Страница 132, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

3.63. Найдите, зависимость между какими величинами прямо пропорциональная, обратно пропорциональная, а между какими не является пропорциональной:

а) время движения поезда и пройденный за это время путь при постоянной скорости;
б) количество одинакового товара и его стоимость;
в) число рабочих одинаковой квалификации и время выполнения определённой работы;
г) масса деревянного бруска и его длина;
д) время работы снегоуборочной техники и число единиц одинаковой техники;
е) цена товара и его количество при определённой сумме покупки;
ж) возраст человека и его рост;
з) площадь квадрата и длина его стороны;
и) высота прямоугольного параллелепипеда и его объём при постоянной площади основания;
к) урожайность зерна с 1 га и масса зерна при постоянной площади посева;
л) множители при данном произведении;
м) делимое и делитель при данном частном.

3.63

а) прямо пропорциональная зависимость;

б) прямо пропорциональная зависимость;

в) обратно пропорциональная зависимость;

г) не является, так как масса бруска зависит не только от длины, но и от высоты и ширины;

д) обратно пропорциональная зависимость;

е) обратно пропорциональная зависимость;

ж) не является;

з) прямо пропорциональная зависимость;

и) прямо пропорциональная зависимость;

к) прямо пропорциональная зависимость;

л) прямо пропорциональная зависимость;

м) обратно пропорциональная зависимость.

а) время движения поезда и пройденный за это время путь при постоянной скорости

Обозначим время движения как $t$, пройденный путь как $S$ и постоянную скорость как $v$. Связь между этими величинами выражается формулой $S = v \cdot t$. Поскольку скорость $v$ постоянна, то отношение пути ко времени также постоянно: $S/t = v$. Это означает, что при увеличении времени в несколько раз, пройденный путь увеличивается во столько же раз. Следовательно, зависимость прямо пропорциональная.
Ответ: прямо пропорциональная.

б) количество одинакового товара и его стоимость

Пусть $n$ — количество товара, $C$ — его стоимость, а $p$ — цена за единицу товара. Стоимость вычисляется по формуле $C = p \cdot n$. Так как товар одинаковый, его цена $p$ является постоянной величиной. Отношение стоимости к количеству постоянно: $C/n = p$. Это прямая пропорциональность: чем больше товара мы покупаем, тем больше будет его общая стоимость.
Ответ: прямо пропорциональная.

в) число рабочих одинаковой квалификации и время выполнения определённой работы

Пусть $N$ — число рабочих, $t$ — время выполнения работы, а $A$ — общий объем работы. Если производительность одного рабочего равна $p$, то общая производительность $N$ рабочих составляет $N \cdot p$. Объем работы равен произведению общей производительности на время: $A = (N \cdot p) \cdot t$. Поскольку объем работы $A$ и квалификация (а значит, и производительность $p$) постоянны, то произведение числа рабочих на время является постоянной величиной: $N \cdot t = A/p = \text{const}$. Это означает, что при увеличении числа рабочих в несколько раз, время на выполнение той же работы уменьшается во столько же раз. Это обратная пропорциональность.
Ответ: обратно пропорциональная.

г) масса деревянного бруска и его длина

Предположим, что брусок однородный, то есть имеет постоянную плотность $\rho$ и постоянную площадь поперечного сечения $S$. Масса $m$ бруска связана с его объемом $V$ и плотностью $\rho$ формулой $m = \rho \cdot V$. Объем, в свою очередь, равен произведению площади поперечного сечения $S$ на длину $L$: $V = S \cdot L$. Тогда $m = \rho \cdot S \cdot L$. Так как для одного и того же типа бруска величины $\rho$ и $S$ постоянны, то отношение массы к длине постоянно: $m/L = \rho \cdot S = \text{const}$. Это прямая пропорциональность.
Ответ: прямо пропорциональная.

д) время работы снегоуборочной техники и число единиц одинаковой техники

Эта ситуация аналогична пункту "в". Пусть $t$ — время работы, $N$ — число единиц техники. Объем работы $A$ (например, площадь, которую нужно очистить) постоянен. Производительность одной единицы техники $p$ также постоянна. Связь между величинами: $A = (N \cdot p) \cdot t$. Отсюда получаем, что произведение числа единиц техники на время постоянно: $N \cdot t = A/p = \text{const}$. Это обратная пропорциональность. Чем больше техники работает, тем меньше времени требуется на выполнение работы.
Ответ: обратно пропорциональная.

е) цена товара и его количество при определённой сумме покупки

Пусть $p$ — цена товара, $n$ — его количество, а $C$ — общая сумма покупки. Связь между ними: $C = p \cdot n$. По условию, сумма покупки $C$ является определённой, то есть постоянной. Следовательно, произведение цены на количество является постоянной величиной: $p \cdot n = C = \text{const}$. Если цена товара увеличится, то на ту же сумму можно будет купить меньшее количество товара. Это обратная пропорциональность.
Ответ: обратно пропорциональная.

ж) возраст человека и его рост

Рост человека не изменяется пропорционально его возрасту. В детстве и юности человек растет, затем рост останавливается и в старости может даже немного уменьшиться. Например, человек в 20 лет не в два раза выше, чем в 10 лет. Отношение роста к возрасту $H/A$ не является постоянной величиной, как и их произведение $H \cdot A$.
Ответ: не является пропорциональной.

з) площадь квадрата и длина его стороны

Пусть $S$ — площадь квадрата, а $a$ — длина его стороны. Формула площади: $S = a^2$. Проверим на прямую пропорциональность: отношение $S/a = a^2/a = a$. Это отношение не постоянно, а зависит от $a$. Проверим на обратную пропорциональность: произведение $S \cdot a = a^2 \cdot a = a^3$. Это произведение также не постоянно. Зависимость является квадратичной, а не пропорциональной. Если увеличить сторону в 2 раза, площадь увеличится в $2^2 = 4$ раза.
Ответ: не является пропорциональной.

и) высота прямоугольного параллелепипеда и его объём при постоянной площади основания

Обозначим высоту как $h$, объем как $V$ и площадь основания как $S_{осн}$. Формула для объема: $V = S_{осн} \cdot h$. По условию, площадь основания $S_{осн}$ постоянна. Тогда отношение объема к высоте постоянно: $V/h = S_{осн} = \text{const}$. Это прямая пропорциональность: во сколько раз увеличится высота, во столько же раз увеличится и объем.
Ответ: прямо пропорциональная.

к) урожайность зерна с 1 га и масса зерна при постоянной площади посева

Пусть $U$ — урожайность (масса зерна с единицы площади, например, т/га), $M$ — общая масса собранного зерна, $A$ — площадь посева. По определению, $U = M/A$, откуда $M = U \cdot A$. Поскольку площадь посева $A$ постоянна, то отношение общей массы зерна к урожайности является постоянной величиной: $M/U = A = \text{const}$. Это прямая пропорциональность. Если урожайность увеличится вдвое, то и масса зерна с той же площади увеличится вдвое.
Ответ: прямо пропорциональная.

л) множители при данном произведении

Пусть $a$ и $b$ — множители, а $P$ — их произведение. Связь между ними: $a \cdot b = P$. По условию, произведение $P$ дано, то есть является постоянной величиной. Следовательно, $a \cdot b = \text{const}$. Это определение обратной пропорциональности. Если один множитель увеличить, то другой нужно уменьшить во столько же раз, чтобы произведение осталось неизменным.
Ответ: обратно пропорциональная.

м) делимое и делитель при данном частном

Пусть $a$ — делимое, $b$ — делитель, а $q$ — частное. Связь между ними: $a / b = q$. По условию, частное $q$ дано, то есть является постоянной величиной. Следовательно, $a/b = q = \text{const}$. Это определение прямой пропорциональности. Чтобы частное оставалось неизменным, при увеличении делителя во столько же раз должно быть увеличено и делимое.
Ответ: прямо пропорциональная.

Решите задачи 3.64—3.75. используя пропорцию.

3.64. Труба длиной 2,5 м имеет массу 11,8 кг. Найдите массу такой же трубы длиной 4 м.

3.64

$\frac{2,5}{4} = \frac{11,8}{х}$

$$\begin{gathered} х = 4 · 11,8 : 2,5; \\ х = 47,2 : 2,5; \\ х = 472 : 25. \end{gathered}$$

х = 18,88 (кг) – масса трубы длиной 4 м

Ответ: 18,88 кг.

3.64

В данной задаче масса трубы прямо пропорциональна ее длине. Это означает, что во сколько раз увеличивается длина трубы, во столько же раз увеличивается и ее масса. Мы можем использовать пропорцию для нахождения неизвестной массы.

Обозначим массу трубы длиной 4 м за $x$ кг.

Составим соответствие между длиной трубы и ее массой:

Длина 2,5 м соответствует массе 11,8 кг.

Длина 4 м соответствует массе $x$ кг.

Теперь составим пропорцию, приравнивая отношения длины к массе:

$\frac{2,5}{11,8} = \frac{4}{x}$

Чтобы решить эту пропорцию, воспользуемся ее основным свойством: произведение крайних членов равно произведению средних членов.

$2,5 \cdot x = 4 \cdot 11,8$

Сначала вычислим произведение в правой части уравнения:

$4 \cdot 11,8 = 47,2$

Теперь наше уравнение выглядит так:

$2,5x = 47,2$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2,5:

$x = \frac{47,2}{2,5}$

Для удобства деления на десятичную дробь, умножим и числитель, и знаменатель на 10:

$x = \frac{47,2 \cdot 10}{2,5 \cdot 10} = \frac{472}{25}$

Теперь выполним деление:

$x = 18,88$

Следовательно, масса трубы длиной 4 м составляет 18,88 кг.

Ответ: 18,88 кг.

3.65. Из 25,5 м шерстяной ткани пошили 15 юбок. Сколько ткани нужно для 5 таких юбок?

3.65

$$\begin{gathered} \frac{25,5}{х} = \frac{15}{5}; \\ х = \frac{25,5 · {\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{15}}}}; \\ х = \frac{25,5}{3}; \end{gathered}$$

х = 8,5 (м)- потребуется на 5 юбок.

Ответ: 8,5м.

Данную задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: Через нахождение расхода на одну юбку

1. Сначала вычислим, сколько метров ткани требуется для пошива одной юбки. Для этого общее количество ткани разделим на количество пошитых из нее юбок:
$25,5 \div 15 = 1,7$ (м)
Таким образом, на одну юбку уходит 1,7 метра ткани.

2. Теперь, зная расход на одну юбку, найдем, сколько ткани необходимо для пошива 5 таких юбок. Для этого умножим расход на одну юбку на 5:
$1,7 \times 5 = 8,5$ (м)

Ответ: для 5 таких юбок нужно 8,5 м ткани.

Способ 2: С помощью пропорции

1. Составим пропорцию. Пусть $x$ — это количество ткани, необходимое для 5 юбок.
15 юбок — 25,5 м ткани
5 юбок — $x$ м ткани
Из этой зависимости получаем пропорцию:
$\frac{15}{5} = \frac{25,5}{x}$

2. Решим полученное уравнение относительно $x$:
$15 \cdot x = 5 \cdot 25,5$
$15x = 127,5$
$x = \frac{127,5}{15}$
$x = 8,5$ (м)
Также можно было заметить, что количество юбок уменьшилось в $15 \div 5 = 3$ раза, следовательно, и ткани потребуется в 3 раза меньше: $25,5 \div 3 = 8,5$ м.

Ответ: для 5 таких юбок нужно 8,5 м ткани.

3.66. Шесть станков штампуют нужное количество деталей за 9 ч. За сколько часов штампуют такое же количество деталей 9 таких же станков?

3.66

$$\begin{gathered} \frac{х}{9} = \frac{6}{9}. \\ х = \frac{6 · \cancel{9}}{\cancel{9}}; \end{gathered}$$

х = 6 (ч) - штампуют 9 станков.

Ответ: за 6 ч.

Эта задача на обратную пропорциональность. Количество станков и время, затрачиваемое на выполнение фиксированного объема работы, являются обратно пропорциональными величинами. Это значит, что если увеличить количество станков, то время на выполнение работы уменьшится, и наоборот.

Пусть $N_1=6$ — начальное количество станков, а $T_1=9$ ч — время их работы.
Пусть $N_2=9$ — новое количество станков, а $T_2$ — искомое время их работы.

Поскольку объем работы постоянен, произведение количества станков на время работы также является постоянной величиной. Эту величину можно назвать общим объемом работы, выраженным в "станко-часах".
Математически это записывается как:
$ N_1 \times T_1 = N_2 \times T_2 $

Шаг 1: Найдем общий объем работы.
Общий объем работы, необходимый для изготовления нужного количества деталей, составляет:
$ 6 \text{ станков} \times 9 \text{ часов} = 54 \text{ станко-часа} $

Шаг 2: Найдем время для 9 станков.
Теперь этот же объем работы (54 станко-часа) должны выполнить 9 станков. Чтобы найти время $T_2$, которое им потребуется, подставим известные значения в нашу формулу:
$ 9 \text{ станков} \times T_2 = 54 \text{ станко-часа} $
Решим уравнение относительно $T_2$:
$ T_2 = \frac{54 \text{ станко-часа}}{9 \text{ станков}} $
$ T_2 = 6 \text{ часов} $

Таким образом, 9 таких же станков справятся с работой за 6 часов.

Ответ: 6 часов.

3.67. Из города А в город В турист ехал на машине 6,5 ч со скоростью 56 км/ч. Сколько времени потратил бы турист, двигаясь со скоростью 65 км/ч?

3.67

$$\begin{gathered} \frac{6,5}{х} = \frac{65}{56} \\ х = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{6,5 }}}· 56}{{\displaystyle \underset{10}{\cancel{65}}}} = \frac{56}{10} \end{gathered}$$

х = 5,6 (ч) - потратил турист

Ответ: 5,6 ч.

Для решения этой задачи необходимо выполнить два основных действия. Сначала мы определим расстояние между городами А и В, а затем, используя это расстояние, вычислим время, которое потребуется туристу при движении с новой скоростью.

1. Нахождение расстояния между городами А и В.
Расстояние ($S$) вычисляется как произведение скорости ($v$) на время ($t$). По условию задачи, первоначальные данные таковы:
Скорость $v_1 = 56$ км/ч.
Время $t_1 = 6,5$ ч.
Подставим эти значения в формулу расстояния $S = v_1 \cdot t_1$:
$S = 56 \text{ км/ч} \cdot 6,5 \text{ ч} = 364$ км.

2. Расчет времени в пути с новой скоростью.
Теперь мы знаем, что расстояние между городами составляет 364 км. Найдем время ($t_2$), которое понадобится для его преодоления с новой скоростью $v_2 = 65$ км/ч.
Время вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$.
Подставим известные значения:
$t_2 = \frac{364 \text{ км}}{65 \text{ км/ч}} = 5,6$ ч.

Ответ: 5,6 ч.

3.68. Из 364 выпускников музыкальной школы 91 хочет продолжить образование. Какой процент выпускников хочет продолжить музыкальное образование?

3.68

$$\begin{gathered} \frac{364}{91} = \frac{100\%}{х} \\ х = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{91}}} · 100\%}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{364}}}} = \frac{1 · 100\%}{4} \end{gathered}$$

х = 25%.

Ответ: 25%.

Чтобы определить, какой процент выпускников хочет продолжить музыкальное образование, нужно найти отношение числа желающих продолжить образование к общему числу выпускников и выразить это отношение в процентах.

Общее количество выпускников музыкальной школы — 364 человека. Это составляет 100%.

Количество выпускников, которые хотят продолжить образование — 91 человек.

Чтобы найти процент, можно использовать следующую формулу:

$\text{Процент} = \frac{\text{часть}}{\text{целое}} \cdot 100\%$

Подставим в формулу наши значения:

$\text{Процент} = \frac{91}{364} \cdot 100\%$

Сначала вычислим отношение $\frac{91}{364}$. Можно сократить эту дробь. Заметим, что и числитель, и знаменатель делятся на 91:

$91 \div 91 = 1$

$364 \div 91 = 4$

Таким образом, получаем дробь:

$\frac{91}{364} = \frac{1}{4}$

Теперь умножим полученное значение на 100%, чтобы перевести его в проценты:

$\frac{1}{4} \cdot 100\% = 0.25 \cdot 100\% = 25\%$

Таким образом, 25% выпускников хотят продолжить свое музыкальное образование.

Ответ: 25%

3.69. При модернизации производства заменили 75 % станков. Сколько всего станков на производстве, если заменили 45 станков?

3.69

$$\begin{gathered} \frac{45}{х} = \frac{75}{100} \\ х = \frac{45 · {\displaystyle \stackrel{4}{\cancel{100}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{75}}}} = \frac{{\displaystyle \stackrel{15}{\cancel{45}}} · 4}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} = \frac{15 · 4}{1} \end{gathered}$$

х = 60 (станков) - было всего.

Ответ: 60 станков.

Пусть $x$ — это общее количество станков на производстве. Согласно условию задачи, 75% от этого общего количества составляют 45 станков.

Для решения задачи необходимо найти целое число ($x$) по его известной части (45) и проценту, который эта часть составляет (75%).

Способ 1: Через составление пропорции

Составим пропорцию, где общее количество станков $x$ — это 100%, а 45 станков — это 75%.

45 станков — 75%

$x$ станков — 100%

Из этой пропорции получаем уравнение:

$\frac{45}{x} = \frac{75}{100}$

Выразим $x$:

$x = \frac{45 \cdot 100}{75}$

Сократим дробь $\frac{100}{75}$ на 25:

$x = 45 \cdot \frac{4}{3}$

Теперь выполним вычисление:

$x = \frac{45 \cdot 4}{3} = 15 \cdot 4 = 60$

Способ 2: Через десятичную дробь

Сначала переведем проценты в десятичную дробь:

$75\% = \frac{75}{100} = 0.75$

Теперь составим уравнение, где произведение общего числа станков $x$ на долю 0.75 равно 45:

$0.75 \cdot x = 45$

Чтобы найти $x$, разделим 45 на 0.75:

$x = \frac{45}{0.75}$

Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель на 100, чтобы избавиться от дроби в знаменателе:

$x = \frac{4500}{75} = 60$

Оба способа дают одинаковый результат. Всего на производстве 60 станков.

Ответ: 60 станков.

3.70. Из аэропорта вылетает 400 самолётов ежедневно. Из них 280 по внутренним рейсам. Какой процент внутренних рейсов и какой — международных?

3.70

$\frac{400}{280} = \frac{100}{х};$

$\mathbf{1}\mathbf{)} х = \frac{280 · {\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{100\%}}}}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{400}}}} = \frac{280 · 1\%}{4} =$

$= \frac{70 · 1\%}{1} = 70\%$ - внутренние рейсы.

$\mathbf{2}\mathbf{)} 100\% - 70\% = 30\%$- международные рейсы.

Ответ: 70%; 30%.

Какой процент внутренних рейсов

Для того чтобы найти процент, который составляют внутренние рейсы от их общего числа, необходимо составить пропорцию. Общее количество рейсов (400) мы принимаем за 100%.

Общее количество самолётов: 400.
Количество самолётов на внутренних рейсах: 280.

Составим и решим пропорцию, где $x$ — это искомый процент внутренних рейсов:
$400 \text{ самолётов} \space — \space 100\%$
$280 \text{ самолётов} \space — \space x\%$

$x = \frac{280 \times 100\%}{400} = \frac{28000}{400} = \frac{280}{4} = 70\%$

Ответ: 70% рейсов являются внутренними.

Какой процент международных рейсов

Сначала найдём количество международных рейсов. Для этого вычтем количество внутренних рейсов из общего числа рейсов.

$400 - 280 = 120$ (международных рейсов).

Теперь, зная количество международных рейсов (120), мы можем рассчитать их процентную долю от общего числа (400). Сделаем это с помощью пропорции, где $y$ — искомый процент:

$400 \text{ самолётов} \space — \space 100\%$
$120 \text{ самолётов} \space — \space y\%$

$y = \frac{120 \times 100\%}{400} = \frac{12000}{400} = \frac{120}{4} = 30\%$

В качестве проверки можно вычесть процент внутренних рейсов из 100%: $100\% - 70\% = 30\%$. Результаты совпадают.

Ответ: 30% рейсов являются международными.

3.71. На АвтоВАЗе было запланировано в год выпустить 300 000 автомобилей, однако план был выполнен на 115 %. Сколько автомобилей выпустил АвтоВАЗ?

3.71

$$\begin{gathered} \frac{300 000}{х} = \frac{100}{115}; \\ х = \frac{{\displaystyle \stackrel{3000}{\cancel{300 000} }}· 115}{ {\displaystyle \underset{1}{ \cancel{100\%}}}} = \frac{3000 · 115}{1} \end{gathered}$$

х = 345 000 (авто)- вырустил АвтоВАЗ.

Ответ:345000 автомобилей.

Для решения этой задачи необходимо найти фактическое количество выпущенных автомобилей, которое составляет 115% от запланированного количества в 300 000 автомобилей.

Способ 1: через нахождение части от числа
Сначала представим проценты в виде десятичной дроби. Для этого нужно разделить процентное число на 100:
$115\% = \frac{115}{100} = 1.15$
Теперь умножим запланированное количество автомобилей на полученную десятичную дробь, чтобы найти фактическое количество выпущенных автомобилей:
$300\;000 \times 1.15 = 345\;000$ (автомобилей).

Способ 2: через пропорцию
Составим пропорцию, где плановое количество (300 000) соответствует 100%, а искомое фактическое количество (обозначим его как $x$) — 115%:
300 000 автомобилей — 100%
$x$ автомобилей — 115%
Из этой пропорции можно выразить и найти $x$:
$\frac{x}{300\;000} = \frac{115}{100}$
$x = \frac{300\;000 \times 115}{100} = 3\;000 \times 115 = 345\;000$ (автомобилей).

Оба способа показывают, что АвтоВАЗ выпустил 345 000 автомобилей.

Ответ: 345 000 автомобилей.

3.72. За 3 месяца шахтёры отправили на коксоперерабатывающее предприятие 72 % запланированного угля. Сколько процентов запланированного количества угля отправят шахтёры за 5 месяцев, если будут работать с той же производительностью?

3.72

$$\begin{gathered} \frac{3}{5} = \frac{72}{х} \\ х = \frac{5 ·{\displaystyle \stackrel{24}{ \cancel{72}}}\%}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} = \frac{5 · 24\%}{1} \end{gathered}$$

х = 120% - отправят за 5 месяцев.

Ответ: 120%.

Для решения этой задачи сначала определим, какой процент запланированного угля шахтёры отправляют за один месяц. Это будет их производительность.

Известно, что за 3 месяца было отправлено 72% от плана. Чтобы найти производительность за 1 месяц, разделим общий выполненный процент на количество месяцев:

$72\\% \div 3 = 24\\%$

Таким образом, производительность шахтёров составляет 24% от запланированного количества угля в месяц.

Теперь, зная месячную производительность, мы можем вычислить, какой процент плана будет выполнен за 5 месяцев. Поскольку производительность остаётся той же, мы умножаем месячную производительность на 5:

$24\\% \times 5 = 120\\%$

Следовательно, за 5 месяцев работы с той же производительностью шахтёры отправят 120% запланированного количества угля.

Ответ: 120%.

3.73. За 5 дней было собрано 22,5 % всей пшеницы. Сколько дней потребуется, чтобы собрать 94,5 % всей пшеницы?

3.73

$$\begin{gathered} \frac{5}{х} = \frac{22,5}{94,5} \\ х = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{5} }}· 94,5\%}{{\displaystyle \underset{4,5}{\cancel{22,5}\%}}} = \frac{1 · {\displaystyle \stackrel{21}{\cancel{945}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{45}}}} = \frac{1 · 21}{1} \end{gathered}$$

х = 21 (день)- потребуется дней.

Ответ: 21 день.

Для решения этой задачи предположим, что производительность сбора пшеницы постоянна. Это означает, что количество собранной пшеницы прямо пропорционально количеству дней работы. Задачу можно решить с помощью пропорции.

Пусть $x$ — искомое количество дней, за которое соберут $94,5\%$ пшеницы.

Составим пропорцию на основе данных из условия:

$5$ дней — $22,5\%$

$x$ дней — $94,5\%$

Из этого соотношения составим уравнение:

$\frac{5}{22.5} = \frac{x}{94.5}$

Теперь выразим $x$ из этого уравнения:

$x = \frac{5 \times 94.5}{22.5}$

Выполним вычисления. Сначала умножим в числителе:

$x = \frac{472.5}{22.5}$

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим числитель и знаменатель на 10:

$x = \frac{4725}{225}$

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$x = 21$

Следовательно, чтобы собрать $94,5\%$ всей пшеницы, потребуется 21 день.

Альтернативный способ решения:

1. Найдем, какой процент пшеницы собирают за один день (производительность):

$\frac{22.5\%}{5 \text{ дней}} = 4.5\%$ в день.

2. Теперь найдем, сколько дней потребуется, чтобы собрать $94,5\%$ пшеницы при такой производительности:

$\frac{94.5\%}{4.5\% \text{ в день}} = 21$ день.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 21 день.

3.74. При производстве яблочного пюре на 9 частей пюре приходится 2 части отходов. Сколько отходов получится при производстве 24,5 т яблочного пюре?

3.74

$$\begin{gathered} \frac{2}{9} = \frac{х}{24,5}; \\ х = \frac{2 · 24,5}{9} = \frac{49}{9} \end{gathered}$$

$х = 5\frac{4}{9}$  (т)- отходов.

Ответ: $5\frac{4}{9} \mathrm{т}.$

В задаче дано соотношение между количеством яблочного пюре и количеством отходов. На каждые 9 частей пюре приходится 2 части отходов. Это соотношение можно записать как $9:2$.

Мы можем составить пропорцию, чтобы найти количество отходов, соответствующее 24,5 т пюре. Пусть $x$ — это искомое количество отходов в тоннах.

Соотношение частей равно соотношению их масс:

$\frac{9 \text{ частей пюре}}{2 \text{ части отходов}} = \frac{24,5 \text{ т пюре}}{x \text{ т отходов}}$

Из этой пропорции получим уравнение:

$\frac{9}{2} = \frac{24,5}{x}$

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), находим $x$:

$9 \cdot x = 2 \cdot 24,5$

$9x = 49$

$x = \frac{49}{9}$

Чтобы получить ответ в виде смешанного числа, выделим целую часть:

$x = 5 \frac{4}{9}$

Следовательно, при производстве 24,5 т яблочного пюре получится $5 \frac{4}{9}$ т отходов.

Ответ: $5 \frac{4}{9}$ т.

3.75. На ценнике указана стоимость 150 г сыра — 84,57 р. Чему равна стоимость 450 г этого же сыра?

3.75

$$\begin{gathered} \frac{150}{450} = \frac{84,57}{х}; \\ х = \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{450}}} · 84,57}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{150}}}} = \frac{3· 84,57}{1} \end{gathered}$$

х = 253,71 (р)-стоимость

Ответ: 253,71 р.

Для того чтобы найти стоимость 450 г сыра, зная стоимость 150 г, можно воспользоваться методом пропорций. Стоимость товара прямо пропорциональна его количеству (в данном случае, массе).

Сначала определим, во сколько раз масса 450 г больше, чем 150 г. Для этого выполним деление:

$ \frac{450 \text{ г}}{150 \text{ г}} = 3 $

Таким образом, искомая масса сыра в 3 раза больше той, для которой указана цена. Следовательно, и стоимость будет в 3 раза выше.

Теперь умножим известную стоимость на полученный коэффициент:

$84,57 \text{ р.} \times 3 = 253,71 \text{ р.}$

Альтернативный способ — составить прямую пропорцию, где $x$ — искомая стоимость 450 г сыра:

150 г — 84,57 р.

450 г — $x$ р.

Запишем соотношение в виде уравнения:

$ \frac{150}{450} = \frac{84,57}{x} $

Выразим $x$ из этого уравнения:

$ x = \frac{450 \times 84,57}{150} $

Так как $ \frac{450}{150} = 3 $, получаем:

$ x = 3 \times 84,57 = 253,71 \text{ р.} $

Ответ: 253,71 р.

П.51. На координатной плоскости постройте треугольник с вершинами М(3; −5), N(−5; 3) и Р(−3; 5). По рисунку найдите координаты точек пересечения сторон треугольника с осями координат.

П.51

(0; 0) и (0; -2) – с осью у

(0; 0) и (-2; 0) – с осью х

Задача состоит из двух частей: сначала нужно построить треугольник по заданным координатам вершин, а затем найти точки, в которых его стороны пересекают оси координат.

1. Построение треугольника MNP

На координатной плоскости отметим точки M(3; -5), N(-5; 3) и P(-3; 5). Соединив эти точки отрезками, мы получим треугольник MNP.

• Вершина M(3; -5) находится в IV координатной четверти.
• Вершина N(-5; 3) находится во II координатной четверти.
• Вершина P(-3; 5) находится во II координатной четверти.

2. Нахождение точек пересечения с осями координат

Рассмотрим каждую сторону треугольника и определим, пересекает ли она оси Ox (ось абсцисс) и Oy (ось ординат).

Сторона MN

Сторона MN соединяет точки M(3; -5) и N(-5; 3). Так как одна вершина находится в IV четверти, а другая во II, эта сторона пересекает обе оси координат. По построенному рисунку можно определить, что:

• Точка пересечения с осью Ox (где $y=0$) — это точка с координатами (-2; 0).
• Точка пересечения с осью Oy (где $x=0$) — это точка с координатами (0; -2).

Сторона NP

Сторона NP соединяет точки N(-5; 3) и P(-3; 5). Обе эти точки находятся во II координатной четверти ($x < 0, y > 0$). Следовательно, отрезок NP полностью лежит в этой четверти и не пересекает ни ось Ox, ни ось Oy.

Сторона MP

Сторона MP соединяет точки M(3; -5) и P(-3; 5). Эта сторона соединяет II и IV четверти. Из рисунка видно, что она проходит через начало координат. Таким образом, точка пересечения с обеими осями одна и та же:

• Точка пересечения с осями Ox и Oy — это точка (0; 0).

Для проверки точности определения координат по рисунку можно найти их аналитически.

Проверка аналитическим методом

Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, имеет вид: $ \frac{y - y_1}{x - x_1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $.

• Прямая MN (через M(3; -5) и N(-5; 3)):
  $ \frac{y - (-5)}{x - 3} = \frac{3 - (-5)}{-5 - 3} \Rightarrow \frac{y + 5}{x - 3} = \frac{8}{-8} = -1 $
  $ y + 5 = -1 \cdot (x - 3) \Rightarrow y = -x - 2 $
  При $x=0$, $y=-2$. Точка (0; -2).
  При $y=0$, $0 = -x - 2 \Rightarrow x=-2$. Точка (-2; 0).
• Прямая MP (через M(3; -5) и P(-3; 5)):
  $ \frac{y - 5}{x - (-3)} = \frac{-5 - 5}{3 - (-3)} \Rightarrow \frac{y - 5}{x + 3} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3} $
  $ 3(y - 5) = -5(x + 3) \Rightarrow 3y - 15 = -5x - 15 \Rightarrow 3y = -5x \Rightarrow y = -\frac{5}{3}x $
  При $x=0$, $y=0$. Точка (0; 0).
  При $y=0$, $x=0$. Точка (0; 0).

Аналитический расчет подтверждает координаты точек, найденные по рисунку.

Ответ: Координаты точек пересечения сторон треугольника с осями координат: $(-2; 0)$, $(0; -2)$ и $(0; 0)$.

П.52. На координатной плоскости отметьте точки А(−5; 7), В(−3; 4), K(−3; −4) и соедините их отрезками. Измерьте транспортиром углы треугольника АВК.

П.52

$\angle \mathrm{АВК} = 147°, \angle \mathrm{АКВ} = 10°, \angle \mathrm{BAK} = 23°$

Для решения задачи необходимо сначала отметить точки $A(-5; 7)$, $B(-3; 4)$ и $K(-3; -4)$ на координатной плоскости и соединить их отрезками. В результате получится треугольник $ABK$. Далее, согласно заданию, нужно измерить его углы. Поскольку выполнить точное измерение с помощью транспортира на экране невозможно, мы проведем математические вычисления для нахождения точных значений углов. Эти вычисления дадут результат, который можно было бы получить при помощи идеального транспортира.

Для нахождения углов треугольника по координатам его вершин удобно использовать векторы и формулу для вычисления косинуса угла между ними:$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$где $\vec{a} \cdot \vec{b}$ — скалярное произведение векторов, а $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — их длины (модули).

Угол A (∠BAK)

Этот угол образован векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AK}$. Найдем их координаты, вычитая из координат конца координаты начала:

$\vec{AB} = (-3 - (-5); 4 - 7) = (2; -3)$

$\vec{AK} = (-3 - (-5); -4 - 7) = (2; -11)$

Теперь вычислим скалярное произведение этих векторов:

$\vec{AB} \cdot \vec{AK} = 2 \cdot 2 + (-3) \cdot (-11) = 4 + 33 = 37$

Далее найдем длины (модули) векторов:

$|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$

$|\vec{AK}| = \sqrt{2^2 + (-11)^2} = \sqrt{4 + 121} = \sqrt{125}$

Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos(\angle A) = \frac{37}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{125}} = \frac{37}{\sqrt{1625}} \approx 0.9179$

Теперь найдем сам угол, используя функцию арккосинуса:

$\angle A = \arccos\left(\frac{37}{\sqrt{1625}}\right) \approx 23.4^\circ$

Ответ: Угол $\angle BAK$ равен примерно $23.4^\circ$.

Угол B (∠ABK)

Этот угол образован векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BK}$. Найдем их координаты:

$\vec{BA} = (-5 - (-3); 7 - 4) = (-2; 3)$

$\vec{BK} = (-3 - (-3); -4 - 4) = (0; -8)$

Вычислим их скалярное произведение:

$\vec{BA} \cdot \vec{BK} = (-2) \cdot 0 + 3 \cdot (-8) = 0 - 24 = -24$

Найдем длины векторов:

$|\vec{BA}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$

$|\vec{BK}| = \sqrt{0^2 + (-8)^2} = \sqrt{64} = 8$

Подставим значения в формулу для косинуса:

$\cos(\angle B) = \frac{-24}{\sqrt{13} \cdot 8} = \frac{-3}{\sqrt{13}} \approx -0.8321$

Так как косинус отрицательный, угол $B$ является тупым.

$\angle B = \arccos\left(\frac{-3}{\sqrt{13}}\right) \approx 146.3^\circ$

Ответ: Угол $\angle ABK$ равен примерно $146.3^\circ$.

Угол K (∠AKB)

Этот угол образован векторами $\vec{KA}$ и $\vec{KB}$. Найдем их координаты:

$\vec{KA} = (-5 - (-3); 7 - (-4)) = (-2; 11)$

$\vec{KB} = (-3 - (-3); 4 - (-4)) = (0; 8)$

Вычислим их скалярное произведение:

$\vec{KA} \cdot \vec{KB} = (-2) \cdot 0 + 11 \cdot 8 = 88$

Найдем длины векторов:

$|\vec{KA}| = \sqrt{(-2)^2 + 11^2} = \sqrt{4 + 121} = \sqrt{125}$

$|\vec{KB}| = \sqrt{0^2 + 8^2} = \sqrt{64} = 8$

Подставим значения в формулу для косинуса:

$\cos(\angle K) = \frac{88}{\sqrt{125} \cdot 8} = \frac{11}{\sqrt{125}} \approx 0.9839$

Найдем угол:

$\angle K = \arccos\left(\frac{11}{\sqrt{125}}\right) \approx 10.3^\circ$

Ответ: Угол $\angle AKB$ равен примерно $10.3^\circ$.

Для проверки сложим все три угла: $23.4^\circ + 146.3^\circ + 10.3^\circ = 180^\circ$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, что подтверждает правильность вычислений.

П.53. Постройте квадрат MNPK, если М(−2; 4), N(2; 8), Р(6; 4) и К(2; 0). Проведите отрезки через точки М и Р и точки N и К. Найдите по рисунку координаты точки О, в которой пересекаются отрезки МР и NK.

П.53

О (2; 4)

Для решения задачи выполним последовательно все требуемые действия: построение, проведение отрезков и нахождение координат точки их пересечения.

1. Начертим прямоугольную систему координат Oxy.

2. Отметим на координатной плоскости точки с заданными координатами: $M(-2; 4)$, $N(2; 8)$, $P(6; 4)$ и $K(2; 0)$.

3. Соединим последовательно точки M, N, P, K отрезками, чтобы получить четырехугольник MNPK.

4. Проведем отрезки MP и NK, которые являются диагоналями этого четырехугольника.

Ниже представлен рисунок, на котором выполнены все построения.

Точка O является точкой пересечения диагоналей MP и NK.

1. Графический способ (по рисунку)
Как видно из построенного графика, диагонали пересекаются в точке O. Чтобы найти ее координаты, опустим перпендикуляры из точки O на оси координат. Перпендикуляр на ось Ox попадает в точку $x=2$, а перпендикуляр на ось Oy попадает в точку $y=4$. Следовательно, координаты точки O равны (2; 4).

2. Аналитический способ (для проверки)
Диагонали квадрата (как и любого параллелограмма) в точке пересечения делятся пополам. Это значит, что точка O является серединой диагонали MP, а также серединой диагонали NK. Найдем координаты середины отрезка MP по формулам:
$x_O = \frac{x_M + x_P}{2}$; $y_O = \frac{y_M + y_P}{2}$
Подставим координаты точек $M(-2; 4)$ и $P(6; 4)$:
$x_O = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$y_O = \frac{4 + 4}{2} = \frac{8}{2} = 4$
Получаем, что координаты точки $O(2; 4)$.
Проверим результат, вычислив координаты середины диагонали NK с точками $N(2; 8)$ и $K(2; 0)$:
$x_O = \frac{2 + 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$y_O = \frac{8 + 0}{2} = \frac{8}{2} = 4$
Результаты совпали, что подтверждает правильность решения.

Ответ: $O(2; 4)$

П.54. Проведите окружность с центром в точке 0(0; −4) радиусом 5 единичных отрезков. Используя рисунок, запишите координаты точек пересечения окружности с осями координат.

П.54

(0; -9), (0; 1), (3; 0), (-3; 0) – точки пересечения с осями координат

Для решения задачи сначала запишем уравнение окружности, а затем найдём её точки пересечения с осями координат. Общее уравнение окружности с центром в точке с координатами $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ выглядит следующим образом:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$

Согласно условию, центр окружности находится в точке $O(0; -4)$, а её радиус $R$ равен 5 единичным отрезкам. Подставим эти значения в общую формулу:

$(x - 0)^2 + (y - (-4))^2 = 5^2$

Упростив, получаем уравнение нашей окружности:

$x^2 + (y + 4)^2 = 25$

Далее, найдём координаты точек пересечения этой окружности с каждой из координатных осей.

Любая точка, лежащая на оси Oy, имеет координату $x = 0$. Чтобы найти точки пересечения, подставим $x = 0$ в уравнение окружности:

$0^2 + (y + 4)^2 = 25$

$(y + 4)^2 = 25$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных случая:

1. $y + 4 = 5 \implies y = 1$

2. $y + 4 = -5 \implies y = -9$

Таким образом, окружность пересекает ось Oy в двух точках с координатами $(0; 1)$ и $(0; -9)$.

Геометрически (используя рисунок) это можно объяснить так: центр окружности $(0; -4)$ уже лежит на оси Oy. Точки пересечения будут находиться на этой же оси на расстоянии радиуса (5 единиц) выше и ниже центра. Их ординаты равны: $y_1 = -4 + 5 = 1$ и $y_2 = -4 - 5 = -9$.

Любая точка, лежащая на оси Ox, имеет координату $y = 0$. Подставим $y = 0$ в уравнение окружности:

$x^2 + (0 + 4)^2 = 25$

$x^2 + 16 = 25$

$x^2 = 25 - 16$

$x^2 = 9$

Решая это уравнение, находим два значения для $x$:

$x = 3$ и $x = -3$

Следовательно, окружность пересекает ось Ox в двух точках с координатами $(3; 0)$ и $(-3; 0)$.

Геометрически (используя рисунок), можно рассмотреть прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является радиус окружности ($R = 5$), одним катетом — расстояние от центра окружности до оси Ox (равное $|-4|=4$), а вторым катетом — расстояние от начала координат до точки пересечения (абсцисса $x$). По теореме Пифагора:

$x^2 + 4^2 = 5^2 \implies x^2 + 16 = 25 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$.

Таким образом, окружность пересекает оси координат в четырех точках.

Ответ: Координаты точек пересечения окружности с осями координат: с осью Oy — $(0; 1)$ и $(0; -9)$; с осью Ox — $(3; 0)$ и $(-3; 0)$.

П.55. Отметьте вершины Q(3; 7), R(8; 2) и Т(3; −3) квадрата QRTS. По рисунку найдите координаты вершины S.

П.55

S (-2; 2)

Для решения задачи найдем координаты четвертой вершины квадрата $QRTS$, зная координаты трех его вершин: $Q(3; 7)$, $R(8; 2)$ и $T(3; -3)$.

Поскольку фигура является квадратом с названием $QRTS$, его вершины перечисляются последовательно. Это означает, что $QR$ и $RT$ являются смежными сторонами квадрата. Чтобы убедиться в этом, мы можем проверить, являются ли эти стороны перпендикулярными и равными по длине. Для этого найдем векторы, соответствующие этим сторонам.

1. Находим векторы сторон.

Вектор $\vec{QR}$ определяется разностью координат его конца (R) и начала (Q):

$\vec{QR} = (R_x - Q_x; R_y - Q_y) = (8 - 3; 2 - 7) = (5; -5)$

Аналогично для вектора $\vec{RT}$:

$\vec{RT} = (T_x - R_x; T_y - R_y) = (3 - 8; -3 - 2) = (-5; -5)$

2. Проверяем перпендикулярность и равенство сторон.

Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

$\vec{QR} \cdot \vec{RT} = (5) \cdot (-5) + (-5) \cdot (-5) = -25 + 25 = 0$

Так как скалярное произведение равно нулю, стороны $QR$ и $RT$ перпендикулярны, то есть угол $\angle R = 90^\circ$.

Теперь найдем квадраты длин векторов (сторон):

$|\vec{QR}|^2 = 5^2 + (-5)^2 = 25 + 25 = 50$

$|\vec{RT}|^2 = (-5)^2 + (-5)^2 = 25 + 25 = 50$

Длины сторон равны. Таким образом, $Q$, $R$ и $T$ действительно являются тремя последовательными вершинами квадрата.

3. Находим координаты вершины S.

В квадрате (как и в любом параллелограмме) противоположные стороны параллельны и равны. Для квадрата $QRTS$ стороны $QS$ и $RT$ являются противоположными. Это означает, что вектор $\vec{QS}$ должен быть равен вектору $\vec{RT}$.

Пусть координаты вершины $S$ равны $(x_S; y_S)$. Тогда вектор $\vec{QS}$ имеет координаты:

$\vec{QS} = (x_S - Q_x; y_S - Q_y) = (x_S - 3; y_S - 7)$

Приравниваем векторы $\vec{QS}$ и $\vec{RT}$:

$\vec{QS} = \vec{RT}$

$(x_S - 3; y_S - 7) = (-5; -5)$

Это дает нам систему из двух уравнений:

$x_S - 3 = -5 \implies x_S = -2$

$y_S - 7 = -5 \implies y_S = 2$

Следовательно, координаты вершины $S$ равны $(-2; 2)$.

Этот же результат можно получить, построив точки на координатной плоскости и выполнив параллельный перенос. Чтобы найти точку $S$, нужно сместить точку $Q$ на тот же вектор, который смещает точку $R$ в точку $T$ (вектор $\vec{RT} = (-5; -5)$).

Координаты $S$: $(3 + (-5); 7 + (-5)) = (-2; 2)$.

Ответ: Координаты вершины $S$ равны $(-2; 2)$.

П.56. Катамаран двигался по озеру t ч со скоростью 15,5 км/ч. Запишите формулу для вычисления пути s. Является ли эта зависимость прямой или обратной пропорциональной зависимостью? Составьте таблицу значений s при t = 1 ч; t = 2 ч; t = 4 ч; t = 6 ч. Постройте график движения катамарана.

П.56

s = 15,5t – прямая пропорциональная зависимость

t = 1

$s = 15,5 · 1 = 15,5$

t = 2        

$s = 15,5 · 2 = 31$

t = 4       

$s = 15,5 · 4 = 62$

t = 6        

$s = 15,5 · 6 = 93$

Запишите формулу для вычисления пути s.

Путь $s$ (в км) равен произведению скорости $v$ (в км/ч) на время движения $t$ (в ч). Общая формула для вычисления пути: $s = v \cdot t$.
По условию задачи, скорость катамарана постоянна и равна $v = 15,5$ км/ч.
Подставив значение скорости в общую формулу, получаем формулу зависимости пути от времени для данного случая: $s = 15,5t$.

Ответ: $s = 15,5t$.

Является ли эта зависимость прямой или обратной пропорциональной зависимостью?

Зависимость вида $y = kx$, где $k$ — постоянный коэффициент, не равный нулю, называется прямой пропорциональной зависимостью.
В нашей формуле $s = 15,5t$, переменная $s$ прямо пропорциональна переменной $t$ с коэффициентом пропорциональности $k = 15,5$. Это означает, что при увеличении (или уменьшении) времени $t$ в несколько раз, пройденный путь $s$ увеличивается (или уменьшается) во столько же раз.
Следовательно, данная зависимость является прямой пропорциональной.

Ответ: Прямая пропорциональная зависимость.

Составьте таблицу значений s при t = 1 ч; t = 2 ч; t = 4 ч; t = 6 ч.

Для составления таблицы используем формулу $s = 15,5t$ и подставим в нее заданные значения времени $t$.
При $t = 1$ ч: $s = 15,5 \cdot 1 = 15,5$ км.
При $t = 2$ ч: $s = 15,5 \cdot 2 = 31$ км.
При $t = 4$ ч: $s = 15,5 \cdot 4 = 62$ км.
При $t = 6$ ч: $s = 15,5 \cdot 6 = 93$ км.

Представим результаты в виде таблицы:

Ответ: Таблица значений составлена выше.

Постройте график движения катамарана.

Графиком функции $s = 15,5t$ является прямая линия. Для построения графика используем точки, вычисленные в предыдущем пункте: $(1; 15,5)$, $(2; 31)$, $(4; 62)$ и $(6; 93)$. Также график проходит через начало координат $(0,0)$, так как при $t=0$, $s=0$.
Построим систему координат: по оси абсцисс (горизонтальной) отложим время $t$ в часах, а по оси ординат (вертикальной) — расстояние $s$ в километрах. Отметим вычисленные точки и соединим их линией. Так как время не может быть отрицательным ($t \ge 0$), график представляет собой луч, выходящий из начала координат.

Ответ: График движения катамарана — это луч, выходящий из начала координат и проходящий через точки $(1, 15.5)$, $(2, 31)$, $(4, 62)$ и $(6, 93)$, как показано на рисунке выше.

П.57. При делении большего числа на меньшее в частном получается З и в остатке 4. Найдите эти числа, если их сумма равна 64.

П.57

Пусть х – большее число, тогда (64 – х) – меньшее число, по условию задачи составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{х}}{64 - 3} = 3 \left(\mathrm{ост}4\right); \\ \mathrm{х} = 3 · (64 – \mathrm{х}) + 4; \\ \mathrm{х} = 192 – 3\mathrm{х} + 4; \\ \mathrm{х} + 3\mathrm{х} = 196; \\ 4\mathrm{х} = 196; \\ \mathrm{х} = 196 : 4; \end{gathered}$$

х = 49 – большее число ;

$\mathbf{1}\mathbf{)} 64 – 49 = 15$ – меньшее число.

Ответ: 49 и 15

Обозначим большее число через $a$, а меньшее число — через $b$.

Согласно условию задачи, при делении числа $a$ на число $b$ в частном получается 3, а в остатке 4. Это можно записать с помощью формулы деления с остатком:
$a = 3 \cdot b + 4$

Также по условию известно, что сумма этих чисел равна 64:
$a + b = 64$

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
$ \begin{cases} a = 3b + 4 \\ a + b = 64 \end{cases} $

Для решения этой системы подставим выражение для $a$ из первого уравнения во второе:
$(3b + 4) + b = 64$

Теперь решим получившееся уравнение, чтобы найти значение $b$:
$4b + 4 = 64$
$4b = 64 - 4$
$4b = 60$
$b = \frac{60}{4}$
$b = 15$

Итак, меньшее число равно 15.

Теперь найдем большее число $a$, подставив найденное значение $b$ в уравнение $a + b = 64$:
$a + 15 = 64$
$a = 64 - 15$
$a = 49$

Следовательно, большее число равно 49.

Проверим, удовлетворяют ли найденные числа (49 и 15) условиям задачи:
1. Деление 49 на 15: $49 = 3 \cdot 15 + 4$. Частное равно 3, остаток 4. Условие выполняется.
2. Сумма чисел: $49 + 15 = 64$. Условие выполняется.

Ответ: 49 и 15.

П.58. От причала осуществили сплав леса со скоростью 5 км/ч. Через 4 ч вслед за ним вышла баржа, собственная скорость которой равна 14 км/ч. На каком расстоянии от причала баржа догонит сплав?

П.58

$\mathbf{1}\mathbf{)} 5 · 4 = 20$ (км) – впереди плыл лес;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 20 : 14 = \frac{20}{14} = \frac{10}{7}$ (ч) – баржа догонит сплав;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 14 + 5 = 19$(км/ч) – скорость баржи;

$\mathbf{4}\mathbf{)} 19 · \frac{10}{7} = \frac{190}{7} = 27\frac{1}{7}$ (км) – от причала баржа догонит сплав.

Ответ: $27\frac{1}{7}$ км.

Для решения этой задачи нам необходимо определить скорости обоих объектов относительно берега и использовать их для нахождения времени и места встречи.

1. Определение скоростей.
Скорость сплава леса равна скорости течения реки, так как лес просто плывет по течению.
$v_{сплава} = v_{течения} = 5$ км/ч.
Баржа движется по течению, поэтому ее скорость относительно берега (причала) равна сумме ее собственной скорости и скорости течения реки.
$v_{баржи} = v_{собственная} + v_{течения} = 14 \text{ км/ч} + 5 \text{ км/ч} = 19$ км/ч.

2. Определение начального расстояния.
Баржа вышла через 4 часа после начала сплава. За это время сплав уже отошел от причала на некоторое расстояние. Найдем это расстояние:
$S_{фора} = v_{сплава} \times t_{фора} = 5 \text{ км/ч} \times 4 \text{ ч} = 20$ км.

3. Нахождение времени до встречи.
Когда баржа вышла из причала, расстояние между ней и сплавом составляло 20 км. Баржа догоняет сплав, поэтому их относительная скорость (скорость сближения) равна разности их скоростей.
$v_{сближения} = v_{баржи} - v_{сплава} = 19 \text{ км/ч} - 5 \text{ км/ч} = 14$ км/ч.
Теперь можно найти время, которое потребуется барже, чтобы догнать сплав (преодолеть начальное расстояние в 20 км со скоростью сближения 14 км/ч).
$t_{встречи} = \frac{S_{фора}}{v_{сближения}} = \frac{20 \text{ км}}{14 \text{ км/ч}} = \frac{10}{7}$ ч.

4. Нахождение расстояния от причала.
Мы нашли время, которое баржа будет в пути до момента встречи. Чтобы найти, на каком расстоянии от причала это произойдет, умножим скорость баржи на время ее движения.
$S = v_{баржи} \times t_{встречи} = 19 \text{ км/ч} \times \frac{10}{7} \text{ ч} = \frac{190}{7}$ км.
Для удобства представим результат в виде смешанной дроби:
$\frac{190}{7} = 27 \frac{1}{7}$ км.

Ответ: баржа догонит сплав на расстоянии $27 \frac{1}{7}$ км от причала.

П.59. Навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 34,5 км, выехали велосипедист и мотоциклист. До встречи велосипедист проехал 518 пути мотоциклиста. Сколько часов был в пути мотоциклист, если его скорость на 32,5 км/ч больше скорости велосипедиста?

П.59

Пусть х км – проехал мотоциклист, тогда $\frac{5}{18} х$ км – проехал велосипедист. Зная, что вместе они проехал 34,5 км, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х + \frac{5}{18} х = 34,5; \\ 1\frac{5}{18} х = 34,5; \\ \frac{23}{18} х = 34\frac{1}{2}; \\ х = \frac{69}{2} : \frac{23}{18}; \\ х = \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\bcancel{69}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{2}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{9}{\cancel{18}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{23}}}}; \\ х = \frac{3 · 9}{1 · 1}; \end{gathered}$$

х = 27 (км) - проехал мотоциклист;

$\mathbf{1}\mathbf{)} \frac{5}{18} · 27 = \frac{5 · {\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{27}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{18}}}} = \frac{5 · 3}{2} = 7,5$ (км) – проехал велосипедист

$\mathbf{2}\mathbf{)} 27 – 7,5 = 19,5$(км) – проехал больше мотоциклист;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ } 19,5 : 32,5 = 195 : 325 = 0,6$ (ч) был в пути мотоциклист.

Ответ: 0,6 ч

Для решения задачи введем переменные. Пусть $S_в$ и $v_в$ — расстояние и скорость велосипедиста, а $S_м$ и $v_м$ — расстояние и скорость мотоциклиста. Общее расстояние $S_{общ} = 34,5$ км. Время до встречи $t$ для обоих участников движения одинаково.

1. Найдем расстояние, которое проехал каждый до встречи.

По условию, велосипедист и мотоциклист двигались навстречу друг другу, значит, сумма пройденных ими расстояний равна общему расстоянию между пунктами:

$S_в + S_м = 34,5$

Также из условия известно, что расстояние, которое проехал велосипедист, составляет $\frac{5}{18}$ пути мотоциклиста:

$S_в = \frac{5}{18} S_м$

Подставим второе уравнение в первое:

$\frac{5}{18} S_м + S_м = 34,5$

$\frac{5}{18} S_м + \frac{18}{18} S_м = 34,5$

$\frac{23}{18} S_м = 34,5$

Теперь найдем расстояние, которое проехал мотоциклист:

$S_м = 34,5 \cdot \frac{18}{23} = \frac{345}{10} \cdot \frac{18}{23} = \frac{15 \cdot 23}{10} \cdot \frac{18}{23} = \frac{15 \cdot 18}{10} = \frac{270}{10} = 27$ км.

Расстояние, которое проехал велосипедист:

$S_в = 34,5 - S_м = 34,5 - 27 = 7,5$ км.

2. Найдем скорости велосипедиста и мотоциклиста.

По условию, скорость мотоциклиста на 32,5 км/ч больше скорости велосипедиста:

$v_м = v_в + 32,5$

Так как время до встречи у них одинаковое, мы можем приравнять время, выраженное через расстояние и скорость для каждого ($t = S/v$):

$t = \frac{S_в}{v_в} = \frac{S_м}{v_м}$

Подставим известные нам значения расстояний и выражение для $v_м$:

$\frac{7,5}{v_в} = \frac{27}{v_в + 32,5}$

Используем свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$7,5 \cdot (v_в + 32,5) = 27 \cdot v_в$

$7,5v_в + 7,5 \cdot 32,5 = 27v_в$

$7,5v_в + 243,75 = 27v_в$

$27v_в - 7,5v_в = 243,75$

$19,5v_в = 243,75$

$v_в = \frac{243,75}{19,5} = 12,5$ км/ч.

Теперь найдем скорость мотоциклиста:

$v_м = 12,5 + 32,5 = 45$ км/ч.

3. Найдем время, которое мотоциклист был в пути.

Чтобы найти время, нужно расстояние, пройденное мотоциклистом, разделить на его скорость:

$t = \frac{S_м}{v_м} = \frac{27}{45}$

Сократим дробь:

$t = \frac{27}{45} = \frac{3 \cdot 9}{5 \cdot 9} = \frac{3}{5} = 0,6$ часа.

Ответ: мотоциклист был в пути 0,6 часа.

П.60. От двух станций, расстояние между которыми 750 км, одновременно навстречу друг другу вышли два поезда − пассажирский и скорый. Скорый поезд шёл со скоростью 75 км/ч. Через сколько часов поезда встретились, если известно, что скорый поезд до встречи прошёл в 1,5 раза больше, чем пассажирский? С какой скоростью двигался пассажирский поезд?

П.60

Пусть х км – прошел до встречи пассажирский поезд, тогда 1,5х км – прошел до встречи скорый поезд, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х + 1,5х = 750; \\ 2,5х = 750; \\ х = 750 : 2,5; \\ х = 7500 : 25; \end{gathered}$$
х = 300 (км) – прошел до встречи пассажирский поезд;

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }750 – 300 = 450$ (км) – прошел до встречи скорый поезд;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }450 : 75 = 6$ (ч) – был в пути скорый поезд ;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }300 : 6 = 50$ (км/ч) – скорость пассажирского поезда.

Ответ: 6 ч, 50 км/ч

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S_{общ}$ — общее расстояние между станциями, равное $750$ км.
• $S_с$ — расстояние, которое прошёл скорый поезд до встречи.
• $S_п$ — расстояние, которое прошёл пассажирский поезд до встречи.
• $v_с$ — скорость скорого поезда, равная $75$ км/ч.
• $v_п$ — искомая скорость пассажирского поезда.
• $t$ — искомое время до встречи поездов.

Когда поезда встречаются, сумма расстояний, которые они проехали, равна общему расстоянию между станциями:

$S_с + S_п = S_{общ} = 750$ км.

Согласно условию, скорый поезд до встречи проехал в 1,5 раза большее расстояние, чем пассажирский. Запишем это в виде уравнения:

$S_с = 1.5 \cdot S_п$.

Теперь подставим второе уравнение в первое, чтобы найти расстояние, которое проехал каждый поезд:

$1.5 \cdot S_п + S_п = 750$

$2.5 \cdot S_п = 750$

Вычислим расстояние, которое проехал пассажирский поезд:

$S_п = \frac{750}{2.5} = 300$ км.

Теперь найдем расстояние, которое проехал скорый поезд:

$S_с = 1.5 \cdot 300 = 450$ км.

Проверим правильность вычислений: $S_с + S_п = 450 \text{ км} + 300 \text{ км} = 750$ км, что соответствует исходному расстоянию между станциями.

Через сколько часов поезда встретились, если известно, что скорый поезд до встречи прошёл в 1,5 раза больше, чем пассажирский?

Так как поезда вышли одновременно, время их движения до встречи одинаково. Мы можем найти это время, используя данные скорого поезда, для которого известны и скорость ($v_с = 75$ км/ч), и пройденное расстояние ($S_с = 450$ км). Воспользуемся формулой времени $t = \frac{S}{v}$:

$t = \frac{S_с}{v_с} = \frac{450 \text{ км}}{75 \text{ км/ч}} = 6$ часов.

Ответ: поезда встретились через 6 часов.

С какой скоростью двигался пассажирский поезд?

Зная расстояние, которое проехал пассажирский поезд ($S_п = 300$ км), и время его движения ($t = 6$ часов), мы можем найти его скорость по формуле $v = \frac{S}{t}$:

$v_п = \frac{S_п}{t} = \frac{300 \text{ км}}{6 \text{ ч}} = 50$ км/ч.

Ответ: пассажирский поезд двигался со скоростью 50 км/ч.

П.61. Постройте перпендикулярные прямые, отрезки, лучи.

П.61

прямые

отрезки

лучи

Перпендикулярными называют две прямые, которые пересекаются под прямым углом ($90°$). Понятие перпендикулярности также применяется к отрезкам и лучам: они считаются перпендикулярными, если лежат на перпендикулярных прямых. Для обозначения перпендикулярности используется символ $\perp$.

Построение перпендикулярных геометрических фигур можно выполнить классическим способом с помощью циркуля и линейки (без делений) или с помощью современных чертежных инструментов, таких как угольник или транспортир.

Рассмотрим основные способы построения перпендикулярных прямых.

Построение с помощью циркуля и линейки

Существует два основных случая:

1. Построение прямой, перпендикулярной данной прямой $a$ и проходящей через точку $M$, лежащую на этой прямой.
   • Установите ножку циркуля в точку $M$ и проведите окружность (или дугу) произвольного радиуса $r$, которая пересечет прямую $a$ в двух точках, назовем их $A$ и $B$.
   • Из точек $A$ и $B$ проведите две дуги с одинаковым радиусом $R$, который должен быть больше, чем $r$ ($R > AM$).
   • Точку пересечения этих дуг назовем $N$.
   • Проведите прямую через точки $M$ и $N$. Прямая $MN$ будет перпендикулярна прямой $a$ ($MN \perp a$).
2. Построение прямой, перпендикулярной данной прямой $a$ и проходящей через точку $P$, не лежащую на этой прямой.
   • Установите ножку циркуля в точку $P$ и проведите дугу так, чтобы она пересекла прямую $a$ в двух токах, назовем их $C$ и $D$.
   • Из точек $C$ и $D$ проведите две дуги одинакового радиуса (большего, чем половина длины отрезка $CD$) так, чтобы они пересеклись в точке $Q$.
   • Проведите прямую через точки $P$ и $Q$. Прямая $PQ$ будет перпендикулярна прямой $a$ ($PQ \perp a$).

Построение с помощью чертежных инструментов

• С помощью угольника: Приложите один из катетов угольника к данной прямой. Вдоль другого катета проведите новую прямую. Она будет перпендикулярна исходной.
• С помощью транспортира: На прямой отметьте точку. Приложите транспортир так, чтобы его центр совпал с этой точкой, а основание — с прямой. У отметки $90°$ на шкале поставьте вторую точку. Соедините эти две точки прямой линией.

Ответ: Перпендикулярные прямые строятся путем проведения линии под углом $90°$ к исходной прямой. Это можно сделать с помощью циркуля и линейки, построив серединный перпендикуляр, или с помощью угольника или транспортира.

Два отрезка называются перпендикулярными, если прямые, на которых они лежат, перпендикулярны.

Алгоритм построения:

1. Постройте две перпендикулярные прямые $a$ и $b$, используя один из методов, описанных выше. Пусть они пересекаются в точке $O$.
2. На прямой $a$ отметьте две точки, например, $A$ и $B$. Они образуют отрезок $AB$.
3. На прямой $b$ отметьте две точки, например, $C$ и $D$. Они образуют отрезок $CD$.
4. Так как $a \perp b$, то отрезки $AB$ и $CD$ также перпендикулярны ($AB \perp CD$).

Важно помнить, что перпендикулярные отрезки не обязательно должны пересекаться. Достаточно, чтобы содержащие их прямые были перпендикулярны.

Ответ: Для построения перпендикулярных отрезков необходимо сначала построить перпендикулярные прямые, а затем на этих прямых выбрать концы отрезков.

Два луча называются перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых. Чаще всего рассматривают перпендикулярные лучи, выходящие из одной точки.

Алгоритм построения:

1. Постройте две перпендикулярные прямые $a$ и $b$, которые пересекаются в точке $O$.
2. Точка $O$ будет общим началом для искомых лучей.
3. На прямой $a$ выберите любую точку $A$ (отличную от $O$). Вы получите луч $OA$.
4. На прямой $b$ выберите любую точку $B$ (отличную от $O$). Вы получите луч $OB$.
5. Лучи $OA$ и $OB$ перпендикулярны, так как они образуют прямой угол $\angle AOB = 90°$.

Как и отрезки, перпендикулярные лучи не обязаны иметь общее начало. Они перпендикулярны, если содержащие их прямые взаимно перпендикулярны.

Ответ: Для построения перпендикулярных лучей с общим началом следует построить две перпендикулярные прямые и из точки их пересечения провести лучи вдоль этих прямых.

П.62. Постройте четыре параллельных отрезка.

П.62

Для построения четырех параллельных отрезков можно воспользоваться несколькими способами. Параллельные отрезки — это отрезки, лежащие на параллельных прямых. По определению, две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Ниже описаны два метода построения.

Способ 1: С помощью линейки и угольника

Это наиболее простой и быстрый способ, часто используемый на практике. Для него понадобятся линейка и чертежный угольник (прямоугольный треугольник).

1. Начертите произвольный отрезок с помощью линейки. Обозначим его концы буквами A и B.
2. Приложите один из катетов (коротких сторон) угольника к прямой, содержащей отрезок AB.
3. К другому катету угольника плотно приложите линейку.
4. Крепко удерживая линейку на месте, начните сдвигать угольник вдоль нее. Катет угольника, который был на прямой AB, будет перемещаться параллельно самому себе.
5. В новом положении угольника проведите второй отрезок вдоль того же катета. Назовем его CD. Этот отрезок будет параллелен отрезку AB.
6. Повторите шаг 5 еще два раза, каждый раз сдвигая угольник в новое положение и проводя новые отрезки (например, EF и KL).

В результате вы получите четыре отрезка — AB, CD, EF и KL, — которые лежат на параллельных прямых.

Способ 2: С помощью циркуля и линейки (классическое построение)

Этот метод является каноническим в евклидовой геометрии и использует только циркуль и линейку без делений. Он основан на свойстве, что две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны между собой.

1. С помощью линейки проведите произвольную прямую l. Отметьте на ней первый отрезок AB.
2. Выберите на прямой l любую точку P (она может лежать как на отрезке AB, так и вне его). Постройте с помощью циркуля и линейки прямую m, проходящую через точку P и перпендикулярную прямой l.
3. На построенной перпендикулярной прямой m отметьте три произвольные точки P₁, P₂, P₃, не совпадающие с точкой P.
4. Теперь для каждой из точек P₁, P₂, P₃ постройте прямую, перпендикулярную прямой m.
   • Через точку P₁ постройте прямую l₁, перпендикулярную m.
   • Через точку P₂ постройте прямую l₂, перпендикулярную m.
   • Через точку P₃ постройте прямую l₃, перпендикулярную m.
5. Поскольку прямые l, l₁, l₂, l₃ все перпендикулярны одной и той же прямой m, они параллельны между собой: $l \parallel l_1 \parallel l_2 \parallel l_3$.
6. На прямых l₁, l₂ и l₃ отметьте отрезки CD, EF и GH соответственно.

Таким образом, четыре отрезка AB, CD, EF и GH будут параллельны друг другу.

Ответ: Построение выполнено. Четыре параллельных отрезка начерчены на плоскости с использованием одного из описанных методов. Все построенные отрезки лежат на параллельных прямых.

П.63. Постройте угол АВС, равный 70°. Отметьте точку N, не лежащую на сторонах этого угла, и проведите через точку N прямые, параллельные сторонам угла АВС. Измерьте угол N.

П.63

$\angle \mathrm{АВС} = 70°, \angle \mathrm{N} = 70° \mathrm{или} \angle \mathrm{N} = 110°$

Построение

1. С помощью линейки проводим произвольный луч с началом в точке B. Обозначим на нем точку A. Получили луч BA.
2. Прикладываем транспортир так, чтобы его центр совпал с точкой B, а нулевая отметка на шкале лежала на луче BA.
3. Находим на шкале транспортира отметку $70^\circ$ и ставим в этом месте точку C.
4. Проводим луч BC. Полученный угол $\angle ABC$ является искомым, его величина равна $70^\circ$.
5. Выбираем любую точку N, которая не лежит ни на луче BA, ни на луче BC. Например, внутри угла.
6. Через точку N проводим прямую $n_1$, параллельную прямой, содержащей сторону BA. Это можно сделать с помощью линейки и угольника или с помощью циркуля и линейки, построив равные соответственные углы.
7. Аналогично через точку N проводим прямую $n_2$, параллельную прямой, содержащей сторону BC.
8. Прямые $n_1$ и $n_2$ пересекаются в точке N и образуют четыре угла. Мы будем рассматривать угол, стороны которого сонаправлены сторонам угла $\angle ABC$. Обозначим его $\angle N$.

Измерение и обоснование

Приложив транспортир к углу, образованному в точке N, мы получим измерение, равное $70^\circ$. Это можно доказать геометрически.

Существует теорема об углах с соответственно параллельными сторонами: если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы либо равны, либо их сумма составляет $180^\circ$.

В нашем случае стороны угла $\angle N$ по построению параллельны сторонам угла $\angle ABC$. Пусть лучи, образующие угол $\angle N$, сонаправлены лучам BA и BC. Тогда, по теореме, эти углы равны.

Докажем это более строго. Пусть прямая $n_2$ (которая параллельна BC) пересекает прямую AB в точке K.

• Рассмотрим параллельные прямые BA и $n_1$ и секущую $n_2$. Углы, образованные в точках K и N, будут соответственными, накрест лежащими или односторонними.
• Рассмотрим параллельные прямые BC и $n_2$ и секущую AB. Угол $\angle ABC$ и угол $\angle BKN$ являются соответственными углами. Следовательно, $\angle BKN = \angle ABC = 70^\circ$.
• Теперь рассмотрим параллельные прямые AB (содержащую луч BA) и $n_1$ и секущую $n_2$ (которая проходит через точки K и N). Угол $\angle BKN$ и угол $\angle N$ также являются соответственными. Следовательно, $\angle N = \angle BKN$.
• Из двух полученных равенств следует, что $\angle N = \angle ABC = 70^\circ$.

В зависимости от того, какой из четырех углов при вершине N измерять, можно получить и смежный с ним угол, равный $180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$. Однако, как правило, под "углом N" в данном контексте подразумевается тот, что равен исходному.

Ответ: Угол N равен $70^\circ$.

П.64. 1) Постройте произвольный тупой угол MND. Отметьте точку А, не лежащую на сторонах этого угла, и проведите через неё прямые, перпендикулярные сторонам угла MND. Измерьте углы А и N, найдите сумму углов N и А.

2) Постройте произвольный острый угол АВС. Отметьте точку К, не лежащую на сторонах этого угла, и проведите через неё прямые, перпендикулярные сторонам угла АВС. Измерьте углы В и К, найдите сумму этих углов.

3) Сделайте предположение.

П.64

1)

$$\begin{gathered} \angle \mathrm{MND} = 118 °, \angle \mathrm{A} = 62°, \angle \mathrm{N} = 118° \\ \angle \mathrm{A} + \angle \mathrm{N} = 62° + 118° = 180° \end{gathered}$$

2)

$$\begin{gathered} \angle \mathrm{B} = 51°, \angle \mathrm{K} = 129° \\ \angle \mathrm{B} + \angle \mathrm{K} = 51° + 129° = 180° \end{gathered}$$

3) Сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°.

1) Построим произвольный тупой угол $∠MND$. Тупой угол — это угол, градусная мера которого находится в пределах от $90°$ до $180°$. Для примера возьмем $∠MND = 130°$. Далее отметим точку $A$, которая не лежит на сторонах $NM$ и $ND$ данного угла. Из точки $A$ проведем две прямые, перпендикулярные сторонам угла $∠MND$. Пусть прямая $AP$ перпендикулярна стороне $NM$ (точка $P$ лежит на $NM$), а прямая $AQ$ перпендикулярна стороне $ND$ (точка $Q$ лежит на $ND$).

В результате этих построений мы получаем четырехугольник $APNQ$. По построению, углы $∠APN$ и $∠AQN$ являются прямыми, то есть $∠APN = 90°$ и $∠AQN = 90°$. Угол, образованный перпендикулярами, — это $∠PAQ$, который мы обозначим как $∠A$. Исходный угол — это $∠MND$, который мы обозначим как $∠N$.

Сумма внутренних углов выпуклого четырехугольника всегда равна $360°$. Для четырехугольника $APNQ$ можно записать следующее равенство:$∠N + ∠APN + ∠A + ∠AQN = 360°$

Подставим известные значения углов:$∠N + 90° + ∠A + 90° = 360°$

Упростим выражение:$∠N + ∠A + 180° = 360°$

Отсюда находим сумму углов $N$ и $A$:$∠N + ∠A = 360° - 180° = 180°$

Таким образом, если мы измерим наш угол $∠N = 130°$, то угол $∠A$ будет равен $180° - 130° = 50°$. Сумма этих углов составит $130° + 50° = 180°$.

Ответ: Сумма углов $N$ и $A$ равна $180°$.

2) Построим произвольный острый угол $∠ABC$. Острый угол — это угол, градусная мера которого меньше $90°$. Для примера возьмем $∠ABC = 60°$. Отметим точку $K$, которая не лежит на сторонах $BA$ и $BC$ данного угла. Проведем через точку $K$ прямые, перпендикулярные сторонам угла $∠ABC$. Пусть прямая $KP$ перпендикулярна стороне $BA$ (точка $P$ лежит на $BA$), а прямая $KQ$ перпендикулярна стороне $BC$ (точка $Q$ лежит на $BC$).

В результате этих построений образуется четырехугольник $PBQK$. По построению, углы $∠KPB$ и $∠KQB$ являются прямыми, то есть $∠KPB = 90°$ и $∠KQB = 90°$. Угол, образованный перпендикулярами, — это $∠PKQ$, который мы обозначим как $∠K$. Исходный угол — это $∠ABC$, который мы обозначим как $∠B$.

Сумма внутренних углов четырехугольника $PBQK$ равна $360°$. Запишем равенство:$∠B + ∠KPB + ∠K + ∠KQB = 360°$

Подставим известные значения углов:$∠B + 90° + ∠K + 90° = 360°$

Упростим выражение:$∠B + ∠K + 180° = 360°$

Отсюда находим сумму углов $B$ и $K$:$∠B + ∠K = 360° - 180° = 180°$

Таким образом, если мы измерим наш угол $∠B = 60°$, то угол $∠K$ будет равен $180° - 60° = 120°$. Сумма этих углов составит $60° + 120° = 180°$.

Ответ: Сумма углов $B$ и $K$ равна $180°$.

3) На основе результатов, полученных в пунктах 1 и 2, можно сформулировать следующее предположение. Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы либо равны, либо их сумма составляет $180°$. В ходе выполнения данного задания мы строили четырехугольник, в котором два угла прямые. Оставшиеся два угла (исходный и построенный) в сумме всегда дают $180°$. Этот случай реализуется, когда один из углов острый, а другой — тупой (или когда оба прямые).

Ответ: Предположение: если из точки провести перпендикуляры к сторонам угла, то сумма исходного угла и угла, образованного перпендикулярами (если рассматривать его как внутренний угол образовавшегося четырехугольника), равна $180°$.