Страница 127, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

Вопросы:

Что называют пропорцией?

Назовите крайние и средние члены пропорции х : у = t : z.

Сформулируйте основное свойство пропорции.

Как проверить, образуют ли два отношения пропорцию?

Как найти неизвестный член пропорции?

19. Пропорция

Вопросы к параграфу

• равенство двух отношений называют пропорцией

• х : у = t : z
  х и z – крайние члены, у и t – средние члены

• произведение крайних членов равно произведению средних членов пропорции

• чтобы проверить, верна ли пропорция, нужно найти произведение ее крайних членов и произведение ее средних членов, результаты должны быть равны

• чтобы найти неизвестный член пропорции, нужно применить ее основное свойство и выразить из него неизвестный член пропорции.

Что называют пропорцией?

Пропорцией называют равенство двух отношений. Если даны два отношения $a:b$ и $c:d$, то их равенство $a:b = c:d$ является пропорцией. Эту же пропорцию можно записать с помощью дробей: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Читается как «$a$ относится к $b$ так же, как $c$ относится к $d$». Числа $a, b, c$ и $d$ называют членами пропорции, причём $b \neq 0$ и $d \neq 0$.

Ответ: Пропорция — это равенство двух отношений.

Назовите крайние и средние члены пропорции x : y = t : z.

В пропорции, записанной в виде $a:b=c:d$, члены, стоящие по краям (первый и четвертый), называются крайними членами, а члены, стоящие в середине (второй и третий), — средними членами.
В пропорции $x : y = t : z$:
• Крайними членами являются $x$ и $z$.
• Средними членами являются $y$ и $t$.

Ответ: В пропорции $x : y = t : z$ крайние члены — это $x$ и $z$, а средние члены — это $y$ и $t$.

Сформулируйте основное свойство пропорции.

Основное свойство пропорции гласит: в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов.
Для пропорции $a : b = c : d$ или $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ основное свойство записывается в виде формулы:
$a \cdot d = b \cdot c$
Это свойство также называют правилом крест-накрест (при записи пропорции в виде дробей).

Ответ: Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.

Как проверить, образуют ли два отношения пропорцию?

Чтобы проверить, образуют ли два отношения, например $a:b$ и $c:d$, верную пропорцию, можно воспользоваться одним из двух способов:
1. Используя основное свойство пропорции. Нужно проверить, равно ли произведение крайних членов произведению средних. Если $a \cdot d = b \cdot c$, то отношения образуют пропорцию. Если равенство не выполняется, то пропорции нет.
2. Сравнивая значения отношений. Нужно вычислить значение каждого отношения (результат деления). Если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то отношения образуют пропорцию. Этот способ удобен, если деление выполняется без остатка или легко приводится к общему знаменателю.

Ответ: Чтобы проверить, образуют ли два отношения пропорцию, нужно убедиться, что произведение крайних членов равно произведению средних, или проверить, равны ли числовые значения этих отношений.

Как найти неизвестный член пропорции?

Чтобы найти неизвестный член пропорции, используется её основное свойство $a \cdot d = b \cdot c$. Из этого равенства можно выразить любой неизвестный член через три известных.

• Чтобы найти неизвестный крайний член, нужно произведение средних членов разделить на известный крайний член.
Если неизвестен $x$ в пропорции $x : b = c : d$, то $x = \frac{b \cdot c}{d}$.
Если неизвестен $x$ в пропорции $a : b = c : x$, то $x = \frac{b \cdot c}{a}$.

• Чтобы найти неизвестный средний член, нужно произведение крайних членов разделить на известный средний член.
Если неизвестен $x$ в пропорции $a : x = c : d$, то $x = \frac{a \cdot d}{c}$.
Если неизвестен $x$ в пропорции $a : b = x : d$, то $x = \frac{a \cdot d}{b}$.

Ответ: Неизвестный крайний член пропорции равен произведению средних членов, делённому на известный крайний член. Неизвестный средний член равен произведению крайних членов, делённому на известный средний член.

3.39. Запишите в виде равенства утверждение:

а) 8 так относится к 7, как 4 относится к 3,5;
б) 0,6 так относится к 23, как 21 относится к 2313;
в) отношение 29 к 0,2 равно отношению 17 к 15,3.

Проверьте, являются ли полученные равенства пропорциями.

3.39

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{8}{7} = \frac{4}{3,5}; \\ {\frac{4}{3,5}}^{\overline{)·10}} = \frac{{\displaystyle \stackrel{8}{\cancel{40}}}}{{\displaystyle \underset{7}{\cancel{35}}}} = \frac{8}{7} \\ \frac{8}{7} = \frac{8}{7} - \mathrm{являются}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 0,6 : \frac{2}{3} = 21 : 23\frac{1}{3}; \\ 0,6 : \frac{2}{3} = \frac{3}{5} · \frac{3}{2} = \frac{9}{10}; \\ 21 : 23\frac{1}{3} = 21 : \frac{70}{3} = \stackrel{3}{\cancel{21}} · \frac{3}{{\displaystyle \underset{10}{\cancel{70}}}} = \frac{9}{10} \\ \frac{9}{10} = \frac{9}{10} - \mathrm{являются} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{2}{9} : 0,2 = 17 : 15,3; \\ \frac{2}{9} : 0,2 = \frac{2}{9} : \frac{1}{5} = \frac{2}{9} · 5 = \frac{10}{9}; \\ 17 : 15,3 = 17 : \frac{153}{10}=\stackrel{1}{\cancel{17} }· \frac{10}{{\displaystyle \underset{9}{\cancel{153}}}}=\frac{10}{9}; \\ \frac{10}{9} = \frac{10}{9} - \mathrm{являются} \end{gathered}$$

а) Запишем утверждение "8 так относится к 7, как 4 относится к 3,5" в виде равенства:

$8 : 7 = 4 : 3,5$

Проверим, является ли данное равенство пропорцией. Согласно основному свойству пропорции, произведение крайних членов ($a$ и $d$) должно быть равно произведению средних членов ($b$ и $c$) в пропорции $a : b = c : d$.

Крайние члены: 8 и 3,5. Их произведение: $8 \cdot 3,5 = 28$.

Средние члены: 7 и 4. Их произведение: $7 \cdot 4 = 28$.

Поскольку произведения равны ($28 = 28$), равенство является верной пропорцией.

Ответ: $8 : 7 = 4 : 3,5$; равенство является пропорцией.

б) Запишем утверждение "0,6 так относится к 2/3, как 21 относится к 23 1/3" в виде равенства:

$0,6 : \frac{2}{3} = 21 : 23\frac{1}{3}$

Для проверки преобразуем десятичную дробь и смешанное число в обыкновенные дроби:

$0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

$23\frac{1}{3} = \frac{23 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{70}{3}$

Пропорция принимает вид: $\frac{3}{5} : \frac{2}{3} = 21 : \frac{70}{3}$.

Проверим по основному свойству пропорции:

Произведение крайних членов: $\frac{3}{5} \cdot \frac{70}{3} = \frac{3 \cdot 70}{5 \cdot 3} = \frac{70}{5} = 14$.

Произведение средних членов: $\frac{2}{3} \cdot 21 = \frac{2 \cdot 21}{3} = 2 \cdot 7 = 14$.

Поскольку произведения равны ($14 = 14$), равенство является верной пропорцией.

Ответ: $0,6 : \frac{2}{3} = 21 : 23\frac{1}{3}$; равенство является пропорцией.

в) Запишем утверждение "отношение 2/9 к 0,2 равно отношению 17 к 15,3" в виде равенства:

$\frac{2}{9} : 0,2 = 17 : 15,3$

Для проверки преобразуем десятичные дроби в обыкновенные:

$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

$15,3 = \frac{153}{10}$

Пропорция принимает вид: $\frac{2}{9} : \frac{1}{5} = 17 : \frac{153}{10}$.

Проверим по основному свойству пропорции:

Произведение крайних членов: $\frac{2}{9} \cdot \frac{153}{10} = \frac{2 \cdot 153}{9 \cdot 10} = \frac{153}{9 \cdot 5} = \frac{17}{5}$.

Произведение средних членов: $\frac{1}{5} \cdot 17 = \frac{17}{5}$.

Поскольку произведения равны ($\frac{17}{5} = \frac{17}{5}$), равенство является верной пропорцией.

Ответ: $\frac{2}{9} : 0,2 = 17 : 15,3$; равенство является пропорцией.

3.40. Из каких отношений 0,5 : 2,5, 3,4 : 85, 34 : 3,75 можно составить пропорцию?

3.40

$0,5 : 2,5 = 5 : 25 = 0,2$

$3,4 : 85 = 34 : 850 = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{34}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{850}}}} = \frac{1}{5} = 0,2$

$\frac{3}{4} : 3,75 = 75 : 375 = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{75}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{375}}}} = \frac{1}{5} = 0,2.$

Пропорция — это равенство двух отношений. Чтобы определить, из каких из данных отношений можно составить пропорцию, необходимо вычислить значение каждого отношения. Если значения двух отношений равны, то из них можно составить пропорцию.

Вычислим значение отношения 0,5 : 2,5
Для этого разделим первое число на второе. Чтобы упростить деление десятичных дробей, умножим делимое и делитель на 10.
$0,5 : 2,5 = \frac{0,5}{2,5} = \frac{0,5 \cdot 10}{2,5 \cdot 10} = \frac{5}{25}$
Сократим полученную дробь на 5:
$\frac{5}{25} = \frac{1}{5}$

Вычислим значение отношения 3,4 : 85
Разделим 3,4 на 85. Умножим делимое и делитель на 10.
$3,4 : 85 = \frac{3,4}{85} = \frac{3,4 \cdot 10}{85 \cdot 10} = \frac{34}{850}$
Сократим дробь. Оба числа, 34 и 850, делятся на 17:
$\frac{34}{850} = \frac{2 \cdot 17}{50 \cdot 17} = \frac{2}{50} = \frac{1}{25}$

Вычислим значение отношения $\frac{3}{4} : 3,75$
Для удобства вычислений представим оба числа в одном виде. Переведем обыкновенную дробь $\frac{3}{4}$ в десятичную: $\frac{3}{4} = 0,75$.
Теперь вычислим значение отношения:
$0,75 : 3,75 = \frac{0,75}{3,75} = \frac{0,75 \cdot 100}{3,75 \cdot 100} = \frac{75}{375}$
Сократим полученную дробь. $375$ делится на $75$ ($375 = 5 \cdot 75$):
$\frac{75}{375} = \frac{1}{5}$

Теперь сравним полученные значения отношений:

• $0,5 : 2,5 = \frac{1}{5}$
• $3,4 : 85 = \frac{1}{25}$
• $\frac{3}{4} : 3,75 = \frac{1}{5}$

Значения первого и третьего отношений равны ($\frac{1}{5} = \frac{1}{5}$), а значение второго отношения отличается.

Следовательно, пропорцию можно составить из первого и третьего отношений.

Ответ: Пропорцию можно составить из отношений $0,5 : 2,5$ и $\frac{3}{4} : 3,75$. Пропорция будет выглядеть так: $0,5 : 2,5 = \frac{3}{4} : 3,75$.

3.41. Проверьте, верно ли равенство, используя основное свойство пропорции:

а) 213 : 112 = 28 : 18; б) 10,5 : 7 = 514 : 312; в) 315 : 8 = 1 : 32; г) 0,430,9 = 0,1310,27; д) 324 = 567; е) 171,4 = 2,40,07.

3.41

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 2\frac{1}{3} : 1\frac{1}{2} = 28 : 18 - \mathrm{верно} \\ 2\frac{1}{3} · 18 = \frac{7}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} · \stackrel{6}{\cancel{18} }=7 · 6 = 42 \\ 1\frac{1}{2} · 28 = \frac{3}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{2}}}} · \stackrel{14}{\cancel{28} }=3 · 14 = 42 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }10,5 : 7 = 5\frac{1}{4} : 3\frac{1}{2} - \mathrm{верно} \\ 10,5 · 3\frac{1}{2} = 10\frac{5}{10} · \frac{7}{2} = 10\frac{1}{2} · \frac{7}{2} = \\ = \frac{21}{2} · \frac{7}{2} =\frac{147}{4} = 36\frac{3}{4} \\ 7 · 5\frac{1}{4} = 7 · \frac{21}{4} = \frac{147}{4} = 36\frac{3}{4} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} 3\frac{1}{5} : 8 = 1 : 32 - \mathrm{неверно} \\ 3\frac{1}{5} · 32 = \frac{16}{5} · \frac{32}{1} = \frac{512}{5} = 102\frac{2}{5} \\ 8 · 1 = 8 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{0,43}{0,9} = \frac{0,131}{0,27} - \mathrm{неверно} \\ 0,43 · 0,27 = 0,1161 \\ 0,9 · 0,131 = 0,1179 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)} \frac{32}{4} = \frac{56}{7} - \mathrm{верно} \\ 32 · 7 = 224 \\ 4 · 56 = 224 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{17}{1,4} = \frac{2,4}{0,07} - \mathrm{неверно} \\ 17 · 0,07 = 1,19 \\ 1,4 · 2,4 = 3,36 \end{gathered}$$

Основное свойство пропорции гласит, что равенство $a : b = c : d$ (или $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$) является верным тогда и только тогда, когда произведение его крайних членов равно произведению средних членов, то есть $a \cdot d = b \cdot c$. Проверим каждое равенство, используя это свойство.

а) $2\frac{1}{3} : 1\frac{1}{2} = 28 : 18$

В этой пропорции крайние члены — это $2\frac{1}{3}$ и $18$, а средние члены — $1\frac{1}{2}$ и $28$.

Для удобства вычислений переведем смешанные числа в неправильные дроби:

$2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$

$1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Вычислим произведение крайних членов:

$2\frac{1}{3} \cdot 18 = \frac{7}{3} \cdot 18 = 7 \cdot \frac{18}{3} = 7 \cdot 6 = 42$

Вычислим произведение средних членов:

$1\frac{1}{2} \cdot 28 = \frac{3}{2} \cdot 28 = 3 \cdot \frac{28}{2} = 3 \cdot 14 = 42$

Поскольку $42 = 42$, произведение крайних членов равно произведению средних. Следовательно, пропорция верна.

Ответ: да, верно.

б) $10,5 : 7 = 5\frac{1}{4} : 3\frac{1}{2}$

Крайние члены пропорции: $10,5$ и $3\frac{1}{2}$. Средние члены: $7$ и $5\frac{1}{4}$.

Переведем все числа в неправильные дроби:

$10,5 = \frac{105}{10} = \frac{21}{2}$

$5\frac{1}{4} = \frac{21}{4}$

$3\frac{1}{2} = \frac{7}{2}$

Найдем произведение крайних членов:

$10,5 \cdot 3\frac{1}{2} = \frac{21}{2} \cdot \frac{7}{2} = \frac{147}{4}$

Найдем произведение средних членов:

$7 \cdot 5\frac{1}{4} = 7 \cdot \frac{21}{4} = \frac{147}{4}$

Произведения равны ($\frac{147}{4} = \frac{147}{4}$), значит, пропорция верна.

Ответ: да, верно.

в) $3\frac{1}{5} : 8 = 1 : 32$

Крайние члены: $3\frac{1}{5}$ и $32$. Средние члены: $8$ и $1$.

Переведем $3\frac{1}{5}$ в неправильную дробь: $3\frac{1}{5} = \frac{16}{5}$.

Вычислим произведение крайних членов:

$3\frac{1}{5} \cdot 32 = \frac{16}{5} \cdot 32 = \frac{512}{5} = 102,4$

Вычислим произведение средних членов:

$8 \cdot 1 = 8$

Поскольку $102,4 \neq 8$, равенство неверно.

Ответ: нет, неверно.

г) $\frac{0,43}{0,9} = \frac{0,131}{0,27}$

Это пропорция, где крайние члены — $0,43$ и $0,27$, а средние — $0,9$ и $0,131$.

Вычислим произведение крайних членов:

$0,43 \cdot 0,27 = 0,1161$

Вычислим произведение средних членов:

$0,9 \cdot 0,131 = 0,1179$

Поскольку $0,1161 \neq 0,1179$, равенство неверно.

Ответ: нет, неверно.

д) $\frac{32}{4} = \frac{56}{7}$

Крайние члены пропорции: $32$ и $7$. Средние члены: $4$ и $56$.

Найдем произведение крайних членов:

$32 \cdot 7 = 224$

Найдем произведение средних членов:

$4 \cdot 56 = 224$

Поскольку $224 = 224$, равенство верно.

Ответ: да, верно.

е) $\frac{17}{1,4} = \frac{2,4}{0,07}$

Крайние члены: $17$ и $0,07$. Средние члены: $1,4$ и $2,4$.

Вычислим произведение крайних членов:

$17 \cdot 0,07 = 1,19$

Вычислим произведение средних членов:

$1,4 \cdot 2,4 = 3,36$

Поскольку $1,19 \neq 3,36$, равенство неверно.

Ответ: нет, неверно.

3.42. Найдите неизвестный член пропорции:

a) t : 42,4 = 26,1 : 63,6; б) 412 : 225 = 314 : t ; в) 4,5 : 2,25 = у : 3,5; г) 256 : х = 2021 : 47.

3.42

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} t : 42,4 = 26,1 : 63,6 \\ t · 63,6 = 42,4 · 26,1 \\ t = \frac{42,4 · 26,1}{63,6} = \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{424} }}· 26,1}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{636}}}} = \\ =\frac{2 · 26,1}{3} = \frac{52,2}{3} = 17,4 \\ t = 17,4 \end{gathered}$$

Ответ: 17,4.

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }4\frac{1}{2} : 2\frac{2}{5} = 3\frac{1}{4} : t \\ 4\frac{1}{2} · t = 2\frac{2}{5} · 3\frac{1}{4} \\ t = 2\frac{2}{5} · 3\frac{1}{4} : 4\frac{1}{2} \\ t = \frac{12}{5} · \frac{13}{4} : \frac{9}{2} \\ t = \frac{12}{5} · \frac{13}{4} · \frac{2}{9} =\frac{1 · 13 · 2}{5 · 1 · 3} = \\ = \frac{26}{15} = 1\frac{11}{15}. \\ t = 1\frac{11}{15}. \\ \mathrm{Ответ}: 1\frac{11}{15}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ } 4,5 : 2,25 = у : 3,5 \\ 2,25 · у = 4,5 · 3,5 \\ у = 4,5 · 3,5 : 2,25 \\ у = \frac{4,5 · 3,5 }{2,25} = \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{450}}} · 3,5}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{225}}}} = 2 · 3,5 = 7 \\ у = 7. \\ \mathrm{Ответ}: 7. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }\frac{25}{6} : х = \frac{20}{21} : \frac{4}{7} \\ х · \frac{20}{21}= \frac{25}{6} · \frac{4}{7} \\ х = \frac{25}{6} · \frac{4}{7} : \frac{20}{21} \\ х = \frac{25}{6} · \frac{4}{7} · \frac{21}{20} \\ х = \frac{5 · 1 · 1}{2 · 1 · 1} = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} \\ х = 2\frac{1}{2}. \\ \mathrm{Ответ}: 2\frac{1}{2}. \end{gathered}$$

а) $t : 42,4 = 26,1 : 63,6$
Это пропорция, которую можно записать в виде равенства отношений: $\frac{t}{42,4} = \frac{26,1}{63,6}$.
Согласно основному свойству пропорции, произведение крайних членов равно произведению средних членов.
$t \cdot 63,6 = 42,4 \cdot 26,1$
Чтобы найти неизвестный крайний член $t$, нужно произведение средних членов разделить на известный крайний член:
$t = \frac{42,4 \cdot 26,1}{63,6}$
$t = \frac{1106,64}{63,6}$
$t = 17,4$
Ответ: $17,4$

б) $4\frac{1}{2} : 2\frac{2}{5} = 3\frac{1}{4} : t$
По основному свойству пропорции, произведение крайних членов ($4\frac{1}{2}$ и $t$) равно произведению средних членов ($2\frac{2}{5}$ и $3\frac{1}{4}$):
$4\frac{1}{2} \cdot t = 2\frac{2}{5} \cdot 3\frac{1}{4}$
Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$4\frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{9}{2}$
$2\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{12}{5}$
$3\frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{13}{4}$
Подставим полученные дроби в уравнение:
$\frac{9}{2} \cdot t = \frac{12}{5} \cdot \frac{13}{4}$
Вычислим произведение в правой части:
$\frac{12}{5} \cdot \frac{13}{4} = \frac{12 \cdot 13}{5 \cdot 4} = \frac{3 \cdot 13}{5} = \frac{39}{5}$
Теперь уравнение выглядит так:
$\frac{9}{2} \cdot t = \frac{39}{5}$
Чтобы найти $t$, разделим правую часть на коэффициент при $t$:
$t = \frac{39}{5} : \frac{9}{2} = \frac{39}{5} \cdot \frac{2}{9} = \frac{39 \cdot 2}{5 \cdot 9} = \frac{13 \cdot 3 \cdot 2}{5 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{26}{15}$
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$t = 1\frac{11}{15}$
Ответ: $1\frac{11}{15}$

в) $4,5 : 2,25 = y : 3,5$
По основному свойству пропорции, произведение средних членов равно произведению крайних членов:
$2,25 \cdot y = 4,5 \cdot 3,5$
Чтобы найти неизвестный средний член $y$, нужно произведение крайних членов разделить на известный средний член:
$y = \frac{4,5 \cdot 3,5}{2,25}$
Можно заметить, что $4,5 = 2 \cdot 2,25$. Это позволяет упростить вычисление:
$y = \frac{2 \cdot 2,25 \cdot 3,5}{2,25} = 2 \cdot 3,5$
$y = 7$
Ответ: $7$

г) $\frac{25}{6} : x = \frac{20}{21} : \frac{4}{7}$
По основному свойству пропорции, произведение средних членов равно произведению крайних членов:
$x \cdot \frac{20}{21} = \frac{25}{6} \cdot \frac{4}{7}$
Вычислим произведение в правой части уравнения:
$\frac{25}{6} \cdot \frac{4}{7} = \frac{25 \cdot 4}{6 \cdot 7} = \frac{100}{42} = \frac{50}{21}$
Теперь уравнение имеет вид:
$x \cdot \frac{20}{21} = \frac{50}{21}$
Чтобы найти $x$, разделим правую часть на множитель при $x$:
$x = \frac{50}{21} : \frac{20}{21} = \frac{50}{21} \cdot \frac{21}{20} = \frac{50}{20}$
Сократим дробь и получим конечный результат:
$x = \frac{5}{2} = 2,5$
Ответ: $2,5$

3.43. Найдите неизвестный член пропорции:

а) 42,6x = 5,344,45; б) 32,48 = у0,6; в) 1,72,1 = 5,1p; г) q0,08 = 9,80,28.

3.43

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{42,6}{х} = \frac{5,34}{4,45} \\ х = \frac{42,6 · 4,45}{5,34} = \frac{42,6 · {\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{445}}}}{{\displaystyle \underset{6}{\cancel{534}}}} = \frac{42,6 · 5}{6} = \\ = \frac{{\displaystyle \stackrel{71}{\cancel{213}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{6}}}} = \frac{71}{2} = 35\frac{1}{2}. \\ \mathrm{Ответ}: 35\frac{1}{2}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{32,4}{8} = \frac{у}{0,6} \\ у = \frac{{\displaystyle \stackrel{8,1}{\cancel{32,4}}} · 0,6}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{8}}}} = \frac{8,1 · {\displaystyle \stackrel{0,3}{\cancel{0,6}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{2}}}} = \frac{8,1 · 0,3}{1} = 2,43. \\ \mathrm{Ответ}: 2,43. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{1,7}{2,1} = \frac{5,1}{р} \\ р = \frac{5,1 · 2,1}{1,7} = \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{51}}} · 2,1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{17}}}} = \frac{3 ·2,1}{1} = 6,3. \\ \mathrm{Ответ}: 6,3. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{q}{0,08} = \frac{9,8}{0,28} \\ q = \frac{9,8 · 0,08 }{0,28} = \frac{9,8 · {\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{8}}}}{{\displaystyle \underset{7}{\cancel{28}}}} = \\ =\frac{{\displaystyle \stackrel{1,4}{\cancel{9,8 }}}· 2}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}} = \frac{1,4 · 2}{1} = 2,8. \\ \mathrm{Ответ}: 2,8. \end{gathered}$$

а) Дана пропорция $\frac{42,6}{x} = \frac{5,34}{4,45}$.
Основное свойство пропорции заключается в том, что произведение крайних членов равно произведению средних членов. Применив это свойство, получим уравнение:
$42,6 \cdot 4,45 = x \cdot 5,34$
Чтобы найти неизвестный член $x$, выразим его из этого уравнения:
$x = \frac{42,6 \cdot 4,45}{5,34}$
Сначала вычислим произведение в числителе:
$42,6 \cdot 4,45 = 189,57$
Теперь подставим это значение обратно в формулу для $x$:
$x = \frac{189,57}{5,34}$
Выполним деление:
$x = 35,5$
Ответ: 35,5.

б) Дана пропорция $\frac{32,4}{8} = \frac{y}{0,6}$.
По основному свойству пропорции имеем:
$32,4 \cdot 0,6 = 8 \cdot y$
Выразим неизвестный член $y$:
$y = \frac{32,4 \cdot 0,6}{8}$
Вычислим произведение в числителе:
$32,4 \cdot 0,6 = 19,44$
Теперь найдем значение $y$:
$y = \frac{19,44}{8}$
$y = 2,43$
Ответ: 2,43.

в) Дана пропорция $\frac{1,7}{2,1} = \frac{5,1}{p}$.
Используя основное свойство пропорции, запишем равенство:
$1,7 \cdot p = 2,1 \cdot 5,1$
Выразим неизвестный член $p$:
$p = \frac{2,1 \cdot 5,1}{1,7}$
Заметим, что $5,1$ делится на $1,7$ без остатка: $5,1 \div 1,7 = 3$. Можем сократить дробь:
$p = 2,1 \cdot \frac{5,1}{1,7} = 2,1 \cdot 3$
Выполним умножение:
$p = 6,3$
Ответ: 6,3.

г) Дана пропорция $\frac{q}{0,08} = \frac{9,8}{0,28}$.
Согласно основному свойству пропорции:
$q \cdot 0,28 = 0,08 \cdot 9,8$
Выразим неизвестный член $q$:
$q = \frac{0,08 \cdot 9,8}{0,28}$
Для упрощения вычислений можно сократить дробь $\frac{0,08}{0,28}$. Умножим ее числитель и знаменатель на 100, получим $\frac{8}{28}$. Сократив на 4, получим $\frac{2}{7}$.
$q = \frac{2}{7} \cdot 9,8$
Теперь выполним вычисления:
$q = \frac{2 \cdot 9,8}{7} = \frac{19,6}{7}$
$q = 2,8$
Ответ: 2,8.

3.44. Составьте ещё пропорции, переставив члены данной пропорции:

а) 4 : 16 = 7 : 28; б) 240,4 = 360,6; в) pq = lk;

3.44

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }4 : 16 = 7 : 28; \\ 4 : 7 = 16 : 28; \\ 28 : 16 = 7 : 4; \\ 28 : 7 = 16 : 4 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{24}{0,4} = \frac{36}{0,6}; \\ \frac{0,6}{0,4} = \frac{36}{24}; \\ \frac{24}{36} = \frac{0,4}{0,6}; \\ \frac{0,6}{36} = \frac{0,4}{24} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{p}{q} = \frac{l}{k}; \\ \frac{k}{q} = \frac{l}{p}; \\ \frac{p}{l} = \frac{q}{k}; \\ \frac{k}{l} = \frac{q}{p} \end{gathered}$$

а) Исходная пропорция: $4 : 16 = 7 : 28$. Это равенство можно записать в виде дробей: $\frac{4}{16} = \frac{7}{28}$. В этой пропорции числа 4 и 28 являются крайними членами, а числа 16 и 7 — средними членами. Основное свойство пропорции гласит, что произведение крайних членов равно произведению средних: $4 \cdot 28 = 16 \cdot 7$, что дает верное равенство $112 = 112$.
Чтобы составить новые верные пропорции, можно:
1. Поменять местами средние члены (16 и 7): $4 : 7 = 16 : 28$.
2. Поменять местами крайние члены (4 и 28): $28 : 16 = 7 : 4$.
3. Поменять местами левые и правые части в каждом отношении (обратить отношения): $16 : 4 = 28 : 7$.
Ответ: $4 : 7 = 16 : 28$; $28 : 16 = 7 : 4$; $16 : 4 = 28 : 7$.

б) Исходная пропорция: $\frac{24}{0,4} = \frac{36}{0,6}$. Крайние члены — 24 и 0,6; средние члены — 0,4 и 36. Проверим основное свойство: $24 \cdot 0,6 = 14,4$ и $0,4 \cdot 36 = 14,4$. Равенство верно.
Составим новые пропорции, используя правила перестановки членов:
1. Поменяв местами средние члены (0,4 и 36), получим: $\frac{24}{36} = \frac{0,4}{0,6}$.
2. Поменяв местами крайние члены (24 и 0,6), получим: $\frac{0,6}{0,4} = \frac{36}{24}$.
3. "Перевернув" обе дроби в исходной пропорции, получим: $\frac{0,4}{24} = \frac{0,6}{36}$.
Ответ: $\frac{24}{36} = \frac{0,4}{0,6}$; $\frac{0,6}{0,4} = \frac{36}{24}$; $\frac{0,4}{24} = \frac{0,6}{36}$.

в) Исходная пропорция дана в общем виде: $\frac{p}{q} = \frac{l}{k}$. Здесь $p$ и $k$ являются крайними членами, а $q$ и $l$ — средними. Основное свойство для этой пропорции записывается как $p \cdot k = q \cdot l$.
Применим те же правила перестановки для составления новых пропорций:
1. Меняем местами средние члены ($q$ и $l$): $\frac{p}{l} = \frac{q}{k}$.
2. Меняем местами крайние члены ($p$ и $k$): $\frac{k}{q} = \frac{l}{p}$.
3. Обращаем оба отношения ("переворачиваем" дроби): $\frac{q}{p} = \frac{k}{l}$.
Ответ: $\frac{p}{l} = \frac{q}{k}$; $\frac{k}{q} = \frac{l}{p}$; $\frac{q}{p} = \frac{k}{l}$.

П.1. Выполните действия:

1) 1,8 + 127 : 1,8 – 127;

2) 1,5 + 113 : 7,6 – 513;

3) 23 – 1513 : –519;

4) 19 – 1323 : –719.

Задачи

П.1

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\left(1,8 + 1\frac{2}{7}\right) : \left(1,8 - 1\frac{2}{7}\right) = \left(1\frac{8}{10} + 1\frac{2}{7}\right) : \left(1\frac{8}{10} - 1\frac{2}{7}\right) = \\ =\left({1\frac{4}{5}}^{\overline{)·7}} + {1\frac{2}{7}}^{\overline{)·5}}\right) : \left({1\frac{4}{5} }^{\overline{)·7}}- {1\frac{2}{7}}^{\overline{)·5}}\right) = \\ =\left(1\frac{8}{35} + 1\frac{2}{35}\right) : \left(1\frac{8}{35} - 1\frac{2}{35}\right) = 2\frac{38}{35} : \frac{18}{35} = \\ = \frac{{\displaystyle \stackrel{6}{\bcancel{108}}}}{\cancel{35}} · \frac{\cancel{35}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{18}}}} = \frac{6}{1} · \frac{1}{1} = 6 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{2}\mathbf{)} \left(1,5 + 1\frac{1}{3}\right) : \left(7,6 - 5\frac{1}{3}\right) = \\ = \left({1\frac{1}{2}}^{\overline{)·3}} +{ 1\frac{1}{3}}^{\overline{)·2}}\right) : \left({7\frac{3}{5}}^{\overline{)·3}} - {5\frac{1}{3}}^{\overline{)·5}}\right) = \\ =\left(1\frac{3}{6} + 1\frac{2}{6}\right) : \left(7\frac{9}{15} - 5\frac{5}{15}\right) = 2\frac{5}{6} : 2\frac{4}{15} = \\ = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{17}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{6}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\bcancel{15}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{34}}}} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{3}\mathbf{)} \left(23 - 15\frac{1}{3}\right) : \left(-5\frac{1}{9}\right) = \left(22\frac{3}{3} - 15\frac{1}{3}\right) : \left(-5\frac{1}{9}\right) = \\ = 7\frac{2}{3} : \left(-\frac{46}{9}\right) = -\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{23}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{9}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{46}}}} = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }\left(19 - 13\frac{2}{3}\right) : \left(-7\frac{1}{9}\right) = \left(18\frac{3}{3}- 13\frac{2}{3}\right) : \left(-7\frac{1}{9}\right) = \\ = 5\frac{1}{3} : \left(-\frac{64}{9}\right)= -\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{16}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{3}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\bcancel{9}}}}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{64}}}} = -\frac{3}{4} \end{gathered}$$

1) $(1,8 + 1\frac{2}{7}) : (1,8 - 1\frac{2}{7})$

Для решения этого примера сперва переведем десятичную дробь и смешанное число в обыкновенные дроби.

$1,8 = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$

$1\frac{2}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{9}{7}$

Теперь выполним действия в скобках.

Первое действие (сложение):

$1,8 + 1\frac{2}{7} = \frac{9}{5} + \frac{9}{7}$

Приведем дроби к общему знаменателю $35$:

$\frac{9 \cdot 7}{5 \cdot 7} + \frac{9 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{63}{35} + \frac{45}{35} = \frac{63 + 45}{35} = \frac{108}{35}$

Второе действие (вычитание):

$1,8 - 1\frac{2}{7} = \frac{9}{5} - \frac{9}{7} = \frac{63}{35} - \frac{45}{35} = \frac{63 - 45}{35} = \frac{18}{35}$

Третье действие (деление):

$\frac{108}{35} : \frac{18}{35} = \frac{108}{35} \cdot \frac{35}{18}$

Сократим $35$ в числителе и знаменателе:

$\frac{108}{18} = 6$

Ответ: $6$

2) $(1,5 + 1\frac{1}{3}) : (7,6 - 5\frac{1}{3})$

Переведем все числа в обыкновенные дроби.

$1,5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$

$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$

$7,6 = \frac{76}{10} = \frac{38}{5}$

$5\frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{16}{3}$

Выполним действия в скобках.

Первое действие (сложение):

$1,5 + 1\frac{1}{3} = \frac{3}{2} + \frac{4}{3} = \frac{3 \cdot 3}{6} + \frac{4 \cdot 2}{6} = \frac{9+8}{6} = \frac{17}{6}$

Второе действие (вычитание):

$7,6 - 5\frac{1}{3} = \frac{38}{5} - \frac{16}{3} = \frac{38 \cdot 3}{15} - \frac{16 \cdot 5}{15} = \frac{114 - 80}{15} = \frac{34}{15}$

Третье действие (деление):

$\frac{17}{6} : \frac{34}{15} = \frac{17}{6} \cdot \frac{15}{34} = \frac{17 \cdot 15}{6 \cdot 34}$

Сократим дроби: $17$ и $34$ на $17$, $6$ и $15$ на $3$.

$\frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 2} = \frac{5}{4} = 1,25$

Ответ: $1,25$

3) $(23 - 15\frac{1}{3}) : (-5\frac{1}{9})$

Выполним действие в первой скобке.

$23 - 15\frac{1}{3} = 22\frac{3}{3} - 15\frac{1}{3} = (22-15) + (\frac{3}{3}-\frac{1}{3}) = 7\frac{2}{3}$

Переведем смешанные числа в неправильные дроби.

$7\frac{2}{3} = \frac{7 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{23}{3}$

$-5\frac{1}{9} = -(\frac{5 \cdot 9 + 1}{9}) = -\frac{46}{9}$

Выполним деление.

$\frac{23}{3} : (-\frac{46}{9}) = -\frac{23}{3} \cdot \frac{9}{46}$

Сократим дроби: $23$ и $46$ на $23$, $3$ и $9$ на $3$.

$-\frac{1}{1} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{3}{2} = -1,5$

Ответ: $-1,5$

4) $(19 - 13\frac{2}{3}) : (-7\frac{1}{9})$

Выполним действие в первой скобке.

$19 - 13\frac{2}{3} = 18\frac{3}{3} - 13\frac{2}{3} = (18-13) + (\frac{3}{3}-\frac{2}{3}) = 5\frac{1}{3}$

Переведем смешанные числа в неправильные дроби.

$5\frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{16}{3}$

$-7\frac{1}{9} = -(\frac{7 \cdot 9 + 1}{9}) = -\frac{64}{9}$

Выполним деление.

$\frac{16}{3} : (-\frac{64}{9}) = -\frac{16}{3} \cdot \frac{9}{64}$

Сократим дроби: $16$ и $64$ на $16$, $3$ и $9$ на $3$.

$-\frac{1}{1} \cdot \frac{3}{4} = -\frac{3}{4} = -0,75$

Ответ: $-0,75$

П.2. Запишите множество натуральных чисел, которые расположены между числами 31 и 65 и кратны: а) 7; б) 3; в) 9; г) 5; д) 2.

П.2

а) 35, 42, 49, 56, 63

б) 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63

в) 36, 45, 54, 63

г) 35, 40, 45, 50, 55, 60

д) 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 60, 62, 64

Чтобы найти множество натуральных чисел, расположенных между 31 и 65, мы ищем числа $x$, удовлетворяющие условию $31 < x < 65$. Дополнительно, эти числа должны быть кратны заданному числу $n$, то есть $x = nk$ для некоторого целого $k$. Для каждого случая мы решим двойное неравенство $31 < nk < 65$ относительно $k$.

а) кратны 7

Мы ищем натуральные числа $x$ в интервале $31 < x < 65$, которые кратны 7. Такие числа можно представить в виде $x = 7k$, где $k$ — целое число.

Для нахождения подходящих значений $k$ решим двойное неравенство: $31 < 7k < 65$. Разделив все части на 7, получим: $31/7 < k < 65/7$, или $4 \frac{3}{7} < k < 9 \frac{2}{7}$.

Целочисленные значения $k$, удовлетворяющие этому неравенству, — это 5, 6, 7, 8 и 9.

Соответствующие им числа $x$: $7 \cdot 5 = 35$; $7 \cdot 6 = 42$; $7 \cdot 7 = 49$; $7 \cdot 8 = 56$; $7 \cdot 9 = 63$.

Ответ: $\{35, 42, 49, 56, 63\}$.

б) кратны 3

Ищем натуральные числа $x$ в интервале $31 < x < 65$, которые кратны 3. Представим их как $x = 3k$.

Решим неравенство: $31 < 3k < 65$. Разделим на 3: $31/3 < k < 65/3$, или $10 \frac{1}{3} < k < 21 \frac{2}{3}$.

Целые значения $k$ в этом интервале: $11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21$.

Соответствующие им числа $x$: $3 \cdot 11 = 33$, $3 \cdot 12 = 36$, и так далее до $3 \cdot 21 = 63$.

Ответ: $\{33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63\}$.

в) кратны 9

Ищем натуральные числа $x$ в интервале $31 < x < 65$, которые кратны 9. Представим их как $x = 9k$.

Решим неравенство: $31 < 9k < 65$. Разделим на 9: $31/9 < k < 65/9$, или $3 \frac{4}{9} < k < 7 \frac{2}{9}$.

Целые значения $k$ в этом интервале: 4, 5, 6, 7.

Соответствующие им числа $x$: $9 \cdot 4 = 36$; $9 \cdot 5 = 45$; $9 \cdot 6 = 54$; $9 \cdot 7 = 63$.

Ответ: $\{36, 45, 54, 63\}$.

г) кратны 5

Ищем натуральные числа $x$ в интервале $31 < x < 65$, которые кратны 5. Представим их как $x = 5k$.

Решим неравенство: $31 < 5k < 65$. Разделим на 5: $31/5 < k < 65/5$, или $6.2 < k < 13$.

Целые значения $k$ в этом интервале: 7, 8, 9, 10, 11, 12.

Соответствующие им числа $x$: $5 \cdot 7 = 35$; $5 \cdot 8 = 40$; $5 \cdot 9 = 45$; $5 \cdot 10 = 50$; $5 \cdot 11 = 55$; $5 \cdot 12 = 60$.

Ответ: $\{35, 40, 45, 50, 55, 60\}$.

д) кратны 2

Ищем натуральные числа $x$ в интервале $31 < x < 65$, которые кратны 2. Это все четные числа в данном диапазоне. Представим их как $x = 2k$.

Решим неравенство: $31 < 2k < 65$. Разделим на 2: $31/2 < k < 65/2$, или $15.5 < k < 32.5$.

Целые значения $k$ в этом интервале лежат в диапазоне от 16 до 32 включительно.

Первое число в множестве: $2 \cdot 16 = 32$. Последнее число: $2 \cdot 32 = 64$. Множество включает все четные числа от 32 до 64.

Ответ: $\{32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64\}$.

П.3. Для чисел 12; 36; 90 выпишите все их делители.

П.3

делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12

делители числа 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

делители числа 90: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90

Делителем натурального числа называют натуральное число, на которое исходное число делится без остатка. Для нахождения всех делителей будем последовательно проверять делимость на натуральные числа, начиная с 1.

Для числа 12

Найдем все натуральные числа, на которые 12 делится нацело. Удобно находить делители парами: если мы нашли делитель $d$, то частное от деления $12 \div d$ также будет являться делителем.
$12 \div 1 = 12$. Делители: 1 и 12.
$12 \div 2 = 6$. Делители: 2 и 6.
$12 \div 3 = 4$. Делители: 3 и 4.
Следующий возможный делитель — 4, но он уже найден в паре с 3. Это означает, что мы нашли все делители. Выпишем их в порядке возрастания.
Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Для числа 36

Аналогично найдем все делители для числа 36, проверяя делимость на числа, начиная с 1.
$36 \div 1 = 36$. Делители: 1 и 36.
$36 \div 2 = 18$. Делители: 2 и 18.
$36 \div 3 = 12$. Делители: 3 и 12.
$36 \div 4 = 9$. Делители: 4 и 9.
$36 \div 5$ — деление с остатком.
$36 \div 6 = 6$. Делитель: 6.
Так как $6 \times 6 = 36$, и следующий возможный делитель (9) уже найден, мы перечислили все делители. Выпишем их в порядке возрастания.
Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Для числа 90

Найдем все делители для числа 90.
$90 \div 1 = 90$. Делители: 1 и 90.
$90 \div 2 = 45$. Делители: 2 и 45.
$90 \div 3 = 30$. Делители: 3 и 30.
$90 \div 4$ — деление с остатком.
$90 \div 5 = 18$. Делители: 5 и 18.
$90 \div 6 = 15$. Делители: 6 и 15.
$90 \div 7$ — деление с остатком.
$90 \div 8$ — деление с остатком.
$90 \div 9 = 10$. Делители: 9 и 10.
Следующий возможный делитель (10) уже найден, значит, все делители найдены. Выпишем их в порядке возрастания.
Ответ: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.

П.4. Вычислите:

1) 11 · 11755 – 15,3;

2) 347 · 4,5 · 735 · 8,75 : 25 : 932;

3) 19 · 25576 – 39,4;

4) 6,8 · 513 · 2,7 · 3325 : 525 : 1175.

П.4

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)} 11 · 1\frac{17}{55} -15,3 = \stackrel{1}{\cancel{11}} · \frac{72}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{55}}}} - 15,3 = \\ = {\frac{72}{5}}^{\overline{)·2}} - 15,3 = \frac{144}{10} - 15,3 = 14,4 - 15,3 = \\ = -(15,3 - 14,4) = -0,9 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{2}\mathbf{)} 3\frac{4}{7} · 4,5 · \frac{7}{35} · 8,75 : \frac{2}{5} : \frac{9}{32}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ } \\ \mathbf{=}\mathbf{ }3\frac{4}{7} · 4,5 · \frac{7}{35} · \frac{5}{2} · \frac{32}{9} = \\ = \frac{25 ·\cancel{ 9} · \sout{7} · \bcancel{35} · 5 · {\displaystyle \stackrel{2}{\xcancel{32}}}}{\sout{7} · \xcancel{2} · \bcancel{35} · \xcancel{4} · \xcancel{2} · \cancel{9}}= \\ =\frac{25 · 1 · 1 · 1 · 5 · 2}{1 · 1 ·1 · 1 ·1 · 1} =\frac{250}{1} = 250 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{3}\mathbf{)} 19 · 2\frac{55}{76} - 39,4 = \stackrel{1}{\cancel{19}} · \frac{207}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{76}}}} - 39,4 = \\ = \frac{207}{4} - 39,4 = 51,75 - 39,4 =12,35 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }6,8 · \frac{5}{13} · 2,7 · 3\frac{3}{25} : 5\frac{2}{5} : \frac{1}{175} = \\ = \frac{68}{10} · \frac{5}{13} · \frac{27}{10} · \frac{78}{25} : \frac{27}{5} · 175 = \\ = \frac{68}{10} · \frac{\bcancel{5}}{\sout{13}} · \frac{\xcancel{27}}{{\displaystyle \underset{5}{\sout{10}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{\stackrel{3}{\sout{6}}}{\sout{78}}}}{{\displaystyle \underset{\bcancel{5}}{\cancel{25}}}} · \frac{\cancel{5}}{\xcancel{27}} · 175 = \\ = \frac{{\displaystyle \stackrel{34}{\cancel{68}}}}{{\displaystyle \underset{\sout{5}}{\cancel{10}}}} · \frac{1}{1} · \frac{1}{\sout{5}} · \frac{3}{1} · \frac{1}{1} ·\stackrel{7}{\sout{ 175 }}= \\ = 714 \end{gathered}$$

1) $11 \cdot 1\frac{17}{55} - 15,3$
Для решения этого примера сначала выполним умножение, а затем вычитание.
1. Преобразуем смешанное число $1\frac{17}{55}$ в неправильную дробь: $1\frac{17}{55} = \frac{1 \cdot 55 + 17}{55} = \frac{72}{55}$.
2. Выполним умножение: $11 \cdot \frac{72}{55}$. Сократим $11$ и $55$ на $11$: $\frac{11}{1} \cdot \frac{72}{55} = \frac{1 \cdot 72}{5} = \frac{72}{5}$.
3. Преобразуем полученную дробь $\frac{72}{5}$ в десятичную для удобства вычитания: $\frac{72}{5} = \frac{144}{10} = 14,4$.
4. Выполним вычитание: $14,4 - 15,3 = -0,9$.
Ответ: -0,9

2) $3\frac{4}{7} \cdot 4,5 \cdot \frac{7}{35} \cdot 8,75 : \frac{2}{5} : \frac{9}{32}$
Для решения этого примера преобразуем все числа в обыкновенные дроби и заменим деление умножением на обратную дробь.
1. Преобразуем числа:
$3\frac{4}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{25}{7}$
$4,5 = 4\frac{5}{10} = \frac{9}{2}$
$\frac{7}{35}$ можно сократить до $\frac{1}{5}$
$8,75 = 8\frac{75}{100} = 8\frac{3}{4} = \frac{35}{4}$
2. Выражение принимает вид: $\frac{25}{7} \cdot \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{35}{4} : \frac{2}{5} : \frac{9}{32}$
3. Заменяем деление умножением: $\frac{25}{7} \cdot \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{35}{4} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{32}{9}$
4. Сокращаем дроби:
$\frac{25 \cdot 9 \cdot 1 \cdot 35 \cdot 5 \cdot 32}{7 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 9} = \frac{25 \cdot \cancel{9} \cdot 35 \cdot 5 \cdot 32}{7 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 2 \cdot \cancel{9}} = \frac{25 \cdot 35 \cdot \cancel{5} \cdot 32}{7 \cdot 2 \cdot \cancel{5} \cdot 4 \cdot 2} = \frac{25 \cdot (5 \cdot \cancel{7}) \cdot 32}{\cancel{7} \cdot 16} = \frac{25 \cdot 5 \cdot 32}{16}$
5. Завершаем вычисление: $25 \cdot 5 \cdot \frac{32}{16} = 25 \cdot 5 \cdot 2 = 250$.
Ответ: 250

3) $19 \cdot 2\frac{55}{76} - 39,4$
Сначала выполним умножение, затем вычитание.
1. Преобразуем смешанное число $2\frac{55}{76}$ в неправильную дробь: $2\frac{55}{76} = \frac{2 \cdot 76 + 55}{76} = \frac{152 + 55}{76} = \frac{207}{76}$.
2. Выполним умножение. Заметим, что $76 = 19 \cdot 4$. Это позволяет легко сократить дробь: $19 \cdot \frac{207}{76} = \frac{19 \cdot 207}{19 \cdot 4} = \frac{207}{4}$.
3. Преобразуем дробь $\frac{207}{4}$ в десятичную: $207 : 4 = 51,75$.
4. Выполним вычитание: $51,75 - 39,4 = 12,35$.
Ответ: 12,35

4) $6,8 \cdot \frac{5}{13} \cdot 2,7 \cdot 3\frac{3}{25} : 5\frac{2}{5} : \frac{1}{175}$
Как и во втором примере, преобразуем все числа в обыкновенные дроби и заменим деление умножением.
1. Преобразуем числа:
$6,8 = \frac{68}{10} = \frac{34}{5}$
$2,7 = \frac{27}{10}$
$3\frac{3}{25} = \frac{3 \cdot 25 + 3}{25} = \frac{78}{25}$
$5\frac{2}{5} = \frac{27}{5}$
2. Выражение принимает вид: $\frac{34}{5} \cdot \frac{5}{13} \cdot \frac{27}{10} \cdot \frac{78}{25} : \frac{27}{5} : \frac{1}{175}$
3. Заменяем деление умножением: $\frac{34}{5} \cdot \frac{5}{13} \cdot \frac{27}{10} \cdot \frac{78}{25} \cdot \frac{5}{27} \cdot \frac{175}{1}$
4. Записываем в виде одной дроби и сокращаем:
$\frac{34 \cdot 5 \cdot 27 \cdot 78 \cdot 5 \cdot 175}{5 \cdot 13 \cdot 10 \cdot 25 \cdot 27 \cdot 1} = \frac{34 \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{27} \cdot 78 \cdot 5 \cdot 175}{\cancel{5} \cdot 13 \cdot 10 \cdot 25 \cdot \cancel{27}} = \frac{34 \cdot 78 \cdot 5 \cdot 175}{13 \cdot 10 \cdot 25}$
5. Продолжим сокращение: $78 = 6 \cdot 13$, $175 = 7 \cdot 25$, $10 = 2 \cdot 5$.
$\frac{34 \cdot (6 \cdot \cancel{13}) \cdot 5 \cdot (7 \cdot \cancel{25})}{\cancel{13} \cdot 10 \cdot \cancel{25}} = \frac{34 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 7}{10} = \frac{34 \cdot 6 \cdot \cancel{5} \cdot 7}{2 \cdot \cancel{5}} = \frac{34 \cdot 6 \cdot 7}{2}$
6. Завершаем вычисление: $\frac{34}{2} \cdot 6 \cdot 7 = 17 \cdot 6 \cdot 7 = 102 \cdot 7 = 714$.
Ответ: 714

П.5. При отправке пшеницы из элеватора использовали 15−тонный грузовик. Сколько поездок нужно сделать грузовику для вывоза пшеницы объёмом 187 500 м³, если масса одного кубометра пшеницы 34 т?

П.5

$\mathbf{1}\mathbf{)} 15 : \frac{3}{4} = \stackrel{5}{\cancel{15 }}· \frac{4}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} = 5 · \frac{4}{1} = 20$ (м³) – за 1 рейс;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 187500 : 20 = 9375$поездок – необходимо сделать.

Ответ: 9375 поездок

Для решения этой задачи нужно сначала определить общую массу пшеницы, которую необходимо вывезти, а затем рассчитать, сколько поездок потребуется грузовику с известной грузоподъемностью.

1. Вычисление общей массы пшеницы

Сначала найдем общую массу пшеницы. Нам дан общий объем пшеницы $V = 187\,500 \text{ м³}$ и масса одного кубометра (плотность) $\rho = \frac{3}{4} \text{ т/м³}$.

Общая масса $M$ вычисляется как произведение объема на плотность:

$M = V \times \rho = 187\,500 \text{ м³} \times \frac{3}{4} \frac{\text{т}}{\text{м³}}$

Выполним вычисления:

$M = \frac{187\,500 \times 3}{4} = \frac{562\,500}{4} = 140\,625 \text{ тонн}$

Таким образом, общая масса пшеницы, которую нужно перевезти, составляет $140\,625$ тонн.

2. Вычисление количества поездок

Теперь, зная общую массу пшеницы и грузоподъемность грузовика ($15$ тонн), можно найти необходимое количество поездок $N$. Для этого нужно разделить общую массу на грузоподъемность одного грузовика:

$N = \frac{\text{Общая масса пшеницы}}{\text{Грузоподъемность грузовика}} = \frac{140\,625 \text{ т}}{15 \text{ т}}$

Рассчитаем значение:

$N = 9375$

Следовательно, грузовику потребуется сделать $9375$ поездок, чтобы вывезти всю пшеницу.

Ответ: 9375 поездок.

П.6. На рисунке 1 показана зависимость температуры раствора от времени проведения химического опыта. Определите по графику:
а) в какое время опыта температура была самой высокой;
б) сколько минут температура была выше 37 °C; 39 °C;
в) сколько минут температура повышалась; понижалась;
г) через сколько минут после начала опыта температура была ниже 37 °C;
д) через сколько минут после начала опыта температура была 38 °C; 37 °C.

П.6

а) самая высокая температура была на 13 минуте опыта

б) выше 37℃ температура была 17 – 10,6 = 7,6 минут
выше 39℃ температура была 14,2 – 12,5 = 1,7 минуты

в) температура повышалась 1 + 0,5 + 0,5 + 1,5 = 3,5 минут
температура понижалась 0,5 + 5 = 5,5 минут

г) ниже 37℃ температура была 1,6 минуты от начала опыта и с 17 по 20 минуту

д) температура была 38℃ через 10,9 минут, 11,5 минут, 15 минут после начала опыта

температура была 37℃ через 10,7 минут, 17 минут после начала опыта

а) в какое время опыта температура была самой высокой;
Чтобы определить время, когда температура была самой высокой, необходимо найти на графике точку с наибольшим значением по оси ординат (ось температуры). Эта точка является вершиной графика. По графику видно, что максимальная температура достигается в момент времени $t = 13$ минут. Значение температуры в этой точке составляет $39,5$ °C.
Ответ: Самая высокая температура была на 13-й минуте опыта.

б) сколько минут температура была выше 37 °C; 39 °C;
Выше 37 °C:
Найдем на графике горизонтальную линию, соответствующую температуре $T = 37$ °C. Затем определим временной интервал, в течение которого график находится выше этой линии. График пересекает линию $T = 37$ °C в двух точках. Первая точка $t_1$ находится на отрезке от 10 до 11 минут, вторая $t_2$ — на отрезке от 16 до 18 минут. Произведя расчеты (методом линейной интерполяции), получаем $t_1 \approx 10,7$ мин и $t_2 \approx 16,7$ мин. Длительность периода, когда температура была выше 37 °C, составляет $\Delta t = t_2 - t_1 \approx 16,7 - 10,7 = 6$ минут.
Выше 39 °C:
Аналогично, найдем на графике горизонтальную линию $T = 39$ °C. График находится выше этой линии на временном интервале от $t = 12$ минут до $t = 14$ минут. Длительность этого периода составляет $14 - 12 = 2$ минуты.
Ответ: Температура была выше 37 °C примерно 6 минут; выше 39 °C — 2 минуты.

в) сколько минут температура повышалась; понижалась;
Повышалась:
Температура повышалась, когда график шел вверх. Это происходило на следующих временных интервалах:

• с 10 по 11 минуту (длительность 1 минута)
• с 11,5 по 13 минуту (длительность 1,5 минуты)
• с 18 по 19 минуту (длительность 1 минута)

Общее время повышения температуры: $1 + 1,5 + 1 = 3,5$ минуты.
Понижалась:
Температура понижалась, когда график шел вниз. Это происходило на следующих временных интервалах:

• с 11 по 11,5 минуту (длительность 0,5 минуты)
• с 13 по 18 минуту (длительность 5 минут)

Общее время понижения температуры: $0,5 + 5 = 5,5$ минуты.
Ответ: Температура повышалась 3,5 минуты; понижалась 5,5 минуты.

г) через сколько минут после начала опыта температура была ниже 37 °C;
Начало опыта на графике соответствует $t = 10$ мин. Температура была ниже 37 °C в начале опыта, затем она поднялась выше этого значения и снова опустилась ниже 37 °C. Момент, когда температура снова стала ниже 37 °C, находится на ниспадающем участке графика после пика. Этот момент времени, как было определено в пункте б), равен $t_2 \approx 16 \frac{2}{3}$ минуты. Чтобы найти, через сколько минут после начала опыта это произошло, вычтем время начала опыта: $16 \frac{2}{3} - 10 = 6 \frac{2}{3}$ минуты.
Ответ: Температура опустилась ниже 37 °C через $6 \frac{2}{3}$ минуты (примерно 6,7 минут) после начала опыта.

д) через сколько минут после начала опыта температура была 38 °C; 37 °C.
Начало опыта — $t = 10$ мин. Нам нужно найти моменты времени $t$, когда температура достигала указанных значений, и вычислить разницу $t - 10$.
Температура 38 °C:
Найдем точки пересечения графика с линией $T = 38$ °C.

1. На восходящем участке между 10 и 11 минутами. Расчет дает $t \approx 10 + \frac{16}{17}$ мин. Время после начала: $\frac{16}{17}$ минуты (около 0,94 мин).
2. В точке излома графика при $t = 11,5$ мин. Время после начала: $11,5 - 10 = 1,5$ минуты.
3. В точке излома графика при $t = 15$ мин. Время после начала: $15 - 10 = 5$ минут.

Температура 37 °C:
Найдем точки пересечения графика с линией $T = 37$ °C.

1. На восходящем участке. Время $t_1 = 10 + \frac{12}{17}$ мин. Время после начала: $\frac{12}{17}$ минуты (около 0,71 мин).
2. На нисходящем участке. Время $t_2 = 16 + \frac{2}{3}$ мин. Время после начала: $6 \frac{2}{3}$ минуты (около 6,67 мин).

Ответ: Температура была 38 °C через $\frac{16}{17}$ минуты (примерно 0,9 мин), 1,5 минуты и 5 минут после начала опыта. Температура была 37 °C через $\frac{12}{17}$ минуты (примерно 0,7 мин) и $6 \frac{2}{3}$ минуты (примерно 6,7 мин) после начала опыта.