Страница 129, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

3.54. Градусные меры углов М и N равны 70º и 56º. Какую часть угла М составляет угол N? Во сколько раз угол N больше угла М?

3.54

∠ М = 70°

∠ N = 56°

$\mathbf{1}\mathbf{)} 56 : 70 = \frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\cancel{56}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{70}}}} = \frac{4}{5}$ – составляет ∠ N от ∠ М;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 70 : 56 = \frac{70}{56} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$– ∠ N больше ∠ М

Ответ: $\frac{4}{5}$; в $1\frac{1}{4}$ раза.

Какую часть угла M составляет угол N?
Дано: градусная мера угла M равна $70^\circ$, а градусная мера угла N равна $56^\circ$.
Чтобы определить, какую часть угол N составляет от угла M, необходимо найти отношение их градусных мер. Это отношение вычисляется делением величины угла N на величину угла M.
Выполним вычисление:
$ \frac{\angle N}{\angle M} = \frac{56}{70} $
Для упрощения дроби найдем наибольший общий делитель для числителя и знаменателя. Оба числа, 56 и 70, делятся на 14.
$ 56 \div 14 = 4 $
$ 70 \div 14 = 5 $
Таким образом, получаем дробь:
$ \frac{56}{70} = \frac{4}{5} $
Это отношение можно также выразить в виде десятичной дроби: $4 \div 5 = 0.8$.
Ответ: Угол N составляет $\frac{4}{5}$ (или 0,8) от угла M.

Во сколько раз угол N больше угла M?
Дано: $\angle M = 70^\circ$ и $\angle N = 56^\circ$.
Сравнивая величины углов, мы видим, что $56^\circ < 70^\circ$, то есть угол N меньше угла M.
Следовательно, вопрос "Во сколько раз угол N больше угла M?" сформулирован некорректно, так как угол N не может быть больше угла M.
Вероятно, в вопросе имелось в виду, во сколько раз угол M больше угла N (или во сколько раз угол N меньше угла M). Ответ на этот вопрос находится путем деления большей величины на меньшую:
$ \frac{\angle M}{\angle N} = \frac{70}{56} $
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 14:
$ \frac{70}{56} = \frac{5}{4} $
Переведем полученную неправильную дробь в десятичную:
$ \frac{5}{4} = 1.25 $
Это означает, что угол M в 1,25 раза больше угла N.
Ответ: Вопрос сформулирован некорректно. Угол M больше угла N в 1,25 раза.

3.55. В начале зимы лыжи стоили 1800 р., а в конце сезона — 1200 р. На сколько процентов была снижена цена? Сколько процентов новая цена составляет от прежней цены?

3.55

В начале зимы – 1800 р;

В конце зимы – 1200 р.

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }1800 – 1200 = 600$(р.) – снизилась цена;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 600:1800= \frac{600}{1800} = \frac{1}{3} · 100\%=33\frac{1}{3}\%$ -
была снижена цена;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 1200:1800=\frac{1200}{1800} = \frac{2}{3} · 100\%=66\frac{2}{3}\%$ -
составляет новая цена от прежней цены.

Ответ: $33\frac{1}{3}\%$; $66\frac{2}{3}\%$.

На сколько процентов была снижена цена?

Чтобы узнать, на сколько процентов была снижена цена, нужно сначала найти разницу между старой и новой ценой, а затем определить, какую долю эта разница составляет от первоначальной цены.

1. Найдем абсолютное снижение цены в рублях:
   $1800 \text{ р.} - 1200 \text{ р.} = 600 \text{ р.}$
2. Теперь вычислим, сколько процентов составляет это снижение (600 р.) от первоначальной цены (1800 р.). Первоначальную цену принимаем за 100%.
   Для этого разделим сумму снижения на первоначальную цену и умножим на 100%.
   $\frac{600}{1800} \cdot 100\% = \frac{1}{3} \cdot 100\% = 33 \frac{1}{3}\%$

Таким образом, цена была снижена на $33 \frac{1}{3}\%$.
Ответ: на $33 \frac{1}{3}\%$.

Сколько процентов новая цена составляет от прежней цены?

Чтобы определить, сколько процентов новая цена составляет от прежней, нужно разделить новую цену на прежнюю и умножить полученное значение на 100%.

1. Составим отношение новой цены (1200 р.) к прежней цене (1800 р.):
   $\frac{1200}{1800}$
2. Переведем это отношение в проценты, умножив на 100%.
   $\frac{1200}{1800} \cdot 100\% = \frac{12}{18} \cdot 100\% = \frac{2}{3} \cdot 100\% = 66 \frac{2}{3}\%$

Таким образом, новая цена составляет $66 \frac{2}{3}\%$ от прежней цены.
Ответ: $66 \frac{2}{3}\%$.

3.56. В многоэтажном доме двухкомнатные и трёхкомнатные квартиры, причём на каждые 3 двухкомнатные квартиры приходится одна трёхкомнатная. Сколько процентов составляют двухкомнатные квартиры от общего числа квартир? Сколько всего квартир в доме, если в доме 384 двухкомнатные квартиры?

3.56

Двухкомнатные – 384 квартиры, ? %;

3 двухкомнатные = 1 трёхкомнатная;

$\mathbf{1}\mathbf{)} 1 + 3 = 4$(части) – всего;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 100\% : 4 = 25\%$- в одной части;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 25\% · 3 = 75\% = 0,75$- составляют двухкомнатные квартиры;

$\mathbf{4}\mathbf{)} 384 : 0,75 = 38400 : 75 = 512$(квартир) – всего в доме.

Ответ: 75%; 512 квартир.

Сколько процентов составляют двухкомнатные квартиры от общего числа квартир?

По условию, на каждые 3 двухкомнатные квартиры приходится 1 трёхкомнатная. Это значит, что если мы рассмотрим минимальную группу квартир, сохраняющую это соотношение, то в ней будет 3 двухкомнатных и 1 трёхкомнатная квартира.

Общее число квартир в такой группе составляет: $3 + 1 = 4$ квартиры.

Двухкомнатные квартиры составляют 3 части из 4. Чтобы найти, какой процент это составляет от общего числа квартир в группе, нужно найти отношение количества двухкомнатных квартир к общему количеству и умножить на 100%.

Доля двухкомнатных квартир = $\frac{3}{4}$.

В процентах это будет: $\frac{3}{4} \times 100\% = 0.75 \times 100\% = 75\%$.

Ответ: 75%.

Сколько всего квартир в доме, если в доме 384 двухкомнатные квартиры?

Мы знаем, что соотношение двухкомнатных квартир к трёхкомнатным равно 3:1. Это означает, что трёхкомнатных квартир в 3 раза меньше, чем двухкомнатных.

Найдём количество трёхкомнатных квартир в доме: $384 \div 3 = 128$ трёхкомнатных квартир.

Теперь найдём общее количество квартир в доме, сложив количество двухкомнатных и трёхкомнатных квартир: $384 + 128 = 512$ квартир.

Другой способ решения: Из первой части задачи мы знаем, что двухкомнатные квартиры составляют 75% от общего числа квартир. Таким образом, 384 квартиры — это 75% от общего количества. Пусть $N$ — общее количество квартир. Тогда: $0.75 \times N = 384$

Найдём $N$: $N = \frac{384}{0.75} = \frac{384}{3/4} = 384 \times \frac{4}{3} = 128 \times 4 = 512$ квартир.

Ответ: 512 квартир.

3.57. Можно ли составить пропорцию из двух отношений:

а) 3,06 : 0,9 и 4,08 : 1,2; б) 0,0056 : 0,14 и 0,136 : 0,34.

3.57

а) 3,06 : 0,9 = 30,6 : 9 = 3,4

4,08 : 1,2 = 40,8 : 12 = 3,4

пропорцию составить можно

3,06 : 0,9 = 4,08 : 1,2

б) 0,0056 : 0,14 = 0,56 : 14 = 0,04

0,136 : 0,34 = 13,6 : 34 = 0,4

пропорцию составить нельзя

Для того чтобы определить, можно ли составить пропорцию из двух отношений, необходимо вычислить значения этих отношений. Если значения равны, то из данных отношений можно составить пропорцию. Пропорция — это равенство двух отношений.

а) Проверим, равны ли отношения $3,06 : 0,9$ и $4,08 : 1,2$.
Найдем значение первого отношения. Для этого избавимся от дроби в делителе, умножив делимое и делитель на 10:
$3,06 : 0,9 = \frac{3,06}{0,9} = \frac{30,6}{9} = 3,4$.
Теперь найдем значение второго отношения. Также умножим делимое и делитель на 10:
$4,08 : 1,2 = \frac{4,08}{1,2} = \frac{40,8}{12} = 3,4$.
Так как значения отношений равны ($3,4 = 3,4$), из них можно составить пропорцию.
Ответ: да, можно.

б) Проверим, равны ли отношения $0,0056 : 0,14$ и $0,136 : 0,34$.
Найдем значение первого отношения. Умножим делимое и делитель на 100:
$0,0056 : 0,14 = \frac{0,0056}{0,14} = \frac{0,56}{14} = 0,04$.
Найдем значение второго отношения. Умножим делимое и делитель на 100:
$0,136 : 0,34 = \frac{0,136}{0,34} = \frac{13,6}{34} = 0,4$.
Так как значения отношений не равны ($0,04 \neq 0,4$), из них нельзя составить пропорцию.
Ответ: нет, нельзя.

3.58. Найдите неизвестный член пропорции:

а) 312 : 217 = 213 : t ; б) 313 : s = 423 : 116; в) у : 23 = 816 : 213; г) 517 : 67 = z : 1217.

3.58

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }3\frac{1}{3} : s = 4\frac{2}{3} : 1\frac{1}{6}; \\ s = 3\frac{1}{3} · 1\frac{1}{6} : 4\frac{2}{3} = \frac{10}{\sout{3}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{7}}}}{6} · \frac{\sout{3}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{14}}}} = \\ = \frac{5}{1} · \frac{1}{6} · \frac{1}{1} = \frac{5}{6}. \\ \mathrm{Ответ}: \frac{5}{6} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }у : \frac{2}{3} = 8\frac{1}{6} : 2\frac{1}{3}; \\ у = \frac{2}{3} · 8\frac{1}{6}: 2\frac{1}{3}= \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{2}}}}{\sout{3}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{7}{\cancel{49}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\bcancel{6}}}} · \frac{\sout{3}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}} = \\ = \frac{1}{1} · \frac{7}{3} · \frac{1}{1} = 2\frac{1}{3}. \\ \mathrm{Ответ}: 2\frac{1}{3}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }5\frac{1}{7} : \frac{6}{7} = z : \frac{12}{17}; \\ \frac{5{\displaystyle \frac{1}{7}}}{{\displaystyle \frac{6}{7}}} = \frac{z}{{\displaystyle \frac{12}{17}}}; \\ z = 5\frac{1}{7} · \frac{12}{17} : \frac{6}{7} = \frac{{\displaystyle \stackrel{6}{\bcancel{36}}}}{\cancel{7}} · \frac{12}{17} · \frac{\cancel{7}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{6}}} } = \\ = \frac{6}{1} · \frac{12}{17} · \frac{1}{1} = \frac{72}{17} = 4\frac{4}{17}. \\ \mathrm{Ответ}: 4\frac{4}{17}. \end{gathered}$$

а) $3\frac{1}{2} : 2\frac{1}{7} = 2\frac{1}{3} : t$

Данное равенство является пропорцией. Согласно основному свойству пропорции, произведение крайних членов равно произведению средних членов. В данном случае $t$ является неизвестным крайним членом.

$3\frac{1}{2} \cdot t = 2\frac{1}{7} \cdot 2\frac{1}{3}$

Для удобства вычислений преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$

$2\frac{1}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{15}{7}$

$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$

Подставим полученные дроби в уравнение:

$\frac{7}{2} \cdot t = \frac{15}{7} \cdot \frac{7}{3}$

Вычислим произведение в правой части уравнения, сократив дробь:

$\frac{15}{7} \cdot \frac{7}{3} = \frac{15 \cdot 7}{7 \cdot 3} = \frac{15}{3} = 5$

Теперь уравнение имеет вид:

$\frac{7}{2} \cdot t = 5$

Чтобы найти $t$, разделим 5 на $\frac{7}{2}$:

$t = 5 : \frac{7}{2} = 5 \cdot \frac{2}{7} = \frac{10}{7}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$t = 1\frac{3}{7}$

Ответ: $1\frac{3}{7}$

б) $3\frac{1}{3} : s = 4\frac{2}{3} : 1\frac{1}{6}$

В этой пропорции неизвестным является средний член $s$. Используем основное свойство пропорции.

$s \cdot 4\frac{2}{3} = 3\frac{1}{3} \cdot 1\frac{1}{6}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$; $4\frac{2}{3} = \frac{14}{3}$; $1\frac{1}{6} = \frac{7}{6}$

Подставим дроби в уравнение:

$s \cdot \frac{14}{3} = \frac{10}{3} \cdot \frac{7}{6}$

Вычислим правую часть:

$\frac{10}{3} \cdot \frac{7}{6} = \frac{70}{18} = \frac{35}{9}$

Уравнение принимает вид:

$s \cdot \frac{14}{3} = \frac{35}{9}$

Чтобы найти $s$, разделим $\frac{35}{9}$ на $\frac{14}{3}$:

$s = \frac{35}{9} : \frac{14}{3} = \frac{35}{9} \cdot \frac{3}{14} = \frac{35 \cdot 3}{9 \cdot 14}$

Сократим множители: 35 и 14 на 7, а 3 и 9 на 3.

$s = \frac{5 \cdot 1}{3 \cdot 2} = \frac{5}{6}$

Ответ: $\frac{5}{6}$

в) $y : \frac{2}{3} = 8\frac{1}{6} : 2\frac{1}{3}$

Здесь неизвестным является крайний член пропорции $y$.

$y \cdot 2\frac{1}{3} = \frac{2}{3} \cdot 8\frac{1}{6}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$8\frac{1}{6} = \frac{49}{6}$; $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$

Подставим дроби в уравнение:

$y \cdot \frac{7}{3} = \frac{2}{3} \cdot \frac{49}{6}$

Вычислим правую часть, сократив 2 и 6 на 2:

$\frac{2}{3} \cdot \frac{49}{6} = \frac{1 \cdot 49}{3 \cdot 3} = \frac{49}{9}$

Уравнение принимает вид:

$y \cdot \frac{7}{3} = \frac{49}{9}$

Найдем $y$:

$y = \frac{49}{9} : \frac{7}{3} = \frac{49}{9} \cdot \frac{3}{7} = \frac{49 \cdot 3}{9 \cdot 7}$

Сократим множители: 49 и 7 на 7, а 9 и 3 на 3.

$y = \frac{7 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{7}{3}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$y = 2\frac{1}{3}$

Ответ: $2\frac{1}{3}$

г) $5\frac{1}{7} : \frac{6}{7} = z : \frac{12}{17}$

Неизвестным является средний член пропорции $z$.

$z \cdot \frac{6}{7} = 5\frac{1}{7} \cdot \frac{12}{17}$

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$5\frac{1}{7} = \frac{36}{7}$

Подставим дробь в уравнение:

$z \cdot \frac{6}{7} = \frac{36}{7} \cdot \frac{12}{17}$

Чтобы найти $z$, разделим правую часть на $\frac{6}{7}$:

$z = \left(\frac{36}{7} \cdot \frac{12}{17}\right) : \frac{6}{7} = \frac{36}{7} \cdot \frac{12}{17} \cdot \frac{7}{6}$

Сократим дроби: 7 и 7 на 7, а 36 и 6 на 6.

$z = \frac{6 \cdot 12}{17} = \frac{72}{17}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$z = 4\frac{4}{17}$

Ответ: $4\frac{4}{17}$

3.59. Продолжительность светового дня 4 февраля составила 8,4 ч. Сколько процентов составила продолжительность светового дня от суток?

3.59

Световой день – 8,4 ч.

День – 24 ч.

$\frac{\mathrm{Световй} \mathrm{день}}{\mathrm{День}} - ? \%$

1) 8,4 : 24 = 0,35 • 100% = 35% - составила продолжительность светового дня от суток.

Ответ: 35%.

Чтобы найти, какой процент составляет продолжительность светового дня от суток, необходимо разделить продолжительность светового дня на общую продолжительность суток (в тех же единицах измерения) и умножить полученный результат на 100%.

Исходные данные:
Продолжительность светового дня = $8,4$ часа.
Продолжительность суток = $24$ часа.

Решение:
1. Сначала найдем, какую долю составляют $8,4$ часа от $24$ часов. Для этого разделим одно значение на другое:
$ \frac{8,4}{24} $

2. Выполним деление:
$ 8,4 \div 24 = 0,35 $
Это означает, что световой день составляет $0,35$ от полных суток.

3. Чтобы выразить эту долю в процентах, умножим полученное значение на 100:
$ 0,35 \times 100\% = 35\% $

Таким образом, продолжительность светового дня 4 февраля составила 35% от суток.

Ответ: 35%.

3.60. Аня дошла из дома до парка за 5 мин и, надев ролики, увеличила скорость движения на 120 м/мин. Через 35 мин после выхода из дома оказалось, что она преодолела путь 6505 м. С какой скоростью Аня шла из дома до парка?

3.60

От дома до парка – 5 мин;

Скорость - ? м/мин + 120 м/мин;

За 35 мин преодолела 6505 м.

Пусть х м/мин – первоначальная скорость Ани, 5х (м) – прошла Аня пешком, (х + 120) м/мин – скорость Ани на роликах,
(35 – 5) • (х + 120) м – проехала Аня на роликах. Зная, что всего она преодолела путь 6505 м, составим и решим уравнение:

5х + (35 – 5) • (х + 120) = 6505;

5х + 30 • (х + 120) = 6505;

5х + 30х + 3600 = 6505;

35х = 6505 – 3600;

35х = 2905;

х = 2905 : 35;

х = 83 (м/мин) – скорость Ани пешком

Ответ: 83 м/мин.

Для решения задачи введем переменную и составим уравнение. Пусть $x$ м/мин — это скорость, с которой Аня шла из дома до парка.

1. Найдем расстояние, которое Аня прошла пешком от дома до парка. Она шла 5 минут со скоростью $x$ м/мин. Расстояние равно произведению скорости на время:
$S_1 = x \cdot 5$ (м).

2. После того как Аня надела ролики, ее скорость увеличилась на 120 м/мин и стала равна:
$v_2 = (x + 120)$ (м/мин).

3. Общее время движения составляет 35 минут. Из них 5 минут она шла пешком. Найдем, сколько времени она ехала на роликах:
$t_2 = 35 - 5 = 30$ (мин).

4. Найдем расстояние, которое Аня проехала на роликах за 30 минут со скоростью $(x + 120)$ м/мин:
$S_2 = (x + 120) \cdot 30$ (м).

5. Общий путь, который преодолела Аня, равен сумме расстояния, пройденного пешком, и расстояния, которое она проехала на роликах. По условию, это 6505 м. Составим уравнение:
$S_1 + S_2 = 6505$
$5x + 30(x + 120) = 6505$

6. Решим полученное уравнение:
$5x + 30x + 3600 = 6505$
$35x + 3600 = 6505$
$35x = 6505 - 3600$
$35x = 2905$
$x = \frac{2905}{35}$
$x = 83$

Следовательно, скорость, с которой Аня шла из дома до парка, составляет 83 м/мин.

Ответ: 83 м/мин.

3.61. Найдите число, если разность 79 этого числа и 0,4 равна 1.

3.61

Пусть х – искомое число. Тогда составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{7}{9} х - 0,4 = 1; \\ \frac{7}{9} х = 1 + 0,4; \\ \frac{7}{9} х = 1,4; \\ х = 1,4 : \frac{7}{9}; \\ х = \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{14}}}}{10} · \frac{9}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}}; \\ х = \frac{2}{10} · \frac{9}{1}; \\ х = \frac{18}{10}; \\ х = 1,8. \\ \mathrm{Ответ}: 1,8. \end{gathered}$$

Обозначим искомое число через $x$. Согласно условию задачи, разность между $\frac{7}{9}$ этого числа и 0,4 равна 1. Это можно записать в виде уравнения:

$\frac{7}{9}x - 0,4 = 1$

Для решения уравнения сначала перенесем 0,4 в правую часть, изменив знак на противоположный:

$\frac{7}{9}x = 1 + 0,4$

$\frac{7}{9}x = 1,4$

Теперь, чтобы найти $x$, нужно разделить обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $\frac{7}{9}$. Для удобства вычислений представим десятичную дробь 1,4 в виде обыкновенной дроби:

$1,4 = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$

Теперь уравнение выглядит так:

$\frac{7}{9}x = \frac{7}{5}$

Найдем $x$, разделив правую часть на $\frac{7}{9}$. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$x = \frac{7}{5} \div \frac{7}{9} = \frac{7}{5} \times \frac{9}{7}$

Сократим одинаковые множители (7) в числителе и знаменателе:

$x = \frac{\cancel{7} \times 9}{5 \times \cancel{7}} = \frac{9}{5}$

Преобразуем полученную неправильную дробь в десятичную:

$x = \frac{9}{5} = \frac{18}{10} = 1,8$

Проверка:
1. Найдем $\frac{7}{9}$ от найденного числа 1,8:
$\frac{7}{9} \times 1,8 = \frac{7}{9} \times \frac{18}{10} = \frac{7 \times 2}{10} = \frac{14}{10} = 1,4$.
2. Вычтем из полученного результата 0,4:
$1,4 - 0,4 = 1$.
Результат совпадает с условием задачи, значит, число найдено верно.

Ответ: 1,8.

3.62. Найдите значение выражения:

а) 746,2 : (5,6 · 6,5) – 204,12 : (2,7 · 7,2); б) 299,71 : (3,4 · 4,3) – 8,06 : (2,6 · 6,2)

3.62

$\mathit{а}\mathbf{)} 746,2\stackrel{3}{ :} (5,6 \stackrel{1}{·} 6,5) \stackrel{5}{–} 204,12\stackrel{4}{ :} (2,7\stackrel{2}{ ·} 7,2) = 10$

1.	2.
3.	4.
5. 20,5 – 10,5 = 10

$\mathit{б}\mathbf{)} 299,71\stackrel{3}{ : }(3,4 \stackrel{1}{·} 4,3) \stackrel{5}{–} 8,06 \stackrel{4}{:} (2,6 \stackrel{2}{·} 6,2) = 20$

1.	2.
3.	4.
5. 20,5 – 0,5 = 20.

а) $746,2 : (5,6 \cdot 6,5) - 204,12 : (2,7 \cdot 7,2)$

Решим данное выражение по действиям, соблюдая правильный порядок: сначала выполняются действия в скобках (умножение), затем деление и в конце вычитание.

1. Вычислим произведение в первых скобках:
$5,6 \cdot 6,5 = 36,4$

2. Вычислим произведение во вторых скобках:
$2,7 \cdot 7,2 = 19,44$

3. Теперь выражение выглядит так: $746,2 : 36,4 - 204,12 : 19,44$. Выполним первое деление:
$746,2 : 36,4 = 20,5$

4. Выполним второе деление:
$204,12 : 19,44 = 10,5$

5. Выполним вычитание:
$20,5 - 10,5 = 10$

Ответ: $10$

б) $299,71 : (3,4 \cdot 4,3) - 8,06 : (2,6 \cdot 6,2)$

Решим выражение по действиям, соблюдая правильный порядок: сначала действия в скобках, затем деление и вычитание.

1. Вычислим произведение в первых скобках:
$3,4 \cdot 4,3 = 14,62$

2. Вычислим произведение во вторых скобках:
$2,6 \cdot 6,2 = 16,12$

3. Теперь выражение выглядит так: $299,71 : 14,62 - 8,06 : 16,12$. Выполним первое деление:
$299,71 : 14,62 = 20,5$

4. Выполним второе деление:
$8,06 : 16,12 = 0,5$

5. Выполним вычитание:
$20,5 - 0,5 = 20$

Ответ: $20$

Проверочная работа

Рассмотрите пропорцию 6,72 : 3,2 = х : 12 и выполните для неё следующие задания:

1. Запишите крайние члены пропорции.

Проверочная работа

$6,72 : 3,2 = х : \frac{1}{2}$

1.

$6,72 \mathrm{и} \frac{1 }{2}$– крайние члены пропорции.

1 Запишите крайние члены пропорции.
Пропорция — это равенство двух отношений, которое в общем виде записывается как $a : b = c : d$. Члены пропорции, находящиеся по краям (первый и последний), называются крайними. В данном случае это $a$ и $d$. Члены, находящиеся в середине, называются средними. В данном случае это $b$ и $c$.
В представленной пропорции $6,72 : 3,2 = x : \frac{1}{2}$ мы имеем:
Первый член ($a$) = $6,72$
Второй член ($b$) = $3,2$
Третий член ($c$) = $x$
Четвертый член ($d$) = $\frac{1}{2}$
Следовательно, крайними членами этой пропорции являются первый и четвертый члены.
Ответ: $6,72$ и $\frac{1}{2}$.

Рассмотрите пропорцию 6,72 : 3,2 = х : 12 и выполните для неё следующие задания:

2. Запишите средние члены пропорции.

2.

3,2 и х – средние члены пропорции.

Пропорция — это равенство двух отношений. В общем виде пропорцию записывают так: $a : b = c : d$ или в виде равенства дробей $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

В любой пропорции различают крайние и средние члены.

Члены, стоящие по краям записи ($a$ и $d$), называются крайними членами.

Члены, стоящие в середине записи ($b$ и $c$), называются средними членами.

Таким образом, чтобы записать средние члены пропорции, нужно определить числа или выражения, которые в записи $a : b = c : d$ являются вторым и третьим членами. В записи $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ средними членами являются знаменатель первой дроби ($b$) и числитель второй дроби ($c$).

Пример 1:
Рассмотрим пропорцию $20 : 4 = 35 : 7$.
Крайние члены здесь — $20$ и $7$.
Средние члены — $4$ и $35$.

Пример 2:
Рассмотрим пропорцию $\frac{9}{3} = \frac{12}{4}$.
Ее можно представить в виде $9 : 3 = 12 : 4$.
Крайние члены здесь — $9$ и $4$.
Средние члены — $3$ и $12$.

Ответ: Средними членами пропорции, записанной в общем виде $a : b = c : d$, являются члены $b$ и $c$.

Рассмотрите пропорцию 6,72 : 3,2 = х : 12 и выполните для неё следующие задания:

3. Найдите неизвестный член пропорции. Каким свойством пропорции вы воспользовались?

3.

по основному свойству пропорции

$$\begin{gathered} 3,2 · х = 6,72 · \frac{1}{2} \\ х = 6\frac{{\displaystyle \stackrel{18}{\cancel{72}}}}{{\displaystyle \underset{25}{\cancel{100}}}} · \frac{1}{2} : 3,2; \\ х = 6 \frac{18}{25} · \frac{1}{2} : 3\frac{2}{10}; \\ х = \frac{168}{25} · \frac{1}{2} : \frac{32}{10}; \\ х = \frac{{\displaystyle \stackrel{21}{\bcancel{168}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{25}}}} · \frac{1}{2} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{16}}}}; \\ х = \frac{21 · 1 · 1}{5 · 2 · 2}; \\ х = \frac{21}{20}; \\ х = 1\frac{1}{20}. \\ \mathrm{Ответ}: 1\frac{1}{20}. \end{gathered}$$

Для нахождения неизвестного члена пропорции используется её основное свойство. Пропорция — это равенство двух отношений, которое можно записать как $a : b = c : d$ или в виде дробей $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. В этой записи $a$ и $d$ называются крайними членами, а $b$ и $c$ — средними членами.

Основное свойство пропорции гласит: произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов. Математически это выглядит так:

$a \cdot d = b \cdot c$

Это свойство позволяет составить уравнение и найти любой из членов пропорции, если три других известны.

Рассмотрим на примерах, как это работает.

В данной пропорции неизвестным является крайний член $x$. Крайними членами являются $x$ и $4$, а средними — $12$ и $3$.

Применим основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних.

$x \cdot 4 = 12 \cdot 3$

Выполним вычисления в правой части уравнения:

$4x = 36$

Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 4:

$x = \frac{36}{4}$

$x = 9$

Для решения было использовано основное свойство пропорции.

Ответ: 9.

В этой пропорции неизвестным является средний член $y$. Крайние члены — $1,5$ и $10$, а средние члены — $5$ и $y$.

Воспользуемся тем же основным свойством пропорции:

$1,5 \cdot 10 = 5 \cdot y$

Вычислим произведение крайних членов:

$15 = 5y$

Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на 5:

$y = \frac{15}{5}$

$y = 3$

Для решения было использовано основное свойство пропорции.

Ответ: 3.

Данную пропорцию можно записать как $z : 6 = 2 : 3$. Здесь $z$ — это крайний член. Крайние члены — $z$ и $3$, средние члены — $6$ и $2$.

Используем основное свойство пропорции:

$z \cdot 3 = 6 \cdot 2$

Выполним вычисления в правой части:

$3z = 12$

Найдём $z$, разделив обе части на 3:

$z = \frac{12}{3}$

$z = 4$

Для решения было использовано основное свойство пропорции.

Ответ: 4.

Рассмотрите пропорцию 6,72 : 3,2 = х : 12и выполните для неё следующие задания:

4. Составьте ещё несколько пропорций, переставляя её члены.

4.

$$\begin{gathered} \frac{1}{2} : 3,2 = х : 6,72 \\ 6,72 : х = 3,2 : \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} : х = 3,2 : 6,72 \\ х : \frac{1}{2} = 6,72 : 3,2. \end{gathered}$$

Для того чтобы составить новые пропорции, необходимо иметь исходную верную пропорцию. Так как в условии она не задана, в качестве примера возьмём пропорцию $15 : 5 = 21 : 7$. Её можно записать в виде равенства дробей: $\frac{15}{5} = \frac{21}{7}$.

Основное свойство пропорции гласит, что произведение её крайних членов равно произведению средних членов. Для пропорции вида $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ это свойство записывается формулой $a \cdot d = b \cdot c$. В нашем примере крайние члены — это $15$ и $7$, а средние — $5$ и $21$. Проверим свойство: $15 \cdot 7 = 105$ и $5 \cdot 21 = 105$. Равенство $105 = 105$ верно, значит, пропорция составлена правильно.

Переставляя члены пропорции так, чтобы это равенство сохранялось, можно получить несколько новых верных пропорций.

1. Если поменять местами средние члены (числа $5$ и $21$), получится новая пропорция: $15 : 21 = 5 : 7$ или $\frac{15}{21} = \frac{5}{7}$. Проверка: $15 \cdot 7 = 105$ и $21 \cdot 5 = 105$. Пропорция верна.

2. Если поменять местами крайние члены (числа $15$ и $7$), получится: $7 : 5 = 21 : 15$ или $\frac{7}{5} = \frac{21}{15}$. Проверка: $7 \cdot 15 = 105$ и $5 \cdot 21 = 105$. Пропорция верна.

3. Если в исходной пропорции "перевернуть" обе дроби (заменить отношения на обратные), мы получим: $5 : 15 = 7 : 21$ или $\frac{5}{15} = \frac{7}{21}$. Проверка: $5 \cdot 21 = 105$ и $15 \cdot 7 = 105$. Пропорция верна.

4. Можно также поменять местами левую и правую части пропорции, что тоже даст верную пропорцию: $21 : 7 = 15 : 5$ или $\frac{21}{7} = \frac{15}{5}$.

Ответ: На основе пропорции $15 : 5 = 21 : 7$ можно составить следующие новые пропорции: $15 : 21 = 5 : 7$; $7 : 5 = 21 : 15$; $5 : 15 = 7 : 21$.

Рассмотрите пропорцию 6,72 : 3,2 = х : 12 и выполните для неё следующие задания:

5 *. Допишите задачу так, чтобы она решалась с помощью исходной пропорции: «Улитка проползла 6 м 72 см за 3,2 ч..»

5*

Улитка проползла 6 м 72 см за 3,2 ч. Сколько проползет улитка за $\frac{1}{2}$ч?

Для того чтобы задача решалась с помощью пропорции, необходимо дополнить её условие вопросом о нахождении одной из величин (расстояния или времени) при известном изменении другой. При этом мы исходим из предположения, что скорость движения улитки постоянна, а значит, расстояние и время являются прямо пропорциональными величинами. Дополним задачу так, чтобы получился удобный для вычислений ответ.

Дополненная задача:

Улитка проползла 6 м 72 см за 3,2 ч. За какое время она проползет 2,1 м, двигаясь с той же скоростью?

Решение:

Поскольку скорость улитки постоянна, зависимость между пройденным расстоянием и временем является прямой пропорциональностью. Это значит, что отношение пройденного расстояния ко времени движения есть величина постоянная (равная скорости).

1. Для удобства вычислений приведем все единицы измерения расстояния к одной — к метрам.

6 м 72 см = $6 + \frac{72}{100}$ м = 6,72 м.

2. Обозначим искомое время, за которое улитка проползет 2,1 м, переменной $x$ (в часах).

3. Составим пропорцию. Из условия известно, что расстоянию 6,72 м соответствует время 3,2 ч. Мы хотим найти время $x$, которое соответствует расстоянию 2,1 м. Получаем следующее соотношение:

$\frac{6,72 \text{ м}}{3,2 \text{ ч}} = \frac{2,1 \text{ м}}{x \text{ ч}}$

Данная пропорция выражает тот факт, что скорость улитки ($v = \frac{S}{t}$) в обоих случаях одинакова.

4. Для нахождения неизвестного члена пропорции $x$ воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов.

$6,72 \cdot x = 2,1 \cdot 3,2$

5. Выразим $x$ из этого уравнения:

$x = \frac{2,1 \cdot 3,2}{6,72}$

Сначала вычислим произведение в числителе:

$2,1 \cdot 3,2 = 6,72$

Теперь подставим полученное значение обратно в формулу для $x$:

$x = \frac{6,72}{6,72} = 1$

Таким образом, для того чтобы проползти 2,1 м, улитке потребуется 1 час.

Ответ: 1 час.

П.14. Нарисуйте фигуру, имеющую:
а) ось симметрии;
б) центр симметрии;
в) ось симметрии и центр симметрии;
г) четыре оси симметрии.

П.14

а)

б)

в)

г)

а) Нарисуйте фигуру, имеющую ось симметрии

Фигура имеет ось симметрии (обладает осевой симметрией), если существует такая прямая, называемая осью симметрии, что для любой точки фигуры симметричная ей точка относительно этой прямой также принадлежит фигуре. Проще говоря, если фигуру "согнуть" по оси симметрии, то ее половинки полностью совпадут.

Примером такой фигуры может служить равнобедренный треугольник. Его осью симметрии является прямая, содержащая высоту, опущенную на основание.

Ответ: равнобедренный треугольник.

б) Нарисуйте фигуру, имеющую центр симметрии

Фигура имеет центр симметрии (обладает центральной симметрией), если существует такая точка, называемая центром симметрии, что для любой точки фигуры симметричная ей точка относительно этого центра также принадлежит фигуре. Это означает, что при повороте фигуры на $180^\circ$ вокруг ее центра симметрии, фигура совпадает сама с собой.

Примером фигуры, у которой есть центр симметрии, но может не быть оси симметрии, является параллелограмм. Его центр симметрии — это точка пересечения диагоналей.

Ответ: параллелограмм.

в) Нарисуйте фигуру, имеющую ось симметрии и центр симметрии

Такая фигура должна удовлетворять обоим условиям, описанным выше. Примерами могут служить прямоугольник, ромб, окружность или правильный шестиугольник.

Рассмотрим прямоугольник. Он имеет две оси симметрии — это прямые, проходящие через середины его противоположных сторон. Центром симметрии прямоугольника является точка пересечения его диагоналей, которая также является и точкой пересечения его осей симметрии.

Ответ: прямоугольник.

г) Нарисуйте фигуру, имеющую четыре оси симметрии

Самым известным и простым примером фигуры, имеющей ровно четыре оси симметрии, является квадрат.

Оси симметрии квадрата это:
1. Прямая, проходящая через середины двух противоположных (вертикальных) сторон.
2. Прямая, проходящая через середины двух других противоположных (горизонтальных) сторон.
3. Прямая, содержащая одну диагональ.
4. Прямая, содержащая вторую диагональ.

Ответ: квадрат.

П.15. За три дня яхта прошла 193 км. Найдите, сколько километров проходила яхта каждый день, если во второй день она прошла 67, а в третий − 90 % расстояния, пройденного за первый день.

П.15

Пусть х км – прошла яхта в первый день, тогда $\frac{6}{7}х$ км – прошла яхта во второй день, 0,9х км – прошла яхта в третий день. Зная, что за три дня яхта прошла 193 км, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х + \frac{6}{7} х + 0,9 х = 193; \\ х + {\frac{6}{7}}^{\overline{)·10}} х + {\frac{9}{10}}^{\overline{)·7}}х = 193; \\ \frac{70}{70}х + \frac{60}{70} х + \frac{63}{70}х = 193; \\ \frac{193}{70} х = 193; \\ х = 193 : \frac{193}{70} = \cancel{193} · \frac{70}{\cancel{193}} = 70 \end{gathered}$$

х = 70 (км) – прошла яхта в первый день;

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{6}{7} · 70 = \frac{420}{7} = 60$ (км) – прошла яхта во второй день;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }0,9 · 70 = 63$ (км) – прошла яхта в третий день

Ответ: 70 км, 60 км, 63 км.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ км — это расстояние, которое яхта прошла за первый день.

Согласно условию, во второй день яхта прошла $\frac{6}{7}$ от расстояния, пройденного за первый день, то есть $\frac{6}{7}x$ км.

В третий день яхта прошла 90% от расстояния, пройденного за первый день. Переведем проценты в десятичную дробь: $90\% = 0.9$. Следовательно, расстояние за третий день составляет $0.9x$ км.

Общее расстояние, пройденное за три дня, равно 193 км. Составим уравнение, сложив расстояния за каждый день:

$x + \frac{6}{7}x + 0.9x = 193$

Для удобства решения преобразуем десятичную дробь $0.9$ в обыкновенную: $0.9 = \frac{9}{10}$.

$x + \frac{6}{7}x + \frac{9}{10}x = 193$

Приведем все слагаемые с переменной $x$ к общему знаменателю. Общий знаменатель для 7 и 10 равен 70.

$\frac{70}{70}x + \frac{6 \cdot 10}{7 \cdot 10}x + \frac{9 \cdot 7}{10 \cdot 7}x = 193$

$\frac{70x}{70} + \frac{60x}{70} + \frac{63x}{70} = 193$

Сложим коэффициенты при $x$:

$\frac{70 + 60 + 63}{70}x = 193$

$\frac{193}{70}x = 193$

Теперь найдем $x$:

$x = 193 \div \frac{193}{70} = 193 \cdot \frac{70}{193}$

$x = 70$

Итак, в первый день яхта прошла 70 км.

Теперь найдем, какое расстояние яхта прошла во второй и третий дни:

Расстояние за второй день: $\frac{6}{7}x = \frac{6}{7} \cdot 70 = 6 \cdot 10 = 60$ км.

Расстояние за третий день: $0.9x = 0.9 \cdot 70 = 63$ км.

Проверим, равно ли общее расстояние 193 км: $70 + 60 + 63 = 193$ км. Расчеты верны.

Ответ: в первый день яхта прошла 70 км, во второй день — 60 км, в третий день — 63 км.

П.16. Вычислите:
а) (91,2 : 19 − 4,7) · 100 : 0,01 − 999;
б) 10,44 − (51,224 : 0,4 − 2,9 · 19,2) : 22 + 11,27;
в) (3,333 : (−1,1) + 2,3 (−5,3) + 5,86) : 3,9;
г) 8,4 · (−0,3) : 0,18 − 5,6 : (−2,8) · 7,4.

П.16

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }(91,2 : 19 – 4,7) · 100 : 0,01 – 999 = \\ = (4,8 – 4,7) · 100 : 0,01 – 999 = \\ = 0,1 · 100 : 0,01 – 999 = 10 : 0,01 – 999 = \\ = 1000 – 999 = 1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 10,44 – (51,224\stackrel{1}{ :} 0,4 – 2,9 \stackrel{2}{·} 19,2) : 22 + \\ + 11,27 = 10,44 – (128,06 \stackrel{3}{–} 55,68) : 22 + \\ + 11,27 = 10,44 – 72,38\stackrel{4}{ :} 22 + 11,27 = \\ = 10,44 \stackrel{5}{–} 3,29 + 11,27 = 7,15 \stackrel{6}{+} 11,27 = 18,42 \end{gathered}$$

1.	2.
3.	4.
5.	6.

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} (3,333 : (-1,1) + 2,3 \stackrel{2}{·} (-5,3) + 5,86) : 3,9 = \\ = (33,33\stackrel{1}{ :} (-11) + (-12,19) + 5,86) : 3,9 = \\ = (-3,03 \stackrel{3}{+} (-12,19) + 5,86) : 3,9 = \\ = (-15,22 \stackrel{4}{+} 5,86) : 3,9 = -9,36 : 3,9 = \\ = -93,6 \stackrel{5}{: }39 = -2,4 \end{gathered}$$

1.	2.
3.	4.
5.

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }8,4 \stackrel{1}{·} (-0,3) : 0,18 – 5,6 : (-2,8) · 7,4 = \\ = -2,52\stackrel{2}{ : }0,18 – 56 : (-28) · 7,4 = \\ = -252 : 18 – (-2) \stackrel{3}{·} 7,4 = - 14 + 2 · 7,4 = \\ = - 14 \stackrel{4}{+} 14,8 = 0,8 \end{gathered}$$

1.	2.
3.	4.

а) Решим выражение $(91,2 : 19 - 4,7) \cdot 100 : 0,01 - 999$ по действиям, соблюдая порядок операций: сначала действия в скобках, затем умножение и деление слева направо, и в конце вычитание.
1. Выполним деление в скобках: $91,2 : 19 = 4,8$.
2. Выполним вычитание в скобках: $4,8 - 4,7 = 0,1$.
3. Теперь выражение выглядит так: $0,1 \cdot 100 : 0,01 - 999$. Выполним умножение: $0,1 \cdot 100 = 10$.
4. Далее выполним деление: $10 : 0,01 = 1000$.
5. Последнее действие — вычитание: $1000 - 999 = 1$.
Ответ: 1.

б) Решим выражение $10,44 - (51,224 : 0,4 - 2,9 \cdot 19,2) : 22 + 11,27$. Сначала выполним действия в скобках.
1. Деление в скобках: $51,224 : 0,4 = 128,06$.
2. Умножение в скобках: $2,9 \cdot 19,2 = 55,68$.
3. Вычитание в скобках: $128,06 - 55,68 = 72,38$.
4. Теперь выражение выглядит так: $10,44 - 72,38 : 22 + 11,27$. Выполним деление: $72,38 : 22 = 3,29$.
5. Далее выполняем вычитание и сложение слева направо: $10,44 - 3,29 + 11,27 = 7,15 + 11,27 = 18,42$.
Ответ: 18,42.

в) Решим выражение $(3,333 : (-1,1) + 2,3 \cdot (-5,3) + 5,86) : 3,9$. Сначала выполним действия в скобках.
1. Деление в скобках: $3,333 : (-1,1) = -3,03$.
2. Умножение в скобках: $2,3 \cdot (-5,3) = -12,19$.
3. Теперь сложим все значения в скобках: $-3,03 + (-12,19) + 5,86 = -15,22 + 5,86 = -9,36$.
4. Выполним деление результата скобок на $3,9$: $-9,36 : 3,9 = -2,4$.
Ответ: -2,4.

г) Решим выражение $8,4 \cdot (-0,3) : 0,18 - 5,6 : (-2,8) \cdot 7,4$. Выполняем умножение и деление слева направо в каждой части выражения, разделенного знаком вычитания.
1. Первая часть выражения: $8,4 \cdot (-0,3) : 0,18$.
a) $8,4 \cdot (-0,3) = -2,52$.
b) $-2,52 : 0,18 = -14$.
2. Вторая часть выражения: $5,6 : (-2,8) \cdot 7,4$.
a) $5,6 : (-2,8) = -2$.
b) $-2 \cdot 7,4 = -14,8$.
3. Теперь выполним вычитание между результатами двух частей: $-14 - (-14,8) = -14 + 14,8 = 0,8$.
Ответ: 0,8.

П.17. Найдите значение выражения:
а) – 1217 : (– 1717) + 5,88 : (– 14,7) – 0,1;
б) (8 – 534) · 223 + (8 – 635) : 134;
в) 5,5 – 334 · (123 + 125) : 2 59;
г) 245 : 125 · 512 – 427 · 715 · (112)³;
д) – 58 · 415 – 1433 : (– 711) + 112;
е) 27 · (312)² – 513 : 3 113 + 910 : 335.

П.17

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }-\frac{12}{17} : \left(-1\frac{7}{17}\right) + 5,88 : (-14,7) -0,1 = \\ =-\frac{12}{17} : \left(-\frac{24}{17}\right) + 58,8 : (-147) -0,1 = \\ =-\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{12}}}}{\cancel{17}} · \left(-\frac{\cancel{17}}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{24}}}}\right) - 0,4 -0,1 =-\frac{1}{1 }·\left(-\frac{1}{2}\right) - \\ - 0,4 - 0,1 = 0,5 - 0,4 - 0,1 = 0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\left(8 - 5\frac{3}{4}\right) · 2\frac{2}{3} + \left(8 - 6\frac{3}{5}\right) : 1\frac{3}{4} = \\ = 2\frac{1}{4} · 2\frac{2}{3} + 1\frac{2}{5} : 1\frac{3}{4} = \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{9}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{4}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\bcancel{8}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} + \\ + \frac{7}{5} : \frac{7}{4} = \frac{3}{1} · \frac{2}{1} + \frac{\cancel{7}}{5} · \frac{4}{\cancel{7}} = 6 + \frac{1}{5} · \frac{4}{1} = \\ = 6 + \frac{4}{5} = 6\frac{4}{5} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }5,5 - 3\frac{3}{4} · \left({1\frac{2}{3}}^{\overline{)·5}} + {1\frac{2}{5}}^{\overline{)·3}}\right) : 2\frac{5}{9} = 5,5 - \frac{15}{4} \times \\ \times \left(1\frac{10}{15} + 1\frac{6}{15}\right) : \frac{23}{9} = 5,5 - \frac{15}{4} · 2\frac{16}{15} · \frac{9}{23} = \\ = 5,5 - \frac{\cancel{15}}{{\displaystyle \underset{2}{\sout{4}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{\stackrel{1}{\sout{2}}}{\bcancel{46}}}}{\cancel{15}} · \frac{9}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{23}}}}= 5,5 - \frac{1}{2} · \frac{1}{1} · \frac{9}{1} = \\ = 5,5 - \frac{9}{2} = 5,5 - 4,5 = 1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }2\frac{4}{5} : 1\frac{2}{5} · 5\frac{1}{2} - 4\frac{2}{7} · \frac{7}{15} · {\left(1\frac{1}{2}\right)}^3 = \\ = \frac{14}{5} : \frac{7}{5} · \frac{11}{2} - \frac{30}{7} · \frac{7}{15} · 1\frac{1}{2}· 1\frac{1}{2}· 1\frac{1}{2} = \\ = \frac{{\displaystyle \stackrel{\cancel{7}}{\bcancel{14}}}}{\cancel{5}} · \frac{\cancel{5}}{\cancel{7}} · \frac{11}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{2}}}} - \frac{\cancel{30}}{\sout{7}} · \frac{\sout{7}}{\cancel{15}} · \frac{3}{\cancel{2}}· \frac{3}{2}· \frac{3}{2} = \\ = \frac{1}{1} · \frac{1}{1} · \frac{11}{1} - \frac{1}{1} · \frac{1}{1} · \frac{3}{1}· \frac{3}{2}· \frac{3}{2} = \\ = 11 - \frac{27}{4} = \frac{44}{4} - \frac{27}{4} = \frac{18}{4} = 4\frac{1}{4} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }-\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{8}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{4}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{15}}}} - \frac{14}{33} : \left(-\frac{7}{11}\right) + \frac{1}{12} = -\frac{1}{2} · \frac{1}{3} - \\ - \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\bcancel{14}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{33}}}} ·\left(-\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{11}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{7}}}}\right) + \frac{1}{12} = -\frac{1}{6} - \frac{2}{3} · \left(-\frac{1}{1}\right) + \frac{1}{12} = \\ = {- \frac{1}{6}}^{\overline{)·2}} + {\frac{2}{3}}^{\overline{)·4}} + \frac{1}{12} = -\frac{2}{12} + \frac{8}{12} + \frac{1}{12} = \frac{7}{12} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)} \frac{2}{7} · {\left(3\frac{1}{2}\right)}^2 - \frac{5}{13} : 3\frac{1}{13} + \frac{9}{10} : 3\frac{3}{5} = \\ = \frac{2}{7} · {\left(\frac{7}{2}\right)}^2 - \frac{5}{13} : \frac{40}{13} + \frac{9}{10} : \frac{18}{5} = \\ = \frac{\cancel{2}}{\bcancel{7}} · \frac{\bcancel{7}}{\cancel{2}} · \frac{7}{2} - \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\sout{5}}}}{\cancel{13}} · \frac{\cancel{13}}{{\displaystyle \underset{8}{\sout{40}}}} + \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{9}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{10}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{18}}}} = \\ = \frac{1}{1} · \frac{1}{1} · \frac{7}{2} - \frac{1}{1} · \frac{1}{8} + \frac{1}{2} · \frac{1}{2} = {\frac{7}{2}}^{\overline{)·4}} - \frac{1}{8} + {\frac{1}{4}}^{\overline{)·2}} = \\ = \frac{28}{8} - \frac{1}{8} + \frac{2}{8} = \frac{29}{8} = 3\frac{5}{8} \end{gathered}$$

а) $-\frac{12}{17} : (-1\frac{7}{17}) + 5,88 : (-14,7) - 0,1$
Решим по действиям:
1. Выполним первое деление. Сначала преобразуем смешанное число $-1\frac{7}{17}$ в неправильную дробь: $-(\frac{1 \cdot 17 + 7}{17}) = -\frac{24}{17}$.
$-\frac{12}{17} : (-\frac{24}{17}) = \frac{12}{17} \cdot \frac{17}{24} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} = 0,5$.
2. Выполним второе деление:
$5,88 : (-14,7) = - \frac{5,88}{14,7} = - \frac{58,8}{147} = -0,4$.
3. Подставим полученные значения в исходное выражение:
$0,5 + (-0,4) - 0,1 = 0,5 - 0,4 - 0,1 = 0,1 - 0,1 = 0$.
Ответ: 0

б) $(8 - 5\frac{3}{4}) \cdot 2\frac{2}{3} + (8 - 6\frac{3}{5}) : 1\frac{3}{4}$
Решим по действиям:
1. Выполним действие в первых скобках:
$8 - 5\frac{3}{4} = 7\frac{4}{4} - 5\frac{3}{4} = 2\frac{1}{4}$.
2. Выполним умножение. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$, $2\frac{2}{3} = \frac{8}{3}$.
$\frac{9}{4} \cdot \frac{8}{3} = \frac{9 \cdot 8}{4 \cdot 3} = 3 \cdot 2 = 6$.
3. Выполним действие во вторых скобках:
$8 - 6\frac{3}{5} = 7\frac{5}{5} - 6\frac{3}{5} = 1\frac{2}{5}$.
4. Выполним деление. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $1\frac{2}{5} = \frac{7}{5}$, $1\frac{3}{4} = \frac{7}{4}$.
$\frac{7}{5} : \frac{7}{4} = \frac{7}{5} \cdot \frac{4}{7} = \frac{4}{5}$.
5. Сложим результаты:
$6 + \frac{4}{5} = 6\frac{4}{5}$.
Ответ: $6\frac{4}{5}$

в) $5,5 - 3\frac{3}{4} \cdot (1\frac{2}{3} + 1\frac{2}{5}) : 2\frac{5}{9}$
Решим по действиям:
1. Выполним сложение в скобках. Приведем к общему знаменателю 15:
$1\frac{2}{3} + 1\frac{2}{5} = 1\frac{10}{15} + 1\frac{6}{15} = 2\frac{16}{15} = 3\frac{1}{15}$.
2. Выполним умножение. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $3\frac{3}{4} = \frac{15}{4}$ и $3\frac{1}{15} = \frac{46}{15}$.
$\frac{15}{4} \cdot \frac{46}{15} = \frac{46}{4} = \frac{23}{2} = 11,5$.
3. Выполним деление. Преобразуем делитель в неправильную дробь: $2\frac{5}{9} = \frac{23}{9}$.
$11,5 : \frac{23}{9} = \frac{23}{2} : \frac{23}{9} = \frac{23}{2} \cdot \frac{9}{23} = \frac{9}{2} = 4,5$.
4. Выполним вычитание:
$5,5 - 4,5 = 1$.
Ответ: 1

г) $2\frac{4}{5} : 1\frac{2}{5} \cdot 5\frac{1}{2} - 4\frac{2}{7} \cdot \frac{7}{15} \cdot (1\frac{1}{2})^3$
Решим по частям:
1. Вычислим значение уменьшаемого. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $2\frac{4}{5}=\frac{14}{5}$, $1\frac{2}{5}=\frac{7}{5}$, $5\frac{1}{2}=\frac{11}{2}$.
$\frac{14}{5} : \frac{7}{5} \cdot \frac{11}{2} = (\frac{14}{5} \cdot \frac{5}{7}) \cdot \frac{11}{2} = 2 \cdot \frac{11}{2} = 11$.
2. Вычислим значение вычитаемого. Сначала возведем в степень: $(1\frac{1}{2})^3 = (\frac{3}{2})^3 = \frac{27}{8}$.
Преобразуем $4\frac{2}{7} = \frac{30}{7}$ и выполним умножение:
$\frac{30}{7} \cdot \frac{7}{15} \cdot \frac{27}{8} = (\frac{30}{7} \cdot \frac{7}{15}) \cdot \frac{27}{8} = 2 \cdot \frac{27}{8} = \frac{27}{4}$.
3. Выполним вычитание:
$11 - \frac{27}{4} = \frac{44}{4} - \frac{27}{4} = \frac{17}{4} = 4\frac{1}{4}$.
Ответ: $4\frac{1}{4}$

д) $-\frac{5}{8} \cdot \frac{4}{15} - \frac{14}{33} : (-\frac{7}{11}) + \frac{1}{12}$
Решим по действиям:
1. Выполним умножение:
$-\frac{5}{8} \cdot \frac{4}{15} = -\frac{5 \cdot 4}{8 \cdot 15} = -\frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 3} = -\frac{1}{6}$.
2. Выполним деление:
$\frac{14}{33} : (-\frac{7}{11}) = \frac{14}{33} \cdot (-\frac{11}{7}) = -\frac{14 \cdot 11}{33 \cdot 7} = -\frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 1} = -\frac{2}{3}$.
3. Подставим результаты в выражение:
$-\frac{1}{6} - (-\frac{2}{3}) + \frac{1}{12} = -\frac{1}{6} + \frac{2}{3} + \frac{1}{12}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$-\frac{2}{12} + \frac{8}{12} + \frac{1}{12} = \frac{-2 + 8 + 1}{12} = \frac{7}{12}$.
Ответ: $\frac{7}{12}$

е) $\frac{2}{7} \cdot (3\frac{1}{2})^2 - \frac{5}{13} : 3\frac{1}{13} + \frac{9}{10} : 3\frac{3}{5}$
Решим по действиям:
1. Вычислим первое слагаемое. Возведем в степень: $(3\frac{1}{2})^2 = (\frac{7}{2})^2 = \frac{49}{4}$.
$\frac{2}{7} \cdot \frac{49}{4} = \frac{2 \cdot 49}{7 \cdot 4} = \frac{7}{2}$.
2. Вычислим второе слагаемое (вычитаемое). Преобразуем $3\frac{1}{13} = \frac{40}{13}$.
$\frac{5}{13} : \frac{40}{13} = \frac{5}{13} \cdot \frac{13}{40} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}$.
3. Вычислим третье слагаемое. Преобразуем $3\frac{3}{5} = \frac{18}{5}$.
$\frac{9}{10} : \frac{18}{5} = \frac{9}{10} \cdot \frac{5}{18} = \frac{9 \cdot 5}{10 \cdot 18} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$.
4. Объединим результаты. Приведем к общему знаменателю 8:
$\frac{7}{2} - \frac{1}{8} + \frac{1}{4} = \frac{28}{8} - \frac{1}{8} + \frac{2}{8} = \frac{28 - 1 + 2}{8} = \frac{29}{8} = 3\frac{5}{8}$.
Ответ: $3\frac{5}{8}$

П.18. Найдите отношение чисел и сравните их:

а) 0,51 и 1735; б) 1121 и 0,56; в) 1316 и 1113; г) 1315 и 1519.

П.18

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }0,51 : \frac{17}{35} = \frac{51}{100} · \frac{35}{17} = \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\bcancel{51}}} · {\displaystyle \stackrel{7}{\cancel{35}}}}{{\displaystyle \underset{20}{\cancel{100}}} · {\displaystyle \underset{1}{\bcancel{17}}}} = \\ = \frac{3 · 7}{20 · 1} = \frac{21}{20} = 1\frac{1}{20} \\ \mathrm{т}.\mathrm{к}. 1\frac{1}{20} > 1 , \mathrm{то} 0,51 >\frac{17}{35} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)} \frac{11}{21} : 0,56 = \frac{11}{21} : \frac{56}{100} = \frac{11}{21} · \frac{{\displaystyle \stackrel{25}{\cancel{100}}}}{{\displaystyle \underset{14}{\cancel{56}}}} = \\ = \frac{11 · 25}{21 · 14} = \frac{275}{294} \\ \mathrm{т}.\mathrm{к}. \frac{275}{294} <1, \mathrm{то} \frac{11}{21} < 0,56 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{13}{16} : \frac{11}{13} = \frac{13}{16} · \frac{13}{11} = \frac{169}{176} \\ \mathrm{т}.\mathrm{к}. \frac{169}{176} < 1, \mathrm{то} \frac{13}{16} < \frac{11}{13} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)} \frac{13}{15} : \frac{15}{19} = \frac{13}{15} · \frac{19}{15} = \frac{247}{225} = 1\frac{22}{225} \\ \mathrm{т}.\mathrm{к}. 1\frac{22}{225} > 1, \mathrm{то} \frac{13}{15} > \frac{15}{19} \end{gathered}$$

а) Для того чтобы найти отношение чисел $0,51$ и $\frac{17}{35}$ и сравнить их, представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,51 = \frac{51}{100}$.
1. Найдем отношение: $0,51 : \frac{17}{35} = \frac{51}{100} : \frac{17}{35} = \frac{51}{100} \cdot \frac{35}{17} = \frac{51 \cdot 35}{100 \cdot 17}$. Сократим $51$ и $17$ на $17$, а $35$ и $100$ на $5$: $\frac{3 \cdot 7}{20 \cdot 1} = \frac{21}{20}$.
2. Сравним числа. Для этого приведем дроби $\frac{51}{100}$ и $\frac{17}{35}$ к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для $100$ и $35$ равно $700$.
$0,51 = \frac{51}{100} = \frac{51 \cdot 7}{100 \cdot 7} = \frac{357}{700}$.
$\frac{17}{35} = \frac{17 \cdot 20}{35 \cdot 20} = \frac{340}{700}$.
Так как $357 > 340$, то $\frac{357}{700} > \frac{340}{700}$, следовательно, $0,51 > \frac{17}{35}$.
Ответ: отношение равно $\frac{21}{20}$; $0,51 > \frac{17}{35}$.

б) Для того чтобы найти отношение чисел $\frac{11}{21}$ и $0,56$ и сравнить их, представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,56 = \frac{56}{100} = \frac{14}{25}$.
1. Найдем отношение: $\frac{11}{21} : 0,56 = \frac{11}{21} : \frac{14}{25} = \frac{11}{21} \cdot \frac{25}{14} = \frac{11 \cdot 25}{21 \cdot 14} = \frac{275}{294}$.
2. Сравним числа. Для этого приведем дроби $\frac{11}{21}$ и $\frac{14}{25}$ к общему знаменателю $21 \cdot 25 = 525$.
$\frac{11}{21} = \frac{11 \cdot 25}{21 \cdot 25} = \frac{275}{525}$.
$0,56 = \frac{14}{25} = \frac{14 \cdot 21}{25 \cdot 21} = \frac{294}{525}$.
Так как $275 < 294$, то $\frac{275}{525} < \frac{294}{525}$, следовательно, $\frac{11}{21} < 0,56$.
Ответ: отношение равно $\frac{275}{294}$; $\frac{11}{21} < 0,56$.

в) Для того чтобы найти отношение чисел $\frac{13}{16}$ и $\frac{11}{13}$ и сравнить их, выполним следующие действия:
1. Найдем отношение: $\frac{13}{16} : \frac{11}{13} = \frac{13}{16} \cdot \frac{13}{11} = \frac{13 \cdot 13}{16 \cdot 11} = \frac{169}{176}$.
2. Сравним числа. Для этого приведем дроби к общему знаменателю $16 \cdot 13 = 208$.
$\frac{13}{16} = \frac{13 \cdot 13}{16 \cdot 13} = \frac{169}{208}$.
$\frac{11}{13} = \frac{11 \cdot 16}{13 \cdot 16} = \frac{176}{208}$.
Так как $169 < 176$, то $\frac{169}{208} < \frac{176}{208}$, следовательно, $\frac{13}{16} < \frac{11}{13}$.
Ответ: отношение равно $\frac{169}{176}$; $\frac{13}{16} < \frac{11}{13}$.

г) Для того чтобы найти отношение чисел $\frac{13}{15}$ и $\frac{15}{19}$ и сравнить их, выполним следующие действия:
1. Найдем отношение: $\frac{13}{15} : \frac{15}{19} = \frac{13}{15} \cdot \frac{19}{15} = \frac{13 \cdot 19}{15 \cdot 15} = \frac{247}{225}$.
2. Сравним числа. Для этого приведем дроби к общему знаменателю $15 \cdot 19 = 285$.
$\frac{13}{15} = \frac{13 \cdot 19}{15 \cdot 19} = \frac{247}{285}$.
$\frac{15}{19} = \frac{15 \cdot 15}{19 \cdot 15} = \frac{225}{285}$.
Так как $247 > 225$, то $\frac{247}{285} > \frac{225}{285}$, следовательно, $\frac{13}{15} > \frac{15}{19}$.
Ответ: отношение равно $\frac{247}{225}$; $\frac{13}{15} > \frac{15}{19}$.

П.19. Бригада сварщиков ежедневно сваривала по 0,32 км газопровода. На сварку у км газопровода было потрачено а дней. Выразите у через а и найдите значение у при а = 1; а = 4; а = 6. Является ли эта зависимость прямой пропорциональностью?

П.19

у = 0,32a

прямо пропорциональная зависимость

а = 1

$\mathrm{у} = 0,32\mathrm{а} = 0,32 · 1 = 0,32 \mathrm{км}$

а = 4

$\mathrm{у} = 0,32\mathrm{а} = 0,32 · 4 = 1,28 \mathrm{км}$

а = 6

$\mathrm{у} = 0,32\mathrm{а} = 0,32 · 6 = 1,92 \mathrm{км}$

Выразите y через a
Общая длина сваренного газопровода $y$ (в км) вычисляется как произведение дневной нормы сварки на количество затраченных дней $a$. Поскольку бригада сваривала по 0,32 км в день, формула зависимости $y$ от $a$ будет выглядеть следующим образом: $y = 0,32 \cdot a$.
Ответ: $y = 0,32a$.

найдите значение y при a = 1; a = 4; a = 6
Для нахождения значений $y$ подставим соответствующие значения $a$ в выведенную формулу $y = 0,32a$:
- Если $a = 1$, то $y = 0,32 \cdot 1 = 0,32$ км.
- Если $a = 4$, то $y = 0,32 \cdot 4 = 1,28$ км.
- Если $a = 6$, то $y = 0,32 \cdot 6 = 1,92$ км.
Ответ: при $a=1$, $y=0,32$; при $a=4$, $y=1,28$; при $a=6$, $y=1,92$.

Является ли эта зависимость прямой пропорциональностью?
Прямая пропорциональность — это зависимость между двумя величинами, при которой их отношение постоянно. Она описывается формулой вида $y = kx$, где $k$ — коэффициент пропорциональности (постоянное число, не равное нулю).
Полученная нами зависимость $y = 0,32a$ полностью соответствует виду формулы прямой пропорциональности. В данном случае $y$ — зависимая переменная, $a$ — независимая переменная, а коэффициент пропорциональности $k = 0,32$. Это значит, что во сколько раз увеличивается количество дней работы $a$, во столько же раз увеличивается и общая длина сваренного газопровода $y$.
Ответ: да, является.

П.20. Площадь прямоугольного стола равна 105 м², а длина и ширина n см и m см соответственно. Найдите n, если: а) m = 3; б) m = 5; в) m = 15; г) m = 21. Запишите формулу зависимости n от m. Является ли эта зависимость обратно пропорциональной?

П.20

$\mathrm{n} = \frac{105}{\mathrm{m}}$ м

$$\begin{gathered} \mathbf{a}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{m} =3 \\ \mathrm{n} = \frac{105}{\mathrm{m}} = \frac{105}{3} = 35 \mathrm{м} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{m} =5 \\ \mathrm{n} = \frac{105}{\mathrm{m}} = \frac{105}{5} = 21 \mathrm{м} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{m} =15 \\ \mathrm{n} = \frac{105}{\mathrm{m}} = \frac{105}{15} = 7 \mathrm{м} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{m} =21 \\ \mathrm{n} = \frac{105}{\mathrm{m}} = \frac{105}{21} = 5 \mathrm{м} \end{gathered}$$

обратно пропорциональная зависимость

Сначала необходимо привести все единицы измерения к единой системе. Поскольку длина и ширина даны в сантиметрах, переведем площадь стола из квадратных метров в квадратные сантиметры.

Мы знаем, что $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.

Следовательно, $1 \text{ м}^2 = (100 \text{ см})^2 = 10000 \text{ см}^2$.

Площадь стола в квадратных сантиметрах:

$S = 105 \times 10000 \text{ см}^2 = 1050000 \text{ см}^2$.

Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину: $S = n \times m$.

Таким образом, мы имеем соотношение: $n \times m = 1050000$.

Из этого уравнения можно выразить $n$ через $m$: $n = \frac{1050000}{m}$.

Теперь, используя эту формулу, найдем $n$ для каждого из предложенных значений $m$.

а) Если $m = 3$ см:

$n = \frac{1050000}{3} = 350000 \text{ см}$.

Ответ: 350000 см.

б) Если $m = 5$ см:

$n = \frac{1050000}{5} = 210000 \text{ см}$.

Ответ: 210000 см.

в) Если $m = 15$ см:

$n = \frac{1050000}{15} = 70000 \text{ см}$.

Ответ: 70000 см.

г) Если $m = 21$ см:

$n = \frac{1050000}{21} = 50000 \text{ см}$.

Ответ: 50000 см.

Запишите формулу зависимости n от m.

Как было показано выше, для сохранения постоянной площади $S = 1050000 \text{ см}^2$ зависимость длины $n$ от ширины $m$ выражается формулой:

$n = \frac{1050000}{m}$

Ответ: $n = \frac{1050000}{m}$.

Является ли эта зависимость обратно пропорциональной?

Да, эта зависимость является обратно пропорциональной. Обратная пропорциональность — это функциональная зависимость, при которой одна величина ($n$) является функцией другой величины ($m$), описываемой уравнением вида $n = \frac{k}{m}$, где $k$ — постоянный, не равный нулю коэффициент. В данном случае $k = 1050000$. Это означает, что при увеличении ширины $m$ в несколько раз, длина $n$ уменьшается во столько же раз, и их произведение $n \times m$ остается постоянным.

Ответ: Да, является.

П.21. Найдите х из пропорции:

а) x − 0.7x + 0.3 = 5,74,7; б) 19,5х − 2,4 = 47,251х + 1,3; в) х + 0,154,1 = х − 2,42,4; г) 2х − 4,162,4 = 5х − 6,160,7.

П.21

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{\mathrm{х} - 0,7}{\mathrm{х} + 0,3} = \frac{5,7}{4,7}; \\ 4,7(\mathrm{х} – 0,7) = 5,7(\mathrm{х} + 0,3); \\ 4,7\mathrm{х} – 3,29 = 5,7\mathrm{х} + 1,71; \\ 4,7\mathrm{х} – 5,7\mathrm{х} = 1,71 + 3,29; \\ -\mathrm{х} = 5; \\ \mathrm{х} = -5. \\ \mathrm{Ответ}: -5. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)} \frac{19,5}{\mathrm{х} - 2,4} = \frac{47,25}{\mathrm{х} + 1,3} \\ 19,5(\mathrm{х} + 1,3) = 47,25(\mathrm{х} – 2,4); \\ 19,5\mathrm{х} + 25,35 = 47,25\mathrm{х} – 113,4; \\ 19,5\mathrm{х} – 47,25\mathrm{х} = -113,4 – 25,35; \\ -27,75\mathrm{х} = -138,75; \\ \mathrm{х} = -138,75 : (-27,75); \\ \mathrm{х} = 13875 : 2775; \\ \mathrm{х} = 5. \\ \mathrm{Ответ}: 5. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{\mathrm{х} + 0,15}{4,1} = \frac{\mathrm{х} - 2,4}{2,4}; \\ 2,4(\mathrm{х} + 0,15) = 4,1(\mathrm{х} – 2,4); \\ 2,4\mathrm{х} + 0,36 = 4,1\mathrm{х} – 9,84; \\ 2,4\mathrm{х} – 4,1\mathrm{х} = -9,84 – 0,36 ; \\ -1,7\mathrm{х} = -10,2; \\ \mathrm{х} = -10,2 : (-1,7); \\ \mathrm{х} = 102 : 17; \\ \mathrm{х} = 6. \\ \mathrm{Ответ}: 6. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{2\mathrm{х} - 4,16}{2,4} = \frac{5\mathrm{х} - 6,16}{0,7}; \\ 0,7(2\mathrm{х} – 4,16) = 2,4(5\mathrm{х} – 6,16) ; \\ 1,4\mathrm{х} – 2,912 = 12\mathrm{х} – 14,784 ; \\ 1,4\mathrm{х} – 12\mathrm{х} = -14,784 + 2,912; \\ -10,6\mathrm{х} = -11,872; \\ \mathrm{х} = -11,872 : (-10,6); \\ \mathrm{х} = 118,72 : 106; \\ \mathrm{х} = 1,12. \\ \mathrm{Ответ}: 1,12. \end{gathered}$$

а) Чтобы найти $x$ из пропорции $ \frac{x - 0,7}{x + 0,3} = \frac{5,7}{4,7} $, воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних).
$ 4,7 \cdot (x - 0,7) = 5,7 \cdot (x + 0,3) $
Раскроем скобки в уравнении:
$ 4,7x - 4,7 \cdot 0,7 = 5,7x + 5,7 \cdot 0,3 $
$ 4,7x - 3,29 = 5,7x + 1,71 $
Теперь сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а числовые значения — в другой:
$ -3,29 - 1,71 = 5,7x - 4,7x $
$ -5 = 1x $
$ x = -5 $
Ответ: $ -5 $.

б) Решим пропорцию $ \frac{19,5}{x - 2,4} = \frac{47,25}{x + 1,3} $.
Применим основное свойство пропорции:
$ 19,5 \cdot (x + 1,3) = 47,25 \cdot (x - 2,4) $
Раскроем скобки:
$ 19,5x + 19,5 \cdot 1,3 = 47,25x - 47,25 \cdot 2,4 $
$ 19,5x + 25,35 = 47,25x - 113,4 $
Перенесем слагаемые с $x$ вправо, а числа влево:
$ 25,35 + 113,4 = 47,25x - 19,5x $
$ 138,75 = 27,75x $
Найдем $x$:
$ x = \frac{138,75}{27,75} $
$ x = 5 $
Ответ: $ 5 $.

в) Решим пропорцию $ \frac{x + 0,15}{4,1} = \frac{x - 2,4}{2,4} $.
Используем правило перекрестного умножения:
$ 2,4 \cdot (x + 0,15) = 4,1 \cdot (x - 2,4) $
Раскроем скобки:
$ 2,4x + 2,4 \cdot 0,15 = 4,1x - 4,1 \cdot 2,4 $
$ 2,4x + 0,36 = 4,1x - 9,84 $
Сгруппируем члены уравнения:
$ 0,36 + 9,84 = 4,1x - 2,4x $
$ 10,2 = 1,7x $
Найдем $x$:
$ x = \frac{10,2}{1,7} $
$ x = \frac{102}{17} $
$ x = 6 $
Ответ: $ 6 $.

г) Решим пропорцию $ \frac{2x - 4,16}{2,4} = \frac{5x - 6,16}{0,7} $.
Применим основное свойство пропорции:
$ 0,7 \cdot (2x - 4,16) = 2,4 \cdot (5x - 6,16) $
Раскроем скобки:
$ 0,7 \cdot 2x - 0,7 \cdot 4,16 = 2,4 \cdot 5x - 2,4 \cdot 6,16 $
$ 1,4x - 2,912 = 12x - 14,784 $
Сгруппируем члены уравнения:
$ 14,784 - 2,912 = 12x - 1,4x $
$ 11,872 = 10,6x $
Найдем $x$:
$ x = \frac{11,872}{10,6} $
$ x = 1,12 $
Ответ: $ 1,12 $.

П.22. Какой путь пройдёт пешеход за 9,25 ч, если за 334 ч он прошёл 15 км?

П.22

$\mathbf{1}\mathbf{)} 15 : 3\frac{3}{4} = 15 : \frac{15}{4} = \cancel{15} · \frac{4}{\cancel{15}} = 4$ (км/ч) – скорость пешехода;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 9,25 · 4 = 37$ (км) – пройдет пешеход.

Ответ: 37 км

Для решения задачи сначала необходимо найти скорость пешехода, так как предполагается, что она постоянна. Затем, зная скорость, можно вычислить, какой путь он пройдёт за требуемое время.

1. Найдём скорость пешехода.

Известно, что пешеход прошёл расстояние $S_1 = 15$ км за время $t_1 = 3\frac{3}{4}$ ч. Для удобства вычислений переведём время в десятичную дробь:

$t_1 = 3\frac{3}{4} \text{ ч} = 3 + 0,75 \text{ ч} = 3,75 \text{ ч}$

Скорость ($v$) вычисляется по формуле $v = \frac{S}{t}$, где $S$ — расстояние, а $t$ — время.

$v = \frac{15 \text{ км}}{3,75 \text{ ч}} = 4 \text{ км/ч}$

Таким образом, скорость пешехода составляет 4 км/ч.

2. Найдём путь, который пройдёт пешеход за 9,25 ч.

Теперь, зная скорость, мы можем найти расстояние ($S_2$), которое пешеход пройдёт за время $t_2 = 9,25$ часа. Используем формулу пути: $S = v \times t$.

$S_2 = 4 \text{ км/ч} \times 9,25 \text{ ч}$

Выполним умножение:

$S_2 = 37 \text{ км}$

Следовательно, за 9,25 часа пешеход пройдёт 37 км.

Ответ: 37 км.

П.22. Масса изюма составляет 0,2 массы выпеченных кексов. Сколько килограммов кексов получится, если взять $\mathbf{5}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{5}}\mathbf{ }\mathbf{кг}$ изюма? Сколько изюма надо взять, чтобы выпечь 40 кг кексов?

П.23

$\mathbf{1}\mathbf{)} 5\frac{3}{5} : 0,2 = \frac{28}{5} : \frac{2}{10} = \frac{28}{\cancel{5}} · \frac{\cancel{10}}{\cancel{2}} = \frac{28}{1} · \frac{1}{1} = 28$ (кг) – кексов получится;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 40 · 0,2 = 8$ (кг) – изюма надо взять.

Ответ: 28 кг кексов, 8 кг изюма.

Пусть $M_и$ — это масса изюма, а $M_к$ — это масса кексов.
Согласно условию, масса изюма составляет 0,2 массы кексов. Запишем это в виде уравнения:
$M_и = 0,2 \cdot M_к$
Поскольку $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$, то можно записать и так:
$M_и = \frac{1}{5} \cdot M_к$
Из этого соотношения можно выразить массу кексов через массу изюма:
$M_к = \frac{M_и}{0,2} = 5 \cdot M_и$

Сколько килограммов кексов получится, если взять $5\frac{3}{5}$ кг изюма?

В этой части задачи известна масса изюма: $M_и = 5\frac{3}{5}$ кг.
Чтобы найти массу кексов $M_к$, воспользуемся выведенной формулой $M_к = 5 \cdot M_и$.
Сначала представим массу изюма в виде неправильной дроби для удобства вычислений:
$5\frac{3}{5} = \frac{5 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{28}{5}$ кг.
Теперь подставим это значение в нашу формулу:
$M_к = 5 \cdot \frac{28}{5} = 28$ кг.
Также можно было перевести $5\frac{3}{5}$ кг в десятичную дробь: $5,6$ кг.
Тогда расчет выглядел бы так: $M_к = 5 \cdot 5,6 = 28$ кг.
Ответ: получится 28 кг кексов.

Сколько изюма надо взять, чтобы выпечь 40 кг кексов?

В этой части задачи, наоборот, известна масса кексов: $M_к = 40$ кг.
Для вычисления необходимой массы изюма $M_и$ воспользуемся исходной формулой $M_и = 0,2 \cdot M_к$.
Подставим известное значение массы кексов в формулу:
$M_и = 0,2 \cdot 40 = 8$ кг.
Ответ: надо взять 8 кг изюма.

П.24. Проведите окружность радиусом 1,5 см и постройте отрезок, длина которого равна длине окружности (длину окружности округлите до десятых долей сантиметра).

П.24

r = 1,5 см

$С = 2\pi r \approx 2 · 3,14 · 1,5 \approx 9,42 см \approx 9,4$ см – длина окружности

Для решения этой задачи необходимо сначала вычислить длину окружности, а затем выполнить два построения: самой окружности и отрезка равной ей длины.

Вычисление длины окружности
Длина окружности $C$ вычисляется по формуле $C = 2 \pi R$, где $R$ — это радиус окружности, а $\pi$ (пи) — математическая константа, приблизительно равная $3,14159...$.
По условию задачи, радиус $R = 1,5$ см. Подставим это значение в формулу:
$C = 2 \cdot \pi \cdot 1,5 = 3\pi$ см.
Теперь найдем численное значение длины окружности:
$C \approx 3 \cdot 3,14159... \approx 9,42477...$ см.
В условии сказано округлить длину окружности до десятых долей сантиметра. Для этого смотрим на вторую цифру после запятой (разряд сотых). В числе $9,42477...$ это цифра 2. Так как $2 < 5$, округляем в меньшую сторону (отбрасываем все цифры после десятых).
$C \approx 9,4$ см.
Следовательно, нам нужно построить отрезок длиной $9,4$ см.

Построение окружности и отрезка
1. Построение окружности: Возьмите циркуль и линейку. С помощью линейки установите раствор циркуля (расстояние между иголкой и грифелем) равным $1,5$ см. Отметьте на листе бумаги точку (центр окружности) и проведите окружность.
2. Построение отрезка: Возьмите линейку и начертите отрезок, длина которого равна вычисленному и округленному значению, то есть $9,4$ см.

Ответ: Длина окружности, округленная до десятых, равна $9,4$ см. Необходимо построить окружность с радиусом $1,5$ см и отрезок длиной $9,4$ см.