Страница 136, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

Вопросы:

Что такое масштаб карты?

Чертёж детали выполнен в масштабе 1 : 150. Какова длина детали, если длина детали на чертеже 1 см?

Масштаб

Вопросы к параграфу

• масштабом карты называют отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности

• 1 см • 150 = 150 см = 1 м 50 см – длина детали.

Что такое масштаб карты?

Масштаб карты (или чертежа) — это отношение, которое показывает, во сколько раз расстояние на изображении (карте, плане, чертеже) меньше соответствующего расстояния в реальности. Он выражается в виде дроби, где числитель равен единице, а знаменатель показывает степень уменьшения.

Существует несколько видов представления масштаба:

• Численный масштаб — записывается как отношение чисел, например, $1:100\ 000$. Это означает, что 1 см на карте соответствует $100\ 000$ см (или 1 км) на местности.
• Именованный (словесный) масштаб — словесное указание, например: «в 1 сантиметре 10 километров».
• Линейный (графический) масштаб — это графическая шкала, нанесенная на карту, с помощью которой можно измерять расстояния без математических расчетов.

Ответ: Масштаб — это отношение длины отрезка на карте или чертеже к его реальной длине на местности.

Чертёж детали выполнен в масштабе 1 : 150. Какова длина детали, если длина детали на чертеже 1 см?

Масштаб $1:150$ означает, что каждый 1 сантиметр на чертеже соответствует 150 сантиметрам реального размера детали.

Чтобы найти действительную длину детали, нужно длину её изображения на чертеже умножить на знаменатель масштаба.

Дано:
Длина на чертеже $L_{чертеж} = 1$ см.
Масштаб = $1:150$.

Выполним расчет:
$L_{реальная} = L_{чертеж} \times 150$
$L_{реальная} = 1 \text{ см} \times 150 = 150 \text{ см}$

Для наглядности можно перевести результат в метры. Поскольку в 1 метре 100 сантиметров:
$150 \text{ см} = 1.5 \text{ м}$

Ответ: Длина детали составляет 150 см, или 1.5 м.

П.98. Поездка из Москвы в Севастополь на машине через Керченский пролив на пароме занимает 27,5 ч, а по Крымскому мосту – 22,5 ч. На сколько процентов сократилось время поездки? (Ответ округлите до единиц.)

П.98

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{22,5}{27,5} · 100\% = \frac{225}{275} · 100\% = 0,818 · 100\% \approx 82\%$ - составляет время поездки по Крымскому мосту по сравнению с поездкой через Керченский пролив;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }100\% - 82\% = 18\%$- сократилось время поездки.

Ответ: на 18%.

Для решения задачи необходимо найти, на сколько сократилось время поездки в часах, а затем вычислить, какой процент это сокращение составляет от первоначального времени.

1. Найдём абсолютное сокращение времени.
Первоначальное время поездки через паром: $T_1 = 27,5$ ч.
Новое время поездки по Крымскому мосту: $T_2 = 22,5$ ч.
Разница во времени составляет:
$\Delta T = T_1 - T_2 = 27,5 - 22,5 = 5$ ч.

2. Рассчитаем процентное сокращение.
Чтобы найти, на сколько процентов сократилось время, нужно разделить полученную разницу во времени на первоначальное время (которое мы принимаем за 100%) и умножить на 100%.
Процентное сокращение = $\frac{\Delta T}{T_1} \times 100\% = \frac{5}{27,5} \times 100\%$.

3. Выполним вычисления и округлим результат.
Сначала выполним деление:
$\frac{5}{27,5} \approx 0,181818...$
Теперь умножим на 100, чтобы перевести в проценты:
$0,181818... \times 100\% \approx 18,18\%$
Согласно условию, ответ необходимо округлить до единиц (до целого числа). Округляя $18,18\%$ до ближайшего целого, получаем $18\%$.

Ответ: время поездки сократилось на 18%.

П.99. Железная дорога Москва – Казань длиной 790 км изображена на карте линией 8 см. Какую длину на этой карте имеет линия, изображающая Транссибирскую магистраль, если её длина 9300 км? (Ответ округлите до десятых.)

П.99

$$\begin{gathered} \frac{1}{8} = \frac{х}{79 000 000} \\ х = \frac{1 · 79 000 000}{8} \\ х = 9 875 000 \end{gathered}$$

Масштаб 1 : 9875000

$$\begin{gathered} \frac{1}{\mathrm{х}} = \frac{9 875 000}{930 000 000} \\ \mathrm{х} = \frac{1 · 930 000 000}{9 875 000} = \frac{1 · 930 000}{9 875} \approx 94,2 \mathrm{см} \end{gathered}$$

Ответ: 94,2 см

Для решения данной задачи необходимо найти соотношение между реальным расстоянием и его отображением на карте, а затем применить это соотношение к Транссибирской магистрали. Это можно сделать с помощью пропорции.

Пусть:
$L_1 = 790$ км — реальная длина железной дороги Москва — Казань.
$l_1 = 8$ см — длина этой дороги на карте.
$L_2 = 9300$ км — реальная длина Транссибирской магистрали.
$x$ — искомая длина Транссибирской магистрали на карте в сантиметрах.

Соотношение длины на карте к реальной длине должно быть одинаковым для обоих объектов. Составим пропорцию:
$\frac{l_1}{L_1} = \frac{x}{L_2}$

Подставим известные значения в формулу:
$\frac{8 \text{ см}}{790 \text{ км}} = \frac{x}{9300 \text{ км}}$

Теперь выразим из пропорции неизвестную переменную $x$:
$x = \frac{8 \text{ см} \times 9300 \text{ км}}{790 \text{ км}}$

Произведем вычисления:
$x = \frac{74400}{790} \text{ см} = \frac{7440}{79} \text{ см} \approx 94.1772... \text{ см}$

Согласно условию, ответ необходимо округлить до десятых. Смотрим на вторую цифру после запятой: это 7. Так как $7 \ge 5$, то первую цифру после запятой (1) увеличиваем на единицу.
$x \approx 94.2$ см.

Ответ: 94.2 см

П.100. Решите уравнение:

а) 9(2x – 2) + 3(3 – 4x) = 24;

б) 4(1,5x – 15) – 61315 = 4 – (16 – 1,5x).

П.100

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} 9(2\mathrm{х} – 2) + 3(3 – 4\mathrm{х}) = 24; \\ 18\mathrm{х} – 18 + 9 – 12\mathrm{х} = 24; \\ 6\mathrm{х} – 9 = 24; \\ 6\mathrm{х} = 24 + 9; \\ 6\mathrm{х} = 33; \\ \mathrm{х} = 33 : 6; \\ \mathrm{х} = 5,5. \\ \mathrm{Ответ}: 5,5. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }4\left(1,5\mathrm{х} -\frac{1}{5}\right) – 6\frac{13}{15} = 4 – \left(\frac{1}{6} – 1,5\mathrm{х}\right); \\ 6\mathrm{х} - {\frac{4}{5}}^{\overline{)·3}}– 6\frac{13}{15} = 4 – \frac{1}{6} + 1,5\mathrm{х}; \\ 6\mathrm{х} - \frac{12}{15} - 6\frac{13}{15} = 3\frac{6}{6} - \frac{1}{6} + 1,5\mathrm{х}; \\ 6\mathrm{х} - 6\frac{25}{15} = 3\frac{5}{6} + 1,5\mathrm{х}; \\ 6\mathrm{х} - 6\frac{5}{3} = 3\frac{5}{6} + 1,5\mathrm{х}; \\ 6\mathrm{х} - 7\frac{2}{3} = 3\frac{5}{6} + 1,5\mathrm{х}; \\ 6\mathrm{х} - 1,5\mathrm{х} = 3\frac{5}{6} +{ 7\frac{2}{3}}^{\overline{)·2}}; \\ 4,5\mathrm{х} = 3\frac{5}{6} + 7\frac{4}{6}; \\ 4\frac{1}{2} \mathrm{х} = 10\frac{9}{6}; \\ \frac{9}{2} \mathrm{х} = 10\frac{3}{2}; \\ \frac{9}{2}\mathrm{х} = \frac{23}{2}; \\ \mathrm{х} = \frac{23}{2} : \frac{9}{2}; \\ \mathrm{х} = \frac{23}{\cancel{2}} · \frac{\cancel{2}}{9}; \\ \mathrm{х}= \frac{23}{9}; \\ \mathrm{х} = 2\frac{5}{9}. \\ \mathrm{Ответ}: 2\frac{5}{9}. \end{gathered}$$

а) $9(2x - 2) + 3(3 - 4x) = 24$

Первым шагом раскроем скобки в левой части уравнения, умножив множители перед скобками на каждый член внутри скобок:
$9 \cdot 2x - 9 \cdot 2 + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 4x = 24$
$18x - 18 + 9 - 12x = 24$

Далее сгруппируем и приведем подобные слагаемые: члены с переменной $x$ и свободные члены (числа).
$(18x - 12x) + (-18 + 9) = 24$
$6x - 9 = 24$

Теперь перенесем свободный член (-9) из левой части в правую, изменив его знак на противоположный:
$6x = 24 + 9$
$6x = 33$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при переменной, то есть на 6:
$x = \frac{33}{6}$
Сократим дробь на 3:
$x = \frac{11}{2}$
Представим ответ в виде десятичной дроби:
$x = 5,5$

Ответ: $5,5$.

б) $4(1,5x - \frac{1}{5}) - 6\frac{13}{15} = 4 - (\frac{1}{6} - 1,5x)$

Для решения этого уравнения сначала преобразуем все десятичные дроби и смешанные числа в обыкновенные неправильные дроби:
$1,5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$
$6\frac{13}{15} = \frac{6 \cdot 15 + 13}{15} = \frac{90 + 13}{15} = \frac{103}{15}$
Подставим полученные дроби в исходное уравнение:
$4(\frac{3}{2}x - \frac{1}{5}) - \frac{103}{15} = 4 - (\frac{1}{6} - \frac{3}{2}x)$

Теперь раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$4 \cdot \frac{3}{2}x - 4 \cdot \frac{1}{5} - \frac{103}{15} = 4 - \frac{1}{6} + \frac{3}{2}x$
$\frac{12}{2}x - \frac{4}{5} - \frac{103}{15} = 4 - \frac{1}{6} + \frac{3}{2}x$
$6x - \frac{4}{5} - \frac{103}{15} = 4 - \frac{1}{6} + \frac{3}{2}x$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а все числовые слагаемые — в правую, не забывая менять знаки при переносе:
$6x - \frac{3}{2}x = 4 - \frac{1}{6} + \frac{4}{5} + \frac{103}{15}$

Приведем подобные слагаемые в левой части:
$\frac{12}{2}x - \frac{3}{2}x = \frac{9}{2}x$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6, 5 и 15 равен 30:
$4 - \frac{1}{6} + \frac{4}{5} + \frac{103}{15} = \frac{4 \cdot 30}{30} - \frac{1 \cdot 5}{30} + \frac{4 \cdot 6}{30} + \frac{103 \cdot 2}{30}$
$= \frac{120 - 5 + 24 + 206}{30} = \frac{345}{30}$
Сократим полученную дробь на 15:
$\frac{345 \div 15}{30 \div 15} = \frac{23}{2}$

Теперь наше уравнение имеет вид:
$\frac{9}{2}x = \frac{23}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:
$9x = 23$
Найдем $x$:
$x = \frac{23}{9}$
Выделим целую часть:
$x = 2\frac{5}{9}$

Ответ: $2\frac{5}{9}$.

П.101. Отлитая в 1586 г. Царь–пушка в Московском Кремле имеет диаметр ствола, равный 1,2 м. Найдите длину окружности ствола Царь–пушки.

П.101

d = 1,2 м

$\mathrm{С} = \mathrm{\pi d} = 3,14 · 1,2 = 3,768$ (м) – длина окружности ствола Царь-пушки

Ответ: 3,768 м

Для того чтобы найти длину окружности ствола, необходимо использовать формулу для вычисления длины окружности ($C$) через её диаметр ($d$). Формула выглядит следующим образом: $C = \pi \times d$.

В данной формуле $d$ — это диаметр окружности, а $\pi$ (пи) — это математическая константа, приблизительное значение которой равно $3,14$. Из условия задачи мы знаем, что диаметр ствола Царь-пушки равен $d = 1,2$ м.

Теперь подставим известные значения в формулу и произведем расчет: $C \approx 3,14 \times 1,2$ м. $C \approx 3,768$ м.

Таким образом, длина окружности ствола Царь-пушки составляет примерно $3,768$ метра.

Ответ: $3,768$ м.

П.102. На 1 м² высевают 7 г семян цветов. Сколько пакетиков по 4 г семян потребуется для посева цветов на круглой клумбе диаметром 2,5 м? Принять π равным 3,14.

П.102

d = 2,5м; π≈3,14

$\mathrm{r} = \mathrm{d} : 2 = 2,5 : 2 = 1,25$м

$\mathrm{S} = {\mathrm{\pi r}}^2 = 3,14 · {(1,25)}^2 = 3,14 · 1,5625 =$

$= 4,90625 \left({\mathrm{м}}^2\right)$ – площадь клумбы;

$\mathbf{1}\mathbf{)} 4,90625 · 7 = 34,34375$ (г) – семян потребуется;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 34,34375 : 4 = 8,5859375$ (п) – потребуется.

Ответ: 9 пакетов.

Для решения этой задачи необходимо последовательно выполнить несколько шагов: найти площадь клумбы, рассчитать общее количество необходимых семян и, наконец, определить количество пакетиков.

1. Найдём площадь круглой клумбы.

Площадь круга ($S$) вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ – это радиус круга. Радиус равен половине диаметра. По условию, диаметр клумбы ($d$) составляет 2,5 м.

Сначала вычислим радиус клумбы:
$r = \frac{d}{2} = \frac{2,5 \text{ м}}{2} = 1,25 \text{ м}$

Теперь, используя заданное значение $\pi \approx 3,14$, рассчитаем площадь клумбы:
$S = \pi r^2 = 3,14 \times (1,25 \text{ м})^2 = 3,14 \times 1,5625 \text{ м}^2 = 4,90625 \text{ м}^2$

2. Рассчитаем общее количество семян.

Известно, что на 1 м² высевают 7 г семян. Чтобы найти общее необходимое количество семян, нужно умножить площадь клумбы на норму высева.

$4,90625 \text{ м}^2 \times 7 \frac{\text{г}}{\text{м}^2} = 34,34375 \text{ г}$

Таким образом, для посева на всей клумбе потребуется 34,34375 г семян.

3. Определим, сколько пакетиков семян потребуется.

В каждом пакетике содержится 4 г семян. Чтобы найти требуемое количество пакетиков, нужно разделить общую массу семян на массу семян в одном пакетике.

$\frac{34,34375 \text{ г}}{4 \text{ г/пакетик}} = 8,5859375 \text{ пакетиков}$

Поскольку пакетики продаются целиком, а 8 пакетиков будет недостаточно для посева всей клумбы, необходимое количество следует округлить в большую сторону до ближайшего целого числа.

$8,5859375 \approx 9$

Следовательно, для посева цветов на клумбе потребуется 9 пакетиков семян.

Ответ: 9 пакетиков.

П.104. Найдите значение выражения:
а) (136 : 34 – 34 – 74) : (–2,6);
б) 4,9 – 5,7 : (4 – 23) – 0,7 :(–4);
в) –4,8 : (–16) – 0,9 · 6 + 4,48 : 0,4;
г) (–5,8 · 0,7 + 4,8 · 0,7) : (–0,4) – 5,35;

П.103

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }(136 : 34 – 34 – 74) : (-2,6) = \\ = (4 – 34 – 74) : (-2,6) = -104 : (-2,6) = \\ = 1040 : 26 = 40 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }4,9 – 5,7 : (4 – 23) – 0,7\stackrel{2}{ : }(-4) = 4,9 – \\ - 5,7\stackrel{1}{ :} (– 19 ) + 0,175 = 4,9 + 0,3 + 0,175 = \\ = 5,375 \end{gathered}$$

1.

2.

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} -4,8\stackrel{1}{ : }(-16) – 0,9 · 6 + 4,48 : 0,4 = \\ =0,3 – 5,4+ 44,8 : 4 = – 5,1+ 11,2 = 6,1 \end{gathered}$$

1.

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} (-5,8 · 0,7 + 4,8 · 0,7) : (-0,4) – 5,35 = \\ = (0,7 · (-5,8 + 4,8)) : (-0,4) – 5,35= \\ = (0,7 · (-1)) : (-0,4) – 5,35 = -0,7 : (-0,4) – \\ - 5,35 = -7 \stackrel{1}{:} (-4) – 5,35 = 1,75 – 5,35 = \\ =-( 5,35 – 1,75) = -3,6 \end{gathered}$$

1.

а) $(136 : 34 - 34 - 74) : (-2,6)$

Решим по действиям, соблюдая их порядок: сначала действия в скобках (деление, затем вычитание), потом деление за скобками.

1. Вычислим значение в скобках:

$136 : 34 = 4$

$4 - 34 = -30$

$-30 - 74 = -104$

2. Выполним деление:

$-104 : (-2,6) = 104 : 2,6 = 1040 : 26 = 40$

Ответ: 40

б) $4,9 - 5,7 : (4 - 23) - 0,7 : (-4)$

Соблюдаем порядок действий: сначала действие в скобках, затем деления, и в конце вычитания.

1. Выполним действие в скобках:

$4 - 23 = -19$

2. Выполним деления слева направо:

$5,7 : (-19) = -0,3$

$0,7 : (-4) = -0,175$

3. Подставим результаты в исходное выражение и выполним вычитания:

$4,9 - (-0,3) - (-0,175) = 4,9 + 0,3 + 0,175 = 5,2 + 0,175 = 5,375$

Ответ: 5,375

в) $-4,8 : (-16) - 0,9 \cdot 6 + 4,48 : 0,4$

Порядок действий: сначала деления и умножение слева направо, затем вычитание и сложение.

1. Выполним первое деление:

$-4,8 : (-16) = 0,3$

2. Выполним умножение:

$0,9 \cdot 6 = 5,4$

3. Выполним второе деление:

$4,48 : 0,4 = 44,8 : 4 = 11,2$

4. Подставим результаты и найдем конечное значение:

$0,3 - 5,4 + 11,2 = -5,1 + 11,2 = 6,1$

Ответ: 6,1

г) $(-5,8 \cdot 0,7 + 4,8 \cdot 0,7) : (-0,4) - 5,35$

Сначала выполним действия в скобках, затем деление и вычитание.

1. Вычислим значение в скобках. Для упрощения можно вынести общий множитель $0,7$ за скобку:

$(-5,8 \cdot 0,7 + 4,8 \cdot 0,7) = (-5,8 + 4,8) \cdot 0,7 = -1 \cdot 0,7 = -0,7$

2. Выполним деление:

$-0,7 : (-0,4) = 0,7 : 0,4 = 7 : 4 = 1,75$

3. Выполним вычитание:

$1,75 - 5,35 = -3,6$

Ответ: -3,6

П.104. На выборы в городе N из 22 000 избирателей пришли 15 000 избирателей, а в городе М из 31 000 избирателей в выборах участвовали 21 000. В каком из городов избиратели активнее?

П.104

$\mathbf{1}\mathbf{)} \frac{15000}{22000} · 100\% = \frac{15}{12} · 100\% =$

$= 0,6818\dots · 100\% \approx 68,2\%$ - явка избирателей в городе N

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{21 000}{31 000} · 100\% = \frac{21}{31} · 100\% =$

$= 0,6774\dots · 100\% \approx 67,7\%$ - явка избирателей в городе М

Ответ: активнее в городе N.

Чтобы определить, в каком городе избиратели были активнее, нужно найти, какую часть (долю) от общего числа избирателей составляют те, кто пришел на выборы, и сравнить эти части для обоих городов. Город, в котором эта доля больше, и является городом с более активными избирателями.

1. Рассчитаем долю активных избирателей в городе N.
Общее число избирателей: 22 000.
Число пришедших на выборы: 15 000.
Доля активных избирателей в городе N составляет: $ \frac{15000}{22000} = \frac{15}{22} $

2. Рассчитаем долю активных избирателей в городе M.
Общее число избирателей: 31 000.
Число участвовавших в выборах: 21 000.
Доля активных избирателей в городе M составляет: $ \frac{21000}{31000} = \frac{21}{31} $

3. Сравним полученные дроби.
Нам нужно сравнить дроби $ \frac{15}{22} $ и $ \frac{21}{31} $. Для этого можно использовать метод перекрестного умножения. Сравним произведения числителя первой дроби на знаменатель второй и числителя второй дроби на знаменатель первой.
Произведение для города N: $ 15 \times 31 = 465 $
Произведение для города M: $ 21 \times 22 = 462 $
Так как $ 465 > 462 $, то и соответствующая дробь больше: $ \frac{15}{22} > \frac{21}{31} $.

Это означает, что доля активных избирателей в городе N больше, чем в городе M. Следовательно, в городе N избиратели были активнее.

Ответ: избиратели активнее в городе N.

П.105. На каждой клумбе было одинаковое число кустов роз. После пересадки кустов на первой клумбе стало на 20 кустов роз меньше, а на второй – на 10 кустов меньше, и число кустов на первой клумбе составило 56 числа кустов на второй клумбе. Сколько кустов роз было на каждой клумбе первоначально?

П.105

Пусть х кустов роз – было на каждой клумбе первоначально, (х – 20) кустов – стало на первой клумбе, (х – 10) кустов – стало на второй клумбе, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х – 20 = \frac{5}{6}(х – 10); \overline{) · 6} \\ 6х – 120 = 5(х – 10); \\ 6х – 120 = 5х – 50; \\ 6х – 5х = -50 + 120; \end{gathered}$$

х = 70 (к) – было на каждой клумбе.

Ответ: по 70 кустов.

Пусть $x$ — это первоначальное количество кустов роз, которое было на каждой клумбе.

После того как с первой клумбы убрали 20 кустов, на ней осталось $(x - 20)$ кустов роз.

После того как со второй клумбы убрали 10 кустов, на ней осталось $(x - 10)$ кустов роз.

По условию задачи, количество кустов на первой клумбе стало равно $\frac{5}{6}$ от количества кустов на второй. На основании этого мы можем составить уравнение:

$x - 20 = \frac{5}{6} \cdot (x - 10)$

Чтобы решить это уравнение, сначала избавимся от знаменателя, умножив обе части уравнения на 6:

$6 \cdot (x - 20) = 6 \cdot \frac{5}{6} \cdot (x - 10)$

$6(x - 20) = 5(x - 10)$

Теперь раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$6x - 120 = 5x - 50$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а все постоянные члены — в правую. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный.

$6x - 5x = 120 - 50$

Выполним вычисления:

$x = 70$

Следовательно, первоначально на каждой клумбе было по 70 кустов роз.

Проверка:

Изначально на каждой клумбе было по 70 кустов.

На первой клумбе стало: $70 - 20 = 50$ кустов.

На второй клумбе стало: $70 - 10 = 60$ кустов.

Проверим, составляет ли число кустов на первой клумбе $\frac{5}{6}$ от числа кустов на второй:

$\frac{5}{6} \cdot 60 = 5 \cdot 10 = 50$.

50 = 50. Условие выполняется.

Ответ: первоначально на каждой клумбе было 70 кустов роз.

П.106. Семь шагов Маши длиннее пяти шагов Оли на 73 см. Шаг Оли на 9 см длиннее шага Маши. Чему равна длина шага каждой девочки?

П.106

Пусть х см – длина шага Маши, тогда (х + 9) см – длина шага Оли, 7х см – длина семи шагов Маши, 5(х + 9) см – длина пяти шагов Оли, по условию задачи составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} 7х – 5(х + 9) = 73; \\ 7х – 5х – 45 = 73; \\ 2х = 73 + 45; \\ 2х = 118; \\ х = 118 : 2; \end{gathered}$$

х = 59 (см) – длина шага Маши;

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }59 + 9 = 68$(см) – длина шага Оли.

Ответ: 59 см и 68 см

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений.

Пусть $x$ см — это длина шага Маши.

Пусть $y$ см — это длина шага Оли.

Из условия "Семь шагов Маши длиннее пяти шагов Оли на 73 см" мы можем составить первое уравнение. Расстояние, которое проходит Маша за семь шагов, равно $7x$. Расстояние, которое проходит Оля за пять шагов, равно $5y$. Разница между этими расстояниями составляет 73 см. Запишем это в виде уравнения:

$7x - 5y = 73$

Из условия "Шаг Оли на 9 см длиннее шага Маши" мы можем составить второе уравнение:

$y = x + 9$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} 7x - 5y = 73 \\ y = x + 9 \end{cases} $

Для решения системы воспользуемся методом подстановки. Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:

$7x - 5(x + 9) = 73$

Теперь решим полученное уравнение. Сначала раскроем скобки:

$7x - 5x - 45 = 73$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$2x - 45 = 73$

Перенесем -45 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$2x = 73 + 45$

$2x = 118$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 2:

$x = \frac{118}{2}$

$x = 59$

Таким образом, мы нашли, что длина шага Маши составляет 59 см.

Чтобы найти длину шага Оли, подставим найденное значение $x$ во второе уравнение нашей системы ($y = x + 9$):

$y = 59 + 9$

$y = 68$

Следовательно, длина шага Оли составляет 68 см.

Проверим полученные результаты. Разница в длине шагов: $68 \text{ см} - 59 \text{ см} = 9$ см, что соответствует второму условию задачи. Семь шагов Маши — это $7 \times 59 = 413$ см. Пять шагов Оли — это $5 \times 68 = 340$ см. Разница составляет $413 - 340 = 73$ см, что соответствует первому условию задачи. Решение верное.

Ответ: длина шага Маши — 59 см, длина шага Оли — 68 см.

П.107. Вычислите:

а) (7 – 21823 · 11112 + 218 · 417) : 1,5 – 45;

б) 332 · 315 : (2212 · 130 – 35) – 512 : 713.

П.107

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} \left(7 - 2\frac{18}{23} · 1\frac{11}{12} + 2\frac{1}{8} · \frac{4}{17}\right) : 1,5 - \frac{4}{5} = \\ = \left(7 - \frac{{\displaystyle \stackrel{16}{\sout{64}}}}{\cancel{23}} · \frac{\cancel{23}}{{\displaystyle \underset{3}{\sout{12}}}} + \frac{\cancel{17}}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{8}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{4}}}}{\cancel{17}}\right) : \frac{15}{10} - \frac{4}{5} = \\ = \left(7 - \frac{16}{1} · \frac{1}{3} + \frac{1}{2} · \frac{1}{1}\right) · \frac{10}{15} - \frac{4}{5} = \\ = \left(7 - {\frac{16}{3}}^{\overline{)·2}}+ {\frac{1}{2}}^{\overline{)·3}} \right) · \frac{10}{15} - \frac{4}{5} = \\ = \left(7 - 5\frac{2}{6}+ \frac{3}{6} \right) · \frac{10}{15} - \frac{4}{5} = \left(1\frac{4}{6} + \frac{3}{6}\right) · \frac{10}{15} - \frac{4}{5} = \\ = 1\frac{7}{6} · \frac{2}{3} - \frac{4}{5} = \frac{13}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{6}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{2}}}}{3} - \frac{4}{5} =\frac{13}{3} · \frac{1}{3} - \frac{4}{5} = \\ = {\frac{13}{9}}^{\overline{)·5}} - {\frac{4}{5}}^{\overline{)·9}} = \frac{65}{45} - \frac{36}{45} = \frac{29}{45} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{3}{32} · 3\frac{1}{5} : \left(22\frac{1}{2} · \frac{1}{30 } - \frac{3}{5}\right) - 5\frac{1}{2} : 7\frac{1}{3}= \\ = \frac{3}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{32}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{16}}}}{5} : \left(\frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\bcancel{45}}}}{2} · \frac{1}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{30}}} } - \frac{3}{5}\right) - \frac{11}{2} : \frac{22}{3} = \\ = \frac{3}{2} · \frac{1}{5} : \left(\frac{3}{2} · \frac{1}{2 } - \frac{3}{5}\right) - \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{11}}}}{2} · \frac{3}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{22}}}} = \\ = \frac{3}{10} : \left({\frac{3}{4}}^{\overline{)·5}} - {\frac{3}{5}}^{\overline{)·4}}\right) - \frac{1}{2} · \frac{3}{2} = \frac{3}{10} : \left(\frac{15}{20} - \frac{12}{20}\right) - \\ - \frac{3}{4} = \frac{3}{10} : \frac{3}{20} - \frac{3}{4} = \frac{\cancel{3}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{10}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\bcancel{20}}}}{\cancel{3}} - \frac{3}{4} = \\ = \frac{1}{1} · \frac{2}{1} - \frac{3}{4} = 2 - \frac{3}{4} = 1\frac{1}{4} \end{gathered}$$

Решим пример по действиям: $(7 - 2\frac{18}{23} \cdot 1\frac{11}{12} + 2\frac{1}{8} \cdot \frac{4}{17}) : 1,5 - \frac{4}{5}$

1) Первое действие — умножение в скобках. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби и выполним умножение:

$2\frac{18}{23} \cdot 1\frac{11}{12} = \frac{2 \cdot 23 + 18}{23} \cdot \frac{1 \cdot 12 + 11}{12} = \frac{64}{23} \cdot \frac{23}{12} = \frac{64 \cdot 23}{23 \cdot 12} = \frac{64}{12} = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3}$

2) Второе действие — второе умножение в скобках:

$2\frac{1}{8} \cdot \frac{4}{17} = \frac{2 \cdot 8 + 1}{8} \cdot \frac{4}{17} = \frac{17}{8} \cdot \frac{4}{17} = \frac{17 \cdot 4}{8 \cdot 17} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

3) Теперь выполним вычитание и сложение в скобках с полученными результатами:

$7 - 5\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = (6\frac{3}{3} - 5\frac{1}{3}) + \frac{1}{2} = 1\frac{2}{3} + \frac{1}{2}$. Приведем дроби к общему знаменателю 6: $1\frac{4}{6} + \frac{3}{6} = 1\frac{7}{6} = 2\frac{1}{6}$

4) Четвертое действие — деление. Преобразуем десятичную дробь и смешанное число в неправильные дроби:

$2\frac{1}{6} : 1,5 = \frac{13}{6} : \frac{15}{10} = \frac{13}{6} : \frac{3}{2} = \frac{13}{6} \cdot \frac{2}{3} = \frac{13 \cdot 2}{6 \cdot 3} = \frac{26}{18} = \frac{13}{9}$

5) Пятое, заключительное действие — вычитание:

$\frac{13}{9} - \frac{4}{5} = \frac{13 \cdot 5}{9 \cdot 5} - \frac{4 \cdot 9}{5 \cdot 9} = \frac{65}{45} - \frac{36}{45} = \frac{29}{45}$

Ответ: $\frac{29}{45}$

Решим пример по действиям: $\frac{3}{32} \cdot 3\frac{1}{5} : (22\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{30} - \frac{3}{5}) - 5\frac{1}{2} : 7\frac{1}{3}$

1) Сначала выполним действия в скобках. Первое действие в скобках — умножение:

$22\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{30} = \frac{22 \cdot 2 + 1}{2} \cdot \frac{1}{30} = \frac{45}{2} \cdot \frac{1}{30} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4}$

2) Второе действие в скобках — вычитание:

$\frac{3}{4} - \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 5}{20} - \frac{3 \cdot 4}{20} = \frac{15 - 12}{20} = \frac{3}{20}$

3) Теперь выполним умножение в левой части выражения:

$\frac{3}{32} \cdot 3\frac{1}{5} = \frac{3}{32} \cdot \frac{3 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{3}{32} \cdot \frac{16}{5} = \frac{3 \cdot 16}{32 \cdot 5} = \frac{3}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10}$

4) Далее выполним деление результата действия 3 на результат действия 2:

$\frac{3}{10} : \frac{3}{20} = \frac{3}{10} \cdot \frac{20}{3} = \frac{3 \cdot 20}{10 \cdot 3} = \frac{20}{10} = 2$

5) Выполним деление в правой части выражения:

$5\frac{1}{2} : 7\frac{1}{3} = \frac{11}{2} : \frac{22}{3} = \frac{11}{2} \cdot \frac{3}{22} = \frac{11 \cdot 3}{2 \cdot 22} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4}$

6) Последнее действие — вычитание результата действия 4 и результата действия 5:

$2 - \frac{3}{4} = 1\frac{4}{4} - \frac{3}{4} = 1\frac{1}{4}$

Ответ: $1\frac{1}{4}$

П.108. Коля проходит расстояние от дома до школы за 4,8 мин, а его друг Тимур, который живёт в этом же доме, – за 7,2 мин. Найдите скорости мальчиков, если скорость Коли на 2 км/ч больше скорости Тимура.

П.108

Пусть х км/ч – скорость Тимура, тогда (х + 2) км/ч – скорость Коли

$$\begin{gathered} 4,8 \mathrm{мин} = \frac{4,8}{60} = 0,08 \mathrm{ч} \\ 7,2 \mathrm{мин} = \frac{7,2}{60} = 0,12 \mathrm{ч} \end{gathered}$$

т.к. мальчики проходят одно расстояние, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} 0,12х = 0,08(х + 2); \\ 0,12х = 0,08х + 0,16; \\ 0,12х – 0,08х = 0,16; \\ 0,04х = 0,16; \\ х = 0,16 : 0,04; \\ х = 16 : 4; \end{gathered}$$

х = 4 км/ч – скорость Тимура;

1) 4 + 2 = 6 км/ч – скорость Коли.

Ответ: 4 км/ч и 6 км/ч

Для решения задачи введем переменную. Пусть скорость Тимура равна $v$ км/ч. По условию, скорость Коли на 2 км/ч больше, следовательно, скорость Коли равна $(v + 2)$ км/ч.

Расстояние от дома до школы ($S$) для обоих мальчиков одинаковое. Скорости даны в км/ч, а время — в минутах. Для согласования единиц измерения переведем время из минут в часы. В 1 часе 60 минут.

Время Коли в часах: $t_К = 4,8 \text{ мин} = \frac{4,8}{60} \text{ ч} = 0,08 \text{ ч}$.

Время Тимура в часах: $t_Т = 7,2 \text{ мин} = \frac{7,2}{60} \text{ ч} = 0,12 \text{ ч}$.

Расстояние вычисляется по формуле $S = \text{скорость} \cdot \text{время}$. Так как Коля и Тимур проходят одинаковое расстояние, мы можем составить уравнение:

$S_К = S_Т$

$\text{Скорость Коли} \cdot \text{Время Коли} = \text{Скорость Тимура} \cdot \text{Время Тимура}$

Подставим известные значения и выражения в уравнение:

$(v + 2) \cdot 0,08 = v \cdot 0,12$

Теперь решим это уравнение относительно $v$:

$0,08v + 2 \cdot 0,08 = 0,12v$

$0,08v + 0,16 = 0,12v$

Перенесем слагаемые с переменной $v$ в одну сторону уравнения:

$0,12v - 0,08v = 0,16$

$0,04v = 0,16$

$v = \frac{0,16}{0,04}$

$v = 4$

Таким образом, скорость Тимура равна 4 км/ч.

Теперь вычислим скорость Коли:

$v + 2 = 4 + 2 = 6$ км/ч.

Ответ: скорость Коли — 6 км/ч, скорость Тимура — 4 км/ч.

П.109. В первой сеялке 840 кг семян, а во второй – 47 того, что в первой. Из первой сеялки высевается в минуту в 3 раза больше семян, чем из второй. Через 5 мин в первой сеялке осталось на 40 кг семян меньше, чем во второй. Сколько килограммов семян высевается из каждой сеялки за одну минуту?

П.109

$\mathbf{1}\mathbf{)} \stackrel{120}{\cancel{840}} · \frac{4}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}} = 120 · 4 = 480$ (кг) семян – во второй сеялке.

Пусть х кг семян – высевается в минуту из второй сеялки, тогда 3х кг семян – высевается каждую минуту из второй сеялки, 5х кг семян – высеяли за 5 минут из второй сеялки, 5 • 3х = 15 кг семян – высеяли за 5 минут из первой сеялки, (840 – 15х) кг семян – осталось в первой сеялке, (480 – 5х) кг семян –осталось во второй сеялке. Зная, что в первой сеялке осталось на 40 кг семян меньше, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} 840 – 15х + 40 = 480 – 5х; \\ 880 – 15х = 480 – 5х; \\ -15х + 5х = 480 – 880; \\ -10х = -400; \\ х = -400 : (-10); \end{gathered}$$

х = 40 (кг/мин) семян – высевается в минуту из второй сеялки;

$1) 3 · 40 = 120$ (кг/мин) семян – высевается в минуту из первой сеялки.

Ответ: 120 кг/мин и 40 кг/мин.

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдем начальное количество семян во второй сеялке.
Согласно условию, во второй сеялке было $\frac{4}{7}$ от количества семян в первой. Вычислим это значение:
$840 \cdot \frac{4}{7} = \frac{840 \cdot 4}{7} = 120 \cdot 4 = 480$ кг.

2. Введем переменные и составим уравнение.
Пусть $x$ кг/мин – это скорость высева семян из второй сеялки.
Поскольку из первой сеялки высевается в 3 раза больше семян в минуту, ее скорость составляет $3x$ кг/мин.

Теперь определим, сколько семян было высеяно из каждой сеялки за 5 минут и сколько осталось:

• Из первой сеялки высеяно: $5 \cdot 3x = 15x$ кг. Осталось: $840 - 15x$ кг.
• Из второй сеялки высеяно: $5 \cdot x = 5x$ кг. Осталось: $480 - 5x$ кг.

По условию, через 5 минут в первой сеялке осталось на 40 кг семян меньше, чем во второй. Это можно выразить уравнением, где разница между остатком во второй и первой сеялках равна 40:
$(480 - 5x) - (840 - 15x) = 40$

3. Решим полученное уравнение.
Сначала раскроем скобки:
$480 - 5x - 840 + 15x = 40$
Теперь приведем подобные слагаемые:
$(15x - 5x) + (480 - 840) = 40$
$10x - 360 = 40$
Перенесем -360 в правую часть уравнения, изменив знак:
$10x = 40 + 360$
$10x = 400$
Найдем $x$:
$x = \frac{400}{10} = 40$

Таким образом, мы нашли, что скорость высева семян из второй сеялки составляет 40 кг/мин.

4. Найдем скорость высева для первой сеялки.
Скорость высева из первой сеялки равна $3x$:
$3 \cdot 40 = 120$ кг/мин.

Ответ: из первой сеялки высевается 120 кг семян в минуту, а из второй – 40 кг семян в минуту.

П.110. Друзья договорились погулять вместе. Миша вышел из дома и пошёл со скоростью 3 км/ч. Андрей вышел на две минуты позже и поехал на самокате со скоростью 6 км/ч. Постройте график движения мальчиков, если расстояние между домами 850 м. Определите по графику, через сколько минут Андрей встретит Мишу.

П.110

$3 \mathrm{км}/\mathrm{ч} = \frac{3 · 100\cancel{0}}{6\cancel{0}} = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{3}}} · 100}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{6}}}}= \frac{1 · 100}{2}=50 \mathrm{м}/\mathrm{мин}$– скорость Миши;

$6 \mathrm{км}/\mathrm{ч} = \frac{\bcancel{6} · 100\cancel{0}}{\bcancel{6}\cancel{0}} = \frac{{\displaystyle 1· 100}}{{\displaystyle 1}}=100 \mathrm{м}/\mathrm{мин}$ – скорость Андрея.

Андрей встретит Мишу через 7 минут после своего выхода, либо через (7-2) = 5 мин после выхода Андрея.

Для решения задачи сначала необходимо привести все величины к единой системе измерений, а затем построить графики движения в системе координат "Расстояние-Время".

1. Подготовка данных и построение графика движения

Введем систему координат, где ось абсцисс (горизонтальная) — это время $t$ в минутах, а ось ординат (вертикальная) — это расстояние $S$ в метрах. За начало отсчета ($S=0$) примем дом Миши. Тогда дом Андрея находится в точке $S=850$ м. Время начнем отсчитывать с момента выхода Миши ($t=0$).

Переведем скорости мальчиков в метры в минуту:
Скорость Миши: $v_М = 3 \text{ км/ч} = \frac{3 \times 1000 \text{ м}}{60 \text{ мин}} = 50 \text{ м/мин}$.
Скорость Андрея: $v_А = 6 \text{ км/ч} = \frac{6 \times 1000 \text{ м}}{60 \text{ мин}} = 100 \text{ м/мин}$.

Теперь составим уравнения движения для каждого мальчика. Движение равномерное, поэтому зависимость расстояния от времени линейная ($S(t) = S_0 + vt$).

Для Миши: он выходит в $t=0$ из точки $S=0$. Его уравнение движения:
$S_М(t) = 50t$.
Это прямая, проходящая через начало координат (0, 0). Для построения возьмем вторую точку, например, при $t=10$ мин, $S_М(10) = 50 \times 10 = 500$ м.

Для Андрея: он выходит на 2 минуты позже ($t=2$) из точки $S=850$ м и движется навстречу Мише, поэтому его скорость в нашей системе координат отрицательна ($-100$ м/мин). Его уравнение движения (для $t \ge 2$):
$S_А(t) = 850 - 100(t-2)$.
При $t=2$ мин, $S_А(2) = 850 - 100(2-2) = 850$ м. Для построения возьмем вторую точку, например, при $t=8$ мин, $S_А(8) = 850 - 100(8-2) = 850 - 600 = 250$ м. В промежутке времени от $t=0$ до $t=2$ Андрей стоял на месте, поэтому его график на этом участке — горизонтальная линия $S=850$.

Построим графики движения в одной системе координат.

Ответ: График движения представлен выше. Синяя линия — график движения Миши, красная — график движения Андрея. Ось X — время в минутах, ось Y — расстояние от дома Миши в метрах.

2. Определение времени встречи по графику

На графике место и время встречи мальчиков соответствуют точке пересечения их графиков движения.

Чтобы найти время встречи, нужно из точки пересечения опустить перпендикуляр на ось времени ($t$). Как видно из графика (и отмечено фиолетовой пунктирной линией), проекция точки пересечения на ось времени соответствует значению $t=7$ минут.

Это означает, что встреча произошла через 7 минут после выхода Миши. Поскольку Андрей вышел на 2 минуты позже, он был в пути до встречи $7 - 2 = 5$ минут. Вопрос "через сколько минут Андрей встретит Мишу" обычно подразумевает время, прошедшее с самого начала отсчета ($t=0$).

Ответ: Андрей встретит Мишу через 7 минут (после начала движения Миши).

П.111. Тримаран проходит за 7,5 ч против течения столько же, сколько за 6,5 ч по течению. Найдите скорость течения, если собственная скорость тримарана 35 км/ч.

П.111

Пусть х км/ч – скорость течения, тогда (35 + х) км/ч – скорость тримарана по течению, (35 – х) км/ч – скорость тримарана против течения, 7,5(35 – х) км – путь против течения, 6,5(35 + х) км – путь тримарана по течению. Зная, что они прошли одинаковое состояние, составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} 7,5(35 – х) = 6,5(35 + х); \\ 262,5 – 7,5х = 227,5 + 6,5х; \\ -7,5х – 6,5х = 227,5 – 262,5; \\ -14х = -35; \\ х = -35 : (-14); \end{gathered}$$

х = 2,5 (км/ч) – скорость течения.

Ответ: 2,5 км/ч.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ км/ч — это искомая скорость течения.

Собственная скорость тримарана (скорость в стоячей воде) равна 35 км/ч.

• Когда тримаран движется по течению, его скорость складывается со скоростью течения и равна $(35 + x)$ км/ч.
• Когда тримаран движется против течения, скорость течения вычитается из его собственной скорости, и его скорость равна $(35 - x)$ км/ч.

Теперь найдем расстояние, которое тримаран проходит в каждом случае, используя формулу $S = v \cdot t$, где $S$ — расстояние, $v$ — скорость, а $t$ — время.

• Расстояние, пройденное по течению за 6,5 ч: $S_1 = (35 + x) \cdot 6,5$ км.
• Расстояние, пройденное против течения за 7,5 ч: $S_2 = (35 - x) \cdot 7,5$ км.

По условию задачи, эти расстояния равны, то есть $S_1 = S_2$. На основе этого мы можем составить уравнение:

$(35 + x) \cdot 6,5 = (35 - x) \cdot 7,5$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$35 \cdot 6,5 + 6,5x = 35 \cdot 7,5 - 7,5x$

$227,5 + 6,5x = 262,5 - 7,5x$

Теперь сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части уравнения, а числовые значения — в правой:

$6,5x + 7,5x = 262,5 - 227,5$

Выполним сложение и вычитание:

$14x = 35$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 14:

$x = \frac{35}{14}$

Сократим дробь на 7:

$x = \frac{5}{2} = 2,5$

Следовательно, скорость течения равна 2,5 км/ч.

Ответ: 2,5 км/ч.