Страница 133, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

3.76. Вычислите.

3.76

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 500 + 310 = 810; \\ 810 : 90 = 9; \\ 9 · 60 = 540; \\ 540 – 120 = 420; \\ 420 : 14 = 30. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }910 : 13 = 70; \\ 70 + 8 = 78 \\ 78 – 14 = 64; \\ 64 : 160 = 0,4; \\ 0,4 · 350 = 140. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }1,5 · 0,6 = 0,9; \\ 0,9 + 2,5 = 3,4; \\ 3,4 : 1,7 = 34 : 17 = 2; \\ 2 – 0,6 = 1,4; \\ 1,4 : 0,2 = 14 : 2 = 7. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }6,8 + 2,2 = 9; \\ 9 : 6 = 1,5; \\ 1,5 + 3 = 4,5; \\ 4,5 · 0,2 = 0,9; \\ 0,9 : 1,8 = 9 : 18 = 0,5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }5 – 3,6 = 1,4; \\ 1,4 · 4 = 5,6; \\ 5,6 : 14 = 0,4; \\ 0,4 : 0,02 = 40 : 2 = 20; \\ 20 + 0,7 = 20,7. \end{gathered}$$

а) Выполним последовательно все шаги вычислений:
1. Сложение: $500 + 310 = 810$.
2. Деление: $810 : 90 = 9$.
3. Умножение: $9 \cdot 60 = 540$.
4. Вычитание: $540 - 120 = 420$.
5. Деление: $420 : 14 = 30$.
Ответ: 30

б) Выполним последовательно все шаги вычислений:
1. Деление: $910 : 13 = 70$.
2. Сложение: $70 + 8 = 78$.
3. Вычитание: $78 - 14 = 64$.
4. Деление: $64 : 160 = 0,4$.
5. Деление: $0,4 : 350 = \frac{4}{10} : 350 = \frac{4}{10 \cdot 350} = \frac{4}{3500} = \frac{1}{875}$.
Ответ: $\frac{1}{875}$

в) Выполним последовательно все шаги вычислений:
1. Умножение: $1,5 \cdot 0,6 = 0,9$.
2. Сложение: $0,9 + 2,5 = 3,4$.
3. Деление: $3,4 : 1,7 = 2$.
4. Вычитание: $2 - 0,6 = 1,4$.
5. Деление: $1,4 : 0,2 = 7$.
Ответ: 7

г) Выполним последовательно все шаги вычислений:
1. Сложение: $6,8 + 2,2 = 9$.
2. Деление: $9 : 6 = 1,5$.
3. Сложение: $1,5 + 3 = 4,5$.
4. Умножение: $4,5 \cdot 0,2 = 0,9$.
5. Деление: $0,9 : 1,8 = 0,5$.
Ответ: 0,5

д) Выполним последовательно все шаги вычислений:
1. Вычитание: $5 - 3,6 = 1,4$.
2. Умножение: $1,4 \cdot 4 = 5,6$.
3. Деление: $5,6 : 14 = 0,4$.
4. Деление: $0,4 : 0,02 = 20$.
5. Сложение: $20 + 0,7 = 20,7$.
Ответ: 20,7

3.77. Представьте дроби 34, 712, 920, 58, 1336 в виде суммы двух дробей с числителем 1.

3.77

$$\begin{gathered} \frac{3}{4} = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \\ \frac{7}{12} = \frac{1}{12} + \frac{6}{12} = \frac{1}{12} + \frac{1}{2} \\ \frac{9}{20} = \frac{4}{20} + \frac{5}{20} = \frac{1}{5} + \frac{1}{4} \\ \frac{5}{8} = \frac{1}{8} + \frac{4}{8} = \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \\ \frac{13}{36} = \frac{4}{36} + \frac{9}{36} = \frac{1}{9} + \frac{1}{4} \end{gathered}$$

Для решения этой задачи необходимо представить каждую дробь в виде суммы двух дробей с числителем 1 (так называемых аликвотных дробей). Общий подход заключается в том, чтобы представить числитель исходной дроби в виде суммы двух слагаемых, которые являются делителями ее знаменателя. Затем дробь раскладывается на сумму двух дробей, которые после сокращения будут иметь в числителе 1.

$\frac{3}{4}$

Представим числитель 3 в виде суммы делителей знаменателя 4. Делителями числа 4 являются 1, 2, 4. Мы можем записать $3 = 1 + 2$.

Тогда: $\frac{3}{4} = \frac{1+2}{4} = \frac{1}{4} + \frac{2}{4}$.

Сократив вторую дробь, получаем: $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, итоговая сумма: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$

$\frac{7}{12}$

Представим числитель 7 в виде суммы делителей знаменателя 12. Делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Мы можем записать $7 = 3 + 4$.

Тогда: $\frac{7}{12} = \frac{3+4}{12} = \frac{3}{12} + \frac{4}{12}$.

Сократив дроби, получаем: $\frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ и $\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.

Таким образом, итоговая сумма: $\frac{1}{3} + \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{7}{12} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4}$

$\frac{9}{20}$

Представим числитель 9 в виде суммы делителей знаменателя 20. Делители числа 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20. Мы можем записать $9 = 4 + 5$.

Тогда: $\frac{9}{20} = \frac{4+5}{20} = \frac{4}{20} + \frac{5}{20}$.

Сократив дроби, получаем: $\frac{4}{20} = \frac{1}{5}$ и $\frac{5}{20} = \frac{1}{4}$.

Таким образом, итоговая сумма: $\frac{1}{4} + \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{9}{20} = \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$

$\frac{5}{8}$

Представим числитель 5 в виде суммы делителей знаменателя 8. Делители числа 8: 1, 2, 4, 8. Мы можем записать $5 = 1 + 4$.

Тогда: $\frac{5}{8} = \frac{1+4}{8} = \frac{1}{8} + \frac{4}{8}$.

Сократив вторую дробь, получаем: $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, итоговая сумма: $\frac{1}{2} + \frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{5}{8} = \frac{1}{2} + \frac{1}{8}$

$\frac{13}{36}$

Представим числитель 13 в виде суммы делителей знаменателя 36. Делители числа 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Мы можем записать $13 = 4 + 9$.

Тогда: $\frac{13}{36} = \frac{4+9}{36} = \frac{4}{36} + \frac{9}{36}$.

Сократив дроби, получаем: $\frac{4}{36} = \frac{1}{9}$ и $\frac{9}{36} = \frac{1}{4}$.

Таким образом, итоговая сумма: $\frac{1}{4} + \frac{1}{9}$.

Ответ: $\frac{13}{36} = \frac{1}{4} + \frac{1}{9}$

3.78. Из чисел 4, 5, 16 и 20 составьте три пропорции.

3.78

16 : 4 = 20 : 5

16 : 20 = 4 : 5

5 : 4 = 20 : 16

4 : 5 = 16 : 20

Пропорция — это равенство двух отношений. Её можно записать в виде дробей $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ или с помощью знака деления $a:b = c:d$.

Главное свойство пропорции заключается в том, что произведение её крайних членов (a и d) равно произведению её средних членов (b и c):

$a \cdot d = b \cdot c$

Чтобы составить пропорцию из предложенных чисел 4, 5, 16 и 20, нам необходимо найти среди них две пары, произведения которых равны.

Вычислим произведения возможных пар:

• $4 \times 5 = 20$
• $4 \times 16 = 64$
• $4 \times 20 = 80$
• $5 \times 16 = 80$
• $5 \times 20 = 100$
• $16 \times 20 = 320$

Мы видим, что существует равенство произведений: $4 \cdot 20 = 5 \cdot 16$. Оба произведения равны 80.

Это означает, что мы можем составить верную пропорцию, в которой числа 4 и 20 будут крайними членами, а 5 и 16 — средними членами (или наоборот). Исходя из этого равенства, можно составить несколько верных пропорций. Вот три из них:

1. Первая пропорция, где 4 и 20 — крайние члены, а 5 и 16 — средние:
   $\frac{4}{5} = \frac{16}{20}$
   Проверка: $4 \cdot 20 = 80$ и $5 \cdot 16 = 80$. Равенство $80=80$ верно.
2. Вторая пропорция, полученная путем перестановки средних членов (5 и 16) в первой:
   $\frac{4}{16} = \frac{5}{20}$
   Проверка: $4 \cdot 20 = 80$ и $16 \cdot 5 = 80$. Равенство $80=80$ верно. Также можно проверить, что $\frac{4}{16} = \frac{1}{4}$ и $\frac{5}{20} = \frac{1}{4}$.
3. Третья пропорция, полученная путем перестановки крайних членов (4 и 20) в первой:
   $\frac{20}{5} = \frac{16}{4}$
   Проверка: $20 \cdot 4 = 80$ и $5 \cdot 16 = 80$. Равенство $80=80$ верно. Также можно проверить, что $\frac{20}{5} = 4$ и $\frac{16}{4} = 4$.

Ответ: Три возможные пропорции: $\frac{4}{5} = \frac{16}{20}$; $\frac{4}{16} = \frac{5}{20}$; $\frac{20}{5} = \frac{16}{4}$.

3.79. Какими могут быть средние члены пропорции, если её крайние члены 7 и 8? Приведите примеры.

3.79

если крайние члены 7 и 8, то 7 • 8 = 56

56 = 2 • 28 = 4 • 14 = 1 • 56

7 : 2 = 28 : 8

7 : 4 = 14 : 8

7 : 1 = 56 : 8

Пропорция — это равенство двух отношений, которое можно записать в виде $a : b = c : d$ или $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Числа $a$ и $d$ называют крайними членами пропорции, а $b$ и $c$ — средними членами.

Основное свойство пропорции заключается в том, что произведение крайних членов равно произведению средних членов: $a \cdot d = b \cdot c$.

Согласно условию, крайние члены нашей пропорции — это числа 7 и 8. Найдем их произведение:

$a \cdot d = 7 \cdot 8 = 56$.

Следовательно, произведение средних членов $b$ и $c$ также должно равняться 56:

$b \cdot c = 56$.

Таким образом, средними членами пропорции могут быть любые два числа, произведение которых равно 56. Таких пар чисел бесконечно много.

Вот несколько примеров таких пар и соответствующих им пропорций:

• Пусть средние члены равны 1 и 56. Пропорция: $7 : 1 = 56 : 8$. Проверка: $7 \cdot 8 = 56$ и $1 \cdot 56 = 56$.
• Пусть средние члены равны 2 и 28. Пропорция: $7 : 2 = 28 : 8$. Проверка: $7 \cdot 8 = 56$ и $2 \cdot 28 = 56$.
• Пусть средние члены равны 4 и 14. Пропорция: $7 : 4 = 14 : 8$. Проверка: $7 \cdot 8 = 56$ и $4 \cdot 14 = 56$.
• Средние члены могут быть и дробными числами, например, 10 и 5,6. Пропорция: $7 : 10 = 5,6 : 8$. Проверка: $7 \cdot 8 = 56$ и $10 \cdot 5,6 = 56$.
• Средние члены могут быть отрицательными, например, -4 и -14. Пропорция: $7 : (-4) = (-14) : 8$. Проверка: $7 \cdot 8 = 56$ и $(-4) \cdot (-14) = 56$.

Ответ: Средними членами пропорции могут быть любые два числа, произведение которых равно 56. Например: 1 и 56; 2 и 28; 4 и 14.

3.80. Найдите х :

а) х8 = 2х16; б) х16 = х4; в) х16 = 4х; г) 47 = хх; д) хх = х9;

3.80

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} \frac{х}{8} = \frac{2х}{16}; \\ х · 16 = 8 · 2х; \\ 16х = 16х; \end{gathered}$$

х - любое число

Ответ: любое число.

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} \frac{х}{16} = \frac{х}{4}; \\ 4х = \overline{)16х; } : 4 \\ \frac{4х}{4} = \frac{16х}{4}; \\ х = 4х; \\ х =0. \end{gathered}$$

Ответ: 0.

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} \frac{х}{16} = \frac{4}{х}; \\ х · х = 16 · 4; \\ {х}^2 = 64; \\ х = 8 \mathrm{или} \mathrm{х} = -8. \end{gathered}$$

Ответ: -8 или 8.

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{4}{7} = \frac{х}{х}; \\ 4 · х = \overline{)7 · х;} : 4 \\ \frac{4х}{4} = \frac{7х}{4}; \\ х = \frac{7}{4} х; \\ х = 0. \end{gathered}$$

Ответ: 0.

а) Дано уравнение-пропорция: $\frac{x}{8} = \frac{2x}{16}$. Для его решения можно использовать основное свойство пропорции (правило перекрестного умножения): произведение крайних членов равно произведению средних. $x \cdot 16 = 8 \cdot 2x$ $16x = 16x$ Перенесем все в левую часть уравнения: $16x - 16x = 0$ $0 = 0$ Мы получили верное равенство, которое не зависит от значения переменной $x$. Это означает, что исходное уравнение является тождеством. Также можно было упростить правую часть уравнения: $\frac{2x}{16} = \frac{x}{8}$. Тогда уравнение принимает вид $\frac{x}{8} = \frac{x}{8}$, что верно при любом значении $x$.
Ответ: $x$ — любое число.

б) Дано уравнение: $\frac{x}{16} = \frac{x}{4}$. Применим правило перекрестного умножения: $x \cdot 4 = 16 \cdot x$ $4x = 16x$ Перенесем все члены с $x$ в одну сторону: $16x - 4x = 0$ $12x = 0$ Разделим обе части на 12: $x = \frac{0}{12}$ $x = 0$
Ответ: $x=0$.

в) Дано уравнение: $\frac{x}{16} = \frac{4}{x}$. Заметим, что $x$ не может быть равен нулю, так как находится в знаменателе. Это область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$. Используем правило перекрестного умножения: $x \cdot x = 16 \cdot 4$ $x^2 = 64$ Чтобы найти $x$, нужно извлечь квадратный корень из 64. У этого уравнения есть два решения: $x_1 = \sqrt{64} = 8$ $x_2 = -\sqrt{64} = -8$ Оба значения удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x=8$ или $x=-8$.

г) Дано уравнение: $\frac{4}{7} = \frac{x}{x}$. Выражение $\frac{x}{x}$ равно 1 при любом значении $x$, не равном нулю (ОДЗ: $x \neq 0$). Подставим 1 вместо дроби в правую часть уравнения: $\frac{4}{7} = 1$ Это равенство неверно. Следовательно, не существует такого значения $x$, при котором исходное уравнение было бы верным.
Ответ: решений нет.

д) Дано уравнение: $\frac{x}{x} = \frac{x}{9}$. Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: $x \neq 0$, так как в левой части $x$ находится в знаменателе. При $x \neq 0$ левая часть уравнения $\frac{x}{x}$ равна 1. Тогда уравнение можно переписать в виде: $1 = \frac{x}{9}$ Домножим обе части уравнения на 9, чтобы найти $x$: $x = 1 \cdot 9$ $x = 9$ Полученное значение $x=9$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x=9$.

3.81. Найдите отношение:

а) 3 ч к 20 мин; б) 0,7 дм² к 0,1 см²; в) 0,1 т к 0,2 кг; г) 6 ч к 1 сут; д) 4 см³ к 0,4 дм³; е) 6 га к 120 а.

3.81

$\frac{3 \mathrm{ч}}{20 \mathrm{мин}} = \frac{180 \mathrm{мин}}{20 \mathrm{мин}} = 9;$

$\frac{0,7 {\mathrm{дм}}^2}{0,1 {\mathrm{см}}^2} = \frac{70 {\mathrm{см}}^2}{0,1 {\mathrm{см}}^2} = 700;$

$\frac{0,1 \mathrm{т}}{0,2 \mathrm{кг}} = \frac{100 \mathrm{кг}}{0,2 \mathrm{кг}} = \frac{1000 \mathrm{кг}}{2 \mathrm{кг}} = 500;$

$\frac{6 \mathrm{ч}}{1 \mathrm{сут}} = \frac{6 \mathrm{ч}}{24 \mathrm{ч}} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4};$

$\frac{4 {\mathrm{см}}^3}{0,4 {\mathrm{дм}}^3} = \frac{4 {\mathrm{см}}^3}{400 {\mathrm{см}}^3} = 0,01;$

$\frac{6 \mathrm{га}}{120 \mathrm{а}} = \frac{600 \mathrm{а}}{120 \mathrm{а}} = 5.$

а) Чтобы найти отношение 3 ч к 20 мин, необходимо привести обе величины к одной единице измерения. Переведем часы в минуты, зная, что в одном часе 60 минут.

$3 \text{ ч} = 3 \times 60 \text{ мин} = 180 \text{ мин}$

Теперь найдем отношение 180 минут к 20 минутам:

$\frac{180 \text{ мин}}{20 \text{ мин}} = \frac{180}{20} = 9$

Ответ: 9

б) Для нахождения отношения 0,7 дм² к 0,1 см², приведем величины к одной единице измерения. Переведем квадратные дециметры в квадратные сантиметры. Поскольку 1 дм = 10 см, то 1 дм² = $10^2$ см² = 100 см².

$0,7 \text{ дм}^2 = 0,7 \times 100 \text{ см}^2 = 70 \text{ см}^2$

Найдем отношение 70 см² к 0,1 см²:

$\frac{70 \text{ см}^2}{0,1 \text{ см}^2} = \frac{70}{0,1} = 700$

Ответ: 700

в) Чтобы найти отношение 0,1 т к 0,2 кг, приведем обе величины к килограммам. В одной тонне 1000 килограммов.

$0,1 \text{ т} = 0,1 \times 1000 \text{ кг} = 100 \text{ кг}$

Теперь найдем отношение 100 кг к 0,2 кг:

$\frac{100 \text{ кг}}{0,2 \text{ кг}} = \frac{100}{0,2} = \frac{1000}{2} = 500$

Ответ: 500

г) Для нахождения отношения 6 ч к 1 сут, приведем величины к одной единице измерения — часам. В одних сутках 24 часа.

$1 \text{ сут} = 24 \text{ ч}$

Найдем отношение 6 часов к 24 часам:

$\frac{6 \text{ ч}}{24 \text{ ч}} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$

Отношение можно также представить в виде десятичной дроби: $1 \div 4 = 0,25$.

Ответ: $\frac{1}{4}$ (или 0,25)

д) Чтобы найти отношение 4 см³ к 0,4 дм³, приведем величины к одной единице измерения. Переведем кубические дециметры в кубические сантиметры. Поскольку 1 дм = 10 см, то 1 дм³ = $10^3$ см³ = 1000 см³.

$0,4 \text{ дм}^3 = 0,4 \times 1000 \text{ см}^3 = 400 \text{ см}^3$

Найдем отношение 4 см³ к 400 см³:

$\frac{4 \text{ см}^3}{400 \text{ см}^3} = \frac{4}{400} = \frac{1}{100}$

Отношение можно также представить в виде десятичной дроби: $1 \div 100 = 0,01$.

Ответ: $\frac{1}{100}$ (или 0,01)

е) Для нахождения отношения 6 га к 120 а, приведем величины к одной единице измерения — арам. В одном гектаре (га) содержится 100 аров (а).

$6 \text{ га} = 6 \times 100 \text{ а} = 600 \text{ а}$

Найдем отношение 600 а к 120 а:

$\frac{600 \text{ а}}{120 \text{ а}} = \frac{600}{120} = \frac{60}{12} = 5$

Ответ: 5

3.82. Отметьте на координатной прямой число m для пропорции pq = mn (рис. 3.3).

3.82

$$\begin{gathered} \frac{p}{q} = \frac{m}{n}, \\ p =1; q =3; n = 12. \\ \frac{1}{3} = \frac{m}{12}, \\ m = \frac{1 · 12}{3} = \frac{12}{3} = 4 \end{gathered}$$

Для того чтобы отметить число m на координатной прямой, необходимо сначала определить числовые значения для p, q и n, исходя из их расположения. Примем длину одного деления на координатной прямой за единицу.
- Точка p находится на втором делении от нуля, следовательно, ее координата $p = 2$.
- Точка q находится на третьем делении от нуля, следовательно, ее координата $q = 3$.
- Точка n находится на девятом делении от нуля, следовательно, ее координата $n = 9$.

Нам дана пропорция $\frac{p}{q} = \frac{m}{n}$. Выразим из нее m, используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$p \cdot n = q \cdot m$
$m = \frac{p \cdot n}{q}$

Теперь подставим числовые значения p, q и n в полученную формулу:
$m = \frac{2 \cdot 9}{3} = \frac{18}{3} = 6$.

Таким образом, число m равно 6. Это означает, что на координатной прямой точка m должна находиться на шестом делении от нуля.

Ответ:
Точка m расположена на шестом делении координатной прямой, как показано на рисунке ниже.

3.83. Развивай память. Развить слуховую и зрительную память поможет пирамида из двузначных чисел. Числа в пирамиде могут быть другие.

а) Для проверки слуховой памяти попросите кого–нибудь прочитать числа из первой строки, после чего вы по памяти их записываете по порядку. Затем вторую строку и т. д. Если сможете без ошибок записать числа трёх строк, то слуховая память у вас хорошая, если больше, то отличная. Если допускаете ошибки при записи первых трёх строк, то меняйте числа и тренируйтесь.

б) При проверке зрительной памяти сначала закройте всю пирамиду, а затем на 5—15 с (в зависимости от количества чисел в строке) откройте первую строку и, закрыв её, по памяти запишите числа по порядку. Если записали числа правильно, переходите ко второй строке и т. д.

3.83

решения не требуется, практическая работа

а) Это упражнение направлено на проверку и развитие слуховой памяти. Для его выполнения понадобится помощник.

Порядок выполнения:
1. Попросите помощника медленно и четко зачитать вам вслух числа из первой строки пирамиды (26, 28, 46). Слушайте внимательно, не глядя на числа.
2. Сразу после прочтения, запишите эти числа по памяти на листе бумаги, стараясь сохранить правильный порядок.
3. Сверьте вашу запись с числами в первой строке пирамиды.
4. Если вы записали все числа правильно и в верном порядке, переходите к следующей строке. Помощник зачитывает вам числа из второй строки (69, 38, 17, 42), а вы снова пытаетесь их записать по памяти.
5. Продолжайте выполнять упражнение для следующих строк до тех пор, пока не допустите ошибку.

Оценка результатов:
- Если вы смогли без ошибок записать числа из первых трёх строк, ваша слуховая память на хорошем уровне.
- Если вы смогли без ошибок записать числа из более чем трёх строк, ваша слуховая память на отличном уровне.
- Если вы допускаете ошибки уже в первых трёх строках, рекомендуется регулярно выполнять это упражнение, можно с другими наборами чисел, для улучшения памяти.

Ответ: Результат выполнения этого упражнения индивидуален. Для самопроверки используйте правильные последовательности чисел из пирамиды:
Строка 1: 26, 28, 46
Строка 2: 69, 38, 17, 42
Строка 3: 41, 74, 16, 53, 20
Строка 4: 65, 52, 81, 23, 46, 19
Строка 5: 37, 71, 91, 17, 77, 64, 33
Строка 6: 12, 84, 35, 25, 71, 59, 23, 30

б) Это упражнение предназначено для проверки и развития зрительной памяти.

Порядок выполнения:
1. Закройте всю пирамиду с числами листом бумаги или рукой.
2. Откройте только первую строку на короткое время (5–15 секунд, для 3 чисел достаточно 5 секунд), внимательно посмотрите на числа и постарайтесь их запомнить.
3. Снова закройте строку и запишите числа по памяти в правильном порядке.
4. Сверьте вашу запись с оригиналом.
5. Если вы всё записали верно, переходите к следующей строке. Для каждой последующей строки можно немного увеличивать время просмотра, так как количество чисел в них растет.
6. Продолжайте до тех пор, пока можете без ошибок воспроизводить строки.

Цель упражнения — правильно записать по памяти как можно больше строк.

Ответ: Результат этого упражнения также является индивидуальным показателем. Для проверки правильности своей записи используйте числа из пирамиды:
Строка 1: 26, 28, 46
Строка 2: 69, 38, 17, 42
Строка 3: 41, 74, 16, 53, 20
Строка 4: 65, 52, 81, 23, 46, 19
Строка 5: 37, 71, 91, 17, 77, 64, 33
Строка 6: 12, 84, 35, 25, 71, 59, 23, 30

3.84. Найдите неизвестный член пропорции:

а) 7 : 28 = 5,5 : 4х; б) Зх : 11 = 112 : 234; в) 1,35 : 0,6 = 1,08 : 0,4х; г) 214 : 1 = Зх : 23.

3.84

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 7 : 28 = 5,5 : 4х; \\ \frac{7}{28} = \frac{5,5}{4х}; \\ 4х = \frac{5,5 · {\displaystyle \stackrel{4}{\cancel{28}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}}; \\ 4х = \overline{)5,5 · 4; } : 4 \\ х = 5,5 · 4 : 4; \\ х = 5,5. \end{gathered}$$

Ответ: 5,5.

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 3х : 11 = 1\frac{1}{2} : 2\frac{3}{4}; \\ \frac{3х}{11} = \frac{1{\displaystyle \frac{1}{2}}}{2{\displaystyle \frac{3}{4}}}; \\ 3х = 11 · 1\frac{1}{2} : 2\frac{3}{4}; \\ 3х = 11 · \frac{3}{2} : \frac{11}{4}; \\ 3х = \frac{\cancel{11} · 3 · {\displaystyle \stackrel{2}{\bcancel{4}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{2}}} · \cancel{11}}; \\ 3х = \frac{1 · 3 · 2}{1 · 1}; \\ 3х = 3 · 2; \\ 3х = 6; \\ х = 6 : 3; \\ х = 2. \end{gathered}$$

Ответ: 2.

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} 1,35 : 0,6 =1,08 : 0,4x; \\ \frac{1,35}{0,6} = \frac{1,08}{0,4 х}; \\ 0,4 х = \frac{0,6 · 1,08}{1,35}; \\ 0,4 х = \frac{0,6 ·{\displaystyle \stackrel{4}{ \cancel{108}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{135}}}}; \\ 0,4 х = \frac{0,6 · 4}{5}; \\ 0,4 х = \overline{)\frac{2,4}{5};} · 5 \\ 2х = 2,4; \\ х = 2,4 : 2; \\ х = 1,2. \end{gathered}$$

Ответ: 1,2.

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} 2\frac{1}{4} : 1 = 3х : \frac{2}{3}; \\ \frac{2{\displaystyle \frac{1}{4}}}{1} = \frac{3х}{{\displaystyle \frac{2}{3}}}; \\ 3х = 2\frac{1}{4} · \frac{2}{3} : 1; \\ 3х = \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\bcancel{9}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{4}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{2}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{3}}}}; \\ 3х = \frac{3}{2} · \frac{1}{1}; \\ 3х = \frac{3}{2}; \\ х = \frac{3}{2} : 3; \\ х = \frac{\cancel{3}}{2} · \frac{1}{\cancel{3}}; \\ х = \frac{1}{2}. \\ \mathrm{Ответ}: \frac{1}{2}. \end{gathered}$$

а) $7 : 28 = 5,5 : 4x$

Для решения воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов. В записи $a : b = c : d$ крайними членами являются $a$ и $d$, а средними — $b$ и $c$. Таким образом, $a \cdot d = b \cdot c$.

В данной пропорции крайние члены – это 7 и $4x$, а средние – 28 и 5,5.

Составим и решим уравнение:

$7 \cdot (4x) = 28 \cdot 5,5$

$28x = 154$

Также можно было заметить, что $28 = 28$, и сразу упростить:

$28x = 28 \cdot 5,5$

Разделим обе части уравнения на 28:

$x = 5,5$

Ответ: $x = 5,5$.

б) $3x : 11 = 1\frac{1}{2} : 2\frac{3}{4}$

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$

$2\frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{11}{4}$

Теперь пропорция выглядит так:

$3x : 11 = \frac{3}{2} : \frac{11}{4}$

Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$3x \cdot \frac{11}{4} = 11 \cdot \frac{3}{2}$

$\frac{33x}{4} = \frac{33}{2}$

Чтобы найти $x$, умножим обе части на $\frac{4}{33}$:

$x = \frac{33}{2} \cdot \frac{4}{33}$

$x = \frac{4}{2}$

$x = 2$

Ответ: $x = 2$.

в) $1,35 : 0,6 = 1,08 : 0,4x$

Применяем основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних.

$1,35 \cdot (0,4x) = 0,6 \cdot 1,08$

Выполним умножение в обеих частях уравнения:

$0,54x = 0,648$

Теперь найдём $x$, разделив правую часть на коэффициент при $x$:

$x = \frac{0,648}{0,54}$

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим числитель и знаменатель на 1000:

$x = \frac{648}{540}$

Сократим дробь. Можно поделить числитель и знаменатель на 54:

$x = \frac{648 \div 54}{540 \div 54} = \frac{12}{10} = 1,2$

Ответ: $x = 1,2$.

г) $2\frac{1}{4} : 1 = 3x : \frac{2}{3}$

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$

Пропорция принимает вид:

$\frac{9}{4} : 1 = 3x : \frac{2}{3}$

Используем основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$\frac{9}{4} \cdot \frac{2}{3} = 1 \cdot 3x$

Упростим левую часть:

$\frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 3} = 3x$

$\frac{18}{12} = 3x$

Сократим дробь $\frac{18}{12}$ на 6:

$\frac{3}{2} = 3x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 3:

$x = \frac{3}{2} \div 3 = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

П.65. Отметьте точки М(−3; 6), А(5; −10), Q(−7; −6), R(5; 0), S(−11; 2), T(−1; 7), Р(3; 2), Z(6; 11), А(−5; 5) и С(−8; −4) на координатной плоскости. Проведите прямые MN, QR, ST, PZ и АС. С помощью чертёжного треугольника и линейки найдите прямые, параллельные и перпендикулярные друг другу. Определите по рисунку координаты точки пересечения прямой PZ с осью у и прямой QR с осью х.

П.65

ST ∥ QR, AC ∥ PZ, ST ⊥ MN, QR ⊥ MN

(0; -7) – точка пересечения прямой PZ с осью у

(5; 0) – точка пересечения прямой QR с осью х

Для решения задачи выполним все шаги последовательно. Сначала построим точки и прямые на координатной плоскости (этот шаг выполняется мысленно или на бумаге), а затем аналитически проверим и найдем все требуемые параметры.

1. Нахождение параллельных и перпендикулярных прямых

Чтобы определить, являются ли прямые параллельными или перпендикулярными, нужно найти их угловые коэффициенты (наклоны). Угловой коэффициент k прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, вычисляется по формуле:

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Две прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$).

Две прямые перпендикулярны, если произведение их угловых коэффициентов равно -1 ($k_1 \cdot k_2 = -1$).

Вычислим угловые коэффициенты для каждой прямой:

• Прямая MN, проходит через точки M(–3; 6) и N(5; –10):
  $k_{MN} = \frac{-10 - 6}{5 - (-3)} = \frac{-16}{8} = -2$
• Прямая QR, проходит через точки Q(–7; –6) и R(5; 0):
  $k_{QR} = \frac{0 - (-6)}{5 - (-7)} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
• Прямая ST, проходит через точки S(–11; 2) и T(–1; 7):
  $k_{ST} = \frac{7 - 2}{-1 - (-11)} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
• Прямая PZ, проходит через точки P(3; 2) и Z(6; 11):
  $k_{PZ} = \frac{11 - 2}{6 - 3} = \frac{9}{3} = 3$
• Прямая AC, проходит через точки A(–5; 5) и C(–8; –4):
  $k_{AC} = \frac{-4 - 5}{-8 - (-5)} = \frac{-9}{-3} = 3$

Теперь сравним коэффициенты:

Параллельные прямые:

Сравниваем угловые коэффициенты. Видим, что $k_{QR} = k_{ST} = \frac{1}{2}$, значит, прямые QR и ST параллельны ($QR \parallel ST$).

Также видим, что $k_{PZ} = k_{AC} = 3$, значит, прямые PZ и AC параллельны ($PZ \parallel AC$).

Перпендикулярные прямые:

Проверяем условие $k_1 \cdot k_2 = -1$.

Рассмотрим прямые MN ($k_{MN} = -2$) и QR ($k_{QR} = \frac{1}{2}$):

$k_{MN} \cdot k_{QR} = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1$. Следовательно, прямые MN и QR перпендикулярны ($MN \perp QR$).

Рассмотрим прямые MN ($k_{MN} = -2$) и ST ($k_{ST} = \frac{1}{2}$):

$k_{MN} \cdot k_{ST} = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1$. Следовательно, прямые MN и ST перпендикулярны ($MN \perp ST$).

Ответ: Параллельные прямые: $QR \parallel ST$ и $PZ \parallel AC$. Перпендикулярные прямые: $MN \perp QR$ и $MN \perp ST$.

2. Определение координат точки пересечения прямой PZ с осью y

Точка пересечения с осью y имеет координату $x = 0$. Чтобы найти координату y, составим уравнение прямой PZ. Используем точку P(3; 2) и угловой коэффициент $k_{PZ} = 3$. Уравнение прямой имеет вид $y - y_0 = k(x - x_0)$.

$y - 2 = 3(x - 3)$

$y - 2 = 3x - 9$

$y = 3x - 7$

Теперь найдем значение y при $x=0$:

$y = 3 \cdot 0 - 7 = -7$

Координаты точки пересечения прямой PZ с осью y: (0; –7).

Ответ: Координаты точки пересечения прямой PZ с осью y равны (0; –7).

3. Определение координат точки пересечения прямой QR с осью x

Точка пересечения с осью x имеет координату $y = 0$. Из условия задачи мы знаем, что прямая QR проходит через точку R(5; 0). Так как у точки R координата y равна нулю, эта точка уже лежит на оси x. Следовательно, точка R и есть точка пересечения прямой QR с осью x.

Для проверки можно составить уравнение прямой QR, используя точку Q(–7; –6) и $k_{QR} = \frac{1}{2}$:

$y - (-6) = \frac{1}{2}(x - (-7))$

$y + 6 = \frac{1}{2}(x + 7)$

Подставим $y=0$:

$0 + 6 = \frac{1}{2}(x + 7)$

$6 = \frac{1}{2}(x + 7)$

$12 = x + 7$

$x = 12 - 7 = 5$

Координаты точки пересечения: (5; 0).

Ответ: Координаты точки пересечения прямой QR с осью x равны (5; 0).

П.66. Фермер собрал с 9 га 315 т овощей. Консервный завод купил 55 % собранных фермером овощей. На сколько тонн овощей больше купил консервный завод у фермера, чем у него осталось? Найдите урожайность овощей.

П.66

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }315 · 0,55 = 173,25$ (т) овощей – купил консервный завод;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 315 – 173,25 = 141,75$ (т) овощей – осталось у фермера;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }173,25 – 141,75 = 31,5$(т) овощей – больше купил консервный завод;

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }315 : 9 = 35$(т/га) – урожайность овощей.

Ответ: на 31,5 т; 35 т/га.

На сколько тонн овощей больше купил консервный завод у фермера, чем у него осталось?

1. Сначала найдем количество овощей, которое купил консервный завод. Это составляет 55% от всего собранного урожая.
Чтобы найти процент от числа, нужно это число умножить на долю, выраженную десятичной дробью: $55\% = 0,55$.
$315 \text{ т} \cdot 0,55 = 173,25 \text{ т}$ — столько овощей купил завод.

2. Теперь определим, сколько овощей осталось у фермера. Если завод купил 55%, то у фермера осталось $100\% - 55\% = 45\%$ от общего урожая.
$315 \text{ т} \cdot 0,45 = 141,75 \text{ т}$ — столько овощей осталось у фермера.

3. Чтобы найти, на сколько тонн больше овощей купил завод, чем осталось у фермера, нужно из количества купленных овощей вычесть количество оставшихся.
$173,25 \text{ т} - 141,75 \text{ т} = 31,5 \text{ т}$.

Ответ: консервный завод купил на 31,5 тонны овощей больше, чем осталось у фермера.

Найдите урожайность овощей.

Урожайность — это отношение общего количества собранного урожая к площади, с которой он был собран. В данном случае измеряется в тоннах на гектар (т/га).
Общий урожай составляет 315 тонн, а площадь — 9 гектаров.
Чтобы найти урожайность, разделим общий вес урожая на площадь:
$315 \text{ т} \div 9 \text{ га} = 35 \text{ т/га}$.

Ответ: урожайность овощей составляет 35 т/га.

П.67. В доме из 240 квартир трёхкомнатные квартиры составляют 15 % всех квартир и 23 числа однокомнатных квартир. Остальные квартиры двухкомнатные. Найдите, сколько в доме двухкомнатных квартир.

П.67

$\mathbf{1}\mathbf{)} 240 · 0,15 = 36$ (кв.) – трехкомнатные;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }36 : \frac{2}{3}= \stackrel{18}{\cancel{36}} · \frac{3}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{2}}}} = 18 · 3 = 54$ (кв.) – однокомнатные ;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 240 – (36 + 54) = 240 – 90 = 150$ (кв.) – двухкомнатные.

Ответ: 150 квартир.

Для решения этой задачи необходимо выполнить последовательно несколько шагов.

1. Найдём количество трёхкомнатных квартир.
Согласно условию, их количество составляет 15% от общего числа квартир в доме. Общее число квартир — 240. Чтобы найти процент от числа, нужно это число умножить на дробь, соответствующую проценту.
$15\% = \frac{15}{100} = 0,15$
$240 \cdot 0,15 = 36$ (квартир).
Итак, в доме 36 трёхкомнатных квартир.

2. Найдём количество однокомнатных квартир.
Из условия известно, что количество трёхкомнатных квартир (36) составляет $\frac{2}{3}$ от числа однокомнатных квартир. Пусть $x$ — это количество однокомнатных квартир. Тогда мы можем составить уравнение:
$\frac{2}{3} \cdot x = 36$
Чтобы найти $x$, нужно 36 разделить на $\frac{2}{3}$. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$x = 36 : \frac{2}{3} = 36 \cdot \frac{3}{2} = \frac{36 \cdot 3}{2} = 18 \cdot 3 = 54$ (квартиры).
Следовательно, в доме 54 однокомнатные квартиры.

3. Найдём количество двухкомнатных квартир.
Остальные квартиры в доме — двухкомнатные. Чтобы найти их количество, нужно из общего числа квартир вычесть сумму количеств трёхкомнатных и однокомнатных квартир.
$240 - (36 + 54) = 240 - 90 = 150$ (квартир).

Ответ: в доме 150 двухкомнатных квартир.

П.68. Длина прямоугольника 40 см, а ширина 10 см. Длину уменьшили на 20 %, а ширину увеличили на 20 %. На сколько процентов изменилась площадь прямоугольника?

П.68

$\mathbf{1}\mathbf{)} 40 · 10 = 400$(см²) – была площадь прямоугольника;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }100\% – 20\% = 80\%$ - стала составлять длина;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }40 · 0,8 = 32$ (см) – стала длина прямоугольника;

$\mathbf{4}\mathbf{)} 100\% + 20\% = 120\%$ - стала составлять ширина;

$\mathbf{5}\mathbf{)}\mathbf{ }10 · 1,2 = 12$(см) – стала ширина прямоугольника;

$\mathbf{6}\mathbf{)} 32 · 12 = 384$ (см²) – стала площадь прямоугольника;

$\mathbf{7}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }384 : 400 · 100\% = 96\%$ - стала составлять площадь полученного прямоугольника;

$\mathbf{8}\mathbf{)}\mathbf{ }100\% – 96\% = 4\%$ - уменьшилась площадь.

Ответ: уменьшилась на 4%.

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдем первоначальную площадь прямоугольника.

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется как произведение его длины ($a$) на ширину ($b$).

$S_{начальная} = a_{начальная} \cdot b_{начальная}$

$a_{начальная} = 40$ см
$b_{начальная} = 10$ см

$S_{начальная} = 40 \text{ см} \cdot 10 \text{ см} = 400 \text{ см}^2$

2. Найдем новые размеры прямоугольника.

Длину уменьшили на 20 %. Найдем, какой стала новая длина:

$a_{новая} = 40 - 40 \cdot \frac{20}{100} = 40 - 40 \cdot 0.2 = 40 - 8 = 32$ см

Ширину увеличили на 20 %. Найдем, какой стала новая ширина:

$b_{новая} = 10 + 10 \cdot \frac{20}{100} = 10 + 10 \cdot 0.2 = 10 + 2 = 12$ см

3. Найдем новую площадь прямоугольника.

$S_{новая} = a_{новая} \cdot b_{новая} = 32 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} = 384 \text{ см}^2$

4. Сравним начальную и новую площади и найдем, на сколько процентов изменилась площадь.

Начальная площадь ($400 \text{ см}^2$) больше новой ($384 \text{ см}^2$), следовательно, площадь уменьшилась.

Найдем разницу в площади:

$\Delta S = S_{начальная} - S_{новая} = 400 - 384 = 16 \text{ см}^2$

Чтобы найти, на сколько процентов изменилась площадь, нужно разделить разницу на начальную площадь и умножить на 100 %.

$\text{Процентное изменение} = \frac{\Delta S}{S_{начальная}} \cdot 100\% = \frac{16}{400} \cdot 100\% = 0.04 \cdot 100\% = 4\%$

Таким образом, площадь прямоугольника уменьшилась на 4 %.

Ответ: площадь прямоугольника уменьшилась на 4%.

П.69. После замены станка выпуск продукции вырос на 30 %, а после его усовершенствования − ещё на 5 %. На сколько процентов возрос выпуск продукции?

П.69

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }100\% + 30\% = 130\%$ - стал выпуск продукции после первого раза;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 130 · 0,05 = 6,5\%$ - увеличился выпуск после второго раза по сравнению с исходным;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 130 \%+ 6,5\% = 136,5\%$ - стал выпуск продукции после второго раза по сравнению с исходным;

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }136,5\% – 100\% = 36,5\%$ - возрос выпуск продукции

Ответ: на 36,5%.

Для решения этой задачи необходимо последовательно рассчитать изменение выпуска продукции. Примем первоначальный объем выпуска за $X$. Это значение соответствует $100\%$.

1. Первое увеличение выпуска.
После замены станка выпуск вырос на $30\%$. Новый объем выпуска можно найти, умножив первоначальный объем на коэффициент, соответствующий увеличению на $30\%$. Этот коэффициент равен $1 + \frac{30}{100} = 1,3$.
Таким образом, выпуск после замены станка стал равен: $X_1 = X \times 1,3 = 1,3X$

2. Второе увеличение выпуска.
Далее, после усовершенствования, выпуск вырос ещё на $5\%$. Важно учесть, что это увеличение рассчитывается от нового, уже увеличенного, объема ($X_1$), а не от первоначального ($X$). Коэффициент увеличения на $5\%$ равен $1 + \frac{5}{100} = 1,05$.
Окончательный выпуск продукции ($X_2$) составит: $X_2 = X_1 \times 1,05 = (1,3X) \times 1,05$

3. Расчет общего увеличения.
Теперь вычислим итоговый объем выпуска: $X_2 = 1,3 \times 1,05 \times X = 1,365X$

Чтобы найти, на сколько процентов возрос итоговый выпуск по сравнению с первоначальным, нужно найти разницу между конечным и начальным значениями, разделить ее на начальное значение и выразить в процентах. Общее процентное увеличение = $\frac{X_2 - X}{X} \times 100\% = \frac{1,365X - X}{X} \times 100\% = \frac{0,365X}{X} \times 100\% = 0,365 \times 100\% = 36,5\%$

Ответ: $36,5\%$

П.70. В первый день Таня прочитала 16 всей книги, во второй − 29 всей книги. После этого ей осталось прочитать ещё 88 страниц. Сколько страниц в книге?

П.70

Пусть х стр. – всего страниц в книге, тогда $\frac{1}{6} х$ стр. – прочитала в 1 день, $\frac{2}{9} х$ стр. – прочитала во 2 день. Зная, что 88 стр. прочитала в 3 день, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х - \left({\frac{1}{6}}^{\overline{)·3}} х + {\frac{2}{9}}^{\overline{)·2}}х\right) = 88; \\ х - \left(\frac{3}{18} х + \frac{4}{18}х\right) = 88; \\ х - \frac{7}{18}х = 88; \\ \frac{11}{18} х = 88; \\ х = 88 : \frac{11}{18}; \\ х = \stackrel{8}{\cancel{88}} · \frac{18}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{11}}}}; \\ х = 8 · \frac{18}{1}; \end{gathered}$$

х = 144 стр. – в книге.

Ответ: 144 страницы.

Чтобы найти общее количество страниц в книге, выполним следующие шаги:

1. Найдем, какую часть книги Таня прочитала за два дня.

Для этого необходимо сложить дроби, обозначающие части книги, прочитанные в первый и второй день. Приведем дроби $\frac{1}{6}$ и $\frac{2}{9}$ к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 6 и 9 равно 18.

$\frac{1}{6} + \frac{2}{9} = \frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{3}{18} + \frac{4}{18} = \frac{7}{18}$

Таким образом, за два дня Таня прочитала $\frac{7}{18}$ всей книги.

2. Определим, какую часть книги осталось прочитать.

Всю книгу принимаем за 1. Чтобы найти оставшуюся часть, нужно из целого вычесть прочитанную часть:

$1 - \frac{7}{18} = \frac{18}{18} - \frac{7}{18} = \frac{11}{18}$

Значит, Тане осталось прочитать $\frac{11}{18}$ всей книги.

3. Найдем общее количество страниц в книге.

Из условия задачи мы знаем, что оставшаяся часть, равная $\frac{11}{18}$, составляет 88 страниц. Чтобы найти общее количество страниц (целое) по его известной части, нужно значение этой части (88) разделить на соответствующую ей дробь ($\frac{11}{18}$).

$88 : \frac{11}{18} = 88 \cdot \frac{18}{11} = \frac{88 \cdot 18}{11}$

Сократим 88 и 11 на 11:

$8 \cdot 18 = 144$

Следовательно, всего в книге 144 страницы.

Ответ: 144 страницы.

П.71. В первый день со швейной фабрики отгрузили 49 имеющихся комплектов постельного белья, во второй день отгрузили 0,3 остатка. Сколько комплектов белья было на складе, если во второй день отгрузили 120 комплектов белья?

П.71

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$всех комплектов – осталось после первого дня;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }0,3 · \frac{5}{9} = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{3}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{10}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{9}}}} = \frac{1}{2} · \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ всех комплектов – отгрузили во второй день;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }120 : \frac{1}{6} = 120 · 6 = 720$(к.) – было на складе.

Ответ: 720 комплектов.

Для решения этой задачи будем двигаться в обратном порядке, от известных данных к искомой величине.

1. Найдем, сколько комплектов белья осталось на складе после первого дня.

В условии сказано, что во второй день отгрузили 0,3 остатка, и это составило 120 комплектов. Обозначим количество комплектов, оставшихся после первого дня, как $R$. Тогда можно составить уравнение:

$0,3 \cdot R = 120$

Чтобы найти $R$, нужно разделить 120 на 0,3:

$R = \frac{120}{0,3} = \frac{1200}{3} = 400$

Следовательно, после первого дня на складе оставалось 400 комплектов белья.

2. Найдем, сколько всего комплектов белья было на складе изначально.

В первый день отгрузили $\frac{4}{9}$ всех имевшихся комплектов. Значит, на складе осталась часть, равная:

$1 - \frac{4}{9} = \frac{9}{9} - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

Эта часть ($\frac{5}{9}$ от общего количества) и есть те 400 комплектов, которые мы нашли в первом шаге. Обозначим первоначальное количество комплектов на складе как $x$. Тогда:

$\frac{5}{9}x = 400$

Чтобы найти $x$, нужно 400 разделить на дробь $\frac{5}{9}$:

$x = 400 \div \frac{5}{9} = 400 \cdot \frac{9}{5}$

Выполним вычисление:

$x = \frac{400 \cdot 9}{5} = 80 \cdot 9 = 720$

Таким образом, изначально на складе было 720 комплектов постельного белья.

Ответ: 720 комплектов.

П.72. На завод привезли 3 машины сахарной свёклы. В первой машине было 724 всей выращенной свёклы, во второй − 38 всей свёклы, а в третьей − на 1 т меньше, чем во второй. Сколько тонн свёклы привезли на завод? Сколько тонн сахара получится из этой свёклы, если 84 % ушло на отходы?

П.72

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }1 - \left(\frac{7}{24} + {\frac{3}{8}}^{\overline{)·3}}\right) = 1 - \left(\frac{7}{24} + \frac{9}{24}\right) =$

$= 1 - \frac{16}{24} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$ всей свеклы – было в третьей машине;

$\mathbf{2}\mathbf{)} {\frac{3}{8}}^{\overline{)·3}} - {\frac{1}{3}}^{\overline{)·8}} = \frac{9}{24} - \frac{8}{24} = \frac{1}{24}$ всей свеклы – было больше в третьей машине;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 1 : \frac{1}{24} = 1 · 24 = 24$ (т) свеклы – всего привезли;

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }100\% – 84\% = 16\%$ - получится сахара;

$\mathbf{5}\mathbf{)}\mathbf{ }24 · 0,16 = 3,84$ (т) – сахара получится

Ответ: 24 т свеклы; 3,84 т сахара

Сколько тонн свёклы привезли на завод?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это общее количество тонн свёклы, привезённой на завод.

Согласно условию:

• В первой машине было $ \frac{7}{24}x $ тонн свёклы.
• Во второй машине было $ \frac{3}{8}x $ тонн свёклы.
• В третьей машине было на 1 тонну меньше, чем во второй, то есть $ (\frac{3}{8}x - 1) $ тонн.

Сумма свёклы во всех трех машинах равна общему количеству $x$. Составим уравнение:

$ \frac{7}{24}x + \frac{3}{8}x + (\frac{3}{8}x - 1) = x $

Для решения уравнения приведём дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 24 и 8 — это 24.

$ \frac{3}{8} = \frac{3 \times 3}{8 \times 3} = \frac{9}{24} $

Подставим это значение в уравнение:

$ \frac{7}{24}x + \frac{9}{24}x + \frac{9}{24}x - 1 = x $

Сложим коэффициенты при $x$ в левой части:

$ (\frac{7+9+9}{24})x - 1 = x $

$ \frac{25}{24}x - 1 = x $

Теперь перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$ \frac{25}{24}x - x = 1 $

$ \frac{25}{24}x - \frac{24}{24}x = 1 $

$ \frac{1}{24}x = 1 $

$ x = 24 $

Таким образом, на завод привезли 24 тонны свёклы.

Ответ: 24 тонны.

Сколько тонн сахара получится из этой свёклы, если 84 % ушло на отходы?

Мы знаем, что общее количество привезённой свёклы — 24 тонны.

Если 84% массы свёклы ушло на отходы, то доля сахара составляет оставшуюся часть:

$ 100\% - 84\% = 16\% $

Теперь найдем, сколько тонн сахара составляет 16% от 24 тонн свёклы. Для этого умножим общее количество свёклы на долю сахара, выраженную в виде десятичной дроби ( $16\% = 0.16$ ):

$ 24 \text{ т} \times 0.16 = 3.84 \text{ т} $

Следовательно, из 24 тонн свёклы получится 3,84 тонны сахара.

Ответ: 3,84 тонны.

П.73. В начале года для класса были закуплены тетради в клетку и в линейку. К концу года количество израсходованных тетрадей в клетку составило 37 всех закупленных тетрадей, а количество тетрадей в линейку − 514 всех тетрадей. Сколько тетрадей осталось, если тетрадей в клетку было израсходовано на 10 больше, чем тетрадей в линейку?

П.73

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{3}{7}}^{\overline{)·2}} - \frac{5}{14} = \frac{6}{14} - \frac{5}{14} = \frac{1}{14}$ всех тетрадей – больше израсходовано в клетку;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }10 : \frac{1}{14} = 10 · 14 =140$ (т) – всего;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{3}{7}}^{\overline{)·2}} + \frac{5}{14} = \frac{6}{14} + \frac{5}{14} = \frac{11}{14}$ всех тетрадей – всего израсходовали;

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }1 - \frac{11}{14} = \frac{3}{14}$ всех тетрадей – осталось ;

$\mathbf{5}\mathbf{)} \stackrel{10}{\cancel{140}} · \frac{3}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{14}}}} = 10 · 3 =30$ (т) – осталось.

Ответ: 30 тетрадей.

Давайте решим эту задачу по шагам.

1. Пусть $x$ — это общее количество всех тетрадей, закупленных для класса.

2. Из условия мы знаем, что количество израсходованных тетрадей в клетку составило $\frac{3}{7}$ от всех закупленных тетрадей. Значит, их количество равно $\frac{3}{7}x$.

3. Количество израсходованных тетрадей в линейку составило $\frac{5}{14}$ от всех закупленных тетрадей. Их количество равно $\frac{5}{14}x$.

4. В задаче сказано, что тетрадей в клетку израсходовали на 10 больше, чем тетрадей в линейку. Мы можем составить уравнение, приравняв разницу между количеством израсходованных тетрадей в клетку и в линейку к 10:
$\frac{3}{7}x - \frac{5}{14}x = 10$

5. Теперь решим это уравнение, чтобы найти общее количество тетрадей $x$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю, который равен 14:
$\frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 2}x - \frac{5}{14}x = 10$
$\frac{6}{14}x - \frac{5}{14}x = 10$
$\frac{1}{14}x = 10$
Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 14:
$x = 10 \cdot 14 = 140$
Таким образом, всего для класса было закуплено 140 тетрадей.

6. Найдем, какую часть от всех тетрадей составляют израсходованные тетради. Для этого сложим части, соответствующие тетрадям в клетку и в линейку:
$\frac{3}{7} + \frac{5}{14} = \frac{6}{14} + \frac{5}{14} = \frac{11}{14}$
Значит, всего было израсходовано $\frac{11}{14}$ всех тетрадей.

7. Рассчитаем количество израсходованных тетрадей в штуках:
$140 \cdot \frac{11}{14} = 10 \cdot 11 = 110$ (тетрадей).

8. Чтобы найти, сколько тетрадей осталось, нужно из общего количества закупленных тетрадей вычесть количество израсходованных:
$140 - 110 = 30$ (тетрадей).

Ответ: осталось 30 тетрадей.

П.74. В школьной библиотеке книги с художественными произведениями составляют 34 всех книг библиотеки, научно−популярные книги составляют 310 от числа художественных, а остальные 160 книг − справочники. Сколько всего книг в библиотеке?

П.74

$\mathbf{1}\mathbf{)} \frac{3}{10} · \frac{3}{4} = \frac{9}{40}$ всех книг – составляют научно – популярные книги;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 1 - \left(\frac{3}{4} + \frac{9}{40}\right) = 1 - \left(\frac{30}{40} + \frac{9}{40}\right) =$

$=1 - \frac{39}{40} = \frac{1}{40}$ всех книг – составляют справочники;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 160 : \frac{1}{40}= 160 · 40 = 6400$ (к) – всего в библиотеке.

Ответ: 6400 книг.

Для решения этой задачи выполним действия по шагам.

Из условия известно, что книги с художественными произведениями составляют $ \frac{3}{4} $ от всех книг в библиотеке. Научно-популярные книги составляют $ \frac{3}{10} $ от числа художественных. Чтобы найти, какую долю научно-популярные книги составляют от всех книг, нужно найти часть от части, то есть перемножить эти дроби:

$ \frac{3}{4} \times \frac{3}{10} = \frac{3 \times 3}{4 \times 10} = \frac{9}{40} $

Таким образом, научно-популярные книги составляют $ \frac{9}{40} $ от общего числа книг в библиотеке.

Для этого сложим их доли:

$ \frac{3}{4} + \frac{9}{40} $

Чтобы сложить эти дроби, приведем их к общему знаменателю 40. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на 10:

$ \frac{3}{4} = \frac{3 \times 10}{4 \times 10} = \frac{30}{40} $

Теперь выполним сложение:

$ \frac{30}{40} + \frac{9}{40} = \frac{30 + 9}{40} = \frac{39}{40} $

Итак, художественная и научно-популярная литература вместе составляют $ \frac{39}{40} $ всех книг.

Все книги в библиотеке представляют собой целое, то есть 1 (или $ \frac{40}{40} $). Остальные книги — это справочники. Чтобы найти их долю, нужно из целого вычесть долю художественных и научно-популярных книг:

$ 1 - \frac{39}{40} = \frac{40}{40} - \frac{39}{40} = \frac{1}{40} $

Следовательно, справочники составляют $ \frac{1}{40} $ всех книг в библиотеке.

В условии сказано, что количество справочников равно 160. Мы выяснили, что это составляет $ \frac{1}{40} $ от всех книг. Чтобы найти общее количество книг (найти целое по его части), нужно число книг, соответствующее этой части (160), разделить на саму дробь ($ \frac{1}{40} $):

$ 160 \div \frac{1}{40} = 160 \times \frac{40}{1} = 160 \times 40 = 6400 $

Ответ: всего в библиотеке 6400 книг.

П.75. Типография получила 12,5 т бумаги. За два дня израсходовали 36 % всей полученной бумаги, причём во второй день было израсходовано бумаги в полтора раза больше, чем в первый день. Сколько бумаги израсходовала типография в первый день?

П.75

$\mathbf{1}\mathbf{)} 12,5 · 0,36 = 4,5$(т) бумаги – израсходовали за два дня

Пусть х т бумаги – израсходовали в первый день, тогда 1,5х т бумаги – израсходовали во второй день, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х + 1,5х = 4,5; \\ 2,5х = 4,5; \\ х = 4,5 : 2,5; \\ х = 45 : 25; \end{gathered}$$

х = 1,8 (т) бумаги – израсходовали в первый день.

Ответ: 1,8 т

Для решения задачи необходимо выполнить несколько шагов.

1. Сначала найдём общее количество бумаги, израсходованное за два дня. По условию, это $36\%$ от всего полученного количества, которое составляет $12,5$ тонн.
Чтобы найти процент от числа, нужно это число умножить на долю, выраженную в сотых:
$12,5 \cdot \frac{36}{100} = 12,5 \cdot 0,36 = 4,5$ т.
Таким образом, за два дня было израсходовано $4,5$ тонны бумаги.

2. Теперь составим уравнение для нахождения количества бумаги, израсходованной в первый день.
Пусть $x$ — это количество тонн бумаги, израсходованное в первый день.
Согласно условию, во второй день было израсходовано в полтора ($1,5$) раза больше, чем в первый. Значит, расход во второй день составляет $1,5x$ тонн.
Суммарный расход за два дня равен $x + 1,5x$, и мы уже знаем, что он составляет $4,5$ тонны. Получаем уравнение:
$x + 1,5x = 4,5$

3. Решим полученное уравнение:
$2,5x = 4,5$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $2,5$:
$x = \frac{4,5}{2,5}$
Для удобства вычислений можно умножить числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от дробей:
$x = \frac{45}{25} = 1,8$
Следовательно, в первый день было израсходовано $1,8$ тонны бумаги.

Ответ: в первый день типография израсходовала 1,8 т бумаги.