $\frac{a}{b}$-число, тогда $\frac{b}{a}$ -обратное ему.

Тогда $\frac{a}{b} : \frac{b}{a} = {\left(\frac{a}{b}\right)}^2 = 11.$

Но нет такого числа, квадрат которого равен 11.

3 раза

Пусть искомое число — это $x$. Число, обратное ему, равно $\frac{1}{x}$.
По условию задачи, число $x$ в 3 раза больше своего обратного числа. Это можно записать в виде уравнения:
$x = 3 \cdot \frac{1}{x}$
Умножим обе части уравнения на $x$ (при условии, что $x \neq 0$):
$x \cdot x = \frac{3}{x} \cdot x$
$x^2 = 3$
Из этого уравнения следует, что существует два возможных решения: $x = \sqrt{3}$ и $x = -\sqrt{3}$.
Теперь необходимо проверить, какое из этих чисел удовлетворяет условию "больше своего обратного числа".
1. Для $x = \sqrt{3}$, обратное число равно $\frac{1}{\sqrt{3}}$. Так как $\sqrt{3} > 1$, то верно неравенство $\sqrt{3} > \frac{1}{\sqrt{3}}$. Следовательно, $x = \sqrt{3}$ является решением.
2. Для $x = -\sqrt{3}$, обратное число равно $-\frac{1}{\sqrt{3}}$. Сравним эти два отрицательных числа. Так как $\sqrt{3} > \frac{1}{\sqrt{3}}$, то при умножении на -1 знак неравенства меняется: $-\sqrt{3} < -\frac{1}{\sqrt{3}}$. Следовательно, $x = -\sqrt{3}$ не является решением.
Таким образом, искомое число равно $\sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

11 раз

Решаем аналогично первому случаю. Пусть искомое число — это $x$. Его обратное — $\frac{1}{x}$.
Составим уравнение согласно условию, что число в 11 раз больше своего обратного:
$x = 11 \cdot \frac{1}{x}$
Умножим обе части на $x$ (где $x \neq 0$):
$x^2 = 11$
Возможные решения: $x = \sqrt{11}$ и $x = -\sqrt{11}$.
Проверим, какое из чисел больше своего обратного.
1. Для $x = \sqrt{11}$, обратное число равно $\frac{1}{\sqrt{11}}$. Так как $\sqrt{11} > 1$, то $\sqrt{11} > \frac{1}{\sqrt{11}}$. Это решение подходит.
2. Для $x = -\sqrt{11}$, обратное число равно $-\frac{1}{\sqrt{11}}$. Так как $\sqrt{11} > \frac{1}{\sqrt{11}}$, то $-\sqrt{11} < -\frac{1}{\sqrt{11}}$. Это решение не подходит.
Следовательно, искомое число равно $\sqrt{11}$.
Ответ: $\sqrt{11}$.

6.61. Отметьте на координатной плоскости точки А(–1; 6), В(7; –5), С(–3; –3), Л(4; 0). Постройте точки, симметричные данным относительно:

а) начала координат; б) оси абсцисс; в) оси ординат.

6.61

а) относительно начала координат

б) относительно оси абсцисс

в) относительно оси ординат

В задаче даны четыре точки на координатной плоскости: $A(-1; 6)$, $B(7; -5)$, $C(-3; -3)$, $D(4; 0)$. Необходимо построить точки, симметричные данным относительно начала координат, оси абсцисс и оси ординат. Построение точек в данном решении заменяется нахождением их координат.

а) начала координат
Симметрия относительно начала координат $O(0; 0)$ для точки с координатами $(x; y)$ дает новую точку с координатами $(-x; -y)$. То есть, знаки обеих координат меняются на противоположные.
- Для точки $A(-1; 6)$ симметричной будет точка $A_1(-(-1); -6)$, то есть $A_1(1; -6)$.
- Для точки $B(7; -5)$ симметричной будет точка $B_1(-7; -(-5))$, то есть $B_1(-7; 5)$.
- Для точки $C(-3; -3)$ симметричной будет точка $C_1(-(-3); -(-3))$, то есть $C_1(3; 3)$.
- Для точки $D(4; 0)$ симметричной будет точка $D_1(-4; -0)$, то есть $D_1(-4; 0)$.
Ответ: $A_1(1; -6)$, $B_1(-7; 5)$, $C_1(3; 3)$, $D_1(-4; 0)$.

б) оси абсцисс
Симметрия относительно оси абсцисс (оси $Ox$) для точки с координатами $(x; y)$ дает новую точку с координатами $(x; -y)$. То есть, знак координаты $y$ (ординаты) меняется на противоположный, а координата $x$ (абсцисса) остается без изменений.
- Для точки $A(-1; 6)$ симметричной будет точка $A_2(-1; -6)$.
- Для точки $B(7; -5)$ симметричной будет точка $B_2(7; -(-5))$, то есть $B_2(7; 5)$.
- Для точки $C(-3; -3)$ симметричной будет точка $C_2(-3; -(-3))$, то есть $C_2(-3; 3)$.
- Для точки $D(4; 0)$ симметричной будет точка $D_2(4; -0)$, то есть $D_2(4; 0)$ (точка лежит на оси симметрии и отображается сама на себя).
Ответ: $A_2(-1; -6)$, $B_2(7; 5)$, $C_2(-3; 3)$, $D_2(4; 0)$.

в) оси ординат
Симметрия относительно оси ординат (оси $Oy$) для точки с координатами $(x; y)$ дает новую точку с координатами $(-x; y)$. То есть, знак координаты $x$ (абсциссы) меняется на противоположный, а координата $y$ (ордината) остается без изменений.
- Для точки $A(-1; 6)$ симметричной будет точка $A_3(-(-1); 6)$, то есть $A_3(1; 6)$.
- Для точки $B(7; -5)$ симметричной будет точка $B_3(-7; -5)$.
- Для точки $C(-3; -3)$ симметричной будет точка $C_3(-(-3); -3)$, то есть $C_3(3; -3)$.
- Для точки $D(4; 0)$ симметричной будет точка $D_3(-4; 0)$.
Ответ: $A_3(1; 6)$, $B_3(-7; -5)$, $C_3(3; -3)$, $D_3(-4; 0)$.

6.62. Постройте на координатной плоскости отрезок PQ, если Р(0; 5), Q(–5; 0). Постройте отрезок, симметричный отрезку PQ относительно:
а) начала координат;
б) оси ординат;
в) оси абсцисс.

6.62

а) относительно начала координат

б) относительно оси абсцисс

в) относительно оси ординат

Для решения задачи сначала определим координаты исходных точек: $P(0; 5)$ и $Q(-5; 0)$. Чтобы построить отрезок, симметричный данному, нужно найти координаты его концов, которые симметричны концам исходного отрезка, и соединить их.

а) начала координат:
Симметрия относительно начала координат $(0; 0)$ преобразует любую точку с координатами $(x; y)$ в точку с координатами $(-x; -y)$. Найдем координаты новых точек $P_1$ и $Q_1$.
Для точки $P(0; 5)$ симметричной будет точка $P_1(-0; -5)$, то есть $P_1(0; -5)$.
Для точки $Q(-5; 0)$ симметричной будет точка $Q_1(-(-5); -0)$, то есть $Q_1(5; 0)$.
Искомый отрезок, симметричный отрезку $PQ$ относительно начала координат, — это отрезок с концами в точках $P_1(0; -5)$ и $Q_1(5; 0)$.
Ответ: Отрезок с концами в точках $(0; -5)$ и $(5; 0)$.

б) оси ординат:
Симметрия относительно оси ординат (оси $Oy$) преобразует любую точку с координатами $(x; y)$ в точку с координатами $(-x; y)$. Найдем координаты новых точек $P_2$ и $Q_2$.
Точка $P(0; 5)$ лежит на оси ординат, поэтому при симметрии относительно этой оси она отображается на саму себя: $P_2(-0; 5)$, то есть $P_2(0; 5)$.
Для точки $Q(-5; 0)$ симметричной будет точка $Q_2(-(-5); 0)$, то есть $Q_2(5; 0)$.
Искомый отрезок, симметричный отрезку $PQ$ относительно оси ординат, — это отрезок с концами в точках $P_2(0; 5)$ и $Q_2(5; 0)$.
Ответ: Отрезок с концами в точках $(0; 5)$ и $(5; 0)$.

в) оси абсцисс:
Симметрия относительно оси абсцисс (оси $Ox$) преобразует любую точку с координатами $(x; y)$ в точку с координатами $(x; -y)$. Найдем координаты новых точек $P_3$ и $Q_3$.
Для точки $P(0; 5)$ симметричной будет точка $P_3(0; -5)$.
Точка $Q(-5; 0)$ лежит на оси абсцисс, поэтому при симметрии относительно этой оси она отображается на саму себя: $Q_3(-5; -0)$, то есть $Q_3(-5; 0)$.
Искомый отрезок, симметричный отрезку $PQ$ относительно оси абсцисс, — это отрезок с концами в точках $P_3(0; -5)$ и $Q_3(-5; 0)$.
Ответ: Отрезок с концами в точках $(0; -5)$ и $(-5; 0)$.

6.63. Вычислите.

6.63

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 34 – 90 = -56 \\ -56 : (-14) = 4 \\ 4 · (-15) = -60 \\ -60 + 39 = -21 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }-23 – 29 = -52 \\ -52 : (-13) = 4 \\ 4 · (-17) = -68 \\ -68 – 32 = -100 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} -14 · (-7) = 98 \\ 98 : (-2) = -49\mathbf{ } \\ -49 – 2 = -51 \\ -51 : 17 = -3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} 45 – 90 = -45 \\ -45 : (-15) = 3 \\ 3 · (-17) = -51 \\ -51 – 49 = -100 \end{gathered}$$

а)

Решим данный пример по действиям, соблюдая порядок операций:

1) Первое действие — вычитание в числителе: $34 - 90 = -56$.

2) Второе действие — деление: $-56 : (-14)$. При делении отрицательного числа на отрицательное получается положительное число. $56 : 14 = 4$.

3) Третье действие — умножение: $4 \cdot (-15)$. При умножении положительного числа на отрицательное получается отрицательное число. $4 \cdot 15 = 60$, следовательно, результат равен $-60$.

4) Четвертое действие — сложение: $-60 + 39 = -21$.

Ответ: -21

б)

Решим данный пример по действиям, соблюдая порядок операций:

1) Первое действие — вычитание: $-23 - 29 = -52$.

2) Второе действие — деление: $-52 : (-13)$. При делении двух отрицательных чисел результат будет положительным. $52 : 13 = 4$.

3) Третье действие — умножение: $4 \cdot (-17)$. Произведение положительного и отрицательного чисел отрицательно. $4 \cdot 17 = 68$, следовательно, результат равен $-68$.

4) Четвертое действие — вычитание: $-68 - 32 = -100$.

Ответ: -100

в)

Решим данный пример по действиям, соблюдая порядок операций:

1) Первое действие — умножение: $-14 \cdot (-7)$. Произведение двух отрицательных чисел положительно. $14 \cdot 7 = 98$.

2) Второе действие — деление: $98 : (-2)$. При делении положительного числа на отрицательное результат будет отрицательным. $98 : 2 = 49$, следовательно, результат равен $-49$.

3) Третье действие — вычитание: $-49 - 2 = -51$.

4) Четвертое действие — деление: $-51 : 17$. Частное от деления отрицательного числа на положительное отрицательно. $51 : 17 = 3$, следовательно, результат равен $-3$.

Ответ: -3

г)

Решим данный пример по действиям, соблюдая порядок операций:

1) Первое действие — вычитание: $45 - 90 = -45$.

2) Второе действие — деление: $-45 : (-15)$. При делении отрицательного числа на отрицательное получается положительное число. $45 : 15 = 3$.

3) Третье действие — умножение: $3 \cdot (-17)$. Произведение положительного и отрицательного чисел отрицательно. $3 \cdot 17 = 51$, следовательно, результат равен $-51$.

4) Четвертое действие — вычитание: $-51 - 49 = -100$.

Ответ: -100

6.64. Каким должен быть х, чтобы:
а) х > х²;
б) х² > х³;
в) х < х²;
г) х² < х³;
д) х² = х³?

6.64

а) х > х² при 0 < x < 1

б) х² > х³ при x < 0 и 0 < x < 1

в) х < х² при x < 0 и х > 1

г) х² < х³ при x > 1

д) х² = х³ при х = 0 и х = 1

а) Чтобы решить неравенство $x > x^2$, перенесем все члены в одну сторону:

$x - x^2 > 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(1 - x) > 0$

Это квадратичное неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения $x(1 - x) = 0$. Корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Графиком функции $y = x - x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ отрицательный). Следовательно, функция принимает положительные значения между корнями.

Таким образом, решение неравенства — это интервал $0 < x < 1$.

Ответ: $x \in (0, 1)$.

б) Чтобы решить неравенство $x^2 > x^3$, перенесем все члены в одну сторону:

$x^2 - x^3 > 0$

Вынесем $x^2$ за скобки:

$x^2(1 - x) > 0$

Выражение $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$). Чтобы произведение было строго больше нуля, оба множителя должны быть положительными, и ни один не должен быть равен нулю. Значит, нам нужна система условий:

$\begin{cases} x^2 > 0 \\ 1 - x > 0\end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x \neq 0$. Из второго неравенства получаем $x < 1$. Объединяя эти два условия, получаем, что $x$ должен быть меньше 1, но не равен 0.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, 1)$.

в) Чтобы решить неравенство $x < x^2$, перенесем все члены в одну сторону:

$x - x^2 < 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(1 - x) < 0$

Это неравенство противоположно тому, что было в пункте а). Корни уравнения $x(1 - x) = 0$ те же: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Парабола $y = x - x^2$ с ветвями вниз принимает отрицательные значения вне интервала между корнями.

Таким образом, решение — это объединение двух интервалов: $x < 0$ или $x > 1$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$.

г) Чтобы решить неравенство $x^2 < x^3$, перенесем все члены в одну сторону:

$x^2 - x^3 < 0$

Вынесем $x^2$ за скобки:

$x^2(1 - x) < 0$

Это неравенство противоположно тому, что было в пункте б). Поскольку множитель $x^2$ всегда неотрицателен, для выполнения неравенства он должен быть строго положителен ($x^2>0$, то есть $x \neq 0$), а второй множитель должен быть отрицательным.

Получаем систему условий:

$\begin{cases} x^2 > 0 \\ 1 - x < 0\end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x \neq 0$. Из второго неравенства получаем $1 < x$, или $x > 1$. Оба условия выполняются одновременно при $x > 1$.

Ответ: $x \in (1, \infty)$.

д) Чтобы решить уравнение $x^2 = x^3$, перенесем все члены в одну сторону:

$x^3 - x^2 = 0$

Вынесем $x^2$ за скобки:

$x^2(x - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, либо $x^2 = 0$, либо $x - 1 = 0$.

Из $x^2 = 0$ получаем $x = 0$. Из $x - 1 = 0$ получаем $x = 1$. Уравнение имеет два корня.

Ответ: $x=0$ или $x=1$.

6.65. Выпишите все правильные дроби со знаменателем 16, которые:
а) меньше $\frac{5}{8};$
б) больше $\frac{5}{8}.$

6.65

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{5}{8}}^{\overline{)·2}} = \frac{10}{16} \\ \mathrm{Ответ}: \frac{1}{16}; \frac{2}{16}; \frac{3}{16}; \frac{4}{16}; \frac{5}{16}; \frac{6}{16}; \frac{7}{16}; \frac{8}{16}; \frac{9}{16} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{5}{8}}^{\overline{)·2}} = \frac{10}{16} \\ \mathrm{Ответ}: \frac{11}{16}; \frac{12}{16}; \frac{13}{16}; \frac{14}{16}; \frac{15}{16} \end{gathered}$$

Условие задачи — найти все правильные дроби со знаменателем 16. Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Таким образом, мы ищем дроби вида $ \frac{x}{16} $, где $x$ — натуральное число (целое и положительное) и $x < 16$.

Для сравнения дробей $ \frac{x}{16} $ и $ \frac{5}{8} $, необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 16 и 8 — это 16.

Приведем дробь $ \frac{5}{8} $ к знаменателю 16, умножив ее числитель и знаменатель на 2:

$ \frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 2}{8 \cdot 2} = \frac{10}{16} $

Теперь мы можем приступить к решению подпунктов.

а) меньше $ \frac{5}{8} $

Нам нужно найти все правильные дроби $ \frac{x}{16} $, которые удовлетворяют неравенству:

$ \frac{x}{16} < \frac{5}{8} $

Заменим $ \frac{5}{8} $ на эквивалентную ей дробь $ \frac{10}{16} $:

$ \frac{x}{16} < \frac{10}{16} $

Поскольку знаменатели дробей равны, для выполнения неравенства числитель левой дроби должен быть меньше числителя правой:

$ x < 10 $

Так как $x$ должен быть натуральным числом, он может принимать значения: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Все эти значения также удовлетворяют условию правильной дроби ($x < 16$).

Искомые дроби: $ \frac{1}{16}, \frac{2}{16}, \frac{3}{16}, \frac{4}{16}, \frac{5}{16}, \frac{6}{16}, \frac{7}{16}, \frac{8}{16}, \frac{9}{16} $.

Ответ: $ \frac{1}{16}, \frac{2}{16}, \frac{3}{16}, \frac{4}{16}, \frac{5}{16}, \frac{6}{16}, \frac{7}{16}, \frac{8}{16}, \frac{9}{16} $.

б) больше $ \frac{5}{8} $

Нам нужно найти все правильные дроби $ \frac{x}{16} $, которые удовлетворяют неравенству:

$ \frac{x}{16} > \frac{5}{8} $

Снова заменим $ \frac{5}{8} $ на $ \frac{10}{16} $:

$ \frac{x}{16} > \frac{10}{16} $

Сравнивая числители, получаем:

$ x > 10 $

При этом мы помним, что дробь $ \frac{x}{16} $ должна быть правильной, то есть $ x < 16 $.

Таким образом, $x$ должен быть целым числом, которое больше 10 и меньше 16. Это числа: 11, 12, 13, 14, 15.

Искомые дроби: $ \frac{11}{16}, \frac{12}{16}, \frac{13}{16}, \frac{14}{16}, \frac{15}{16} $.

Ответ: $ \frac{11}{16}, \frac{12}{16}, \frac{13}{16}, \frac{14}{16}, \frac{15}{16} $.

6.66. Развивай мышление. На одно и то же число разделили числа 80 и 90. При делении 80 получили остаток 3, а при делении 90 – остаток 2. Чему равен делитель?

6.66

80 – 3 = 77 – число, которое нацело делится на делитель

90 – 2 = 88 – второе число, которое нацело делиться на делитель

77 = 11 • 7

88 = 2 • 2 • 2 • 11

НОД (77; 88) = 11

Ответ:11.

Пусть искомый делитель равен $d$. По условию задачи, число 80 при делении на $d$ дает остаток 3. Это можно записать в виде равенства:

$80 = d \cdot k + 3$, где $k$ – это неполное частное.

Также известно, что число 90 при делении на тот же делитель $d$ дает остаток 2. Запишем это в виде равенства:

$90 = d \cdot m + 2$, где $m$ – это неполное частное.

Из определения деления с остатком следует, что делитель всегда должен быть больше остатка. Из первого условия ($80$ с остатком $3$) получаем, что $d > 3$. Из второго условия ($90$ с остатком $2$) получаем, что $d > 2$. Объединяя эти два требования, приходим к выводу, что $d > 3$.

Теперь преобразуем полученные равенства. Из первого равенства следует, что $d \cdot k = 80 - 3$, то есть $d \cdot k = 77$. Это означает, что число 77 делится на $d$ без остатка, а значит, $d$ является делителем числа 77.

Из второго равенства следует, что $d \cdot m = 90 - 2$, то есть $d \cdot m = 88$. Это означает, что число 88 также делится на $d$ без остатка, а значит, $d$ является делителем числа 88.

Таким образом, искомый делитель $d$ является общим делителем чисел 77 и 88. Найдем все делители для каждого из этих чисел:

Делители числа 77: 1, 7, 11, 77.

Делители числа 88: 1, 2, 4, 8, 11, 22, 44, 88.

Сравнивая списки делителей, находим общие для них: 1 и 11.

Мы установили, что делитель $d$ должен быть больше 3. Из двух общих делителей (1 и 11) этому условию удовлетворяет только число 11.

Проверим найденное значение:

1) Делим 80 на 11: $80 \div 11 = 7$ (остаток $3$), так как $11 \cdot 7 + 3 = 80$. Верно.

2) Делим 90 на 11: $90 \div 11 = 8$ (остаток $2$), так как $11 \cdot 8 + 2 = 90$. Верно.

Следовательно, искомый делитель равен 11.

Ответ: 11

6.67. Найдите, сколько конфет было в коробке, если из коробки взяли 8 конфет, четверть остатка и ещё 14 конфет. После этого в коробке осталась половина первоначального числа конфет.

6.67

Пусть х конфет – было первоначально в коробке, тогда (х – 8) конфет – осталось в 1 раз, $\frac{1}{4}(х - 8)$ конфет – взяли во второй раз. Зная, что в коробке осталась половина числа конфет, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х - 8 - \frac{1}{4} (х - 8) - 14 = \frac{1}{2}х; \overline{) · 4} \\ х · 4- 8 · 4 - \frac{1}{\cancel{4}} (х - 8) · \cancel{4} - 14 · 4 = \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{2}}}}х · \stackrel{2}{\bcancel{4}}; \\ 4х -32 - \frac{1}{1} (х - 8) · 1 - 56 = \frac{1}{1}х ·2; \\ 4х – 32 – (х – 8) – 56 = 2х; \\ 4х – 32 – х + 8 – 56 – 2х = 0; \\ х = 32 – 8 + 56; \end{gathered}$$

х = 80 (конфет) – было в коробке

Ответ: 80 конфет.

Для решения этой задачи составим уравнение. Пусть $x$ — это первоначальное количество конфет в коробке.

Опишем последовательность действий:

1. Сначала из коробки взяли 8 конфет. После этого в коробке осталось $x - 8$ конфет. Это количество является "остатком".
2. Затем из коробки взяли четверть остатка, то есть $\frac{1}{4}$ от $(x - 8)$ конфет. Количество взятых конфет на этом шаге равно $\frac{1}{4}(x - 8)$.
3. И после этого взяли ещё 14 конфет.

Общее количество конфет, которое взяли из коробки, равно сумме конфет, взятых на каждом этапе: $8 + \frac{1}{4}(x - 8) + 14$.

Согласно условию, в результате в коробке осталась половина первоначального числа конфет, то есть $\frac{1}{2}x$.

Количество взятых конфет можно также найти, вычтя из первоначального количества конфет конечное: $x - \frac{1}{2}x = \frac{1}{2}x$.

Теперь мы можем приравнять два выражения, описывающих общее количество взятых конфет, и составить уравнение:

$\frac{1}{2}x = 8 + \frac{1}{4}(x - 8) + 14$

Приступим к решению уравнения. Сначала сложим числовые слагаемые в правой части:

$\frac{1}{2}x = 22 + \frac{1}{4}(x - 8)$

Теперь раскроем скобки:

$\frac{1}{2}x = 22 + \frac{1}{4}x - \frac{8}{4}$

$\frac{1}{2}x = 22 + \frac{1}{4}x - 2$

Снова упростим правую часть:

$\frac{1}{2}x = 20 + \frac{1}{4}x$

Перенесём слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть уравнения, изменив знак:

$\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}x = 20$

Для вычитания дробей приведём их к общему знаменателю 4:

$\frac{2}{4}x - \frac{1}{4}x = 20$

$\frac{1}{4}x = 20$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 4:

$x = 20 \cdot 4$

$x = 80$

Следовательно, первоначально в коробке было 80 конфет.

Проверка:

1. В коробке было 80 конфет.
2. Взяли 8 конфет. Осталось: $80 - 8 = 72$ конфеты.
3. Взяли четверть остатка: $\frac{1}{4} \cdot 72 = 18$ конфет.
4. Взяли ещё 14 конфет.
5. Всего взяли: $8 + 18 + 14 = 40$ конфет.
6. В коробке осталось: $80 - 40 = 40$ конфет.
7. Половина от первоначального числа конфет: $\frac{80}{2} = 40$.

Количество оставшихся конфет совпадает с половиной первоначального. Решение верное.

Ответ: 80 конфет.

6.68. Развивай мышление. Вычислите наиболее простым способом:

11 · 2 + 12 · 3 + 13 · 4 + 14 · 5 + 15 · 6 + 16 · 7 + 17 · 8 + 18 · 9 + 19 · 10.

6.68

$$\begin{gathered} \frac{1}{1 · 2} + \frac{1}{2 · 3} + \frac{1}{3 · 4} + \frac{1}{4 · 5} + \frac{1}{5 · 6} + \\ + \frac{1}{6 · 7} + \frac{1}{7 · 8} + \frac{1}{8 · 9} + \frac{1}{9 · 10} = \\ = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \\ + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{6} \right) + \left(\frac{1}{6} - \frac{1}{7}\right) + \\ + \left(\frac{1}{7} - \frac{1}{8}\right) + \left(\frac{1}{8} - \frac{1}{9}\right) + \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{10}\right) = \\ = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \\ + \frac{1}{5} - \frac{1}{6}+ \frac{1}{6} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + \frac{1}{8} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \\ - \frac{1}{10} = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10} \end{gathered}$$

Для вычисления данной суммы наиболее простым способом заметим, что каждое слагаемое вида $\frac{1}{n(n+1)}$ можно представить в виде разности двух дробей. Это свойство называется разложением на простейшие дроби.

Общая формула для такого разложения выглядит так:

$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

Давайте проверим это равенство, приведя дроби в правой части к общему знаменателю:

$\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1 \cdot (n+1)}{n(n+1)} - \frac{1 \cdot n}{n(n+1)} = \frac{n+1-n}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)}$

Равенство подтвердилось. Теперь применим эту формулу к каждому слагаемому в исходном выражении:

$\frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$

$\frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$

...и так далее до последнего слагаемого...

$\frac{1}{9 \cdot 10} = \frac{1}{9} - \frac{1}{10}$

Теперь запишем всю сумму в разложенном виде:

$S = (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{6}) + (\frac{1}{6} - \frac{1}{7}) + (\frac{1}{7} - \frac{1}{8}) + (\frac{1}{8} - \frac{1}{9}) + (\frac{1}{9} - \frac{1}{10})$

В этой сумме все промежуточные члены взаимно уничтожаются: $-\frac{1}{2}$ сокращается с $+\frac{1}{2}$, $-\frac{1}{3}$ с $+\frac{1}{3}$ и так далее. Такая сумма называется телескопической.

В результате остаются только первый и последний члены:

$S = \frac{1}{1} - \frac{1}{10}$

Осталось только вычислить разность:

$1 - \frac{1}{10} = \frac{10}{10} - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$

Ответ: $\frac{9}{10}$.

6.69. Начертите прямоугольный треугольник MNP с прямым углом N.

а) Через вершины проведите прямые, параллельные сторонам. Обозначьте точки пересечения прямых буквами. Какой треугольник с вершинами в отмеченных точках получился?

б) Через вершины М и Р проведите прямые, перпендикулярные сторонам треугольника. Сколько прямоугольных треугольников на рисунке?

6.69

а)

АВС – прямоугольный треугольник

б)

2 прямоугольных треугольника

а) Через вершины проведите прямые, параллельные сторонам. Обозначьте точки пересечения прямых буквами. Какой треугольник с вершинами в отмеченных точках получился?

Начертим прямоугольный треугольник $MNP$ с прямым углом при вершине $N$, то есть $\angle MNP = 90^\circ$.

Далее, согласно условию, проведем через каждую вершину треугольника прямую, параллельную противолежащей стороне:

• Через вершину $M$ проведем прямую $a$, параллельную стороне $NP$ ($a \parallel NP$).
• Через вершину $P$ проведем прямую $b$, параллельную стороне $MN$ ($b \parallel MN$).
• Через вершину $N$ проведем прямую $c$, параллельную стороне $MP$ ($c \parallel MP$).

Обозначим точки пересечения этих прямых, например, буквами $A$, $B$ и $C$:

• $A$ — точка пересечения прямых $b$ и $c$.
• $B$ — точка пересечения прямых $a$ и $c$.
• $C$ — точка пересечения прямых $a$ и $b$.

В результате этих построений образовался новый треугольник $ABC$. Определим его вид.

Рассмотрим четырехугольник $MCNP$. По построению, его противоположные стороны лежат на параллельных прямых: $MC \parallel NP$ (так как $MC$ является частью прямой $a$) и $PC \parallel MN$ (так как $PC$ является частью прямой $b$). Следовательно, $MCNP$ — параллелограмм.

Поскольку в исходном треугольнике угол $\angle MNP = 90^\circ$, то параллелограмм $MCNP$ является прямоугольником. Из этого следует, что все его углы прямые, в том числе и угол $\angle MCP$, который является углом $\angle C$ нового треугольника $ABC$. Таким образом, $\angle C = 90^\circ$.

Полученный треугольник $ABC$ является прямоугольным.

Более того, можно доказать, что вершины исходного треугольника $M, N, P$ являются серединами сторон нового треугольника $ABC$. Например, из того, что $MCNP$ — прямоугольник, следует $PC=MN$. Рассматривая параллелограмм $AMNP$ (образованный прямыми $b, c$ и сторонами $MN, MP$), получаем, что $AP=MN$. Так как точки $A, P, C$ лежат на одной прямой $b$, то $AC = AP + PC = MN + MN = 2MN$, и точка $P$ является серединой стороны $AC$. Аналогично доказывается, что $M$ — середина $BC$, и $N$ — середина $AB$.

Ответ: Получился прямоугольный треугольник, подобный исходному.

б) Через вершины M и P проведите прямые, перпендикулярные сторонам треугольника. Сколько прямоугольных треугольников на рисунке?

Начнем с того же прямоугольного треугольника $MNP$ с $\angle N = 90^\circ$. Условие "проведите прямые, перпендикулярные сторонам" можно истолковать как построение перпендикуляров из вершин $M$ и $P$ к гипотенузе $MP$ (единственной стороне, которая является общей для этих двух вершин).

Выполним следующие построения:

• Проведем прямую $l_M$ через вершину $M$ так, что $l_M \perp MP$.
• Проведем прямую $l_P$ через вершину $P$ так, что $l_P \perp MP$.

Прямые $l_M$ и $l_P$ параллельны друг другу. Найдем их точки пересечения с прямыми, на которых лежат катеты $MN$ и $NP$.

• Пусть $S$ — точка пересечения прямой $l_M$ с прямой, содержащей катет $PN$.
• Пусть $R$ — точка пересечения прямой $l_P$ с прямой, содержащей катет $MN$.

Теперь systematically посчитаем все прямоугольные треугольники, которые присутствуют на получившемся чертеже.

1. $\triangle MNP$: является прямоугольным по условию задачи ($\angle N = 90^\circ$).
2. $\triangle MPS$: является прямоугольным по построению, так как прямая $l_M$ (на которой лежит сторона $MS$) перпендикулярна стороне $MP$ ($\angle PMS = 90^\circ$).
3. $\triangle MPR$: является прямоугольным по построению, так как прямая $l_P$ (на которой лежит сторона $PR$) перпендикулярна стороне $MP$ ($\angle MPR = 90^\circ$).
4. $\triangle MNS$: является прямоугольным. Точка $S$ лежит на прямой $PN$. Так как катет $MN$ перпендикулярен катету $PN$, то он перпендикулярен и всей прямой $PN$, а значит $MN \perp SN$. Следовательно, $\angle MNS = 90^\circ$.
5. $\triangle PNR$: является прямоугольным. Точка $R$ лежит на прямой $MN$. Так как катет $PN$ перпендикулярен катету $MN$, то он перпендикулярен и всей прямой $MN$, а значит $PN \perp RN$. Следовательно, $\angle PNR = 90^\circ$.

Таким образом, на рисунке можно выделить 5 различных прямоугольных треугольников.

Ответ: 5.

6.70. Приняв π равным $\frac{\mathbf{22}}{\mathbf{7}}\mathbf{,}$ вычислите длину окружности, если её радиус равен:
а) 21 см;
б) 1,4 см;
в) 0,35 см.

6.70

$\mathrm{С} = 2\mathrm{\pi r}, \mathrm{\pi } = \frac{22}{7}$

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} \mathrm{r} = 21 \mathrm{см} \\ \mathrm{С} = 2\mathrm{\pi r} = 2 · \frac{22}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}} ·\stackrel{3}{ \cancel{21} }= 2 · \frac{22}{1} · 3 = 132 \mathrm{см} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)} \mathrm{r} = 1,4 \mathrm{см} \\ \mathrm{С} = 2\mathrm{\pi r} = 2 · \frac{22}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}} ·\stackrel{0,2}{ \cancel{1,4} }= 2 · \frac{22}{1} · 0,2 = 8,8 \mathrm{см} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)} \mathrm{r} = 0,35 \mathrm{см} \\ \mathrm{С} = 2\mathrm{\pi r} = 2 · \frac{22}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}} ·\stackrel{0,5}{ \cancel{0,35} }= 2 · \frac{22}{1} · 0,5 = 2,2 \mathrm{см} \end{gathered}$$

Для вычисления длины окружности $C$ используется формула $C = 2\pi r$, где $r$ — это радиус окружности. По условию задачи, принимаем значение $\pi$ равным $\frac{22}{7}$.

а) Если радиус $r = 21$ см, то длина окружности равна:

$C = 2 \cdot \pi \cdot r = 2 \cdot \frac{22}{7} \cdot 21 = 2 \cdot 22 \cdot \frac{21}{7} = 2 \cdot 22 \cdot 3 = 132$ см.

Ответ: 132 см.

б) Если радиус $r = 1,4$ см, то длина окружности равна:

$C = 2 \cdot \pi \cdot r = 2 \cdot \frac{22}{7} \cdot 1,4 = 2 \cdot 22 \cdot \frac{1,4}{7} = 44 \cdot 0,2 = 8,8$ см.

Ответ: 8,8 см.

в) Если радиус $r = 0,35$ см, то длина окружности равна:

$C = 2 \cdot \pi \cdot r = 2 \cdot \frac{22}{7} \cdot 0,35 = 2 \cdot 22 \cdot \frac{0,35}{7} = 44 \cdot 0,05 = 2,2$ см.

Ответ: 2,2 см.

6.71. Приняв π равным 3,14, вычислите радиус, если длина окружности равна:
а) 12,56 мм;
б) 3,14 см;
в) 0,0628 м.

6.71

$\mathrm{\pi } \approx 3,14, \mathrm{С} = 2\mathrm{\pi r}, \mathrm{r} = \frac{\mathrm{С}}{2\mathrm{\pi }}$

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{С} = 12,56 \mathrm{мм} \\ \mathrm{r} = \frac{12,56}{2 · 3,14}= \frac{12,56}{6,28} = \frac{1256}{628} = 2 \mathrm{мм} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{С} = 3,14 \mathrm{см} \\ \mathrm{r} = \frac{3,14}{2 · 3,14}= \frac{3,14}{6,28} = \frac{314}{628} = \frac{1}{2} \mathrm{см} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{С} = 0,0628 \mathrm{м} \\ \mathrm{r} = \frac{0,0628}{2 · 3,14}= \frac{0,0628}{6,28} = \frac{6,28}{628} = 0,01 \mathrm{м} \end{gathered}$$

Для решения задачи используется формула длины окружности: $C = 2 \pi r$, где $C$ — это длина окружности, $r$ — это радиус, а $\pi \approx 3,14$ по условию.

Чтобы найти радиус $r$, нужно преобразовать формулу: $r = \frac{C}{2 \pi}$.

а)

Дана длина окружности $C = 12,56$ мм. Подставим это значение и значение $\pi$ в формулу для радиуса:

$r = \frac{12,56}{2 \times 3,14}$

$r = \frac{12,56}{6,28}$

$r = 2$ мм

Ответ: 2 мм.

б)

Дана длина окружности $C = 3,14$ см. Вычислим радиус:

$r = \frac{3,14}{2 \times 3,14}$

Сократив 3,14 в числителе и знаменателе, получаем:

$r = \frac{1}{2}$

$r = 0,5$ см

Ответ: 0,5 см.

в)

Дана длина окружности $C = 0,0628$ м. Найдем радиус:

$r = \frac{0,0628}{2 \times 3,14}$

$r = \frac{0,0628}{6,28}$

$r = 0,01$ м

Ответ: 0,01 м.

6.72. Средний радиус Венеры составляет 0,95 радиуса Земли. Найдите длину экватора Венеры, если средний радиус Земли равен 6371 км.

6.72

$$\begin{gathered} \mathrm{\pi } \approx 3,14 \\ {\mathrm{R}}_3 = 6371 \mathrm{км} \end{gathered}$$

${\mathrm{R}}_{\mathrm{В}} = 0,95 · 6371 = 6052,45 \mathrm{км}$– радиус Венеры

${\mathrm{С}}_{\mathrm{В}} = 2{\mathrm{\pi R}}_{\mathrm{В}} = 2 · 3,14 · 6052,45 = 6,28 · 6052,45 =$

$= 38009,386 \mathrm{км}$ – длина экватора Венеры

Ответ: 38009,386 км

Для того чтобы найти длину экватора Венеры, необходимо выполнить два последовательных действия: сначала вычислить средний радиус Венеры, а затем использовать полученное значение для расчета длины окружности ее экватора.

1. Вычисление среднего радиуса Венеры.

В условии задачи сказано, что средний радиус Венеры ($R_В$) составляет 0,95 от среднего радиуса Земли ($R_З$). Средний радиус Земли нам известен и равен 6371 км.

Рассчитаем радиус Венеры по формуле:

$R_В = 0,95 \times R_З$

Подставим числовые значения:

$R_В = 0,95 \times 6371 \text{ км} = 6052,45 \text{ км}$

2. Вычисление длины экватора Венеры.

Длина экватора планеты, которую можно считать сферой, вычисляется по формуле длины окружности:

$L = 2 \pi R$

где $L$ — длина экватора, а $R$ — радиус планеты.

Теперь подставим в эту формулу вычисленный ранее радиус Венеры ($R_В$):

$L_В = 2 \pi R_В = 2 \times \pi \times 6052,45 \text{ км} \approx 38024,64 \text{ км}$

Округлим полученный результат до одного знака после запятой.

Ответ: 38024,6 км.

6.73. Найдите значение выражения:
а) (–0,5)²;
б) (–0,1)³;
в) (0,7)²;
г) (0,3)³;
д) 45 + 15,2;
е) 3,25 + 634.

6.73

$\mathit{а}\mathbf{)} {(-0,5)}^2 = -0,5 · (-0,5) = 0,25$

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }{(-0,1)}^3 = -0,1 · (-0,1) · (-0,1) = -0,001$

$\mathit{в}\mathbf{)} {(0,7)}^2 = 0,7 · 0,7 = 0,49$

$\mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }{(0,3)}^3 = 0,3 · 0,3 · 0,3 = 0,027$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)} {\frac{4}{5}}^{\overline{)·2}} + 15,2 = \frac{8}{10} + 15,2 = 0,8 + 15,2 = \\ = 16 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)} 3,25 +{ 6\frac{3}{4}}^{\overline{)·25}} = 3,25 + 6\frac{75}{100} = \\ = 3,25 + 6,75 = 10 \end{gathered}$$

а) Чтобы найти значение выражения $(-0,5)^2$, необходимо возвести число -0,5 во вторую степень, то есть умножить его само на себя. При возведении отрицательного числа в четную степень результат будет положительным.
$(-0,5)^2 = (-0,5) \cdot (-0,5) = 0,25$
Ответ: 0,25

б) Чтобы найти значение выражения $(-0,1)^3$, необходимо возвести число -0,1 в третью степень. При возведении отрицательного числа в нечетную степень результат будет отрицательным.
$(-0,1)^3 = (-0,1) \cdot (-0,1) \cdot (-0,1) = 0,01 \cdot (-0,1) = -0,001$
Ответ: -0,001

в) Чтобы найти значение выражения $(0,7)^2$, необходимо умножить число 0,7 само на себя.
$(0,7)^2 = 0,7 \cdot 0,7 = 0,49$
Ответ: 0,49

г) Чтобы найти значение выражения $(0,3)^3$, необходимо умножить число 0,3 само на себя три раза.
$(0,3)^3 = 0,3 \cdot 0,3 \cdot 0,3 = 0,09 \cdot 0,3 = 0,027$
Ответ: 0,027

д) Для вычисления суммы $\frac{4}{5} + 15,2$ сначала преобразуем обыкновенную дробь в десятичную. Для этого разделим числитель на знаменатель.
$\frac{4}{5} = 4 \div 5 = 0,8$
Теперь сложим полученную десятичную дробь с числом 15,2.
$0,8 + 15,2 = 16$
Ответ: 16

е) Для вычисления суммы $3,25 + 6\frac{3}{4}$ преобразуем смешанное число в десятичную дробь. Дробная часть $\frac{3}{4}$ равна $3 \div 4 = 0,75$. Таким образом, смешанное число $6\frac{3}{4}$ равно $6,75$.
Теперь сложим два десятичных числа.
$3,25 + 6,75 = 10$
Ответ: 10

6.74. 1) Миша перевыполнил план по решению задач на 5 % и решил 21 задачу. Сколько задач он планировал решить?

2) Маша израсходовала на покупку канцелярских товаров 144 р. и сэкономила 28 % выделенных денег. Сколько рублей было у Маши первоначально?

6.74

1) $\mathbf{1}\mathbf{)} 100\% + 5\% = 105\% = 1,05$- задач решил Миша;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }21 : 1,05 = 2100 : 105 = 20$задач – планировал решить.

Ответ: 20 задач

2) $\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ } 100\% – 28\% = 72\% = 0,72$денег – потратила Маша;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 144 : 0,72 = 14400 : 72 = 200$(р) – было у Маши

Ответ: 200 р.

1) Пусть $x$ – это количество задач, которое Миша планировал решить. Это количество мы принимаем за 100%.
Миша перевыполнил план на 5%, значит, он решил $100\% + 5\% = 105\%$ от запланированного.
Из условия известно, что решенная 21 задача составляет 105% от плана. Чтобы найти, сколько задач составляет 100% (изначальный план), составим пропорцию:
21 задача — это 105%
$x$ задач — это 100%
Решим пропорцию относительно $x$:
$x = \frac{21 \cdot 100}{105} = \frac{2100}{105} = 20$
Таким образом, Миша планировал решить 20 задач.
Ответ: 20 задач.

2) Пусть $y$ – это первоначальная сумма денег, которая была у Маши. Эту сумму мы принимаем за 100%.
Маша сэкономила 28% денег. Значит, она потратила $100\% - 28\% = 72\%$ от первоначальной суммы.
Из условия известно, что потраченные 144 рубля составляют 72% от всех денег. Чтобы найти, сколько рублей составляет 100% (первоначальная сумма), составим пропорцию:
144 рубля — это 72%
$y$ рублей — это 100%
Решим пропорцию относительно $y$:
$y = \frac{144 \cdot 100}{72} = 2 \cdot 100 = 200$
Таким образом, у Маши первоначально было 200 рублей.
Ответ: 200 рублей.