Страница 125, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2. Найдите отношение величин:

а) 4 кг к 1 т; б) 45 мин к 1 ч 15 мин; в) 28 дм к 3 м; г) 10 а к 500 га; д) 80 л к 2 м³; е) 12 км к 2 ч.

2.

$\mathbf{а}\mathbf{)} 4 \mathrm{кг} : 1 \mathrm{т} = 4 \mathrm{кг} : 1000 \mathrm{кг} = \frac{4}{1000} = 0,004$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}) 45 \mathrm{мин} : 1 \mathrm{ч} 15 \mathrm{мин} = 45 \mathrm{мин} : 75 \mathrm{мин} = \\ = \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{45}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{75}}}}=\frac{3}{5} = 0,6 \end{gathered}$$

$\mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }28 \mathrm{дм} : 3 \mathrm{м} = 28 \mathrm{дм} : 30 \mathrm{дм} = \frac{{\displaystyle \stackrel{14}{\cancel{28}}}}{{\displaystyle \underset{15}{\cancel{30}}}} = \frac{14}{15}$

$\mathbf{г}\mathbf{)} 10 \mathrm{а} : 500 \mathrm{га} = 10 \mathrm{а} : 50 000 \mathrm{а} = \frac{10}{50 000} =\frac{1}{5 000}$

$\mathbf{д}\mathbf{)}\mathbf{ }80 \mathrm{л} : 2 \mathrm{м}3 = 80 \mathrm{л} : 2000 \mathrm{л} = \frac{80}{2000}= 0,004$

$\mathbf{е}\mathbf{)} 12 \mathrm{км} : 2 \mathrm{ч} – \mathrm{найти} \mathrm{невозможно}, \mathrm{величины} \mathrm{не} \mathrm{однородны}.$

а) Чтобы найти отношение величин, их необходимо выразить в одинаковых единицах измерения. В 1 тонне (т) содержится 1000 килограммов (кг).
$1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$
Найдем отношение 4 кг к 1000 кг:
$\frac{4}{1000} = \frac{1}{250}$
Ответ: $\frac{1}{250}$

б) Чтобы найти отношение, выразим обе величины в минутах. В 1 часе (ч) 60 минут (мин).
$1 \text{ ч } 15 \text{ мин} = 60 \text{ мин} + 15 \text{ мин} = 75 \text{ мин}$
Найдем отношение 45 мин к 75 мин:
$\frac{45}{75} = \frac{3 \cdot 15}{5 \cdot 15} = \frac{3}{5}$
Ответ: $\frac{3}{5}$

в) Для нахождения отношения выразим обе величины в дециметрах. В 1 метре (м) содержится 10 дециметров (дм).
$3 \text{ м} = 3 \cdot 10 \text{ дм} = 30 \text{ дм}$
Найдем отношение 28 дм к 30 дм:
$\frac{28}{30} = \frac{14 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{14}{15}$
Ответ: $\frac{14}{15}$

г) Выразим обе величины в арах (а). В 1 гектаре (га) содержится 100 аров.
$1 \text{ га} = 100 \text{ а}$
$500 \text{ га} = 500 \cdot 100 \text{ а} = 50000 \text{ а}$
Найдем отношение 10 а к 50000 а:
$\frac{10}{50000} = \frac{1}{5000}$
Ответ: $\frac{1}{5000}$

д) Выразим обе величины в литрах (л). В 1 кубическом метре (м³) содержится 1000 литров.
$1 \text{ м}^3 = 1000 \text{ л}$
$2 \text{ м}^3 = 2 \cdot 1000 \text{ л} = 2000 \text{ л}$
Найдем отношение 80 л к 2000 л:
$\frac{80}{2000} = \frac{8}{200} = \frac{1}{25}$
Ответ: $\frac{1}{25}$

е) В данном случае требуется найти отношение величин разной размерности: расстояния (километры) и времени (часы). Такое отношение представляет собой новую физическую величину — скорость. Отношение находится путем деления одной величины на другую.
$\frac{12 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 6 \text{ км/ч}$
Если под отношением подразумевается безразмерная величина, как в предыдущих пунктах, то найти такое отношение для разнородных величин невозможно. Исходя из формулировки вопроса, ответом будет скорость.
Ответ: $6 \text{ км/ч}$

3. Выразите в процентах отношение:

а) 2 мм к 1 см; б) 3 мин к 1 ч.

3.

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }2 \mathrm{мм} : 1 \mathrm{см} = 2 \mathrm{мм} : 10 \mathrm{мм} = \\ = \frac{2}{10}= 0,2 · 100\% = 20\% \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }3 \mathrm{мин} : 1 \mathrm{ч} = 3 \mathrm{мин} : 60 \mathrm{мин} = \\ = \frac{3}{60}=\frac{1}{20}= 0,05 · 100\% = 5\%. \end{gathered}$$

Чтобы выразить отношение двух величин в процентах, необходимо сначала привести их к одной единице измерения, затем найти их отношение (разделить одну величину на другую) и умножить результат на 100%.

а) Выразим отношение 2 мм к 1 см в процентах.

Сначала приведем величины к единой единице измерения – миллиметрам. В одном сантиметре содержится 10 миллиметров:

1 см = 10 мм

Теперь найдем отношение 2 мм к 10 мм. Для этого составим дробь:

$ \frac{2 \text{ мм}}{10 \text{ мм}} = \frac{2}{10} = 0.2 $

Чтобы перевести полученное десятичное число в проценты, умножим его на 100%:

$ 0.2 \cdot 100\% = 20\% $

Ответ: 20%

б) Выразим отношение 3 мин к 1 ч в процентах.

Приведем величины к единой единице измерения – минутам. В одном часе содержится 60 минут:

1 ч = 60 мин

Теперь найдем отношение 3 минут к 60 минутам:

$ \frac{3 \text{ мин}}{60 \text{ мин}} = \frac{3}{60} $

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$ \frac{3}{60} = \frac{1}{20} $

Чтобы перевести полученную дробь в проценты, умножим ее на 100%:

$ \frac{1}{20} \cdot 100\% = \frac{100}{20}\% = 5\% $

Ответ: 5%

4. Верно ли?

а) Произведение двух взаимно обратных отношений равно 1.
б) Частное двух взаимно обратных отношений равно 1.
в) Отношение двух чисел уменьшится, если каждое из них разделить на 5.
г) Отношение а : b показывает какую часть число а составляет от числа b.

4.

а) верно

б) неверно

в) неверно, не изменится

г) верно

Два отношения называются взаимно обратными, если одно из них равно $a:b$, а другое $b:a$. Представим эти отношения в виде дробей: $\frac{a}{b}$ и $\frac{b}{a}$. Найдем их произведение: $\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = \frac{a \cdot b}{b \cdot a}$. Так как от перестановки множителей произведение не меняется ($a \cdot b = b \cdot a$), мы можем сократить дробь. $\frac{a \cdot b}{b \cdot a} = 1$ (при условии, что $a \neq 0$ и $b \neq 0$). Таким образом, утверждение верно.

Ответ: верно.

Возьмем те же взаимно обратные отношения $a:b$ и $b:a$, или в виде дробей $\frac{a}{b}$ и $\frac{b}{a}$. Найдем их частное (результат деления первого отношения на второе): $\frac{a}{b} : \frac{b}{a} = \frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} = \frac{a^2}{b^2} = (\frac{a}{b})^2$. Это выражение равно 1 только в частном случае, когда $|a| = |b|$, но не в общем. Например, для взаимно обратных отношений $2:3$ и $3:2$ их частное равно $\frac{2}{3} : \frac{3}{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$, что не равно 1. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: неверно.

Пусть дано отношение двух чисел $a$ и $b$, то есть $a:b$ или $\frac{a}{b}$. Разделим каждое из чисел на 5. Получим числа $\frac{a}{5}$ и $\frac{b}{5}$. Найдем отношение новых чисел: $\frac{a}{5} : \frac{b}{5} = \frac{a/5}{b/5}$. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй: $\frac{a}{5} \cdot \frac{5}{b} = \frac{5a}{5b} = \frac{a}{b}$. Новое отношение $\frac{a}{b}$ равно исходному отношению $\frac{a}{b}$. Таким образом, отношение не изменится. Это основное свойство отношения (или дроби). Утверждение, что отношение уменьшится, является неверным.

Ответ: неверно.

Это утверждение является определением отношения двух чисел. Чтобы найти, какую часть одно число составляет от другого, нужно первое число разделить на второе. Например, чтобы узнать, какую часть число 3 составляет от числа 15, нужно найти их отношение: $3:15 = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$. То есть, число 3 составляет одну пятую часть от числа 15. Отношение $a:b$ как раз и является результатом деления $a$ на $b$, что по определению и есть та часть, которую $a$ составляет от $b$. Утверждение верно.

Ответ: верно.

1. Разделите число 693 в отношении:

а) 1 : 98; б) 2 : 7; в) 2 : 5; г) 4 : 7; д) 34: 43; е) 2 : 3.

Проверочная работа № 2

1.

а) 1 : 98

1) 693 : (1 + 98) = 693 : 99 = 7 – приходится на одну часть

2) 7 • 1 = 7 – в 7 частях

3) 7 • 98 = 686 – в 98 частях

Ответ: 693 = 7 + 686

б) 2 : 7

1) 693 : (2 + 7) = 693 : 9 = 77 – приходится на одну часть

2) 77 • 2 = 154 – в 2 частях

3) 77 • 7 = 539 – в 7 частях

Ответ: 693 = 154 + 539

в) 2 : 5

1) 693 : (2 + 5) = 693 : 7 = 99 – приходится на одну часть

2) 99 • 2 = 198 – в 2 частях

3) 99 • 5 = 495 – в 5 частях

Ответ: 693 = 198 + 495

г) 4 : 7

1) 693 : (4 + 7) = 693 : 11 = 63 – приходится на одну часть

2) 63 • 4 = 252 – в 4 частях

3) 63 • 7 = 441 – в 7 частях

Ответ: 693 = 252 + 441

д) 34 : 43

1) 693 : (34 + 43) = 693 : 77 = 9 – приходится на одну часть

2) 9 • 34 = 306 – в 34 частях

3) 9 • 43 = 387 – в 43 частях

Ответ: 693 = 306 + 387

е) 2 : 3

1) 693 : (2 + 3) = 693 : 5 = 138,6 – приходится на одну часть

2) 138,6 • 2 = 277,2 – в 2 частях

3) 138,6 • 3 = 415,8 – в 3 частях

Ответ: 693 = 277,2 + 415,8

а) 1 : 98

Чтобы разделить число 693 в отношении 1 : 98, представим искомые числа как $1k$ и $98k$, где $k$ — коэффициент пропорциональности. Сумма этих чисел должна быть равна 693.

Составим и решим уравнение:

$1k + 98k = 693$

$99k = 693$

$k = 693 / 99$

$k = 7$

Теперь найдем искомые числа, умножив коэффициент пропорциональности на соответствующие части отношения:

Первое число: $1 \cdot 7 = 7$

Второе число: $98 \cdot 7 = 686$

Проверка: $7 + 686 = 693$.

Ответ: 7 и 686.

б) 2 : 7

Представим искомые числа как $2k$ и $7k$. Их сумма равна 693.

Составим и решим уравнение:

$2k + 7k = 693$

$9k = 693$

$k = 693 / 9$

$k = 77$

Найдем искомые числа:

Первое число: $2 \cdot 77 = 154$

Второе число: $7 \cdot 77 = 539$

Проверка: $154 + 539 = 693$.

Ответ: 154 и 539.

в) 2 : 5

Представим искомые числа как $2k$ и $5k$. Их сумма равна 693.

Составим и решим уравнение:

$2k + 5k = 693$

$7k = 693$

$k = 693 / 7$

$k = 99$

Найдем искомые числа:

Первое число: $2 \cdot 99 = 198$

Второе число: $5 \cdot 99 = 495$

Проверка: $198 + 495 = 693$.

Ответ: 198 и 495.

г) 4 : 7

Представим искомые числа как $4k$ и $7k$. Их сумма равна 693.

Составим и решим уравнение:

$4k + 7k = 693$

$11k = 693$

$k = 693 / 11$

$k = 63$

Найдем искомые числа:

Первое число: $4 \cdot 63 = 252$

Второе число: $7 \cdot 63 = 441$

Проверка: $252 + 441 = 693$.

Ответ: 252 и 441.

д) 34 : 43

Представим искомые числа как $34k$ и $43k$. Их сумма равна 693.

Составим и решим уравнение:

$34k + 43k = 693$

$77k = 693$

$k = 693 / 77$

$k = 9$

Найдем искомые числа:

Первое число: $34 \cdot 9 = 306$

Второе число: $43 \cdot 9 = 387$

Проверка: $306 + 387 = 693$.

Ответ: 306 и 387.

е) 2 : 3

Представим искомые числа как $2k$ и $3k$. Их сумма равна 693.

Составим и решим уравнение:

$2k + 3k = 693$

$5k = 693$

$k = 693 / 5$

$k = 138.6$

Найдем искомые числа:

Первое число: $2 \cdot 138.6 = 277.2$

Второе число: $3 \cdot 138.6 = 415.8$

Проверка: $277.2 + 415.8 = 693$.

Ответ: 277.2 и 415.8.

2. Рассмотрите рисунок 3.1 и ответьте на вопросы.

а) Какую часть площадь дома составляет от площади участка?
б) Во сколько раз площадь гаража меньше площади дома?
в) Найдите отношение площади дома к площади огорода и отношение площади огорода к площади дома.
г) Площадь выделенную под огород планируют разделить в отношении 1 : 5. Меньшую из полученных площадей займёт парник. Найдите площадь парника.

2.

а) дом – 2 • 3 = 6 клеток

участок – 8 • 8 = 64 клетки

$6 : 64 = \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{6}}}}{{\displaystyle \underset{32}{\cancel{64}}}} = \frac{3}{32}$ площади участка занимает дом

б) гараж – 2 •1 = 2 клетки

дом – 6 клеток

6 : 2 = 3 раза – площадь гаража меньше площади дома

в) огород – 2 • 8 = 16 клеток

дом – 6 клеток

$6 : 16 = \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{6}}}}{{\displaystyle \underset{8}{\cancel{16}}}} = \frac{3}{8}$ – отношение площади дома к площади огорода

$\frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$ – отношение площади огорода к площади дома

г)

1) 3 • 2 • 8 •3 = 144 м² – площадь огорода

2) 144 : (1 + 5) = 24 м² – приходится на одну часть

3) 24 • 1 = 24 м² – площадь парника.

а) Какую часть площадь дома составляет от площади участка?Для решения задачи сначала определим площади объектов в условных единицах — клетках, из которых состоит план. Весь участок представляет собой прямоугольник размером 6 на 7 клеток, следовательно, его общая площадь составляет $S_{участка} = 6 \times 7 = 42$ клетки. Дом занимает прямоугольную область размером 3 на 2 клетки, поэтому его площадь $S_{дома} = 3 \times 2 = 6$ клеток. Чтобы найти, какую часть площадь дома составляет от площади всего участка, необходимо вычислить отношение площади дома к площади участка: $\frac{S_{дома}}{S_{участка}} = \frac{6}{42}$. Сократив эту дробь на 6, получаем $\frac{1}{7}$.
Ответ: $\frac{1}{7}$.

б) Во сколько раз площадь гаража меньше площади дома?Из предыдущего пункта мы знаем, что площадь дома составляет $S_{дома} = 6$ клеток. На плане гараж занимает одну клетку, значит, его площадь $S_{гаража} = 1$ клетка. Чтобы определить, во сколько раз площадь гаража меньше площади дома, нужно разделить большую площадь на меньшую: $\frac{S_{дома}}{S_{гаража}} = \frac{6}{1} = 6$. Таким образом, площадь гаража в 6 раз меньше площади дома.
Ответ: в 6 раз.

в) Найдите отношение площади дома к площади огорода и отношение площади огорода к площади дома.Площадь дома равна $S_{дома} = 6$ клеток. Огород занимает прямоугольную область размером 1 на 5 клеток, следовательно, его площадь $S_{огорода} = 1 \times 5 = 5$ клеток. Отношение площади дома к площади огорода находится как $S_{дома} : S_{огорода}$, что равно $6:5$. Отношение площади огорода к площади дома является обратным и находится как $S_{огорода} : S_{дома}$, что равно $5:6$.
Ответ: отношение площади дома к площади огорода равно $6:5$, а отношение площади огорода к площади дома равно $5:6$.

г) Площадь выделенную под огород планируют разделить в отношении 1 : 5. Меньшую из полученных площадей займёт парник. Найдите площадь парника.Сначала необходимо найти реальную площадь огорода в квадратных метрах. Согласно плану, сторона одной клетки равна 3 метрам. Следовательно, площадь одной клетки составляет $S_{клетки} = 3 \text{ м} \times 3 \text{ м} = 9 \text{ м}^2$. Поскольку огород занимает 5 клеток, его общая площадь равна $S_{огорода} = 5 \times 9 \text{ м}^2 = 45 \text{ м}^2$. Эту площадь планируют разделить в отношении $1:5$. Это значит, что вся площадь делится на $1+5=6$ равных частей. Величина одной части составляет $\frac{45 \text{ м}^2}{6} = 7.5 \text{ м}^2$. Парник займёт меньшую из полученных площадей, которая соответствует одной части. Таким образом, площадь парника будет равна $1 \times 7.5 \text{ м}^2 = 7.5 \text{ м}^2$.
Ответ: $7.5 \text{ м}^2$.

В.10. Как найти сумму, разность, произведение и частное двух смешанных чисел?

В.10

Чтобы найти сумму двух смешанных чисел, нужно сложить их целые части и сложить их дробные части, приведя их к общему знаменателю, а затем сложить полученные результаты.

Чтобы найти разность двух смешанных чисел, нужно представить их в виде неправильных дробей и выполнить вычитание по правилу вычитания дробей с разными знаменателями. По возможности сократить полученную дробь.

Чтобы найти произведение двух смешанных чисел, нужно представить их в виде неправильных дробей и выполнить умножение числителей и умножение знаменателей дробей, записав первое произведение в числитель, а второе – в знаменатель дроби. По возможности сократить полученную дробь.

Чтобы найти частное двух смешанных чисел, нужно представить их в виде неправильных дробей, деление заменить умножением на обратную дробь, далее применить правило умножение обыкновенных дробей. По возможности сократить полученную дробь.

Сумма

Чтобы найти сумму двух смешанных чисел, например $A\frac{b}{c}$ и $D\frac{e}{f}$, можно сложить их целые и дробные части по отдельности. Сначала складываются целые части: $A+D$. Затем складываются дробные части: $\frac{b}{c} + \frac{e}{f}$. Если у дробей разные знаменатели, их необходимо привести к общему знаменателю. После этого полученные сумма целых и сумма дробных частей складываются вместе.

Если при сложении дробных частей получается неправильная дробь (числитель больше или равен знаменателю), из нее нужно выделить целую часть и добавить к сумме целых частей.

Пример: Найдем сумму $3\frac{1}{4}$ и $2\frac{5}{6}$.

Складываем целые части: $3 + 2 = 5$.

Складываем дробные части, приведя к общему знаменателю 12: $\frac{1}{4} + \frac{5}{6} = \frac{3}{12} + \frac{10}{12} = \frac{13}{12}$.

Так как $\frac{13}{12}$ — неправильная дробь, выделяем целую часть: $\frac{13}{12} = 1\frac{1}{12}$.

Теперь складываем сумму целых частей и результат сложения дробных: $5 + 1\frac{1}{12} = 6\frac{1}{12}$.

Другой способ — это сначала представить оба смешанных числа в виде неправильных дробей, сложить их по правилам сложения дробей, а затем, при необходимости, преобразовать результат обратно в смешанное число.

Ответ: Чтобы найти сумму двух смешанных чисел, нужно сложить их целые части и их дробные части отдельно, а затем сложить полученные результаты. Если сумма дробных частей оказалась неправильной дробью, из нее выделяют целую часть и добавляют к сумме целых частей.

Разность

При вычитании смешанных чисел, как и при сложении, можно вычитать отдельно целые и дробные части. Из целой части уменьшаемого вычитают целую часть вычитаемого, а из дробной части уменьшаемого — дробную часть вычитаемого.

Сложность возникает, когда дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого. В этом случае необходимо "занять" единицу у целой части уменьшаемого, представить эту единицу в виде дроби с тем же знаменателем, что и у дробной части, и прибавить ее к этой дробной части. Только после этого можно выполнять вычитание.

Пример: Найдем разность $5\frac{1}{4} - 2\frac{3}{4}$.

Здесь дробная часть $\frac{1}{4}$ меньше, чем $\frac{3}{4}$. Поэтому "занимаем" 1 у целой части 5. Получаем $4$ и $1\frac{1}{4}$. Представляем $1\frac{1}{4}$ как $\frac{5}{4}$. Таким образом, $5\frac{1}{4}$ превращается в $4\frac{5}{4}$.

Теперь вычитаем: $4\frac{5}{4} - 2\frac{3}{4} = (4-2) + (\frac{5}{4} - \frac{3}{4}) = 2 + \frac{2}{4} = 2\frac{1}{2}$.

Более универсальным и часто более простым методом является преобразование обоих смешанных чисел в неправильные дроби. После этого выполняется вычитание дробей, и результат, если нужно, снова преобразуется в смешанное число.

Ответ: Чтобы найти разность двух смешанных чисел, можно вычесть отдельно их целые и дробные части. Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, нужно "занять" единицу у целой части уменьшаемого. Либо можно преобразовать оба числа в неправильные дроби, выполнить вычитание и преобразовать результат обратно в смешанное число.

Произведение

Для нахождения произведения двух смешанных чисел их необходимо сначала преобразовать в неправильные дроби. Важно помнить, что перемножать отдельно целые и дробные части нельзя — это приведет к неверному результату.

Алгоритм следующий:
1. Каждое смешанное число представить в виде неправильной дроби. Для этого целую часть умножают на знаменатель, прибавляют числитель, и результат записывают в новый числитель, оставляя знаменатель прежним ($A\frac{b}{c} = \frac{A \cdot c + b}{c}$).
2. Перемножить полученные дроби: числитель первой дроби умножить на числитель второй, а знаменатель первой — на знаменатель второй.
3. Если в результате получилась неправильная дробь, ее следует упростить и преобразовать обратно в смешанное число.

Пример: Найдем произведение $2\frac{1}{3} \times 1\frac{3}{4}$.

Преобразуем числа в неправильные дроби: $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$ и $1\frac{3}{4} = \frac{7}{4}$.

Перемножаем дроби: $\frac{7}{3} \times \frac{7}{4} = \frac{7 \cdot 7}{3 \cdot 4} = \frac{49}{12}$.

Преобразуем результат в смешанное число: $\frac{49}{12} = 4\frac{1}{12}$.

Ответ: Чтобы найти произведение двух смешанных чисел, нужно сначала представить каждое из них в виде неправильной дроби, затем перемножить эти дроби по правилу умножения дробей, и, если результат — неправильная дробь, преобразовать его в смешанное число.

Частное

Деление смешанных чисел, так же как и умножение, выполняется через их преобразование в неправильные дроби.

Порядок действий таков:
1. Представить делимое и делитель (оба смешанных числа) в виде неправильных дробей.
2. Выполнить деление дробей, что равносильно умножению первой дроби (делимого) на дробь, обратную второй (делителю). Чтобы получить обратную дробь, нужно поменять местами ее числитель и знаменатель.
3. Полученный результат при необходимости упростить и, если это неправильная дробь, преобразовать в смешанное число.

Пример: Найдем частное $3\frac{3}{5} \div 1\frac{1}{5}$.

Преобразуем числа в неправильные дроби: $3\frac{3}{5} = \frac{18}{5}$ и $1\frac{1}{5} = \frac{6}{5}$.

Делим дроби, заменяя деление умножением на обратную дробь: $\frac{18}{5} \div \frac{6}{5} = \frac{18}{5} \times \frac{5}{6}$.

Выполняем умножение и сокращение: $\frac{18 \times 5}{5 \times 6} = \frac{18}{6} = 3$.

Ответ: Чтобы найти частное двух смешанных чисел, нужно представить их в виде неправильных дробей, затем делимое умножить на дробь, обратную делителю, и, при необходимости, преобразовать результат в смешанное число.

В.11. Как найти сумму, разность, произведение и частное двух десятичных дробей?

В.11

Чтобы найти сумму (разность) десятичных дробей, нужно:
1) записать их друг под другом так, чтобы запятая была под запятой
2) уравнять в них количество знаков после запятой
3) выполнить сложение (вычитание), не обращая внимание на запятую
4) в результате поставить запятую под запятой

Чтобы найти произведение двух десятичных дробей, можно:
1) перемножить их, не обращая внимания на запятые
2) в полученном произведении отделить запятой столько цифр, сколько их было после запятой в обоих множителях вместе.

Чтобы найти частное десятичных дробей, нужно:
1) перенести в делителе и делимом запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе
2) выполнить деление на натуральное число

Сумма

Чтобы найти сумму двух десятичных дробей, необходимо выполнить следующие шаги:
1. Уравнять количество знаков после запятой в обеих дробях. Для этого к дроби с меньшим количеством десятичных знаков нужно дописать справа нули.
2. Записать дроби одну под другой так, чтобы их запятые находились на одной вертикальной линии ("запятая под запятой").
3. Выполнить сложение чисел так, как будто это натуральные числа, не обращая внимания на запятые.
4. В полученной сумме поставить запятую строго под запятыми складываемых чисел.

Пример: Найти сумму $15,74$ и $8,9$.
1. Уравниваем количество знаков после запятой: $8,9$ становится $8,90$.
2. Записываем дроби в столбик:
$\begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & 1 & 5, & 7 & 4 \\ + & & 8, & 9 & 0 \\ \hline \end{array}$
3. Складываем и ставим запятую в результате:
$\begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & 1 & 5, & 7 & 4 \\ + & & 8, & 9 & 0 \\ \hline & 2 & 4, & 6 & 4 \end{array}$

Ответ: $15,74 + 8,9 = 24,64$.

Разность

Чтобы найти разность двух десятичных дробей, нужно:
1. Уравнять количество знаков после запятой в уменьшаемом и вычитаемом, дописав нули.
2. Записать вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы запятая оказалась под запятой.
3. Выполнить вычитание, не обращая внимания на запятую, как с натуральными числами.
4. В полученной разности поставить запятую под запятыми исходных чисел.

Пример: Найти разность $42,3$ и $11,56$.
1. Уравниваем количество знаков: $42,3$ становится $42,30$.
2. Записываем в столбик:
$\begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & 4 & 2, & 3 & 0 \\ - & 1 & 1, & 5 & 6 \\ \hline \end{array}$
3. Вычитаем и ставим запятую в результате:
$\begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & 4 & 2, & 3 & 0 \\ - & 1 & 1, & 5 & 6 \\ \hline & 3 & 0, & 7 & 4 \end{array}$

Ответ: $42,3 - 11,56 = 30,74$.

Произведение

Чтобы найти произведение двух десятичных дробей, следует:
1. Записать числа и умножить их, не обращая внимания на запятые, как будто это целые числа.
2. Посчитать общее количество знаков после запятой в обоих множителях.
3. В полученном произведении отделить справа запятой столько же знаков, сколько их в сумме у обоих множителей. Если цифр в результате не хватает, слева перед числом дописывают необходимое количество нулей.

Пример: Найти произведение $2,75$ и $1,4$.
1. Умножаем $275$ на $14$: $275 \times 14 = 3850$.
2. В числе $2,75$ два знака после запятой, в числе $1,4$ — один. Всего $2 + 1 = 3$ знака.
3. В результате $3850$ отделяем справа $3$ знака: $3,850$. Конечный ноль в дробной части можно отбросить, получив $3,85$.

Ответ: $2,75 \times 1,4 = 3,85$.

Частное

Чтобы найти частное двух десятичных дробей, необходимо:
1. В делимом и делителе перенести запятую вправо на столько знаков, сколько их в дробной части делителя. Это делается для того, чтобы делитель стал целым числом. Если в делимом не хватает знаков, справа дописываются нули.
2. Выполнить деление полученной дроби на целое число. Деление можно выполнять "уголком".
3. Запятая в частном ставится в тот момент, когда заканчивается деление целой части делимого.

Пример: Найти частное $18,36$ и $0,6$.
1. В делителе ($0,6$) один знак после запятой. Переносим запятую на один знак вправо и в делимом, и в делителе. Получаем числа $183,6$ и $6$.
2. Делим $183,6$ на $6$ столбиком:
- Делим целую часть $183$ на $6$. $18 \div 6 = 3$. Сносим $3$, $3 \div 6 = 0$. Целая часть частного равна $30$. Остаток $3$.
- Целая часть делимого закончилась, ставим в частном запятую.
- К остатку $3$ сносим $6$ из дробной части делимого. Делим $36$ на $6$. $36 \div 6 = 6$.
В итоге получаем $30,6$.

Ответ: $18,36 \div 0,6 = 30,6$.

В.12. Что называют модулем числа?

В.12

Модулем числа n называют расстояние (в единичных отрезках) от начала отсчета до точки N(n).

Модулем (или абсолютной величиной) действительного числа $a$ называется само это число, если оно неотрицательное, и число, ему противоположное, если оно отрицательное. Модуль числа $a$ обозначается как $|a|$.

Таким образом, определение модуля можно записать в виде формулы:

$|a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \ge 0 \\ -a, & \text{если } a < 0 \end{cases}$

Рассмотрим это на примерах:

• Модуль положительного числа равен самому числу. Например, $|5| = 5$.
• Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу. Например, $|-7| = -(-7) = 7$.
• Модуль нуля равен нулю. $|0| = 0$.

Геометрический смысл модуля:

На координатной прямой модуль числа $a$ — это расстояние от начала отсчета (точки 0) до точки, которая изображает это число. Поскольку расстояние не может быть отрицательным, модуль любого числа также всегда является неотрицательной величиной, то есть $|a| \ge 0$ для любого числа $a$.

Например, и точка с координатой 3, и точка с координатой -3 находятся на одинаковом расстоянии от нуля, равном 3. Поэтому $|3| = 3$ и $|-3| = 3$.

Основные свойства модуля:

1. Модуль любого числа есть число неотрицательное: $|a| \ge 0$.
2. Модули противоположных чисел равны: $|a| = |-a|$.
3. Модуль произведения двух чисел равен произведению их модулей: $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$.
4. Модуль частного двух чисел равен частному их модулей: $|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}$ (при $b \ne 0$).
5. Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа: $|a|^2 = a^2$.
6. Неравенство треугольника: модуль суммы двух чисел не превышает суммы их модулей: $|a + b| \le |a| + |b|$.

Ответ: Модулем числа $a$ (обозначается $|a|$) называют расстояние от начала отсчета до точки, изображающей это число на координатной прямой. Алгебраически, модуль неотрицательного числа равен самому числу, а модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу.

В.13. Могут ли значения выражений −r; −rv; |r |; v − r быть:
а) положительными;
б) отрицательными;
в) нулём?

В.13

а) –r > 0, если r < 0
$\frac{-r}{v} > 0$, если:
1) r < 0, v > 0
2) r > 0, v < 0
|r| положительно, если r ≠ 0
v – r положительно, если v > r

б) –r < 0, если r > 0
$\frac{-r}{v} < 0$, если:
1) r > 0, v > 0
2) r < 0, v < 0
|r| не может быть отрицательным
v – r < 0, если v < r

в) –r = 0, если r = 0
$\frac{-r}{v} = 0$ = 0, если r = 0, v ≠ 0
|r| = 0, если r = 0
v – r = 0, если v = r

Проанализируем каждую возможность для значений выражений $-r$, $\frac{-r}{v}$, $|r|$ и $v - r$.

а) положительными;

Чтобы все четыре выражения были положительными, должны одновременно выполняться следующие неравенства:

1. $-r > 0$
2. $\frac{-r}{v} > 0$
3. $|r| > 0$
4. $v - r > 0$

Рассмотрим эти условия по порядку:

Из условия 1 ($-r > 0$) следует, что $r$ должно быть отрицательным числом, то есть $r < 0$.

Условие 3 ($|r| > 0$) означает, что $r$ не равно нулю ($r \neq 0$). Это условие автоматически выполняется, если $r < 0$.

Из условия 1 мы знаем, что числитель дроби в условии 2 ($-r$) положителен. Чтобы вся дробь $\frac{-r}{v}$ была положительной, знаменатель $v$ также должен быть положительным ($v > 0$).

Условие 4 ($v - r > 0$) означает, что $v > r$. Поскольку мы установили, что $v > 0$ и $r < 0$, это неравенство всегда будет выполняться, так как любое положительное число больше любого отрицательного.

Итак, все четыре выражения будут положительными, если мы выберем любое отрицательное число для $r$ и любое положительное число для $v$.

Например, пусть $r = -2$ и $v = 3$. Проверим значения выражений:

• $-r = -(-2) = 2$ (положительное)
• $\frac{-r}{v} = \frac{-(-2)}{3} = \frac{2}{3}$ (положительное)
• $|r| = |-2| = 2$ (положительное)
• $v - r = 3 - (-2) = 5$ (положительное)

Таким образом, значения всех выражений могут быть положительными.

Ответ: Да, могут.

б) отрицательными;

Чтобы все четыре выражения были отрицательными, должны одновременно выполняться следующие неравенства:

1. $-r < 0$
2. $\frac{-r}{v} < 0$
3. $|r| < 0$
4. $v - r < 0$

Рассмотрим третье условие: $|r| < 0$. Модуль (абсолютное значение) любого действительного числа по определению является неотрицательной величиной, то есть $|r| \ge 0$. Неравенство $|r| < 0$ не имеет решений.

Поскольку одно из условий невыполнимо, то и вся система условий невыполнима. Значит, значения всех четырех выражений не могут быть одновременно отрицательными.

Ответ: Нет, не могут.

в) нулём?

Чтобы все четыре выражения были равны нулю, должны одновременно выполняться следующие равенства:

1. $-r = 0$
2. $\frac{-r}{v} = 0$
3. $|r| = 0$
4. $v - r = 0$

Рассмотрим эти условия.

Из условия 1 ($-r = 0$) и условия 3 ($|r| = 0$) однозначно следует, что $r = 0$.

Подставим $r = 0$ в условие 4 ($v - r = 0$): $v - 0 = 0$, откуда следует, что $v = 0$.

Теперь рассмотрим условие 2 ($\frac{-r}{v} = 0$) с учетом найденных значений $r=0$ и $v=0$. Выражение принимает вид $\frac{0}{0}$. Однако, деление на ноль в математике не определено. Выражение $\frac{-r}{v}$ имеет смысл только при $v \neq 0$.

Возникает противоречие: для выполнения условия 4 требуется $v=0$, а для существования выражения из условия 2 требуется $v \neq 0$. Невозможно, чтобы переменная $v$ одновременно была равна и не равна нулю.

Следовательно, значения всех четырех выражений не могут быть одновременно равны нулю.

Ответ: Нет, не могут.

В.14. Найдите, при каких m верно равенство:
а) |−m| = m;
б) |m| = −m;
в) |−m| = |m|.

В.14

а) |-m| = m при m ≥ 0

б) |m| = -m, если m ≤ 0

в) |-m| = |m| при любых значениях m

а) $|-m| = m$

По определению, модуль (абсолютная величина) любого числа является неотрицательной величиной. Левая часть равенства, $|-m|$, всегда больше или равна нулю ($|-m| \ge 0$). Следовательно, для того чтобы равенство было верным, правая часть, $m$, также должна быть неотрицательной. То есть, должно выполняться условие $m \ge 0$.

Проверим это условие:
1. Если $m > 0$, то $-m < 0$. Тогда по определению модуля $|-m| = -(-m) = m$. Равенство $|-m| = m$ превращается в тождество $m = m$, что верно.
2. Если $m = 0$, то $|-0| = |0| = 0$. Равенство принимает вид $0 = 0$, что также верно.
3. Если $m < 0$, то правая часть равенства отрицательна, а левая (модуль) — неотрицательна. Равенство не может выполняться. Например, при $m = -5$ получим $|-(-5)| = |5| = 5$, а правая часть равна $-5$. Равенство $5 = -5$ неверно.

Таким образом, равенство верно при всех неотрицательных значениях $m$.
Ответ: $m \ge 0$.

б) $|m| = -m$

Это равенство является одним из определений модуля. Модуль числа $|x|$ равен $-x$ тогда и только тогда, когда $x$ является неположительным числом ($x \le 0$). Применительно к нашей задаче, равенство $|m| = -m$ будет верным, когда подмодульное выражение $m$ неположительно.

Рассмотрим все случаи:
1. Если $m < 0$, то по определению модуля $|m| = -m$. Равенство принимает вид $-m = -m$, что является верным тождеством для всех $m < 0$.
2. Если $m = 0$, то $|0| = 0$ и $-m = -0 = 0$. Равенство принимает вид $0 = 0$, что верно.
3. Если $m > 0$, то $|m| = m$. Равенство становится $m = -m$, что равносильно $2m = 0$, откуда $m=0$. Это противоречит нашему предположению $m > 0$.

Следовательно, равенство верно при всех неположительных значениях $m$.
Ответ: $m \le 0$.

в) $|-m| = |m|$

Это равенство является основным свойством модуля: модули противоположных чисел равны. Геометрически это означает, что числа $m$ и $-m$ находятся на одинаковом расстоянии от нуля на числовой прямой, и это расстояние равно $|m|$.

Это свойство верно для любого действительного числа $m$. Докажем это, рассмотрев все возможные случаи:
1. Если $m > 0$, то $-m < 0$. Тогда $|m| = m$ и $|-m| = -(-m) = m$. Равенство принимает вид $m = m$, что верно.
2. Если $m = 0$, то $|0| = 0$ и $|-0| = 0$. Равенство принимает вид $0 = 0$, что верно.
3. Если $m < 0$, то $-m > 0$. Тогда $|m| = -m$ и $|-m| = -m$. Равенство принимает вид $-m = -m$, что верно.

Таким образом, равенство верно при любом значении $m$.
Ответ: $m$ — любое число (или $m \in (-\infty; +\infty)$).

В.15. Сформулируйте правила сложения, вычитания, умножения и деления чисел с одинаковыми знаками; разными знаками.

В.15

Чтобы найти сумму двух чисел с одинаковыми знаками, нужно сложить их модули и поставить перед ним знак числа.

Чтобы найти сумму двух чисел с разными знаками, нужно:
1) найти модули чисел и из большего модуля вычесть меньший модуль
2) перед полученным числом поставить знак слагаемого с большим модулем

Чтобы найти разность двух чисел, можно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

Чтобы найти произведение двух чисел с разными знаками, нужно:
1) перемножить модули чисел
2) поставить знак «-» перед полученным числом

Чтобы найти произведение двух чисел с одинаковыми знаками, нужно перемножить их модули.

Чтобы найти частное отрицательных чисел, можно разделить модуль делимого на модуль делителя.

Чтобы найти частное чисел с разными знаками, надо:
1) разделить модуль делимого на модуль делителя
2) поставить перед полученным числом знак «-»

Правила для чисел с одинаковыми знаками

Сложение: Чтобы сложить два числа с одинаковыми знаками, нужно сложить их модули (абсолютные величины) и перед полученной суммой поставить их общий знак.
Например: $5 + 3 = 8$; $(-5) + (-3) = -(5+3) = -8$.
Ответ: При сложении чисел с одинаковыми знаками их модули складываются, а результат имеет тот же знак.

Вычитание: Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому ($a - b = a + (-b)$), и далее действовать по правилам сложения.
Например, $(-7) - (-4)$ превращается в сложение чисел с разными знаками: $(-7) + 4 = -3$.
Ответ: Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

Умножение: Чтобы перемножить два числа с одинаковыми знаками, нужно перемножить их модули. Результат всегда будет положительным.
Например: $5 \times 3 = 15$; $(-5) \times (-3) = 15$.
Ответ: Произведение двух чисел с одинаковыми знаками есть число положительное, модуль которого равен произведению модулей множителей.

Деление: Чтобы разделить два числа с одинаковыми знаками, нужно разделить модуль делимого на модуль делителя. Результат всегда будет положительным.
Например: $10 \div 2 = 5$; $(-10) \div (-2) = 5$.
Ответ: Частное двух чисел с одинаковыми знаками есть число положительное, модуль которого равен частному модулей делимого и делителя.

Правила для чисел с разными знаками

Сложение: Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший и перед полученной разностью поставить знак того числа, модуль которого был больше.
Например: $(-8) + 5 = -(8-5) = -3$; $12 + (-7) = +(12-7) = 5$.
Ответ: При сложении чисел с разными знаками из большего модуля вычитается меньший, а результат имеет знак числа с большим модулем.

Вычитание: Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому ($a - b = a + (-b)$).
Например: $9 - (-4)$ превращается в сложение положительных чисел $9 + 4 = 13$; $(-9) - 4$ превращается в сложение отрицательных чисел $(-9) + (-4) = -13$.
Ответ: Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

Умножение: Чтобы перемножить два числа с разными знаками, нужно перемножить их модули и перед полученным произведением поставить знак «минус». Результат всегда будет отрицательным.
Например: $(-6) \times 3 = -18$; $6 \times (-3) = -18$.
Ответ: Произведение двух чисел с разными знаками есть число отрицательное, модуль которого равен произведению модулей множителей.

Деление: Чтобы разделить два числа с разными знаками, нужно разделить модуль делимого на модуль делителя и перед полученным частным поставить знак «минус». Результат всегда будет отрицательным.
Например: $(-12) \div 4 = -3$; $12 \div (-4) = -3$.
Ответ: Частное двух чисел с разными знаками есть число отрицательное, модуль которого равен частному модулей делимого и делителя.

В.16. Как называются компоненты и результат сложения; вычитания; умножения; деления?

В.16

Слагаемое + слагаемое = сумма

Уменьшаемое – вычитаемое = разность

Множитель ∙ множитель = произведение

Делимое: делитель = частное

Сложение: Компоненты действия сложения – это слагаемые. Результат сложения называется суммой. В математической записи $a + b = c$, числа $a$ и $b$ являются слагаемыми, а $c$ – это сумма.
Ответ: компоненты – слагаемое, слагаемое; результат – сумма.

Вычитание: Компоненты действия вычитания – это уменьшаемое (число, из которого вычитают) и вычитаемое (число, которое вычитают). Результат вычитания называется разностью. В математической записи $a - b = c$, число $a$ – это уменьшаемое, $b$ – вычитаемое, а $c$ – разность.
Ответ: компоненты – уменьшаемое, вычитаемое; результат – разность.

Умножение: Компоненты действия умножения называются множителями (или сомножителями). Результат умножения – это произведение. В математической записи $a \cdot b = c$, числа $a$ и $b$ являются множителями, а $c$ – это произведение.
Ответ: компоненты – множитель, множитель; результат – произведение.

Деление: Компоненты действия деления – это делимое (число, которое делят) и делитель (число, на которое делят). Результат деления называется частным. В математической записи $a : b = c$, число $a$ – это делимое, $b$ – делитель, а $c$ – частное.
Ответ: компоненты – делимое, делитель; результат – частное.

В.17. По какому правилу выполняется раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «плюс»; знак «минус»?

В.17

Если перед скобками стоит знак «плюс», то скобки и знак «плюс» можно опустить, сохраняя знаки слагаемых в скобках.

Если перед скобками стоит знак «минус», то скобки и знак «плюс» можно опустить, изменив знак каждого слагаемого в скобках на противоположный.

Раскрытие скобок в алгебраических выражениях — это фундаментальная операция, которая выполняется по чётким правилам, зависящим от знака, стоящего непосредственно перед скобками.

знак «плюс»

Если перед скобками стоит знак «плюс» (или знак не стоит вовсе, что эквивалентно плюсу), то при их раскрытии скобки и этот знак «плюс» просто опускаются. При этом знаки всех слагаемых, которые находились внутри скобок, остаются без изменений.

Это правило основано на распределительном свойстве умножения относительно сложения. Выражение $a + (b - c)$ можно представить как $a + 1 \cdot (b - c)$. Применяя распределительный закон, получаем: $a + 1 \cdot b - 1 \cdot c$, что равно $a + b - c$.

Общие формулы: $a + (b + c) = a + b + c$
$a + (b - c) = a + b - c$

Пример:
Раскроем скобки в выражении $2x + (5y - 7z + 3)$.
Так как перед скобками стоит знак «плюс», мы убираем его вместе со скобками, а все знаки внутри сохраняем:
$2x + (5y - 7z + 3) = 2x + 5y - 7z + 3$

Ответ: Если перед скобками стоит знак «плюс», то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, которое было заключено в этих скобках.

знак «минус»

Если перед скобками стоит знак «минус», то при их раскрытии скобки и этот знак «минус» опускаются, но знаки всех слагаемых, которые находились внутри скобок, необходимо изменить на противоположные (то есть «+» на «−», а «−» на «+»).

Это правило также является следствием распределительного свойства. Выражение $a - (b - c)$ можно представить как $a + (-1) \cdot (b - c)$. Раскрывая скобки по распределительному закону, получаем: $a + (-1) \cdot b - (-1) \cdot c$, что равно $a - b + c$.

Общие формулы: $a - (b + c) = a - b - c$
$a - (b - c) = a - b + c$

Пример:
Раскроем скобки в выражении $9k - (2m - 4n + 5)$.
Так как перед скобками стоит знак «минус», мы убираем его и скобки, а знаки всех слагаемых внутри ($+2m$, $-4n$, $+5$) меняем на противоположные:
$9k - (2m - 4n + 5) = 9k - 2m + 4n - 5$

Ответ: Если перед скобками стоит знак «минус», то скобки можно опустить, при этом изменив знак каждого слагаемого, которое было заключено в этих скобках, на противоположный.

В.18. Назовите порядок действий для выражения без скобок, в котором есть вычитание, деление и возведение в квадрат.

В.18

1) возведение в квадрат
2) деление
3) вычитание

В математике установлен строгий порядок выполнения арифметических действий для выражений без скобок. Этот порядок определяется приоритетом, или «ступенью», операции.

• Действия третьей ступени (высший приоритет): возведение в степень (включая возведение в квадрат).
• Действия второй ступени: умножение и деление.
• Действия первой ступени (низший приоритет): сложение и вычитание.

Правило вычислений гласит: сначала выполняются действия более высокой ступени, а затем — более низкой. Если в выражении есть несколько действий одной и той же ступени (например, деление и умножение), они выполняются последовательно слева направо.

Для заданного набора операций — вычитание, деление и возведение в квадрат — приоритеты распределяются следующим образом:

1. Возведение в квадрат — как действие третьей ступени, выполняется первым.
2. Деление — как действие второй ступени, выполняется вторым.
3. Вычитание — как действие первой ступени, выполняется последним.

Рассмотрим на примере: $30 - 4^2 : 8$.

1. Первым делом возводим в квадрат: $4^2 = 16$. Выражение принимает вид: $30 - 16 : 8$.
2. Далее выполняем деление: $16 : 8 = 2$. Выражение принимает вид: $30 - 2$.
3. Наконец, выполняем вычитание: $30 - 2 = 28$.

Ответ: Порядок действий для выражения без скобок, в котором есть вычитание, деление и возведение в квадрат, следующий:
1. Возведение в квадрат.
2. Деление.
3. Вычитание.

В.19. По какому правилу находится:
а) неизвестное слагаемое;
б) неизвестное уменьшаемое;
в) неизвестное вычитаемое;
г) неизвестный множитель;
д) неизвестное делимое;
е) неизвестный делитель?

В.19

а) чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть второе слагаемое

б) чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое

в) чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность

г) чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель

д) чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель

е) чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное

а) неизвестное слагаемое
Компоненты сложения – это слагаемые и сумма. Общий вид уравнения: первое слагаемое + второе слагаемое = сумма. Если одно из слагаемых неизвестно, его можно найти, используя известное слагаемое и сумму. Рассмотрим уравнение $x + a = c$, где $x$ – неизвестное слагаемое, $a$ – известное слагаемое, а $c$ – сумма. Чтобы найти $x$, нужно из суммы $c$ вычесть известное слагаемое $a$: $x = c - a$.
Пример: В уравнении $x + 5 = 12$, неизвестное слагаемое $x$ находится так: $x = 12 - 5 = 7$.
Ответ: Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

б) неизвестное уменьшаемое
Компоненты вычитания – это уменьшаемое, вычитаемое и разность. Общий вид уравнения: уменьшаемое - вычитаемое = разность. Если неизвестно уменьшаемое, его можно найти, используя вычитаемое и разность. Рассмотрим уравнение $x - b = c$, где $x$ – неизвестное уменьшаемое, $b$ – вычитаемое, а $c$ – разность. Чтобы найти $x$, нужно к разности $c$ прибавить вычитаемое $b$: $x = c + b$.
Пример: В уравнении $x - 8 = 3$, неизвестное уменьшаемое $x$ находится так: $x = 3 + 8 = 11$.
Ответ: Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

в) неизвестное вычитаемое
Компоненты вычитания – это уменьшаемое, вычитаемое и разность. Общий вид уравнения: уменьшаемое - вычитаемое = разность. Если неизвестно вычитаемое, его можно найти, используя уменьшаемое и разность. Рассмотрим уравнение $a - x = c$, где $a$ – уменьшаемое, $x$ – неизвестное вычитаемое, а $c$ – разность. Чтобы найти $x$, нужно из уменьшаемого $a$ вычесть разность $c$: $x = a - c$.
Пример: В уравнении $15 - x = 9$, неизвестное вычитаемое $x$ находится так: $x = 15 - 9 = 6$.
Ответ: Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

г) неизвестный множитель
Компоненты умножения – это множители и произведение. Общий вид уравнения: первый множитель × второй множитель = произведение. Если один из множителей неизвестен, его можно найти, используя известный множитель и произведение. Рассмотрим уравнение $x \cdot a = c$, где $x$ – неизвестный множитель, $a$ – известный множитель, а $c$ – произведение. Чтобы найти $x$, нужно произведение $c$ разделить на известный множитель $a$: $x = c \div a$.
Пример: В уравнении $x \cdot 4 = 28$, неизвестный множитель $x$ находится так: $x = 28 \div 4 = 7$.
Ответ: Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.

д) неизвестное делимое
Компоненты деления – это делимое, делитель и частное. Общий вид уравнения: делимое ÷ делитель = частное. Если неизвестно делимое, его можно найти, используя делитель и частное. Рассмотрим уравнение $x \div b = c$, где $x$ – неизвестное делимое, $b$ – делитель, а $c$ – частное. Чтобы найти $x$, нужно частное $c$ умножить на делитель $b$: $x = c \cdot b$.
Пример: В уравнении $x \div 6 = 5$, неизвестное делимое $x$ находится так: $x = 5 \cdot 6 = 30$.
Ответ: Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.

е) неизвестный делитель
Компоненты деления – это делимое, делитель и частное. Общий вид уравнения: делимое ÷ делитель = частное. Если неизвестен делитель, его можно найти, используя делимое и частное. Рассмотрим уравнение $a \div x = c$, где $a$ – делимое, $x$ – неизвестный делитель, а $c$ – частное. Чтобы найти $x$, нужно делимое $a$ разделить на частное $c$: $x = a \div c$.
Пример: В уравнении $54 \div x = 9$, неизвестный делитель $x$ находится так: $x = 54 \div 9 = 6$.
Ответ: Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.

В.20. Как называются похожие свойства (законы) сложения и умножения, которые вы знаете? Сформулируйте их и запишите с помощью букв.

В.20

переместительное свойство сложения
от перестановки слагаемых сумма не меняется
$х + у = у + х$

переместительное свойство умножения
от перестановки множителей произведение не меняется
$х · у = у · х$

сочетательное свойство сложения
Чтобы к числу прибавить сумму второго и третьего, можно к сумме первого и второго прибавить третье.
$х + (у + z) = (x + у) + z$

сочетательное свойство умножения
Чтобы множить число на произведение второго и третьего, можно умножить произведение первого и второго на третье число.
$х · (у · z) = (х · y) · z$

В математике существуют похожие свойства (законы) для операций сложения и умножения. Основными из них являются переместительный и сочетательный законы, а также распределительный закон, который связывает обе операции.

Переместительный закон (коммутативность)

Этот закон гласит, что результат операции не зависит от порядка операндов.

Для сложения: от перестановки мест слагаемых сумма не меняется. В буквенном виде это свойство записывается так: $a + b = b + a$.

Для умножения: от перестановки мест множителей произведение не меняется. В буквенном виде это свойство записывается так: $a \cdot b = b \cdot a$.

Ответ: Переместительный закон для сложения $a + b = b + a$ и для умножения $a \cdot b = b \cdot a$.

Сочетательный закон (ассоциативность)

Этот закон позволяет произвольно группировать операнды, когда операция выполняется несколько раз подряд.

Для сложения: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел. В буквенном виде: $(a + b) + c = a + (b + c)$.

Для умножения: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел. В буквенном виде: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.

Ответ: Сочетательный закон для сложения $(a + b) + c = a + (b + c)$ и для умножения $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.

Распределительный закон (дистрибутивность)

Этот закон связывает операции сложения и умножения.

Формулировка: чтобы умножить число на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое, а затем сложить полученные произведения. В буквенном виде это свойство записывается так: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.

Ответ: Распределительный закон умножения относительно сложения $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.

В.21. Какое свойство называют распределительным законом умножения относительно сложения; вычитания? Сформулируйте его и запишите с помощью букв.

В.21

Чтобы число умножить на сумму двух чисел, можно это число умножить отдельно на каждое слагаемое, а результаты сложить:
$a · (b + c) = ab + ac$ – распределительное свойство умножения относительно сложения

Чтобы число умножить на разность двух чисел, можно это число умножить отдельно на уменьшаемое и вычитаемое, а результаты вычесть:
$a · (b – c) = ab – ac$ – распределительное свойство умножения относительно вычитания

Свойство, о котором идет речь, называется распределительным законом умножения. Он устанавливает связь между операциями умножения и сложения (или вычитания) и формулируется для двух случаев.

Относительно сложения

Чтобы умножить число на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое по отдельности, а затем сложить полученные произведения.

В буквенном виде это свойство для любых чисел $a$, $b$ и $c$ записывается следующим образом:
$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

Ответ: Чтобы умножить число на сумму, нужно умножить это число на каждое слагаемое и полученные результаты сложить. Формула: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.

Относительно вычитания

Чтобы умножить число на разность двух чисел, можно это число умножить на уменьшаемое и на вычитаемое по отдельности, а затем из первого произведения вычесть второе.

В буквенном виде это свойство для любых чисел $a$, $b$ и $c$ записывается следующим образом:
$a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$

Ответ: Чтобы умножить число на разность, нужно умножить это число на уменьшаемое и на вычитаемое, а затем из первого произведения вычесть второе. Формула: $a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$.

В.22. Что значит сравнить два различных числа? Сформулируйте правила сравнения целых чисел.

В.22

Сравнить два числа – выяснить какое из чисел больше, или показать, что они равны.

Любое положительное число больше любого отрицательного числа и больше нуля.

Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.

Из двух положительных чисел больше то, которое находиться правее на координатной прямой.

Любое отрицательное число меньше 0.

Что значит сравнить два различных числа?

Сравнить два различных числа — это значит определить, какое из них больше, а какое меньше. Результат сравнения двух чисел $a$ и $b$ записывают в виде неравенства, используя знаки «больше» ($>$) или «меньше» ($<$).

• Если число $a$ больше числа $b$, то пишут $a > b$.
• Если число $a$ меньше числа $b$, то пишут $a < b$.

Геометрически, на координатной прямой большее число всегда расположено правее меньшего. Например, точка с координатой 5 расположена правее точки с координатой 2, поэтому $5 > 2$. Точка с координатой -1 расположена правее точки с координатой -4, поэтому $-1 > -4$.

Ответ: Сравнить два различных числа — это установить, какое из них больше, а какое меньше, и записать результат с помощью знаков $>$ или $<$.

Правила сравнения целых чисел

Целые числа — это натуральные числа (1, 2, 3, ...), противоположные им числа (-1, -2, -3, ...) и число 0. Для их сравнения существуют следующие правила:

1. Сравнение положительного и отрицательного чисел.
   Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа.
   Например: $15 > -200$; $1 > -100$.
2. Сравнение с нулем.
   • Любое положительное число больше нуля. Например: $7 > 0$.
   • Любое отрицательное число меньше нуля. Например: $-10 < 0$.
   • Число 0 больше любого отрицательного числа и меньше любого положительного числа.
3. Сравнение двух положительных чисел.
   Из двух положительных чисел больше то, у которого модуль (абсолютная величина) больше. Фактически, это сравнение натуральных чисел.
   Например: $25 > 12$, так как $|25| > |12|$.
4. Сравнение двух отрицательных чисел.
   Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль (абсолютная величина) меньше. На координатной прямой это число будет расположено ближе к нулю (то есть правее).
   Например: $-8 > -15$, так как $|-8| < |-15|$ (то есть $8 < 15$).

Ответ: Правила сравнения целых чисел основаны на их знаке и положении на координатной прямой: 1) любое положительное число больше любого отрицательного; 2) любое положительное число больше нуля, а любое отрицательное меньше нуля; 3) из двух положительных чисел больше то, у которого больше модуль; 4) из двух отрицательных чисел больше то, у которого меньше модуль.

В.23. Что такое числовое равенство; числовое неравенство?

В.23

Числовое равенство – это равенство, обе части которого состоят из чисел и/или числовых выражений.

Числовое неравенство – это неравенство, обе части которого состоят из чисел и/или числовых выражений.

Числовое равенство

Числовое равенство — это утверждение, в котором два числовых выражения соединены знаком равенства ($=$). Оно означает, что значения выражений, расположенных слева и справа от знака равенства, одинаковы. Числовое равенство может быть верным (истинным) или неверным (ложным).
Верное равенство — это равенство, которое является истинным утверждением. Например: $5 + 3 = 8$ или $2 \cdot 4 = 8$.
Неверное равенство — это равенство, которое является ложным утверждением. Например: $5 + 3 = 9$ или $2 \cdot 4 = 10$.

Ответ: Числовое равенство — это запись, состоящая из двух числовых выражений, соединенных знаком «равно» ($=$), которая утверждает, что значения этих выражений равны.

Числовое неравенство

Числовое неравенство — это утверждение, в котором два числовых выражения соединены одним из знаков неравенства: $>$ (больше), $<$ (меньше), $≥$ (больше или равно), $≤$ (меньше или равно). Оно сравнивает значения двух выражений и, как и равенство, может быть верным или неверным.
Различают два вида неравенств:
Строгие неравенства используют знаки $>$ и $<$. Они утверждают, что одно значение строго больше или строго меньше другого. Примеры верных строгих неравенств: $10 > 7$, $3 < 5$.
Нестрогие неравенства используют знаки $≥$ и $≤$ и допускают возможность равенства сравниваемых выражений. Примеры верных нестрогих неравенств: $8 ≥ 8$, $5 ≤ 9$.

Ответ: Числовое неравенство — это запись, состоящая из двух числовых выражений, соединенных одним из знаков сравнения ($>$, $<$, $≥$, $≤$), которая устанавливает отношение порядка между их значениями.

В.24. Что такое квадрат данного числа; куб данного числа?

В.24

Квадратом числа а называют произведение а • а и обозначают а².

Кубом числа а называют произведение а • а • а и обозначают а³.

Что такое квадрат данного числа

Квадратом числа $a$ называется результат умножения этого числа на само себя. Возведение в квадрат — это возведение в степень с показателем 2.

Записывается это как $a^2$, где $a$ — это основание степени, а 2 — показатель степени. Выражение $a^2$ читается как «а в квадрате».

Формула для вычисления квадрата числа:

$a^2 = a \cdot a$

Например:

• Квадрат числа 7: $7^2 = 7 \cdot 7 = 49$
• Квадрат отрицательного числа -5: $(-5)^2 = (-5) \cdot (-5) = 25$
• Квадрат дроби $\frac{2}{3}$: $(\frac{2}{3})^2 = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$

Геометрически, квадрат положительного числа $a$ равен площади квадрата со стороной, равной $a$.

Ответ: Квадрат данного числа — это произведение этого числа на само себя.

Что такое куб данного числа

Кубом числа $a$ называется произведение трех множителей, каждый из которых равен числу $a$. Возведение в куб — это возведение в степень с показателем 3.

Записывается это как $a^3$, где $a$ — это основание степени, а 3 — показатель степени. Выражение $a^3$ читается как «а в кубе».

Формула для вычисления куба числа:

$a^3 = a \cdot a \cdot a$

Например:

• Куб числа 4: $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$
• Куб отрицательного числа -3: $(-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -27$
• Куб десятичной дроби 0.2: $(0.2)^3 = 0.2 \cdot 0.2 \cdot 0.2 = 0.008$

Геометрически, куб положительного числа $a$ равен объему куба с длиной ребра, равной $a$.

Ответ: Куб данного числа — это произведение трех множителей, каждый из которых равен этому числу.

В.25. Что такое отношение двух чисел? Приведите примеры отношения двух величин.

В.25

Отношение двух чисел – это их частное. Оно показывает, какую часть одно число составляет от другого.

Например:

Коля выполнял домашнее задание 45 минут, из них 23 минуты он потратил на выполнение задания по математике. Какую часть всего времени заняло выполнение задания по математике?

$23 : 45 = \frac{23}{45}$

Что такое отношение двух чисел?

Отношение двух чисел — это их частное, то есть результат деления одного числа на другое. Отношение показывает, во сколько раз одно число больше другого (если отношение больше 1) или какую часть одно число составляет от другого (если отношение меньше 1). Для двух чисел $a$ и $b$, где $b$ не равно нулю ($b \neq 0$), их отношение записывается как $a : b$ или в виде дроби $\frac{a}{b}$. Числа $a$ и $b$ называются членами отношения. Например, отношение 20 к 4 равно $20 : 4 = 5$. Это значит, что 20 в 5 раз больше, чем 4. Отношение 3 к 6 равно $3 : 6 = \frac{3}{6} = 0.5$. Это значит, что 3 составляет половину (или 0.5) от 6.

Ответ: Отношением двух чисел $a$ и $b$ ($b \neq 0$) называют их частное ($\frac{a}{b}$), которое показывает, во сколько раз число $a$ больше числа $b$ или какую часть число $a$ составляет от числа $b$.

Приведите примеры отношения двух величин.

Отношение двух величин — это частное от деления одной величины на другую. Если величины однородные (например, две длины), их отношение является безразмерным числом. Если величины разнородные (например, расстояние и время), их отношение порождает новую физическую величину с новой единицей измерения. Вот несколько примеров:

1. Скорость. Это отношение пройденного пути ко времени, за которое этот путь был пройден. Если велосипедист проехал 30 километров за 2 часа, то его скорость — это отношение $\frac{30 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 15 \text{ км/ч}$.

2. Цена. Это отношение стоимости товара к его количеству (например, массе или объему). Если 5 кг картофеля стоят 200 рублей, то цена одного килограмма равна $\frac{200 \text{ руб.}}{5 \text{ кг}} = 40 \text{ руб./кг}$.

3. Плотность вещества. Это отношение массы вещества к занимаемому им объему. Например, если масса куска железа равна 15,6 кг, а его объем — 0,002 м³, то его плотность составляет $\frac{15.6 \text{ кг}}{0.002 \text{ м}^3} = 7800 \text{ кг/м³}$.

4. Масштаб. Это отношение длины отрезка на карте или плане к длине соответствующего отрезка на местности. Например, масштаб $1:50000$ означает, что 1 сантиметр на карте соответствует 50000 сантиметрам (или 500 метрам) на реальной местности. Это отношение однородных величин (длина к длине), поэтому оно является безразмерным числом.

Ответ: Примерами отношения двух величин являются: скорость (отношение расстояния ко времени), цена (отношение стоимости к количеству), плотность (отношение массы к объему), масштаб карты (отношение расстояния на карте к расстоянию на местности).

В.26. Что такое пропорция? Приведите пример пропорции и назовите её средние и крайние члены.

В.26

Пропорция – это равенство двух отношений.

2,4 : 0,6 = 20 : 5 – пропорция

2,4 и 5 – крайние члены

0,6 и 20 – средние члены

Пропорция — это верное равенство двух отношений. Отношение представляет собой частное от деления двух чисел. Если отношение чисел $a$ и $b$ равно отношению чисел $c$ и $d$, то равенство $a : b = c : d$ или, в другой записи, $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ (при $b \neq 0, d \neq 0$) называется пропорцией. Читается это так: «$a$ относится к $b$ так же, как $c$ относится к $d$».

Ключевым свойством пропорции является то, что произведение её крайних членов равно произведению средних членов. Для пропорции $a : b = c : d$ это свойство выглядит так: $a \cdot d = b \cdot c$.

Пример пропорции:
$8 : 4 = 10 : 5$

Это равенство является верным, так как результат деления в левой части ($8 : 4 = 2$) равен результату деления в правой части ($10 : 5 = 2$).

В любой пропорции вида $a : b = c : d$ члены $a$ и $d$ называются крайними членами, а члены $b$ и $c$ — средними членами.

В нашем примере $8 : 4 = 10 : 5$:

• Крайние члены — это 8 и 5.
• Средние члены — это 4 и 10.

Проверим основное свойство пропорции на этом примере: произведение крайних членов $8 \cdot 5 = 40$, произведение средних членов $4 \cdot 10 = 40$. Поскольку $40 = 40$, равенство верно.

Ответ: Пропорция — это равенство двух отношений, вида $a:b = c:d$. Пример пропорции: $8:4 = 10:5$. В этой пропорции числа 8 и 5 являются крайними членами, а числа 4 и 10 — средними членами.

В.27. Сформулируйте основное свойство пропорции. Приведите примеры его использования.

В.27

Произведение крайних членов пропорции равно произведению их средних членов.

$$\begin{gathered} 12 : 6 = х : 3 \\ 6х = 12 · 3 \\ 6х = 36 \\ х = 36 : 6 \\ х = 6 \end{gathered}$$

Сформулируйте основное свойство пропорции

Пропорция — это равенство двух отношений. Пропорцию можно записать как $a : b = c : d$ или в виде равенства дробей:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

В этой записи числа $a$ и $d$ называют крайними членами пропорции, а числа $b$ и $c$ — средними членами.

Основное свойство пропорции заключается в следующем: в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению её средних членов.

Для пропорции, записанной в виде $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, основное свойство выражается формулой:

$a \cdot d = b \cdot c$

Это свойство также называют «правилом креста», так как для его применения можно мысленно провести две линии, соединяющие крайние и средние члены, которые образуют крест. Оно является ключевым инструментом для решения уравнений и задач, сводящихся к пропорциям.

Ответ: В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов. Если пропорция задана равенством $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то её основное свойство записывается как $a \cdot d = b \cdot c$.

Приведите примеры его использования

1. Нахождение неизвестного члена пропорции (решение уравнения)

Необходимо найти значение $x$ в уравнении, представленном в виде пропорции: $\frac{x}{8} = \frac{5}{2}$.

Здесь крайние члены — это $x$ и $2$, а средние члены — $8$ и $5$.

Применяем основное свойство пропорции:

$x \cdot 2 = 8 \cdot 5$

$2x = 40$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{40}{2}$

$x = 20$

Ответ: $x = 20$.

2. Решение текстовых задач

Для выпечки 6 одинаковых кексов требуется 300 грамм муки. Сколько грамм муки понадобится для выпечки 10 таких же кексов?

Пусть $y$ — искомое количество муки в граммах. Составим пропорцию, в которой отношение количества кексов к количеству муки будет одинаковым в обоих случаях:

$\frac{6 \text{ кексов}}{300 \text{ г}} = \frac{10 \text{ кексов}}{y \text{ г}}$

Запишем пропорцию без единиц измерения: $\frac{6}{300} = \frac{10}{y}$.

Применим основное свойство (произведение крайних членов равно произведению средних):

$6 \cdot y = 300 \cdot 10$

$6y = 3000$

Найдем $y$:

$y = \frac{3000}{6}$

$y = 500$

Таким образом, для 10 кексов понадобится 500 грамм муки.

Ответ: 500 грамм.

3. Проверка верности пропорции

Нужно определить, верно ли равенство $4:5 = 12:15$.

Запишем в виде дробей: $\frac{4}{5} = \frac{12}{15}$.

Крайние члены: $4$ и $15$.

Средние члены: $5$ и $12$.

Согласно основному свойству, пропорция верна, если произведение крайних членов равно произведению средних. Проверим это:

Произведение крайних членов: $4 \cdot 15 = 60$.

Произведение средних членов: $5 \cdot 12 = 60$.

Поскольку $60 = 60$, равенство является верной пропорцией.

Ответ: Да, пропорция верна, так как произведение крайних членов ($4 \cdot 15 = 60$) равно произведению средних членов ($5 \cdot 12 = 60$).

В.28. Какое число называют делителем данного числа? Как найти наибольший общий делитель?

В.28

Натуральное число n называют делителем натурального числа m, если число m делится на число n без остатка.

Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел, надо:
1) разложить числа на простые множители
2) подчеркнуть общие множители в каждом разложении
3) найти произведение общих множителей

Какое число называют делителем данного числа?

Делителем натурального числа $a$ называют натуральное число $b$, на которое число $a$ делится без остатка. Иными словами, если существует такое натуральное число $c$, что выполняется равенство $a = b \cdot c$, то число $b$ является делителем числа $a$.

Например, рассмотрим число 12. Чтобы найти его делители, нужно найти все натуральные числа, на которые 12 делится нацело:

• $12 \div 1 = 12$
• $12 \div 2 = 6$
• $12 \div 3 = 4$
• $12 \div 4 = 3$
• $12 \div 6 = 2$
• $12 \div 12 = 1$

Следовательно, делителями числа 12 являются числа 1, 2, 3, 4, 6 и 12.

Ответ: Делителем данного числа называют такое натуральное число, на которое данное число делится без остатка.

Как найти наибольший общий делитель?

Наибольший общий делитель (сокращенно НОД) двух или нескольких натуральных чисел — это самое большое натуральное число, на которое делится без остатка каждое из этих чисел.

Для нахождения НОД существует несколько способов. Один из самых распространенных — это метод разложения на простые множители. Алгоритм этого метода следующий:

1. Разложить каждое из данных чисел на простые множители.
2. Выписать все общие простые множители, которые присутствуют в разложении каждого числа.
3. Для каждого общего простого множителя выбрать наименьшую степень, с которой он входит в разложения.
4. Перемножить эти степени. Полученное произведение и будет являться наибольшим общим делителем.

Рассмотрим пример: Найдем НОД для чисел 48 и 84.

1. Сначала разложим оба числа на простые множители:
$48 = 2 \cdot 24 = 2 \cdot 2 \cdot 12 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3^1$
$84 = 2 \cdot 42 = 2 \cdot 2 \cdot 21 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 7^1$

2. Общими простыми множителями для чисел 48 и 84 являются 2 и 3.

3. Выберем для каждого общего множителя наименьшую степень, в которой он встречается в разложениях:
- Для множителя 2 наименьшая степень — это 2 (из разложения числа 84: $2^2$).
- Для множителя 3 наименьшая степень — это 1 (встречается в обоих разложениях: $3^1$).

4. Теперь перемножим эти множители в выбранных степенях:
$НОД(48, 84) = 2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12$

Значит, наибольший общий делитель чисел 48 и 84 равен 12.

Ответ: Чтобы найти наибольший общий делитель, нужно разложить данные числа на простые множители, затем найти произведение их общих простых множителей, взяв каждый из них с наименьшим показателем степени, с которым он входит в разложения.

В.29. Какое число называют кратным данного числа? Как найти наименьшее общее кратное?

В.29

Кратным данного числа n называют такое число m, на которое число n делится без остатка.

Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо:
1) разложить числа на простые множители
2) подчеркнуть общие множители в каждом разложении
3) найти произведение общих множителей одного из чисел и добавить произведение всех остальных множителей от каждого числа

Какое число называют кратным данного числа?

Кратным для данного натурального числа a называют натуральное число b, которое делится на a без остатка. Иными словами, число b является кратным числа a, если существует такое натуральное число k, что выполняется равенство $b = a \cdot k$. Каждое число имеет бесконечно много кратных. Наименьшим кратным для любого натурального числа является само это число.

Например, для числа 6 кратными будут числа 6, 12, 18, 24 и так далее, так как $6 = 6 \cdot 1$, $12 = 6 \cdot 2$, $18 = 6 \cdot 3$ и т.д.

Ответ: Кратным данного числа называют число, которое делится на данное число без остатка.

Как найти наименьшее общее кратное?

Наименьшее общее кратное (НОК) двух или нескольких натуральных чисел — это наименьшее натуральное число, которое является кратным для каждого из этих чисел (т.е. делится на каждое из них без остатка).

Существует несколько способов нахождения НОК. Рассмотрим два основных метода.

Способ 1: Через разложение на простые множители

Этот метод является универсальным и особенно удобен для больших чисел. Алгоритм нахождения НОК следующий:

1. Разложить каждое из данных чисел на простые множители.
2. Выписать простые множители, которые входят в разложение хотя бы одного из чисел.
3. Каждый из выписанных множителей взять с наибольшим показателем степени, с которым он встречается в разложениях.
4. Перемножить полученные степени.

Пример: Найдем НОК для чисел 12 и 18.

• 1. Разложение на простые множители:
  $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^1$
  $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^1 \cdot 3^2$
• 2. Простые множители, встречающиеся в разложениях: 2 и 3.
• 3. Наибольшая степень для множителя 2 – это $2^2$. Наибольшая степень для множителя 3 – это $3^2$.
• 4. Перемножим их: $НОК(12, 18) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.

Способ 2: Через наибольший общий делитель (НОД)

Этот способ удобен для двух чисел и основан на формуле, связывающей НОК и НОД:

$НОК(a, b) = \frac{a \cdot b}{НОД(a, b)}$

Алгоритм:

1. Найти наибольший общий делитель (НОД) данных чисел.
2. Вычислить произведение этих чисел.
3. Разделить произведение чисел на их НОД.

Пример: Найдем НОК для тех же чисел 12 и 18.

• 1. Найдем НОД(12, 18). Делители числа 12: {1, 2, 3, 4, 6, 12}. Делители числа 18: {1, 2, 3, 6, 9, 18}. Наибольший общий делитель – это 6. Итак, $НОД(12, 18) = 6$.
• 2. Вычислим НОК по формуле: $НОК(12, 18) = \frac{12 \cdot 18}{6} = \frac{216}{6} = 36$.

Для нахождения НОК трех и более чисел можно применять эти методы последовательно. Например, $НОК(a, b, c) = НОК(НОК(a, b), c)$.

Ответ: Чтобы найти наименьшее общее кратное, можно разложить числа на простые множители, затем для каждого простого множителя взять наибольшую степень, в которой он встречается в разложениях, и перемножить полученные результаты. Другой способ (для двух чисел) — найти их произведение и разделить на их наибольший общий делитель.

В.30. Признаки делимости на какие числа вы знаете? Сформулируйте их.

В.30

Если число оканчивается четной цифрой, то оно делится на 2.

Если сумма цифр числа делится на 3, то и все число делится на 3.

Если сумма цифр числа делится на 9, то и все число делится на 9.

Если число оканчивается цифрой 0 или 5, то число делится на 5.

Если число оканчивается цифрой 0, то оно делится на 10.

Если число, образованное двумя последними цифрами в записи числа, делится на 4, то и все число делится на 4.

Признаки делимости — это алгоритмы, позволяющие сравнительно быстро определить, является ли число кратным некоторому делителю.

Признак делимости на 2

Натуральное число делится на 2 без остатка, если его последняя цифра четная. То есть, если число оканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8. Такие числа называются четными.

Пример: число 5396 делится на 2, так как его последняя цифра 6 — четная. Число 1841 не делится на 2, так как его последняя цифра 1 — нечетная.

Ответ: число делится на 2, если его последняя цифра — 0, 2, 4, 6 или 8.

Признак делимости на 3

Натуральное число делится на 3 без остатка, если сумма его цифр делится на 3.

Пример: число 789 делится на 3, так как сумма его цифр $7 + 8 + 9 = 24$, а 24 делится на 3. Число 532 не делится на 3, так как сумма его цифр $5 + 3 + 2 = 10$, а 10 не делится на 3.

Ответ: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на 4

Натуральное число делится на 4 без остатка, если число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4. Также на 4 делятся все числа, которые оканчиваются на два нуля (00).

Пример: число 9536 делится на 4, так как число 36, образованное двумя последними цифрами, делится на 4. Число 1734 не делится на 4, так как 34 не делится на 4.

Ответ: число делится на 4, если число, составленное из двух его последних цифр, делится на 4.

Признак делимости на 5

Натуральное число делится на 5 без остатка, если его последняя цифра — 0 или 5.

Пример: числа 230 и 1865 делятся на 5. Число 771 не делится на 5.

Ответ: число делится на 5, если оно оканчивается на 0 или 5.

Признак делимости на 6

Натуральное число делится на 6 без остатка, если оно делится одновременно и на 2, и на 3. То есть, число должно быть четным, и сумма его цифр должна делиться на 3.

Пример: число 432 делится на 6, так как оно четное (оканчивается на 2) и сумма его цифр $4 + 3 + 2 = 9$ делится на 3. Число 514 не делится на 6, так как оно четное, но сумма его цифр $5 + 1 + 4 = 10$ не делится на 3.

Ответ: число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3 одновременно.

Признак делимости на 8

Натуральное число делится на 8 без остатка, если число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8. Также на 8 делятся все числа, которые оканчиваются на три нуля (000).

Пример: число 25168 делится на 8, так как число 168, образованное тремя последними цифрами, делится на 8 ($168 : 8 = 21$). Число 19310 не делится на 8, так как 310 не делится на 8.

Ответ: число делится на 8, если число, составленное из трех его последних цифр, делится на 8.

Признак делимости на 9

Натуральное число делится на 9 без остатка, если сумма его цифр делится на 9.

Пример: число 8172 делится на 9, так как сумма его цифр $8 + 1 + 7 + 2 = 18$, а 18 делится на 9. Число 451 не делится на 9, так как сумма его цифр $4 + 5 + 1 = 10$, а 10 не делится на 9.

Ответ: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Признак делимости на 10

Натуральное число делится на 10 без остатка, если его последняя цифра — 0.

Пример: число 5670 делится на 10. Число 1021 не делится на 10.

Ответ: число делится на 10, если оно оканчивается на 0.

Признак делимости на 11

Натуральное число делится на 11 без остатка, если знакопеременная сумма его цифр (сумма цифр на нечетных местах минус сумма цифр на четных местах, считая справа налево) делится на 11 (включая 0).

Пример: для числа 87659. Сумма цифр на нечетных позициях (первая, третья, пятая): $9 + 6 + 8 = 23$. Сумма цифр на четных позициях (вторая, четвертая): $5 + 7 = 12$. Разность: $23 - 12 = 11$. Так как 11 делится на 11, то и число 87659 делится на 11.

Ответ: число делится на 11, если разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, кратна 11.

Признак делимости на 25

Натуральное число делится на 25 без остатка, если две его последние цифры образуют число, которое делится на 25. То есть, число должно оканчиваться на 00, 25, 50 или 75.

Пример: число 4975 делится на 25, так как оно оканчивается на 75. Число 2155 не делится на 25, так как 55 не делится на 25.

Ответ: число делится на 25, если две его последние цифры — 00, 25, 50 или 75.

В.31. Что значит разделить с остатком одно число на другое?

В.31

Разделить с остатком число а на число b, это значит, найти такие числа q и r, что $\mathrm{а} = \mathrm{b} · \mathrm{q} + \mathrm{r}.$

Разделить с остатком целое число a (делимое) на натуральное число b (делитель) — это значит найти такие два целых числа q (неполное частное) и r (остаток), которые удовлетворяют двум условиям.

1. Равенство

Числа должны быть связаны формулой:
$a = b \cdot q + r$
Эта формула показывает, что делимое можно представить как сумму произведения делителя на неполное частное и остатка.

2. Условие для остатка

Остаток r должен быть неотрицательным и строго меньше делителя b:
$0 \le r < b$
Это условие гарантирует, что для любой пары чисел a и b существует единственная пара чисел q и r. Если бы остаток мог быть больше или равен делителю, то его можно было бы «разделить» на делитель еще раз, увеличив частное.

Пример

Разделим 23 на 5 с остатком.
Здесь делимое $a = 23$, а делитель $b = 5$.

1. Нам нужно найти наибольшее число, которое при умножении на 5 даст результат, не превышающий 23. Это число 4, так как $5 \cdot 4 = 20$, а $5 \cdot 5 = 25$ (что уже больше 23). Значит, неполное частное $q = 4$.

2. Теперь найдем остаток. Для этого вычтем из делимого произведение делителя на неполное частное:
$r = a - b \cdot q = 23 - 5 \cdot 4 = 23 - 20 = 3$.
Итак, остаток $r = 3$.

3. Проверим условия:
- Равенство: $23 = 5 \cdot 4 + 3$. Это верно, так как $20 + 3 = 23$.
- Условие для остатка: $0 \le 3 < 5$. Это также верно.

Таким образом, при делении 23 на 5 получается неполное частное 4 и остаток 3.

Если остаток $r=0$, то говорят, что число a делится на число b нацело (без остатка).

Ответ: Разделить число a на число b с остатком — это значит представить число a в виде $a = b \cdot q + r$, где q — неполное частное, а r — остаток, причем остаток должен быть неотрицательным и строго меньше делителя b ($0 \le r < b$).

В.32. Чему равно делимое, если известны делитель, неполное частное и остаток?

В.32

Чтобы найти делимое, нужно неполное частное умножить на делитель и прибавить остаток.

Для того чтобы найти делимое, зная делитель, неполное частное и остаток, необходимо воспользоваться основным правилом деления с остатком. Это правило формулируется следующим образом: чтобы найти делимое, нужно делитель умножить на неполное частное и к полученному произведению прибавить остаток.

Это правило можно записать в виде математической формулы:

$a = b \cdot q + r$

В этой формуле каждая буква обозначает один из компонентов деления:
$a$ — это искомое делимое (число, которое делят).
$b$ — это известный делитель (число, на которое делят).
$q$ — это известное неполное частное (целый результат деления).
$r$ — это известный остаток (часть делимого, которая осталась после деления нацело).

Важно помнить, что остаток $r$ всегда должен быть неотрицательным и строго меньше делителя $b$. Это записывается в виде неравенства: $0 \le r < b$.

Пример решения задачи:

Найдем делимое, если известно, что делитель равен $9$, неполное частное равно $15$, а остаток равен $4$.

Сначала проверим, выполняется ли условие для остатка: $4 < 9$. Условие выполняется.

Теперь подставим известные значения в нашу формулу:

$a = 9 \cdot 15 + 4$

Выполним вычисления:

$9 \cdot 15 = 135$
$135 + 4 = 139$

Следовательно, искомое делимое равно $139$.

Ответ: Чтобы найти делимое, нужно делитель умножить на неполное частное и к результату прибавить остаток.