Страница 135, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

1. Одну из двух прямо пропорциональных величин увеличили в 4 раза. Как изменится вторая величина?

Проверочная работа № 1

1.

Если одну из двух прямо пропорциональных величин увеличили в 4 раза, то и вторая величина увеличится в 4 раза.

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз, другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз. Математически эта зависимость между величинами $y$ и $x$ выражается формулой $y = kx$, где $k$ — постоянный коэффициент пропорциональности, не равный нулю.

Пусть начальные значения величин были $x_1$ и $y_1$. Тогда они связаны соотношением $y_1 = kx_1$.

По условию задачи, одну из величин, например $x_1$, увеличили в 4 раза. Новое значение этой величины стало $x_2 = 4x_1$.

Чтобы найти новое значение второй величины, $y_2$, воспользуемся той же формулой пропорциональности, так как зависимость между величинами сохраняется: $y_2 = kx_2$.

Подставим в это равенство выражение для $x_2$:

$y_2 = k \cdot (4x_1)$

Перегруппировав множители, получим:

$y_2 = 4 \cdot (kx_1)$

Поскольку мы знаем, что $kx_1 = y_1$, мы можем выполнить замену выражения в скобках:

$y_2 = 4y_1$

Таким образом, новое значение второй величины ($y_2$) в 4 раза больше ее первоначального значения ($y_1$).

Ответ: вторая величина также увеличится в 4 раза.

2. Одну из двух обратно пропорциональных величин уменьшили в 6 раз. Как изменится вторая величина?

2.

Если одну из двух обратно пропорциональных величин уменьшили в 6 раз, то вторая величина увеличится в 6 раз.

Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз, другая уменьшается (или увеличивается) во столько же раз. Произведение таких величин всегда остается постоянным.

Обозначим две обратно пропорциональные величины как $x$ и $y$. Их связь можно выразить формулой: $x \cdot y = k$ где $k$ — постоянный коэффициент пропорциональности.

Пусть начальные значения величин были $x_1$ и $y_1$. Тогда: $x_1 \cdot y_1 = k$

По условию задачи, одну из величин, например $x$, уменьшили в 6 раз. Это означает, что ее новое значение, $x_2$, стало: $x_2 = \frac{x_1}{6}$

Вторая величина $y$ также изменится, и ее новым значением будет $y_2$. Так как зависимость между величинами сохраняется, их произведение по-прежнему будет равно $k$: $x_2 \cdot y_2 = k$

Поскольку обе пары произведений равны одному и тому же числу $k$, мы можем их приравнять: $x_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2$

Подставим в это равенство выражение для $x_2$ из условия: $x_1 \cdot y_1 = \left(\frac{x_1}{6}\right) \cdot y_2$

Чтобы найти, как $y_2$ относится к $y_1$, выразим $y_2$. Для этого можно разделить обе части уравнения на $x_1$ (так как $x_1$ не может быть нулем в данном контексте): $y_1 = \frac{y_2}{6}$

Умножив обе части уравнения на 6, получим: $y_2 = 6 \cdot y_1$

Из полученного соотношения видно, что новое значение второй величины ($y_2$) в 6 раз больше ее первоначального значения ($y_1$). Таким образом, если одну из обратно пропорциональных величин уменьшить в 6 раз, то вторая увеличится в 6 раз.

Ответ: вторая величина увеличится в 6 раз.

3. Заполните таблицу, если величины х и у обратно пропорциональны.

3.

$$\begin{gathered} \frac{60}{80} = \frac{х}{4}; \\ х = \frac{60 · {\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{4}}}}{{\displaystyle \underset{20}{\cancel{80}}}} = \frac{60 · 1}{20} = 3. \\ \frac{80}{120} = \frac{х}{3}; \\ х = \frac{80 · {\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{3}}}}{{\displaystyle \underset{40}{\cancel{120}}}} = \frac{80 · 1}{40} = 2. \\ \frac{120}{9,6} = \frac{х}{2}; \\ х = \frac{120 · {\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{2}}}}{{\displaystyle \underset{4,8}{\cancel{9,6}}}} = \frac{120 · 1}{4,8} =\frac{1200}{48} = 25. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{9,6}{160} = \frac{х}{25}; \\ х = \frac{9,6 · {\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{25}}}}{{\displaystyle \underset{32}{\cancel{160}}}} = \frac{{\displaystyle \stackrel{0,3}{\cancel{9,6}}} · 5}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{32}}}} = \frac{0,3 · 5}{1} = 1,5. \\ \frac{160}{96} = \frac{х}{1,5}; \\ х = \frac{1,5 · {\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{160}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{96}}}} = \frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{1,5}} · 5}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} =\frac{0,5 · 5}{1} = 2,5. \\ \frac{96}{64} = \frac{х}{2,5}; \\ х = \frac{2,5 · {\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{96}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{64}}}} = \frac{2,5 · 3}{2} =\frac{7,5}{2} = 3,75. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{64}{12} = \frac{х}{3,75}; \\ х = \frac{{\displaystyle \stackrel{16}{\cancel{64}}} · 3,75}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{12}}}} = \frac{16 ·{\displaystyle \stackrel{1,25}{\cancel{ 3,75}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} =\frac{16 · 1,25}{1} = 20. \end{gathered}$$

Поскольку величины $x$ и $y$ обратно пропорциональны, их произведение является постоянной величиной, которую называют коэффициентом обратной пропорциональности $k$. Формула зависимости: $x \cdot y = k$.

Сначала найдем этот коэффициент, используя известные значения из первого столбца таблицы: $x = 60$ и $y = 4$.

$k = 60 \cdot 4 = 240$.

Теперь, зная коэффициент $k = 240$, мы можем найти все недостающие значения в таблице, используя формулы $y = \frac{k}{x}$ и $x = \frac{k}{y}$.

1. Найдем $y$, если $x = 80$:

$y = \frac{240}{80} = 3$.

Ответ: 3

2. Найдем $x$, если $y = 2$:

$x = \frac{240}{2} = 120$.

Ответ: 120

3. Найдем $y$, если $x = 9,6$:

$y = \frac{240}{9,6} = \frac{2400}{96} = 25$.

Ответ: 25

4. Найдем $x$, если $y = 1,5$:

$x = \frac{240}{1,5} = \frac{2400}{15} = 160$.

Ответ: 160

5. Найдем $x$, если $y = 2,5$:

$x = \frac{240}{2,5} = \frac{2400}{25} = 96$.

Ответ: 96

6. Найдем $x$, если $y = 3\frac{3}{4}$:

Сначала преобразуем смешанную дробь в десятичную: $3\frac{3}{4} = 3,75$.

$x = \frac{240}{3,75} = \frac{24000}{375} = 64$.

Ответ: 64

7. Найдем $y$, если $x = 12$:

$y = \frac{240}{12} = 20$.

Ответ: 20

Итоговая заполненная таблица:

4. Составьте задачу по схеме.

Какая зависимость между величинами в составленных задачах? Решите составленные задачи с помощью пропорций.

4.

а)

За 2,5 кг огурцов заплатили 185 рублей. Сколько огурцов можно купить на 407 рублей?

Прямая пропорциональная зависимость.

$\frac{2,5}{х} = \frac{185}{407};$

$х = \frac{2,5 · 407}{185} = 5,5$ (кг) – можно купить на 407 рублей.

Ответ: 5,5 кг.

б)

Один теплоход прошел расстояние между городами за 2 ч 45 мин со скоростью 20 км/ч. Второй теплоход прошел то же расстояние за 2 ч 12 мин. С какой скоростью шел второй теплоход?

Обратно пропорциональная зависимость.

$$\begin{gathered} \frac{2 \mathrm{ч} 12 \mathrm{мин}}{2 \mathrm{ч} 45 \mathrm{мин} }= \frac{20}{\mathrm{х}}; \\ \frac{132}{165} = \frac{20}{\mathrm{х}}; \end{gathered}$$

$х = \frac{{\displaystyle \stackrel{55}{\cancel{165}}} · 20}{{\displaystyle \underset{44}{\cancel{132}}}} = \frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{55}}} · 20}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{44}}}} = \frac{5 · {\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{20}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}} = \frac{5 · 5}{1} = 25$ км/ч – скорость второго теплохода.

Ответ: 25 км/ч.

а)

Формулировка задачи: За 2,5 кг товара заплатили 185 рублей. Сколько килограммов этого же товара можно купить на 407 рублей?

Анализ зависимости: В данной задаче зависимость между массой товара и его стоимостью является прямой пропорциональностью. Это означает, что при увеличении (или уменьшении) одной величины в несколько раз, другая величина увеличивается (или уменьшается) во столько же раз. Стрелки на схеме, направленные в одну сторону, указывают на прямую пропорциональность.

Решение с помощью пропорции:

Составим пропорцию, где $x$ — искомая масса товара в кг:

2,5 кг — 185 р.

$x$ кг — 407 р.

$\frac{2.5}{x} = \frac{185}{407}$

Чтобы найти неизвестный член пропорции $x$, нужно произведение крайних членов разделить на известный средний член:

$x = \frac{2.5 \cdot 407}{185}$

$x = \frac{1017.5}{185}$

$x = 5.5$

Таким образом, на 407 рублей можно купить 5,5 кг товара.

Ответ: 5,5 кг.

б)

Формулировка задачи: Теплоход прошел некоторое расстояние за 2 часа 45 минут, двигаясь со скоростью 20 км/ч. С какой скоростью должен двигаться другой теплоход, чтобы пройти то же самое расстояние за 2 часа 12 минут?

Анализ зависимости: В этой задаче зависимость между временем и скоростью при постоянном расстоянии является обратной пропорциональностью. Это означает, что при увеличении (или уменьшении) одной величины в несколько раз, другая величина уменьшается (или увеличивается) во столько же раз. Стрелки на схеме, направленные в разные стороны, указывают на обратную пропорциональность.

Решение с помощью пропорции:

Сначала переведем время в единую единицу измерения — минуты:

$t_1 = 2 \text{ ч } 45 \text{ мин} = 2 \cdot 60 + 45 = 165 \text{ мин}$

$t_2 = 2 \text{ ч } 12 \text{ мин} = 2 \cdot 60 + 12 = 132 \text{ мин}$

Составим пропорцию, где $x$ — искомая скорость в км/ч:

165 мин — 20 км/ч

132 мин — $x$ км/ч

Так как зависимость обратная, составим пропорцию, "перевернув" одно из отношений:

$\frac{165}{132} = \frac{x}{20}$

Чтобы найти неизвестный член пропорции $x$, нужно перемножить известные члены по диагонали и разделить на оставшийся член:

$x = \frac{165 \cdot 20}{132}$

$x = \frac{3300}{132}$

$x = 25$

Следовательно, чтобы пройти то же расстояние за меньшее время, теплоход должен двигаться со скоростью 25 км/ч.

Ответ: 25 км/ч.

1. Сколько нужно взять жидкости, чтобы получить 780 г рисовой жидкой каши?

Проверочная работа № 2

1.

$\frac{570}{х} = \frac{650}{780};$

$х = \frac{570 · 780}{650} = \frac{{\displaystyle \stackrel{114}{\cancel{570}}} · 78 }{{\displaystyle \underset{13}{\cancel{65}}}} = \frac{114 · {\displaystyle \stackrel{6}{\cancel{78}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{13}}}} =$

$= \frac{114 · 6}{1} = 684$(г) – жидкости.

Ответ: 684 г.

1

Для решения этой задачи необходимо знать стандартное соотношение крупы и жидкости для приготовления жидкой рисовой каши. Как правило, для получения жидкой консистенции на 1 часть сухой крупы берут 5 частей жидкости по массе.

Таким образом, общая масса готовой каши состоит из суммы частей крупы и жидкости: $1 + 5 = 6$ частей.

Общая масса каши по условию составляет 780 г. Исходя из этого, можем найти массу одной части:

$780 \text{ г} \div 6 \text{ частей} = 130 \text{ г/часть}$

Поскольку на жидкость приходится 5 частей, её масса составит:

$130 \text{ г} \times 5 = 650 \text{ г}$

Проверка: масса риса (1 часть) равна 130 г, масса жидкости (5 частей) — 650 г. Общая масса каши: $130 \text{ г} + 650 \text{ г} = 780 \text{ г}$. Расчет верен.

Ответ: 650 г.

2

Чтобы найти необходимое количество соли, можно воспользоваться стандартными кулинарными нормами. Согласно сборникам рецептур, на 1000 г готовой каши в среднем требуется 5 г соли.

Составим пропорцию, чтобы найти массу соли ($x$), необходимую для приготовления 240 г каши:

$\frac{x}{240 \text{ г}} = \frac{5 \text{ г}}{1000 \text{ г}}$

Из этой пропорции выразим и рассчитаем $x$:

$x = \frac{240 \text{ г} \times 5 \text{ г}}{1000 \text{ г}} = \frac{1200}{1000} \text{ г} = 1.2 \text{ г}$

Информацию о том, что каша «вязкая», можно использовать для дополнительной проверки. Для вязкой каши соотношение сухой крупы и жидкости по массе составляет примерно 1:3. Это значит, что в 240 г каши содержится $240 \text{ г} \div (1+3) = 60$ г сухой овсяной крупы. Норма соли также может быть задана относительно массы крупы (например, 20 г соли на 1 кг крупы). Проверим: $60 \text{ г} \times \frac{20 \text{ г}}{1000 \text{ г}} = 1.2$ г. Результаты совпадают, что подтверждает правильность расчетов.

Ответ: 1.2 г.

2. Сколько нужно взять соли для приготовления 240 г вязкой овсяной каши?

2.

$\frac{х}{4} = \frac{240}{400};$

$х = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{4}}} · 240}{{\displaystyle \underset{100}{\cancel{400}}}} = \frac{1 · {\displaystyle \stackrel{12}{\cancel{240}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{100}}}} = \frac{1 · 12}{5} = \frac{24}{10} = 2,4$ (г) – соли.

Ответ: 2,4 г.

2. Для решения этой задачи необходимо знать стандартные пропорции ингредиентов для приготовления вязкой овсяной каши, так как они не даны в условии. Воспользуемся данными из официальных сборников рецептур, которые используются в общественном питании.

Согласно технологическим картам, для получения 1000 г готовой вязкой овсяной каши (без учета масла для подачи) требуется 4 г соли. Остальные ингредиенты в стандартной раскладке (на 1000 г каши) обычно включают:

• Крупа овсяная «Геркулес»: 200 г
• Жидкость (вода или молоко): 840 г
• Сахар: 30 г
• Соль: 4 г

Нам нужно приготовить 240 г каши. Чтобы найти необходимое количество соли, составим пропорцию. Пусть $x$ — это искомое количество соли в граммах.

Составляем пропорцию на основе веса готового блюда:

На 1000 г каши требуется 4 г соли.

На 240 г каши требуется $x$ г соли.

Математически это выглядит так:

$\frac{4 \text{ г}}{1000 \text{ г}} = \frac{x \text{ г}}{240 \text{ г}}$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$x = \frac{4 \times 240}{1000}$

Выполним вычисления:

$x = \frac{960}{1000}$

$x = 0,96$

Следовательно, для приготовления 240 г вязкой овсяной каши потребуется 0,96 г соли.

Ответ: 0,96 г.

3. Сколько нужно жидкости и соли для приготовления 500 г жидкой манной каши?

3.

$\frac{х}{6} = \frac{500}{650};$

$х = \frac{6 · {\displaystyle \stackrel{10}{\cancel{500}}}}{{\displaystyle \underset{13}{\cancel{650}}}} = \frac{6 · 10}{13} = \frac{60}{13} = 4\frac{8}{13}$(г)-соли.

$\frac{570}{х} = \frac{650}{500};$

$х = \frac{570 · 500}{650} = \frac{570 · {\displaystyle \stackrel{10}{\cancel{50}}}}{{\displaystyle \underset{13}{\cancel{65}}}} = \frac{570 · 10}{13} =$

$=\frac{5700}{13} = 438\frac{6}{13}$ (г) – жидкости.

Ответ: $4\frac{8}{13} \mathrm{г}; 438\frac{6}{13}\mathrm{г}.$

Для определения точного количества жидкости и соли необходимо обратиться к стандартным кулинарным рецептурам, так как понятие «жидкая каша» может трактоваться по-разному. Мы будем использовать пропорции из официального «Сборника рецептур блюд и кулинарных изделий», который является стандартом для заведений общественного питания.

Согласно этому сборнику, для приготовления жидкой манной каши с выходом 1000 г готового блюда установлены следующие нормы расхода продуктов:

• Крупа манная: 125 г
• Жидкость (молоко, вода или их смесь): 910 г (мл)
• Сахар-песок: 30 г
• Соль: 3 г
• Масло сливочное (для подачи): 30 г

Так как нам нужно приготовить 500 г каши, что составляет половину от стандартного выхода в 1000 г, необходимо все указанные ингредиенты взять в половинном объеме. Рассчитаем количество жидкости и соли.

Чтобы найти необходимое количество жидкости для 500 г каши, нужно норму для 1000 г разделить на два.

Расчет: $910 \text{ г} \times \frac{500 \text{ г}}{1000 \text{ г}} = 910 \text{ г} \times 0.5 = 455 \text{ г}$.

Поскольку плотность воды и молока очень близка к 1 г/мл, то 455 г жидкости будут занимать объем примерно 455 мл.

Ответ: для приготовления 500 г жидкой манной каши необходимо 455 г (или 455 мл) жидкости.

Количество соли также рассчитывается пропорционально, исходя из нормы на 1000 г готового блюда.

Расчет: $3 \text{ г} \times \frac{500 \text{ г}}{1000 \text{ г}} = 3 \text{ г} \times 0.5 = 1.5 \text{ г}$.

Такое количество соли примерно соответствует четверти чайной ложки.

Ответ: для приготовления 500 г жидкой манной каши необходимо 1.5 г соли.

4. Приготовили 455 г жидкой овсяной каши. Сколько жидкости и соли потребовалось?

4.

$\frac{х}{5} = \frac{455}{500};$

$х = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{5} }}· 455}{{\displaystyle \underset{100}{\cancel{500}}}} = \frac{1 · 455}{100} = 4,55$ (г) - соли.

$\frac{420}{х} = \frac{500}{455};$

$х = \frac{{\displaystyle \stackrel{21}{\cancel{420}}} · 455}{{\displaystyle \underset{25}{\cancel{500}}}} = \frac{21 · {\displaystyle \stackrel{91}{\cancel{455}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{25}}}} = \frac{21 · 91}{5}=$

$={\frac{1911}{5}}^{\overline{)·2}}=\frac{3822}{10} = 382,2$ (г) – жидкости.

Ответ: 4,55 г; 382,2 г.

Для решения этой задачи нужно использовать данные из таблицы, касающиеся приготовления жидкой овсяной каши. Согласно таблице, для получения 500 г готовой каши (столбец "Выход каши, г") по норме требуется:

• 420 г жидкости
• 5 г соли
• (а также 100 г крупы, на которые даны эти нормы)

В задаче указано, что приготовили 455 г каши. Это меньше, чем стандартный выход в 500 г. Нам нужно рассчитать, сколько ингредиентов требуется для 455 г каши, сохранив пропорции. Для этого сначала найдем коэффициент пропорциональности (k), который покажет, во сколько раз наш объем каши меньше стандартного:

$k = \frac{\text{требуемый вес каши}}{\text{стандартный вес каши}} = \frac{455}{500} = 0.91$

Теперь мы можем использовать этот коэффициент для расчета необходимого количества жидкости и соли.

Сколько жидкости потребовалось?

Чтобы найти необходимое количество жидкости, нужно стандартное количество жидкости умножить на наш коэффициент:

$420 \text{ г} \times 0.91 = 382.2 \text{ г}$

Ответ: потребовалось 382,2 г жидкости.

Сколько соли потребовалось?

Аналогично, чтобы найти необходимое количество соли, нужно стандартное количество соли умножить на тот же коэффициент:

$5 \text{ г} \times 0.91 = 4.55 \text{ г}$

Ответ: потребовалось 4,55 г соли.

П.83. Найдите все делители числа 84 и числа 180.

П.83

делители числа 84: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84

делители числа 180: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180

Чтобы найти все натуральные делители числа, необходимо разложить это число на простые множители. Любой делитель этого числа будет представлять собой произведение этих простых множителей в некоторых степенях (от нулевой до той, что в разложении).

Делители числа 84

1. Начнем с разложения числа 84 на простые множители:

$84 \mid 2$
$42 \mid 2$
$21 \mid 3$
$7 \mid 7$
$1$

Таким образом, каноническое разложение числа 84 имеет вид: $84 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 7^1$.

2. Любой делитель числа 84 будет иметь вид $2^a \cdot 3^b \cdot 7^c$, где показатель степени $a$ может принимать значения 0, 1, 2; показатель $b$ — 0, 1; показатель $c$ — 0, 1.

3. Перечислим все возможные комбинации произведений, чтобы найти все делители:

• $2^0 \cdot 3^0 \cdot 7^0 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$
• $2^1 \cdot 3^0 \cdot 7^0 = 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2$
• $2^2 \cdot 3^0 \cdot 7^0 = 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4$
• $2^0 \cdot 3^1 \cdot 7^0 = 1 \cdot 3 \cdot 1 = 3$
• $2^1 \cdot 3^1 \cdot 7^0 = 2 \cdot 3 \cdot 1 = 6$
• $2^2 \cdot 3^1 \cdot 7^0 = 4 \cdot 3 \cdot 1 = 12$
• $2^0 \cdot 3^0 \cdot 7^1 = 1 \cdot 1 \cdot 7 = 7$
• $2^1 \cdot 3^0 \cdot 7^1 = 2 \cdot 1 \cdot 7 = 14$
• $2^2 \cdot 3^0 \cdot 7^1 = 4 \cdot 1 \cdot 7 = 28$
• $2^0 \cdot 3^1 \cdot 7^1 = 1 \cdot 3 \cdot 7 = 21$
• $2^1 \cdot 3^1 \cdot 7^1 = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$
• $2^2 \cdot 3^1 \cdot 7^1 = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 84$

Расположим полученные делители в порядке возрастания.

Ответ: Делителями числа 84 являются: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84.

Делители числа 180

1. Разложим число 180 на простые множители:

$180 \mid 2$
$90 \mid 2$
$45 \mid 3$
$15 \mid 3$
$5 \mid 5$
$1$

Каноническое разложение числа 180: $180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1$.

2. Любой делитель числа 180 будет иметь вид $2^a \cdot 3^b \cdot 5^c$, где $a \in \{0, 1, 2\}$, $b \in \{0, 1, 2\}$, $c \in \{0, 1\}$.

3. Найдем все делители. Для удобства, сначала найдем все делители числа $2^2 \cdot 3^2 = 36$, а затем умножим их на множители, соответствующие $5^c$ (то есть на $5^0=1$ и $5^1=5$).

Делители числа 36 ($2^a \cdot 3^b$):

• $2^0 \cdot 3^0 = 1$
• $2^1 \cdot 3^0 = 2$
• $2^2 \cdot 3^0 = 4$
• $2^0 \cdot 3^1 = 3$
• $2^1 \cdot 3^1 = 6$
• $2^2 \cdot 3^1 = 12$
• $2^0 \cdot 3^2 = 9$
• $2^1 \cdot 3^2 = 18$
• $2^2 \cdot 3^2 = 36$

Получаем ряд делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Это делители числа 180, для которых $c=0$.

Теперь найдем делители, для которых $c=1$. Для этого умножим каждый из найденных выше делителей на 5:

$1 \cdot 5=5, \quad 2 \cdot 5=10, \quad 3 \cdot 5=15, \quad 4 \cdot 5=20, \quad 6 \cdot 5=30, \quad 9 \cdot 5=45, \quad 12 \cdot 5=60, \quad 18 \cdot 5=90, \quad 36 \cdot 5=180$.

4. Объединим оба списка делителей и запишем их в порядке возрастания.

Ответ: Делителями числа 180 являются: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180.

П.84. Найдите все двузначные числа, кратные числу 13; кратные числу 34.

П.84

кратны числу 13: 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91

кратны числу 34: 34, 68

Для решения задачи нужно найти все числа в диапазоне от 10 до 99 (двузначные числа), которые делятся без остатка на 13, а затем на 34. Для этого будем последовательно умножать 13 и 34 на натуральные числа ($1, 2, 3, \ldots$), пока результат умножения не выйдет за пределы двузначных чисел (т.е. не станет 100 или больше).

кратные числу 13

Начнем умножать число 13 на натуральные числа, чтобы найти все двузначные кратные:
$13 \times 1 = 13$
$13 \times 2 = 26$
$13 \times 3 = 39$
$13 \times 4 = 52$
$13 \times 5 = 65$
$13 \times 6 = 78$
$13 \times 7 = 91$
Следующее произведение, $13 \times 8 = 104$, является трехзначным числом, поэтому оно не удовлетворяет условию.

Ответ: 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91.

кратные числу 34

Аналогично найдем все двузначные числа, кратные 34:
$34 \times 1 = 34$
$34 \times 2 = 68$
Следующее произведение, $34 \times 3 = 102$, уже является трехзначным, поэтому не подходит.

Ответ: 34, 68.

П.85. Имеют ли центр симметрии:
а) отрезок;
б) луч;
в) прямая;
г) разносторонний треугольник;
д) равносторонний треугольник;
е) квадрат;
ж) прямоугольник;
з) окружность;
и) круг?

Если фигуры имеют центр симметрии, изобразите их в тетради.

П.85

а) отрезок имеет центр симметрии

б) луч не имеет центр симметрии

в) прямая имеет множество центров симметрии

г) разносторонний треугольник не имеет центра симметрии

д) равносторонний треугольник не имеет центр симметрии

е) квадрат имеет центр симметрии

ж) прямоугольник имеет центр симметрии

з) окружность имеет центр симметрии

и) круг имеет центр симметрии

а) отрезок;

Да, отрезок имеет центр симметрии. Центром симметрии отрезка является его середина. Если обозначить концы отрезка как точки $A$ и $B$, а его середину как точку $O$, то для любой точки $M$ на отрезке найдется симметричная ей относительно точки $O$ точка $M'$, которая также будет лежать на этом отрезке. Точка $O$ является серединой отрезка $MM'$. В частности, точка $A$ симметрична точке $B$ относительно точки $O$.

Ответ: да, имеет. Центр симметрии — середина отрезка.

б) луч;

Нет, луч не имеет центра симметрии. Луч имеет начальную точку и простирается бесконечно в одном направлении. Если бы у луча был центр симметрии $O$, то для его начальной точки $A$ должна была бы существовать симметричная точка $A'$, которая также принадлежит лучу. Однако, если точка $O$ не совпадает с $A$, то точка $A'$ окажется вне луча (на прямой, содержащей луч, но с другой стороны от $O$). Если же предположить, что центр симметрии $O$ совпадает с начальной точкой $A$, то для любой другой точки $M$ на луче симметричная ей точка $M'$ должна была бы лежать на прямой, содержащей луч, но по другую сторону от $A$, то есть вне луча. Следовательно, у луча нет центра симметрии.

Ответ: нет, не имеет.

в) прямая;

Да, прямая имеет центр симметрии. Более того, любая точка на прямой является её центром симметрии. Если выбрать любую точку $O$ на прямой, то для каждой точки $M$ этой прямой найдется симметричная ей относительно $O$ точка $M'$, которая также лежит на этой же прямой. Таким образом, у прямой бесконечно много центров симметрии.

Ответ: да, имеет. Центр симметрии — любая точка этой прямой.

г) разносторонний треугольник;

Нет, разносторонний треугольник не имеет центра симметрии. Если бы у него был центр симметрии $O$, то при симметрии относительно этой точки треугольник должен был бы перейти сам в себя. Это означает, что каждая вершина треугольника должна была бы перейти в другую его вершину. Но у треугольника три вершины, а центральная симметрия — это поворот на $180^\circ$, который может отобразить многоугольник на себя, только если у него четное число вершин, которые попарно симметричны. Для фигуры с нечетным числом вершин это невозможно.

Ответ: нет, не имеет.

д) равносторонний треугольник;

Нет, равносторонний треугольник не имеет центра симметрии по той же причине, что и разносторонний. У него нечетное число вершин (три), поэтому невозможно найти такую точку, относительно которой вершины попарно симметричны. Центр равностороннего треугольника (точка пересечения медиан, биссектрис и высот) является центром вращательной симметрии, но не центром центральной симметрии.

Ответ: нет, не имеет.

е) квадрат;

Да, квадрат имеет центр симметрии. Центром симметрии квадрата является точка пересечения его диагоналей. При симметрии относительно этой точки каждая вершина переходит в противоположную вершину, а каждая сторона — в противоположную сторону. Вся фигура отображается сама на себя.

Ответ: да, имеет. Центр симметрии — точка пересечения диагоналей.

ж) прямоугольник;

Да, прямоугольник имеет центр симметрии. Как и у квадрата, центром симметрии прямоугольника является точка пересечения его диагоналей. При симметрии относительно этой точки фигура переходит сама в себя.

Ответ: да, имеет. Центр симметрии — точка пересечения диагоналей.

з) окружность;

Да, окружность имеет центр симметрии. Центром симметрии окружности является ее геометрический центр. Любая точка на окружности при симметрии относительно центра переходит в точку, лежащую на другом конце диаметра, проведенного через исходную точку. Эта новая точка также лежит на окружности.

Ответ: да, имеет. Центр симметрии — центр окружности.

и) круг?

Да, круг имеет центр симметрии. Центром симметрии круга, как и у окружности, является его геометрический центр. Любая точка внутри или на границе круга при симметрии относительно центра переходит в точку, которая также находится внутри или на границе этого круга.

Ответ: да, имеет. Центр симметрии — центр круга.

П.86. С одной полки сняли 8 книг, а на другую положили 32 книги. На полках стало книг поровну. Сколько книг было на каждой полке первоначально, если на одной полке было в 3 раза больше книг, чем на другой?

П.86

Пусть х книг – было на одной полке первоначально, тогда 3х книг – было на другой полке первоначально, (х + 32) книги – стало на одной полке, (3х – 8) книг – стало на другой полке, т.к. книг стало поровну, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х + 32 = 3х – 8; \\ х – 3х = -8 – 32; \\ -2х = -40; \\ х = -40 : (-2); \end{gathered}$$
х = 20 (к) – было на одной полке;

$\mathbf{1}\mathbf{)} 3 · 20 = 60$ (к) – было на другой полке.

Ответ: 20 книг и 60 книг

Для решения этой задачи составим уравнение. Давайте обозначим за $x$ количество книг на той полке, где их было меньше. Согласно условию, на другой полке было в 3 раза больше книг, то есть $3x$.

Далее в задаче говорится, что с одной полки сняли 8 книг, а на другую положили 32 книги. Чтобы после этих действий количество книг на полках стало равным, логично предположить, что книги убирали с полки, где их было больше, и добавляли на полку, где их было меньше.

Таким образом, с полки, где было $3x$ книг, сняли 8 книг. На ней осталось: $3x - 8$ книг.

На полку, где было $x$ книг, положили 32 книги. На ней стало: $x + 32$ книги.

После этих действий количество книг на обеих полках стало равным. Мы можем составить уравнение:

$3x - 8 = x + 32$

Теперь решим это уравнение. Перенесем все члены с $x$ в левую часть, а числа — в правую, меняя знаки при переносе:

$3x - x = 32 + 8$

Упростим обе части уравнения:

$2x = 40$

Найдем $x$:

$x = \frac{40}{2}$

$x = 20$

Итак, мы нашли, что на полке с меньшим количеством книг первоначально было 20 книг.

Теперь найдем, сколько книг было на второй полке:

$3x = 3 \cdot 20 = 60$

Таким образом, на второй полке было 60 книг.

Проверим наше решение.
Первоначальные условия: на одной полке 60 книг, на другой 20. 60 в 3 раза больше 20, это верно.
Выполняем действия: с первой полки сняли 8 книг ($60 - 8 = 52$), на вторую положили 32 книги ($20 + 32 = 52$).
Результат: на обеих полках стало по 52 книги, что соответствует условию задачи. Решение верное.

Ответ: первоначально на одной полке было 60 книг, а на другой — 20 книг.

П.87. Отрезок MN на 5 см меньше отрезка PQ. Если отрезок PQ увеличить на 7 см, а отрезок MN увеличить в 4 раза, то их длины будут равны. Найдите длины отрезков.

П.87

Пусть х см – отрезок MN, тогда (х + 5) см – отрезок PQ,
(х + 5 + 7) = (х + 12) см – стал отрезок PQ, 4х см – стал отрезок MN, т.к. длины отрезков стали равны, получаем уравнение:

$$\begin{gathered} 4х = х + 12; \\ 4х – х = 12; \\ 3х = 12; \\ х = 12 : 3; \end{gathered}$$

х = 4 (см) – отрезок MN

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ } 4 + 5 = 9$ (см) – отрезок PQ

Ответ: 4 см и 9 см.

Для решения задачи составим систему уравнений. Обозначим длину отрезка $MN$ как $m$, а длину отрезка $PQ$ как $p$.

Из первого условия задачи известно, что отрезок $MN$ на 5 см меньше отрезка $PQ$. Это можно записать в виде уравнения:

$m = p - 5$

Из второго условия известно, что если отрезок $PQ$ увеличить на 7 см (получим $p + 7$), а отрезок $MN$ увеличить в 4 раза (получим $4m$), то их длины будут равны. Это дает нам второе уравнение:

$4m = p + 7$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} m = p - 5 \\ 4m = p + 7 \end{cases}$

Подставим выражение для $m$ из первого уравнения во второе:

$4(p - 5) = p + 7$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $p$:

$4p - 20 = p + 7$

Перенесем слагаемые с $p$ в левую часть, а числовые значения — в правую:

$4p - p = 7 + 20$

$3p = 27$

$p = \frac{27}{3}$

$p = 9$

Таким образом, длина отрезка $PQ$ составляет 9 см.

Теперь, зная длину $PQ$, найдем длину отрезка $MN$, используя первое уравнение:

$m = p - 5 = 9 - 5 = 4$

Длина отрезка $MN$ составляет 4 см.

Проверим полученные результаты. Длина $MN$ (4 см) действительно на 5 см меньше длины $PQ$ (9 см). Если $PQ$ увеличить на 7 см, получится $9 + 7 = 16$ см. Если $MN$ увеличить в 4 раза, получится $4 \cdot 4 = 16$ см. Длины равны, что соответствует условию.

Ответ: длина отрезка $MN$ равна 4 см, длина отрезка $PQ$ равна 9 см.

П.88. В первой банке в 3 раза больше мёда, чем во второй. Если из первой переложить 2 кг во вторую, то мёда в банках будет поровну. Сколько мёда в каждой банке?

П.88

Пусть х кг меда – во второй банке, тогда 3х кг меда – в первой банке,
(х + 2) кг меда – стало во второй банке, (3х – 2) кг меда – стало в первой банке. Зная, что меда в банках стало поровну, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} 3х – 2 = х + 2 ; \\ 3х – х = 2 + 2; \\ 2х = 4; \\ х = 4 : 2; \end{gathered}$$

х = 2 (кг) меда – во второй банке;

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ } 3 · 2 = 6$ (кг) меда – в первой банке.

Ответ: 6 кг и 2 кг

Для решения этой задачи введем переменную и составим уравнение.

Пусть $x$ кг — это количество мёда во второй банке.

По условию, в первой банке мёда в 3 раза больше, чем во второй. Следовательно, в первой банке находится $3x$ кг мёда.

Далее, из первой банки переложили 2 кг во вторую. Это означает, что количество мёда в первой банке уменьшилось на 2 кг, а во второй — увеличилось на 2 кг.

Новое количество мёда в первой банке: $(3x - 2)$ кг.

Новое количество мёда во второй банке: $(x + 2)$ кг.

После этого количество мёда в банках стало равным. Мы можем составить уравнение:

$3x - 2 = x + 2$

Теперь решим это уравнение. Перенесём все слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые значения — в правую:

$3x - x = 2 + 2$

$2x = 4$

$x = \frac{4}{2}$

$x = 2$

Мы нашли, что $x=2$ кг — это первоначальное количество мёда во второй банке.

Теперь найдём первоначальное количество мёда в первой банке, которое было равно $3x$:

$3 \cdot 2 = 6$ кг.

Сделаем проверку. Изначально в первой банке было 6 кг, во второй — 2 кг (6 в 3 раза больше 2). Если из первой банки убрать 2 кг ($6 - 2 = 4$ кг) и добавить их во вторую ($2 + 2 = 4$ кг), то в обеих банках станет по 4 кг, что соответствует условию задачи.

Ответ: в первой банке было 6 кг мёда, во второй банке — 2 кг мёда.

П.89. Постройте на координатной плоскости треугольник АВС с вершинами А(–6; –4), В(–2; 6), С(7; 2). Измерьте стороны и углы треугольника. Найдите по рисунку координаты середины стороны АС. Обладает ли треугольник АВС симметрией?

П.89

АС = 7,3 см, АВ = 5,5 см, ВС = 4,8 см

$\angle A = 44°, \angle B = 86°, \angle C = 50°$

K(0,5; -1) – середина отрезка АС

Треугольник не обладает симметрией.

Постройте на координатной плоскости треугольник ABC с вершинами A(-6; -4), B(-2; 6), C(7; 2).
Для построения треугольника необходимо нанести на координатную плоскость точки с заданными координатами: A(-6; -4), B(-2; 6) и C(7; 2). Затем следует соединить эти точки отрезками AB, BC и AC. В результате будет получен искомый треугольник ABC.

Измерьте стороны и углы треугольника.
Длины сторон вычисляются по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
Длина стороны AB: $AB = \sqrt{(-2 - (-6))^2 + (6 - (-4))^2} = \sqrt{4^2 + 10^2} = \sqrt{16 + 100} = \sqrt{116}$.
Длина стороны BC: $BC = \sqrt{(7 - (-2))^2 + (2 - 6)^2} = \sqrt{9^2 + (-4)^2} = \sqrt{81 + 16} = \sqrt{97}$.
Длина стороны AC: $AC = \sqrt{(7 - (-6))^2 + (2 - (-4))^2} = \sqrt{13^2 + 6^2} = \sqrt{169 + 36} = \sqrt{205}$.
Углы треугольника вычисляются с помощью теоремы косинусов, например: $\cos(A) = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC}$.
Угол A: $\cos(A) = \frac{116 + 205 - 97}{2 \cdot \sqrt{116} \cdot \sqrt{205}} = \frac{224}{2\sqrt{23780}} \approx 0.7263$. Отсюда, $\angle A \approx 43.4^\circ$.
Угол B: $\cos(B) = \frac{116 + 97 - 205}{2 \cdot \sqrt{116} \cdot \sqrt{97}} = \frac{8}{2\sqrt{11252}} \approx 0.0377$. Отсюда, $\angle B \approx 87.8^\circ$.
Угол C: $\cos(C) = \frac{97 + 205 - 116}{2 \cdot \sqrt{97} \cdot \sqrt{205}} = \frac{186}{2\sqrt{19885}} \approx 0.6595$. Отсюда, $\angle C \approx 48.7^\circ$.
Ответ: Стороны: $AB = \sqrt{116} \approx 10.77$, $BC = \sqrt{97} \approx 9.85$, $AC = \sqrt{205} \approx 14.32$. Углы: $\angle A \approx 43.4^\circ$, $\angle B \approx 87.8^\circ$, $\angle C \approx 48.7^\circ$.

Найдите по рисунку координаты середины стороны AC.
Хотя задание предлагает найти координаты по рисунку, точное значение можно вычислить по формуле середины отрезка $M(x, y) = \left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right)$.
Для стороны AC с вершинами A(-6; -4) и C(7; 2) координаты ее середины M будут:
$x_M = \frac{-6 + 7}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$
$y_M = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
Ответ: Координаты середины стороны AC: (0.5; -1).

Обладает ли треугольник ABC симметрией?
Треугольник обладает осевой симметрией, если он является равнобедренным или равносторонним. Для проверки необходимо сравнить длины его сторон:
$AB = \sqrt{116}$, $BC = \sqrt{97}$, $AC = \sqrt{205}$.
Так как все стороны имеют разную длину ($AB \neq BC \neq AC$), треугольник ABC является разносторонним. Разносторонний треугольник не имеет осей симметрии.
Ответ: Нет, треугольник ABC не обладает симметрией.

П.90. На координатной плоскости отметьте точку С(4; 4) и начертите отрезок DE, если D(–5; 5) и Е(–2; –3). Проведите через точку С прямую NK, перпендикулярную прямой DE, и прямую АР, параллельную прямой DE.

П.90

Для выполнения этого задания необходимо последовательно выполнить несколько шагов в декартовой системе координат.

1. Построение исходных элементов

Сначала на координатной плоскости отметим заданные точки. Точка $C$ имеет координаты $(4; 4)$. Точка $D$ имеет координаты $(-5; 5)$, а точка $E$ — $(-2; -3)$. Затем соединим точки $D$ и $E$ прямой линией, чтобы получить отрезок $DE$.

2. Аналитическое описание прямой DE

Чтобы построить параллельную и перпендикулярную прямые, нам нужно знать угловой коэффициент прямой, проходящей через точки $D$ и $E$. Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, можно найти по формуле:

$ \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} $

Подставим координаты точек $D(-5; 5)$ и $E(-2; -3)$:

$ \frac{y - 5}{-3 - 5} = \frac{x - (-5)}{-2 - (-5)} $

$ \frac{y - 5}{-8} = \frac{x + 5}{3} $

Теперь выразим $y$ через $x$, чтобы получить уравнение в виде $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент.

$ 3(y - 5) = -8(x + 5) $

$ 3y - 15 = -8x - 40 $

$ 3y = -8x - 25 $

$ y = -\frac{8}{3}x - \frac{25}{3} $

Таким образом, угловой коэффициент прямой $DE$ равен $k_{DE} = -\frac{8}{3}$.

Проведите через точку C прямую AP, параллельную прямой DE

Прямая $AP$ параллельна прямой $DE$, а значит, их угловые коэффициенты равны.$ k_{AP} = k_{DE} = -\frac{8}{3} $.Прямая $AP$ проходит через точку $C(4; 4)$. Используем уравнение прямой, проходящей через точку $(x_0, y_0)$ с известным угловым коэффициентом $k$: $y - y_0 = k(x - x_0)$.

$ y - 4 = -\frac{8}{3}(x - 4) $

$ y - 4 = -\frac{8}{3}x + \frac{32}{3} $

$ y = -\frac{8}{3}x + \frac{32}{3} + 4 $

$ y = -\frac{8}{3}x + \frac{32}{3} + \frac{12}{3} $

$ y = -\frac{8}{3}x + \frac{44}{3} $

Это уравнение прямой $AP$. Для построения нужно провести прямую через точку $C(4; 4)$ так, чтобы она была параллельна отрезку $DE$.

Ответ: Прямая $AP$, проходящая через точку $C(4;4)$ и параллельная прямой $DE$, задается уравнением $y = -\frac{8}{3}x + \frac{44}{3}$.

Проведите через точку C прямую NK, перпендикулярную прямой DE

Прямая $NK$ перпендикулярна прямой $DE$. Условие перпендикулярности двух прямых — произведение их угловых коэффициентов равно $-1$.

$ k_{NK} \cdot k_{DE} = -1 $

$ k_{NK} \cdot (-\frac{8}{3}) = -1 $

$ k_{NK} = \frac{3}{8} $

Прямая $NK$ также проходит через точку $C(4; 4)$. Используем ту же формулу $y - y_0 = k(x - x_0)$:

$ y - 4 = \frac{3}{8}(x - 4) $

$ y - 4 = \frac{3}{8}x - \frac{12}{8} $

$ y - 4 = \frac{3}{8}x - \frac{3}{2} $

$ y = \frac{3}{8}x - \frac{3}{2} + 4 $

$ y = \frac{3}{8}x - \frac{3}{2} + \frac{8}{2} $

$ y = \frac{3}{8}x + \frac{5}{2} $

Это уравнение прямой $NK$. Для построения нужно провести прямую через точку $C(4; 4)$ под прямым углом к отрезку $DE$.

Ответ: Прямая $NK$, проходящая через точку $C(4;4)$ и перпендикулярная прямой $DE$, задается уравнением $y = \frac{3}{8}x + \frac{5}{2}$.

П.91. На координатной плоскости постройте треугольник АВС с вершинами А(–3; –6), В(2; –4) и С(–3; –4). Используя рисунок, найдите координаты точек, в которых стороны треугольника пересекают оси координат.

П.91

(0; -4) и (0; -4,7) – точки пересечения с осью у

точек пересечения с осью х нет

Для решения задачи сначала построим треугольник $ABC$ на координатной плоскости, отметив вершины в заданных координатах: $A(-3; -6)$, $B(2; -4)$ и $C(-3; -4)$. Соединив точки отрезками, получим треугольник. Далее, используя аналитические методы, найдем точки, в которых его стороны пересекают оси координат $Ox$ и $Oy$.

Рассмотрим сторону AC. Вершины $A(-3; -6)$ и $C(-3; -4)$ имеют одинаковую абсциссу $x=-3$. Это означает, что сторона $AC$ лежит на вертикальной прямой $x=-3$. Эта прямая параллельна оси ординат ($Oy$) и, следовательно, не пересекает ее. Ординаты точек на отрезке $AC$ изменяются от $-6$ до $-4$. Поскольку ось абсцисс ($Ox$) соответствует уравнению $y=0$, а $0$ не входит в диапазон $[-6; -4]$, сторона $AC$ не пересекает и ось $Ox$. Таким образом, сторона $AC$ не имеет точек пересечения с осями координат.

Рассмотрим сторону BC. Вершины $B(2; -4)$ и $C(-3; -4)$ имеют одинаковую ординату $y=-4$. Это означает, что сторона $BC$ лежит на горизонтальной прямой $y=-4$. Эта прямая параллельна оси абсцисс ($Ox$) и не пересекает ее. Для нахождения точки пересечения с осью ординат ($Oy$) нужно найти точку на отрезке с абсциссой $x=0$. Абсциссы точек на отрезке $BC$ находятся в диапазоне от $-3$ до $2$. Так как $0$ входит в диапазон $[-3; 2]$, сторона $BC$ пересекает ось $Oy$. Координаты этой точки $(0; -4)$.

Рассмотрим сторону AB. Для нахождения точек пересечения составим уравнение прямой, проходящей через точки $A(-3; -6)$ и $B(2; -4)$. Используем уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$. Подставив координаты точек $A$ и $B$, получим:
$\frac{x - (-3)}{2 - (-3)} = \frac{y - (-6)}{-4 - (-6)}$, что упрощается до $\frac{x + 3}{5} = \frac{y + 6}{2}$.
Выразим $y$ из этого уравнения: $2(x + 3) = 5(y + 6) \implies 2x + 6 = 5y + 30 \implies 5y = 2x - 24 \implies y = \frac{2}{5}x - \frac{24}{5}$, или $y = 0.4x - 4.8$.
Для нахождения точки пересечения с осью $Oy$ (осью ординат) подставим $x=0$ в уравнение: $y = 0.4 \cdot 0 - 4.8 = -4.8$. Получаем точку с координатами $(0; -4.8)$. Проверим, принадлежит ли она отрезку $AB$: абсцисса $x=0$ лежит в интервале $[-3; 2]$, и ордината $y=-4.8$ лежит в интервале $[-6; -4]$. Значит, точка $(0; -4.8)$ является точкой пересечения стороны $AB$ с осью $Oy$.
Для нахождения точки пересечения с осью $Ox$ (осью абсцисс) подставим $y=0$: $0 = 0.4x - 4.8$, откуда $x=12$. Точка пересечения прямой с осью — $(12; 0)$. Так как абсцисса $x=12$ не лежит в интервале $[-3; 2]$, сторона $AB$ не пересекает ось $Ox$.

Таким образом, стороны треугольника пересекают только ось ординат в двух точках.
Ответ: точки пересечения с осями координат имеют координаты $(0; -4)$ и $(0; -4.8)$.

П.92. Отметьте на координатной плоскости точку М(0; 6). Проведите окружность с центром М радиусом 10 единичных отрезков. Используя рисунок, найдите координаты точек пересечения окружности с осями координат.

П.92

(0; -4) и (0; 16) – точки пересечения с осью у

(-8; 0) и (8; 0) – точки пересечения с осью х

Сначала отметим на координатной плоскости точку $M(0; 6)$. Эта точка лежит на оси ординат (OY) на 6 единиц выше начала координат.

Затем проведем окружность с центром в точке $M$ и радиусом $R = 10$. Чтобы найти точки пересечения этой окружности с осями координат, как того требует условие "используя рисунок", рассмотрим каждую ось по отдельности.

Координаты точек пересечения окружности с осью ординат (OY)
Центр окружности $M(0; 6)$ уже лежит на оси OY. Точки пересечения окружности с этой осью также будут лежать на ней, одна на расстоянии радиуса "вверх" от центра, а другая "вниз".
Координата $y$ верхней точки пересечения: $y_{верх} = y_M + R = 6 + 10 = 16$.
Координата $y$ нижней точки пересечения: $y_{низ} = y_M - R = 6 - 10 = -4$.
Поскольку обе точки лежат на оси OY, их координата $x$ равна 0.
Ответ: Точки пересечения с осью OY: $(0; 16)$ и $(0; -4)$.

Координаты точек пересечения окружности с осью абсцисс (OX)
Пусть точка пересечения с осью OX имеет координаты $(x; 0)$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, вершинами которого являются центр окружности $M(0; 6)$, начало координат $O(0; 0)$ и точка пересечения на оси OX, назовем ее $A(x; 0)$. В этом треугольнике $OMA$ катет $OM$ — это расстояние от начала координат до центра по оси OY, его длина равна 6. Катет $OA$ — это расстояние от начала координат до точки пересечения по оси OX, его длина равна $|x|$. Гипотенуза $MA$ — это радиус окружности, ее длина равна 10.
По теореме Пифагора: $OM^2 + OA^2 = MA^2$.
$6^2 + x^2 = 10^2$
$36 + x^2 = 100$
$x^2 = 100 - 36$
$x^2 = 64$
$x = \pm\sqrt{64}$, то есть $x_1 = 8$ и $x_2 = -8$.
Поскольку обе точки лежат на оси OX, их координата $y$ равна 0.
Ответ: Точки пересечения с осью OX: $(8; 0)$ и $(-8; 0)$.

П.93. Найдите корень уравнения:
а) 0,8 · (9 + 2х) = 0,5 · (2 – Зх);
б) 0,5 · (х + 3) = 0,8 · (10 – х);
в) 4,2 : 12,6 = z : 67;
г) n : 10 = 137 : 557.

П.93

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }0,8 · (9 + 2\mathrm{х}) = 0,5 · (2 – 3\mathrm{х}); \\ 7,2 + 1,6\mathrm{х} = 1 – 1,5\mathrm{х}; \\ 1,6\mathrm{х} + 1,5\mathrm{х} = 1 – 7,2; \\ 3,1\mathrm{х} = -6,2; \\ \mathrm{х} = -6,2 : 3,1; \\ \mathrm{х} = -62 : 31; \\ \mathrm{х} = -2. \\ \mathrm{Ответ}: -2. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)} 0,5 · (\mathrm{х} + 3) = 0,8 · (10 – \mathrm{х}); \\ 0,5\mathrm{х} + 1,5 = 8 – 0,8\mathrm{х}; \\ 0,5\mathrm{х} + 0,8\mathrm{х} = 8 – 1,5; \\ 1,3\mathrm{х} = 6,5; \\ \mathrm{х} = 6,5 : 1,3; \\ \mathrm{х} = 65 : 13; \\ \mathrm{х} = 5. \\ \mathrm{Ответ}: 5. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }4,2 : 12,6 = \mathrm{z} : \frac{6}{7}; \\ 12,6\mathrm{z} = 4,2 · \frac{6}{7}; \\ \mathrm{z} = \frac{{\displaystyle \stackrel{0,6}{\cancel{4,2}}} · {\displaystyle \frac{6}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}}}}{12,6}; \\ \mathrm{z} = \frac{0,6 · {\displaystyle \frac{6}{1}}}{12,6}; \\ \mathrm{z} = \frac{3,6}{12,6}; \\ \mathrm{z} = \frac{36}{126}; \\ \mathrm{z} = \frac{2}{7}. \\ \mathrm{Ответ}: \frac{2}{7}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)} \mathrm{n} : 10 = 1\frac{3}{7} : 5\frac{5}{7}; \\ \mathrm{n} · 5\frac{5}{7} = 10 · 1\frac{3}{7}; \\ \mathrm{n} = \frac{10 · 1{\displaystyle \frac{3}{7}}}{{\displaystyle \frac{40}{7}}}; \\ \mathrm{n} = \frac{10 · {\displaystyle \frac{10}{7}}}{{\displaystyle \frac{40}{7}}}; \\ \mathrm{n} = \frac{ \frac{100}{7}}{{\displaystyle \frac{40}{7}}}; \\ \mathrm{n} = \frac{{\displaystyle \stackrel{10}{\cancel{100}}}}{\bcancel{7}} · \frac{\bcancel{7}}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{40}}}}; \\ \mathrm{n} = \frac{10}{1} · \frac{1}{4}; \\ \mathrm{n} = \frac{10}{4}; \\ \mathrm{n} = 2,5. \\ \mathrm{Ответ}: 2,5 \end{gathered}$$

а) $0,8 \cdot (9 + 2x) = 0,5 \cdot (2 - 3x)$
Первым шагом раскроем скобки в обеих частях уравнения, умножив число перед скобкой на каждый член внутри скобки:
$0,8 \cdot 9 + 0,8 \cdot 2x = 0,5 \cdot 2 - 0,5 \cdot 3x$
$7,2 + 1,6x = 1 - 1,5x$
Теперь перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а постоянные слагаемые (числа) — в правую. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный:
$1,6x + 1,5x = 1 - 7,2$
Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:
$3,1x = -6,2$
Чтобы найти корень уравнения, разделим обе части на коэффициент при $x$, то есть на $3,1$:
$x = \frac{-6,2}{3,1}$
$x = -2$
Ответ: $-2$.

б) $0,5 \cdot (x + 3) = 0,8 \cdot (10 - x)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$0,5 \cdot x + 0,5 \cdot 3 = 0,8 \cdot 10 - 0,8 \cdot x$
$0,5x + 1,5 = 8 - 0,8x$
Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:
$0,5x + 0,8x = 8 - 1,5$
Сложим подобные члены:
$1,3x = 6,5$
Найдем $x$, разделив правую часть на коэффициент при $x$:
$x = \frac{6,5}{1,3}$
$x = 5$
Ответ: $5$.

в) $4,2 : 12,6 = z : \frac{6}{7}$
Это уравнение представляет собой пропорцию. Согласно основному свойству пропорции, произведение крайних членов равно произведению средних членов. Запишем это свойство для нашего уравнения:
$4,2 \cdot \frac{6}{7} = 12,6 \cdot z$
Чтобы найти неизвестный средний член пропорции $z$, нужно произведение крайних членов разделить на известный средний член:
$z = \frac{4,2 \cdot \frac{6}{7}}{12,6}$
Упростим выражение. Заметим, что $12,6 = 3 \cdot 4,2$. Сократим дробь на $4,2$:
$z = \frac{\frac{6}{7}}{3}$
$z = \frac{6}{7} : 3 = \frac{6}{7} \cdot \frac{1}{3} = \frac{6}{21}$
Сократим полученную дробь на $3$:
$z = \frac{2}{7}$
Ответ: $\frac{2}{7}$.

г) $n : 10 = 1\frac{3}{7} : 5\frac{5}{7}$
Это также пропорция. Для удобства решения преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$1\frac{3}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{10}{7}$
$5\frac{5}{7} = \frac{5 \cdot 7 + 5}{7} = \frac{35+5}{7} = \frac{40}{7}$
Подставим полученные дроби в исходную пропорцию:
$n : 10 = \frac{10}{7} : \frac{40}{7}$
Применим основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$n \cdot \frac{40}{7} = 10 \cdot \frac{10}{7}$
$n \cdot \frac{40}{7} = \frac{100}{7}$
Чтобы найти $n$, умножим обе части уравнения на $\frac{7}{40}$:
$n = \frac{100}{7} \cdot \frac{7}{40}$
$n = \frac{100}{40} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2,5$
Ответ: $2,5$.

П.94. Сколько получится сухофруктов из 3944,5 кг яблок, если при сушке получают 18 % сухофруктов? (Ответ округлите до целых.)

П.94

18% = 0,18

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }3944,5 · 0,18 = 710,01 (\mathrm{кг}) \approx 710$ (кг) – получится сухофруктов

Ответ: 710 кг

Для того чтобы найти массу сухофруктов, необходимо вычислить 18% от общей массы яблок.

1. Сначала переведем процентное значение в десятичную дробь. Для этого разделим число процентов на 100.
$18\% = \frac{18}{100} = 0,18$

2. Теперь умножим исходную массу яблок на полученную десятичную дробь, чтобы найти массу сухофруктов.
Масса яблок = $3944,5$ кг.
Масса сухофруктов = $3944,5 \times 0,18$
$3944,5 \times 0,18 = 710,01$ кг.

3. В условии задачи указано, что ответ необходимо округлить до целых. Округляем полученное значение $710,01$ до ближайшего целого числа. Так как первая цифра после запятой (0) меньше 5, округляем в меньшую сторону, то есть отбрасываем дробную часть.
$710,01 \approx 710$

Ответ: 710 кг.

П.95. В обувном магазине обувь для детей составляет 49,6 % всех пар обуви. Остальная обувь для взрослых. Сколько всего пар обуви в магазине, если для взрослых 1008 пар?

П.95

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }100\% – 49,6\% = 50,4\% = 0,504$- составляют пары для взрослых;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }1008 : 0,504 = 1008000 : 504 = 2000$ (пар) – обуви в магазине.

Ответ: 2000 пар.

1. Сначала определим, какую часть в процентах составляет взрослая обувь. Все пары обуви в магазине — это 100%. Если на детскую обувь приходится 49,6%, то на взрослую остается:

$100\% - 49,6\% = 50,4\%$

2. Теперь мы знаем, что 1008 пар взрослой обуви составляют 50,4% от общего количества обуви в магазине. Обозначим общее количество пар обуви за $x$. Чтобы найти общее количество (100%), составим пропорцию:

$1008 \text{ пар} - 50,4\%$

$x \text{ пар} - 100\%$

3. Из пропорции найдем значение $x$:

$x = \frac{1008 \cdot 100}{50,4}$

Выполним вычисление:

$x = \frac{100800}{50,4} = \frac{1008000}{504}$

Так как $1008 : 504 = 2$, то $1008000 : 504 = 2000$.

$x = 2000$

Таким образом, всего в магазине 2000 пар обуви.

Ответ: 2000 пар.

П.96. Туристы шли по лесу 50 % маршрута, 13 % – по лугу, а остальные 22,2 км плыли по реке. Сколько километров маршрута составлял маршрут по лесу и сколько по лугу?

П.96

По лесу – ? км, 50% = 0,5

По лугу – ? км, 13% = 0,13

По реке – 22,2 км

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }100\% – (50\% + 13\%) = 37\%$ маршрута – плыли туристы по реке;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ } 22,2 : 0,37 = 2220 : 37 = 60$ (км) – длина маршрута;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ } 60 · 0,5 = 30$ (км) – шли по лесу;

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ } 60 · 0,13 = 7,8$ (км) – шли по лугу.

Ответ: 30 км по лесу и 7,8 км по лугу.

Для решения задачи сначала необходимо найти общую длину всего маршрута. Затем, зная общую длину, можно будет вычислить протяженность участков пути по лесу и по лугу.

1. Определим, какую часть маршрута в процентах составляет путь по реке. Весь маршрут принимаем за 100%.
Суммарная процентная доля пути по лесу и лугу: $50\% + 13\% = 63\%$.
Следовательно, на путь по реке приходится: $100\% - 63\% = 37\%$.

2. Из условия известно, что 22,2 км, которые туристы проплыли по реке, составляют 37% всего маршрута. Обозначим общую длину маршрута за $L$. Тогда:
$0.37 \cdot L = 22.2 \text{ км}$
Найдем общую длину маршрута:
$L = \frac{22.2}{0.37} = \frac{2220}{37} = 60 \text{ км}$.
Итак, общая длина маршрута составляет 60 км.

Теперь мы можем ответить на вопросы задачи.

Сколько километров маршрута составлял маршрут по лесу
Путь по лесу составляет 50% от общей длины маршрута.
$60 \text{ км} \cdot 50\% = 60 \text{ км} \cdot 0.50 = 30 \text{ км}$.
Ответ: маршрут по лесу составлял 30 км.

Сколько по лугу
Путь по лугу составляет 13% от общей длины маршрута.
$60 \text{ км} \cdot 13\% = 60 \text{ км} \cdot 0.13 = 7.8 \text{ км}$.
Ответ: маршрут по лугу составлял 7,8 км.

П.97. Типография в первый день напечатала 40 % всех книг из заказа, во второй день – 15 % всех книг, в третий день – остальные 135 книг. Сколько книг напечатала типография в первый день?

П.97

1 день – ? книг, 40% = 0,4

2 день – 15% = 0,15

3 день – 135 книг

$\mathbf{1}\mathbf{)} 100\% – (40\% + 15\%) = 45\%=0,45$ всех книг – напечатали в третий день;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }135 : 0,45 = 13500 : 45 = 300$ (к) – всего напечатали;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 300 · 0,4 = 120$ (к) – напечатали в первый день.

Ответ: 120 книг

Для решения задачи сначала определим, какая часть заказа в процентах была выполнена в третий день. Известно, что в первый день было напечатано $40\%$ заказа, а во второй — $15\%$. Суммарно за два дня было выполнено:
$40\% + 15\% = 55\%$

Весь заказ составляет $100\%$. Следовательно, на третий день оставалось напечатать:
$100\% - 55\% = 45\%$

По условию, эти $45\%$ составляют 135 книг. Теперь мы можем найти общее количество книг в заказе. Обозначим общее количество книг за $x$. Тогда можно составить уравнение:
$0.45 \cdot x = 135$
Найдем $x$:
$x = \frac{135}{0.45} = \frac{13500}{45} = 300$
Таким образом, всего в заказе было 300 книг.

Теперь, зная общее количество книг, мы можем найти, сколько книг напечатала типография в первый день. Это $40\%$ от всего заказа:
$300 \cdot 0.40 = 120$ книг.

Ответ: 120 книг.