Страница 128, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

3.45. Решите пропорцию:

а) 13,74 = 9t3,6; б) 13a : 6 = 14 : 0,7; в) 1,5a + 0,03 = 6,30,21; г) 445 : 2,5 = 112 : (0,4 + b).

3.45

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{13,7}{4} = \frac{9t}{3,6} \\ 9t = \frac{13,7 ·{\displaystyle \stackrel{0,9}{\cancel{ 3,6}}} }{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}}; \\ 9t = \frac{13,7 · 0,9 }{1}; \\ 9t = 12,33; \\ t = 12,33 : 9; \\ t = 1,37. \\ \mathrm{Ответ}: 1,37. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{1}{3}а : 6 = 14 : 0,7 \\ \frac{{\displaystyle \frac{1}{3}}а}{6} = \frac{14}{0,7}; \\ \frac{1}{3}а = \frac{14 · 6}{0,7}; \\ \frac{1}{3}а = \frac{{\displaystyle \stackrel{20}{\cancel{140}}} · 6}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}}; \\ \frac{1}{3}а = \frac{20 · 6}{1}; \\ \frac{1}{3}а = 120; \\ а = 120 : \frac{1}{3}; \\ а = 120 · 3; \\ а = 360. \\ \mathrm{Ответ}: 360. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} \frac{1,5}{а + 0,03} = \frac{6,3}{0,21}; \\ а + 0,03 = \frac{1,5 · 0,21}{6,3}; \\ а + 0,03 = \frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{15}}} · 0,21}{{\displaystyle \underset{21}{\cancel{63}}}}; \\ а + 0,03 = \frac{5 · {\displaystyle \stackrel{0,01}{\cancel{0,21}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{21}}}}; \\ а + 0,03 = \frac{5 · 0,01}{1}; \\ а + 0,03 = 0,05; \\ а = 0,05 – 0,03; \\ а = 0,02. \\ \mathrm{Ответ}: 0,02. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }4\frac{4}{5} : 2,5 = 1\frac{1}{2} : \left(0,4+ b\right); \\ \frac{4{\displaystyle \frac{4}{5}}}{2,5} = \frac{1{\displaystyle \frac{1}{2}}}{\left(0,4 + b\right)}; \\ 0,4 + b = \frac{2,5 · 1,5}{4,8}; \\ 0,4 + b = \frac{2,5 · {\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{15}}}}{{\displaystyle \underset{16}{\cancel{48}}}}; \\ 0,4 + b = \frac{2,5 · 5}{16}; \\ 0,4 + b = \frac{12,5}{16}; \\ \frac{4}{10} + b = \frac{125}{160}; \\ b = \frac{125}{160} - {\frac{4}{10}}^{\overline{)·16}}; \\ b = \frac{125}{160} - \frac{64}{160}; \\ b = \frac{61}{160}. \\ \mathrm{Ответ}: \frac{61}{160}. \end{gathered}$$

а) Исходная пропорция: $ \frac{13,7}{4} = \frac{9t}{3,6} $.
Применим основное свойство пропорции, согласно которому произведение крайних членов равно произведению средних членов (правило "крест-накрест"):
$ 13,7 \cdot 3,6 = 4 \cdot 9t $
Вычислим произведение в левой части:
$ 13,7 \cdot 3,6 = 49,32 $
Упростим правую часть:
$ 4 \cdot 9t = 36t $
Получаем уравнение:
$ 49,32 = 36t $
Теперь найдем $t$, разделив обе части уравнения на 36:
$ t = \frac{49,32}{36} $
$ t = 1,37 $
Ответ: $t = 1,37$.

б) Исходная пропорция: $ \frac{1}{3}a : 6 = 14 : 0,7 $.
Это отношение можно записать в виде дробей: $ \frac{\frac{1}{3}a}{6} = \frac{14}{0,7} $.
Применим основное свойство пропорции:
$ \frac{1}{3}a \cdot 0,7 = 6 \cdot 14 $
Выполним вычисления в обеих частях. Представим десятичную дробь $0,7$ в виде обыкновенной: $0,7 = \frac{7}{10}$.
$ \frac{1}{3}a \cdot \frac{7}{10} = 84 $
$ \frac{7}{30}a = 84 $
Чтобы найти $a$, умножим обе части уравнения на обратную дробь $ \frac{30}{7} $:
$ a = 84 \cdot \frac{30}{7} $
Сократим 84 и 7 (поскольку $84 \div 7 = 12$):
$ a = 12 \cdot 30 $
$ a = 360 $
Ответ: $a = 360$.

в) Исходная пропорция: $ \frac{1,5}{a + 0,03} = \frac{6,3}{0,21} $.
По основному свойству пропорции:
$ 1,5 \cdot 0,21 = 6,3 \cdot (a + 0,03) $
Вычислим произведение в левой части:
$ 1,5 \cdot 0,21 = 0,315 $
Уравнение принимает вид:
$ 0,315 = 6,3 \cdot (a + 0,03) $
Найдем выражение в скобках, разделив $0,315$ на $6,3$:
$ a + 0,03 = \frac{0,315}{6,3} $
Для удобства деления умножим числитель и знаменатель на 1000: $ \frac{315}{6300} $. Сократим дробь на 315: $ \frac{1}{20} $, что равно $0,05$.
$ a + 0,03 = 0,05 $
Теперь найдем $a$, вычитая 0,03 из обеих частей уравнения:
$ a = 0,05 - 0,03 $
$ a = 0,02 $
Ответ: $a = 0,02$.

г) Исходная пропорция: $ 4\frac{4}{5} : 2,5 = 1\frac{1}{2} : (0,4 + b) $.
Сначала преобразуем все смешанные числа и десятичные дроби в обыкновенные дроби для точности вычислений.
$ 4\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{24}{5} $
$ 2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2} $
$ 1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2} $
$ 0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} $
Пропорция принимает вид: $ \frac{24}{5} : \frac{5}{2} = \frac{3}{2} : (\frac{2}{5} + b) $.
По основному свойству пропорции:
$ \frac{24}{5} \cdot (\frac{2}{5} + b) = \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} $
Вычислим правую часть:
$ \frac{24}{5} \cdot (\frac{2}{5} + b) = \frac{15}{4} $
Найдем выражение в скобках, разделив правую часть на $ \frac{24}{5} $:
$ \frac{2}{5} + b = \frac{15}{4} : \frac{24}{5} = \frac{15}{4} \cdot \frac{5}{24} $
Сократим дробь (15 и 24 делятся на 3):
$ \frac{2}{5} + b = \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{8} = \frac{25}{32} $
Теперь найдем $b$:
$ b = \frac{25}{32} - \frac{2}{5} $
Приведем дроби к общему знаменателю, который равен $32 \cdot 5 = 160$:
$ b = \frac{25 \cdot 5}{32 \cdot 5} - \frac{2 \cdot 32}{5 \cdot 32} = \frac{125}{160} - \frac{64}{160} $
$ b = \frac{125 - 64}{160} = \frac{61}{160} $
Ответ: $b = \frac{61}{160}$.

3.46. Составьте восемь пропорций из равенства 12 · 4 = 160 · 0,3.

3.46

12 : 160 = 0,3 : 4

12 : 0,3 = 160 : 4

4 : 160 = 0,3 : 12

4 : 0,3 = 160 : 12

160 : 12 = 4 : 0,3

160 : 4 = 12 : 0,3

0,3 : 12 = 4 : 160

0,3 : 4 = 12 : 160

Для составления пропорций из равенства $12 \cdot 4 = 160 \cdot 0,3$ воспользуемся основным свойством пропорции. Пропорция — это равенство двух отношений $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Основное свойство пропорции гласит, что произведение крайних членов ($a$ и $d$) равно произведению средних членов ($b$ и $c$): $a \cdot d = b \cdot c$.

Наше равенство $12 \cdot 4 = 160 \cdot 0,3$ (что равно $48 = 48$) уже представлено в виде произведения двух пар чисел. Мы можем по-разному назначить эти числа крайними и средними членами пропорции, чтобы получить 8 верных пропорций.

Вариант 1: $12$ и $4$ – крайние члены; $160$ и $0,3$ – средние члены.

1. Составляем пропорцию, где $a=12, d=4, b=160, c=0,3$.

Ответ: $\frac{12}{160} = \frac{0,3}{4}$

2. Меняем местами средние члены ($160$ и $0,3$) в предыдущей пропорции.

Ответ: $\frac{12}{0,3} = \frac{160}{4}$

3. Меняем местами крайние члены ($12$ и $4$) в пропорции №1.

Ответ: $\frac{4}{160} = \frac{0,3}{12}$

4. Меняем местами средние члены в пропорции №3.

Ответ: $\frac{4}{0,3} = \frac{160}{12}$

Вариант 2: $160$ и $0,3$ – крайние члены; $12$ и $4$ – средние члены.

5. Составляем пропорцию, где $a=160, d=0,3, b=12, c=4$.

Ответ: $\frac{160}{12} = \frac{4}{0,3}$

6. Меняем местами средние члены ($12$ и $4$) в предыдущей пропорции.

Ответ: $\frac{160}{4} = \frac{12}{0,3}$

7. Меняем местами крайние члены ($160$ и $0,3$) в пропорции №5.

Ответ: $\frac{0,3}{12} = \frac{4}{160}$

8. Меняем местами средние члены в пропорции №7.

Ответ: $\frac{0,3}{4} = \frac{12}{160}$

3.47. Вычислите.

3.47

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 16 · 10 = 160; \\ 160 – 90 = 70; \\ 70 : 7 = 10; \\ 10 · 5 = 50; \\ 50 – 28 = 22. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ } 800 : 25 = 32; \\ 32 · 30 = 960; \\ 960 – 510 = 450; \\ 450 : 10 = 45; \\ 45 · 2 = 90. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} 7 : 5 = 1,4; \\ 1,4 – 0,2 = 1,2; \\ 1,2 · 6 = 7,2; \\ 7,2 + 3,8 = 11; \\ 11 : 5 = 2,2. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }0,5 · 20 = 10; \\ 10 + 2,3 = 12,3; \\ 12,3 : 4,1 = 123 : 41 = 3; \\ 3 + 5,2 = 8,2; \\ 8,2 : 0,2 = 82 : 2 = 41. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ } 4 – 2,8 = 1,2; \\ 1,2 · 7 = 8,4; \\ 8,4 : 0,4 = 84 : 4 = 21; \\ 21 · 0,01 = 0,21; \\ 0,21 + 3,3 = 3,51. \end{gathered}$$

а) Решим пример по действиям:

1) $16 \cdot 10 = 160$

2) $160 - 90 = 70$

3) $70 : 7 = 10$

4) $10 \cdot 5 = 50$

5) $50 - 28 = 22$

Ответ: 22

б) Решим пример по действиям:

1) $800 : 25 = 32$

2) $32 \cdot 30 = 960$

3) $960 - 510 = 450$

4) $450 : 10 = 45$

5) $45 \cdot 2 = 90$

Ответ: 90

в) Решим пример по действиям:

1) $7 : 5 = 1,4$

2) $1,4 - 0,2 = 1,2$

3) $1,2 \cdot 6 = 7,2$

4) $7,2 + 3,8 = 11$

5) $11 : 5 = 2,2$

Ответ: 2,2

г) Решим пример по действиям:

1) $0,5 \cdot 20 = 10$

2) $10 + 2,3 = 12,3$

3) $12,3 : 4,1 = 3$

4) $3 + 5,2 = 8,2$

5) $8,2 : 0,2 = 41$

Ответ: 41

д) Решим пример по действиям:

1) $4 - 2,8 = 1,2$

2) $1,2 \cdot 7 = 8,4$

3) $8,4 : 0,4 = 21$

4) $21 \cdot 0,01 = 0,21$

5) $0,21 + 3,3 = 3,51$

Ответ: 3,51

3.48. Подставьте вместо знака вопроса знак действия так, чтобы получилось верное равенство:

а) 156 ? 611 = 1; б) 3 ? 214 = 34; в) 59 ? 79 = 57; г) 514 ? 0,7 = 14.

3.48

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }1\frac{5}{6} · \frac{6}{11} = \frac{11}{6} · \frac{6}{11} = 1$

$\mathit{б}\mathbf{)} 3 - 2\frac{1}{4} = 2\frac{4}{4} - 2\frac{1}{4} =\frac{3}{4}$

$\mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{5}{9} : \frac{7}{9} = \frac{5}{\cancel{9}} · \frac{\cancel{9}}{7} = \frac{5}{7}$

$\mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{5}{14} · 0,7 = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{14}}}} ·\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{7}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{10}}}} = \frac{1}{2} · \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

а) В равенстве $1\frac{5}{6} \ ? \ \frac{6}{11} = 1$ необходимо подставить знак действия. Для этого сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$1\frac{5}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{11}{6}$

Теперь равенство выглядит так: $\frac{11}{6} \ ? \ \frac{6}{11} = 1$. Заметим, что дроби $\frac{11}{6}$ и $\frac{6}{11}$ являются взаимно обратными. Произведение взаимно обратных чисел равно 1. Проверим, подставив знак умножения:

$\frac{11}{6} \times \frac{6}{11} = \frac{11 \cdot 6}{6 \cdot 11} = 1$

Равенство верно.

Ответ: $\times$

б) В равенстве $3 \ ? \ 2\frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$

Равенство принимает вид: $3 \ ? \ \frac{9}{4} = \frac{3}{4}$. Проверим действие вычитания. Для этого представим число 3 в виде дроби со знаменателем 4:

$3 = \frac{3 \cdot 4}{4} = \frac{12}{4}$

Выполним вычитание:

$\frac{12}{4} - \frac{9}{4} = \frac{12 - 9}{4} = \frac{3}{4}$

Равенство верно.

Ответ: $-$

в) В равенстве $\frac{5}{9} \ ? \ \frac{7}{9} = \frac{5}{7}$ необходимо найти подходящий знак действия. Проверим деление. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую):

$\frac{5}{9} \div \frac{7}{9} = \frac{5}{9} \times \frac{9}{7}$

Сократим одинаковые множители (9) в числителе и знаменателе:

$\frac{5 \cdot \cancel{9}}{\cancel{9} \cdot 7} = \frac{5}{7}$

Равенство верно.

Ответ: $\div$

г) В равенстве $\frac{5}{14} \ ? \ 0,7 = \frac{1}{4}$ сначала преобразуем десятичную дробь в обыкновенную:

$0,7 = \frac{7}{10}$

Теперь равенство выглядит так: $\frac{5}{14} \ ? \ \frac{7}{10} = \frac{1}{4}$. Проверим действие умножения:

$\frac{5}{14} \times \frac{7}{10} = \frac{5 \cdot 7}{14 \cdot 10}$

Разложим знаменатель на множители, чтобы было удобнее сокращать: $14 = 2 \cdot 7$ и $10 = 2 \cdot 5$.

$\frac{5 \cdot 7}{(2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 5)} = \frac{\cancel{5} \cdot \cancel{7}}{2 \cdot \cancel{7} \cdot 2 \cdot \cancel{5}} = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$

Также можно было сначала вычислить произведение, а потом сократить: $\frac{35}{140} = \frac{35 \div 35}{140 \div 35} = \frac{1}{4}$.

Равенство верно.

Ответ: $\times$

3.49. Найдите отношение величин:

а) 2,4 см к 60 м; б) 10 т к 250 кг; в) 1 мин к 12 с; г) 600 см³ к 2 м³.

3.49

$\mathbf{а}\mathbf{)} 2,4 \mathrm{см} : 60 \mathrm{м} = 2,4 \mathrm{см} : 6000 \mathrm{м} = \frac{2,4}{6000}= 0,004$

$\mathbf{б}\mathbf{)} 10 \mathrm{т} : 250 \mathrm{кг} = 10000 \mathrm{кг} : 250 \mathrm{кг} = 40$

$\mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }1 \mathrm{мин} : 12 \mathrm{с} = 60 \mathrm{с} : 12 \mathrm{с} = 5$

$\mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }600 {\mathrm{см}}^3 : 2 {\mathrm{м}}^3 = 600 {\mathrm{см}}^3 : 2000000 {\mathrm{см}}^3 = 0,0003$

а) 2,4 см к 60 м

Чтобы найти отношение, необходимо привести обе величины к одной единице измерения. Переведем метры в сантиметры. Поскольку в 1 метре 100 сантиметров, то:

$60 \text{ м} = 60 \times 100 \text{ см} = 6000 \text{ см}$

Теперь найдем отношение 2,4 см к 6000 см:

$\frac{2,4}{6000} = \frac{24}{60000} = \frac{1}{2500}$

Ответ: $\frac{1}{2500}$.

б) 10 т к 250 кг

Приведем обе величины к килограммам. В 1 тонне 1000 килограммов, поэтому:

$10 \text{ т} = 10 \times 1000 \text{ кг} = 10000 \text{ кг}$

Найдем отношение 10000 кг к 250 кг:

$\frac{10000}{250} = \frac{1000}{25} = 40$

Ответ: 40.

в) 1 мин к 12 с

Приведем обе величины к секундам. В 1 минуте 60 секунд:

$1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$

Найдем отношение 60 с к 12 с:

$\frac{60}{12} = 5$

Ответ: 5.

г) 600 см³ к 2 м³

Приведем обе величины к кубическим сантиметрам. Так как 1 м = 100 см, то 1 м³ равен:

$1 \text{ м}^3 = (100 \text{ см})^3 = 100 \times 100 \times 100 \text{ см}^3 = 1\;000\;000 \text{ см}^3$

Следовательно, 2 м³ это:

$2 \text{ м}^3 = 2 \times 1\;000\;000 \text{ см}^3 = 2\;000\;000 \text{ см}^3$

Теперь найдем отношение 600 см³ к 2 000 000 см³:

$\frac{600}{2\;000\;000} = \frac{6}{20\;000} = \frac{3}{10\;000}$

Ответ: $\frac{3}{10000}$.

3.50. Найдите число, если 37 этого числа равны 718 этого числа.

3.50

$\frac{3}{7} \mathrm{от} \mathrm{числа} = \frac{7}{18} \mathrm{этого} \mathrm{числа}$

Пусть х – искомое число, тогда составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} {\frac{3}{7}}^{\overline{)·18}} х = {\frac{7}{18}}^{\overline{)·7}} х; \\ \frac{54}{126} х = \frac{49}{126} х; \\ \frac{54}{126} х - \frac{49}{126} х = 0; \\ \frac{5}{126} х = 0; \\ х = 0 : \frac{5}{136}; \\ х = 0. \\ \mathrm{Ответ}: 0. \end{gathered}$$

Пусть искомое число — это $x$.

По условию задачи, $\frac{3}{7}$ этого числа равны $\frac{7}{18}$ этого же числа. Это можно записать в виде уравнения:

$\frac{3}{7} \cdot x = \frac{7}{18} \cdot x$

Перенесем все слагаемые, содержащие $x$, в левую часть уравнения:

$\frac{3}{7}x - \frac{7}{18}x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x \left( \frac{3}{7} - \frac{7}{18} \right) = 0$

Чтобы найти значение выражения в скобках, приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 7 и 18 — это их произведение, так как они являются взаимно простыми числами: $7 \cdot 18 = 126$.

$\frac{3}{7} - \frac{7}{18} = \frac{3 \cdot 18}{126} - \frac{7 \cdot 7}{126} = \frac{54}{126} - \frac{49}{126} = \frac{54 - 49}{126} = \frac{5}{126}$

Теперь подставим полученный результат обратно в уравнение:

$x \cdot \frac{5}{126} = 0$

Произведение двух множителей равно нулю только в том случае, если хотя бы один из них равен нулю. Поскольку $\frac{5}{126}$ не равно нулю, то единственным возможным решением является $x = 0$.

Ответ: 0

3.51. Какое число надо отнять от числителя и знаменателя дроби 1333, чтобы получить дробь 16?

3.51

Пусть х – искомое число, тогда составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{13 - х}{33 - х} = \frac{1}{6} \\ х = 9 \\ \frac{13 - х}{33 - х} =\frac{13 - 9}{33 - 9} =\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{4}}}}{{\displaystyle \underset{6}{\cancel{24}}}} = \frac{1}{6} \end{gathered}$$

Ответ: 9.

Обозначим неизвестное число через x. По условию задачи, мы должны вычесть это число из числителя и знаменателя дроби $\frac{13}{33}$, чтобы в результате получить дробь $\frac{1}{6}$.

Это можно записать в виде уравнения:
$\frac{13 - x}{33 - x} = \frac{1}{6}$

Это пропорция. Чтобы ее решить, воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних.
$6 \cdot (13 - x) = 1 \cdot (33 - x)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$6 \cdot 13 - 6 \cdot x = 33 - x$
$78 - 6x = 33 - x$

Теперь сгруппируем слагаемые с переменной x в одной части уравнения, а числовые слагаемые — в другой. Перенесем -x в левую часть, а 78 — в правую, меняя их знаки.
$-6x + x = 33 - 78$
$-5x = -45$

Чтобы найти x, разделим обе части уравнения на -5:
$x = \frac{-45}{-5}$
$x = 9$

Сделаем проверку. Вычтем 9 из числителя и знаменателя исходной дроби:
$\frac{13 - 9}{33 - 9} = \frac{4}{24}$

Сократим полученную дробь на 4:
$\frac{4 \div 4}{24 \div 4} = \frac{1}{6}$

Полученная дробь соответствует условию задачи.

Ответ: 9

3.52. Какие фигуры (рис. 3.2) являются развёртками (штрихами отмечены равные отрезки):

а) треугольной призмы; б) четырёхугольной призмы; в) треугольной пирамиды?

3.52

а) А и Е – развертка треугольной призмы

б) В и F – развертка четырехугольной призмы

в) С, N и D – развертки треугольной пирамиды

а) треугольной призмы

Треугольная призма — это многогранник, у которого две грани (основания) являются равными треугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а три другие грани (боковые) — параллелограммами (в прямой призме — прямоугольниками). Таким образом, развёртка треугольной призмы должна состоять из двух равных треугольников и трёх прямоугольников (или параллелограммов).

- Фигура А состоит из трёх прямоугольников, образующих боковую поверхность, и двух равных треугольников, являющихся основаниями. Треугольники присоединены к противоположным сторонам одного из прямоугольников, что позволяет правильно сложить фигуру в призму. Стороны оснований (треугольников), отмеченные одним штрихом, совпадают по длине с соответствующими сторонами прямоугольников. Следовательно, А является развёрткой треугольной призмы.

- Фигура E также состоит из трёх прямоугольников и двух треугольников. Однако расположение треугольников-оснований некорректно. Они прикреплены к боковым рёбрам (высоте) призмы, а не к сторонам оснований развёрнутой боковой поверхности. При попытке сложить эту фигуру она не образует замкнутый многогранник.

Ответ: A

б) четырёхугольной призмы

Четырёхугольная призма — это многогранник, у которого два основания являются равными четырёхугольниками, а четыре боковые грани — параллелограммами. Её развёртка состоит из двух равных четырёхугольников и четырёх параллелограммов, то есть из 6 граней.

- Фигура B состоит из шести равных квадратов. Это классическая развёртка куба. Куб является частным случаем прямой четырёхугольной призмы, у которой все грани — квадраты. Четыре квадрата в ряд образуют боковую поверхность, а два оставшихся — основания. Эта фигура правильно складывается в куб.

- Фигура F состоит из шести квадратов, расположенных в виде прямоугольника 2x3. При сворачивании этой фигуры получится труба с квадратным сечением, но без оснований (верхней и нижней крышек), при этом две боковые стенки будут двойными. Замкнутую призму из неё сложить нельзя.

- Фигура M состоит из прямоугольников и трапеций. Если предположить, что основаниями являются трапеции (четырёхугольники), то боковых граней должно быть четыре, и их стороны должны соответствовать сторонам трапеции. В данной фигуре размеры и/или количество боковых граней не соответствуют основаниям, поэтому она не является развёрткой призмы.

Ответ: B

в) треугольной пирамиды

Треугольная пирамида (также известная как тетраэдр) — это многогранник, все четыре грани которого являются треугольниками.

- Фигура C состоит из четырёх треугольников. Центральный треугольник может служить основанием, а три боковых треугольника при сгибании сойдутся в одной вершине, образуя пирамиду. Равные стороны, отмеченные штрихами, совместятся.

- Фигура D также состоит из четырёх треугольников. Это ещё один из возможных видов развёртки треугольной пирамиды. При мысленном сгибании все вершины сходятся в нужных точках, а рёбра, отмеченные одинаковыми штрихами, совмещаются.

- Фигура N состоит из четырёх треугольников. Эту фигуру также можно сложить в треугольную пирамиду. Если взять один из треугольников за основание, остальные три треугольника образуют боковые грани, которые сомкнутся, образуя замкнутую поверхность.

Ответ: C, D, N

3.53. На ёлочной гирлянде из 60 лампочек не горит 6 лампочек. Сколько процентов составляют горящие лампочки от всех лампочек?

3.53

Лампочек – 60;

Не горит – 6.

Горит - ? %.

1) 60 – 6 = 54 (лампочки) – горят;

2) 54 : 60 • 100% = 0,9 • 100% = 90% - составляют горящие лампочки

Ответ: 90%.

Для того чтобы определить, сколько процентов составляют горящие лампочки от всех лампочек, необходимо сначала найти количество горящих лампочек, а затем вычислить их процентное соотношение к общему числу.

1. Находим количество горящих лампочек.

Общее количество лампочек в гирлянде — 60. Из них не горит 6 лампочек. Чтобы найти количество исправных (горящих) лампочек, вычтем из общего числа количество неработающих:

$60 - 6 = 54$ (горящих лампочек).

2. Вычисляем процент горящих лампочек.

Теперь нужно найти, какую часть составляют 54 горящие лампочки от общего количества (60) и выразить эту часть в процентах. Для этого разделим количество горящих лампочек на общее количество и умножим результат на 100%.

Процент горящих лампочек = $(\frac{\text{количество горящих лампочек}}{\text{общее количество лампочек}}) \times 100\%$

$(\frac{54}{60}) \times 100\% = 0,9 \times 100\% = 90\%$

Ответ: 90%.

П.7. Постройте столбчатую диаграмму максимальной продолжительности жизни некоторых животных по следующим данным: бегемот − 50 лет, бобёр − 20 лет, дельфин − 75 лет, заяц − 11 лет, корова − 35 лет, лев − 30 лет, слон − 80 лет.

П.7

п.7

Для того чтобы построить столбчатую диаграмму, необходимо сначала подготовить координатную плоскость с двумя осями. На горизонтальной оси (оси абсцисс) мы будем отмечать категории — в данном случае, названия животных. На вертикальной оси (оси ординат) мы будем откладывать значения — максимальную продолжительность жизни в годах. Важно выбрать правильный масштаб для вертикальной оси. Так как наибольшая продолжительность жизни в предоставленных данных составляет 80 лет (у слона), можно выбрать цену одного деления равной 10 годам. Далее, для каждого животного из списка (бегемот — 50 лет, бобёр — 20 лет, дельфин — 75 лет, заяц — 11 лет, корова — 35 лет, лев — 30 лет, слон — 80 лет) строится прямоугольный столбец. Ширина всех столбцов должна быть одинаковой, а высота — соответствовать продолжительности жизни животного по выбранному масштабу.

Ответ:

П.8. На рисунке 2 изображён график зависимости температуры воздуха от времени в течение суток. Используя график, найдите:
а) когда температура воздуха была равна 0 °C; 3 °C; -3 °C; -7 °C;
б) температуру воздуха в 3 ч; в 11 ч; в 20 ч;
в) когда температура воздуха не менялась;
г) когда температура воздуха была отрицательной; положительной;
д) когда температура воздуха понижалась; повышалась.

П.8
а) 0℃ было в 11 часов
3℃ было в 13 часов и 21 ч 30 мин
-3℃ было в 0 часов и в 8 ч 40 мин
-7℃ было в 5 часов

б) в 3 ч температура была -5℃
в 11 ч температура была 0℃
в 20 ч температура была 5℃

в) температура воздуха не менялась с 0 ч до 1 ч 40 мин и с 16 до 18 часов

г) температура воздуха была отрицательной с 0 ч до 11 ч
температура воздуха была положительной с 11 ч до 24 ч

д) температура воздуха понижалась с 1 ч 40 мин до 5 ч и с 18 ч до 24 ч
температура воздуха повышалась с 5 ч до 16 ч

а) когда температура воздуха была равна 0 °C; 3 °C; -3 °C; -7 °C;

Для нахождения времени по известной температуре необходимо найти заданное значение температуры на вертикальной оси (ось температур), провести от этой точки горизонтальную линию до пересечения с графиком, а затем от точки пересечения опустить перпендикуляр на горизонтальную ось (ось времени) и определить значение времени.

• Температура $0 \space°C$: Горизонтальная линия, соответствующая $0 \space°C$, совпадает с осью времени. График пересекает эту ось в точках, соответствующих 11 ч и 22 ч.
• Температура $3 \space°C$: Проводим горизонтальную линию от отметки $3 \space°C$ на оси температур. Линия пересекает график в точках, абсциссы которых равны 13 ч и 21 ч.
• Температура $-3 \space°C$: Горизонтальная линия от отметки $-3 \space°C$ совпадает с участком графика с 2 ч до 4 ч. Также эта линия пересекает график еще в одной точке, абсцисса которой примерно равна 9 ч.
• Температура $-7 \space°C$: Это минимальное значение температуры за сутки. Оно достигается в самой низкой точке графика, что соответствует времени 6 ч.

Ответ: Температура была равна $0 \space°C$ в 11 ч и 22 ч; $3 \space°C$ — в 13 ч и 21 ч; $-3 \space°C$ — в промежутке с 2 ч до 4 ч и примерно в 9 ч; $-7 \space°C$ — в 6 ч.

б) температуру воздуха в 3 ч; в 11 ч; в 20 ч;

Для нахождения температуры в заданное время необходимо найти это время на горизонтальной оси, провести от этой точки вертикальную линию до пересечения с графиком, а затем от точки пересечения провести перпендикуляр к вертикальной оси и определить значение температуры.

• В 3 ч: Находим на оси времени отметку 3 ч. Поднимаемся до графика. Соответствующая точка на оси температур — $-3 \space°C$.
• В 11 ч: Находим на оси времени отметку 11 ч. Точка графика находится на самой оси времени, что соответствует температуре $0 \space°C$.
• В 20 ч: Находим на оси времени отметку 20 ч. Поднимаемся до графика. Соответствующая точка на оси температур — $4 \space°C$.

Ответ: В 3 ч температура воздуха составляла $-3 \space°C$; в 11 ч — $0 \space°C$; в 20 ч — $4 \space°C$.

в) когда температура воздуха не менялась;

Температура не менялась на тех участках, где график зависимости является горизонтальной прямой. На графике есть два таких участка:

• С 2 ч до 4 ч, когда температура была постоянной и составляла $-3 \space°C$.
• С 16 ч до 18 ч, когда температура была постоянной и составляла $7 \space°C$.

Ответ: Температура не менялась в промежутках времени с 2 ч до 4 ч и с 16 ч до 18 ч.

г) когда температура воздуха была отрицательной; положительной;

• Температура была отрицательной ($T < 0 \space°C$), когда график расположен ниже оси времени. Это наблюдается в двух промежутках: с начала суток (0 ч) до 11 ч и с 22 ч до конца суток (24 ч).
• Температура была положительной ($T > 0 \space°C$), когда график расположен выше оси времени. Это наблюдается в промежутке времени с 11 ч до 22 ч.

Ответ: Температура была отрицательной с 0 ч до 11 ч и с 22 ч до 24 ч; положительной — с 11 ч до 22 ч.

д) когда температура воздуха понижалась; повышалась.

• Температура понижалась, когда график шел вниз (функция убывала). Это происходило на интервалах времени с 4 ч до 6 ч и с 18 ч до 24 ч.
• Температура повышалась, когда график шел вверх (функция возрастала). Это происходило на интервалах времени с 0 ч до 2 ч и с 6 ч до 16 ч.

Ответ: Температура понижалась с 4 ч до 6 ч и с 18 ч до 24 ч; повышалась — с 0 ч до 2 ч и с 6 ч до 16 ч.

П.9. Найдите значение выражения:
1) 4,2 · (12 − 12,9) − 15,6 · (6 − 5,8);
2) 0,1092 : (−0,21) − 0,9 · (−0,2) · (– 35);
3) −108 : 75 − (2,43 + 3,9 · 0,2);
4) −4,242 : 0,7 + 3,9 · (8 − 5,4);
5) – 123 · (35)² – 945 : 711;
6) –7,2 : 611 – 12,8 · (34)³.

П.9

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }4,2 · (12 \stackrel{1}{–} 12,9) – 15,6 · (6 \stackrel{2}{–} 5,8) = \\ = 4,2 \stackrel{3}{·} (– 0,9) – 15,6 \stackrel{4}{·} 0,2 = \\ = –3,78 – 3,12 = –3,78 + (– 3,12) = \\ = – (3,78 \stackrel{5}{+} 3,12) = – 6,9 \end{gathered}$$

1.	2.
3.	4.
5.

$$\begin{gathered} \mathbf{2}\mathbf{)} 0,1092 : (-0,21) – 0,9 · (-0,2) · \left({-\frac{3}{5}}^{\overline{)·2}}\right)= \\ = 10,92\stackrel{1}{:}(-21)+0,18 · \left(-\frac{6}{10}\right)= \\ = -0,52+ 0,18 · (-0,6)=-0,52\stackrel{2}{+}(-0,108) = \\ = - 0,628 \end{gathered}$$

1.

2.

$$\begin{gathered} \mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }-108 \stackrel{1}{:} 75 – (2,43 + 3,9\stackrel{2}{ ·} 0,2) = –1,44 – \\ - (2,43 \stackrel{3}{+} 0,78) = –1,44 – 3,21 = \\ = – (1,44 \stackrel{4}{+} 3,21) = –4,65 \end{gathered}$$

1.	2.
3.	4.

$$\begin{gathered} \mathbf{4}\mathbf{)} -4,242 : 0,7 + 3,9 · (8 \stackrel{2}{–} 5,4) = -42,42 \stackrel{1}{:} 7 + \\ + 3,9 \stackrel{3}{·} 2,6 = -6,06 + 10,14 = 10,14 \stackrel{4}{–} 6,06 = 4,08 \end{gathered}$$

1.	2.
3.	4.

$$\begin{gathered} \mathbf{5}\mathbf{)}\mathbf{ }- 1\frac{2}{3} · {\left(\frac{3}{5}\right)}^2 - 9\frac{4}{5} : \frac{7}{11} = -\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{9}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\bcancel{25}}}} - \\ -\frac{{\displaystyle \stackrel{7}{\sout{49}}}}{5} · \frac{11}{{\displaystyle \underset{1}{\sout{7}}}}=-\frac{1}{1} · \frac{3}{5} -\frac{7}{5} · \frac{11}{1} = -\frac{3}{5} - \\ - \frac{77}{5} = -\left(\frac{3}{5} + \frac{77}{5}\right) = -\frac{80}{5} = -16 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{6}\mathbf{)}\mathbf{ }-7,2 : \frac{6}{11} - 12,8 · {\left(\frac{3}{4}\right)}^3 = -\stackrel{1,2}{\cancel{7,2}} · \frac{11}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{6}}}} - \\ - \stackrel{0,2}{\bcancel{12,8}} · \frac{27}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{64}}}} = -1,2 · \frac{11}{1} - 0,2 · \frac{27}{1} = \\ -13,2 – 5,4 = - (13,2 + 5,4) = \\ = -18,6 \end{gathered}$$

1) $4,2 \cdot (12 - 12,9) - 15,6 \cdot (6 - 5,8)$
Решим по действиям, соблюдая порядок: сначала действия в скобках, затем умножение и вычитание.
1. $12 - 12,9 = -0,9$
2. $6 - 5,8 = 0,2$
3. $4,2 \cdot (-0,9) = -3,78$
4. $15,6 \cdot 0,2 = 3,12$
5. $-3,78 - 3,12 = -6,9$
Ответ: -6,9

2) $0,1092 : (-0,21) - 0,9 \cdot (-0,2) \cdot (-\frac{3}{5})$
Сначала выполняем деление и умножение, затем вычитание.
1. $0,1092 : (-0,21) = -0,52$
2. $0,9 \cdot (-0,2) = -0,18$
3. $-0,18 \cdot (-\frac{3}{5}) = -0,18 \cdot (-0,6) = 0,108$
4. $-0,52 - 0,108 = -0,628$
Ответ: -0,628

3) $-108 : 75 - (2,43 + 3,9 \cdot 0,2)$
Решим по действиям: сначала умножение в скобках, затем сложение в скобках, потом деление и вычитание.
1. $3,9 \cdot 0,2 = 0,78$
2. $2,43 + 0,78 = 3,21$
3. $-108 : 75 = -1,44$
4. $-1,44 - 3,21 = -4,65$
Ответ: -4,65

4) $-4,242 : 0,7 + 3,9 \cdot (8 - 5,4)$
Решим по действиям: сначала вычитание в скобках, затем деление и умножение, и в конце сложение.
1. $8 - 5,4 = 2,6$
2. $-4,242 : 0,7 = -6,06$
3. $3,9 \cdot 2,6 = 10,14$
4. $-6,06 + 10,14 = 4,08$
Ответ: 4,08

5) $-1\frac{2}{3} \cdot (\frac{3}{5})^2 - 9\frac{4}{5} : \frac{7}{11}$
Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби и решим по действиям. Сначала возведение в степень, затем умножение и деление, и в конце вычитание.
$ -1\frac{2}{3} = -\frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = -\frac{5}{3}$
$ 9\frac{4}{5} = \frac{9 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{49}{5}$
Получаем выражение: $-\frac{5}{3} \cdot (\frac{3}{5})^2 - \frac{49}{5} : \frac{7}{11}$
1. $(\frac{3}{5})^2 = \frac{3^2}{5^2} = \frac{9}{25}$
2. $-\frac{5}{3} \cdot \frac{9}{25} = -\frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 25} = -\frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 5} = -\frac{3}{5}$
3. $\frac{49}{5} : \frac{7}{11} = \frac{49}{5} \cdot \frac{11}{7} = \frac{49 \cdot 11}{5 \cdot 7} = \frac{7 \cdot 11}{5} = \frac{77}{5}$
4. $-\frac{3}{5} - \frac{77}{5} = \frac{-3-77}{5} = \frac{-80}{5} = -16$
Ответ: -16

6) $-7,2 : \frac{6}{11} - 12,8 \cdot (\frac{3}{4})^3$
Преобразуем десятичные дроби в обыкновенные и решим по действиям. Сначала возведение в степень, затем деление и умножение, и в конце вычитание.
$ -7,2 = -\frac{72}{10} = -\frac{36}{5}$
$ 12,8 = \frac{128}{10} = \frac{64}{5}$
Получаем выражение: $-\frac{36}{5} : \frac{6}{11} - \frac{64}{5} \cdot (\frac{3}{4})^3$
1. $(\frac{3}{4})^3 = \frac{3^3}{4^3} = \frac{27}{64}$
2. $-\frac{36}{5} : \frac{6}{11} = -\frac{36}{5} \cdot \frac{11}{6} = -\frac{36 \cdot 11}{5 \cdot 6} = -\frac{6 \cdot 11}{5} = -\frac{66}{5}$
3. $\frac{64}{5} \cdot \frac{27}{64} = \frac{64 \cdot 27}{5 \cdot 64} = \frac{27}{5}$
4. $-\frac{66}{5} - \frac{27}{5} = \frac{-66-27}{5} = -\frac{93}{5} = -18,6$
Ответ: -18,6

П.10. Найдите значение дроби:

$а) \frac{3,636 · {\displaystyle \frac{5}{6}}}{10,1};$ $б) \frac{0,5814 · {\displaystyle \frac{17}{19}}}{3,06}.$

П.10

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} \frac{{\displaystyle \stackrel{0,606}{\cancel{3,636}}} · {\displaystyle \frac{5}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{6}}}}}}{10,1} = \frac{0,606 · {\displaystyle \frac{5}{1}}}{10,1} = \frac{3,03}{10,1} = \frac{30,3}{101} = \\ = 0,3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{{\displaystyle \stackrel{0,0306}{\cancel{0,5814} }}· {\displaystyle \frac{17}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{19}}}}}}{3,06} = \frac{0,0306 · {\displaystyle \frac{17}{1}}}{3,06} = \frac{0,5202}{3,06} = \\ = \frac{52,02}{306} = 0,17 \end{gathered}$$

а)

Запишем исходное выражение: $$ \frac{3,636 \cdot \frac{5}{6}}{10,1} $$ Для удобства вычислений преобразуем выражение, поменяв местами множитель из числителя и знаменатель: $$ \frac{3,636}{10,1} \cdot \frac{5}{6} $$ Сначала выполним деление десятичных дробей. Можно заметить, что числитель $3,636$ является произведением знаменателя $10,1$ и числа $0,36$: $$ 10,1 \cdot 0,36 = 3,636 $$ Следовательно, частное от их деления равно $0,36$: $$ \frac{3,636}{10,1} = 0,36 $$ Теперь подставим полученное значение обратно в выражение: $$ 0,36 \cdot \frac{5}{6} $$ Выполним умножение. Для этого разделим $0,36$ на $6$, а затем умножим на $5$: $$ \frac{0,36}{6} \cdot 5 = 0,06 \cdot 5 = 0,3 $$ Ответ: 0,3

б)

Запишем исходное выражение: $$ \frac{0,5814 \cdot \frac{17}{19}}{3,06} $$ Как и в предыдущем примере, преобразуем выражение для удобства: $$ \frac{0,5814}{3,06} \cdot \frac{17}{19} $$ Попробуем найти связь между числами в выражении. Проверим, чему равно произведение знаменателя $3,06$ и знаменателя дроби $19$: $$ 3,06 \cdot 19 = 58,14 $$ Мы видим, что это произведение в 100 раз больше, чем числитель $0,5814$. Значит, мы можем выразить $0,5814$ следующим образом: $$ 0,5814 = \frac{58,14}{100} = \frac{3,06 \cdot 19}{100} $$ Подставим это выражение в исходную дробь: $$ \frac{\frac{3,06 \cdot 19}{100} \cdot \frac{17}{19}}{3,06} $$ Теперь мы можем сократить одинаковые множители. Запишем все в одну дробь: $$ \frac{3,06 \cdot 19 \cdot 17}{100 \cdot 19 \cdot 3,06} $$ Сокращаем $3,06$ в числителе и знаменателе. Также сокращаем $19$: $$ \frac{\cancel{3,06} \cdot \cancel{19} \cdot 17}{100 \cdot \cancel{19} \cdot \cancel{3,06}} = \frac{17}{100} $$ Получаем конечный результат: $$ \frac{17}{100} = 0,17 $$ Ответ: 0,17

П.11. Найдите значение выражения с помощью калькулятора:
а) (4,78 − 6,18) : 7 + 20 · 0,42 : 0,525 + 17,93 − 33,43;
б) (16,65 : 0,72 + 15,4 : 11) · (235,2 : 0,7 − 83,6) + 4,89.

П.11

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} (4,78 – 6,18) : 7 + 20 · 0,42 : 0,525 + \\ + 17,93 – 33,43 = – 0,2 + 16 + 17,93 – \\ - 33,43 = 0,3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }(16,65 : 0,72 + 15,4 : 11) · (235,2 : 0,7 – 83,6) + \\ + 4,89 = (23,125 + 1,4) · 252,4 + 4,89 = \\ = 24,525 · 252,4 + 4,89 = 6190,11 + 4,89 = \\ = 6195 \end{gathered}$$

а) $(4,78 - 6,18) : 7 + 20 \cdot 0,42 : 0,525 + 17,93 - 33,43$

Для решения данного выражения необходимо соблюдать порядок действий: сначала выполняются действия в скобках, затем умножение и деление слева направо, и в последнюю очередь сложение и вычитание слева направо.

1. Выполним действие в скобках:

$4,78 - 6,18 = -1,4$

2. Подставим результат в исходное выражение:

$-1,4 : 7 + 20 \cdot 0,42 : 0,525 + 17,93 - 33,43$

3. Теперь выполним операции умножения и деления по порядку:

$-1,4 : 7 = -0,2$

$20 \cdot 0,42 = 8,4$

$8,4 : 0,525 = 16$

4. Снова подставим полученные значения в выражение:

$-0,2 + 16 + 17,93 - 33,43$

5. Выполним сложение и вычитание слева направо:

$-0,2 + 16 = 15,8$

$15,8 + 17,93 = 33,73$

$33,73 - 33,43 = 0,3$

Ответ: 0,3

б) $(16,65 : 0,72 + 15,4 : 11) \cdot (235,2 : 0,7 - 83,6) + 4,89$

Решаем по порядку действий: сначала вычисляем значения в каждой из скобок, затем выполняем умножение и в конце — сложение.

1. Вычислим значение выражения в первых скобках. Внутри скобок сначала выполняем деление, затем сложение:

$16,65 : 0,72 = 23,125$

$15,4 : 11 = 1,4$

$23,125 + 1,4 = 24,525$

2. Вычислим значение выражения во вторых скобках. Сначала деление, потом вычитание:

$235,2 : 0,7 = 336$

$336 - 83,6 = 252,4$

3. Подставим полученные значения в исходное выражение:

$24,525 \cdot 252,4 + 4,89$

4. Выполним умножение:

$24,525 \cdot 252,4 = 6189,909$

5. Выполним сложение:

$6189,909 + 4,89 = 6194,799$

Ответ: 6194,799

П.12. Используя вычитание, сравните числа:

а) 58 и 35;
б) 712 и 1118;
в) – 913 и – 59;
г) – 89 и – 4105.

П.12

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} {\frac{5}{8}}^{\overline{)·5}} - {\frac{3}{5}}^{\overline{)·8}} = \frac{25}{40} - \frac{23}{40} = \frac{1}{4} > 0 \\ \mathrm{т}.\mathrm{к}. \frac{5}{8} - \frac{3}{8} > 0 , \mathrm{то} \frac{5}{8} > \frac{3}{5} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)} {\frac{7}{12}}^{\overline{)·3}} - {\frac{11}{18}}^{\overline{)·2}} = \frac{21}{36} - \frac{22}{36} = -\frac{1}{36} < 0 \\ \mathrm{т}.\mathrm{к}. \frac{7}{12} - \frac{11}{18} < 0 , \mathrm{то} \frac{7}{12} <\frac{11}{18} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }{-\frac{9}{13}}^{\overline{)·9}} - \left({-\frac{5}{9}}^{\overline{)·13}}\right) = -\frac{81}{117} + \frac{65}{117} = -\frac{16}{117} < 0 \\ \mathrm{т} .\mathrm{к}. -\frac{9}{13} - \left(-\frac{5}{9}\right) <0 , \mathrm{то} -\frac{9}{13} < \left(-\frac{5}{9}\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)} - {\frac{8}{9}}^{\overline{)·35}} - \left({-\frac{4}{105}}^{\overline{)·3}}\right) = -\frac{280}{315} + \frac{12}{315} = -\frac{262}{315} < 0 \\ \mathrm{т}.\mathrm{к} - \frac{8}{9} - \left(-\frac{4}{105}\right) < 0, \mathrm{то} - \frac{8}{9} < \left(-\frac{4}{105}\right) \end{gathered}$$

а) Чтобы сравнить числа $\frac{5}{8}$ и $\frac{3}{5}$, найдем их разность. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 8 и 5 это $8 \times 5 = 40$.
Вычислим разность:
$\frac{5}{8} - \frac{3}{5} = \frac{5 \times 5}{8 \times 5} - \frac{3 \times 8}{5 \times 8} = \frac{25}{40} - \frac{24}{40} = \frac{25 - 24}{40} = \frac{1}{40}$.
Так как разность $\frac{1}{40}$ является положительным числом (больше нуля), то уменьшаемое больше вычитаемого.
Ответ: $\frac{5}{8} > \frac{3}{5}$.

б) Чтобы сравнить числа $\frac{7}{12}$ и $\frac{11}{18}$, найдем их разность. Наименьший общий знаменатель для 12 и 18 это 36 ($12=2^2 \times 3$, $18=2 \times 3^2$, НОК$(12,18)=2^2 \times 3^2 = 36$).
Вычислим разность:
$\frac{7}{12} - \frac{11}{18} = \frac{7 \times 3}{12 \times 3} - \frac{11 \times 2}{18 \times 2} = \frac{21}{36} - \frac{22}{36} = \frac{21 - 22}{36} = -\frac{1}{36}$.
Так как разность $-\frac{1}{36}$ является отрицательным числом (меньше нуля), то уменьшаемое меньше вычитаемого.
Ответ: $\frac{7}{12} < \frac{11}{18}$.

в) Чтобы сравнить числа $-\frac{9}{13}$ и $-\frac{5}{9}$, найдем их разность.
$-\frac{9}{13} - (-\frac{5}{9}) = -\frac{9}{13} + \frac{5}{9}$.
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 13 и 9 это $13 \times 9 = 117$.
$-\frac{9 \times 9}{13 \times 9} + \frac{5 \times 13}{9 \times 13} = -\frac{81}{117} + \frac{65}{117} = \frac{-81 + 65}{117} = -\frac{16}{117}$.
Так как разность $-\frac{16}{117}$ является отрицательным числом, то первое число меньше второго.
Ответ: $-\frac{9}{13} < -\frac{5}{9}$.

г) Чтобы сравнить числа $-\frac{8}{9}$ и $-\frac{4}{105}$, найдем их разность.
$-\frac{8}{9} - (-\frac{4}{105}) = -\frac{8}{9} + \frac{4}{105}$.
Найдем наименьший общий знаменатель для 9 и 105. Разложим знаменатели на простые множители: $9 = 3^2$, $105 = 3 \times 5 \times 7$. Наименьшее общее кратное (НОК) равно $3^2 \times 5 \times 7 = 9 \times 35 = 315$.
$-\frac{8 \times 35}{9 \times 35} + \frac{4 \times 3}{105 \times 3} = -\frac{280}{315} + \frac{12}{315} = \frac{-280 + 12}{315} = -\frac{268}{315}$.
Так как разность $-\frac{268}{315}$ является отрицательным числом, то первое число меньше второго.
Ответ: $-\frac{8}{9} < -\frac{4}{105}$.

П.13. Имеет ли ось (оси) симметрии:
а) отрезок;
б) луч;
в) прямая;
г) разносторонний треугольник;
д) равносторонний треугольник;
е) квадрат;
ж) прямоугольник;
з) окружность;
и) круг?

Если фигуры имеют оси симметрии, изобразите их в тетради.

П.13

а) отрезок имеет ось симметрии

б) луч не имеет оси симметрии

в) прямая имеет множество осей симметрии

г) разносторонний треугольник не имеет оси симметрии

д) равносторонний треугольник имеет 3 оси симметрии

е) квадрат имеет 4 оси симметрии

ж) прямоугольник имеет 2 оси симметрии

з) окружность имеет множество осей симметрии

и) круг имеет множество осей симметрии

а) отрезок
Да, отрезок имеет две оси симметрии. Первая ось — это прямая, на которой лежит сам отрезок. При отражении относительно этой прямой каждая точка отрезка переходит сама в себя. Вторая ось — это серединный перпендикуляр к отрезку. Это прямая, которая проходит через середину отрезка и перпендикулярна ему. При отражении относительно этой прямой концы отрезка меняются местами, а середина остается на месте.
Ответ: Да, имеет две оси симметрии: прямая, содержащая отрезок, и серединный перпендикуляр к нему.

б) луч
Да, луч имеет одну ось симметрии. Этой осью является прямая, на которой лежит данный луч. При симметрии относительно этой прямой каждая точка луча переходит сама в себя. Других осей симметрии у луча нет, так как отражение относительно любой другой прямой не отобразит луч сам на себя.
Ответ: Да, имеет одну ось симметрии: прямая, содержащая этот луч.

в) прямая
Да, прямая имеет бесконечное множество осей симметрии. Во-первых, сама прямая является своей осью симметрии. Во-вторых, любая прямая, перпендикулярная данной, также является ее осью симметрии. При отражении относительно любой из этих осей прямая отображается сама на себя.
Ответ: Да, имеет бесконечно много осей симметрии: сама прямая и любая прямая, перпендикулярная ей.

г) разносторонний треугольник
Нет, разносторонний треугольник не имеет осей симметрии. Так как у него все стороны и углы различны, не существует такой прямой, относительно которой при отражении треугольник совместился бы сам с собой. Для существования оси симметрии у треугольника необходимо, чтобы он был как минимум равнобедренным.
Ответ: Нет, не имеет осей симметрии.

д) равносторонний треугольник
Да, равносторонний треугольник имеет три оси симметрии. Каждая ось симметрии проходит через одну из вершин треугольника и середину противоположной стороны. Эти линии являются одновременно высотами, медианами и биссектрисами треугольника.
Ответ: Да, имеет три оси симметрии, каждая из которых проходит через вершину и середину противоположной стороны.

е) квадрат
Да, квадрат имеет четыре оси симметрии. Две оси проходят через середины противолежащих сторон, и еще две оси совпадают с его диагоналями.
Ответ: Да, имеет четыре оси симметрии: две прямые, проходящие через середины противоположных сторон, и две диагонали.

ж) прямоугольник
Да, прямоугольник (не являющийся квадратом) имеет две оси симметрии. Этими осями являются прямые, проходящие через середины его противолежащих сторон. Диагонали прямоугольника не являются его осями симметрии, если он не квадрат.
Ответ: Да, имеет две оси симметрии, которые проходят через середины противоположных сторон.

з) окружность
Да, окружность имеет бесконечное множество осей симметрии. Любая прямая, проходящая через центр окружности (то есть любая диаметральная прямая), является ее осью симметрии.
Ответ: Да, имеет бесконечно много осей симметрии — любая прямая, проходящая через ее центр.

и) круг
Да, круг, как и окружность, которая является его границей, имеет бесконечное множество осей симметрии. Любая прямая, проходящая через центр круга, является его осью симметрии.
Ответ: Да, имеет бесконечно много осей симметрии — любая прямая, проходящая через его центр.