Номер 6.69, страница 108, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов


Авторы: Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С., Александрова Л. А., Шварцбурд С. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 2
Цвет обложки: белый, синий, зелёный с пазлами
ISBN: 978-5-09-102533-0 (ч. 1), ISBN 978-5-09-110648-0 (ч. 2)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 6 классе
43. Координатная плоскость. § 6. Координаты на плоскости. ч. 2 - номер 6.69, страница 108.
№6.69 (с. 108)
Условие. №6.69 (с. 108)
скриншот условия

6.69. Начертите прямоугольный треугольник MNP с прямым углом N.
а) Через вершины проведите прямые, параллельные сторонам. Обозначьте точки пересечения прямых буквами. Какой треугольник с вершинами в отмеченных точках получился?
б) Через вершины М и Р проведите прямые, перпендикулярные сторонам треугольника. Сколько прямоугольных треугольников на рисунке?
Решение 1. №6.69 (с. 108)
6.69
а)

АВС – прямоугольный треугольник
б)

2 прямоугольных треугольника
Решение 2. №6.69 (с. 108)
а) Через вершины проведите прямые, параллельные сторонам. Обозначьте точки пересечения прямых буквами. Какой треугольник с вершинами в отмеченных точках получился?
Начертим прямоугольный треугольник $MNP$ с прямым углом при вершине $N$, то есть $\angle MNP = 90^\circ$.
Далее, согласно условию, проведем через каждую вершину треугольника прямую, параллельную противолежащей стороне:
- Через вершину $M$ проведем прямую $a$, параллельную стороне $NP$ ($a \parallel NP$).
- Через вершину $P$ проведем прямую $b$, параллельную стороне $MN$ ($b \parallel MN$).
- Через вершину $N$ проведем прямую $c$, параллельную стороне $MP$ ($c \parallel MP$).
Обозначим точки пересечения этих прямых, например, буквами $A$, $B$ и $C$:
- $A$ — точка пересечения прямых $b$ и $c$.
- $B$ — точка пересечения прямых $a$ и $c$.
- $C$ — точка пересечения прямых $a$ и $b$.
В результате этих построений образовался новый треугольник $ABC$. Определим его вид.
Рассмотрим четырехугольник $MCNP$. По построению, его противоположные стороны лежат на параллельных прямых: $MC \parallel NP$ (так как $MC$ является частью прямой $a$) и $PC \parallel MN$ (так как $PC$ является частью прямой $b$). Следовательно, $MCNP$ — параллелограмм.
Поскольку в исходном треугольнике угол $\angle MNP = 90^\circ$, то параллелограмм $MCNP$ является прямоугольником. Из этого следует, что все его углы прямые, в том числе и угол $\angle MCP$, который является углом $\angle C$ нового треугольника $ABC$. Таким образом, $\angle C = 90^\circ$.
Полученный треугольник $ABC$ является прямоугольным.
Более того, можно доказать, что вершины исходного треугольника $M, N, P$ являются серединами сторон нового треугольника $ABC$. Например, из того, что $MCNP$ — прямоугольник, следует $PC=MN$. Рассматривая параллелограмм $AMNP$ (образованный прямыми $b, c$ и сторонами $MN, MP$), получаем, что $AP=MN$. Так как точки $A, P, C$ лежат на одной прямой $b$, то $AC = AP + PC = MN + MN = 2MN$, и точка $P$ является серединой стороны $AC$. Аналогично доказывается, что $M$ — середина $BC$, и $N$ — середина $AB$.
Ответ: Получился прямоугольный треугольник, подобный исходному.
б) Через вершины M и P проведите прямые, перпендикулярные сторонам треугольника. Сколько прямоугольных треугольников на рисунке?
Начнем с того же прямоугольного треугольника $MNP$ с $\angle N = 90^\circ$. Условие "проведите прямые, перпендикулярные сторонам" можно истолковать как построение перпендикуляров из вершин $M$ и $P$ к гипотенузе $MP$ (единственной стороне, которая является общей для этих двух вершин).
Выполним следующие построения:
- Проведем прямую $l_M$ через вершину $M$ так, что $l_M \perp MP$.
- Проведем прямую $l_P$ через вершину $P$ так, что $l_P \perp MP$.
Прямые $l_M$ и $l_P$ параллельны друг другу. Найдем их точки пересечения с прямыми, на которых лежат катеты $MN$ и $NP$.
- Пусть $S$ — точка пересечения прямой $l_M$ с прямой, содержащей катет $PN$.
- Пусть $R$ — точка пересечения прямой $l_P$ с прямой, содержащей катет $MN$.
Теперь systematically посчитаем все прямоугольные треугольники, которые присутствуют на получившемся чертеже.
- $\triangle MNP$: является прямоугольным по условию задачи ($\angle N = 90^\circ$).
- $\triangle MPS$: является прямоугольным по построению, так как прямая $l_M$ (на которой лежит сторона $MS$) перпендикулярна стороне $MP$ ($\angle PMS = 90^\circ$).
- $\triangle MPR$: является прямоугольным по построению, так как прямая $l_P$ (на которой лежит сторона $PR$) перпендикулярна стороне $MP$ ($\angle MPR = 90^\circ$).
- $\triangle MNS$: является прямоугольным. Точка $S$ лежит на прямой $PN$. Так как катет $MN$ перпендикулярен катету $PN$, то он перпендикулярен и всей прямой $PN$, а значит $MN \perp SN$. Следовательно, $\angle MNS = 90^\circ$.
- $\triangle PNR$: является прямоугольным. Точка $R$ лежит на прямой $MN$. Так как катет $PN$ перпендикулярен катету $MN$, то он перпендикулярен и всей прямой $MN$, а значит $PN \perp RN$. Следовательно, $\angle PNR = 90^\circ$.
Таким образом, на рисунке можно выделить 5 различных прямоугольных треугольников.
Ответ: 5.
Решение 3. №6.69 (с. 108)


Решение 4. №6.69 (с. 108)

Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по математике за 6 класс, для упражнения номер 6.69 расположенного на странице 108 для 2-й части к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по математике к упражнению №6.69 (с. 108), авторов: Виленкин (Наум Яковлевич), Жохов (Владимир Иванович), Чесноков (Александр Семёнович), Александрова (Лилия Александровна), Шварцбурд (Семён Исаакович), 2-й части ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.