Страница 131, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

Вопросы:

Какие величины называют прямо пропорциональными? Каким свойством они обладают?

Приведите примеры прямо пропорциональных величин.

Какие величины называют обратно пропорциональными? Каким свойством они обладают?

Приведите примеры обратно пропорциональных величин.

Приведите примеры величин, у которых зависимость не является ни прямо, ни обратно пропорциональной.

20. Прямая и обратная пропорциональная зависимости

Вопросы к параграфу

• Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.
  Отношения соответствующих значений прямо пропорциональных величин равны.

• Прямо пропорциональные величины: расстояние и время при постоянной скорости; количество товара и его стоимость

• Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.
  Произведения соответствующих значений обратно пропорциональных величин равны.

• обратно пропорциональные величины: скорость и время при постоянном расстоянии; количество и цена товара при постоянной сумме покупки

• рост и возраст человека; масса и возраст собаки.

Какие величины называют прямо пропорциональными? Каким свойством они обладают?

Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз другая величина увеличивается (или уменьшается) во столько же раз.
Основное свойство прямо пропорциональных величин заключается в том, что отношение их соответствующих значений является постоянной величиной. Если величины y и x прямо пропорциональны, их связь выражается формулой $y = kx$, где $k$ — постоянный коэффициент пропорциональности. Следовательно, их отношение $\frac{y}{x} = k$ постоянно (при $x \neq 0$).

Ответ:

Приведите примеры прямо пропорциональных величин.

1. Стоимость товара и его количество при фиксированной цене. Если цена одного килограмма яблок составляет 100 рублей, то 2 кг будут стоить 200 рублей, а 3 кг – 300 рублей. Отношение стоимости к количеству постоянно и равно цене.
2. Пройденный путь и время движения при постоянной скорости. Если автомобиль движется со скоростью 80 км/ч, то за 1 час он проедет 80 км, а за 3 часа — 240 км. Отношение пути ко времени постоянно и равно скорости.
3. Периметр квадрата и длина его стороны. Периметр квадрата вычисляется по формуле $P = 4a$, где $a$ — длина стороны. При увеличении стороны вдвое, периметр также увеличивается вдвое.

Ответ:

Какие величины называют обратно пропорциональными? Каким свойством они обладают?

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз другая величина уменьшается (или увеличивается) во столько же раз.
Основное свойство обратно пропорциональных величин заключается в том, что произведение их соответствующих значений является постоянной величиной. Если величины y и x обратно пропорциональны, их связь выражается формулой $y = \frac{k}{x}$, где $k$ — постоянная величина. Следовательно, их произведение $x \cdot y = k$ постоянно.

Ответ:

Приведите примеры обратно пропорциональных величин.

1. Скорость и время для преодоления фиксированного расстояния. Чтобы проехать 240 км со скоростью 80 км/ч, потребуется 3 часа, а со скоростью 120 км/ч — 2 часа. Произведение скорости на время постоянно: $80 \cdot 3 = 120 \cdot 2 = 240$.
2. Количество работников и время выполнения определенного объема работы. Если 3 маляра красят забор за 8 часов, то 6 маляров выполнят ту же работу за 4 часа. Произведение количества работников на время постоянно.
3. Цена товара и его количество, которое можно приобрести на определенную сумму денег. На 1000 рублей можно купить 2 кг конфет по цене 500 руб/кг или 4 кг конфет по цене 250 руб/кг.

Ответ:

Приведите примеры величин, у которых зависимость не является ни прямо, ни обратно пропорциональной.

1. Рост человека и его возраст. В детстве рост увеличивается с возрастом, но не пропорционально (ребенок в 2 года не вдвое ниже, чем в 4 года), а после достижения определенного возраста рост прекращается.
2. Площадь квадрата и длина его стороны. Зависимость выражается формулой $S = a^2$. Если сторону $a$ увеличить в 2 раза, то площадь $S$ увеличится в $2^2=4$ раза. Это квадратичная зависимость, а не прямая пропорциональность.
3. Температура воздуха в течение дня. Температура может сначала расти, а потом падать, не имея никакой пропорциональной зависимости от времени.

Ответ:

П.37. Площадь двух полей, засеянных подсолнечником, равна 80 га. На одном поле с каждого гектара собрали 3,6 т семян, а на другом − 4,2 т. Найдите площадь каждого поля, если с первого поля собрали на 63 т меньше, чем со второго.

П.37

Пусть х га – площадь одного поля, тогда (80 – х) га – площадь второго поля, 3,6х т семян – собрали с одного поля, 4,2(80 – х) т семян – собрали с другого поля. Зная, что с первого поля собрали на 63 т семян меньше, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} 4,2(80 – х) – 3,6х = 63; \\ 336 – 4,2х – 3,6х = 63; \\ -7,8х = 63 – 336; \\ -7,8х = -273; \\ х = -273 : (-7,8); \\ х = -2730 : 78; \end{gathered}$$

х = 35 (га) – площадь одного поля;

$\mathbf{1}\mathbf{)} 80 – 35 = 45$ (га) – площадь другого поля.

Ответ: 35 га и 45 га.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — площадь первого поля в гектарах (га), а $y$ — площадь второго поля в гектарах (га).

Согласно условию, общая площадь двух полей составляет 80 га. Это позволяет составить первое уравнение:

$x + y = 80$

Урожайность первого поля составляет 3,6 тонны (т) с гектара, следовательно, общий сбор семян с этого поля равен $3,6x$ тонн. Урожайность второго поля — 4,2 т с гектара, значит, с него собрали $4,2y$ тонн семян.

Известно, что с первого поля собрали на 63 т семян меньше, чем со второго. На основании этого составим второе уравнение:

$4,2y - 3,6x = 63$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} x + y = 80 \\ 4,2y - 3,6x = 63 \end{cases} $

Для решения системы выразим переменную $y$ из первого уравнения:

$y = 80 - x$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$4,2(80 - x) - 3,6x = 63$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $x$:

$4,2 \cdot 80 - 4,2x - 3,6x = 63$

$336 - (4,2 + 3,6)x = 63$

$336 - 7,8x = 63$

Перенесем слагаемые, чтобы выделить $x$:

$7,8x = 336 - 63$

$7,8x = 273$

$x = \frac{273}{7,8}$

$x = 35$

Итак, мы нашли, что площадь первого поля составляет 35 га.

Теперь найдем площадь второго поля, подставив найденное значение $x$ в выражение $y = 80 - x$:

$y = 80 - 35 = 45$

Следовательно, площадь второго поля составляет 45 га.

Выполним проверку.
Общая площадь: $35 \text{ га} + 45 \text{ га} = 80 \text{ га}$. (Соответствует условию)
Сбор с первого поля: $35 \text{ га} \times 3,6 \text{ т/га} = 126 \text{ т}$.
Сбор со второго поля: $45 \text{ га} \times 4,2 \text{ т/га} = 189 \text{ т}$.
Разница в сборе: $189 \text{ т} - 126 \text{ т} = 63 \text{ т}$. (Соответствует условию)

Ответ: площадь первого поля — 35 га, площадь второго поля — 45 га.

П.38. В одном резервуаре хранилось 48 000 м³ нефти, а в другом − 48 480 м³. После того как из первого резервуара взяли нефти в 2 раза меньше, чем из второго, в первом оказалось на 10 м³ больше, чем во втором. Сколько нефти взяли из каждого резервуара?

П.38

Пусть х м³ нефти – взяли из первого резервуара, тогда 2х м³ нефти – взяли из второго резервуара, (48000 – х) т нефти – осталось в первом резервуаре, (48480 – 2х) м³ нефти – осталось во втором резервуаре, т.к. в первом резервуаре осталось на 10 м³ нефти больше, составляем уравнение

$$\begin{gathered} 48000 – х – 10 = 48480 – 2х; \\ 47990 – х = 48480 – 2х; \\ -х + 2х = 48480 – 47990; \end{gathered}$$

х = 490 (т) нефти – взяли из первого резервуара;

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ } 2 · 490 = 980$ (т) нефти – взяли из второго резервуара.

Ответ: 490 т и 980 т.

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $x$ — это объем нефти (в м³), который взяли из первого резервуара. Тогда, согласно условию, из второго резервуара взяли в 2 раза больше нефти, то есть $2x$ м³.

Изначально в первом резервуаре было 48 000 м³ нефти. После того как из него взяли $x$ м³, в нем осталось:
$48000 - x$ м³.

Изначально во втором резервуаре было 48 480 м³ нефти. После того как из него взяли $2x$ м³, в нем осталось:
$48480 - 2x$ м³.

По условию, после этого в первом резервуаре оказалось на 10 м³ нефти больше, чем во втором. Составим уравнение, отражающее это условие:

$(48000 - x) - (48480 - 2x) = 10$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки:

$48000 - x - 48480 + 2x = 10$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и числовые слагаемые:

$(2x - x) + (48000 - 48480) = 10$

Выполним вычисления:

$x - 480 = 10$

Перенесем -480 в правую часть уравнения, изменив знак:

$x = 10 + 480$

$x = 490$

Таким образом, из первого резервуара взяли 490 м³ нефти.

Теперь найдем, сколько нефти взяли из второго резервуара. Мы знаем, что это в 2 раза больше, чем из первого:

$2x = 2 \cdot 490 = 980$

Из второго резервуара взяли 980 м³ нефти.

Проверим результат:
Остаток в первом резервуаре: $48000 - 490 = 47510$ м³.
Остаток во втором резервуаре: $48480 - 980 = 47500$ м³.
Разница между остатками: $47510 - 47500 = 10$ м³.
Условие задачи выполняется.

Ответ: из первого резервуара взяли 490 м³ нефти, а из второго — 980 м³ нефти.

П.39. Периметр треугольника АВС равен 154 см. Найдите сторону АС, если сторона ВС меньше стороны АС на 33 см, а сторона АВ больше стороны ВС на 4 см.

П.39

Пусть х см – сторона ВС, тогда (х + 33) см – сторона АС, (х + 4) см – сторона АВ. Зная, что периметр треугольника 154 см, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х + х + 33 + х + 4 = 154; \\ 3х + 37 = 154; \\ 3х = 154 – 37; \\ 3х = 117; \\ х = 117 : 3; \end{gathered}$$

х = 39 (см) – сторона ВС;

$\mathbf{1}\mathbf{)} 39 + 33 = 72$ (см) – сторона АС.

Ответ: 72 см

Для решения задачи введем переменную. Пусть длина стороны $AC$ равна $x$ см.

Согласно условию, сторона $BC$ меньше стороны $AC$ на 33 см. Следовательно, ее длина выражается как $BC = (x - 33)$ см.

Также по условию, сторона $AB$ больше стороны $BC$ на 4 см. Выразим длину стороны $AB$ через $x$:
$AB = BC + 4 = (x - 33) + 4 = (x - 29)$ см.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон ($P = AB + BC + AC$). Периметр треугольника $ABC$ равен 154 см. Составим и решим уравнение:
$x + (x - 33) + (x - 29) = 154$
$3x - 62 = 154$
$3x = 154 + 62$
$3x = 216$
$x = \frac{216}{3}$
$x = 72$

Следовательно, мы нашли, что длина стороны $AC$ равна 72 см.

Ответ: 72 см.

П.40. Найдите три последовательных целых числа, если их сумма равна −3.

П.40

Пусть х – первое число, тогда (х + 1) – второе число, (х + 2) – третье число. Зная, что их сумма равна -3, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х + х + 1 + х + 2 = -3; \\ 3х + 3 = -3; \\ 3х = -3 – 3; \\ 3х = -6; \\ х = -6 : 3; \end{gathered}$$

х = -2 – первое число;

$\mathbf{1}\mathbf{)} -2 + 1 = -1$ – второе число;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }-2 + 2 = 0$ – третье число.

Ответ: -2, -1 и 0.

Для решения этой задачи обозначим искомые числа через переменные. Пусть первое из трёх последовательных целых чисел будет $n$.

Так как числа являются последовательными, то второе число будет на единицу больше первого, то есть $n + 1$, а третье — на единицу больше второго, то есть $(n + 1) + 1 = n + 2$.

Таким образом, мы имеем три последовательных целых числа: $n$, $n + 1$, $n + 2$.

По условию задачи их сумма равна -3. Составим и решим уравнение:

$n + (n + 1) + (n + 2) = -3$

Сложим все слагаемые с переменной $n$ и все числовые слагаемые в левой части уравнения:

$(n + n + n) + (1 + 2) = -3$

$3n + 3 = -3$

Теперь перенесем число 3 из левой части в правую, изменив его знак на противоположный:

$3n = -3 - 3$

$3n = -6$

Чтобы найти $n$, разделим обе части уравнения на 3:

$n = \frac{-6}{3}$

$n = -2$

Мы нашли первое число, оно равно -2. Теперь найдем два других числа:

• Второе число: $n + 1 = -2 + 1 = -1$
• Третье число: $n + 2 = -2 + 2 = 0$

Получились числа: -2, -1, 0.

Выполним проверку. Сложим найденные числа:

$(-2) + (-1) + 0 = -3 + 0 = -3$

Сумма действительно равна -3, следовательно, задача решена верно.

Ответ: -2, -1, 0.

П.41. Найдите семь последовательных целых чисел, если их сумма равна −42.

П.41

Пусть х – первое число, тогда (х + 1) – второе число, (х + 2) – третье число, (х + 3) – четвертое число, (х + 4) – пятое число, (х + 5) – шестое число, (х + 6) – седьмое число. Зная, что их сумма равна -42, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х + х + 1 + х + 2 + х + 3 + х + 4 + \\ + х + 5 + х + 6 = -42; \\ 7х + 21 = -42; \\ 7х = -42 – 21; \\ 7х = -63; \\ х = -63 : 7; \end{gathered}$$

х = -9 – первое число;

1) -9 + 1 = -8 – второе число;

2) -9 + 2 = -7 – третье число;

3) -9 + 3 = -6 – четвертое число;

4) -9 + 4 = -5 – пятое число;

5) -9 + 5 = -4 – шестое число;

6) -9 + 6 = -3 – седьмое число.

Ответ: -9, -8 -7, -6, -5, -4, -3.

Для решения задачи обозначим наименьшее из семи последовательных целых чисел за $x$. Тогда остальные шесть чисел будут $x+1$, $x+2$, $x+3$, $x+4$, $x+5$ и $x+6$.

Согласно условию, сумма этих чисел равна -42. Составим уравнение:
$x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + (x+4) + (x+5) + (x+6) = -42$

Упростим левую часть уравнения, сложив все подобные слагаемые:
$7x + (1+2+3+4+5+6) = -42$
$7x + 21 = -42$

Теперь решим полученное линейное уравнение. Перенесем 21 в правую часть с противоположным знаком:
$7x = -42 - 21$
$7x = -63$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 7:
$x = \frac{-63}{7}$
$x = -9$

Итак, наименьшее число в последовательности равно -9. Зная первое число, мы можем найти остальные шесть, последовательно прибавляя единицу:

-9, -8, -7, -6, -5, -4, -3.

Выполним проверку, чтобы убедиться в правильности решения. Сложим найденные числа:
$(-9) + (-8) + (-7) + (-6) + (-5) + (-4) + (-3) = -42$
Сумма верна.

Ответ: -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3.

П.42. На автобусе Денис проехал на 7 км больше, чем прошёл пешком, когда отправился к другу в гости. Его путь составил бы 150 км, если бы он проехал на автобусе расстояние в 10 раз больше и прошёл пешком в 6 раз больше, чем в действительности. Найдите расстояние от дома Дениса до дома друга.

П.42

Пусть х км – прошел Денис пешком, тогда (х + 7) км – проехал на автобусе, 10(х + 7) км – проехал бы на автобусе, 6х км – прошел бы пешком. Зная, что путь составил бы 150 км, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} 10(х + 7) + 6х = 150; \\ 10х + 70 + 6х = 150; \\ 16х = 150 – 70 ; \\ 16х = 80; \\ х = 80 : 16; \end{gathered}$$

х = 5 (км) – прошел Денис пешком;

$\mathbf{1}\mathbf{)} 5 + 7 = 12$(км) – проехал на автобусе;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }5 + 12 = 17$ (км) – от дома Дениса до дома друга.

Ответ: 17 км

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ км — это расстояние, которое Денис проехал на автобусе, а $y$ км — расстояние, которое он прошёл пешком.

Согласно первому условию, Денис проехал на автобусе на 7 км больше, чем прошёл пешком. Это можно записать в виде уравнения:
$x = y + 7$

Согласно второму условию, если бы Денис проехал на автобусе в 10 раз большее расстояние ($10x$) и прошёл пешком в 6 раз большее расстояние ($6y$), то общий путь составил бы 150 км. Это можно записать в виде второго уравнения:
$10x + 6y = 150$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
$\begin{cases} x = y + 7 \\ 10x + 6y = 150 \end{cases}$

Для решения системы воспользуемся методом подстановки. Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:
$10(y + 7) + 6y = 150$

Теперь решим полученное уравнение относительно $y$:
$10y + 70 + 6y = 150$
$16y + 70 = 150$
$16y = 150 - 70$
$16y = 80$
$y = \frac{80}{16}$
$y = 5$
Таким образом, расстояние, которое Денис прошёл пешком, составляет 5 км.

Теперь найдём расстояние, которое он проехал на автобусе, подставив значение $y$ в первое уравнение:
$x = 5 + 7$
$x = 12$
Таким образом, расстояние, которое Денис проехал на автобусе, составляет 12 км.

Чтобы найти общее расстояние от дома Дениса до дома друга, нужно сложить расстояние, пройденное пешком, и расстояние, преодолённое на автобусе:
Общее расстояние = $x + y = 12 \text{ км} + 5 \text{ км} = 17 \text{ км}$.

Ответ: расстояние от дома Дениса до дома друга составляет 17 км.

П.43. Как найти: а) дробь от числа; б) число по его дроби; в) масштаб карты; г) расстояние на местности по известному расстоянию на карте и масштабу карты?

П.43

а) Чтобы найти дробь от числа, нужно число умножить на эту дробь.

б) Чтобы найти число по значению его дроби, нужно это значение разделить на дробь.

в) Чтобы найти масштаб карты, нужно реальное расстояние разделить на расстояние, изображенное на карте.

г) Чтобы найти расстояние на местности, нужно расстояние на карте разделить на масштаб карты.

а) дробь от числа

Чтобы найти дробь от некоторого числа, необходимо это число умножить на данную дробь. Это правило применяется как для обыкновенных, так и для десятичных дробей.

Если нам нужно найти дробь $\frac{m}{n}$ от числа $A$, то мы вычисляем их произведение:

$A \cdot \frac{m}{n} = \frac{A \cdot m}{n}$

Пример: Найти $\frac{3}{5}$ от числа 40.

Решение: Умножим число 40 на дробь $\frac{3}{5}$.

$40 \cdot \frac{3}{5} = \frac{40 \cdot 3}{5} = 8 \cdot 3 = 24$.

Таким образом, $\frac{3}{5}$ от 40 равно 24.

Ответ: Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить это число на эту дробь.

б) число по его дроби

Чтобы найти число по известной его части, выраженной дробью, необходимо эту часть (число) разделить на данную дробь.

Если известно, что некая величина $B$ составляет дробь $\frac{m}{n}$ от искомого числа $A$, то чтобы найти число $A$, мы делим $B$ на дробь $\frac{m}{n}$:

$A = B \div \frac{m}{n} = B \cdot \frac{n}{m}$

Пример: Найти число, если известно, что $\frac{2}{7}$ этого числа равны 14.

Решение: Разделим число 14 на дробь $\frac{2}{7}$.

$14 \div \frac{2}{7} = 14 \cdot \frac{7}{2} = \frac{14 \cdot 7}{2} = 7 \cdot 7 = 49$.

Искомое число равно 49.

Ответ: Чтобы найти число по его дроби, нужно значение этой дроби (известную часть числа) разделить на саму дробь.

в) масштаб карты

Масштаб карты показывает, во сколько раз расстояние на карте меньше соответствующего расстояния на реальной местности. Масштаб — это отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности.

Чтобы найти масштаб карты, нужно:
1. Измерить расстояние между двумя точками на карте.
2. Узнать реальное расстояние между этими же точками на местности.
3. Выразить оба расстояния в одинаковых единицах измерения (например, в сантиметрах).
4. Разделить расстояние на карте на расстояние на местности.

Формула для вычисления масштаба:
Масштаб = $\frac{\text{Расстояние на карте}}{\text{Расстояние на местности}}$

Результат обычно записывают в виде дроби с числителем 1, например, 1:100 000.

Пример: Расстояние между двумя городами на карте равно 4 см, а реальное расстояние между ними — 20 км. Найти масштаб карты.

Решение:
1. Расстояние на карте = 4 см.
2. Расстояние на местности = 20 км.
3. Переведем километры в сантиметры: $20 \text{ км} = 20 \cdot 1000 \text{ м} = 20 \cdot 1000 \cdot 100 \text{ см} = 2 000 000 \text{ см}$.
4. Найдем отношение: $\frac{4 \text{ см}}{2 000 000 \text{ см}} = \frac{1}{500 000}$.

Масштаб карты 1:500 000.

Ответ: Чтобы найти масштаб карты, необходимо разделить расстояние на карте на соответствующее ему расстояние на местности, предварительно приведя их к одной единице измерения.

г) расстояние на местности по известному расстоянию на карте и масштабу карты

Чтобы найти реальное расстояние на местности, зная расстояние на карте и ее масштаб, нужно расстояние, измеренное на карте, разделить на масштаб карты. Масштаб при этом рассматривается как дробь (например, масштаб 1:100 000 — это дробь $\frac{1}{100 000}$).

Так как деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь, можно также сказать, что расстояние на карте нужно умножить на знаменатель масштаба.

Формула для вычисления:
Расстояние на местности = $\frac{\text{Расстояние на карте}}{\text{Масштаб}} = \text{Расстояние на карте} \cdot \text{Знаменатель масштаба}$

Пример: Масштаб карты 1:200 000. Расстояние между двумя объектами на карте составляет 7 см. Каково расстояние между ними на местности?

Решение: Умножим расстояние на карте (7 см) на знаменатель масштаба (200 000).

$7 \text{ см} \cdot 200 000 = 1 400 000 \text{ см}$.

Полученное значение обычно переводят в более крупные единицы измерения для удобства:

$1 400 000 \text{ см} = 14 000 \text{ м} = 14 \text{ км}$.

Реальное расстояние составляет 14 км.

Ответ: Чтобы найти расстояние на местности, нужно расстояние на карте умножить на знаменатель масштаба и при необходимости перевести результат в удобные единицы измерения (метры, километры).

П.44. За 5 дней была произведена обрезка яблонь на 37 площади сада. Сколько гектаров сада обрезали ежедневно, если каждый день обрезали одинаковое количество яблонь, и площадь яблоневого сада равна 73,5 га?

П.44

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\stackrel{10,5}{\cancel{73,5}} · \frac{3}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}} = 10,5 · \frac{3}{1} = 31,5$ (га) – произведена обрезка за 5 дней;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 31,5 : 5 = 6,3$(га) – обрезали за 1 день.

Ответ: 6,3 га.

Для того чтобы решить задачу, выполним следующие действия:

1. Найдем площадь сада, на которой была произведена обрезка за 5 дней.

Из условия задачи известно, что обрезка была произведена на $\frac{3}{7}$ площади всего сада, а общая площадь сада составляет 73,5 га. Чтобы найти площадь обрезанного участка, необходимо умножить общую площадь сада на эту долю:

$73,5 \cdot \frac{3}{7} = \frac{73,5 \cdot 3}{7} = \frac{220,5}{7} = 31,5$ га.

Таким образом, за 5 дней была произведена обрезка яблонь на площади 31,5 га.

2. Найдем, сколько гектаров сада обрезали ежедневно.

В условии сказано, что каждый день обрезали одинаковое количество яблонь. Поскольку за 5 дней было обработано 31,5 га, для нахождения ежедневной площади обрезки нужно разделить эту площадь на количество дней:

$\frac{31,5}{5} = 6,3$ га.

Ответ: ежедневно обрезали 6,3 га сада.

П.45. Решите двумя способами задачу.

а) В баскетбольной секции занимается 27 учащихся, а в волейбольной 13. Остальные занимаются футболом. Сколько учащихся занимается футболом, если в спортивных секциях занимается 63 учащихся?

б) Третью часть сметаны отправили в магазины города, пятую − в другие регионы, остальное разложили поровну в пяти холодильниках на складе. Сколько сметаны было в каждом холодильнике, если молокозавод изготовил 2,25 т сметаны?

П.45

а) 1 способ.

$\mathbf{1}\mathbf{)} {\frac{2}{7}}^{\overline{)·3}} + {\frac{1}{3}}^{\overline{)·7}} = \frac{6}{21} + \frac{7}{21} = \frac{13}{21}$учащихся – занимаются баскетболом и волейболом;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }1 - \frac{13}{21} = \frac{21}{21} - \frac{13}{21} = \frac{8}{21}$учащихся – занимаются футболом;

$\mathbf{3}\mathbf{)} \stackrel{2}{\cancel{63}} · \frac{8}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{21}}}} = 3 · 8 = 24$ ученика – занимаются футболом.

2 способ:

$\mathbf{1}\mathbf{)} \frac{2}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}} · \stackrel{9}{\cancel{63 }}= 2 · 9 = 18$ учащихся – занимаются баскетболом;

$\mathbf{2}\mathbf{)} \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} · \stackrel{21}{\cancel{63 }}= 1 · 21 = 21$ учащийся – занимается волейболом;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 63 - ( 18 + 21) = 63 - 39 = 24$ ученика – занимаются футболом.

Ответ: 24 ученика

б) 1 способ:

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}^{\overline{)\mathbf{·}\mathbf{5}}} + {\frac{1}{5}}^{\overline{)·3}} =\frac{5}{15} + \frac{3}{15} = \frac{8}{15}$ часть сметаны – отправили в магазины и другие регионы;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }1 - \frac{8}{15} = \frac{15}{15} - \frac{8}{15} = \frac{7}{15}$часть сметаны – разложили в пять холодильников;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 2,25 · \frac{7}{15} = \frac{2,25 · 7}{15} = \frac{15,75}{15} = 1,05$ т сметаны – разложили в пять холодильников.

$\mathbf{4}\mathbf{)} 1,05 : 5 =0,21$ т сметаны – было в каждом холодильнике.

2 способ:

$\mathbf{1}\mathbf{)} 2,25 · \frac{1}{3} = \frac{2,25}{3} = 0,75$ (т) сметаны – отправили в магазины;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 2,25 · \frac{1}{5} = \frac{2,25}{5} = 0,45$ (т) сметаны – отправили в другие регионы;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 0,75 + 0,45 = 1,2$ (т) сметаны – отправили в магазины и другие регионы;

$\mathbf{4}\mathbf{)} 2,25 – 1,2 = 1,05$ (т) сметаны – разложили в пять холодильников;

$\mathbf{5}\mathbf{)} 1,05 : 5 = 0,21$(т) сметаны – было в каждом холодильнике.

Ответ: 0,21 т сметаны

a)

Первый способ:

1. Найдем количество учащихся, которые занимаются в баскетбольной секции. Для этого общее количество учащихся умножим на соответствующую долю:

$63 \cdot \frac{2}{7} = \frac{63 \cdot 2}{7} = 9 \cdot 2 = 18$ (учащихся) – в баскетбольной секции.

2. Аналогично найдем количество учащихся, занимающихся в волейбольной секции:

$63 \cdot \frac{1}{3} = \frac{63}{3} = 21$ (учащийся) – в волейбольной секции.

3. Сложим количество учащихся в этих двух секциях:

$18 + 21 = 39$ (учащихся) – занимаются баскетболом и волейболом вместе.

4. Чтобы найти количество учащихся, занимающихся футболом, вычтем из общего числа учащихся тех, кто занимается баскетболом и волейболом:

$63 - 39 = 24$ (учащихся).

Второй способ:

1. Найдем, какая часть всех учащихся занимается в баскетбольной и волейбольной секциях вместе. Для этого сложим их доли:

$\frac{2}{7} + \frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3}{21} + \frac{1 \cdot 7}{21} = \frac{6}{21} + \frac{7}{21} = \frac{13}{21}$ (часть) – всех учащихся.

2. Примем всех учащихся за единицу (1). Найдем, какая часть учащихся занимается футболом, вычтя долю баскетболистов и волейболистов из целого:

$1 - \frac{13}{21} = \frac{21}{21} - \frac{13}{21} = \frac{8}{21}$ (часть) – всех учащихся.

3. Теперь найдем количество учащихся, занимающихся футболом, умножив их долю на общее количество учащихся:

$63 \cdot \frac{8}{21} = \frac{63 \cdot 8}{21} = 3 \cdot 8 = 24$ (учащихся).

Ответ: 24 учащихся.

б)

Первый способ:

1. Найдем, сколько тонн сметаны отправили в магазины города. "Третья часть" – это $\frac{1}{3}$:

$2,25 \cdot \frac{1}{3} = 0,75$ (т) – отправили в магазины города.

2. Найдем, сколько тонн сметаны отправили в другие регионы. "Пятая часть" – это $\frac{1}{5}$:

$2,25 \cdot \frac{1}{5} = 0,45$ (т) – отправили в другие регионы.

3. Найдем, сколько всего сметаны отправили:

$0,75 + 0,45 = 1,20$ (т).

4. Найдем, сколько сметаны осталось на складе:

$2,25 - 1,20 = 1,05$ (т).

5. Разделим оставшуюся сметану поровну на 5 холодильников:

$1,05 : 5 = 0,21$ (т) – в каждом холодильнике.

Второй способ:

1. Найдем, какую часть сметаны отправили в магазины города и в другие регионы вместе. "Третья часть" – это $\frac{1}{3}$, а "пятая часть" – это $\frac{1}{5}$:

$\frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{5}{15} + \frac{3}{15} = \frac{8}{15}$ (часть) – всей сметаны отправили.

2. Примем всю сметану за единицу (1). Найдем, какая часть сметаны осталась на складе:

$1 - \frac{8}{15} = \frac{15}{15} - \frac{8}{15} = \frac{7}{15}$ (часть) – всей сметаны осталась.

3. Найдем, сколько тонн сметаны осталось на складе. Для этого общее количество сметаны умножим на оставшуюся долю:

$2,25 \cdot \frac{7}{15} = \frac{9}{4} \cdot \frac{7}{15} = \frac{9 \cdot 7}{4 \cdot 15} = \frac{3 \cdot 7}{4 \cdot 5} = \frac{21}{20} = 1,05$ (т).

4. Найдем, сколько сметаны было в каждом из пяти холодильников:

$1,05 : 5 = 0,21$ (т).

Ответ можно также выразить в килограммах: $0,21 \text{ т} = 0,21 \cdot 1000 \text{ кг} = 210 \text{ кг}$.

Ответ: 0,21 т.

П.46. Сколько учащихся в школе, если нормы ГТО сдавали 430 учащихся и не сдавали нормы ГТО 14 % всех учащихся?

П.46

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }100 \% – 14\% = 86\%$ учащихся – сдавали нормы

$\mathbf{2}\mathbf{)} 430 : 0,86 = 4300 : 86 = 500$ (учащихся) – в школе.

Ответ: 500 учащихся.

Решение:

1. Для начала определим, какая часть учащихся в процентах сдавала нормы ГТО. Общее количество учащихся принимаем за 100%. По условию, 14% учащихся нормы не сдавали. Следовательно, процент сдавших нормы ГТО составляет:
$100\% - 14\% = 86\%$

2. Теперь мы знаем, что 430 учащихся, которые сдали нормы ГТО, составляют 86% от общего числа всех учащихся в школе.

3. Обозначим общее количество учащихся в школе за $X$. Чтобы найти $X$ (что соответствует 100%), можно составить пропорцию:
430 учащихся — это 86%
$X$ учащихся — это 100%

4. Выразим $X$ из пропорции и вычислим его значение:
$X = \frac{430 \cdot 100}{86}$
$X = \frac{43000}{86}$
$X = 500$
Таким образом, общее количество учащихся в школе составляет 500 человек.

Ответ: 500 учащихся.

П.47. Весной каждой из трёх групп школьников было изготовлено по 10 скворечников. В школьном дворе развесили 20 % скворечников, а остальные − в парке. Сколько скворечников развесили в парке?

П.47

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }10 · 3 = 30$ (с) – всего изготовили;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }30 · 0,2 = 6$ (с) – развесили в школьном дворе;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 30 – 6 = 24$ (с) – развесили в парке.

Ответ: 24 скворечника.

Для того чтобы найти, сколько скворечников развесили в парке, необходимо выполнить несколько последовательных шагов.

1. Найдём общее количество изготовленных скворечников.

По условию задачи, было три группы школьников, и каждая группа изготовила по 10 скворечников. Чтобы найти общее количество, умножим количество групп на количество скворечников, изготовленных одной группой:

$3 \text{ группы} \times 10 \text{ скворечников} = 30 \text{ скворечников}$

2. Определим процент скворечников, которые развесили в парке.

Все изготовленные скворечники составляют 100%. В школьном дворе развесили 20% от этого количества. Следовательно, в парке развесили оставшуюся часть. Вычтем из общего процента процент скворечников во дворе:

$100\% - 20\% = 80\%$

Таким образом, 80% всех скворечников было развешено в парке.

3. Вычислим количество скворечников, развешенных в парке.

Теперь найдем, сколько скворечников составляют 80% от общего их числа (30). Для этого нужно общее количество скворечников умножить на процент, выраженный в виде десятичной дроби ($80\% = 0.8$):

$30 \times 0.8 = 24 \text{ скворечника}$

Ответ: в парке развесили 24 скворечника.

П.48. Для детского сада было закуплено 180 игрушек. Из них 80 − настольные игры. Какой процент всех игрушек составляют настольные игры?

П.48

$\frac{80}{180} · 100\% = \frac{8}{18} · 100\% = \frac{4}{9} · 100\% =$

$= \frac{400}{9} \% = 44\frac{4}{9}\%$ - настольные игры.

Ответ: $44\frac{4}{9}\%$

Чтобы определить, какой процент от общего числа игрушек составляют настольные игры, необходимо найти отношение количества настольных игр к общему количеству игрушек и выразить это отношение в процентах.

Общее количество игрушек (целое) — 180.

Количество настольных игр (часть) — 80.

Сначала найдем, какую долю составляют настольные игры от всех игрушек. Для этого разделим количество настольных игр на общее количество игрушек:

$\frac{80}{180}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 80 и 180 равен 20.

$\frac{80 \div 20}{180 \div 20} = \frac{4}{9}$

Теперь, чтобы выразить эту долю в процентах, умножим ее на 100%:

$\frac{4}{9} \times 100\% = \frac{400}{9}\%$

Для удобства представим неправильную дробь в виде смешанного числа. Разделим 400 на 9 с остатком:

$400 \div 9 = 44$ и $4$ в остатке.

Таким образом, процент настольных игр равен $44\frac{4}{9}\%$.

Ответ: настольные игры составляют $44\frac{4}{9}\%$ от всех игрушек.

П.49. На школьном дворе засеяли клумбу площадью 50 м² смесью астр, которая состояла из 16 белых астр, 13 красных астр и 50 % сиреневых. Найдите, сколько граммов каждого вида астр купили, если на 10 м² высевали 1,8 г смеси семян.

П.49

Клумба – 50м²

Белые астры - $\frac{1}{6}$, ? г

Красные астры - $\frac{1}{3}$, ? г

Сиреневые астры – 50% = 0,5, ?г

На 10 м² высевали 1,8 г

$\mathbf{1}\mathbf{)} 1,8 · (50 : 10) = 1,8 · 5 = 9$(г) – посеяли семян;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }9 · \frac{1}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1,5$ (г) – белых астр;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }9 · \frac{1}{3} = \frac{9}{3} = 3$ (г) – красных астр;

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }9 · 0,5 = 4,5$ (г) – сиреневых астр

Ответ: 1,5 г белых, 3 г красных и 4,5 г сиреневых астр

Для решения задачи необходимо выполнить несколько шагов.

1. Найдем общую массу смеси семян.
Из условия известно, что площадь клумбы составляет $50 \text{ м}^2$, а на каждые $10 \text{ м}^2$ высевали $1,8$ г смеси семян. Сначала определим, во сколько раз площадь всей клумбы больше участка в $10 \text{ м}^2$:
$50 \text{ м}^2 \div 10 \text{ м}^2 = 5$
Следовательно, общая масса семян будет в 5 раз больше:
$1,8 \text{ г} \times 5 = 9 \text{ г}$
Итак, всего для засева клумбы купили $9$ г смеси семян.

2. Найдем массу семян каждого вида.
Смесь состояла из $\frac{1}{6}$ белых астр, $\frac{1}{3}$ красных астр и $50\%$ сиреневых. Переведем проценты в долю, чтобы все части были в одном формате: $50\% = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$.
Теперь рассчитаем массу семян для каждого цвета от общей массы смеси ($9$ г).

• Белые астры:
  $\frac{1}{6} \text{ от } 9 \text{ г} = 9 \times \frac{1}{6} = \frac{9}{6} = 1,5 \text{ г}$

• Красные астры:
  $\frac{1}{3} \text{ от } 9 \text{ г} = 9 \times \frac{1}{3} = \frac{9}{3} = 3 \text{ г}$

• Сиреневые астры:
  $\frac{1}{2} \text{ от } 9 \text{ г} = 9 \times \frac{1}{2} = \frac{9}{2} = 4,5 \text{ г}$

Проверка: $1,5 \text{ г} + 3 \text{ г} + 4,5 \text{ г} = 9 \text{ г}$. Сумма масс совпадает с общей массой смеси, значит, расчеты верны.

Ответ: купили 1,5 г семян белых астр, 3 г семян красных астр и 4,5 г семян сиреневых астр.

П.50. а) На координатной прямой отметьте точки: А(−6), В(234) и С(−1,7).

б) На координатной плоскости отметьте точки: К(−2; 7), N(−3; 0) и М(0; 7). Назовите абсциссу и ординату каждой точки.

П.50

а)

б)

К(-2; 7), -2 – абсцисса, 7 – ордината

N(-3; 0), -3 – абсцисса, 0 – ордината

М(0; 7), 0 – абсцисса, 7 – ордината

а)

Чтобы отметить заданные точки на координатной прямой, необходимо выполнить следующие действия:
1. Начертить горизонтальную прямую, которая будет являться координатной осью.
2. Выбрать на ней точку отсчета — 0, а также единичный отрезок и положительное направление (обычно стрелкой вправо).
3. Отметить точку $A(-6)$. Так как ее координата отрицательна, откладываем от точки 0 влево расстояние, равное 6 единичным отрезкам.
4. Отметить точку $B(2\frac{3}{4})$. Координата этой точки положительна. Для удобства можно перевести смешанную дробь в десятичную: $2\frac{3}{4} = 2,75$. Откладываем от точки 0 вправо расстояние, равное 2,75 единичного отрезка. Эта точка будет расположена между отметками 2 и 3, на три четверти расстояния от 2 к 3.
5. Отметить точку $C(-1,7)$. Координата этой точки отрицательна. Откладываем от точки 0 влево расстояние, равное 1,7 единичного отрезка. Эта точка будет расположена между отметками -1 и -2, ближе к -2.

Ответ: Точка $A$ расположена на отметке -6. Точка $C$ расположена на отметке -1,7 (между -1 и -2). Точка $B$ расположена на отметке $2\frac{3}{4}$ или 2,75 (между 2 и 3).

б)

Чтобы отметить точки на координатной плоскости, необходимо начертить систему координат, состоящую из двух перпендикулярных осей: горизонтальной оси абсцисс (Ox) и вертикальной оси ординат (Oy). Каждая точка на плоскости имеет две координаты $(x; y)$, где $x$ — это абсцисса, а $y$ — ордината.

Для точки $K(-2; 7)$:
Абсцисса (координата по оси Ox) равна –2.
Ордината (координата по оси Oy) равна 7.
Чтобы построить точку, от начала координат (0;0) нужно сместиться на 2 единицы влево по оси Ox, а затем подняться на 7 единиц вверх параллельно оси Oy.

Для точки $N(-3; 0)$:
Абсцисса (координата по оси Ox) равна –3.
Ордината (координата по оси Oy) равна 0.
Поскольку ордината равна нулю, точка лежит на оси абсцисс (Ox) на отметке –3.

Для точки $M(0; 7)$:
Абсцисса (координата по оси Ox) равна 0.
Ордината (координата по оси Oy) равна 7.
Поскольку абсцисса равна нулю, точка лежит на оси ординат (Oy) на отметке 7.

Ответ:
Для точки $K(-2; 7)$: абсцисса –2, ордината 7.
Для точки $N(-3; 0)$: абсцисса –3, ордината 0.
Для точки $M(0; 7)$: абсцисса 0, ордината 7.