Номер 6.68, страница 108, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов


Авторы: Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С., Александрова Л. А., Шварцбурд С. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 2
Цвет обложки: белый, синий, зелёный с пазлами
ISBN: 978-5-09-102533-0 (ч. 1), ISBN 978-5-09-110648-0 (ч. 2)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 6 классе
43. Координатная плоскость. § 6. Координаты на плоскости. ч. 2 - номер 6.68, страница 108.
№6.68 (с. 108)
Условие. №6.68 (с. 108)
скриншот условия

6.68. Развивай мышление. Вычислите наиболее простым способом:
11 · 2 + 12 · 3 + 13 · 4 + 14 · 5 + 15 · 6 + 16 · 7 + 17 · 8 + 18 · 9 + 19 · 10.
Решение 1. №6.68 (с. 108)
6.68
Решение 2. №6.68 (с. 108)
Для вычисления данной суммы наиболее простым способом заметим, что каждое слагаемое вида $\frac{1}{n(n+1)}$ можно представить в виде разности двух дробей. Это свойство называется разложением на простейшие дроби.
Общая формула для такого разложения выглядит так:
$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$
Давайте проверим это равенство, приведя дроби в правой части к общему знаменателю:
$\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1 \cdot (n+1)}{n(n+1)} - \frac{1 \cdot n}{n(n+1)} = \frac{n+1-n}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)}$
Равенство подтвердилось. Теперь применим эту формулу к каждому слагаемому в исходном выражении:
$\frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2}$
$\frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$
$\frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$
...и так далее до последнего слагаемого...
$\frac{1}{9 \cdot 10} = \frac{1}{9} - \frac{1}{10}$
Теперь запишем всю сумму в разложенном виде:
$S = (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{6}) + (\frac{1}{6} - \frac{1}{7}) + (\frac{1}{7} - \frac{1}{8}) + (\frac{1}{8} - \frac{1}{9}) + (\frac{1}{9} - \frac{1}{10})$
В этой сумме все промежуточные члены взаимно уничтожаются: $-\frac{1}{2}$ сокращается с $+\frac{1}{2}$, $-\frac{1}{3}$ с $+\frac{1}{3}$ и так далее. Такая сумма называется телескопической.
В результате остаются только первый и последний члены:
$S = \frac{1}{1} - \frac{1}{10}$
Осталось только вычислить разность:
$1 - \frac{1}{10} = \frac{10}{10} - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$
Ответ: $\frac{9}{10}$.
Решение 3. №6.68 (с. 108)

Решение 4. №6.68 (с. 108)

Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по математике за 6 класс, для упражнения номер 6.68 расположенного на странице 108 для 2-й части к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по математике к упражнению №6.68 (с. 108), авторов: Виленкин (Наум Яковлевич), Жохов (Владимир Иванович), Чесноков (Александр Семёнович), Александрова (Лилия Александровна), Шварцбурд (Семён Исаакович), 2-й части ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.