Номер 2.521, страница 113, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

17. Дробные выражения. § 2. Действия со смешенными числами. ч. 1 - номер 2.521, страница 113.

2.521. Найдите значение выражения:

а) (23 : 49)²; б) (23)² : (49)²; в) (29 · 78 : 718)³.

2.521

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} {\left(\frac{2}{3} : \frac{4}{9}\right)}^2 = {\left(\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{2}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{9}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{4}}}}\right)}^2 = {\left(\frac{3}{2}\right)}^2 = \\ =\frac{3}{2} · \frac{3}{2} = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }{\left(\frac{2}{3}\right)}^2 : {\left(\frac{4}{9}\right)}^2 = \frac{2}{3} · \frac{2}{3} : \frac{4}{9} · \frac{4}{9} = \\ = \frac{4}{9} : \frac{16}{81}=\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{4}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{9}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{9}{\bcancel{81}}}}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{16}}}} =\frac{1}{1} · \frac{9}{4} = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }{\left(\frac{2}{9} · \frac{7}{8} : \frac{7}{18}\right)}^3 = {\left(\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\sout{2}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{9}}}} · \frac{\cancel{7}}{{\displaystyle \underset{4}{\sout{8}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\bcancel{18}}}}{\cancel{7}}\right)}^3 ={\left(\frac{2}{4}\right)}^3 \\ = {\left(\frac{1}{2}\right)}^3 = \frac{1}{2} · \frac{1}{2} · \frac{1}{2} = \frac{1}{8}. \end{gathered}$$

а) Чтобы найти значение выражения $(\frac{2}{3} : \frac{4}{9})^2$, сначала выполним действие в скобках. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь.

$\frac{2}{3} : \frac{4}{9} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4}$

Сократим множители в числителе и знаменателе:

$\frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 4} = \frac{\cancel{2}^1 \cdot \cancel{9}^3}{\cancel{3}^1 \cdot \cancel{4}^2} = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2} = \frac{3}{2}$

Теперь возведем полученный результат в квадрат:

$(\frac{3}{2})^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}$

Ответ: $\frac{9}{4}$.

б) Чтобы найти значение выражения $(\frac{2}{3})^2 : (\frac{4}{9})^2$, можно пойти двумя путями. Первый путь — вычислить каждую степень, а затем выполнить деление.

Возводим дроби в квадрат:

$(\frac{2}{3})^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$

$(\frac{4}{9})^2 = \frac{4^2}{9^2} = \frac{16}{81}$

Выполняем деление:

$\frac{4}{9} : \frac{16}{81} = \frac{4}{9} \cdot \frac{81}{16} = \frac{\cancel{4}^1 \cdot \cancel{81}^9}{\cancel{9}^1 \cdot \cancel{16}^4} = \frac{1 \cdot 9}{1 \cdot 4} = \frac{9}{4}$

Второй путь — использовать свойство степени частного $a^n : b^n = (a:b)^n$. В этом случае выражение становится идентичным выражению из пункта а), и результат будет таким же.

$(\frac{2}{3})^2 : (\frac{4}{9})^2 = (\frac{2}{3} : \frac{4}{9})^2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$

Ответ: $\frac{9}{4}$.

в) Чтобы найти значение выражения $(\frac{2}{9} \cdot \frac{7}{8} : \frac{7}{18})^3$, сначала выполним действия в скобках в порядке их следования.

1. Умножение:

$\frac{2}{9} \cdot \frac{7}{8} = \frac{2 \cdot 7}{9 \cdot 8} = \frac{\cancel{2}^1 \cdot 7}{9 \cdot \cancel{8}^4} = \frac{7}{36}$

2. Деление:

$\frac{7}{36} : \frac{7}{18} = \frac{7}{36} \cdot \frac{18}{7} = \frac{\cancel{7}^1 \cdot \cancel{18}^1}{\cancel{36}^2 \cdot \cancel{7}^1} = \frac{1}{2}$

3. Теперь возведем результат в куб:

$(\frac{1}{2})^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8}$

Ответ: $\frac{1}{8}$.