Номер 64, страница 132, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

Часть 2. Вопросы и задачи на повторение. Задания - номер 64, страница 132.

Условие.

П.64. 1) Постройте произвольный тупой угол MND. Отметьте точку А, не лежащую на сторонах этого угла, и проведите через неё прямые, перпендикулярные сторонам угла MND. Измерьте углы А и N, найдите сумму углов N и А.

2) Постройте произвольный острый угол АВС. Отметьте точку К, не лежащую на сторонах этого угла, и проведите через неё прямые, перпендикулярные сторонам угла АВС. Измерьте углы В и К, найдите сумму этих углов.

3) Сделайте предположение.

Решение 1.

П.64

1)

$$\begin{gathered} \angle \mathrm{MND} = 118 °, \angle \mathrm{A} = 62°, \angle \mathrm{N} = 118° \\ \angle \mathrm{A} + \angle \mathrm{N} = 62° + 118° = 180° \end{gathered}$$

2)

$$\begin{gathered} \angle \mathrm{B} = 51°, \angle \mathrm{K} = 129° \\ \angle \mathrm{B} + \angle \mathrm{K} = 51° + 129° = 180° \end{gathered}$$

3) Сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°.

Решение 2.

1) Построим произвольный тупой угол $∠MND$. Тупой угол — это угол, градусная мера которого находится в пределах от $90°$ до $180°$. Для примера возьмем $∠MND = 130°$. Далее отметим точку $A$, которая не лежит на сторонах $NM$ и $ND$ данного угла. Из точки $A$ проведем две прямые, перпендикулярные сторонам угла $∠MND$. Пусть прямая $AP$ перпендикулярна стороне $NM$ (точка $P$ лежит на $NM$), а прямая $AQ$ перпендикулярна стороне $ND$ (точка $Q$ лежит на $ND$).

В результате этих построений мы получаем четырехугольник $APNQ$. По построению, углы $∠APN$ и $∠AQN$ являются прямыми, то есть $∠APN = 90°$ и $∠AQN = 90°$. Угол, образованный перпендикулярами, — это $∠PAQ$, который мы обозначим как $∠A$. Исходный угол — это $∠MND$, который мы обозначим как $∠N$.

Сумма внутренних углов выпуклого четырехугольника всегда равна $360°$. Для четырехугольника $APNQ$ можно записать следующее равенство:$∠N + ∠APN + ∠A + ∠AQN = 360°$

Подставим известные значения углов:$∠N + 90° + ∠A + 90° = 360°$

Упростим выражение:$∠N + ∠A + 180° = 360°$

Отсюда находим сумму углов $N$ и $A$:$∠N + ∠A = 360° - 180° = 180°$

Таким образом, если мы измерим наш угол $∠N = 130°$, то угол $∠A$ будет равен $180° - 130° = 50°$. Сумма этих углов составит $130° + 50° = 180°$.

Ответ: Сумма углов $N$ и $A$ равна $180°$.

2) Построим произвольный острый угол $∠ABC$. Острый угол — это угол, градусная мера которого меньше $90°$. Для примера возьмем $∠ABC = 60°$. Отметим точку $K$, которая не лежит на сторонах $BA$ и $BC$ данного угла. Проведем через точку $K$ прямые, перпендикулярные сторонам угла $∠ABC$. Пусть прямая $KP$ перпендикулярна стороне $BA$ (точка $P$ лежит на $BA$), а прямая $KQ$ перпендикулярна стороне $BC$ (точка $Q$ лежит на $BC$).

В результате этих построений образуется четырехугольник $PBQK$. По построению, углы $∠KPB$ и $∠KQB$ являются прямыми, то есть $∠KPB = 90°$ и $∠KQB = 90°$. Угол, образованный перпендикулярами, — это $∠PKQ$, который мы обозначим как $∠K$. Исходный угол — это $∠ABC$, который мы обозначим как $∠B$.

Сумма внутренних углов четырехугольника $PBQK$ равна $360°$. Запишем равенство:$∠B + ∠KPB + ∠K + ∠KQB = 360°$

Подставим известные значения углов:$∠B + 90° + ∠K + 90° = 360°$

Упростим выражение:$∠B + ∠K + 180° = 360°$

Отсюда находим сумму углов $B$ и $K$:$∠B + ∠K = 360° - 180° = 180°$

Таким образом, если мы измерим наш угол $∠B = 60°$, то угол $∠K$ будет равен $180° - 60° = 120°$. Сумма этих углов составит $60° + 120° = 180°$.

Ответ: Сумма углов $B$ и $K$ равна $180°$.

3) На основе результатов, полученных в пунктах 1 и 2, можно сформулировать следующее предположение. Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы либо равны, либо их сумма составляет $180°$. В ходе выполнения данного задания мы строили четырехугольник, в котором два угла прямые. Оставшиеся два угла (исходный и построенный) в сумме всегда дают $180°$. Этот случай реализуется, когда один из углов острый, а другой — тупой (или когда оба прямые).

Ответ: Предположение: если из точки провести перпендикуляры к сторонам угла, то сумма исходного угла и угла, образованного перпендикулярами (если рассматривать его как внутренний угол образовавшегося четырехугольника), равна $180°$.

Решение 3.

Решение 4.