Страница 113, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.520. На координатной прямой отмечены числа n и m (рис. 2.10) Отметьте на координатной прямой точку с координатой: 2n; n · 12; n : 12; m · 13; m : 13; n : 23?

2.520

$$\begin{gathered} \mathrm{n} · \frac{1}{2} = \frac{\mathrm{n}}{2} \\ \mathrm{n} : \frac{1}{2} = \mathrm{n} · 2 = 2\mathrm{n} \\ \mathrm{m}· \frac{1}{3} = \frac{\mathrm{m}}{3} \\ \mathrm{m} : \frac{1}{3} = \mathrm{m} · 3 = 3\mathrm{m} \\ \mathrm{n} : \frac{2}{3} = \mathrm{n} · \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}\mathrm{n} \end{gathered}$$

Для решения задачи сначала определим единицу измерения на координатной прямой. Из рисунка видно, что расстояние от 0 до точки n состоит из двух равных отрезков (делений), а расстояние от 0 до точки m — из трех таких же отрезков. Примем длину одного такого отрезка за единицу.

Таким образом, мы можем считать, что:

• координата точки n равна 2 (т.е. $n = 2$);
• координата точки m равна 3 (т.е. $m = 3$).

Теперь, используя эти значения, найдем координаты каждой из требуемых точек и отметим их на прямой.

$2n$

Чтобы найти эту координату, нужно умножить координату точки n на 2. $2n = 2 \cdot 2 = 4$. Эта точка находится на расстоянии 4 единичных отрезков от нуля.
Ответ: Точка с координатой $2n$ находится на четвертом делении справа от 0.

$n \cdot \frac{1}{2}$

Это выражение эквивалентно делению координаты n на 2. $n \cdot \frac{1}{2} = \frac{n}{2} = \frac{2}{2} = 1$. Эта точка находится на расстоянии 1 единичного отрезка от нуля.
Ответ: Точка с координатой $n \cdot \frac{1}{2}$ находится на первом делении справа от 0.

$n : \frac{1}{2}$

Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь. $n : \frac{1}{2} = n \cdot 2 = 2 \cdot 2 = 4$. Координата этой точки равна 4.
Ответ: Точка с координатой $n : \frac{1}{2}$ совпадает с точкой $2n$ и находится на четвертом делении справа от 0.

$m \cdot \frac{1}{3}$

Это выражение эквивалентно делению координаты m на 3. $m \cdot \frac{1}{3} = \frac{m}{3} = \frac{3}{3} = 1$. Координата этой точки равна 1.
Ответ: Точка с координатой $m \cdot \frac{1}{3}$ совпадает с точкой $n \cdot \frac{1}{2}$ и находится на первом делении справа от 0.

$m : \frac{1}{3}$

Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь. $m : \frac{1}{3} = m \cdot 3 = 3 \cdot 3 = 9$. Координата этой точки равна 9.
Ответ: Точка с координатой $m : \frac{1}{3}$ находится на девятом делении справа от 0.

$n : \frac{2}{3}$

Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь. $n : \frac{2}{3} = n \cdot \frac{3}{2} = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3$. Координата этой точки равна 3, что совпадает с координатой точки m.
Ответ: Точка с координатой $n : \frac{2}{3}$ совпадает с точкой $m$ и находится на третьем делении справа от 0.

Итоговое расположение всех точек на координатной прямой показано на рисунке ниже.

2.521. Найдите значение выражения:

а) (23 : 49)²; б) (23)² : (49)²; в) (29 · 78 : 718)³.

2.521

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} {\left(\frac{2}{3} : \frac{4}{9}\right)}^2 = {\left(\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{2}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{9}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{4}}}}\right)}^2 = {\left(\frac{3}{2}\right)}^2 = \\ =\frac{3}{2} · \frac{3}{2} = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }{\left(\frac{2}{3}\right)}^2 : {\left(\frac{4}{9}\right)}^2 = \frac{2}{3} · \frac{2}{3} : \frac{4}{9} · \frac{4}{9} = \\ = \frac{4}{9} : \frac{16}{81}=\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{4}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{9}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{9}{\bcancel{81}}}}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{16}}}} =\frac{1}{1} · \frac{9}{4} = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }{\left(\frac{2}{9} · \frac{7}{8} : \frac{7}{18}\right)}^3 = {\left(\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\sout{2}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{9}}}} · \frac{\cancel{7}}{{\displaystyle \underset{4}{\sout{8}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\bcancel{18}}}}{\cancel{7}}\right)}^3 ={\left(\frac{2}{4}\right)}^3 \\ = {\left(\frac{1}{2}\right)}^3 = \frac{1}{2} · \frac{1}{2} · \frac{1}{2} = \frac{1}{8}. \end{gathered}$$

а) Чтобы найти значение выражения $(\frac{2}{3} : \frac{4}{9})^2$, сначала выполним действие в скобках. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь.

$\frac{2}{3} : \frac{4}{9} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4}$

Сократим множители в числителе и знаменателе:

$\frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 4} = \frac{\cancel{2}^1 \cdot \cancel{9}^3}{\cancel{3}^1 \cdot \cancel{4}^2} = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2} = \frac{3}{2}$

Теперь возведем полученный результат в квадрат:

$(\frac{3}{2})^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}$

Ответ: $\frac{9}{4}$.

б) Чтобы найти значение выражения $(\frac{2}{3})^2 : (\frac{4}{9})^2$, можно пойти двумя путями. Первый путь — вычислить каждую степень, а затем выполнить деление.

Возводим дроби в квадрат:

$(\frac{2}{3})^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$

$(\frac{4}{9})^2 = \frac{4^2}{9^2} = \frac{16}{81}$

Выполняем деление:

$\frac{4}{9} : \frac{16}{81} = \frac{4}{9} \cdot \frac{81}{16} = \frac{\cancel{4}^1 \cdot \cancel{81}^9}{\cancel{9}^1 \cdot \cancel{16}^4} = \frac{1 \cdot 9}{1 \cdot 4} = \frac{9}{4}$

Второй путь — использовать свойство степени частного $a^n : b^n = (a:b)^n$. В этом случае выражение становится идентичным выражению из пункта а), и результат будет таким же.

$(\frac{2}{3})^2 : (\frac{4}{9})^2 = (\frac{2}{3} : \frac{4}{9})^2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$

Ответ: $\frac{9}{4}$.

в) Чтобы найти значение выражения $(\frac{2}{9} \cdot \frac{7}{8} : \frac{7}{18})^3$, сначала выполним действия в скобках в порядке их следования.

1. Умножение:

$\frac{2}{9} \cdot \frac{7}{8} = \frac{2 \cdot 7}{9 \cdot 8} = \frac{\cancel{2}^1 \cdot 7}{9 \cdot \cancel{8}^4} = \frac{7}{36}$

2. Деление:

$\frac{7}{36} : \frac{7}{18} = \frac{7}{36} \cdot \frac{18}{7} = \frac{\cancel{7}^1 \cdot \cancel{18}^1}{\cancel{36}^2 \cdot \cancel{7}^1} = \frac{1}{2}$

3. Теперь возведем результат в куб:

$(\frac{1}{2})^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8}$

Ответ: $\frac{1}{8}$.

2.522. Найдите произведение дробей 45 и 139 и произведение дробей, обратных данным. Каким свойством обладают эти два произведения? Проверьте ваше предположение ещё на одном примере. Докажите это свойство в общем виде (с помощью буквенных выражений).

2.522

$$\begin{gathered} \frac{4}{5} · \frac{13}{9} = \frac{4 · 13}{5 · 9} = \frac{52}{45}; \\ \frac{5}{4} · \frac{9}{13} = \frac{5 · 9}{4 · 13} = \frac{45}{52}. \end{gathered}$$

Произведение дробей и произведение дробей, обратных данным, являются взаимно обратными числами.

Пример:

$$\begin{gathered} \frac{3}{7} · \frac{2}{5} = \frac{3 · 2}{7 · 5} = \frac{6}{35} \\ \frac{7}{3} · \frac{5}{2} = \frac{7 · 5}{3 · 2} = \frac{35}{6} \end{gathered}$$

числа $\frac{6}{35}$ и $\frac{35}{6}$ являются взаимно обратными

Пусть даны дроби $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$.

$\frac{a}{b} · \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$– произведение дробей

$\frac{b}{a}$ и $\frac{d}{c}$ – обратные дроби

$\frac{b}{a} · \frac{d}{c}=\frac{bd}{ac}$ – произведение обратных дробей

$\frac{ac}{bd}$ и $\frac{bd}{ac}$– взаимно обратные числа, доказано.

Найдите произведение дробей $ \frac{4}{5} $ и $ \frac{13}{9} $

Чтобы найти произведение двух дробей, необходимо перемножить их числители и их знаменатели. Произведение числителей станет новым числителем, а произведение знаменателей — новым знаменателем.

$ \frac{4}{5} \cdot \frac{13}{9} = \frac{4 \cdot 13}{5 \cdot 9} = \frac{52}{45} $

Ответ: $ \frac{52}{45} $

и произведение дробей, обратных данным.

Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1. Чтобы найти дробь, обратную данной, нужно поменять местами ее числитель и знаменатель.

Дробь, обратная дроби $ \frac{4}{5} $, это $ \frac{5}{4} $.
Дробь, обратная дроби $ \frac{13}{9} $, это $ \frac{9}{13} $.

Теперь найдем произведение этих обратных дробей:

$ \frac{5}{4} \cdot \frac{9}{13} = \frac{5 \cdot 9}{4 \cdot 13} = \frac{45}{52} $

Ответ: $ \frac{45}{52} $

Каким свойством обладают эти два произведения?

Первое произведение равно $ \frac{52}{45} $, а второе — $ \frac{45}{52} $. Эти два числа являются взаимно обратными, так как их числители и знаменатели поменяны местами. Проверим, равно ли их произведение единице:

$ \frac{52}{45} \cdot \frac{45}{52} = \frac{52 \cdot 45}{45 \cdot 52} = 1 $

Ответ: Эти два произведения являются взаимно обратными числами.

Проверьте ваше предположение ещё на одном примере.

Возьмем для примера две другие дроби: $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{7}{11} $.
1. Находим их произведение: $ \frac{2}{3} \cdot \frac{7}{11} = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 11} = \frac{14}{33} $.
2. Находим дроби, обратные данным: $ \frac{3}{2} $ и $ \frac{11}{7} $.
3. Находим произведение обратных дробей: $ \frac{3}{2} \cdot \frac{11}{7} = \frac{3 \cdot 11}{2 \cdot 7} = \frac{33}{14} $.
Полученные результаты $ \frac{14}{33} $ и $ \frac{33}{14} $ также являются взаимно обратными числами. Предположение подтвердилось.

Ответ: Предположение подтвердилось на примере дробей $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{7}{11} $, произведения которых равны $ \frac{14}{33} $ и $ \frac{33}{14} $.

Докажите это свойство в общем виде (с помощью буквенных выражений).

Пусть нам даны две произвольные дроби $ \frac{a}{b} $ и $ \frac{c}{d} $, где $ a, b, c, d $ — натуральные числа (то есть не равны нулю).

1. Найдем произведение этих дробей. Обозначим его как $ P_1 $:
$ P_1 = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} $

2. Найдем дроби, обратные данным. Это будут дроби $ \frac{b}{a} $ и $ \frac{d}{c} $.

3. Найдем произведение обратных дробей. Обозначим его как $ P_2 $:
$ P_2 = \frac{b}{a} \cdot \frac{d}{c} = \frac{b \cdot d}{a \cdot c} $

4. Чтобы доказать, что произведения $ P_1 $ и $ P_2 $ являются взаимно обратными, нужно показать, что их произведение равно 1:
$ P_1 \cdot P_2 = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \cdot \frac{b \cdot d}{a \cdot c} = \frac{(a \cdot c) \cdot (b \cdot d)}{(b \cdot d) \cdot (a \cdot c)} = 1 $

Поскольку произведение $ P_1 $ и $ P_2 $ равно 1, они по определению являются взаимно обратными числами, что и требовалось доказать.

Ответ: Произведение двух дробей $ \frac{a \cdot c}{b \cdot d} $ и произведение их обратных дробей $ \frac{b \cdot d}{a \cdot c} $ всегда являются взаимно обратными числами, так как их произведение равно 1.

2.523. Сравните значения выражения 1113 : с при с = 1; с = 213; с = 117; с = 149.

2.523

При с = 1; $1\frac{1}{13} : с = 1\frac{1}{13} : 1 = 1\frac{1}{13};$

При с = $\frac{2}{13};$

$1\frac{1}{13} : с = 1\frac{1}{13} : \frac{2}{13} = \frac{{\displaystyle \stackrel{7}{\bcancel{14}}}}{\cancel{13}} · \frac{\cancel{13}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{2}}}} = \frac{7}{1} · \frac{1}{1} = 7.$

При с = $1\frac{1}{7};$

$$\begin{gathered} 1\frac{1}{13} : с = 1\frac{1}{13} : 1\frac{1}{7} = \frac{14}{13} : \frac{8}{7}= \\ = \frac{{\displaystyle \stackrel{7}{\bcancel{14}}}}{13} · \frac{7}{{\displaystyle \underset{4}{\bcancel{8}}}} = \frac{7}{13} · \frac{7}{4} = \frac{49}{52}. \end{gathered}$$

При с = $\frac{14}{9};$

$$\begin{gathered} 1\frac{1}{13} : с = 1\frac{1}{13} : \frac{14}{9} = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{14}}}}{13} · \frac{9}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{14}}}} = \\ =\frac{1}{13} · \frac{9}{1} = {\frac{9}{13}}^{\overline{)·4}} = \frac{36}{52}. \end{gathered}$$

$\frac{36}{52} <\frac{49}{52} <1\frac{1}{13} <7.$

Чтобы сравнить значения выражения $1\frac{1}{13} : c$ при различных значениях $c$, необходимо сначала вычислить значение этого выражения для каждого предложенного случая.
Для удобства вычислений представим делимое $1\frac{1}{13}$ в виде неправильной дроби:
$1\frac{1}{13} = \frac{1 \cdot 13 + 1}{13} = \frac{14}{13}$.
Таким образом, данное выражение принимает вид $\frac{14}{13} : c$.

при c = 1

Подставим значение $c=1$ в выражение:
$\frac{14}{13} : 1 = \frac{14}{13} = 1\frac{1}{13}$.

при c = $\frac{2}{13}$

Подставим значение $c=\frac{2}{13}$. Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь:
$\frac{14}{13} : \frac{2}{13} = \frac{14}{13} \cdot \frac{13}{2} = \frac{14 \cdot 13}{13 \cdot 2}$.
Сократим общие множители 13 и 2 в числителе и знаменателе:
$\frac{14}{2} = 7$.

при c = $1\frac{1}{7}$

Сначала представим делитель $c$ в виде неправильной дроби: $c = 1\frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{8}{7}$.
Теперь выполним деление:
$\frac{14}{13} : \frac{8}{7} = \frac{14}{13} \cdot \frac{7}{8} = \frac{14 \cdot 7}{13 \cdot 8}$.
Сократим числитель и знаменатель на 2:
$\frac{7 \cdot 7}{13 \cdot 4} = \frac{49}{52}$.

при c = $\frac{14}{9}$

Подставим значение $c=\frac{14}{9}$ в выражение:
$\frac{14}{13} : \frac{14}{9} = \frac{14}{13} \cdot \frac{9}{14}$.
Сократим дробь на 14:
$\frac{9}{13}$.

Сравнение полученных значений

Мы получили четыре значения: $1\frac{1}{13}$, $7$, $\frac{49}{52}$ и $\frac{9}{13}$.
Чтобы их сравнить, приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 13 и 52 - это 52.

1. Значение при $c=1$: $1\frac{1}{13} = \frac{14}{13} = \frac{14 \cdot 4}{13 \cdot 4} = \frac{56}{52}$.

2. Значение при $c=\frac{2}{13}$: $7 = \frac{7}{1} = \frac{7 \cdot 52}{1 \cdot 52} = \frac{364}{52}$.

3. Значение при $c=1\frac{1}{7}$: $\frac{49}{52}$.

4. Значение при $c=\frac{14}{9}$: $\frac{9}{13} = \frac{9 \cdot 4}{13 \cdot 4} = \frac{36}{52}$.

Теперь сравним полученные дроби по их числителям:
$36 < 49 < 56 < 364$.
Следовательно, в порядке возрастания значения располагаются так:
$\frac{36}{52} < \frac{49}{52} < \frac{56}{52} < \frac{364}{52}$.
Возвращаясь к исходным результатам, получаем:
$\frac{9}{13} < \frac{49}{52} < 1\frac{1}{13} < 7$.

Ответ: Значения выражений, расположенные в порядке возрастания: $\frac{9}{13}$ (получено при $c=\frac{14}{9}$), $\frac{49}{52}$ (получено при $c=1\frac{1}{7}$), $1\frac{1}{13}$ (получено при $c=1$) и $7$ (получено при $c=\frac{2}{13}$).

2.524. Составьте задачу, которая решается с помощью уравнения:

а) с · 4 = 19; б) 214 – а = 113; в) 316 : z = 16.

2.524

а) Петя задумал число. Умножил это число на 4 и в результате получил $\frac{1}{9}$. Какое число задумал Петя?

б) Мама купила $2\frac{1}{4}$ кг клубники. После того как съели некоторое количество клубники, ее осталось $1\frac{1}{3}$кг. Сколько килограмм клубники съели?

в) Велосипедист проехал $3\frac{1}{6}$ км за $\frac{1}{6}$ ч. С какой скоростью ехал велосипедист?

Задача: Площадь прямоугольника равна $\frac{1}{9}$ квадратного метра, а одна из его сторон равна 4 метрам. Какова длина второй стороны прямоугольника?

Решение:

Пусть $c$ — это длина неизвестной стороны в метрах. Площадь прямоугольника вычисляется как произведение длин его сторон. Таким образом, мы можем составить следующее уравнение:

$c \cdot 4 = \frac{1}{9}$

Чтобы найти неизвестный множитель $c$, необходимо произведение ($\frac{1}{9}$) разделить на известный множитель (4):

$c = \frac{1}{9} : 4$

Для деления дроби на целое число, мы умножаем знаменатель дроби на это число:

$c = \frac{1}{9 \cdot 4} = \frac{1}{36}$

Следовательно, длина второй стороны прямоугольника составляет $\frac{1}{36}$ метра.

Ответ: $c = \frac{1}{36}$.

Задача: У Маши было $2\frac{1}{4}$ кг яблок. После того, как она сварила из части яблок варенье, у нее осталось $1\frac{1}{3}$ кг яблок. Сколько килограммов яблок ушло на варенье?

Решение:

Обозначим через $a$ массу яблок (в кг), которая пошла на варенье. Исходя из условия, составим уравнение:

$2\frac{1}{4} - a = 1\frac{1}{3}$

В этом уравнении $a$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы его найти, нужно из уменьшаемого ($2\frac{1}{4}$) вычесть разность ($1\frac{1}{3}$):

$a = 2\frac{1}{4} - 1\frac{1}{3}$

Для выполнения вычитания представим смешанные числа в виде неправильных дробей:

$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$

$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$

Теперь приведем дроби к общему знаменателю 12 и выполним вычитание:

$a = \frac{9}{4} - \frac{4}{3} = \frac{9 \cdot 3}{12} - \frac{4 \cdot 4}{12} = \frac{27 - 16}{12} = \frac{11}{12}$

На варенье ушло $\frac{11}{12}$ кг яблок.

Ответ: $a = \frac{11}{12}$.

Задача: Туристы прошли маршрут длиной $3\frac{1}{6}$ км за несколько часов. За каждый час они проходили по $\frac{1}{6}$ км. Сколько часов туристы были в пути?

Решение:

Пусть $z$ — это время в часах, которое туристы были в пути. Чтобы найти расстояние, пройденное за один час, нужно общую длину маршрута разделить на количество часов. Это можно выразить уравнением:

$3\frac{1}{6} : z = \frac{1}{6}$

Здесь $z$ — неизвестный делитель. Чтобы его найти, нужно делимое ($3\frac{1}{6}$) разделить на частное ($\frac{1}{6}$):

$z = 3\frac{1}{6} : \frac{1}{6}$

Сначала переведем смешанное число $3\frac{1}{6}$ в неправильную дробь:

$3\frac{1}{6} = \frac{3 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{19}{6}$

Теперь выполним деление дробей. Для этого первую дробь умножим на дробь, обратную второй:

$z = \frac{19}{6} : \frac{1}{6} = \frac{19}{6} \cdot \frac{6}{1} = \frac{19 \cdot 6}{6 \cdot 1} = 19$

Туристы были в пути 19 часов.

Ответ: $z = 19$.

2.525. Шестеро друзей ели арбуз. Первый съел шестую часть арбуза, второй — пятую часть остатка, третий — треть того, что оставил второй, четвёртый — четверть нового остатка, пятый — половину того, что оставил четвёртый, а шестой доел остатки арбуза. Кто из друзей сbел больше всех?

2.525

$\mathbf{1}\mathbf{)} 1 - \frac{1}{6} = \frac{6}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$(части)-осталась после первого ;

$\mathbf{2}\mathbf{)} \frac{\cancel{5}}{6} · \frac{1}{\cancel{5}} = \frac{1}{6} · \frac{1}{1} = \frac{1}{6}$(часть)-съел второй ;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{5}{6} - \frac{1}{6} = \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{4}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{6}}}} = \frac{2}{3}$(часть)-осталась после второго;

$\mathbf{4}\mathbf{)} \frac{2}{3} · \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$ (части)-съел третий;

$\mathbf{5}\mathbf{)} {\frac{2}{3}}^{\overline{)·3}} - \frac{2}{9} = \frac{6}{9} - \frac{2}{9} =\frac{4}{9}$(части)-осталась после третьего;

$\mathbf{6}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{\cancel{4}}{9} · \frac{1}{\cancel{4}} = \frac{1}{9} · \frac{1}{1} = \frac{1}{9}$(часть)-съел четвертый;

$\mathbf{7}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{4}{9} - \frac{1}{9} = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{3}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{9}}}} =\frac{1}{3}$(часть)-осталась после четвертого;

$\mathbf{8}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{1}{3} · \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$(часть)-съел пятый;

$\mathbf{9}\mathbf{)} {\frac{1}{3}}^{\overline{)·2}} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$(часть)-съел шестой.   

$\frac{3}{18}; \frac{3}{18}; \frac{4}{18}; \frac{2}{18}; \frac{3}{18}; \frac{3}{18}$

наибольшее число $\frac{4}{18} = \frac{2}{9}$

Ответ: третий друг.

Чтобы определить, кто из друзей съел больше всех арбуза, необходимо вычислить долю, съеденную каждым другом, от всего арбуза. Примем целый арбуз за единицу (1).

1. Первый друг съел шестую часть арбуза.
Доля первого друга: $\frac{1}{6}$.
Осталось от арбуза: $1 - \frac{1}{6} = \frac{6}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

2. Второй друг съел пятую часть остатка.
Доля второго друга: $\frac{1}{5} \times \frac{5}{6} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$.
Осталось от арбуза: $\frac{5}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

3. Третий друг съел треть того, что оставил второй.
Доля третьего друга: $\frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$.
Осталось от арбуза: $\frac{2}{3} - \frac{2}{9} = \frac{6}{9} - \frac{2}{9} = \frac{4}{9}$.

4. Четвёртый друг съел четверть нового остатка.
Доля четвёртого друга: $\frac{1}{4} \times \frac{4}{9} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.
Осталось от арбуза: $\frac{4}{9} - \frac{1}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

5. Пятый друг съел половину того, что оставил четвёртый.
Доля пятого друга: $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.
Осталось от арбуза: $\frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$.

6. Шестой друг доел остатки.
Доля шестого друга: $\frac{1}{6}$.

Теперь сравним доли, которые съел каждый из друзей:
Первый: $\frac{1}{6}$
Второй: $\frac{1}{6}$
Третий: $\frac{2}{9}$
Четвёртый: $\frac{1}{9}$
Пятый: $\frac{1}{6}$
Шестой: $\frac{1}{6}$

Для сравнения дробей приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 9 — это 18.
$\frac{1}{6} = \frac{1 \times 3}{6 \times 3} = \frac{3}{18}$
$\frac{2}{9} = \frac{2 \times 2}{9 \times 2} = \frac{4}{18}$
$\frac{1}{9} = \frac{1 \times 2}{9 \times 2} = \frac{2}{18}$

Итак, доли друзей в общем знаменателе:
Первый: $\frac{3}{18}$
Второй: $\frac{3}{18}$
Третий: $\frac{4}{18}$
Четвёртый: $\frac{2}{18}$
Пятый: $\frac{3}{18}$
Шестой: $\frac{3}{18}$

Сравнивая числители, мы видим, что $4 > 3 > 2$. Самая большая доля, $\frac{4}{18}$, принадлежит третьему другу.

Ответ: Третий друг съел больше всех.

2.526. Высота рябины составляет 49 высоты берёзы. Найдите высоту берёзы, если высота рябины 2 м.

2.526

$2 : \frac{4}{9} = \stackrel{1}{\cancel{2}} ·\frac{9}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}} = 1 · \frac{9}{2} = 4,5$ (м)-высота березы

Ответ: 4,5 м.

Для решения этой задачи нам нужно найти целое число (высоту берёзы), зная его часть (высоту рябины) и долю, которую эта часть составляет.

Обозначим высоту берёзы переменной $x$.

Из условия известно, что высота рябины составляет $\frac{4}{9}$ от высоты берёзы. Также нам дана высота рябины, которая равна 2 метрам.

Мы можем составить следующее уравнение:

$\frac{4}{9} \cdot x = 2$

Чтобы найти $x$ (полную высоту берёзы), нам нужно 2 (известную часть) разделить на дробь $\frac{4}{9}$:

$x = 2 : \frac{4}{9}$

Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю (то есть на $\frac{9}{4}$):

$x = 2 \cdot \frac{9}{4} = \frac{18}{4}$

Теперь сократим полученную дробь:

$x = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} = 4,5$ м.

Следовательно, высота берёзы равна 4,5 метра.

Ответ: 4,5 м.

2.527. Автомат изготавливает в час 4 детали, что составляет 16 % того, что надо изготовить. Сколько деталей требуется изготовить? Сколько времени это займёт?

2.527

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }4 : 0,16 = 400 : 16 = 25$(д) – требуется изготовить; 

$\mathbf{2}\mathbf{)} 24 : 4 = \frac{25}{4} = {6\frac{1}{4}}^{\overline{)·25}} =6\frac{25}{100} = 6,25$ (ч) – потребуется

Ответ: 25 деталей; 6,25 ч.

Сколько деталей требуется изготовить?

В задаче указано, что 4 изготовленные детали составляют 16% от общего плана. Чтобы найти общее количество деталей (100%), можно составить пропорцию или разделить количество изготовленных деталей на долю, которую они составляют.

Пусть $x$ — это общее количество деталей, которое нужно изготовить. Тогда 16% от $x$ равно 4. Запишем это в виде уравнения:

$0.16 \cdot x = 4$

Чтобы найти $x$, разделим 4 на 0.16:

$x = \frac{4}{0.16} = 25$

Таким образом, всего требуется изготовить 25 деталей.

Ответ: требуется изготовить 25 деталей.

Сколько времени это займёт?

Мы знаем, что общее количество деталей — 25. Производительность автомата составляет 4 детали в час. Чтобы найти общее время, необходимое для изготовления всех деталей, нужно разделить общее количество деталей на производительность автомата:

$T = \frac{Общее \ количество \ деталей}{Производительность} = \frac{25}{4} = 6.25$ часа.

Результат 6.25 часа означает 6 полных часов и 0.25 часа. Переведем 0.25 часа в минуты, умножив на 60:

$0.25 \cdot 60 = 15$ минут.

Следовательно, на изготовление всех деталей потребуется 6 часов 15 минут.

Ответ: это займёт 6 часов 15 минут.

2.528. На клумбе 55 % всех цветов составляют ирисы. Остальные 9 цветов — флоксы. Сколько ирисов на клумбе?

2.528

Ирисы - ? , 55%

Флоксы – 9.

Всех цветов - ?

$\mathbf{1}\mathbf{)} 100\% - 55\% = 45\% = 0,45$- составляют флоксы;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 9 : 0,45 = 900 : 45 =20$(цветов) – всего на клумбе;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 20 – 9 = 11$(ирисов) – на клумбе.

Ответ: 11 ирисов.

Для решения этой задачи нужно выполнить несколько шагов.

1. Сначала определим, какой процент от всех цветов на клумбе составляют флоксы. Все цветы принимаем за 100%. Поскольку ирисы составляют 55%, то доля флоксов будет:

$100\% - 55\% = 45\%$

2. Из условия задачи мы знаем, что количество флоксов — 9 штук, и это составляет 45% от общего числа цветов. Теперь мы можем найти общее количество цветов на клумбе. Обозначим общее количество цветов за $x$. Составим пропорцию:

$9 \text{ цветов} — 45\%$

$x \text{ цветов} — 100\%$

Решим пропорцию относительно $x$:

$x = \frac{9 \cdot 100}{45} = \frac{900}{45} = 20$

Таким образом, всего на клумбе 20 цветов.

3. Теперь, когда мы знаем общее количество цветов, мы можем найти, сколько среди них ирисов. Ирисы составляют 55% от всех цветов:

$20 \cdot 0.55 = 11$

Также можно было просто вычесть количество флоксов из общего числа цветов:

$20 - 9 = 11$

Ответ: на клумбе 11 ирисов.

2.529. Масса солёной рыбы составляет 88 % массы свежей рыбы. Сколько нужно взять свежей рыбы, чтобы получить 616 кг солёной?

2.529

$616 : 0,88 = 61600 : 88 = 700$(кг) – свежей рыбы нужно взять.

Ответ: 700 кг.

Для решения этой задачи составим пропорцию или решим уравнение. Пусть $x$ — это искомая масса свежей рыбы в кг.

По условию, масса солёной рыбы составляет 88% от массы свежей. Чтобы выразить проценты в виде десятичной дроби, разделим 88 на 100:

$88\% = \frac{88}{100} = 0.88$

Это означает, что масса солёной рыбы, полученной из $x$ кг свежей, равна $0.88 \cdot x$. Нам дано, что масса солёной рыбы составляет 616 кг. Составим уравнение:

$0.88 \cdot x = 616$

Чтобы найти $x$ (массу свежей рыбы), нужно разделить массу солёной рыбы на долю, которую она составляет от свежей:

$x = \frac{616}{0.88}$

Для удобства вычислений можно умножить числитель и знаменатель дроби на 100, чтобы избавиться от десятичного знака в знаменателе:

$x = \frac{616 \cdot 100}{0.88 \cdot 100} = \frac{61600}{88}$

Теперь выполним деление. Можно заметить, что $616 = 7 \cdot 88$.

Проверка: $7 \cdot 88 = 7 \cdot (80 + 8) = 560 + 56 = 616$.

Тогда:

$x = \frac{7 \cdot 88 \cdot 100}{88} = 7 \cdot 100 = 700$

Таким образом, чтобы получить 616 кг солёной рыбы, необходимо взять 700 кг свежей рыбы.

Ответ: 700 кг.

2.530. Чему равно число, если:

а) 45 % его равны 54; б) 1120 его равны 4,4; в) 0,7 его равны 245?

2.530

$\mathit{а}\mathbf{)} 45\% = 0,45; 54 : 0,45 = 5400 : 45 = 120;$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }4,4 : \frac{11}{20} = 4\frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{4}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{10}}}} · \frac{20}{11} = 4\frac{2}{5} · \frac{20}{11} \\ =\frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\bcancel{22}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\cancel{20}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{11}}}} =\frac{2 · 4}{1 ·1} =8; \end{gathered}$$

$\mathit{в}\mathbf{)}{ 2\frac{4}{5}}^{\overline{)·2}} : 0,7 = 2\frac{8}{10} : 0,7 = 2,8 : 0,7 = 28 : 7 = 4.$

a) Чтобы найти число, 45% которого равны 54, нужно составить уравнение. Обозначим искомое число через $x$. Сначала представим проценты в виде десятичной дроби: $45\% = 0,45$. Теперь составим уравнение:

$0,45 \cdot x = 54$

Чтобы найти $x$, разделим 54 на 0,45:

$x = \frac{54}{0,45}$

Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель на 100, чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе:

$x = \frac{54 \cdot 100}{0,45 \cdot 100} = \frac{5400}{45}$

Выполним деление:

$x = 120$

Ответ: 120

б) Чтобы найти число, $\frac{11}{20}$ которого равны 4,4, составим уравнение с неизвестным $x$:

$\frac{11}{20} \cdot x = 4,4$

Чтобы найти $x$, нужно разделить 4,4 на $\frac{11}{20}$. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь. Представим 4,4 как обыкновенную дробь $\frac{44}{10}$:

$x = 4,4 \div \frac{11}{20} = \frac{44}{10} \cdot \frac{20}{11}$

Сократим дроби перед умножением (44 и 11 сокращаются на 11, 20 и 10 сокращаются на 10) и вычислим результат:

$x = \frac{44 \cdot 20}{10 \cdot 11} = \frac{4 \cdot 2}{1 \cdot 1} = 8$

Ответ: 8

в) Чтобы найти число, 0,7 которого равны $2\frac{4}{5}$, составим уравнение с неизвестным $x$:

$0,7 \cdot x = 2\frac{4}{5}$

Для удобства решения переведем оба числа в один формат. Проще всего перевести их в десятичные дроби. Преобразуем смешанное число $2\frac{4}{5}$:

$2\frac{4}{5} = 2 + \frac{4}{5} = 2 + 0,8 = 2,8$

Теперь уравнение выглядит так:

$0,7 \cdot x = 2,8$

Найдем $x$, разделив 2,8 на 0,7:

$x = \frac{2,8}{0,7} = \frac{28}{7} = 4$

Ответ: 4

2.531. Площадь дома равна 108 м² и составляет 35 площади всех построек на участке. Постройки составляют 29 площади участка. Найдите площадь участка и выразите её в сотках.

2.531

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }108 : \frac{3}{5} = \stackrel{36}{\cancel{108}} · \frac{5}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} = 36 · 5 =180$(м²)-площадь всех построек;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }180 : \frac{2}{9} = \stackrel{90}{\cancel{180}} · \frac{9}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{2}}}} = 90 · 9 =810$ (м²) = 8,1 (соток)-площадь
участка.

Ответ: 8,1 соток.

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько последовательных шагов. Сначала найдем общую площадь всех построек, затем площадь всего участка и, наконец, выразим ее в сотках.

1. Найти площадь всех построек на участке.
Известно, что площадь дома составляет $108 \text{ м}^2$, что соответствует $\frac{3}{5}$ площади всех построек. Чтобы найти общую площадь построек (целое число по его части), нужно площадь дома разделить на эту дробь:
$108 \div \frac{3}{5} = 108 \cdot \frac{5}{3} = \frac{108 \cdot 5}{3} = 36 \cdot 5 = 180 \text{ м}^2$.
Таким образом, общая площадь всех построек равна $180 \text{ м}^2$.

2. Найти площадь участка.
Далее, в условии сказано, что площадь всех построек ($180 \text{ м}^2$) составляет $\frac{2}{9}$ от общей площади участка. Чтобы найти площадь всего участка, необходимо площадь построек разделить на эту дробь:
$180 \div \frac{2}{9} = 180 \cdot \frac{9}{2} = \frac{180 \cdot 9}{2} = 90 \cdot 9 = 810 \text{ м}^2$.
Итак, площадь участка составляет $810 \text{ м}^2$.

3. Выразить площадь участка в сотках.
Одна сотка равна $100$ квадратным метрам ($1 \text{ сотка} = 100 \text{ м}^2$). Для перевода площади из квадратных метров в сотки, нужно разделить ее значение на $100$:
$810 \text{ м}^2 \div 100 = 8,1 \text{ сотки}$.

Ответ: площадь участка равна $810 \text{ м}^2$, что составляет $8,1$ сотки.

2.532. Таня запланировала прочитать за неделю 80 % повести. За первый день она прочитала 16 страниц повести, что составило 20 % запланированного. Сколько страниц в повести?

2.532

$\mathbf{1}\mathbf{)} 16 : 0,2 = 160 : 2 = 80$(стр.) – запланировала прочитать Таня;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 80 : 0,8 = 800 : 8 = 100$(стр.) – всего в повести.

Ответ: 100 страниц.

Для решения задачи нужно последовательно выполнить два действия: сначала найти, сколько страниц Таня запланировала прочитать за неделю, а затем вычислить общее количество страниц в книге.

1. Найдем количество страниц, которое Таня запланировала прочитать за неделю.

По условию, 16 прочитанных страниц составляют 20% от запланированного на неделю объема. Обозначим количество запланированных страниц как $x$. Чтобы найти целое по его части, нужно значение этой части (16 страниц) разделить на долю, которую она составляет. Представим 20% в виде десятичной дроби: $20\% = 0.2$.

$x = \frac{16}{0.2} = 80$ страниц.

Следовательно, Таня запланировала прочитать за неделю 80 страниц.

2. Найдем общее количество страниц в повести.

Теперь мы знаем, что запланированные 80 страниц составляют 80% от всей повести. Обозначим общее количество страниц в повести как $y$. Аналогично первому шагу, найдем общее количество страниц. Представим 80% в виде десятичной дроби: $80\% = 0.8$.

$y = \frac{80}{0.8} = 100$ страниц.

Таким образом, общее количество страниц в повести — 100.

Ответ: 100 страниц.

2.533. 1) В гостинице 200 номеров. Из них одноместные номера составляют 40 %, двухместных номеров на 32 больше, чем одноместных, а остальные — номера люкс. Сколько номеров люкс в гостинице?

2) В театре 800 мест. Из них 55 % — места в партере, в амфитеатре на 200 мест меньше, чем в партере, а остальные — в бельэтаже. Сколько мест в бельэтаже?

2.533

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }200 · 0,4 = 80$(номеров) – одноместных;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 80 + 32 = 112$(номеров) – двухместных;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 80 + 112 = 192$(номера) – одноместных и двухместных вместе;

$\mathbf{4}\mathbf{)} 200 – 192 = 8$(номеров) – люкс.

Ответ: 8 номеров.

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }800 · 0,55 = 440$(мест) – в партере;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 440 – 200 = 240$(мест) – в амфитеатре;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }440 + 240 = 680$(мест) – в партере и амфитеатре;

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }800 – 680 = 120$(мест) – в бельэтаже.

Ответ: 120 мест.

1)

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдем количество одноместных номеров. Они составляют 40% от общего числа номеров (200). Чтобы найти процент от числа, нужно число умножить на дробь, выражающую этот процент.

   $200 \cdot \frac{40}{100} = 200 \cdot 0.4 = 80$ (одноместных номеров).

2. Найдем количество двухместных номеров. Их на 32 больше, чем одноместных.

   $80 + 32 = 112$ (двухместных номеров).

3. Найдем общее количество одноместных и двухместных номеров.

   $80 + 112 = 192$ (номера).

4. Найдем количество номеров люкс. Для этого из общего числа номеров вычтем сумму одноместных и двухместных номеров.

   $200 - 192 = 8$ (номеров люкс).

Ответ: 8 номеров люкс.

2)

Решим задачу по действиям:

1. Найдем количество мест в партере. Они составляют 55% от общего числа мест в театре (800).

   $800 \cdot \frac{55}{100} = 800 \cdot 0.55 = 440$ (мест в партере).

2. Найдем количество мест в амфитеатре. Их на 200 меньше, чем мест в партере.

   $440 - 200 = 240$ (мест в амфитеатре).

3. Найдем общее количество мест в партере и амфитеатре.

   $440 + 240 = 680$ (мест).

4. Найдем количество мест в бельэтаже. Для этого из общего числа мест вычтем сумму мест в партере и амфитеатре.

   $800 - 680 = 120$ (мест в бельэтаже).

Ответ: 120 мест.

6.89. В таблице приведены среднемесячные температуры жаркого (Репетек в Каракумах) и холодного (Оймякон в Якутии) мест. Начертите графики изменения температуры в Репетеке и Оймяконе в одной координатной плоскости. Масштаб горизонтальной оси – 1 месяц в 1 см, вертикальной – 10 °C в 1 см.

Используя график, ответьте на следующие вопросы:
а) в каком месяце разница температур в Репетеке и Оймяконе наименьшая;
б) в каком месяце разница температур в Репетеке и Оймяконе наибольшая;
в) на сколько градусов меняется температура в Оймяконе за год;
г) на сколько градусов меняется температура в Репетеке за год;
д) в какие месяцы температура положительная;
e) в какие месяцы температура отрицательная?

6.89

а) наименьшая разница температур в июле

б) наибольшая разница температур в январе

в) в Оймяконе за год температура меняется на 15 – (-50) = 15 + 50 = 65°

г) в Репетеке за год температура меняется на 31 – 1 = 30°

д) температура положительная в обеих городах с мая по сентябрь
В Репетеке температура весь год положительная.
В Оймяконе положительная температура с мая по сентябрь

е) температура отрицательная только в Оймяконе с января по апрель и с октября по декабрь

Для решения задачи сначала мысленно построим графики изменения температуры для Репетека и Оймякона в одной координатной плоскости, как того требует условие. По горизонтальной оси (ось абсцисс) отложим месяцы (от 1 до 12), а по вертикальной оси (ось ординат) — температуру в градусах Цельсия. Затем соединим точки для каждого места, чтобы получить два графика (ломаные линии).

График для Репетека будет полностью лежать в области положительных температур, плавно поднимаясь с января по июль и опускаясь к декабрю. График для Оймякона будет иметь гораздо большую амплитуду, начинаясь с очень низких температур зимой, пересекая нулевую отметку весной, достигая максимума летом и снова уходя в глубокий минус осенью.

Используя данные из таблицы (что эквивалентно анализу построенного графика), ответим на вопросы.

а) в каком месяце разница температур в Репетеке и Оймяконе наименьшая;

Чтобы найти наименьшую разницу, необходимо для каждого месяца вычислить модуль разности температур между Репетеком и Оймяконом. На графике это соответствует нахождению точки, где вертикальное расстояние между двумя линиями минимально. Рассчитаем разницу температур $\Delta T = T_{Репетек} - T_{Оймякон}$ для каждого месяца:

• Январь (1): $1 - (-50) = 51^\circ\text{C}$
• Февраль (2): $4 - (-44) = 48^\circ\text{C}$
• Март (3): $10 - (-32) = 42^\circ\text{C}$
• Апрель (4): $18 - (-15) = 33^\circ\text{C}$
• Май (5): $24 - 2 = 22^\circ\text{C}$
• Июнь (6): $29 - 12 = 17^\circ\text{C}$
• Июль (7): $31 - 15 = 16^\circ\text{C}$
• Август (8): $29 - 10 = 19^\circ\text{C}$
• Сентябрь (9): $22 - 2 = 20^\circ\text{C}$
• Октябрь (10): $15 - (-15) = 30^\circ\text{C}$
• Ноябрь (11): $8 - (-36) = 44^\circ\text{C}$
• Декабрь (12): $3 - (-47) = 50^\circ\text{C}$

Сравнивая полученные значения, видим, что наименьшая разница составляет $16^\circ\text{C}$ и наблюдается в 7-м месяце (июле).

Ответ: в 7-м месяце (июле).

б) в каком месяце разница температур в Репетеке и Оймяконе наибольшая;

Используя вычисления из предыдущего пункта, находим месяц с наибольшей разницей температур. На графике это соответствует максимальному вертикальному расстоянию между линиями. Максимальное значение равно $51^\circ\text{C}$ и наблюдается в 1-м месяце (январе).

Ответ: в 1-м месяце (январе).

в) на сколько градусов меняется температура в Оймяконе за год;

Годовое изменение температуры (годовая амплитуда) — это разница между максимальной и минимальной температурой за год. Для Оймякона:
Максимальная температура: $T_{max} = 15^\circ\text{C}$ (в июле).
Минимальная температура: $T_{min} = -50^\circ\text{C}$ (в январе).
Годовая амплитуда: $\Delta T_{год} = T_{max} - T_{min} = 15 - (-50) = 15 + 50 = 65^\circ\text{C}$.

Ответ: на $65^\circ\text{C}$.

г) на сколько градусов меняется температура в Репетеке за год;

Аналогично находим годовую амплитуду температур для Репетека:
Максимальная температура: $T_{max} = 31^\circ\text{C}$ (в июле).
Минимальная температура: $T_{min} = 1^\circ\text{C}$ (в январе).
Годовая амплитуда: $\Delta T_{год} = T_{max} - T_{min} = 31 - 1 = 30^\circ\text{C}$.

Ответ: на $30^\circ\text{C}$.

д) в какие месяцы температура положительная;

Проанализируем данные для каждого места. На графике это соответствует точкам, лежащим выше оси абсцисс ($T=0$).
В Репетеке все среднемесячные температуры в течение года положительны (от $1^\circ\text{C}$ до $31^\circ\text{C}$).
В Оймяконе положительные температуры ($T > 0$) наблюдаются в 5-м (май), 6-м (июнь), 7-м (июль), 8-м (август) и 9-м (сентябрь) месяцах.

Ответ: в Репетеке — во все месяцы (с 1-го по 12-й); в Оймяконе — в 5, 6, 7, 8, 9-м месяцах.

е) в какие месяцы температура отрицательная?

Проанализируем данные для каждого места. На графике это соответствует точкам, лежащим ниже оси абсцисс ($T=0$).
В Репетеке нет месяцев с отрицательной среднемесячной температурой.
В Оймяконе отрицательные температуры ($T < 0$) наблюдаются в 1-м (январь), 2-м (февраль), 3-м (март), 4-м (апрель), 10-м (октябрь), 11-м (ноябрь) и 12-м (декабрь) месяцах.

Ответ: в Репетеке — нет таких месяцев; в Оймяконе — в 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12-м месяцах.

6.90. Выйдя из дома, Миша шёл 0,5 ч до реки и ловил рыбу 2 ч, а потом 2 ч он шёл в гости к бабушке, где в течение 1,5 ч они варили уху и обедали. После обеда Миша отправился домой. На всё это он затратил 7 ч. График движения Миши изображён на рисунке 6.33. По графику определите:
а) расстояние от дома через 30 мин после выхода Миши из дома; через 4 ч 40 мин после выхода из дома;
б) через сколько часов после выхода из дома Миша был в 3 км от дома;
в) на каком наибольшем расстоянии от дома был Миша;
г) в какое время расстояние от дома увеличивалось; уменьшалось; не изменялось;
д) расстояние между домами бабушки и Миши;
e) скорость Миши в первые полчаса пути; между 2,5 ч и 3 ч после выхода из дома.

6.90

а) через 30 мин после выхода из дома расстояние до дома было 2,5 км
через 4 ч 40 мин после выхода из дома расстояние до дома было 5,5 км

б) в 3 км от дома Миша был в 2 ч 40 мин и 6 ч 24 мин

в) наибольшее расстояние от дома – 5,5 км

г) расстояние от дома увеличивалось с 0 ч до 0,5 ч и с 2,5 ч до 4,5 ч
расстояние от дома уменьшалось с 6 до 7 ч
расстояние от дома не изменялось с 0,5 ч до 2,5 ч и с 4,5 ч до 6 ч

д) расстояние между домами бабушки и Миши равно 5,5 км

е) 2,5 : 0,5 = 25 : 5 = 5 (км/ч) – скорость в первый час пути;
5,5 : 1 = 5,5 (км/ч) – скорость в последний час пути;
1,5 : 0,5 = 15 : 5 = 3 (км/ч) – скорость между 2,5 ч и 3 ч.

а) расстояние от дома через 30 мин после выхода Миши из дома; через 4 ч 40 мин после выхода из дома;

1. Чтобы найти расстояние через 30 минут, найдём на оси времени (ось x) точку, соответствующую 30 минутам. 30 минут – это $0,5$ часа. Найдём на графике точку с координатой по оси времени $t = 0,5$ ч. Из этой точки проведём вертикальную линию до пересечения с графиком, а затем горизонтальную линию до пересечения с осью расстояний (ось y). Получаем, что при $t = 0,5$ ч, расстояние $s = 2,5$ км.

2. Чтобы найти расстояние через 4 часа 40 минут, переведём минуты в часы: $40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3}$ ч. Таким образом, нам нужно найти расстояние в момент времени $t = 4 + \frac{2}{3}$ ч $\approx 4,67$ ч. Найдём этот момент времени на графике. Он находится в промежутке от 4,5 ч до 6 ч. В этом промежутке времени график представляет собой горизонтальную линию на уровне $s = 5,5$ км. Это означает, что расстояние от дома не менялось и было постоянным, так как Миша был в гостях у бабушки. Следовательно, через 4 ч 40 мин Миша находился на расстоянии 5,5 км от дома.

Ответ: через 30 мин расстояние от дома составляло 2,5 км; через 4 ч 40 мин – 5,5 км.

б) через сколько часов после выхода из дома Миша был в 3 км от дома;

Чтобы найти время, когда Миша был в 3 км от дома, найдём на оси расстояний (ось y) точку $s = 3$ км и проведём горизонтальную линию до пересечения с графиком. Мы видим, что линия пересекает график в двух точках, одна на пути к бабушке, другая — на пути домой.

1. Первое пересечение происходит на участке пути от 2,5 ч до 4,5 ч. Этот участок представляет собой прямую, проходящую через точки $(2,5; 2,5)$ и $(4,5; 5,5)$. Найдём уравнение этой прямой. Сначала найдём скорость (угловой коэффициент): $v_1 = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{5,5 - 2,5}{4,5 - 2,5} = \frac{3}{2} = 1,5$ км/ч. Уравнение движения имеет вид $s(t) = s_0 + v \cdot (t - t_0)$. Используя точку $(2,5; 2,5)$, получаем: $s(t) = 2,5 + 1,5 \cdot (t - 2,5)$. Найдём время $t$, когда $s(t) = 3$ км: $3 = 2,5 + 1,5 \cdot (t - 2,5)$
$0,5 = 1,5 \cdot (t - 2,5)$
$t - 2,5 = \frac{0,5}{1,5} = \frac{1}{3}$
$t = 2,5 + \frac{1}{3} = \frac{5}{2} + \frac{1}{3} = \frac{15+2}{6} = \frac{17}{6}$ ч. Переведём в часы и минуты: $\frac{17}{6} \text{ ч} = 2 \frac{5}{6} \text{ ч} = 2$ часа и $\frac{5}{6} \cdot 60 = 50$ минут.

2. Второе пересечение происходит на обратном пути, на участке от 6 ч до 7 ч. Этот участок проходит через точки $(6; 5,5)$ и $(7; 0)$. Скорость на этом участке: $v_2 = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{0 - 5,5}{7 - 6} = -5,5$ км/ч. Используя точку $(7; 0)$, получим уравнение движения: $s(t) = 0 - 5,5(t-7)$. Найдём время $t$, когда $s(t) = 3$ км: $3 = -5,5(t-7)$
$t - 7 = -\frac{3}{5,5} = -\frac{30}{55} = -\frac{6}{11}$
$t = 7 - \frac{6}{11} = \frac{77 - 6}{11} = \frac{71}{11}$ ч. Переведём в часы и минуты: $\frac{71}{11} \text{ ч} = 6 \frac{5}{11} \text{ ч} \approx 6$ часов и $\frac{5}{11} \cdot 60 \approx 27$ минут.

Ответ: Миша был в 3 км от дома через $2 \frac{5}{6}$ часа (2 часа 50 минут) и через $6 \frac{5}{11}$ часа (примерно 6 часов 27 минут) после выхода из дома.

в) на каком наибольшем расстоянии от дома был Миша;

Наибольшее расстояние от дома соответствует максимальному значению на оси y (Расстояние, км). Из графика видно, что самая высокая точка графика соответствует расстоянию $s = 5,5$ км. Это расстояние было достигнуто, когда Миша пришёл к бабушке, и не менялось, пока он был у неё в гостях (с 4,5 ч до 6 ч).

Ответ: наибольшее расстояние от дома, на котором был Миша, составляет 5,5 км.

г) в какое время расстояние от дома увеличивалось; уменьшалось; не изменялось;

Анализируем наклон графика движения: Расстояние увеличивалось, когда график идёт вверх (положительный наклон). Это происходит на временных промежутках от 0 до 0,5 часа (путь до реки) и от 2,5 до 4,5 часов (путь от реки к бабушке). Расстояние уменьшалось, когда график идёт вниз (отрицательный наклон). Это происходит на временном промежутке от 6 до 7 часов (путь домой). Расстояние не изменялось, когда график является горизонтальной линией (нулевой наклон). Это происходит на временных промежутках от 0,5 до 2,5 часов (рыбалка) и от 4,5 до 6 часов (в гостях у бабушки).

Ответ: расстояние от дома увеличивалось с 0 ч до 0,5 ч и с 2,5 ч до 4,5 ч; уменьшалось с 6 ч до 7 ч; не изменялось с 0,5 ч до 2,5 ч и с 4,5 ч до 6 ч.

д) расстояние между домами бабушки и Миши;

Дом бабушки — это самая дальняя точка, которой достиг Миша. На графике это соответствует максимальному расстоянию от дома. Как было определено в пункте (в), наибольшее расстояние от дома составляет 5,5 км.

Ответ: расстояние между домами бабушки и Миши составляет 5,5 км.

е) скорость Миши в первые полчаса пути; между 2,5 ч и 3 ч после выхода из дома.

Скорость движения на графике зависимости расстояния от времени равна наклону графика. Формула скорости: $v = \frac{\Delta s}{\Delta t}$, где $\Delta s$ – изменение расстояния за промежуток времени $\Delta t$.

1. Скорость в первые полчаса (от 0 ч до 0,5 ч): За этот промежуток времени $\Delta t = 0,5 - 0 = 0,5$ ч. Расстояние, пройденное за это время, $\Delta s = 2,5 - 0 = 2,5$ км. Скорость $v_1 = \frac{2,5 \text{ км}}{0,5 \text{ ч}} = 5$ км/ч.

2. Скорость между 2,5 ч и 3 ч: Этот временной интервал является частью участка пути от 2,5 ч до 4,5 ч. На всём этом участке скорость была постоянной, так как график является прямой линией. Найдём скорость на этом участке, используя его начальную и конечную точки: $(2,5; 2,5)$ и $(4,5; 5,5)$. Промежуток времени $\Delta t = 4,5 - 2,5 = 2$ ч. Пройденное расстояние $\Delta s = 5,5 - 2,5 = 3$ км. Скорость $v_2 = \frac{3 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 1,5$ км/ч.

Ответ: скорость Миши в первые полчаса пути была 5 км/ч; скорость между 2,5 ч и 3 ч после выхода из дома была 1,5 км/ч.