Номер 52, страница 132, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

Задания. Вопросы и задачи на повторение. ч. 2 - номер 52, страница 132.

П.52. На координатной плоскости отметьте точки А(−5; 7), В(−3; 4), K(−3; −4) и соедините их отрезками. Измерьте транспортиром углы треугольника АВК.

П.52

$\angle \mathrm{АВК} = 147°, \angle \mathrm{АКВ} = 10°, \angle \mathrm{BAK} = 23°$

Для решения задачи необходимо сначала отметить точки $A(-5; 7)$, $B(-3; 4)$ и $K(-3; -4)$ на координатной плоскости и соединить их отрезками. В результате получится треугольник $ABK$. Далее, согласно заданию, нужно измерить его углы. Поскольку выполнить точное измерение с помощью транспортира на экране невозможно, мы проведем математические вычисления для нахождения точных значений углов. Эти вычисления дадут результат, который можно было бы получить при помощи идеального транспортира.

Для нахождения углов треугольника по координатам его вершин удобно использовать векторы и формулу для вычисления косинуса угла между ними:$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$где $\vec{a} \cdot \vec{b}$ — скалярное произведение векторов, а $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — их длины (модули).

Угол A (∠BAK)

Этот угол образован векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AK}$. Найдем их координаты, вычитая из координат конца координаты начала:

$\vec{AB} = (-3 - (-5); 4 - 7) = (2; -3)$

$\vec{AK} = (-3 - (-5); -4 - 7) = (2; -11)$

Теперь вычислим скалярное произведение этих векторов:

$\vec{AB} \cdot \vec{AK} = 2 \cdot 2 + (-3) \cdot (-11) = 4 + 33 = 37$

Далее найдем длины (модули) векторов:

$|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$

$|\vec{AK}| = \sqrt{2^2 + (-11)^2} = \sqrt{4 + 121} = \sqrt{125}$

Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos(\angle A) = \frac{37}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{125}} = \frac{37}{\sqrt{1625}} \approx 0.9179$

Теперь найдем сам угол, используя функцию арккосинуса:

$\angle A = \arccos\left(\frac{37}{\sqrt{1625}}\right) \approx 23.4^\circ$

Ответ: Угол $\angle BAK$ равен примерно $23.4^\circ$.

Угол B (∠ABK)

Этот угол образован векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BK}$. Найдем их координаты:

$\vec{BA} = (-5 - (-3); 7 - 4) = (-2; 3)$

$\vec{BK} = (-3 - (-3); -4 - 4) = (0; -8)$

Вычислим их скалярное произведение:

$\vec{BA} \cdot \vec{BK} = (-2) \cdot 0 + 3 \cdot (-8) = 0 - 24 = -24$

Найдем длины векторов:

$|\vec{BA}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$

$|\vec{BK}| = \sqrt{0^2 + (-8)^2} = \sqrt{64} = 8$

Подставим значения в формулу для косинуса:

$\cos(\angle B) = \frac{-24}{\sqrt{13} \cdot 8} = \frac{-3}{\sqrt{13}} \approx -0.8321$

Так как косинус отрицательный, угол $B$ является тупым.

$\angle B = \arccos\left(\frac{-3}{\sqrt{13}}\right) \approx 146.3^\circ$

Ответ: Угол $\angle ABK$ равен примерно $146.3^\circ$.

Угол K (∠AKB)

Этот угол образован векторами $\vec{KA}$ и $\vec{KB}$. Найдем их координаты:

$\vec{KA} = (-5 - (-3); 7 - (-4)) = (-2; 11)$

$\vec{KB} = (-3 - (-3); 4 - (-4)) = (0; 8)$

Вычислим их скалярное произведение:

$\vec{KA} \cdot \vec{KB} = (-2) \cdot 0 + 11 \cdot 8 = 88$

Найдем длины векторов:

$|\vec{KA}| = \sqrt{(-2)^2 + 11^2} = \sqrt{4 + 121} = \sqrt{125}$

$|\vec{KB}| = \sqrt{0^2 + 8^2} = \sqrt{64} = 8$

Подставим значения в формулу для косинуса:

$\cos(\angle K) = \frac{88}{\sqrt{125} \cdot 8} = \frac{11}{\sqrt{125}} \approx 0.9839$

Найдем угол:

$\angle K = \arccos\left(\frac{11}{\sqrt{125}}\right) \approx 10.3^\circ$

Ответ: Угол $\angle AKB$ равен примерно $10.3^\circ$.

Для проверки сложим все три угла: $23.4^\circ + 146.3^\circ + 10.3^\circ = 180^\circ$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, что подтверждает правильность вычислений.