Страница 120, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

Вопросы:

Что называют отношением двух чисел? Что оно показывает?

Как можно записать отношение числа α к числу b?

Как найти отношение однородных величин, выраженных в разных единицах измерения?

Как разделить число m в отношении α : b?

18. Отношения

Вопросы к параграфу:

• частное двух чисел а и b называют отношением этих чисел. Отношение $\frac{a}{b}$показывает, во сколько раз число а больше числа b, или какую часть число а составляет от числа b

• отношение числа а к числу b можно записать так: а : b или $\frac{a}{b}$

• если однородные величины выражены разными единицами измерения, то необходимо перейти к одной единице измерения и затем найти их отношение

• чтобы разделить число m в данном отношении а : b, можно:
  1) разделить число m на сумму а + b членов отношения
  2) результат умножить на каждый член отношения

Что называют отношением двух чисел? Что оно показывает?

Отношением двух чисел называют их частное, то есть результат деления одного числа на другое. Например, отношение числа $a$ к числу $b$ — это результат деления $a$ на $b$.

Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго (если отношение больше 1) или какую часть первое число составляет от второго (если отношение меньше 1).

Пример 1: Отношение $20$ к $5$ равно $4$ ($20 : 5 = 4$). Это показывает, что число $20$ в $4$ раза больше числа $5$.

Пример 2: Отношение $5$ к $20$ равно $0,25$ или $\frac{1}{4}$ ($5 : 20 = 0,25$). Это показывает, что число $5$ составляет четверть (или $25\%$) от числа $20$.

Ответ: Отношением двух чисел называют их частное. Оно показывает, во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое число составляет от второго.

Как можно записать отношение числа a к числу b?

Отношение числа $a$ к числу $b$ (где $b \ne 0$) можно записать двумя основными способами:

• С помощью знака деления (двоеточия): $a : b$
• В виде дроби: $\frac{a}{b}$

Обе записи читаются одинаково: «отношение а к б». Числа $a$ и $b$ в этом отношении называются его членами.

Ответ: Отношение числа $a$ к числу $b$ можно записать как $a : b$ или $\frac{a}{b}$.

Как найти отношение однородных величин, выраженных в разных единицах измерения?

Однородные величины — это величины одного рода (например, длина, масса, время). Чтобы найти их отношение, если они выражены в разных единицах измерения, нужно сначала привести их к одной общей единице.

Алгоритм действий:

1. Выбрать единую единицу измерения для обеих величин.
2. Выразить каждую величину в этой выбранной единице.
3. Найти отношение полученных числовых значений.

Пример: Найти отношение $2$ часов к $30$ минутам.

1. Выберем общую единицу — минуты.
2. Переведем часы в минуты: $2$ часа $= 2 \cdot 60 = 120$ минут.
3. Найдем отношение: $120 : 30 = 4$.

Отношение однородных величин является безразмерной величиной (просто числом).

Ответ: Чтобы найти отношение однородных величин, выраженных в разных единицах измерения, нужно сначала выразить эти величины в одной и той же единице измерения, а затем найти отношение полученных чисел.

Как разделить число m в отношении a : b?

Разделить число $m$ в отношении $a : b$ — это значит найти два числа, сумма которых равна $m$, а относятся они друг к другу как $a$ к $b$.

Для этого необходимо:

1. Найти общее количество "частей" в отношении, сложив его члены: $a + b$.
2. Вычислить, какое значение приходится на одну "часть", разделив число $m$ на сумму частей: $k = \frac{m}{a+b}$. Это значение $k$ называется коэффициентом пропорциональности.
3. Найти искомые числа, умножив коэффициент пропорциональности $k$ на соответствующий член отношения:
   • Первое число: $a \cdot k = a \cdot \frac{m}{a+b}$
   • Второе число: $b \cdot k = b \cdot \frac{m}{a+b}$

Пример: Разделить число $90$ в отношении $2 : 3$.

1. Сумма частей: $2 + 3 = 5$.
2. Значение одной части: $90 / 5 = 18$.
3. Находим числа:
   • Первое число: $2 \cdot 18 = 36$.
   • Второе число: $3 \cdot 18 = 54$.

Проверка: $36 + 54 = 90$, и $36:54 = (18 \cdot 2) : (18 \cdot 3) = 2:3$.

Ответ: Чтобы разделить число $m$ в отношении $a : b$, нужно разделить $m$ на сумму $a+b$ и результат умножить поочередно на $a$ и на $b$. Искомые числа будут равны $\frac{m \cdot a}{a+b}$ и $\frac{m \cdot b}{a+b}$.

1. Группа шестиклассников отправилась на экскурсию в два заповедника на автобусе.

1) Используя график движения (рис. 6.39), определите:

2) Рассчитайте среднюю скорость движения автобуса на каждом участке маршрута.

Применяем математику

1.

1)

а) 7 ч – время выезда

б) 18 ч – время возвращения домой
в) 18 – 7 = 11 ч – продолжительность экскурсии
г) 0,5 ч – переезд из первого заповедника во второй
д) 17 – 13 = 4 ч – длилось посещение второго заповедника
е) 4 + 4 = 8 ч – автобус находился на стоянке

2)

$110 : 1,5 = 1100 : 15 = 73\frac{1}{3}$ (км/ч) – скорость движения на первом участке
$30 : 0,5 = 300 : 5 = 60$(км/ч) – скорость движения на втором участке
$80 : 1 = 80$ (км/ч) – скорость движения на третьем участке

1) Используя график движения (рис. 6.39), определите:

а) время выезда группы на экскурсию;

Анализируя график, мы видим, что движение начинается в точке, где расстояние от дома (ось $y$) равно нулю, а время (ось $x$) равно 7. До этого момента автобус стоял. Следовательно, группа выехала на экскурсию в 7 часов.

Ответ: 7 часов.

б) время возвращения домой;

Возвращение домой происходит в тот момент, когда расстояние от дома (ось $y$) снова становится равным нулю. Согласно графику, это происходит при значении времени (ось $x$) равном 18.

Ответ: 18 часов.

в) продолжительность экскурсии;

Продолжительность экскурсии – это общее время от выезда до возвращения. Выезд состоялся в 7 часов, а возвращение – в 18 часов. Таким образом, продолжительность равна разнице между временем возвращения и временем выезда: $18 \text{ ч} - 7 \text{ ч} = 11 \text{ часов}$.

Ответ: 11 часов.

г) сколько длился переезд из первого заповедника во второй;

Первая остановка (посещение первого заповедника) закончилась в 12 часов. Вторая остановка (посещение второго заповедника) началась в 13 часов. Участок графика между этими моментами времени показывает переезд. Его длительность: $13 \text{ ч} - 12 \text{ ч} = 1 \text{ час}$.

Ответ: 1 час.

д) сколько часов длилось посещение второго заповедника;

Посещение второго заповедника соответствует второму горизонтальному участку на графике (стоянке). Эта стоянка началась в 13 часов и закончилась в 17 часов. Её продолжительность: $17 \text{ ч} - 13 \text{ ч} = 4 \text{ часа}$.

Ответ: 4 часа.

е) сколько времени автобус находился на стоянке.

Автобус делал две остановки. Первая стоянка (в первом заповеднике) длилась с 9 до 12 часов, то есть $12 - 9 = 3$ часа. Вторая стоянка (во втором заповеднике) длилась с 13 до 17 часов, то есть $17 - 13 = 4$ часа. Общее время на стоянках составляет сумму этих двух периодов: $3 \text{ ч} + 4 \text{ ч} = 7 \text{ часов}$.

Ответ: 7 часов.

2) Рассчитайте среднюю скорость движения автобуса на каждом участке маршрута.

Для расчета средней скорости $v$ на каждом участке используем формулу $v = \frac{S}{t}$, где $S$ — пройденное расстояние, а $t$ — время в пути. Весь маршрут состоит из 5 участков:

1. Поездка к первому заповеднику (с 7:00 до 9:00):
Время: $\Delta t_1 = 9 - 7 = 2$ ч.
Расстояние: $S_1 = 110 - 0 = 110$ км.
Скорость: $v_1 = \frac{110 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 55$ км/ч.
2. Стоянка в первом заповеднике (с 9:00 до 12:00):
Время: $\Delta t_2 = 12 - 9 = 3$ ч.
Расстояние: $S_2 = 110 - 110 = 0$ км.
Скорость: $v_2 = \frac{0 \text{ км}}{3 \text{ ч}} = 0$ км/ч.
3. Переезд ко второму заповеднику (с 12:00 до 13:00):
Время: $\Delta t_3 = 13 - 12 = 1$ ч.
Расстояние: $S_3 = 110 - 80 = 30$ км.
Скорость: $v_3 = \frac{30 \text{ км}}{1 \text{ ч}} = 30$ км/ч.
4. Стоянка во втором заповеднике (с 13:00 до 17:00):
Время: $\Delta t_4 = 17 - 13 = 4$ ч.
Расстояние: $S_4 = 80 - 80 = 0$ км.
Скорость: $v_4 = \frac{0 \text{ км}}{4 \text{ ч}} = 0$ км/ч.
5. Возвращение домой (с 17:00 до 18:00):
Время: $\Delta t_5 = 18 - 17 = 1$ ч.
Расстояние: $S_5 = 80 - 0 = 80$ км.
Скорость: $v_5 = \frac{80 \text{ км}}{1 \text{ ч}} = 80$ км/ч.

Ответ: Средняя скорость на участках маршрута составила: 55 км/ч, 0 км/ч, 30 км/ч, 0 км/ч, 80 км/ч.

2. В выходные дни для поездки на водохранилище, которое расположено в 200 км от дома, папа хочет арендовать автомобиль на двое суток. В таблице приведены характеристики трёх автомобилей и стоимость их аренды.

Сколько рублей заплатит папа за аренду и топливо при выборе самого дешёвого варианта, если цена дизельного топлива за литр − 47,3 р., бензина АИ−92 − 42,5 р., бензина АИ−95 − 46,7 р.?

2. Путь, который необходимо преодолеть: 2*200 км =400 км

Автомобиль А:

$$\begin{gathered} 4 · 8 · 47,3 + 2750 · 2 = 32 · 47,3 + 5500 = \\ = 1513,6 + 5500 = 7013,6 \left(\mathrm{р}\right) \end{gathered}$$

Автомобиль Б:

$$\begin{gathered} 4 · 10 · 42,5 + 2100 · 2 = 40 · 42,5 + 4200 = \\ = 1700 + 4200 = 5900 \left(\mathrm{р}\right) \end{gathered}$$

Автомобиль В:

$$\begin{gathered} 4 · 9 · 46,7 + 1500 · 2 = 36 · 46,7 + 3000 = \\ = 1681,2 + 3000 = 4681,2 \left(\mathrm{р}\right) \end{gathered}$$

самый дешевый вариант

Ответ: 4681,26 рублей

Для того чтобы определить самый дешёвый вариант, необходимо рассчитать полную стоимость поездки для каждого из трёх автомобилей. Полная стоимость складывается из стоимости аренды на двое суток и стоимости топлива на всю поездку.

Общее расстояние поездки составляет 200 км до водохранилища и 200 км обратно, итого $200 + 200 = 400$ км.

А. Расчёт для автомобиля А (Дизельное топливо):

1. Стоимость аренды за двое суток: $2 \times 2750 = 5500$ рублей.

2. Расход топлива на 400 км: $\frac{400}{100} \times 8 = 32$ литра.

3. Стоимость топлива: $32 \times 47,3 = 1513,6$ рублей.

4. Общая стоимость: $5500 + 1513,6 = 7013,6$ рублей.

Б. Расчёт для автомобиля Б (Бензин АИ-92):

1. Стоимость аренды за двое суток: $2 \times 2100 = 4200$ рублей.

2. Расход топлива на 400 км: $\frac{400}{100} \times 10 = 40$ литров.

3. Стоимость топлива: $40 \times 42,5 = 1700$ рублей.

4. Общая стоимость: $4200 + 1700 = 5900$ рублей.

В. Расчёт для автомобиля В (Бензин АИ-95):

1. Стоимость аренды за двое суток: $2 \times 1500 = 3000$ рублей.

2. Расход топлива на 400 км: $\frac{400}{100} \times 9 = 36$ литров.

3. Стоимость топлива: $36 \times 46,7 = 1681,2$ рубля.

4. Общая стоимость: $3000 + 1681,2 = 4681,2$ рубля.

Сравнивая общие затраты по трём вариантам ($7013,6$ р., $5900$ р. и $4681,2$ р.), приходим к выводу, что самый дешёвый вариант — это автомобиль В.

Ответ: 4681,2

3. Родители Миши решили застраховать свою дачу. Они оценили свой дом в 4 млн р., а имущество − в 1 млн р. Одна страховая компания предлагает страхование на год на следующих условиях: дом − 0,2 % стоимости и имущество − 0,7 % стоимости. Другая страховая компания предлагает страховой полис на 3 года за 36 900 р., который включает страхование дома и имущества. В какой компании им выгоднее застраховать дом и имущество на 5 лет?

3.

$\mathbf{1}\mathbf{)} 4000000 · 0,002 + 1000000 · 0,007 =$

$= 8000 + 7000 = 15000$ (руб.) – страховка одной компании на год

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }15000 · 5 = 75000$ (руб.) – страховка этой страховой компании на пять лет

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }36 900 : 3 · 5 = 12300 · 5 = 61500$(руб.) – страховка второй компании на пять лет

75000 > 61500

Ответ: выгоднее во второй компании

Для того чтобы определить, в какой компании страхование выгоднее, необходимо рассчитать общую стоимость страховки на 5 лет для каждого из предложенных вариантов.

Расчет стоимости в первой страховой компании

Эта компания предлагает ежегодное страхование. Сначала рассчитаем стоимость страховки за один год.

1. Стоимость страховки дома составляет 0,2% от его оценочной стоимости в 4 000 000 рублей.
   $4\ 000\ 000 \cdot \frac{0,2}{100} = 4\ 000\ 000 \cdot 0,002 = 8\ 000$ рублей.
2. Стоимость страховки имущества составляет 0,7% от его оценочной стоимости в 1 000 000 рублей.
   $1\ 000\ 000 \cdot \frac{0,7}{100} = 1\ 000\ 000 \cdot 0,007 = 7\ 000$ рублей.
3. Общая стоимость годового полиса в первой компании равна сумме страховок дома и имущества.
   $8\ 000 + 7\ 000 = 15\ 000$ рублей.
4. Теперь рассчитаем общую стоимость за 5 лет.
   $15\ 000 \cdot 5 = 75\ 000$ рублей.

Таким образом, общие затраты в первой компании за 5 лет составят 75 000 рублей.

Расчет стоимости во второй страховой компании

Вторая компания предлагает полис на 3 года за 36 900 рублей. Для расчета стоимости на 5 лет найдем сначала среднюю годовую стоимость страховки по этому предложению.

1. Средняя стоимость одного года страхования:
   $36\ 900 \div 3 = 12\ 300$ рублей.
2. Предполагая, что стоимость страхования на оставшиеся 2 года будет пропорциональна этой цене, рассчитаем общую стоимость за 5 лет.
   $12\ 300 \cdot 5 = 61\ 500$ рублей.

Таким образом, общие затраты во второй компании за 5 лет составят 61 500 рублей.

Сравнение и вывод

Сравним общие затраты на страхование в двух компаниях за 5 лет:

• Первая компания: 75 000 рублей.
• Вторая компания: 61 500 рублей.

$61\ 500 \text{ р.} < 75\ 000 \text{ р.}$
Разница в стоимости составляет:$75\ 000 - 61\ 500 = 13\ 500$ рублей.
Следовательно, предложение второй компании является более выгодным.

Ответ: выгоднее застраховать дом и имущество на 5 лет во второй компании. Это позволит сэкономить 13 500 рублей по сравнению с первой компанией.

4. Бабушка попросила Ярослава, Нику и Кирилла прополоть две квадратные клумбы. У первой клумбы сторона 0,9 м, а у второй − 1,8 м. Ярослав рассудил так: первая клумба в 2 раза меньше второй, поэтому я прополю её, а Ника и Кирилл пусть прополют вторую клумбу, и это будет справедливо, так как я старший брат. Прав ли Ярослав?

4.

$\mathbf{1}\mathbf{)} 0,9 · 0,9 = 0,81 ({\mathrm{м}}^2)$ – площадь первой клумбы, прополет Ярослав

$\mathbf{2}\mathbf{)} 1,8 · 1,8 = 3,24 ({\mathrm{м}}^2)$ – площадь второй клумбы, прополют Ника и Кирилл

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }3,24 : 2 = 1,62 ({\mathrm{м}}^2)$ – прополют каждый из Ники и Кирилла

т.к. 1,62 > 0,81, то это несправедливо

Для того чтобы определить, прав ли Ярослав, нужно сравнить не длины сторон клумб, а их площади, так как именно площадь определяет объем работы по прополке. Ярослав рассуждает неверно, потому что сравнивает линейные размеры, а не площади.

1. Расчет площади первой клумбы

Первая клумба — это квадрат со стороной $a_1 = 0,9$ м. Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$.

Найдем площадь первой клумбы:

$S_1 = (0,9 \text{ м})^2 = 0,81$ м².

2. Расчет площади второй клумбы

Вторая клумба — это квадрат со стороной $a_2 = 1,8$ м.

Найдем площадь второй клумбы:

$S_2 = (1,8 \text{ м})^2 = 3,24$ м².

3. Сравнение площадей клумб

Ярослав утверждает, что первая клумба в 2 раза меньше второй. Проверим это, сравнив их площади.

Найдем отношение площади второй клумбы к площади первой:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{3,24 \text{ м}^2}{0,81 \text{ м}^2} = 4$.

Это означает, что вторая клумба по площади в 4 раза больше первой, а не в 2 раза, как решил Ярослав. Его первоначальное предположение неверно.

4. Анализ справедливости распределения работы

Теперь оценим, насколько честным является предложенное Ярославом разделение труда.

• Ярослав (1 человек) будет полоть первую клумбу площадью $0,81$ м².
• Ника и Кирилл (2 человека) будут полоть вторую клумбу площадью $3,24$ м².

Чтобы распределение было справедливым, объем работы на одного человека должен быть примерно одинаковым. Рассчитаем, какая площадь придется на Нику и Кирилла по отдельности:

$\frac{3,24 \text{ м}^2}{2 \text{ человека}} = 1,62$ м² на человека.

Сравним работу, которую выполнит каждый:

• Работа Ярослава: $0,81$ м².
• Работа Ники: $1,62$ м².
• Работа Кирилла: $1,62$ м².

Очевидно, что Нике и Кириллу придется выполнить каждому в два раза больше работы, чем Ярославу ($\frac{1,62}{0,81} = 2$). Такое разделение труда является несправедливым.

Ответ: Ярослав неправ. Во-первых, его рассуждения математически неверны: площадь второй клумбы в 4 раза больше площади первой, а не в 2. Во-вторых, предложенное им разделение труда несправедливо, так как Нике и Кириллу пришлось бы выполнить вдвое больше работы, чем самому Ярославу. Апелляция к старшинству не является основанием для нечестного распределения обязанностей.