Номер 4, страница 125, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

Часть 1. Параграф 3. Отношения и пропорции. Проверьте себя №1 - номер 4, страница 125.

Условие.

4. Верно ли?

а) Произведение двух взаимно обратных отношений равно 1.
б) Частное двух взаимно обратных отношений равно 1.
в) Отношение двух чисел уменьшится, если каждое из них разделить на 5.
г) Отношение а : b показывает какую часть число а составляет от числа b.

Решение 1.

4.

а) верно

б) неверно

в) неверно, не изменится

г) верно

Решение 2.

а) Произведение двух взаимно обратных отношений равно 1.

Два отношения называются взаимно обратными, если одно из них равно $a:b$, а другое $b:a$. Представим эти отношения в виде дробей: $\frac{a}{b}$ и $\frac{b}{a}$. Найдем их произведение: $\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = \frac{a \cdot b}{b \cdot a}$. Так как от перестановки множителей произведение не меняется ($a \cdot b = b \cdot a$), мы можем сократить дробь. $\frac{a \cdot b}{b \cdot a} = 1$ (при условии, что $a \neq 0$ и $b \neq 0$). Таким образом, утверждение верно.

Ответ: верно.

б) Частное двух взаимно обратных отношений равно 1.

Возьмем те же взаимно обратные отношения $a:b$ и $b:a$, или в виде дробей $\frac{a}{b}$ и $\frac{b}{a}$. Найдем их частное (результат деления первого отношения на второе): $\frac{a}{b} : \frac{b}{a} = \frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} = \frac{a^2}{b^2} = (\frac{a}{b})^2$. Это выражение равно 1 только в частном случае, когда $|a| = |b|$, но не в общем. Например, для взаимно обратных отношений $2:3$ и $3:2$ их частное равно $\frac{2}{3} : \frac{3}{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$, что не равно 1. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: неверно.

в) Отношение двух чисел уменьшится, если каждое из них разделить на 5.

Пусть дано отношение двух чисел $a$ и $b$, то есть $a:b$ или $\frac{a}{b}$. Разделим каждое из чисел на 5. Получим числа $\frac{a}{5}$ и $\frac{b}{5}$. Найдем отношение новых чисел: $\frac{a}{5} : \frac{b}{5} = \frac{a/5}{b/5}$. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй: $\frac{a}{5} \cdot \frac{5}{b} = \frac{5a}{5b} = \frac{a}{b}$. Новое отношение $\frac{a}{b}$ равно исходному отношению $\frac{a}{b}$. Таким образом, отношение не изменится. Это основное свойство отношения (или дроби). Утверждение, что отношение уменьшится, является неверным.

Ответ: неверно.

г) Отношение a : b показывает какую часть число a составляет от числа b.

Это утверждение является определением отношения двух чисел. Чтобы найти, какую часть одно число составляет от другого, нужно первое число разделить на второе. Например, чтобы узнать, какую часть число 3 составляет от числа 15, нужно найти их отношение: $3:15 = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$. То есть, число 3 составляет одну пятую часть от числа 15. Отношение $a:b$ как раз и является результатом деления $a$ на $b$, что по определению и есть та часть, которую $a$ составляет от $b$. Утверждение верно.

Ответ: верно.

Решение 3.

Решение 4.