Номер 55, страница 132, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

Часть 2. Вопросы и задачи на повторение. Задания - номер 55, страница 132.

Условие.

П.55. Отметьте вершины Q(3; 7), R(8; 2) и Т(3; −3) квадрата QRTS. По рисунку найдите координаты вершины S.

Решение 1.

П.55

S (-2; 2)

Решение 2.

Для решения задачи найдем координаты четвертой вершины квадрата $QRTS$, зная координаты трех его вершин: $Q(3; 7)$, $R(8; 2)$ и $T(3; -3)$.

Поскольку фигура является квадратом с названием $QRTS$, его вершины перечисляются последовательно. Это означает, что $QR$ и $RT$ являются смежными сторонами квадрата. Чтобы убедиться в этом, мы можем проверить, являются ли эти стороны перпендикулярными и равными по длине. Для этого найдем векторы, соответствующие этим сторонам.

1. Находим векторы сторон.

Вектор $\vec{QR}$ определяется разностью координат его конца (R) и начала (Q):

$\vec{QR} = (R_x - Q_x; R_y - Q_y) = (8 - 3; 2 - 7) = (5; -5)$

Аналогично для вектора $\vec{RT}$:

$\vec{RT} = (T_x - R_x; T_y - R_y) = (3 - 8; -3 - 2) = (-5; -5)$

2. Проверяем перпендикулярность и равенство сторон.

Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

$\vec{QR} \cdot \vec{RT} = (5) \cdot (-5) + (-5) \cdot (-5) = -25 + 25 = 0$

Так как скалярное произведение равно нулю, стороны $QR$ и $RT$ перпендикулярны, то есть угол $\angle R = 90^\circ$.

Теперь найдем квадраты длин векторов (сторон):

$|\vec{QR}|^2 = 5^2 + (-5)^2 = 25 + 25 = 50$

$|\vec{RT}|^2 = (-5)^2 + (-5)^2 = 25 + 25 = 50$

Длины сторон равны. Таким образом, $Q$, $R$ и $T$ действительно являются тремя последовательными вершинами квадрата.

3. Находим координаты вершины S.

В квадрате (как и в любом параллелограмме) противоположные стороны параллельны и равны. Для квадрата $QRTS$ стороны $QS$ и $RT$ являются противоположными. Это означает, что вектор $\vec{QS}$ должен быть равен вектору $\vec{RT}$.

Пусть координаты вершины $S$ равны $(x_S; y_S)$. Тогда вектор $\vec{QS}$ имеет координаты:

$\vec{QS} = (x_S - Q_x; y_S - Q_y) = (x_S - 3; y_S - 7)$

Приравниваем векторы $\vec{QS}$ и $\vec{RT}$:

$\vec{QS} = \vec{RT}$

$(x_S - 3; y_S - 7) = (-5; -5)$

Это дает нам систему из двух уравнений:

$x_S - 3 = -5 \implies x_S = -2$

$y_S - 7 = -5 \implies y_S = 2$

Следовательно, координаты вершины $S$ равны $(-2; 2)$.

Этот же результат можно получить, построив точки на координатной плоскости и выполнив параллельный перенос. Чтобы найти точку $S$, нужно сместить точку $Q$ на тот же вектор, который смещает точку $R$ в точку $T$ (вектор $\vec{RT} = (-5; -5)$).

Координаты $S$: $(3 + (-5); 7 + (-5)) = (-2; 2)$.

Ответ: Координаты вершины $S$ равны $(-2; 2)$.

Решение 3.

Решение 4.