Страница 126, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

В.33. Что такое обыкновенная дробь? Что выражает её знаменатель; числитель?

В.33
Запись вида $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$ называют обыкновенной дробью.

а – числитель дроби, b – знаменатель дроби.

Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое, а числитель – сколько таких частей взяли.

Что такое обыкновенная дробь?

Обыкновенная дробь — это форма представления числа в виде части целого. Она показывает одну или несколько равных долей единицы или любого другого целого объекта. Обыкновенная дробь записывается с помощью двух чисел, которые разделены горизонтальной или косой чертой. Эта черта называется дробной чертой и по сути является знаком деления.
Общий вид обыкновенной дроби: $ \frac{m}{n} $, где $m$ — это числитель дроби (число, стоящее над чертой), а $n$ — её знаменатель (число, стоящее под чертой). Знаменатель дроби по определению не может быть равен нулю.
Например, если пирог разрезали на 8 равных кусков и взяли 3 из них, то взятая часть пирога будет составлять $ \frac{3}{8} $ от всего пирога.

Ответ: Обыкновенная дробь — это число, представляющее собой одну или несколько равных долей единицы и записываемое в виде $ \frac{m}{n} $, где $m$ — числитель, а $n$ — знаменатель.

Что выражает её знаменатель, числитель?

Знаменатель (в дроби $ \frac{m}{n} $ это число $n$) — это число под дробной чертой. Он показывает, на какое общее количество равных частей (долей) было разделено целое. Знаменатель отвечает на вопрос «на сколько частей разделили?». В примере с пирогом $ \frac{3}{8} $, знаменатель 8 означает, что пирог разделили на 8 равных кусков.

Числитель (в дроби $ \frac{m}{n} $ это число $m$) — это число над дробной чертой. Он показывает, сколько таких равных частей было взято или рассматривается. Числитель отвечает на вопрос «сколько частей взяли?». В дроби $ \frac{3}{8} $ числитель 3 означает, что из 8 равных кусков пирога было взято 3.

Ответ: Знаменатель выражает общее количество равных долей, на которые разделено целое, а числитель выражает количество взятых или рассматриваемых равных долей.

В.34. Какая дробь называется правильной; неправильной?

В.34

Правильной называют дробь, числитель которой меньше знаменателя.

Неправильной называют дробь, числитель которой больше или равен знаменателю.

правильной
Дробь называется правильной, если её числитель (число, стоящее над чертой) меньше её знаменателя (числа, стоящего под чертой). Если представить обыкновенную дробь в виде $\frac{a}{b}$, где $a$ — числитель, а $b$ — знаменатель (при этом $b \neq 0$), то для правильной дроби должно выполняться условие $a < b$.
Значение любой правильной дроби всегда меньше 1.
Например: дроби $\frac{2}{5}$, $\frac{1}{8}$, $\frac{99}{100}$ являются правильными, так как в каждой из них числитель меньше знаменателя ($2 < 5$, $1 < 8$, $99 < 100$).
Ответ: Дробь называется правильной, если её числитель меньше знаменателя.

неправильной
Дробь называется неправильной, если её числитель больше или равен её знаменателю. Для обыкновенной дроби $\frac{a}{b}$ это означает, что должно выполняться условие $a \ge b$.
Значение любой неправильной дроби всегда больше или равно 1.

• Если числитель больше знаменателя, то значение дроби больше 1. Пример: $\frac{7}{4}$.
• Если числитель равен знаменателю, то значение дроби равно 1. Пример: $\frac{4}{4} = 1$.

Другие примеры: $\frac{10}{3}$, $\frac{5}{5}$, $\frac{21}{10}$ — это неправильные дроби, потому что $10 > 3$, $5 = 5$ и $21 > 10$.
Ответ: Дробь называется неправильной, если её числитель больше или равен знаменателю.

В.35. Как найти целую и дробную части неправильной дроби? Что такое смешанное число?

Как найти целую и дробную части неправильной дроби?
Неправильной дробью называется дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему (например, $ \frac{11}{4} $ или $ \frac{5}{5} $). Чтобы найти (или выделить) целую и дробную части такой дроби, необходимо выполнить следующие действия:
1. Разделить числитель дроби на ее знаменатель с остатком.
2. Полученное в результате деления неполное частное станет целой частью.
3. Остаток от деления станет числителем дробной части.
4. Знаменатель дробной части останется таким же, как и у исходной неправильной дроби.

Пример: Выделим целую и дробную части из неправильной дроби $ \frac{23}{5} $.
1. Делим 23 на 5: $ 23 \div 5 = 4 $ с остатком $ 3 $.
2. Целая часть равна 4.
3. Числитель дробной части равен 3.
4. Знаменатель остается 5.
В результате мы получаем число $ 4\frac{3}{5} $, которое называется смешанным числом.
Таким образом, $ \frac{23}{5} = 4\frac{3}{5} $.

Ответ: Чтобы найти целую и дробную части неправильной дроби, нужно ее числитель разделить на знаменатель с остатком. Неполное частное будет целой частью, остаток — числителем дробной части, а знаменатель останется прежним.

Что такое смешанное число?
Смешанное число (или смешанная дробь) — это число, которое содержит целую часть (натуральное число или ноль) и дробную часть (обязательно правильную дробь). Правильная дробь — это такая дробь, у которой числитель меньше знаменателя.
Смешанное число по сути представляет собой сумму его целой и дробной частей. Например, запись $ 7\frac{1}{2} $ означает $ 7 + \frac{1}{2} $.

Примеры смешанных чисел:
• $ 2\frac{3}{4} $ (целая часть — 2, дробная часть — $ \frac{3}{4} $)
• $ 15\frac{8}{11} $ (целая часть — 15, дробная часть — $ \frac{8}{11} $)
• $ 1\frac{1}{100} $ (целая часть — 1, дробная часть — $ \frac{1}{100} $)

Смешанные числа — это удобный способ записи неправильных дробей, значение которых больше единицы.

Ответ: Смешанное число — это число, записанное в виде суммы целого числа и правильной дроби.

В.36. Как сравнивают смешанные числа?

В.36

Из двух смешанных чисел больше то число, у которого больше целая часть.

Если целые части равны, то сравниваем дробные части, приведя их к общему знаменателю, и сравнивая числители.

Смешанное число состоит из целой части (натуральное число) и дробной части (правильная дробь). Например, в числе $3\frac{2}{5}$ целая часть — это $3$, а дробная — $\frac{2}{5}$. Сравнение смешанных чисел выполняется по следующему алгоритму:

1. Сравнение целых частей

Первым шагом всегда является сравнение целых частей двух чисел. То смешанное число будет больше, у которого целая часть больше. Если целые части различны, то сравнивать дробные части не нужно.

Пример: Сравним числа $5\frac{1}{8}$ и $7\frac{3}{4}$.

Сравниваем их целые части: $5$ и $7$.

Поскольку $5 < 7$, то и все число $5\frac{1}{8}$ меньше, чем $7\frac{3}{4}$.

$5\frac{1}{8} < 7\frac{3}{4}$

2. Сравнение дробных частей (при равных целых частях)

Если целые части у сравниваемых чисел одинаковы, то для определения, какое из чисел больше, нужно сравнить их дробные части. Большим будет то число, у которого дробная часть больше.

Пример: Сравним числа $4\frac{3}{5}$ и $4\frac{2}{3}$.

Целые части у них одинаковы: $4=4$.

Теперь нужно сравнить их дробные части: $\frac{3}{5}$ и $\frac{2}{3}$.

Для сравнения дробей с разными знаменателями их нужно привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $5$ и $3$ — это $15$.

Приведем первую дробь к знаменателю $15$: $\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15}$.

Приведем вторую дробь к знаменателю $15$: $\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15}$.

Теперь сравним полученные дроби: $\frac{9}{15} < \frac{10}{15}$.

Так как дробная часть первого числа меньше дробной части второго, то и $4\frac{3}{5} < 4\frac{2}{3}$.

3. Альтернативный метод: перевод в неправильную дробь

Можно оба смешанных числа представить в виде неправильных дробей и затем сравнить их. Чтобы перевести смешанное число $A\frac{b}{c}$ в неправильную дробь, нужно целую часть умножить на знаменатель, прибавить числитель и результат записать в числитель новой дроби, а знаменатель оставить без изменений: $A\frac{b}{c} = \frac{A \cdot c + b}{c}$.

Пример: Снова сравним $4\frac{3}{5}$ и $4\frac{2}{3}$.

Переведем их в неправильные дроби:

$4\frac{3}{5} = \frac{4 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{23}{5}$

$4\frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{14}{3}$

Теперь сравним дроби $\frac{23}{5}$ и $\frac{14}{3}$, приведя их к общему знаменателю $15$:

$\frac{23}{5} = \frac{23 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{69}{15}$

$\frac{14}{3} = \frac{14 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{70}{15}$

Поскольку $\frac{69}{15} < \frac{70}{15}$, то и $4\frac{3}{5} < 4\frac{2}{3}$.

Ответ: Чтобы сравнить два смешанных числа, сначала сравнивают их целые части. Большим является то число, у которого целая часть больше. Если целые части равны, то сравнивают дробные части: большим будет то число, у которого дробная часть больше. Для сравнения дробных частей их приводят к общему знаменателю. В качестве альтернативы можно перевести оба смешанных числа в неправильные дроби и затем сравнить их между собой.

В.37. Сформулируйте основное свойство дроби. Где оно применяется?

В.37

Если числитель и знаменатель обыкновенной дроби, умножить (или разделить) на одно и то же не равное нулю, то получится дробь, равная данной.

Основное свойство дроби применяют при сокращении дробей и приведении дробей к общему знаменателю.

Сформулируйте основное свойство дроби.

Основное свойство дроби заключается в следующем: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится равная ей дробь.

Математически это можно записать так: для любой дроби $\frac{a}{b}$ и любого числа $c$, где $b \neq 0$ и $c \neq 0$, справедливы равенства:
$\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c}$
и
$\frac{a}{b} = \frac{a \div c}{b \div c}$ (при условии, что $a$ и $b$ делятся на $c$ без остатка).

Например, дробь $\frac{1}{2}$ равна дроби $\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6}$. И наоборот, дробь $\frac{8}{10}$ равна дроби $\frac{8 \div 2}{10 \div 2} = \frac{4}{5}$. Величина дроби при этом не изменяется.

Ответ: Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то значение дроби не изменится.

Где оно применяется?

Основное свойство дроби является фундаментальным инструментом для выполнения различных операций с дробями и широко применяется в математике. Вот основные области его применения:

1. Сокращение дробей. Это упрощение дроби путем деления ее числителя и знаменателя на их общий делитель (чаще всего на наибольший общий делитель - НОД). Это делает дробь более простой для восприятия и дальнейших вычислений.
Пример: Сократим дробь $\frac{18}{24}$. Наибольший общий делитель чисел 18 и 24 равен 6.
$\frac{18}{24} = \frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4}$

2. Приведение дробей к общему знаменателю. Это необходимое действие для сложения и вычитания дробей с разными знаменателями. Дроби приводятся к новому, общему для них знаменателю (обычно к наименьшему общему кратному - НОК) путем умножения числителя и знаменателя каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель.
Пример: Сложим дроби $\frac{2}{3}$ и $\frac{1}{4}$. Наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 4 равно 12.
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$
$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12}$
Теперь можно выполнить сложение: $\frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}$

3. Сравнение дробей. Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, их удобнее всего привести к общему знаменателю. После этого сравниваются их числители: та дробь больше, у которой числитель больше.
Пример: Сравним дроби $\frac{5}{6}$ и $\frac{7}{9}$. Общий знаменатель - 18.
$\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{15}{18}$
$\frac{7}{9} = \frac{7 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{14}{18}$
Так как $15 > 14$, то $\frac{15}{18} > \frac{14}{18}$, а значит $\frac{5}{6} > \frac{7}{9}$.

4. Упрощение рациональных выражений в алгебре. В алгебре основное свойство дроби применяется для упрощения дробей, содержащих переменные.
Пример: Упростим выражение $\frac{x^2 - 4}{x+2}$ при $x \neq -2$.
$\frac{x^2 - 4}{x+2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x+2} = x-2$

Ответ: Основное свойство дроби применяется для сокращения дробей, приведения дробей к общему знаменателю (при сложении, вычитании и сравнении), а также для упрощения рациональных выражений в алгебре.

В.38. Какая дробь называется десятичной?

В.38

Десятичной называется дробь, знаменатель которой можно выразить числом, состоящим из единиц и нулей.

В.38

Десятичная дробь — это особый способ записи обыкновенной дроби, знаменатель которой является степенью числа 10, то есть $10^1=10$, $10^2=100$, $10^3=1000$ и так далее.

Главная особенность десятичных дробей заключается в их позиционной записи без явного указания знаменателя. Целая часть числа отделяется от дробной с помощью специального символа — десятичного разделителя. В России и многих других странах в качестве разделителя используется запятая.

Число слева от запятой называется целой частью, а число справа — дробной частью. Количество цифр в дробной части (десятичных знаков) соответствует показателю степени в знаменателе $10^n$ исходной обыкновенной дроби.

Примеры преобразования обыкновенных дробей в десятичные:

• Дробь $\frac{3}{10}$ имеет в знаменателе $10^1$, поэтому в десятичной записи будет один знак после запятой: $0,3$. Читается как "ноль целых, три десятых".
• Дробь $\frac{47}{100}$ имеет в знаменателе $10^2$, поэтому будет два знака после запятой: $0,47$. Читается как "ноль целых, сорок семь сотых".
• Дробь $\frac{5}{1000}$ имеет в знаменателе $10^3$. Чтобы получить три знака после запятой, перед цифрой 5 нужно дописать нули: $0,005$. Читается как "ноль целых, пять тысячных".
• Смешанное число, например $8\frac{19}{100}$, записывается так: целая часть остаётся целой частью, а дробная часть записывается после запятой. Получаем $8,19$. Читается как "восемь целых, девятнадцать сотых".

Не любую обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби. Это возможно только в том случае, если знаменатель несократимой дроби не содержит никаких других простых множителей, кроме 2 и 5. В противном случае получается бесконечная периодическая десятичная дробь.

Ответ: Десятичной дробью называется результат деления числителя на знаменатель, представленный в позиционной системе, где дробная часть отделяется от целой запятой, а знаменателем неявно выступает степень числа 10 ($10, 100, 1000, \dots$).

В.39. Как сравнивают десятичные дроби?

В.39

Чтобы сравнить две десятичные дроби, надо:
1) уравнять в них число десятичных знаков
2) отбросив запятую, сравнить полученные натуральные числа.

Для сравнения двух десятичных дробей используется поразрядный метод, который выполняется в несколько шагов.

Шаг 1: Сравнение целых частей

В первую очередь сравниваются целые части дробей (числа, расположенные слева от десятичной запятой). Большей считается та дробь, у которой целая часть больше. Если целые части равны, переходят к следующему шагу.

• Пример: Сравним дроби $14.25$ и $9.8$.
• Целая часть первой дроби равна $14$, а второй — $9$.
• Поскольку $14 > 9$, то и вся дробь $14.25$ больше, чем $9.8$. То есть $14.25 > 9.8$.

Шаг 2: Сравнение дробных частей

Если целые части дробей оказались равны, начинают сравнивать их дробные части (цифры справа от запятой) поразрядно, двигаясь слева направо: сначала десятые, потом сотые, затем тысячные и так далее, до тех пор, пока не найдется разряд с разными цифрами.

Чтобы упростить сравнение, можно сначала уравнять количество цифр в дробной части у обеих дробей, дописав нули в конце той дроби, у которой знаков после запятой меньше. Это не изменит ее величину (например, $5.3 = 5.30 = 5.300$).

• Пример 1: Сравним дроби $18.5$ и $18.39$.
• Целые части равны: $18 = 18$.
• Переходим к дробной части. Сравниваем цифры в разряде десятых (первая цифра после запятой).
• У дроби $18.5$ в разряде десятых стоит $5$.
• У дроби $18.39$ в разряде десятых стоит $3$.
• Поскольку $5 > 3$, то $18.5 > 18.39$.

• Пример 2: Сравним дроби $0.72$ и $0.724$.
• Целые части равны: $0 = 0$.
• Сравниваем разряд десятых: $7 = 7$. Они равны.
• Сравниваем разряд сотых: $2 = 2$. Они тоже равны.
• Чтобы продолжить, уравняем количество знаков после запятой. Допишем ноль к дроби $0.72$, получим $0.720$.
• Теперь сравниваем $0.720$ и $0.724$.
• Сравниваем разряд тысячных: у первой дроби это $0$, у второй — $4$.
• Поскольку $0 < 4$, то $0.72 < 0.724$.

Если после уравнивания количества знаков все цифры и в целой, и в дробной частях совпадают, то дроби равны.

• Пример: Сравним $45.6$ и $45.600$.
• Целые части равны ($45 = 45$).
• Уравняем знаки после запятой: $45.6$ превращается в $45.600$.
• Дроби $45.600$ и $45.600$ полностью совпадают, следовательно, $45.6 = 45.600$.

Ответ: Чтобы сравнить две десятичные дроби, сначала сравнивают их целые части. Если целые части не равны, то больше та дробь, у которой целая часть больше. Если целые части равны, то сравнивают дробные части поразрядно слева направо (десятые, сотые и т.д.) до первой несовпадающей цифры. Больше та дробь, у которой эта цифра больше.

В.40. Что значит округлить натуральное число или десятичную дробь до данного разряда? Какие правила округления вы знаете?

В.40

Округлить число – значит сократить его значение до нужного разряда.

Чтобы округлить число в десятичной записи до какого-нибудь разряда, нужно:
1) к цифре этого разряда добавить 1, если справа от нее стоит цифра 5, 6, 7, 9 или 9

2) оставить цифру без изменения, если справа от нее стоит цифра 0, 1, 2, 3 или 4

3) все следующие за этим разрядом цифры заменить нулями в целой части, а в дробной части отбросить.

Что значит округлить натуральное число или десятичную дробь до данного разряда?

Округлить натуральное число или десятичную дробь до данного разряда — это значит заменить это число на его приближенное значение, которое имеет нули во всех разрядах правее заданного (для натуральных чисел) или не имеет цифр правее заданного разряда (для десятичных дробей). При этом значение исходного числа изменяется незначительно.

Процесс округления позволяет упростить число, сделав его более удобным для расчетов или восприятия, пожертвовав при этом некоторой точностью. Выбор разряда для округления определяет, насколько точным будет результат.

Например, если нужно округлить число 12 345 до разряда сотен, мы смотрим на цифру в этом разряде (3) и на следующую за ней (4). Так как 4 меньше 5, мы оставляем цифру сотен без изменений, а все последующие разряды (десятки и единицы) заменяем нулями. Получается 12 300. Число 12 300 является приближенным значением числа 12 345, округленным до сотен.

В случае с десятичной дробью, например, 8,7654, при округлении до сотых мы смотрим на цифру в разряде сотых (6) и на следующую (5). Так как следующая цифра 5, мы увеличиваем цифру в разряде сотых на единицу ($6+1=7$), а все цифры правее отбрасываем. Получается 8,77.

Ответ: Округлить число до данного разряда — это заменить его на близкое по значению число, у которого все цифры, стоящие правее этого разряда, заменены нулями (для целой части) или отброшены (для дробной части).

Какие правила округления вы знаете?

Существуют стандартные правила математического округления, которые применяются для натуральных чисел и десятичных дробей. Для округления числа до определенного разряда необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти и мысленно подчеркнуть цифру в том разряде, до которого нужно округлить число. Эта цифра называется округляемой.
2. Посмотреть на цифру, стоящую справа от округляемой.
3. Если справа от округляемой цифры стоит цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то округляемую цифру оставляют без изменений.
4. Если справа от округляемой цифры стоит цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то округляемую цифру увеличивают на единицу.
5. Все цифры, стоящие справа от округляемого разряда, заменяются нулями, если они находятся в целой части числа, или отбрасываются, если они находятся в дробной части.

Примеры:

• Округление натурального числа:
  Округлим число 34 824 до тысяч.
  Разряд тысяч — это цифра 4. Следующая за ней цифра — 8.
  Так как $8 \ge 5$, то цифру в разряде тысяч увеличиваем на 1: $4 + 1 = 5$.
  Все цифры справа от разряда тысяч заменяем нулями.
  Результат: $34 824 \approx 35 000$.
• Округление десятичной дроби (с недостатком):
  Округлим число 15,748 до десятых.
  Разряд десятых — это цифра 7. Следующая за ней цифра — 4.
  Так как $4 < 5$, то цифру в разряде десятых оставляем без изменений.
  Все цифры справа от разряда десятых отбрасываем.
  Результат: $15,748 \approx 15,7$.
• Округление десятичной дроби (с избытком):
  Округлим число 0,1985 до тысячных.
  Разряд тысячных — это цифра 8. Следующая за ней цифра — 5.
  Так как $5 \ge 5$, то цифру в разряде тысячных увеличиваем на 1: $8 + 1 = 9$.
  Все цифры справа от разряда тысячных отбрасываем.
  Результат: $0,1985 \approx 0,199$.
• Случай с переходом через разряд:
  Округлим число 2,98 до десятых.
  Разряд десятых — это цифра 9. Следующая за ней цифра — 8.
  Так как $8 \ge 5$, то цифру 9 нужно увеличить на 1. Получается 10. В разряд десятых записываем 0, а 1 переносим в следующий (старший) разряд, то есть к целой части: $2+1 = 3$.
  Результат: $2,98 \approx 3,0$. (Ноль в конце важен, так как он указывает на точность округления до десятых).

Ответ: Чтобы округлить число, нужно найти цифру округляемого разряда. Если следующая за ней цифра от 0 до 4, то округляемую цифру не меняют, а если от 5 до 9 — увеличивают на 1. Все последующие цифры заменяют нулями (в целой части) или отбрасывают (в дробной).

В.41. Что называют средним арифметическим нескольких чисел?

В.41

Средним арифметическим нескольких чисел называют частное от деления суммы этих чисел на количество слагаемых.

Средним арифметическим нескольких чисел называют значение, которое получается в результате деления суммы всех этих чисел на их количество. Это число представляет собой "центральную точку" или "типичное значение" для данного набора данных.

Чтобы найти среднее арифметическое, нужно:
1. Найти сумму всех чисел в наборе.
2. Разделить эту сумму на количество чисел.

В общем виде формула для нахождения среднего арифметического $M$ для набора чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ выглядит следующим образом:
$M = \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n}$
где $a_1, a_2, \dots, a_n$ — это сами числа, а $n$ — их общее количество.

Пример:
Найдем среднее арифметическое для чисел 4, 9, 11.
Сначала сложим эти числа: $4 + 9 + 11 = 24$.
Всего в наборе 3 числа.
Теперь разделим сумму на количество: $24 \div 3 = 8$.
Таким образом, среднее арифметическое чисел 4, 9 и 11 равно 8.

Ответ: Средним арифметическим нескольких чисел называют частное от деления суммы этих чисел на их количество.

В.42. Как найти дробь от числа; число по значению его дроби?

В.42

Чтобы найти дробь от числа, нужно число умножить на эту дробь.

Чтобы найти число по значению его дроби, нужно это значение разделить на дробь.

Как найти дробь от числа

Чтобы найти дробь от заданного числа, нужно это число умножить на данную дробь. Это действие основано на определении умножения числа на дробь, где мы берем определенную часть от этого числа.

Пример:
Требуется найти $\frac{2}{5}$ от числа 60.

Решение:
Для этого умножим число 60 на дробь $\frac{2}{5}$:
$60 \cdot \frac{2}{5} = \frac{60 \cdot 2}{5} = \frac{120}{5} = 24$

Таким образом, $\frac{2}{5}$ от числа 60 равны 24.

Ответ: Чтобы найти дробь от числа, необходимо умножить это число на данную дробь.

число по значению его дроби

Чтобы найти число по известному значению его дроби, нужно это значение разделить на данную дробь. Это обратная операция по отношению к нахождению дроби от числа.

Пример:
Найдем число, если известно, что его $\frac{3}{4}$ равны 21.

Решение:
Для нахождения исходного числа разделим известное значение (21) на дробь ($\frac{3}{4}$), которую это значение составляет. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь.
$21 : \frac{3}{4} = 21 \cdot \frac{4}{3} = \frac{21 \cdot 4}{3} = 7 \cdot 4 = 28$

Следовательно, искомое число, $\frac{3}{4}$ которого равны 21, это 28.

Ответ: Чтобы найти число по значению его дроби, необходимо это значение разделить на данную дробь.

В.43. Как найти масштаб карты; расстояние на местности, соответствующее расстоянию на карте?

В.43

Чтобы найти масштаб карты, нужно реальное расстояние разделить на расстояние, изображенное на карте.

Чтобы найти расстояние на местности, нужно расстояние на карте умножить на масштаб карты.

Как найти масштаб карты;

Масштаб карты — это степень уменьшения изображения местности на карте по сравнению с реальными размерами. Он показывает, какое расстояние на местности соответствует одному сантиметру (или другой единице измерения) на карте. Чтобы найти масштаб, необходимо знать реальное расстояние между двумя объектами, которые также изображены на карте.

Порядок действий для определения масштаба:
1. Измерьте расстояние между двумя известными точками на карте (обозначим его $L_{карта}$). Это можно сделать с помощью линейки.
2. Узнайте точное расстояние между этими же точками на местности (обозначим его $L_{местность}$).
3. Выразите оба расстояния в одинаковых единицах измерения. Удобнее всего использовать сантиметры.
4. Разделите расстояние на карте на расстояние на местности. Полученное отношение и будет численным масштабом, который обычно представляют в виде дроби с числителем 1.

Пример:
Предположим, расстояние между двумя населенными пунктами на карте составляет 5 см ($L_{карта} = 5 \text{ см}$), а реальное расстояние между ними — 10 км ($L_{местность} = 10 \text{ км}$).

Сначала приведем реальное расстояние к сантиметрам:
$10 \text{ км} = 10 \times 1000 \text{ м} = 10 000 \text{ м}$
$10 000 \text{ м} = 10 000 \times 100 \text{ см} = 1 000 000 \text{ см}$

Теперь найдем масштаб, составив отношение:
$Масштаб = \frac{L_{карта}}{L_{местность}} = \frac{5 \text{ см}}{1 000 000 \text{ см}} = \frac{1}{200 000}$
Таким образом, численный масштаб карты — 1:200 000.

Ответ: Чтобы найти масштаб карты, нужно разделить расстояние на карте на соответствующее ему расстояние на местности, предварительно приведя их к одинаковым единицам измерения. Формула: $Масштаб = \frac{L_{карта}}{L_{местность}}$.

расстояние на местности, соответствующее расстоянию на карте?

Чтобы найти реальное расстояние на местности, зная расстояние на карте и ее масштаб, необходимо выполнить обратное действие.

Порядок действий для определения расстояния на местности:
1. Определите численный масштаб карты. Он всегда указывается на ней и имеет вид 1:N (например, 1:100 000). Число N называется знаменателем масштаба и показывает, во сколько раз изображение уменьшено.
2. Измерьте линейкой расстояние между интересующими вас точками на карте в сантиметрах ($L_{карта}$).
3. Умножьте измеренное на карте расстояние на знаменатель масштаба (N). Полученный результат будет реальным расстоянием в сантиметрах.
$L_{местность} = L_{карта} \cdot N$
4. Для практического использования переведите результат в более крупные единицы — метры (разделив на 100) или километры (разделив на 100 000).

Пример:
Масштаб карты 1:50 000. Расстояние между двумя объектами на карте составляет 8 см ($L_{карта} = 8 \text{ см}$).

Найдем реальное расстояние в сантиметрах:
$L_{местность} = 8 \text{ см} \cdot 50 000 = 400 000 \text{ см}$

Теперь переведем это расстояние в километры:
$400 000 \text{ см} \div 100 = 4000 \text{ м}$
$4000 \text{ м} \div 1000 = 4 \text{ км}$
Следовательно, 8 см на данной карте соответствуют 4 км на местности.

Ответ: Чтобы найти расстояние на местности, нужно расстояние, измеренное на карте, умножить на знаменатель численного масштаба (число N в записи 1:N). Формула: $L_{местность} = L_{карта} \cdot N$.

В.44. Что значит сравнить два отрезка? Какие отрезки называют равными? В каких единицах измеряется длина отрезка?

В.44

Сравнить два отрезка – это значит выяснить, какой из них длиннее (или короче) другого, т.е. сравнить их длины, или показать, что они равны.

Два отрезка равны, если их длины равны.

Единицы измерения отрезком: мм, см, дм, м, км.

Что значит сравнить два отрезка?

Сравнить два отрезка — это определить, какой из них длиннее, какой короче, или установить, что они равны. Существует два основных способа сравнения:

1. Геометрический способ (наложение): Один отрезок мысленно или физически накладывают на другой так, чтобы один из их концов совпал. Тогда возможны три случая:
   • Если вторые концы отрезков тоже совпадают, то отрезки равны.
   • Если второй конец первого отрезка оказывается между концами второго, то первый отрезок короче второго.
   • Если второй отрезок целиком помещается внутри первого, то первый отрезок длиннее второго.
2. Алгебраический способ (сравнение длин): Длина каждого отрезка измеряется с помощью выбранной единицы измерения (например, сантиметра). Длина отрезка — это положительное число. Сравнить отрезки означает сравнить их числовые значения длин. Если длины отрезков $AB$ и $CD$ равны $l_1$ и $l_2$ соответственно, то:
   • отрезки равны, если $l_1 = l_2$;
   • отрезок $AB$ короче отрезка $CD$, если $l_1 < l_2$;
   • отрезок $AB$ длиннее отрезка $CD$, если $l_1 > l_2$.

Ответ:

Какие отрезки называют равными?

Равными называют отрезки, которые можно совместить наложением так, чтобы их концы совпали. Это означает, что равные отрезки имеют одинаковую длину. Если длина отрезка $AB$ равна длине отрезка $CD$, то говорят, что отрезок $AB$ равен отрезку $CD$, и записывают это как $AB = CD$.

Ответ:

В каких единицах измеряется длина отрезка?

Длина отрезка измеряется в единицах длины. Выбор единицы измерения зависит от размера самого отрезка. Основной единицей измерения длины в Международной системе единиц (СИ) является метр (м). Также широко используются производные от него и другие единицы:

• Метрическая система:
  • Миллиметры (мм): для очень маленьких отрезков (например, толщина листа бумаги).
  • Сантиметры (см): для небольших предметов (например, длина ручки, книги). $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.
  • Дециметры (дм): $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$.
  • Метры (м): для измерения, например, высоты комнаты, длины спортивной дорожки. $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.
  • Километры (км): для больших расстояний (например, между городами). $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$.
• Другие системы (например, имперская): дюймы, футы, ярды, мили.

Таким образом, длина отрезка может измеряться в миллиметрах, сантиметрах, метрах, километрах и других единицах длины.

Ответ:

В.45. Сколько прямых проходит через две точки?

В.45

Через две различные точки можно провести только одну прямую.

Этот вопрос затрагивает одну из основных аксиом евклидовой геометрии, которая является фундаментальным положением, принимаемым без доказательств. Эта аксиома гласит:

Через любые две различные точки проходит прямая, и притом только одна.

Данное утверждение можно разбить на две части для лучшего понимания:

1. Существование: Если у нас есть две точки в пространстве или на плоскости (например, точка А и точка В), то мы всегда можем провести через них прямую линию. Это интуитивно понятно: можно взять линейку, приложить ее к двум точкам и провести линию.

2. Единственность: Это ключевой момент. Невозможно провести через те же самые две точки А и В какую-либо другую прямую, которая бы не совпадала с первой. Любая попытка сделать это приведет лишь к повторному чертежу той же самой прямой. Именно поэтому говорят, что две точки однозначно задают прямую.

Для сравнения, через одну точку можно провести бесконечное множество прямых. Но как только мы добавляем вторую точку, через которую прямая также должна пройти, вариант остается только один.

Ответ: Через две точки проходит ровно одна прямая.

В.46. Какие прямые и отрезки называются перпендикулярными; параллельными?

В.46

Прямые, которые пересекаются под углом 90°, называются перпендикулярными

Отрезки, которые лежат на перпендикулярных прямых, называют перпендикулярными отрезками.

Прямые, которые не пересекаются, называют параллельными.

Отрезки, которые лежат на параллельных прямых, называют параллельными отрезками.

перпендикулярными

Две прямые называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они пересекаются под прямым углом. Величина прямого угла составляет $90^\circ$. Факт перпендикулярности прямой a и прямой b записывают с помощью специального знака $\perp$ так: $a \perp b$.

Два отрезка называются перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых. Аналогичным образом определяется перпендикулярность лучей, а также перпендикулярность отрезка или луча к прямой. Например, смежные стороны прямоугольника — это перпендикулярные отрезки.

Ответ: Прямые и отрезки называются перпендикулярными, если прямые, на которых они лежат, пересекаются под прямым углом ($90^\circ$).

параллельными

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Это означает, что у них нет ни одной общей точки, как бы далеко мы их не продолжали. Для обозначения параллельности прямых c и d используют знак $\parallel$: $c \parallel d$.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Также определяют параллельность лучей, отрезка и прямой, луча и прямой. Например, противоположные стороны параллелограмма — это параллельные отрезки.

Ответ: Прямые и отрезки называются параллельными, если прямые, на которых они лежат, не имеют общих точек (не пересекаются).

В.47. Какие многоугольники вы знаете? Что такое прямоугольник? Что такое квадрат?

В.47

Квадрат, прямоугольник, ромб, параллелограмм, трапеция, пятиугольник, шестиугольник.

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые.

Квадрат – это прямоугольник с равными сторонами.

Какие многоугольники вы знаете?

Многоугольник — это геометрическая фигура на плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией. Многоугольники классифицируются по числу сторон (и равного ему числу углов). Наиболее распространенные типы многоугольников:

• Треугольник — многоугольник с тремя сторонами.
• Четырехугольник — многоугольник с четырьмя сторонами. Существует множество частных случаев четырехугольников, например: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция.
• Пятиугольник — многоугольник с пятью сторонами.
• Шестиугольник — многоугольник с шестью сторонами.
• В общем случае многоугольник с $n$ сторонами называется n-угольником.

Также многоугольники бывают выпуклыми (когда все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины) и невыпуклыми. Если у многоугольника все стороны и все углы равны между собой, он называется правильным.

Ответ: Треугольник, четырехугольник (включая его частные случаи: прямоугольник, квадрат, ромб, трапеция), пятиугольник, шестиугольник и другие n-угольники.

Что такое прямоугольник?

Прямоугольник — это четырехугольник, у которого все углы прямые, то есть равны $90^\circ$.

Основные свойства прямоугольника:

• Противоположные стороны равны и параллельны. Если длины смежных сторон прямоугольника равны $a$ и $b$, то его периметр равен $P = 2(a+b)$.
• Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \cdot b$.
• Диагонали прямоугольника равны между собой и в точке пересечения делятся пополам.

Прямоугольник является частным случаем параллелограмма.

Ответ: Прямоугольник — это четырехугольник, у которого все углы прямые ($90^\circ$).

Что такое квадрат?

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Также квадрат можно определить как ромб, у которого все углы прямые. Таким образом, квадрат является правильным четырехугольником, так как у него равны все стороны и все углы.

Основные свойства квадрата:

• Все стороны равны. Если длина стороны квадрата равна $a$, то его периметр равен $P = 4a$.
• Все углы прямые ($90^\circ$).
• Площадь квадрата равна квадрату его стороны: $S = a^2$.
• Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, в точке пересечения делятся пополам и являются биссектрисами его углов.

Квадрат наследует все свойства прямоугольника и ромба.

Ответ: Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.

В.48. Какие многоугольники называют равными?

В.48

Многоугольники называют равными, если у них соответственные стороны и соответственные углы равны. Равные многоугольники при наложении совпадают.

Два многоугольника называют равными (или конгруэнтными), если их можно совместить друг с другом путем наложения так, чтобы они полностью совпали. Это означает, что один многоугольник можно получить из другого с помощью движений (параллельного переноса, поворота) и, возможно, симметрии (зеркального отражения).

Для того чтобы два многоугольника были равными, необходимо и достаточно выполнение двух условий:

• У них должно быть одинаковое количество вершин (и, следовательно, сторон).
• Их соответствующие стороны и соответствующие углы должны быть равны.

Например, если мы рассматриваем два n-угольника $P_1$ с вершинами $A_1, A_2, \dots, A_n$ и $P_2$ с вершинами $B_1, B_2, \dots, B_n$, то они будут равны ($P_1 = P_2$), если:

• Длины их соответствующих сторон равны: $A_1A_2 = B_1B_2$, $A_2A_3 = B_2B_3$, $\dots$, $A_nA_1 = B_nB_1$.
• Величины их соответствующих углов равны: $\angle A_1 = \angle B_1$, $\angle A_2 = \angle B_2$, $\dots$, $\angle A_n = \angle B_n$.

Проще говоря, равные многоугольники — это точные копии друг друга, которые могут отличаться лишь своим положением и ориентацией на плоскости или в пространстве.

Ответ: Равными называют многоугольники, которые можно совместить наложением. У таких многоугольников соответственно равны все стороны и все углы.

В.49. Что такое окружность? Что такое центр окружности; радиус окружности?

В.49

Замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от данной точки, называют окружностью. Данная точка называется центром окружности.

Отрезок, соединяющий точку на окружности с ее центром, называют радиусом окружности.

Что такое окружность?

Окружность — это геометрическая фигура на плоскости, которая состоит из всех точек, находящихся на одинаковом заданном расстоянии от одной данной точки. Эта данная точка называется центром окружности, а само заданное расстояние — радиусом. Окружность представляет собой замкнутую кривую линию, которая является границей круга (часть плоскости, ограниченная окружностью).

Ответ: Окружность — это множество всех точек плоскости, равноудаленных от заданной точки, называемой центром.

Что такое центр окружности; радиус окружности?

Центр окружности — это точка на плоскости, от которой равноудалены все точки, лежащие на окружности. Центр является точкой отсчета для построения окружности и, как правило, обозначается буквой $O$.

Радиус окружности — это отрезок, который соединяет центр окружности с любой точкой на этой окружности. Также радиусом называют и длину этого отрезка. Это постоянное расстояние от центра до любой точки окружности. Все радиусы одной и той же окружности равны между собой. Радиус принято обозначать латинскими буквами $r$ или $R$.

Ответ: Центр окружности — это точка, равноудаленная от всех точек окружности. Радиус окружности — это отрезок, соединяющий центр с любой точкой на окружности, а также длина этого отрезка.

В.50. Что такое круг? Что такое сектор круга?

В.50

Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью

Сектор круга – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга

Что такое круг?

Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью. Более строгое определение гласит, что круг представляет собой множество всех точек плоскости, расстояние от которых до заданной точки, называемой центром круга, не превышает заданного положительного числа, называемого радиусом круга. Окружность является границей круга.

Ключевые понятия, связанные с кругом: Центр (O) — точка, равноудалённая от всех точек окружности. Радиус (R) — отрезок, соединяющий центр круга с любой точкой на его окружности, а также длина этого отрезка. Диаметр (D) — отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через её центр. Диаметр всегда равен двум радиусам ($D=2R$).

Длина окружности, ограничивающей круг, вычисляется по формуле $L = 2\pi R$. Площадь круга радиуса $R$ можно найти по формуле: $S = \pi R^2$.

Ответ: Круг — это геометрическая фигура на плоскости, которая включает в себя окружность и часть плоскости, находящуюся внутри неё, то есть все точки, удалённые от центра на расстояние, не превышающее радиус.

Что такое сектор круга?

Сектор круга (или круговой сектор) — это часть круга, которая ограничена дугой и двумя радиусами, проведёнными к концам этой дуги. Представьте себе кусок пиццы — это и есть наглядный пример сектора.

Сектор определяется двумя основными параметрами: Радиусом круга (R). Центральным углом ($\alpha$) — это угол между двумя радиусами, которые ограничивают сектор. Угол может измеряться как в градусах, так и в радианах.

Площадь кругового сектора прямо пропорциональна его центральному углу. Формулы для вычисления площади:
- Если угол $\alpha$ выражен в градусах: $S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \cdot \alpha}{360}$
- Если угол $\alpha$ выражен в радианах: $S_{сектора} = \frac{1}{2} R^2 \alpha$

Длина дуги $L$, которая ограничивает сектор, также зависит от центрального угла:
- Если угол $\alpha$ в градусах: $L = \frac{2\pi R \cdot \alpha}{360} = \frac{\pi R \alpha}{180}$
- Если угол $\alpha$ в радианах: $L = R \alpha$

Ответ: Сектор круга — это часть круга, ограниченная двумя его радиусами и дугой, заключенной между ними.

В.51. Что такое периметр многоугольника? Назовите формулы для вычисления периметра прямоугольника и квадрата.

В.51

Периметр многоугольника – это сумма длин его сторон.

Р = 2(а + b), где а и b – стороны прямоугольника

Р = 4а, где а – сторона квадрата

Что такое периметр многоугольника?

Периметром многоугольника называется сумма длин всех его сторон. Периметр — это общая длина границы, очерчивающей плоскую геометрическую фигуру. Обычно периметр обозначается заглавной латинской буквой $P$.

Для многоугольника, который имеет $n$ сторон с длинами $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$, формула для вычисления его периметра $P$ выглядит следующим образом:

$P = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n$

Ответ: Периметр многоугольника — это сумма длин всех его сторон.

Назовите формулы для вычисления периметра прямоугольника и квадрата.

Для частных случаев многоугольников, таких как прямоугольник и квадрат, существуют специальные, более простые формулы для вычисления периметра.

Периметр прямоугольника

Прямоугольник — это четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и все углы прямые. Пусть длина и ширина прямоугольника равны $a$ и $b$ соответственно. Тогда его периметр $P$ будет равен удвоенной сумме его длины и ширины.

Формула: $P = 2 \cdot (a + b)$

Периметр квадрата

Квадрат — это прямоугольник, у которого все четыре стороны равны. Если длина стороны квадрата равна $a$, то его периметр $P$ вычисляется умножением длины стороны на четыре.

Формула: $P = 4 \cdot a$

Ответ: Формула для вычисления периметра прямоугольника со сторонами $a$ и $b$: $P = 2 \cdot (a + b)$. Формула для вычисления периметра квадрата со стороной $a$: $P = 4 \cdot a$.

В.52. Назовите формулы для вычисления длины окружности. Чему равно округление числа π до сотых?

В.52

С = 2πR, где R – радиус окружности

С = πd, где d – диаметр окружности

π ≈ 3,14

Назовите формулы для вычисления длины окружности

Для вычисления длины окружности, обозначаемой буквой $C$, существуют две основные формулы. Выбор формулы зависит от того, известен ли радиус ($r$) или диаметр ($d$) окружности.

1. Через радиус ($r$): Длина окружности равна удвоенному произведению числа $\pi$ на её радиус.
$C = 2\pi r$

2. Через диаметр ($d$): Длина окружности равна произведению числа $\pi$ на её диаметр.
$C = \pi d$

Эти две формулы равнозначны, поскольку диаметр любой окружности равен двум её радиусам ($d = 2r$).

Ответ: $C = 2\pi r$ и $C = \pi d$.

Чему равно округление числа π до сотых?

Число $\pi$ (пи) — это математическая константа, являющаяся иррациональным числом. Его значение начинается с цифр $3,14159265...$

Чтобы округлить число до сотых, необходимо посмотреть на цифру, стоящую в разряде тысячных (третья цифра после запятой). В данном случае это цифра 1.

Согласно правилам округления, если цифра, следующая за округляемым разрядом, меньше 5 (а $1 < 5$), то цифра в округляемом разряде (в нашем случае это 4) не изменяется, а все последующие цифры отбрасываются.

Таким образом, округляя число $\pi$ до сотых, мы получаем $3,14$.

Ответ: $\pi \approx 3,14$.

В.53. Назовите формулы для вычисления площади прямоугольника и квадрата.

В.53

S_пр. = а • b, где а и b – стороны прямоугольника

S_кв. = а², где а – сторона квадрата

Прямоугольник
Площадь прямоугольника ($S$) равна произведению длин двух его смежных сторон. Если обозначить длину прямоугольника как $a$, а ширину как $b$, то формула для вычисления его площади выглядит следующим образом:
$S = a \cdot b$
Ответ: $S = a \cdot b$

Квадрат
Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Поэтому для нахождения его площади ($S$) достаточно возвести в квадрат длину его стороны ($a$). Формула для вычисления площади квадрата:
$S = a^2$
Ответ: $S = a^2$

В.54. Назовите формулы для вычисления площади круга.

В.54

S_кр. = πR², где R – радиус круга

Площадь круга можно вычислить несколькими способами, в зависимости от того, какие параметры круга известны. Ниже приведены основные формулы.

1. Через радиус
Самая распространенная формула для вычисления площади круга ($S$) использует его радиус ($r$). Радиус — это расстояние от центра круга до любой точки на его окружности. Формула гласит, что площадь равна произведению числа $\pi$ (пи) на квадрат радиуса.
$S = \pi r^2$
Здесь $\pi$ — это математическая константа, приблизительно равная $3.14159$.

2. Через диаметр
Если известен диаметр круга ($d$), площадь также можно легко найти. Диаметр равен двум радиусам ($d = 2r$), поэтому радиус можно выразить как $r = \frac{d}{2}$. Подставив это выражение в первую формулу, получим:
$S = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$
Эта формула удобна, когда измеряется именно диаметр.

3. Через длину окружности
Площадь круга можно вычислить и через длину его окружности ($C$). Длина окружности связана с радиусом формулой $C = 2\pi r$. Отсюда $r = \frac{C}{2\pi}$. Подставив это в основную формулу площади, получаем:
$S = \pi \left(\frac{C}{2\pi}\right)^2 = \pi \frac{C^2}{4\pi^2} = \frac{C^2}{4\pi}$

Ответ: Основные формулы для вычисления площади круга: $S = \pi r^2$ (через радиус $r$) и $S = \frac{\pi d^2}{4}$ (через диаметр $d$).

В.55. Какие свойства прямоугольного параллелепипеда вы знаете? Что такое куб?

В.55

В прямоугольном параллелепипеде противоположные грани равны.

У прямоугольного параллелепипеда 12 ребер, 8 вершин, 6 граней (все прямоугольники), боковые ребра равны и параллельны, из каждой вершины выходит 3 ребра.

Куб – это прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения равны. Его поверхность состоит из шести равных квадратов.

Какие свойства прямоугольного параллелепипеда вы знаете?

Прямоугольный параллелепипед — это объёмная геометрическая фигура, представляющая собой многогранник, у которого шесть граней, и каждая из них является прямоугольником. Его также называют прямоугольной призмой.

Основные свойства прямоугольного параллелепипеда:

• Элементы: Имеет 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин.
• Грани: Все грани являются прямоугольниками. Противоположные грани попарно равны и параллельны.
• Рёбра: Имеются три группы по четыре равных и параллельных ребра. Длины рёбер, выходящих из одной вершины, называют измерениями параллелепипеда (длина a, ширина b, высота c).
• Углы: Все двугранные углы (углы между смежными гранями) прямые, то есть равны 90°.
• Диагонали: Все четыре диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой и пересекаются в одной точке, которая делит их пополам. Квадрат длины диагонали d равен сумме квадратов трёх его измерений: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$.
• Объём: Объём V вычисляется как произведение трёх его измерений: $V = a \cdot b \cdot c$.
• Площадь поверхности: Площадь полной поверхности S вычисляется по формуле: $S = 2(ab + bc + ac)$.

Ответ: Прямоугольный параллелепипед — это многогранник, все грани которого являются прямоугольниками. Его ключевые свойства: 6 граней, 12 ребер, 8 вершин; противоположные грани равны и параллельны; все двугранные углы прямые; квадрат диагонали равен сумме квадратов его измерений ($d^2 = a^2 + b^2 + c^2$); объем $V = a \cdot b \cdot c$; площадь поверхности $S = 2(ab + bc + ac)$.

Что такое куб?

Куб (или правильный гексаэдр) — это частный случай прямоугольного параллелепипеда, у которого все три измерения (длина, ширина и высота) равны. Таким образом, куб — это правильный многогранник, все шесть граней которого являются равными квадратами.

Свойства куба вытекают из свойств прямоугольного параллелепипеда при условии, что все его рёбра равны (обозначим длину ребра как a):

• Все 12 рёбер куба равны по длине.
• Все 6 граней куба — равные квадраты.
• Диагональ куба d находится по формуле: $d = a\sqrt{3}$.
• Объём куба V равен кубу длины его ребра: $V = a^3$.
• Площадь полной поверхности куба S равна: $S = 6a^2$.

Ответ: Куб — это прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны. Следовательно, все его грани являются равными квадратами. Его объем $V = a^3$, а площадь поверхности $S = 6a^2$, где a — длина ребра.

В.56. Каковы формулы для объёма прямоугольного параллелепипеда и куба?

В.56

Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, надо перемножить его измерения (длину, ширину и высоту).

V = abc

Объем куба с ребром а равен: V = a³.

Формула для объёма прямоугольного параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед — это трёхмерная фигура, у которой все шесть граней являются прямоугольниками. Объём ($V$) прямоугольного параллелепипеда вычисляется как произведение трёх его измерений: длины ($a$), ширины ($b$) и высоты ($c$).
Формула для вычисления объёма выглядит следующим образом:
$V = a \cdot b \cdot c$
Так как произведение длины на ширину ($a \cdot b$) представляет собой площадь основания ($S_{осн}$), то формулу можно записать и в другом виде: объём равен произведению площади основания на высоту.
$V = S_{осн} \cdot c$
Ответ: $V = a \cdot b \cdot c$.

Формула для объёма куба

Куб — это частный случай прямоугольного параллелепипеда, у которого все измерения (длина, ширина и высота) равны. Другими словами, все его рёбра имеют одинаковую длину, а грани являются равными квадратами.
Если обозначить длину ребра куба буквой $a$, то его объём ($V$) можно найти, подставив $a$ вместо длины, ширины и высоты в формулу для прямоугольного параллелепипеда:
$V = a \cdot a \cdot a$
Это выражение записывается в виде степени:
$V = a^3$
Таким образом, объём куба равен длине его ребра, возведённой в третью степень (в куб).
Ответ: $V = a^3$.

В.57. Что такое буквенное выражение? Как из буквенного выражения получаются числовые выражения?

В.57

Буквенное выражение – это выражение, содержащее числа, знаки действий, переменные и скобки.

Если в буквенном выражении переменные заменить числами, то получим числовое выражение.

Что такое буквенное выражение?

Буквенное выражение — это математическая запись, которая, помимо чисел, знаков арифметических действий и скобок, содержит одну или несколько букв. Эти буквы называют переменными, поскольку они могут принимать различные числовые значения. Буквенные выражения служат для обобщенной записи математических законов, формул и зависимостей.

Например, следующие записи являются буквенными выражениями:
$a + 5$ (сумма переменной $a$ и числа 5)
$2x - y$ (разность произведения 2 на $x$ и переменной $y$)
$P = 2(a+b)$ (формула периметра прямоугольника со сторонами $a$ и $b$)

Ответ: Буквенное выражение — это выражение, которое состоит из букв (переменных), чисел, знаков математических действий и скобок.

Как из буквенного выражения получаются числовые выражения?

Чтобы из буквенного выражения получить числовое, необходимо заменить (подставить) каждую букву (переменную) в этом выражении на её конкретное числовое значение. После выполнения такой подстановки в выражении остаются только числа, знаки действий и скобки, то есть оно становится числовым выражением.

Рассмотрим пример с буквенным выражением $4c + d/2$.
Пусть переменная $c$ принимает значение 8, а переменная $d$ — значение 10. Запишем это так: $c=8, d=10$.
Подставим эти значения в исходное буквенное выражение: $4 \cdot 8 + 10/2$

Полученная запись $4 \cdot 8 + 10/2$ является числовым выражением. Мы можем вычислить его значение:

$4 \cdot 8 + 10/2 = 32 + 5 = 37$

Число 37 является значением буквенного выражения $4c + d/2$ при $c=8$ и $d=10$.

Ответ: Чтобы получить числовое выражение из буквенного, нужно вместо каждой переменной (буквы) подставить её конкретное числовое значение.

В.58. Что называют коэффициентом выражения?

В.58

Числовой множитель в выражении, которое является произведением числа и одной или нескольких букв, называют числовым коэффициентом (или просто коэффициентом).

B.58

Коэффициентом выражения (или числовым коэффициентом) называют числовой множитель в алгебраическом выражении, стоящий перед буквенной частью. Если выражение представляет собой произведение числа и одной или нескольких переменных (в каких-либо степенях), то это число и является коэффициентом.

Чтобы найти коэффициент, выражение обычно приводят к стандартному виду, где числовой множитель записан на первом месте, а за ним следуют переменные.

Рассмотрим несколько примеров:

• В выражении $5a$ коэффициентом является число $5$.
• В выражении $-12.3xy^2$ коэффициент равен $-12.3$.
• В выражении $4c \cdot (-2d)$ сначала нужно перемножить числовые множители: $4 \cdot (-2) = -8$. Выражение в стандартном виде: $-8cd$. Коэффициент равен $-8$.

Важно помнить о случаях, когда коэффициент не записывается явно:

• Если перед переменной не стоит число, значит, коэффициент равен $1$. Например, в выражении $x$ коэффициент равен $1$, так как $x = 1 \cdot x$.
• Если перед переменной стоит только знак «минус», значит, коэффициент равен $-1$. Например, в выражении $-y$ коэффициент равен $-1$, так как $-y = -1 \cdot y$.

Ответ: Коэффициентом выражения называют числовой множитель в произведении, содержащем также буквенные множители.

В.59. Сформулируйте правило приведения подобных слагаемых.

В.59

Чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить или вычесть их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.

Подобными слагаемыми называются слагаемые в алгебраическом выражении, которые имеют одинаковую буквенную часть. Они могут отличаться только своими числовыми коэффициентами. Процесс сложения (или вычитания) таких слагаемых называется приведением подобных слагаемых.

Например, в выражении $5a - 2b + 3a + 7b$ слагаемые $5a$ и $3a$ являются подобными, так как у них общая буквенная часть $a$. Аналогично, слагаемые $-2b$ и $7b$ также подобны, так как у них общая буквенная часть $b$.

Правило приведения подобных слагаемых основано на распределительном свойстве умножения относительно сложения: $k \cdot a + m \cdot a = (k+m) \cdot a$.

Сформулированное правило звучит так:

Чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить их числовые коэффициенты, а затем результат умножить на их общую буквенную часть.

Рассмотрим на примере: упростить выражение $12x - 7y - 5x + 3y$.

1. Сгруппируем подобные слагаемые:
$(12x - 5x) + (-7y + 3y)$

2. Вынесем общую буквенную часть за скобки в каждой группе (применим распределительное свойство):
$(12 - 5)x + (-7 + 3)y$

3. Выполним действия с коэффициентами в скобках:
$12 - 5 = 7$
$-7 + 3 = -4$

4. Запишем итоговый результат:
$7x + (-4)y = 7x - 4y$

Ответ: Чтобы привести подобные слагаемые, необходимо сложить их коэффициенты и полученную сумму умножить на общую буквенную часть.

В.60. Что такое формула?

В.60

Формула – это запись равенства с помощью букв, чисел, знаков каких-либо величин, отношений.

Формула — это запись какого-либо правила, закона или зависимости между величинами, выраженная с помощью математических символов, букв (переменных) и чисел (констант). Она представляет собой краткий и универсальный способ описания взаимосвязей.

Как правило, формула представляет собой равенство, которое связывает одну величину с одной или несколькими другими. Основные элементы формулы:

Переменные — буквенные обозначения величин, которые могут изменять свои значения (например, $s$ — путь, $t$ — время, $a$ — сторона фигуры).
Константы — постоянные величины, выраженные числами (например, $2$, $100$) или специальными символами (например, $\pi \approx 3.14159$).
Математические знаки — символы, обозначающие арифметические действия ($+, -, \cdot, :$), возведение в степень, извлечение корня ($\sqrt{}$), а также скобки для определения порядка действий и знак равенства ($=$).

Основное назначение формулы — вычисление значения одной величины, если известны значения других, связанных с ней величин. Для этого в формулу вместо букв подставляют их числовые значения и выполняют указанные действия.

Примеры известных формул:

1. Формула площади прямоугольника: $S = a \cdot b$, где $S$ — площадь, $a$ и $b$ — длины его сторон.
2. Формула пути при равномерном движении: $s = v \cdot t$, где $s$ — пройденный путь, $v$ — скорость, $t$ — время движения.
3. Формула периметра квадрата: $P = 4a$, где $P$ — периметр, $a$ — длина стороны квадрата.

Ответ: Формула — это равенство, которое с помощью букв, чисел и математических знаков описывает зависимость между различными величинами.

В.61. Что такое уравнение? Что значит решить уравнение?

В.61

Уравнение – равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное переменной.

Решить уравнение – значит найти все его корни (или убедиться, что уравнение не имеет корня).

Что такое уравнение? Уравнение — это математическое утверждение в виде равенства, которое содержит одну или несколько неизвестных величин, называемых переменными. Цель при работе с уравнением — найти такие значения этих переменных, при которых равенство будет истинным.
Например, выражение $2x - 5 = 11$ является уравнением. Здесь:

• $x$ — это неизвестная переменная.
• $2x - 5$ — это левая часть уравнения.
• $11$ — это правая часть уравнения.
• Знак $=$ показывает, что левая и правая части равны.

Значение переменной, которое превращает уравнение в верное числовое равенство, называется корнем или решением уравнения.
Ответ: Уравнение — это равенство, содержащее переменную (неизвестное число), значение которой нужно найти.

Что значит решить уравнение? Решить уравнение — это значит найти множество всех его корней или доказать, что это множество пусто (то есть корней не существует). Процесс решения уравнения заключается в выполнении последовательности тождественных преобразований, которые упрощают исходное уравнение до тех пор, пока не станет очевидным значение переменной.
При решении уравнения возможны три исхода:

1. Уравнение имеет конечное число корней. Например, уравнение $x - 8 = 0$ имеет один корень $x = 8$, потому что $8 - 8 = 0$ — верное равенство. Квадратное уравнение $x^2 - 9 = 0$ имеет два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$. Решить эти уравнения — значит найти все эти корни.
2. Уравнение не имеет корней. Например, уравнение $0 \cdot x = 5$ не имеет решений, так как не существует числа, которое при умножении на ноль даст 5. Другой пример: $x^2 = -4$ не имеет действительных корней. В этом случае говорят, что множество решений пустое.
3. Уравнение имеет бесконечное множество корней. Это происходит, когда уравнение является тождеством, то есть верным равенством для любого значения переменной из области определения. Например, $3(x+1) = 3x+3$. После раскрытия скобок получаем $3x+3 = 3x+3$, что верно при любом $x$.

Таким образом, полный ответ на вопрос "решить уравнение" должен включать в себя перечисление всех его корней или утверждение об их отсутствии.
Ответ: Решить уравнение — значит найти все его корни (все значения переменной, которые делают равенство верным) или доказать, что корней нет.

В.62. Что такое координатная прямая?

В.62

Координатная прямая – это прямая, которая имеет начало отсчёта, положительное направление, и единичный отрезок.

Координатная прямая (также называемая числовой прямой или числовой осью) — это прямая линия, которая используется для графического представления действительных чисел. Чтобы обычная прямая стала координатной, на ней необходимо задать три основных элемента:

• Начало отсчёта. Это точка на прямой, которой ставится в соответствие число 0. Обычно её обозначают буквой O.
• Единичный отрезок. Это отрезок, длина которого принимается за единицу (масштаб). Он определяет расстояние между последовательными целыми числами (например, между 0 и 1, 1 и 2, и т.д.).
• Положительное направление. Это направление, в котором откладываются положительные числа от начала отсчёта. Обычно его указывают стрелкой на правом конце прямой.

На координатной прямой каждому действительному числу соответствует единственная точка. Число, сопоставленное точке, называется её координатой. Например, запись $A(3)$ означает, что точка A имеет координату 3. Она расположена на расстоянии трёх единичных отрезков от начала отсчёта в положительном направлении. Точка $B(-2)$ имеет координату -2 и расположена на расстоянии двух единичных отрезков от начала отсчёта в отрицательном направлении (противоположном тому, куда указывает стрелка).

Таким образом, координатная прямая устанавливает взаимно-однозначное соответствие между множеством всех точек на прямой и множеством всех действительных чисел ($\mathbb{R}$). Это делает её фундаментальным инструментом в математике для визуализации чисел, неравенств и операций с ними.

Ответ: Координатная прямая — это прямая, на которой выбраны начало отсчёта (точка, соответствующая числу 0), единичный отрезок (задающий масштаб) и положительное направление (указываемое стрелкой).

В.63. Что такое координатная плоскость; система координат?

В.63

Две перпендикулярные прямые, у которых начала отсчета совпадают, задают систему координат на плоскости.

Плоскость, на которой задана система координат, называют координатной плоскостью.

Координатная плоскость:

Координатная плоскость — это плоскость, на которой задана система координат. Наиболее распространенной является прямоугольная (декартова) система координат. Она образуется двумя взаимно перпендикулярными прямыми, называемыми осями координат. Точка их пересечения называется началом координат.

• Горизонтальная ось называется осью абсцисс и обозначается как $Ox$.
• Вертикальная ось называется осью ординат и обозначается как $Oy$.
• Начало координат, точка $O$, имеет координаты $(0, 0)$.

Оси делят плоскость на четыре области, называемые координатными четвертями или квадрантами. Положение любой точки $M$ на плоскости однозначно определяется упорядоченной парой чисел $(x, y)$, которые называются ее координатами. Первое число, $x$, — это абсцисса точки, а второе, $y$, — ее ордината. Абсцисса показывает смещение точки по горизонтали относительно оси $Oy$, а ордината — смещение по вертикали относительно оси $Ox$.

Ответ: Координатная плоскость — это плоскость, оснащенная системой координат (чаще всего прямоугольной), которая позволяет однозначно определить положение любой точки с помощью пары чисел (координат).

Система координат:

Система координат — это, в более общем смысле, способ или метод, позволяющий определять положение точки или другого геометрического объекта с помощью набора чисел, называемых координатами. Чтобы задать систему координат, необходимо определить:

• Начало отсчета (или точку отсчета) — фиксированную точку, относительно которой определяется положение.
• Направляющие оси — одну или несколько прямых, задающих направления.
• Масштаб (единицу измерения) вдоль каждой оси.

Существуют различные системы координат, выбор которых зависит от удобства описания объектов и решения конкретной задачи. Примеры систем координат:

• Прямоугольная (декартова) система координат на плоскости (использует две перпендикулярные оси) и в пространстве (использует три перпендикулярные оси).
• Полярная система координат на плоскости (использует расстояние от центра и угол).
• Сферическая и цилиндрическая системы координат в пространстве.
• Географическая система координат на поверхности Земли (широта и долгота).

Таким образом, координатная плоскость является частным случаем применения системы координат (а именно, декартовой системы) к двумерному пространству (плоскости).

Ответ: Система координат — это совокупность правил и определений, которая позволяет описывать положение точек или объектов в пространстве, на плоскости или на линии с помощью чисел (координат).

В.64. Сколькими числами определяется положение точки на координатной прямой; на координатной плоскости?

В.64

Положение точки, на координатной прямой, определяется одним числом.

Положение точки в системе координат определяется двумя числами.

на координатной прямой: Координатная прямая (или числовая ось) является одномерным пространством. Положение любой точки на этой прямой однозначно определяется одним числом, которое называется ее координатой. Это число показывает расстояние от точки до начала отсчета (точки 0) и направление. Таким образом, положение точки на координатной прямой определяется одним числом. Например, точка $A$ с координатой $5$ записывается как $A(5)$.
Ответ: одним числом.

на координатной плоскости: Координатная плоскость (или декартова система координат) является двумерным пространством. Она определяется двумя перпендикулярными координатными осями: осью абсцисс ($Ox$) и осью ординат ($Oy$). Положение любой точки на плоскости однозначно определяется упорядоченной парой чисел $(x, y)$. Первое число, $x$, является абсциссой точки, а второе, $y$, — ее ординатой. Следовательно, положение точки на координатной плоскости определяется двумя числами. Например, точка $B$ с координатами $(3, -2)$ записывается как $B(3, -2)$.
Ответ: двумя числами.

В.65. Как построить точку по её координатам на координатной плоскости? Как называются эти координаты?

В.65

Для построения точки с координатами (а; b) на координатной плоскости нужно:

1. Отложить a единичных отрезков на оси абсцисс, провести через найденную точку прямую, перпендикулярно оси

2. Отложить b единичных отрезков на оси ординат, провести через найденную точку прямую, перпендикулярно оси

3. Найти точку пересечения построенных прямых, это и будет точка с координатами (а; b)

а – абсцисса точки, b – ордината точки

Как построить точку по её координатам на координатной плоскости?

Чтобы построить точку на координатной плоскости по её координатам, например, точку $A(x, y)$, необходимо выполнить следующие шаги. Координатная плоскость задается двумя взаимно перпендикулярными осями: горизонтальной осью $Ox$, называемой осью абсцисс, и вертикальной осью $Oy$, называемой осью ординат.

1. Найти на горизонтальной оси абсцисс ($Ox$) значение, равное первой координате точки — $x$.
2. Провести через эту точку прямую, перпендикулярную оси абсцисс (то есть, параллельную оси ординат).
3. Найти на вертикальной оси ординат ($Oy$) значение, равное второй координате точки — $y$.
4. Провести через эту точку прямую, перпендикулярную оси ординат (то есть, параллельную оси абсцисс).
5. Точка пересечения этих двух прямых и будет искомой точкой $A$ с координатами $(x, y)$.

Например, для построения точки $B(3, -2)$ нужно отложить 3 единицы вправо от начала координат по оси $Ox$, а затем от этой точки отложить 2 единицы вниз параллельно оси $Oy$. Полученная точка и будет точкой $B(3, -2)$.

Ответ: Чтобы построить точку $A(x, y)$, необходимо найти на оси $Ox$ число $x$ и на оси $Oy$ число $y$. Точка $A$ будет находиться на пересечении прямых, проведенных через эти точки перпендикулярно соответствующим осям.

Как называются эти координаты?

Координаты точки на плоскости — это упорядоченная пара чисел $(x, y)$, каждое из которых имеет свое название.
- Первое число, $x$, называется абсциссой точки.
- Второе число, $y$, называется ординатой точки.

Вся система координат, состоящая из двух перпендикулярных осей, называется прямоугольной или декартовой системой координат (в честь французского математика Рене Декарта). Соответственно, пару чисел $(x, y)$ называют декартовыми координатами точки.

Ответ: Первая координата ($x$) называется абсциссой, а вторая ($y$) — ординатой. Вместе они называются декартовыми координатами.