Номер 2.514, страница 112, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

Часть 1. Параграф 2. Действия со смешенными числами. 17. Дробные выражения - номер 2.514, страница 112.

Условие.

2.514. Найдите значение выражения:

а) 3,11,7 + 6,75,1; б) 2,54,4 + 4,613,2 в) 6,87,2 – 2,73,6; г) 2,47,7 – 2,812,1.

Решение 1.

2.514

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} {\frac{3,1}{1,7}}^{\overline{)·3}}+ \frac{6,7}{5,1} = \frac{9,3}{5,1} + \frac{6,7}{5,1} = \\ = {\frac{16}{5,1}}^{\overline{)·10}} = \frac{160}{51} = 3\frac{7}{51}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{2,5}{4,4}}^{\overline{)·3}} + \frac{4,6}{13,2} = \frac{7,5}{13,2} + \frac{4,6}{13,2} = \\ ={\frac{12,1}{13,2}}^{\overline{)·10}} = \frac{121}{132} = \frac{121 : 11}{132 : 11}=\frac{11}{12}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{6,8}{7,2}- {\frac{2,7}{3,6} }^{\overline{)·2}}= \frac{6,8}{7,2}- \frac{5,4}{7,2} = {\frac{1,4}{7,2}}^{\overline{)·10}}= \\ =\frac{14}{72} = \frac{7}{35}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{2,4}{7,7}}^{\overline{)·100}} - {\frac{2,8}{12,1}}^{\overline{)·10}} = {\frac{24}{77}}^{\overline{)·11}} - {\frac{28}{121}}^{\overline{)·7}} = \\ = \frac{264}{847} - \frac{196}{847} = \frac{68}{847}. \end{gathered}$$

Решение 2.

а) Для нахождения значения выражения преобразуем десятичные дроби в обыкновенные, умножив числитель и знаменатель на 10:
$ \frac{3,1}{1,7} + \frac{6,7}{5,1} = \frac{3,1 \cdot 10}{1,7 \cdot 10} + \frac{6,7 \cdot 10}{5,1 \cdot 10} = \frac{31}{17} + \frac{67}{51} $
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 17 и 51 равен 51, поскольку $ 51 = 17 \cdot 3 $. Домножим первую дробь на 3:
$ \frac{31 \cdot 3}{17 \cdot 3} + \frac{67}{51} = \frac{93}{51} + \frac{67}{51} $
Теперь сложим числители, оставив знаменатель прежним:
$ \frac{93 + 67}{51} = \frac{160}{51} $
Полученную неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа: $ 3 \frac{7}{51} $.
Ответ: $ \frac{160}{51} $

б) Сначала избавимся от десятичных дробей, умножив числитель и знаменатель каждой дроби на 10:
$ \frac{2,5}{4,4} + \frac{4,6}{13,2} = \frac{25}{44} + \frac{46}{132} $
Сократим вторую дробь, разделив ее числитель и знаменатель на 2:
$ \frac{46 \div 2}{132 \div 2} = \frac{23}{66} $
Таким образом, выражение принимает вид:
$ \frac{25}{44} + \frac{23}{66} $
Найдем наименьший общий знаменатель (НОК) для 44 и 66. Разложим знаменатели на простые множители: $ 44 = 2^2 \cdot 11 $ и $ 66 = 2 \cdot 3 \cdot 11 $.
НОК(44, 66) = $ 2^2 \cdot 3 \cdot 11 = 132 $.
Приведем дроби к знаменателю 132:
$ \frac{25 \cdot 3}{44 \cdot 3} + \frac{23 \cdot 2}{66 \cdot 2} = \frac{75}{132} + \frac{46}{132} $
Сложим числители:
$ \frac{75 + 46}{132} = \frac{121}{132} $
Сократим полученную дробь на 11, так как $ 121 = 11^2 $ и $ 132 = 12 \cdot 11 $:
$ \frac{121 \div 11}{132 \div 11} = \frac{11}{12} $
Ответ: $ \frac{11}{12} $

в) Избавимся от десятичных дробей, умножив числитель и знаменатель на 10:
$ \frac{6,8}{7,2} - \frac{2,7}{3,6} = \frac{68}{72} - \frac{27}{36} $
Сократим каждую дробь. Первую дробь сокращаем на 4, вторую — на 9:
$ \frac{68 \div 4}{72 \div 4} = \frac{17}{18} $
$ \frac{27 \div 9}{36 \div 9} = \frac{3}{4} $
Выражение принимает вид:
$ \frac{17}{18} - \frac{3}{4} $
Найдем наименьший общий знаменатель для 18 и 4. НОК(18, 4) = 36.
Приведем дроби к знаменателю 36:
$ \frac{17 \cdot 2}{18 \cdot 2} - \frac{3 \cdot 9}{4 \cdot 9} = \frac{34}{36} - \frac{27}{36} $
Выполним вычитание числителей:
$ \frac{34 - 27}{36} = \frac{7}{36} $
Ответ: $ \frac{7}{36} $

г) Преобразуем дроби, умножив числитель и знаменатель каждой на 10:
$ \frac{2,4}{7,7} - \frac{2,8}{12,1} = \frac{24}{77} - \frac{28}{121} $
Данные дроби уже являются несократимыми. Найдем наименьший общий знаменатель для 77 и 121.
Разложим знаменатели на множители: $ 77 = 7 \cdot 11 $ и $ 121 = 11^2 $.
НОК(77, 121) = $ 7 \cdot 11^2 = 7 \cdot 121 = 847 $.
Приведем дроби к общему знаменателю 847:
$ \frac{24 \cdot 11}{77 \cdot 11} - \frac{28 \cdot 7}{121 \cdot 7} = \frac{264}{847} - \frac{196}{847} $
Вычтем числители:
$ \frac{264 - 196}{847} = \frac{68}{847} $
Проверим возможность сокращения дроби. Числитель $ 68 = 2^2 \cdot 17 $. Знаменатель $ 847 = 7 \cdot 11^2 $. Общих множителей нет, следовательно, дробь несократима.
Ответ: $ \frac{68}{847} $

Решение 3.

Решение 4.