Номер 6.69, страница 108, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

Математика, 6 класс Учебник, авторы: Виленкин Наум Яковлевич, Жохов Владимир Иванович, Чесноков Александр Семёнович, Александрова Лилия Александровна, Шварцбурд Семён Исаакович, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, часть 1, 2 Математика, 6 класс Учебник, авторы: Виленкин Наум Яковлевич, Жохов Владимир Иванович, Чесноков Александр Семёнович, Александрова Лилия Александровна, Шварцбурд Семён Исаакович, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, часть 1, 2

Авторы: Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С., Александрова Л. А., Шварцбурд С. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2023 - 2025

Уровень обучения: базовый

Часть: 2

Цвет обложки: белый, синий, зелёный с пазлами

ISBN: 978-5-09-102533-0 (ч. 1), ISBN 978-5-09-110648-0 (ч. 2)

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 6 классе

43. Координатная плоскость. § 6. Координаты на плоскости. ч. 2 - номер 6.69, страница 108.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№6.69 (с. 108)
Условие. №6.69 (с. 108)
скриншот условия
Математика, 6 класс Учебник, авторы: Виленкин Наум Яковлевич, Жохов Владимир Иванович, Чесноков Александр Семёнович, Александрова Лилия Александровна, Шварцбурд Семён Исаакович, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, Часть 2, страница 108, номер 6.69, Условие

6.69. Начертите прямоугольный треугольник MNP с прямым углом N.

а) Через вершины проведите прямые, параллельные сторонам. Обозначьте точки пересечения прямых буквами. Какой треугольник с вершинами в отмеченных точках получился?

б) Через вершины М и Р проведите прямые, перпендикулярные сторонам треугольника. Сколько прямоугольных треугольников на рисунке?

Решение 1. №6.69 (с. 108)

6.69

а)

АВС – прямоугольный треугольник

б)

2 прямоугольных треугольника

Решение 2. №6.69 (с. 108)

а) Через вершины проведите прямые, параллельные сторонам. Обозначьте точки пересечения прямых буквами. Какой треугольник с вершинами в отмеченных точках получился?

Начертим прямоугольный треугольник $MNP$ с прямым углом при вершине $N$, то есть $\angle MNP = 90^\circ$.

Далее, согласно условию, проведем через каждую вершину треугольника прямую, параллельную противолежащей стороне:

  • Через вершину $M$ проведем прямую $a$, параллельную стороне $NP$ ($a \parallel NP$).
  • Через вершину $P$ проведем прямую $b$, параллельную стороне $MN$ ($b \parallel MN$).
  • Через вершину $N$ проведем прямую $c$, параллельную стороне $MP$ ($c \parallel MP$).

Обозначим точки пересечения этих прямых, например, буквами $A$, $B$ и $C$:

  • $A$ — точка пересечения прямых $b$ и $c$.
  • $B$ — точка пересечения прямых $a$ и $c$.
  • $C$ — точка пересечения прямых $a$ и $b$.

В результате этих построений образовался новый треугольник $ABC$. Определим его вид.

Рассмотрим четырехугольник $MCNP$. По построению, его противоположные стороны лежат на параллельных прямых: $MC \parallel NP$ (так как $MC$ является частью прямой $a$) и $PC \parallel MN$ (так как $PC$ является частью прямой $b$). Следовательно, $MCNP$ — параллелограмм.

Поскольку в исходном треугольнике угол $\angle MNP = 90^\circ$, то параллелограмм $MCNP$ является прямоугольником. Из этого следует, что все его углы прямые, в том числе и угол $\angle MCP$, который является углом $\angle C$ нового треугольника $ABC$. Таким образом, $\angle C = 90^\circ$.

Полученный треугольник $ABC$ является прямоугольным.

Более того, можно доказать, что вершины исходного треугольника $M, N, P$ являются серединами сторон нового треугольника $ABC$. Например, из того, что $MCNP$ — прямоугольник, следует $PC=MN$. Рассматривая параллелограмм $AMNP$ (образованный прямыми $b, c$ и сторонами $MN, MP$), получаем, что $AP=MN$. Так как точки $A, P, C$ лежат на одной прямой $b$, то $AC = AP + PC = MN + MN = 2MN$, и точка $P$ является серединой стороны $AC$. Аналогично доказывается, что $M$ — середина $BC$, и $N$ — середина $AB$.

Ответ: Получился прямоугольный треугольник, подобный исходному.

б) Через вершины M и P проведите прямые, перпендикулярные сторонам треугольника. Сколько прямоугольных треугольников на рисунке?

Начнем с того же прямоугольного треугольника $MNP$ с $\angle N = 90^\circ$. Условие "проведите прямые, перпендикулярные сторонам" можно истолковать как построение перпендикуляров из вершин $M$ и $P$ к гипотенузе $MP$ (единственной стороне, которая является общей для этих двух вершин).

Выполним следующие построения:

  • Проведем прямую $l_M$ через вершину $M$ так, что $l_M \perp MP$.
  • Проведем прямую $l_P$ через вершину $P$ так, что $l_P \perp MP$.

Прямые $l_M$ и $l_P$ параллельны друг другу. Найдем их точки пересечения с прямыми, на которых лежат катеты $MN$ и $NP$.

  • Пусть $S$ — точка пересечения прямой $l_M$ с прямой, содержащей катет $PN$.
  • Пусть $R$ — точка пересечения прямой $l_P$ с прямой, содержащей катет $MN$.

Теперь systematically посчитаем все прямоугольные треугольники, которые присутствуют на получившемся чертеже.

  1. $\triangle MNP$: является прямоугольным по условию задачи ($\angle N = 90^\circ$).
  2. $\triangle MPS$: является прямоугольным по построению, так как прямая $l_M$ (на которой лежит сторона $MS$) перпендикулярна стороне $MP$ ($\angle PMS = 90^\circ$).
  3. $\triangle MPR$: является прямоугольным по построению, так как прямая $l_P$ (на которой лежит сторона $PR$) перпендикулярна стороне $MP$ ($\angle MPR = 90^\circ$).
  4. $\triangle MNS$: является прямоугольным. Точка $S$ лежит на прямой $PN$. Так как катет $MN$ перпендикулярен катету $PN$, то он перпендикулярен и всей прямой $PN$, а значит $MN \perp SN$. Следовательно, $\angle MNS = 90^\circ$.
  5. $\triangle PNR$: является прямоугольным. Точка $R$ лежит на прямой $MN$. Так как катет $PN$ перпендикулярен катету $MN$, то он перпендикулярен и всей прямой $MN$, а значит $PN \perp RN$. Следовательно, $\angle PNR = 90^\circ$.

Таким образом, на рисунке можно выделить 5 различных прямоугольных треугольников.

Ответ: 5.

Решение 3. №6.69 (с. 108)
Математика, 6 класс Учебник, авторы: Виленкин Наум Яковлевич, Жохов Владимир Иванович, Чесноков Александр Семёнович, Александрова Лилия Александровна, Шварцбурд Семён Исаакович, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, Часть 2, страница 108, номер 6.69, Решение 3 Математика, 6 класс Учебник, авторы: Виленкин Наум Яковлевич, Жохов Владимир Иванович, Чесноков Александр Семёнович, Александрова Лилия Александровна, Шварцбурд Семён Исаакович, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, Часть 2, страница 108, номер 6.69, Решение 3 (продолжение 2)
Решение 4. №6.69 (с. 108)
Математика, 6 класс Учебник, авторы: Виленкин Наум Яковлевич, Жохов Владимир Иванович, Чесноков Александр Семёнович, Александрова Лилия Александровна, Шварцбурд Семён Исаакович, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, Часть 2, страница 108, номер 6.69, Решение 4

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по математике за 6 класс, для упражнения номер 6.69 расположенного на странице 108 для 2-й части к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по математике к упражнению №6.69 (с. 108), авторов: Виленкин (Наум Яковлевич), Жохов (Владимир Иванович), Чесноков (Александр Семёнович), Александрова (Лилия Александровна), Шварцбурд (Семён Исаакович), 2-й части ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться