Страница 130, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

П.25. Сравните площадь круга, радиус которого 2 см, и площадь прямоугольника со сторонами 5,148 см и 0,237 дм.

П.25

r = 2 см

$\mathrm{Sкр}. = {\mathrm{\pi r}}^2 \approx 3,14 · 2^2 \approx 3,14 · 4 \approx 12,56 {\mathrm{см}}^2$ – площадь круга

0,237 дм = 2,37 см

$\mathrm{Sпр}. = 5,148 · 2,37 = 12,20076 {\mathrm{см}}^2$ – площадь прямоугольника

12,56 > 12,20076

Ответ: площадь круга больше площади прямоугольника.

Для того чтобы сравнить площади, необходимо сначала вычислить площадь каждой фигуры в одних и тех же единицах измерения.

1. Нахождение площади круга

Площадь круга ($S_{круга}$) вычисляется по формуле: $S_{круга} = \pi r^2$, где $r$ – радиус круга.
По условию задачи, радиус круга $r = 2$ см. В качестве значения $\pi$ будем использовать его приближенное значение $\pi \approx 3.14159$.
Подставим значения в формулу:
$S_{круга} = \pi \cdot (2 \text{ см})^2 = 4\pi \text{ см}^2$
$S_{круга} \approx 4 \cdot 3.14159 = 12.56636 \text{ см}^2$.

2. Нахождение площади прямоугольника

Площадь прямоугольника ($S_{прямоугольника}$) вычисляется по формуле: $S_{прямоугольника} = a \cdot b$, где $a$ и $b$ – длины его сторон.
По условию задачи, стороны равны $a = 5.148$ см и $b = 0.237$ дм.
Для корректного вычисления площади необходимо, чтобы обе стороны были выражены в одинаковых единицах. Переведем дециметры в сантиметры, зная, что 1 дм = 10 см:
$b = 0.237 \text{ дм} = 0.237 \cdot 10 \text{ см} = 2.37 \text{ см}$.
Теперь вычислим площадь прямоугольника:
$S_{прямоугольника} = 5.148 \text{ см} \cdot 2.37 \text{ см} = 12.19076 \text{ см}^2$.

3. Сравнение площадей

Теперь сравним полученные значения площадей:
Площадь круга: $S_{круга} \approx 12.56636 \text{ см}^2$.
Площадь прямоугольника: $S_{прямоугольника} = 12.19076 \text{ см}^2$.
Поскольку $12.56636 > 12.19076$, то $S_{круга} > S_{прямоугольника}$.

Ответ: Площадь круга больше площади прямоугольника.

П.26. Какой коэффициент у выражения: а) 5а; б) −2,5у; в) n; г) −z; д) −4,5х · 4у?

П.26

а) 5а, коэффициент равен 5

б) -2,5у, коэффициент равен -2,5

в) n, коэффициент равен 1

г) –z, коэффициент равен -1

д) $-4,5x · 4y = -18xy$, коэффициент равен -18

Коэффициент — это числовой множитель в выражении, которое содержит буквы (переменные). Чтобы найти коэффициент, нужно определить число, на которое умножается буквенная часть.

а) В выражении $5a$ буквенная часть $a$ умножается на число 5. Следовательно, число 5 является коэффициентом.

Ответ: 5

б) В выражении $-2,5y$ буквенная часть $y$ умножается на число -2,5. Следовательно, число -2,5 является коэффициентом.

Ответ: -2,5

в) Выражение $n$ можно представить как произведение $1 \cdot n$. В этом случае буквенная часть $n$ умножается на число 1. Следовательно, коэффициент равен 1.

Ответ: 1

г) Выражение $-z$ можно представить как произведение $-1 \cdot z$. В этом случае буквенная часть $z$ умножается на число -1. Следовательно, коэффициент равен -1.

Ответ: -1

д) В выражении $-4,5x \cdot 4y$ нужно сначала перемножить числовые множители, чтобы привести выражение к стандартному виду. Числовые множители здесь -4,5 и 4.

Выполним умножение: $-4,5 \cdot 4 = -18$.

Исходное выражение можно переписать так: $-18xy$. В этом выражении числовой множитель равен -18. Это и есть коэффициент.

Ответ: -18

П.27. Какие правила применяются для решения уравнения:

a) 4z + 23,5 = 3z; б) −5z = 1318?

П.27

а) 4z + 23,5 = 3z

1) при переносе слагаемых из одной части уравнения в другую, знак меняется на противоположный
4z – 3z = -23,5

2) распределительное свойство умножения относительно вычитания
(4 – 3)z = -23,5
z = -23,5

б) $-5z = 13\frac{1}{8}$

1) нахождение неизвестного множителя

$z = 13\frac{1}{8} : (-5)$

2) правило деления обыкновенной дроби на целое число

$z = \frac{205}{8} · \left(-\frac{1}{5}\right)$

3) деление чисел с разными знаками

$$\begin{gathered} z = -\frac{205 · 1}{8 · 5 } = -\frac{41}{8} = -5\frac{1}{8} \\ z = -5\frac{1}{8} \end{gathered}$$

Для решения уравнения $4z + 23,5 = 3z$ применяются следующие правила:

1. Правило переноса слагаемых. Чтобы изолировать неизвестную переменную $z$, необходимо собрать все слагаемые, содержащие переменную, в одной части уравнения, а все числовые слагаемые (константы) — в другой. Это делается путем переноса слагаемого из одной части уравнения в другую с изменением его знака на противоположный. Например, чтобы перенести $3z$ из правой части в левую, мы вычитаем $3z$ из обеих частей уравнения. Аналогично, чтобы перенести $23,5$ из левой части в правую, мы вычитаем $23,5$ из обеих частей.
2. Правило приведения подобных слагаемых. После того как все слагаемые с переменной сгруппированы в одной части, а константы — в другой, необходимо упростить выражение. Подобные слагаемые (в данном случае $4z$ и $-3z$) складываются или вычитаются. Это действие основано на распределительном свойстве умножения: $az - bz = (a - b)z$.

Решение:

$4z + 23,5 = 3z$

Перенесем слагаемое $3z$ в левую часть, а слагаемое $23,5$ — в правую часть, изменив их знаки:

$4z - 3z = -23,5$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(4 - 3)z = -23,5$

$1z = -23,5$

$z = -23,5$

Ответ: Для решения данного уравнения используются правила переноса слагаемых и приведения подобных слагаемых. Корень уравнения: $z = -23,5$.

Для решения уравнения $-5z = 13\frac{1}{8}$ применяются следующие правила:

1. Правило нахождения неизвестного множителя. Уравнение представлено в виде произведения, где $-5$ — известный множитель, $z$ — неизвестный множитель, а $13\frac{1}{8}$ — произведение. Чтобы найти неизвестный множитель, необходимо произведение разделить на известный множитель. Это равносильно делению обеих частей уравнения на коэффициент при переменной, то есть на $-5$.
2. Правило преобразования смешанного числа в неправильную дробь. Для выполнения деления необходимо представить смешанное число $13\frac{1}{8}$ в виде неправильной дроби. Для этого целую часть умножают на знаменатель и прибавляют числитель: $13\frac{1}{8} = \frac{13 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{105}{8}$.
3. Правило деления дроби на число. Чтобы разделить дробь на целое число, нужно знаменатель дроби умножить на это число, а числитель оставить без изменений.
4. Правило сокращения дробей. Полученную в результате деления дробь можно упростить, разделив ее числитель и знаменатель на их общий делитель.

Решение:

$-5z = 13\frac{1}{8}$

Найдем $z$, разделив обе части на $-5$:

$z = 13\frac{1}{8} \div (-5)$

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$z = \frac{105}{8} \div (-5)$

Выполним деление дроби на число:

$z = - \left( \frac{105}{8 \cdot 5} \right)$

Сократим дробь на 5:

$z = - \frac{21}{8}$

При желании, можно перевести неправильную дробь обратно в смешанное число:

$z = -2\frac{5}{8}$

Ответ: Для решения данного уравнения используются правила нахождения неизвестного множителя и правила арифметических операций со смешанными и обыкновенными дробями. Корень уравнения: $z = -2\frac{5}{8}$.

П.28. Найдите значение выражения:

а) 2031 · (1015 : 1215 − 249 + 379) − 256;
б) (2115 − 159 : 213 + 125) · 267 − 317;
в) 25,48 · 314 − (3,75 − 216) : 16;
г) 1516 : 0,375 + 1,872 : 925 + 1,5 · 345.

П.28

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{20}{31} · \left(10\frac{1}{5} : 1\frac{2}{15} - 2\frac{4}{9} + 3\frac{7}{9}\right) - 2\frac{5}{6} = \\ = \frac{20}{31} · \left(\frac{51}{5} : \frac{17}{15} + (-2\frac{4}{9} + 3\frac{7}{9})\right) - 2\frac{5}{6} = \\ = \frac{20}{31} · \left(\frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{51}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{5}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\bcancel{15}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{17}}}} +( 3\frac{7}{9} - 2\frac{4}{9})\right) - 2\frac{5}{6} = \\ = \frac{20}{31} · \left(\frac{3}{1} · \frac{3}{1} - 1\frac{3}{9} \right) - 2\frac{5}{6} = \\ = \frac{20}{31} · \left(9 + 1\frac{1}{3}\right) - 2\frac{5}{6} =\frac{20}{31} · 10\frac{1}{3} - 2\frac{5}{6} = \\ = \frac{20}{\cancel{31}} · \frac{\cancel{31}}{3}- 2\frac{5}{6} =\frac{20}{1} · \frac{1}{3}- 2\frac{5}{6} =\frac{20}{3} - 2\frac{5}{6} = \\ = {\frac{20}{3}}^{\overline{)·2}} - \frac{17}{6} = \frac{40}{6} - \frac{17}{6} = \frac{23}{6} = 3\frac{5}{6} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} \left(2\frac{1}{15} - 1\frac{5}{9} : 2\frac{1}{3} + 1\frac{2}{5}\right) · 2\frac{6}{7} - 3\frac{1}{7} = \\ =\left(2\frac{1}{15} - \frac{14}{9} : \frac{7}{3} + 1\frac{2}{5}\right) · \frac{20}{7} - 3\frac{1}{7} = \\ =\left(2\frac{1}{15} - \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{14}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\bcancel{9}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{3}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}} + 1\frac{2}{5}\right) · \frac{20}{7} - 3\frac{1}{7} = \\ =\left(2\frac{1}{15} - \frac{2}{3} · \frac{1}{1} + 1\frac{2}{5}\right) · \frac{20}{7} - 3\frac{1}{7} = \\ =\left(2\frac{1}{15} - {\frac{2}{3}}^{\overline{)·5}} +{ 1\frac{2}{5}}^{\overline{)·3}}\right) · \frac{20}{7} - 3\frac{1}{7} = \\ =\left(2\frac{1}{15} - \frac{10}{15} + 1\frac{6}{15}\right) · \frac{20}{7} - 3\frac{1}{7} = \\ =\left(1\frac{16}{15} - \frac{10}{15} + 1\frac{6}{15}\right) · \frac{20}{7} - 3\frac{1}{7} = \\ = 2\frac{12}{15} · \frac{20}{7} - 3\frac{1}{7} =\frac{{\displaystyle \stackrel{\stackrel{2}{\sout{6}}}{\cancel{42}}}}{{\displaystyle \underset{\underset{1}{\sout{3}}}{\bcancel{15}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\bcancel{20}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}} - 3\frac{1}{7} = \\ = \frac{2}{1} · \frac{4}{1} - 3\frac{1}{7} = 8 - 3\frac{1}{7} = 4\frac{6}{7} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }25,48 · {3\frac{1}{4}}^{\overline{)·25}} – \left(3,75 – 2\frac{1}{6}\right) : \frac{1}{6} = 25,48 · 3,25 – \\ - \left({3\frac{3}{4}}^{\overline{)·3}} – {2\frac{1}{6}}^{\overline{)·2}}\right) · 6= 82,81–\left(3\frac{9}{12} – 2\frac{2}{12}\right) · 6= \\ = 82,81–1\frac{7}{12} · 6 = 82,81 – \frac{19}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{12}}}} · \stackrel{1}{\cancel{6}} = 82,81 – \frac{19}{2} · 1 = \\ = 82,81 –9,5 = 73,31 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} \frac{15}{16} : 0,375 + 1,872 : \frac{9}{25} +1,5 ·{ 3\frac{4}{5}}^{\overline{)·2}} = \\ = \frac{15}{16} : \frac{375}{1000} +\stackrel{0,208}{ \cancel{1,872}} · \frac{25}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{9}}}} +1,5 · 3,8 = \\ = \frac{15}{16} : \frac{3}{8} + 0,208 · \frac{25}{1} +5,7 = \frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\bcancel{15}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{16}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{8}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{3}}}}+ \\ + 0,208 · 25 +5,7 =\frac{5}{2} · \frac{1}{1}+ 5,2 +5,7 = \\ = 2,5 + 5,2 + 5,7 = 13,4 \end{gathered}$$

а)

Решим выражение $ \frac{20}{31} \cdot (10\frac{1}{5} : 1\frac{2}{15} - 2\frac{4}{9} + 3\frac{7}{9}) - 2\frac{5}{6} $ по действиям.

1. Сначала выполним действия в скобках. Первым действием будет деление. Для этого преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

$ 10\frac{1}{5} = \frac{10 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{51}{5} $

$ 1\frac{2}{15} = \frac{1 \cdot 15 + 2}{15} = \frac{17}{15} $

$ 10\frac{1}{5} : 1\frac{2}{15} = \frac{51}{5} : \frac{17}{15} = \frac{51}{5} \cdot \frac{15}{17} = \frac{51 \cdot 15}{5 \cdot 17} = \frac{3 \cdot 17 \cdot 3 \cdot 5}{5 \cdot 17} = 9 $

2. Теперь выполним вычитание и сложение в скобках.

$ 9 - 2\frac{4}{9} + 3\frac{7}{9} = 9 + (3\frac{7}{9} - 2\frac{4}{9}) = 9 + 1\frac{3}{9} = 9 + 1\frac{1}{3} = 10\frac{1}{3} $

3. Следующим шагом выполним умножение.

$ \frac{20}{31} \cdot 10\frac{1}{3} = \frac{20}{31} \cdot \frac{31}{3} = \frac{20 \cdot 31}{31 \cdot 3} = \frac{20}{3} $

4. Последнее действие — вычитание.

$ \frac{20}{3} - 2\frac{5}{6} = \frac{20}{3} - \frac{17}{6} = \frac{40}{6} - \frac{17}{6} = \frac{40 - 17}{6} = \frac{23}{6} = 3\frac{5}{6} $

Ответ: $3\frac{5}{6}$.

б)

Решим выражение $ (2\frac{1}{15} - 1\frac{5}{9} : 2\frac{1}{3} + 1\frac{2}{5}) \cdot 2\frac{6}{7} - 3\frac{1}{7} $ по действиям.

1. Начнем с действий в скобках, а именно с деления. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

$ 1\frac{5}{9} : 2\frac{1}{3} = \frac{14}{9} : \frac{7}{3} = \frac{14}{9} \cdot \frac{3}{7} = \frac{14 \cdot 3}{9 \cdot 7} = \frac{2 \cdot 7 \cdot 3}{3 \cdot 3 \cdot 7} = \frac{2}{3} $

2. Теперь выполним остальные действия в скобках. Приведем все дроби к общему знаменателю 15.

$ 2\frac{1}{15} - \frac{2}{3} + 1\frac{2}{5} = \frac{31}{15} - \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{7 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{31}{15} - \frac{10}{15} + \frac{21}{15} = \frac{31 - 10 + 21}{15} = \frac{42}{15} = \frac{14}{5} $

3. Далее выполним умножение.

$ \frac{14}{5} \cdot 2\frac{6}{7} = \frac{14}{5} \cdot \frac{20}{7} = \frac{14 \cdot 20}{5 \cdot 7} = \frac{2 \cdot 7 \cdot 4 \cdot 5}{5 \cdot 7} = 8 $

4. Последнее действие — вычитание.

$ 8 - 3\frac{1}{7} = 7\frac{7}{7} - 3\frac{1}{7} = 4\frac{6}{7} $

Ответ: $4\frac{6}{7}$.

в)

Решим выражение $ 25,48 \cdot 3\frac{1}{4} - (3,75 - 2\frac{1}{6}) : \frac{1}{6} $ по действиям.

1. Сначала выполним действие в скобках. Переведем десятичную дробь в обыкновенную: $ 3,75 = 3\frac{75}{100} = 3\frac{3}{4} $.

$ 3\frac{3}{4} - 2\frac{1}{6} $. Общий знаменатель для 4 и 6 равен 12.

$ 3\frac{9}{12} - 2\frac{2}{12} = (3-2) + (\frac{9}{12} - \frac{2}{12}) = 1\frac{7}{12} $

2. Далее выполним деление.

$ 1\frac{7}{12} : \frac{1}{6} = \frac{19}{12} \cdot \frac{6}{1} = \frac{19 \cdot 6}{12} = \frac{19}{2} = 9,5 $

3. Теперь выполним умножение. Переведем $3\frac{1}{4}$ в десятичную дробь: $3\frac{1}{4} = 3,25$.

$ 25,48 \cdot 3,25 = 82,81 $

4. Последнее действие — вычитание.

$ 82,81 - 9,5 = 82,81 - 9,50 = 73,31 $

Ответ: $73,31$.

г)

Решим выражение $ \frac{15}{16} : 0,375 + 1,872 : \frac{9}{25} + 1,5 \cdot 3\frac{4}{5} $ по действиям.

1. Сначала выполним все операции деления и умножения. Для удобства переведем десятичные дроби в обыкновенные.

$ 0,375 = \frac{375}{1000} = \frac{3}{8} $; $ 1,872 = \frac{1872}{1000} = \frac{234}{125} $; $ 1,5 = \frac{3}{2} $.

2. Выполним первое деление.

$ \frac{15}{16} : \frac{3}{8} = \frac{15}{16} \cdot \frac{8}{3} = \frac{5 \cdot 3 \cdot 8}{2 \cdot 8 \cdot 3} = \frac{5}{2} $

3. Выполним второе деление.

$ \frac{234}{125} : \frac{9}{25} = \frac{234}{125} \cdot \frac{25}{9} = \frac{26 \cdot 9 \cdot 25}{5 \cdot 25 \cdot 9} = \frac{26}{5} $

4. Выполним умножение.

$ \frac{3}{2} \cdot 3\frac{4}{5} = \frac{3}{2} \cdot \frac{19}{5} = \frac{57}{10} $

5. Теперь выполним сложение полученных результатов. Приведем дроби к общему знаменателю 10.

$ \frac{5}{2} + \frac{26}{5} + \frac{57}{10} = \frac{5 \cdot 5}{10} + \frac{26 \cdot 2}{10} + \frac{57}{10} = \frac{25}{10} + \frac{52}{10} + \frac{57}{10} = \frac{25 + 52 + 57}{10} = \frac{134}{10} = 13,4 $

Ответ: $13,4$.

П.29. Вычислите значение выражения при а = 3, а = – 3, а = 13:

а) 3а³; б) – 19а²; в) 23а²; г) – 13а³.

П.29

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }а = 3 \\ 3{а}^3 = 3 · 3^3 = 3 · 27 = 81 \\ а = -3 \\ 3{а}^3 = 3 · {(-3)}^3 = 3 · (-27) = -81 \\ а = \frac{1}{3} \\ 3{а}^3 = 3 · {\left(\frac{1}{3}\right)}^3 = 3 ·\frac{1}{27}= \frac{3}{27} = \frac{1}{9} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }а = 3 \\ -\frac{1}{9}{а}^2 = - \frac{1}{9} · 3^2 = -\frac{1}{9} · 9 = -1 \\ а = -3 \\ -\frac{1}{9}{а}^2 = - \frac{1}{9} ·{\left(- 3\right)}^2 = -\frac{1}{9} · 9 = -1 \\ а = \frac{1}{3} \\ -\frac{1}{9}{а}^2 = - \frac{1}{9} · {\left(\frac{1}{3}\right)}^2 = -\frac{1}{9} · \frac{1}{9} = -\frac{1}{81} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }а = 3 \\ \frac{2}{3}{а}^2 = \frac{2}{3} · 3^{2 }= \frac{2}{3} · 9 = 2 ·3 = 6 \\ а = -3 \\ \frac{2}{3}{а}^2 = \frac{2}{3} · {\left(-3\right)}^{2 }= \frac{2}{3} · 9 = 2 ·3 = 6 \\ а = \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3}{а}^2 = \frac{2}{3} · {\left(\frac{1}{3}\right)}^{2 }= \frac{2}{3} ·\frac{1}{9} = \frac{2}{27} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }а = 3 \\ -\frac{1}{3} {а}^3 = -\frac{1}{3} · 3^3 = -\frac{1}{3} · 27 = -9 \\ а = -3 \\ -\frac{1}{3} {а}^3 = -\frac{1}{3} · {\left(-3\right)}^3 = -\frac{1}{3} · \left(-27\right) = 9 \\ а = \frac{1}{3} \\ -\frac{1}{3} {а}^3 = -\frac{1}{3} · {\left(\frac{1}{3}\right)}^3 = -\frac{1}{3} · \left(\frac{1}{27}\right) = -\frac{1}{81} \end{gathered}$$

а) Вычислим значение выражения $3a^3$ при различных значениях $a$.

При $a = 3$:
$3a^3 = 3 \cdot 3^3 = 3 \cdot 27 = 81$

При $a = -3$:
$3a^3 = 3 \cdot (-3)^3 = 3 \cdot (-27) = -81$

При $a = \frac{1}{3}$:
$3a^3 = 3 \cdot (\frac{1}{3})^3 = 3 \cdot \frac{1}{27} = \frac{3}{27} = \frac{1}{9}$

Ответ: 81; -81; $\frac{1}{9}$.

б) Вычислим значение выражения $-\frac{1}{9}a^2$ при различных значениях $a$.

При $a = 3$:
$-\frac{1}{9}a^2 = -\frac{1}{9} \cdot 3^2 = -\frac{1}{9} \cdot 9 = -1$

При $a = -3$:
$-\frac{1}{9}a^2 = -\frac{1}{9} \cdot (-3)^2 = -\frac{1}{9} \cdot 9 = -1$

При $a = \frac{1}{3}$:
$-\frac{1}{9}a^2 = -\frac{1}{9} \cdot (\frac{1}{3})^2 = -\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{9} = -\frac{1}{81}$

Ответ: -1; -1; $-\frac{1}{81}$.

в) Вычислим значение выражения $\frac{2}{3}a^2$ при различных значениях $a$.

При $a = 3$:
$\frac{2}{3}a^2 = \frac{2}{3} \cdot 3^2 = \frac{2}{3} \cdot 9 = 2 \cdot 3 = 6$

При $a = -3$:
$\frac{2}{3}a^2 = \frac{2}{3} \cdot (-3)^2 = \frac{2}{3} \cdot 9 = 2 \cdot 3 = 6$

При $a = \frac{1}{3}$:
$\frac{2}{3}a^2 = \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{3})^2 = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{9} = \frac{2}{27}$

Ответ: 6; 6; $\frac{2}{27}$.

г) Вычислим значение выражения $-\frac{1}{3}a^3$ при различных значениях $a$.

При $a = 3$:
$-\frac{1}{3}a^3 = -\frac{1}{3} \cdot 3^3 = -\frac{1}{3} \cdot 27 = -9$

При $a = -3$:
$-\frac{1}{3}a^3 = -\frac{1}{3} \cdot (-3)^3 = -\frac{1}{3} \cdot (-27) = 9$

При $a = \frac{1}{3}$:
$-\frac{1}{3}a^3 = -\frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{3})^3 = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{27} = -\frac{1}{81}$

Ответ: -9; 9; $-\frac{1}{81}$.

П.30. Упростите выражение и найдите его значение при а = – 235:
а) – 9 · (19 – 13а) – 4 · (1 – 114а);
б) – 4 · (14 – 12а) – 3 · (1 – 4 23а).

П.30

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }-9 · \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{3}а\right) - 4 · \left(1 - 1\frac{1}{4}\right) = -\cancel{9} ·\frac{1}{\cancel{9}} - \\ - \stackrel{3}{\sout{9} }· \left(-\frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\sout{3}}}}а\right) - 4· 1 - \bcancel{4} · \left(-\frac{5}{\bcancel{4}}а\right) =-1 + 3а – \\ - 4 + 5а = 8а – 5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} а = -2\frac{3}{5} \\ 8а - 5 = 8· \left(-2\frac{3}{5}\right) - 5 =8· \left(-\frac{13}{5}\right) - 5 = \\ = -\frac{104}{5} - 5 = -20\frac{4}{5} - 5 = -25\frac{4}{5} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} -4 · \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}а \right) - 3 · \left(1 - 4\frac{2}{3}а\right) = \\ = -\cancel{4} · \frac{1}{\cancel{4}} - \stackrel{2}{\bcancel{4}} · \left(-\frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{2}}}}а\right) - 3 · 1 - \cancel{3} · \left(-4\frac{2}{\cancel{3}}а\right)= \\ = -1 + 2а -3 - 3 · \left(-\frac{14}{3}а\right) = 2а – 4 + 14а = \\ = 16а – 4 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} а = -2\frac{3}{5} \\ 16 · \left(-2\frac{3}{5}\right) - 4 = 16 · \left(-\frac{13}{5}\right) - 4 = - \frac{208}{5} -4 = \\ = -41\frac{3}{5} - 4 = - 45\frac{3}{5} \end{gathered}$$

а)

Сначала упростим выражение $-9 \cdot (\frac{1}{9} - \frac{1}{3}a) - 4 \cdot (1 - 1\frac{1}{4}a)$.

1. Раскроем скобки, используя распределительное свойство умножения. Умножим каждый член в первых скобках на $-9$:

$-9 \cdot (\frac{1}{9} - \frac{1}{3}a) = -9 \cdot \frac{1}{9} - 9 \cdot (-\frac{1}{3}a) = -1 + \frac{9}{3}a = -1 + 3a$

2. Преобразуем смешанное число $1\frac{1}{4}$ в неправильную дробь: $1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$. Раскроем вторые скобки, умножив каждый член на $-4$:

$-4 \cdot (1 - \frac{5}{4}a) = -4 \cdot 1 - 4 \cdot (-\frac{5}{4}a) = -4 + \frac{4 \cdot 5}{4}a = -4 + 5a$

3. Сложим полученные выражения и приведем подобные слагаемые (члены с переменной $a$ и свободные члены):

$(-1 + 3a) + (-4 + 5a) = -1 + 3a - 4 + 5a = (3a + 5a) + (-1 - 4) = 8a - 5$

Теперь найдем значение упрощенного выражения $8a - 5$ при заданном значении $a = -2\frac{3}{5}$.

1. Преобразуем значение $a$ из смешанного числа в неправильную дробь:

$a = -2\frac{3}{5} = -(\frac{2 \cdot 5 + 3}{5}) = -\frac{13}{5}$

2. Подставим это значение в упрощенное выражение:

$8a - 5 = 8 \cdot (-\frac{13}{5}) - 5 = -\frac{8 \cdot 13}{5} - 5 = -\frac{104}{5} - 5$

3. Приведем к общему знаменателю $5$ и выполним вычитание:

$-\frac{104}{5} - \frac{5 \cdot 5}{5} = -\frac{104}{5} - \frac{25}{5} = \frac{-104 - 25}{5} = -\frac{129}{5}$

4. Преобразуем результат обратно в смешанное число:

$-\frac{129}{5} = -25\frac{4}{5}$

Ответ: $-25\frac{4}{5}$.

б)

Сначала упростим выражение $-4 \cdot (\frac{1}{4} - \frac{1}{2}a) - 3 \cdot (1 - 4\frac{2}{3}a)$.

1. Раскроем первые скобки, умножив каждый член на $-4$:

$-4 \cdot (\frac{1}{4} - \frac{1}{2}a) = -4 \cdot \frac{1}{4} - 4 \cdot (-\frac{1}{2}a) = -1 + \frac{4}{2}a = -1 + 2a$

2. Преобразуем смешанное число $4\frac{2}{3}$ в неправильную дробь: $4\frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{14}{3}$. Раскроем вторые скобки, умножив каждый член на $-3$:

$-3 \cdot (1 - \frac{14}{3}a) = -3 \cdot 1 - 3 \cdot (-\frac{14}{3}a) = -3 + \frac{3 \cdot 14}{3}a = -3 + 14a$

3. Сложим полученные выражения и приведем подобные слагаемые:

$(-1 + 2a) + (-3 + 14a) = -1 + 2a - 3 + 14a = (2a + 14a) + (-1 - 3) = 16a - 4$

Теперь найдем значение упрощенного выражения $16a - 4$ при $a = -2\frac{3}{5}$.

1. Значение $a$ в виде неправильной дроби: $a = -\frac{13}{5}$.

2. Подставим это значение в упрощенное выражение:

$16a - 4 = 16 \cdot (-\frac{13}{5}) - 4 = -\frac{16 \cdot 13}{5} - 4 = -\frac{208}{5} - 4$

3. Приведем к общему знаменателю $5$ и выполним вычитание:

$-\frac{208}{5} - \frac{4 \cdot 5}{5} = -\frac{208}{5} - \frac{20}{5} = \frac{-208 - 20}{5} = -\frac{228}{5}$

4. Преобразуем результат обратно в смешанное число:

$-\frac{228}{5} = -45\frac{3}{5}$

Ответ: $-45\frac{3}{5}$.

П.31. Решите уравнение:
1) 7 · (х − 4) − 7 = 8 · (х− 4);
2) 6 · (х − 7) + 13х = 7 · (2х − 6) + 27;
3) (1,3у − 5,9) · (−3,5) = 6,8у − 11,13;
4) 1,2 · (z − 2,1) = 1,3 · (z − 1,6) − 0,52.

П.31

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }7 · (\mathrm{х} – 4) – 7 = 8 · (\mathrm{х} – 4); \\ 7\mathrm{х} – 28 – 7 = 8\mathrm{х} – 32 ; \\ 7\mathrm{х} – 35 = 8\mathrm{х} – 32; \\ 7\mathrm{х} – 8\mathrm{х} = -32 + 35; \\ -\mathrm{х} = 3; \\ \mathrm{х} = -3. \\ \mathrm{Ответ}: -3. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{2}\mathbf{)} 6 · (\mathrm{х} – 7) + 13\mathrm{х} = 7 · (2\mathrm{х} – 6) + 27; \\ 6\mathrm{х} – 42 + 13\mathrm{х} = 14\mathrm{х} – 42 + 27; \\ 19\mathrm{х} – 42 = 14\mathrm{х} – 15; \\ 19\mathrm{х} – 14\mathrm{х} = -15 + 42; \\ 5\mathrm{х} = 27; \\ \mathrm{х} = 27 : 5; \\ \mathrm{х} = 5,4. \\ \mathrm{Ответ}: 5,4. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{3}\mathbf{)} (1,3\mathrm{у} – 5,9) · (-3,5) = 6,8\mathrm{у} – 11,13; \\ -4,55\mathrm{у} + 20,65 = 6,8\mathrm{у} – 11,13; \\ -4,55\mathrm{у} – 6,8\mathrm{у} = -11,13 – 20,65; \\ -11,35\mathrm{у} = -31,78; \\ \mathrm{у} = -31,78 : (-11,35); \\ \mathrm{у} = 3178 : 1135; \\ \mathrm{у} = 2,8. \\ \mathrm{Ответ}: 2,8. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{4}\mathbf{)} 1,2 · (\mathrm{z} – 2,1) = 1,3 · (\mathrm{z} – 1,6) – 0,52; \\ 1,2\mathrm{z} – 2,52 = 1,3\mathrm{z} – 2,08 – 0,52; \\ 1,2\mathrm{z} – 2,52 = 1,3\mathrm{z} – 2,6; \\ 1,2\mathrm{z} – 1,3\mathrm{z} = -2,6 + 2,52; \\ -0,1\mathrm{z} = -0,08; \\ \mathrm{z} = -0,08 : (-0,1); \\ \mathrm{z} = 0,8 : 1; \\ \mathrm{z} = 0,8. \\ \mathrm{Ответ}: 0,8. \end{gathered}$$

Дано уравнение $7 \cdot (x - 4) - 7 = 8 \cdot (x - 4)$.

Для решения перенесем слагаемые с выражением $(x-4)$ в одну часть уравнения. Перенесем $7 \cdot (x - 4)$ из левой части в правую, изменив знак на противоположный:

$-7 = 8 \cdot (x - 4) - 7 \cdot (x - 4)$

В правой части вынесем общий множитель $(x - 4)$ за скобки:

$-7 = (8 - 7) \cdot (x - 4)$

Выполним вычитание в скобках:

$-7 = 1 \cdot (x - 4)$

$-7 = x - 4$

Теперь, чтобы найти $x$, перенесем $-4$ из правой части в левую со сменой знака:

$x = -7 + 4$

$x = -3$

Ответ: -3.

Дано уравнение $6 \cdot (x - 7) + 13x = 7 \cdot (2x - 6) + 27$.

Сначала раскроем скобки в обеих частях уравнения.

В левой части: $6 \cdot x - 6 \cdot 7 + 13x = 6x - 42 + 13x$.

В правой части: $7 \cdot 2x - 7 \cdot 6 + 27 = 14x - 42 + 27$.

Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения.

Левая часть: $(6x + 13x) - 42 = 19x - 42$.

Правая часть: $14x + (-42 + 27) = 14x - 15$.

Теперь уравнение имеет вид:

$19x - 42 = 14x - 15$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую, меняя их знаки при переносе:

$19x - 14x = 42 - 15$

Упростим обе части:

$5x = 27$

Найдем $x$, разделив обе части на 5:

$x = \frac{27}{5}$

$x = 5,4$

Ответ: 5,4.

Дано уравнение $(1,3y - 5,9) \cdot (-3,5) = 6,8y - 11,13$.

Раскроем скобки в левой части уравнения, умножив каждый член в скобках на $-3,5$:

$1,3y \cdot (-3,5) - 5,9 \cdot (-3,5) = 6,8y - 11,13$

Выполним умножение:

$-4,55y + 20,65 = 6,8y - 11,13$

Теперь сгруппируем слагаемые с переменной $y$ в одной части, а свободные члены — в другой. Перенесем $-4,55y$ вправо, а $-11,13$ влево, изменив их знаки:

$20,65 + 11,13 = 6,8y + 4,55y$

Выполним сложение в обеих частях:

$31,78 = 11,35y$

Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на $11,35$:

$y = \frac{31,78}{11,35}$

$y = 2,8$

Ответ: 2,8.

Дано уравнение $1,2 \cdot (z - 2,1) = 1,3 \cdot (z - 1,6) - 0,52$.

Раскроем скобки в обеих частях уравнения.

В левой части: $1,2 \cdot z - 1,2 \cdot 2,1 = 1,2z - 2,52$.

В правой части: $1,3 \cdot z - 1,3 \cdot 1,6 - 0,52 = 1,3z - 2,08 - 0,52$.

Упростим правую часть: $1,3z - (2,08 + 0,52) = 1,3z - 2,6$.

Уравнение принимает вид:

$1,2z - 2,52 = 1,3z - 2,6$

Перенесем слагаемые с переменной $z$ в правую часть, а свободные члены — в левую часть, не забывая менять знаки:

$2,6 - 2,52 = 1,3z - 1,2z$

Упростим обе части:

$0,08 = 0,1z$

Найдем $z$, разделив обе части на $0,1$ (что равносильно умножению на 10):

$z = \frac{0,08}{0,1}$

$z = 0,8$

Ответ: 0,8.

П.32. Корзинка с двумя одинаковыми дынями имеет массу 9 кг. Найдите массу дыни, если её масса больше массы корзинки на 3 кг.

П.32

Пусть х кг – масса дыни, тогда 2х кг – масса 2 дынь, (х – 3) кг – масса корзинки. Зная, что общий вес 9 кг, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} 2х + х – 3 = 9; \\ 3х = 9 + 3; \\ 3х = 12; \\ х = 12 : 3; \end{gathered}$$

х = 4 (кг) – весит дыня.

Ответ: 4 кг.

Решение:

Для решения задачи введем переменные. Пусть $m_к$ – это масса корзинки в килограммах, а $m_д$ – масса одной дыни в килограммах. Поскольку дыни одинаковые, их массы равны.

На основе условий задачи составим систему из двух уравнений.

1. Общая масса корзинки и двух дынь составляет 9 кг. Это можно записать в виде первого уравнения:

$m_к + 2m_д = 9$

2. Масса дыни на 3 кг больше массы корзинки. Это дает нам второе уравнение:

$m_д = m_к + 3$

Теперь у нас есть система уравнений, которую мы можем решить методом подстановки. Подставим выражение для $m_д$ из второго уравнения в первое:

$m_к + 2(m_к + 3) = 9$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $m_к$:

$m_к + 2m_к + 6 = 9$

$3m_к + 6 = 9$

Перенесем 6 в правую часть уравнения, изменив знак:

$3m_к = 9 - 6$

$3m_к = 3$

Отсюда находим массу корзинки:

$m_к = 1$

Таким образом, масса корзинки составляет 1 кг.

Чтобы найти массу дыни, подставим найденное значение $m_к=1$ во второе уравнение:

$m_д = 1 + 3$

$m_д = 4$

Следовательно, масса одной дыни равна 4 кг.

Выполним проверку: масса корзинки (1 кг) плюс масса двух дынь ($2 \cdot 4=8$ кг) равна $1+8=9$ кг. Масса дыни (4 кг) на 3 кг больше массы корзинки (1 кг), так как $4-1=3$ кг. Все условия задачи выполнены.

Ответ: 4 кг.

П.33. Два автобуса и маршрутное такси могут перевезти 106 человек. Маршрутное такси может перевезти на 29 человек меньше, чем автобус. Сколько человек может перевезти автобус?

П.33

Пусть х человек – может перевезти автобус, тогда (х – 29) человек – может перевезти маршрутное такси, 2х человек – могут перевезти два автобуса. Зная, что вместе они могут перевезти 106 человек, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х – 29 + 2х = 106; \\ 3х = 106 + 29; \\ 3х = 135; \\ х = 135 : 3; \end{gathered}$$

х = 45 (человек) – может перевезти автобус.

Ответ: 45 человек.

Для решения этой задачи составим уравнение.

Пусть $x$ — это количество человек, которое может перевезти один автобус.

По условию, маршрутное такси может перевезти на 29 человек меньше, чем автобус. Значит, вместимость маршрутного такси составляет $(x - 29)$ человек.

Также известно, что два автобуса и одно маршрутное такси вместе могут перевезти 106 человек. Составим уравнение на основе этих данных:

Вместимость двух автобусов + вместимость одного маршрутного такси = 106.

$2x + (x - 29) = 106$

Теперь решим это уравнение. Сначала раскроем скобки:

$2x + x - 29 = 106$

Приведем подобные слагаемые:

$3x - 29 = 106$

Перенесем число 29 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$3x = 106 + 29$

$3x = 135$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{135}{3}$

$x = 45$

Следовательно, один автобус может перевезти 45 человек.

Проверка: Вместимость автобуса — 45 человек. Вместимость маршрутного такси — $45 - 29 = 16$ человек. Вместимость двух автобусов и одного маршрутного такси — $2 \cdot 45 + 16 = 90 + 16 = 106$ человек. Решение верное.

Ответ: 45

П.34. За три дня автобус проехал 1520 км. Во второй день он проехал на 80 км меньше, чем в первый, а в третий − в 2 раза больше, чем во второй. Сколько километров проехал автобус в первый день?

П.34

Пусть х км – проехал автобус во второй день, тогда (х + 80) км – проехал автобус в первый день, 2х км – проехал автобус в третий день. Зная, что за три дня автобус проехал 1520 км, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х + х + 80 + 2х = 1520; \\ 4х = 1520 – 80; \\ 4х = 1440; \\ х = 1440 : 4; \end{gathered}$$

х = 360 (км) – проехал автобус во второй день;

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ } 360 + 80 = 440$(км) – проехал автобус в первый день

Ответ: 440 км.

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ км — это расстояние, которое автобус проехал в первый день.

Согласно условию, во второй день автобус проехал на 80 км меньше, чем в первый. Это расстояние можно выразить как $(x - 80)$ км.

В третий день он проехал в 2 раза больше, чем во второй, следовательно, расстояние за третий день составляет $2 \cdot (x - 80)$ км.

Общее расстояние за три дня — 1520 км. Мы можем составить уравнение, сложив расстояния за каждый день:

$$x + (x - 80) + 2(x - 80) = 1520$$

Теперь решим это уравнение. Сначала раскроем скобки:

$$x + x - 80 + 2x - 160 = 1520$$

Затем сгруппируем и сложим подобные слагаемые:

$$(x + x + 2x) - (80 + 160) = 1520$$

$$4x - 240 = 1520$$

Перенесем число -240 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$$4x = 1520 + 240$$

$$4x = 1760$$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 4:

$$x = \frac{1760}{4}$$

$$x = 440$$

Таким образом, мы нашли, что в первый день автобус проехал 440 км.

Проверим правильность решения. Если в первый день автобус проехал 440 км, то во второй день он проехал $440 - 80 = 360$ км, а в третий — $2 \cdot 360 = 720$ км. Суммарное расстояние за три дня составит $440 + 360 + 720 = 1520$ км, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: 440 км.

П.35. Миша прочитал два рассказа и повесть. Второй рассказ был в 3 раза больше первого рассказа, а первый рассказ − на 175 страниц меньше повести. Сколько страниц в каждом рассказе и повести, если Миша прочитал 215 страниц?

П.35

Пусть х страниц – первый рассказ, тогда 3х страниц – второй рассказ,
(х + 175) страниц – повесть. Зная, что всего Миша прочитал 215 страниц, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х + 3х + х + 175 = 215; \\ 5х + 175 = 215; \\ 5х = 215 – 175; \\ 5х = 40; \\ х = 40 : 5; \end{gathered}$$

х = 8 (страниц) – первый рассказ;

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }3 · 8 = 24$ (страницы) – второй рассказ;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }8 + 175 = 183$ (страницы) – повесть .

Ответ: 8 стр., 24 стр., 183 стр.

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — количество страниц в первом рассказе.

Теперь выразим количество страниц в остальных книгах через $x$, основываясь на условиях задачи:

• Второй рассказ был в 3 раза больше первого. Значит, количество страниц во втором рассказе равно $3x$.
• Первый рассказ на 175 страниц меньше повести. Это означает, что повесть на 175 страниц больше первого рассказа. Следовательно, количество страниц в повести равно $x + 175$.

Известно, что общее количество страниц, прочитанных Мишей, равно 215. Это сумма страниц первого рассказа, второго рассказа и повести. Мы можем составить уравнение:

$x + 3x + (x + 175) = 215$

Теперь решим это уравнение. Сначала упростим левую часть, сложив все слагаемые с $x$:

$5x + 175 = 215$

Перенесем число 175 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$5x = 215 - 175$

$5x = 40$

Найдем значение $x$, разделив обе части уравнения на 5:

$x = \frac{40}{5}$

$x = 8$

Мы нашли, что в первом рассказе 8 страниц. Теперь можем вычислить количество страниц в других книгах:

• Количество страниц во втором рассказе: $3x = 3 \cdot 8 = 24$ страницы.
• Количество страниц в повести: $x + 175 = 8 + 175 = 183$ страницы.

Сделаем проверку: $8 + 24 + 183 = 32 + 183 = 215$. Общее количество страниц совпадает с условием задачи.

Ответ: в первом рассказе 8 страниц, во втором рассказе 24 страницы, а в повести 183 страницы.

П.36. Найдите корень уравнения:
а) 37x + 512x – 734 = 1 – 47x + 514x;
б) 5 – 213z + 449z = 712z – 6512z + 613;
в) 4 · (27n + 1) + 212 = 6 – 13 · (67n – 3);
г) 2 – (113p + 17) · 21 = 414p – 638.

П.36

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} \frac{3}{7} \mathrm{х} + 5\frac{1}{2}\mathrm{х} - 7\frac{3}{4} = 1 - \frac{4}{7}\mathrm{х} + 5\frac{1}{4} \mathrm{х}; \\ \frac{3}{7} \mathrm{х} + {5\frac{1}{2}}^{\overline{)·2}}\mathrm{х} + \frac{4}{7}\mathrm{х} - 5\frac{1}{4} \mathrm{х} = 1 + 7\frac{3}{4} ; \\ \frac{7}{7} \mathrm{х} + \left(5\frac{2}{4} - 5\frac{1}{4}\right) \mathrm{х} = 8\frac{3}{4} ; \\ \mathrm{х} + \frac{1}{4} \mathrm{х} = 8\frac{3}{4} ; \\ 1\frac{1}{4} \mathrm{х} = 8\frac{3}{4} ; \\ \mathrm{х} = 8\frac{3}{4} : 1\frac{1}{4}; \\ \mathrm{х} = \frac{35}{4} : \frac{5}{4}; \\ \mathrm{х} = \frac{35}{\cancel{4}} · \frac{\cancel{4}}{5}; \\ \mathrm{х} = \frac{35}{5}; \\ \mathrm{х} = 7. \\ \mathrm{Ответ}: 7. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }5 - 2\frac{1}{3}\mathrm{z} + 4\frac{4}{9}\mathrm{z} = 7\frac{1}{2}\mathrm{z} - 6\frac{5}{12}\mathrm{z} + 6\frac{1}{3}; \\ - 2\frac{1}{3}\mathrm{z} + 4\frac{4}{9}\mathrm{z} - 7\frac{1}{2}\mathrm{z} + 6\frac{5}{12}\mathrm{z} = 6\frac{1}{3} - 5; \\ \left({- 2\frac{1}{3}}^{\overline{)·12}} +{ 4\frac{4}{9}}^{\overline{)·4}} -{ 7\frac{1}{2}}^{\overline{)·18}} + {6\frac{5}{12}}^{\overline{)·3}}\right)\mathrm{z} = 1\frac{1}{3}; \\ \left(- 2\frac{12}{36} + 4\frac{16}{36} - 7\frac{18}{36} + 6\frac{15}{36}\right)\mathrm{z} = 1\frac{1}{3}; \\ 1\frac{1}{36}\mathrm{z} = 1\frac{1}{3}; \\ \mathrm{z} = 1\frac{1}{3} : 1\frac{1}{36}; \\ \mathrm{z} = \frac{4}{3} : \frac{37}{36}; \\ \mathrm{z} = \frac{4}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{12}{\cancel{36}}}}{37}; \\ \mathrm{z} = \frac{4}{1} · \frac{12}{37}; \\ \mathrm{z} = \frac{48}{37}; \\ \mathrm{z} = 1\frac{11}{37}. \\ \mathrm{Ответ}: 1\frac{11}{37}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }4 · \left(\frac{2}{7}\mathrm{n} + 1\right) + 2\frac{1}{2} = 6 - \frac{1}{3} · \left(\frac{6}{7}\mathrm{n} -3\right); \\ 4 · \frac{2}{7}\mathrm{n} + 4 ·1 + 2\frac{1}{2} = 6 - \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{6}}}}{7}\mathrm{n} - \frac{1}{3} · (-3); \\ \frac{8}{7}\mathrm{n} + 4 + 2\frac{1}{2} = 6 - \frac{2}{7}\mathrm{n} +1; \\ \frac{8}{7}\mathrm{n} + 6\frac{1}{2} = 7 - \frac{2}{7}\mathrm{n}; \\ \frac{8}{7}\mathrm{n} + \frac{2}{7}\mathrm{n} = 7 - 6\frac{1}{2}; \\ \frac{10}{7}\mathrm{n} = \frac{1}{2}; \\ \mathrm{n} = \frac{1}{2} : \frac{10}{7}; \\ \mathrm{n} = \frac{1}{2} · \frac{7}{10}; \\ \mathrm{n} = \frac{7}{20}. \\ \mathrm{Ответ}: \frac{7}{20}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)} 2 - \left(1\frac{1}{3}\mathrm{р} + \frac{1}{7}\right) · 21 = 4\frac{1}{4}\mathrm{р} - 6\frac{3}{8}; \\ 2 - \frac{4}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}}\mathrm{р} · \stackrel{7}{\cancel{21}} - \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}} · \stackrel{3}{\cancel{21}} = 4\frac{1}{4}\mathrm{р} - 6\frac{3}{8}; \\ 2 - \frac{4}{1}\mathrm{р} · 7- \frac{1}{1} · 3 = 4\frac{1}{4}\mathrm{р} - 6\frac{3}{8}; \\ 2 - 4\mathrm{р} · 7 - 3 = 4\frac{1}{4}\mathrm{р} - 6\frac{3}{8}; \\ -1 - 28\mathrm{р} = 4\frac{1}{4}\mathrm{р} - 6\frac{3}{8}; \\ - 28 \mathrm{р} - 4\frac{1}{4}\mathrm{р} = - 6\frac{3}{8} + 1; \\ - \left(28 + 4\frac{1}{4}\right) \mathrm{р} = -\left(6\frac{3}{8} - 1\right); \\ - 32\frac{1}{4}\mathrm{р} = - 5\frac{3}{8}; \\ \mathrm{р} = - \frac{43}{8} : \left(-\frac{129}{4}\right); \\ \mathrm{р} = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{43}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{8}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{4}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{129}}}}; \\ \mathrm{р} = \frac{1}{6}. \\ \mathrm{Ответ}: \frac{1}{6}. \end{gathered}$$

а) $\frac{3}{7}x + 5\frac{1}{2}x - 7\frac{3}{4} = 1 - \frac{4}{7}x + 5\frac{1}{4}x$
Сначала перенесем все слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть уравнения, а числовые слагаемые — в правую. При переносе слагаемых из одной части в другую их знаки меняются на противоположные.
$\frac{3}{7}x + 5\frac{1}{2}x + \frac{4}{7}x - 5\frac{1}{4}x = 1 + 7\frac{3}{4}$
Теперь сгруппируем и упростим подобные слагаемые в обеих частях уравнения.
$(\frac{3}{7} + \frac{4}{7})x + (5\frac{1}{2} - 5\frac{1}{4})x = 8\frac{3}{4}$
Выполним действия в скобках.
$\frac{7}{7}x + (5\frac{2}{4} - 5\frac{1}{4})x = 8\frac{3}{4}$
$1x + \frac{1}{4}x = 8\frac{3}{4}$
$1\frac{1}{4}x = 8\frac{3}{4}$
Для удобства дальнейших вычислений представим смешанные числа в виде неправильных дробей.
$\frac{5}{4}x = \frac{35}{4}$
Чтобы найти $x$, нужно разделить обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $\frac{5}{4}$.
$x = \frac{35}{4} : \frac{5}{4}$
$x = \frac{35}{4} \cdot \frac{4}{5}$
$x = \frac{35}{5} = 7$
Ответ: 7.

б) $5 - 2\frac{1}{3}z + 4\frac{4}{9}z = 7\frac{1}{2}z - 6\frac{5}{12}z + 6\frac{1}{3}$
Перенесем слагаемые с переменной $z$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую.
$- 2\frac{1}{3}z + 4\frac{4}{9}z - 7\frac{1}{2}z + 6\frac{5}{12}z = 6\frac{1}{3} - 5$
Представим все смешанные числа в виде неправильных дробей.
$-\frac{7}{3}z + \frac{40}{9}z - \frac{15}{2}z + \frac{77}{12}z = \frac{19}{3} - \frac{15}{3}$
В левой части приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3, 9, 2 и 12 равен 36.
$(-\frac{7 \cdot 12}{36} + \frac{40 \cdot 4}{36} - \frac{15 \cdot 18}{36} + \frac{77 \cdot 3}{36})z = \frac{4}{3}$
$(-\frac{84}{36} + \frac{160}{36} - \frac{270}{36} + \frac{231}{36})z = \frac{4}{3}$
Выполним сложение и вычитание числителей.
$\frac{-84 + 160 - 270 + 231}{36}z = \frac{4}{3}$
$\frac{37}{36}z = \frac{4}{3}$
Найдем $z$.
$z = \frac{4}{3} : \frac{37}{36} = \frac{4}{3} \cdot \frac{36}{37}$
$z = \frac{4 \cdot 12}{37} = \frac{48}{37}$
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число.
$z = 1\frac{11}{37}$
Ответ: $1\frac{11}{37}$.

в) $4 \cdot (\frac{2}{7}n + 1) + 2\frac{1}{2} = 6 - \frac{1}{3} \cdot (\frac{6}{7}n - 3)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения.
$4 \cdot \frac{2}{7}n + 4 \cdot 1 + 2\frac{1}{2} = 6 - \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{7}n - \frac{1}{3} \cdot (-3)$
$\frac{8}{7}n + 4 + 2\frac{1}{2} = 6 - \frac{2}{7}n + 1$
Упростим обе части уравнения.
$\frac{8}{7}n + 6\frac{1}{2} = 7 - \frac{2}{7}n$
Перенесем слагаемые с переменной $n$ влево, а числа — вправо.
$\frac{8}{7}n + \frac{2}{7}n = 7 - 6\frac{1}{2}$
$\frac{10}{7}n = \frac{1}{2}$
Найдем $n$.
$n = \frac{1}{2} : \frac{10}{7} = \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{10}$
$n = \frac{7}{20}$
Ответ: $\frac{7}{20}$.

г) $2 - (1\frac{1}{3}p + \frac{1}{7}) \cdot 21 = 4\frac{1}{4}p - 6\frac{3}{8}$
Сначала выполним умножение в левой части. Для этого раскроем скобки, умножив каждый член на 21. Переведем $1\frac{1}{3}$ в неправильную дробь $\frac{4}{3}$.
$2 - (\frac{4}{3}p \cdot 21 + \frac{1}{7} \cdot 21) = 4\frac{1}{4}p - 6\frac{3}{8}$
$2 - (4 \cdot 7 p + 3) = 4\frac{1}{4}p - 6\frac{3}{8}$
$2 - (28p + 3) = 4\frac{1}{4}p - 6\frac{3}{8}$
Раскроем скобки, изменив знаки внутри на противоположные.
$2 - 28p - 3 = 4\frac{1}{4}p - 6\frac{3}{8}$
Упростим левую часть.
$-1 - 28p = 4\frac{1}{4}p - 6\frac{3}{8}$
Перенесем слагаемые с переменной $p$ в правую часть, а числа — в левую.
$-1 + 6\frac{3}{8} = 4\frac{1}{4}p + 28p$
$5\frac{3}{8} = 32\frac{1}{4}p$
Переведем смешанные числа в неправильные дроби.
$\frac{43}{8} = \frac{129}{4}p$
Найдем $p$.
$p = \frac{43}{8} : \frac{129}{4} = \frac{43}{8} \cdot \frac{4}{129}$
Сократим дробь, зная, что $129 = 43 \cdot 3$.
$p = \frac{43 \cdot 4}{8 \cdot (43 \cdot 3)} = \frac{4}{8 \cdot 3} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$
Ответ: $\frac{1}{6}$.