Страница 117, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

5. В небольшом городке 10 памятников архитектуры (рис. 2.14) Туристу хочется посетить их все, не проходя дважды по одной и той же улице. Может ли он это сделать?

5.

Для того чтобы решить эту задачу, представим план города в виде графа. Улицы будут рёбрами этого графа, а перекрёстки и окончания улиц — его вершинами. Условие, что турист не может проходить дважды по одной и той же улице, означает, что его маршрут должен быть путём (или простой цепью), то есть последовательностью рёбер, в которой ни одно ребро не повторяется.

Цель туриста — посетить все 10 памятников, отмеченных на карте флажками. Проанализируем расположение этих памятников. Ключ к решению задачи кроется в памятниках, расположенных в тупиках.

Тупик — это улица, попасть на которую и покинуть которую можно только одним и тем же путём. На языке теории графов это ребро, которое ведёт в вершину степени 1 (то есть в точку, из которой ведёт только одна улица).

Рассмотрим, например, памятник, расположенный в левой нижней части карты. Он находится на короткой горизонтальной улице, которая является ответвлением от длинной вертикальной улицы и больше ни с чем не соединяется. Чтобы посетить этот памятник, турист должен пройти по этой тупиковой улице до него. После этого, чтобы продолжить свой путь к другим памятникам, ему придётся вернуться по этой же самой улице обратно к перекрёстку.

Таким образом, для посещения этого памятника необходимо пройти по одной и той же улице дважды: один раз — к памятнику, второй раз — от него. Это нарушает основное условие задачи.

Поскольку на карте есть как минимум один такой памятник (а при внимательном рассмотрении можно найти несколько), для посещения которого необходимо нарушить правило, то выполнить поставленную задачу — посетить все 10 памятников, не проходя дважды по одной улице, — невозможно.

Ответ: Нет, не может.

6. В магазине продают два сорта конфет по цене 200 р. и 300 р. Стоимость конфет каждого сорта для приготовления ассорти одинакова. По какой цене надо продавать ассорти этих конфет, чтобы не обмануть покупателя и магазину не иметь убытка?

6.

1 сорт – 200р

2 сорт – 300р

$\mathbf{1}\mathbf{)} \mathrm{НОК} (200; 300) = 600$(р.) – стоимость конфет каждого вида

$\mathbf{2}\mathbf{)} 600 : 200 = 3$(кг) – конфет по цене 200 р.

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }600 : 300 = 2$(кг) – конфет по цене 300 р.

$\mathbf{4}\mathbf{)} 3 + 2 = 5$(кг) – всего конфет

$\mathbf{5}\mathbf{)} 600 + 600 = 1200$(р.) – общая стоимость конфет

$\mathbf{6}\mathbf{)}\mathbf{ }1200 : 5 = 240$(р.) – надо продавать

Ответ: по 240 р.

Для решения этой задачи нам нужно найти цену за килограмм смеси (ассорти), при которой магазин покроет свои расходы на её создание, не получая при этом прибыли и не завышая цену для покупателя. Эта цена будет равна себестоимости одного килограмма ассорти.

Пусть $P_1 = 200$ руб/кг — цена первого сорта конфет, а $P_2 = 300$ руб/кг — цена второго сорта.Пусть $m_1$ и $m_2$ — это массы конфет первого и второго сорта соответственно, взятые для приготовления ассорти.

По условию задачи, стоимость конфет каждого сорта, использованных для приготовления ассорти, одинакова. Запишем это в виде уравнения:

$m_1 \cdot P_1 = m_2 \cdot P_2$

Подставим известные значения цен:

$m_1 \cdot 200 = m_2 \cdot 300$

Из этого равенства мы можем найти соотношение масс конфет в смеси:

$\frac{m_1}{m_2} = \frac{300}{200} = \frac{3}{2}$

Это означает, что для приготовления ассорти на каждые 3 части массы конфет по 200 рублей нужно брать 2 части массы конфет по 300 рублей.

Теперь рассчитаем себестоимость одного килограмма такой смеси. Для удобства возьмем конкретные массы, соблюдая найденное соотношение: пусть мы взяли $m_1 = 3$ кг первого сорта и $m_2 = 2$ кг второго сорта.

Найдем общую массу получившегося ассорти:

$M_{общ} = m_1 + m_2 = 3 \text{ кг} + 2 \text{ кг} = 5 \text{ кг}$

Найдем общую стоимость конфет в этой смеси:

$C_{общ} = (3 \text{ кг} \cdot 200 \frac{\text{руб}}{\text{кг}}) + (2 \text{ кг} \cdot 300 \frac{\text{руб}}{\text{кг}}) = 600 \text{ руб} + 600 \text{ руб} = 1200 \text{ руб}$

Чтобы найти цену за один килограмм ассорти, разделим общую стоимость на общую массу:

$P_{ассорти} = \frac{C_{общ}}{M_{общ}} = \frac{1200 \text{ руб}}{5 \text{ кг}} = 240 \frac{\text{руб}}{\text{кг}}$

Таким образом, справедливая цена, при которой магазин не несет убытков, а покупатель не переплачивает, составляет 240 рублей за килограмм.

Ответ: ассорти этих конфет надо продавать по цене 240 рублей за килограмм.

7. По рецепту для приготовления трёх порций молочного коктейля требуется: 250 г молока, 8 столовых ложек мороженого и по 2 ложки или варенья, или мёда, или сиропа. Нужно приготовить коктейль для 8 гостей. Найдите массу каждого продукта для приготовления коктейля. Одна столовая ложка мороженого, варенья, мёда или сиропа содержит 15 г данного продукта.

7.

1 ложка = 15 г

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }8 · 15 = 120$(г) – мороженного для 3 порций;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }2 · 15 = 30$(г) – варенья для 3 порций;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }250 : 3 · 8 = \frac{250}{3} · 8 = \frac{2000}{3} = 666\frac{2}{3}$(г) – молока;

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }120 : 3 · 8 = 40 · 8 = 320$(г) – мороженного;

$\mathbf{5}\mathbf{)}\mathbf{ }30 : 3 · 8 = 10 · 8 = 80$(г) – варенья.

Ответ: $666\frac{2}{3}$ г молока, 320 г мороженого, 80 г варенья.

Для решения задачи сначала определим, во сколько раз нужно увеличить количество ингредиентов для приготовления 8 порций коктейля вместо 3, а затем рассчитаем необходимую массу каждого продукта.

Исходный рецепт рассчитан на 3 порции, а нам нужно приготовить 8 порций. Значит, количество каждого ингредиента нужно увеличить в $ \frac{8}{3} $ раза.

Масса молока

По рецепту на 3 порции требуется 250 г молока. Для приготовления 8 порций необходимо:

$250 \text{ г} \times \frac{8}{3} = \frac{2000}{3} \text{ г} = 666 \frac{2}{3} \text{ г}$

Ответ: потребуется $666 \frac{2}{3}$ г молока.

Масса мороженого

По рецепту на 3 порции требуется 8 столовых ложек мороженого. Для 8 порций количество ложек составит:

$8 \text{ ложек} \times \frac{8}{3} = \frac{64}{3}$ ложек.

В условии сказано, что одна столовая ложка содержит 15 г продукта. Теперь найдем общую массу мороженого:

$\frac{64}{3} \times 15 \text{ г} = 64 \times \frac{15}{3} \text{ г} = 64 \times 5 \text{ г} = 320 \text{ г}$

Ответ: потребуется 320 г мороженого.

Масса варенья, мёда или сиропа

По рецепту на 3 порции требуется 2 столовые ложки варенья, мёда или сиропа. Для 8 порций количество ложек составит:

$2 \text{ ложки} \times \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$ ложек.

Так как одна столовая ложка содержит 15 г продукта, найдем общую массу этой добавки:

$\frac{16}{3} \times 15 \text{ г} = 16 \times \frac{15}{3} \text{ г} = 16 \times 5 \text{ г} = 80 \text{ г}$

Ответ: потребуется 80 г варенья, или мёда, или сиропа.

8. Участники благотворительного концерта передали 5,7 млн р. городу, пострадавшему после наводнения. На ремонт школ и детских садов было использовано 56 этой суммы, на отправку детей на отдых в другие регионы — 316 этой суммы, на ремонт больниц — в 2 раза больше, чем на отдых детей, оставшуюся сумму направили на ремонт стадиона. Сколько денег было направлено на ремонт стадиона и на отдых детей?

8.

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{3}{{\displaystyle \underset{8}{\bcancel{16}}}} · \stackrel{1}{\bcancel{2}} = \frac{3}{8}$– направили на ремонт больниц;

$\mathbf{2}\mathbf{)} \frac{5}{16} + \frac{3}{16} + {\frac{3}{8}}^{\overline{)·2}} = \frac{5}{16} + \frac{3}{16} + \frac{6}{16} = \frac{14}{16}$- направили на ремонт школ, больниц и отдых детей;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 1 - \frac{14}{16} = \frac{16}{16}- \frac{14}{16} =\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{2}}}}{{\displaystyle \underset{8}{\cancel{16}}}} = \frac{1}{8}$– направили на ремонт стадиона;

$\mathbf{4}\mathbf{)} 5,7 · \frac{1}{8} = \frac{57}{10} · \frac{1}{8} = \frac{57}{80}$(млн руб.) – на ремонт стадиона

$\mathbf{5}\mathbf{)}\mathbf{ }5,7 · \frac{3}{16} = \frac{57}{10} · \frac{3}{16} =\frac{171}{160} = 1\frac{11}{160}$(млн руб.) – на отдых детей.

Ответ: $1\frac{11}{160}$ млн руб. на отдых детей, $\frac{57}{80}$ млн руб. на ремонт стадиона

Для решения задачи определим последовательно каждую из искомых сумм. Общая сумма пожертвования составляет 5,7 млн рублей, что равно $5\ 700\ 000$ рублей.

Сколько денег было направлено на ремонт стадиона

На ремонт стадиона была направлена оставшаяся сумма. Чтобы ее найти, сначала определим, какая часть (доля) от общей суммы была направлена на другие цели, работая с дробями.

1. Доля, потраченная на ремонт школ и детских садов, составляет $\frac{5}{16}$.

2. Доля, потраченная на отправку детей на отдых, составляет $\frac{3}{16}$.

3. Доля, потраченная на ремонт больниц, в 2 раза больше доли на отдых детей, то есть $2 \cdot \frac{3}{16} = \frac{6}{16}$.

4. Теперь сложим все эти доли, чтобы найти общую часть уже распределенных средств:

$\frac{5}{16} + \frac{3}{16} + \frac{6}{16} = \frac{5+3+6}{16} = \frac{14}{16}$

5. Оставшаяся часть, которая пошла на ремонт стадиона, равна разности между всей суммой (которую принимаем за 1) и потраченной частью:

$1 - \frac{14}{16} = \frac{16}{16} - \frac{14}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$

6. Теперь вычислим, какую денежную сумму составляет $\frac{1}{8}$ от общего пожертвования:

$5\ 700\ 000 \cdot \frac{1}{8} = \frac{5\ 700\ 000}{8} = 712\ 500$ рублей.

Ответ: на ремонт стадиона было направлено 712 500 рублей.

Сколько денег было направлено на отдых детей

Согласно условию, на отправку детей на отдых было направлено $\frac{3}{16}$ от общей суммы. Вычислим эту величину, умножив общую сумму на данную дробь:

$5\ 700\ 000 \cdot \frac{3}{16} = \frac{5\ 700\ 000 \cdot 3}{16} = \frac{17\ 100\ 000}{16} = 1\ 068\ 750$ рублей.

Ответ: на отдых детей было направлено 1 068 750 рублей.

9. Бандероли отправляются массой от 100 г до 2 кг. Какую наименьшую сумму потребуется заплатить за отправку в лагерь наборов карандашей и наборов красок для рисования 17 детям? Масса набора красок для рисования равна 25 кг, а масса набора карандашей — 140 кг. Тарифы на отправку бандероли приведены в таблице справа.

9.

Наборов – 17 шт.

Масса набора красок - $\frac{2}{5}$ кг

Масса набора карандашей - $\frac{1}{40}$ кг

$\mathbf{1}\mathbf{)} {\frac{2}{5}}^{\overline{)·8}} + \frac{1}{40} = \frac{16}{40} + \frac{1}{40} =\frac{17}{40}$(кг)-масса одного набора красок и
карандашей;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{17}{40} · 17 = \frac{289}{40} = 7, 225 (\mathrm{кг}) · 1000 = 7225 (\mathrm{г})$-масса всей
посылки;

$7225 \mathrm{г} = 3 · 2000\mathrm{г} + 1200 \mathrm{г} + 20 \mathrm{г} + 5 \mathrm{г}.$

$2000 \mathrm{г} = 20 · 100 \mathrm{г}, 1200 = 12 · 100 \mathrm{г},$

$\mathbf{3}\mathbf{)} 3 · 20 · 48 + 12 · 48 + 3,6 + 3,6 =$

$= 2880 + 576 + 3,6 + 3,6 = 3463, 2$(р) –
потребуется оплатить.

Ответ: 3463,2 р.

1. Найдем общую массу всех наборов.

Сначала необходимо вычислить общую массу всех предметов, которые нужно отправить. Для этого переведем массу одного набора красок и одного набора карандашей в граммы, так как тарифы в таблице используют граммы.

Масса набора красок для рисования: $ \frac{2}{5} \text{ кг} = 0,4 \text{ кг} = 400 \text{ г} $.

Масса набора карандашей: $ \frac{1}{40} \text{ кг} = 0,025 \text{ кг} = 25 \text{ г} $.

Нужно отправить 17 наборов красок и 17 наборов карандашей для 17 детей.

Общая масса всех наборов красок: $ 17 \times 400 \text{ г} = 6800 \text{ г} $.

Общая масса всех наборов карандашей: $ 17 \times 25 \text{ г} = 425 \text{ г} $.

Суммарная масса всего груза: $ 6800 \text{ г} + 425 \text{ г} = 7225 \text{ г} $.

Ответ: общая масса составляет 7225 г.

2. Определим необходимое количество бандеролей.

Согласно условию, масса одной бандероли не может превышать 2 кг, что равно 2000 г. Так как общая масса 7225 г больше 2000 г, потребуется отправить несколько бандеролей. Чтобы стоимость была наименьшей, нужно минимизировать количество бандеролей, упаковывая их максимально плотно.

Разделим общую массу на максимальную массу одной бандероли: $ 7225 \div 2000 = 3 $ с остатком $ 1225 $.

Это означает, что для отправки всего груза потребуется 4 бандероли:

• 3 бандероли максимальной массой по 2000 г каждая.
• 1 бандероль массой 1225 г.

Ответ: потребуется 4 бандероли (3 по 2000 г и 1 на 1225 г).

3. Рассчитаем стоимость отправки каждой бандероли.

Для нахождения наименьшей суммы выберем самый дешевый тариф — «Простая» бандероль. Стоимость базовых 100 г составляет 48 рублей, а каждые последующие полные/неполные 20 г стоят 3,6 рубля.

Расчет для бандероли массой 2000 г:

Масса сверх базовых 100 г: $ 2000 \text{ г} - 100 \text{ г} = 1900 \text{ г} $.

Количество дополнительных интервалов по 20 г: $ 1900 \div 20 = 95 $.

Стоимость за дополнительную массу: $ 95 \times 3,6 \text{ р} = 342 \text{ р} $.

Общая стоимость одной бандероли на 2000 г: $ 48 \text{ р} + 342 \text{ р} = 390 \text{ р} $.

Расчет для бандероли массой 1225 г:

Масса сверх базовых 100 г: $ 1225 \text{ г} - 100 \text{ г} = 1125 \text{ г} $.

Количество дополнительных интервалов по 20 г: $ 1125 \div 20 = 56,25 $. Поскольку оплачиваются и неполные интервалы, округляем в большую сторону до 57.

Стоимость за дополнительную массу: $ 57 \times 3,6 \text{ р} = 205,2 \text{ р} $.

Общая стоимость бандероли на 1225 г: $ 48 \text{ р} + 205,2 \text{ р} = 253,2 \text{ р} $.

Ответ: стоимость одной бандероли на 2000 г — 390 р., стоимость бандероли на 1225 г — 253,2 р.

4. Найдем итоговую наименьшую сумму.

Суммируем стоимость отправки всех четырех бандеролей.

Общая стоимость = (3 бандероли по 2000 г) + (1 бандероль на 1225 г).

$ (3 \times 390 \text{ р}) + 253,2 \text{ р} = 1170 \text{ р} + 253,2 \text{ р} = 1423,2 \text{ р} $.

Ответ: 1423,2 рубля.

10. Чтобы рассчитать расстояние до телевизора, нужно умножить диагональ телевизора на коэффициент 1,6. Измерьте диагональ вашего телевизора и найдите оптимальное расстояние для просмотра телепередач.

10.

Пусть диагональ телевизора 127 см

127 • 1,6 = 203,2 (см) – расстояние для просмотра

Ответ: 203,2 см.

Чтобы решить данную задачу, необходимо выполнить последовательность действий: измерить диагональ телевизора, при необходимости перевести единицы измерения, и затем применить указанную формулу.

1. Измерение диагонали и перевод единиц
Сначала нужно определить диагональ вашего телевизора. Чаще всего производители указывают этот размер в дюймах ("). Если размер неизвестен, его можно измерить рулеткой по диагонали экрана. Для корректного расчета расстояния в метрической системе необходимо перевести дюймы в сантиметры. Используем для этого стандартное соотношение:
$1 \text{ дюйм} = 2,54 \text{ см}$

2. Формула для расчета
Согласно условию, оптимальное расстояние для просмотра (Р) вычисляется путем умножения диагонали телевизора (Д), выраженной в сантиметрах, на коэффициент 1,6.
$Р = Д \times 1,6$

Решение на конкретном примере
Поскольку диагональ вашего телевизора нам неизвестна, проведем расчет на примере популярного размера — 55 дюймов.
Шаг 1: Находим диагональ в сантиметрах.
$Д = 55 \text{ дюймов} \times 2,54 \frac{\text{см}}{\text{дюйм}} = 139,7 \text{ см}$
Шаг 2: Рассчитываем оптимальное расстояние.
Теперь, используя полученное значение, применяем формулу:
$Р = 139,7 \text{ см} \times 1,6 = 223,52 \text{ см}$
Для удобства можно перевести результат в метры: $223,52 \text{ см} \approx 2,24 \text{ м}$.
Таким образом, для телевизора с диагональю 55 дюймов оптимальное расстояние до зрителя составляет около 2,24 метра. Вы можете подставить в эти расчеты диагональ своего телевизора.

Ответ: для нахождения оптимального расстояния необходимо умножить диагональ телевизора в сантиметрах на коэффициент 1,6. Например, для телевизора с диагональю 55 дюймов (139,7 см) оптимальное расстояние составит $139,7 \text{ см} \times 1,6 = 223,52 \text{ см}$, или примерно 2,24 метра.

11. Задача Эйлера. Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми сыновьями, некто составил завещание: «Старший из моих сыновей должен получить 1000 рублей и восьмую часть остатка; следующий — 2000 рублей и восьмую часть нового остатка; третий сын — 3000 рублей и восьмую часть следующего остатка и т. д.». Определите число сыновей и размер завещанных сбережений.

11.

Пусть х р. составляют сбережения.

$1000 + \frac{1}{8} · \left(х - 1000\right)=875 + \frac{1}{8} х$ - получит первый

$х - 875 - \frac{1}{8} х = \frac{7}{8} х - 875$ - остаток после первого сына

$$\begin{gathered} 2000 + \frac{1}{8} · \left(\frac{7}{8} х - 875 - 2000\right)= \\ = 2000 + \frac{7}{64}х - 359\frac{3}{8} = \end{gathered}$$

$= \frac{7}{64}х + 1640\frac{5}{8}$-получит второй

$$\begin{gathered} \frac{1}{8}х + 875 = \frac{7}{64}х + 1640\frac{5}{8} \\ {\frac{1}{8}}^{\overline{)·8}}х - \frac{7}{64}х = 1640\frac{5}{8} - 875 \\ \frac{1}{64} х = 765\frac{5}{8} \\ х = 765\frac{5}{8} : \frac{1}{64} = \frac{6125}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{8}}}} ·\stackrel{8}{ \cancel{64} }= 6125 · 8 \end{gathered}$$

$х = 49000$ (р.)-сбережения

$875 + \frac{1}{8} · 49000 = 7000$ (р.) - получил каждый

$49000 : 7000=7$(сыновей)

Ответ: 7 сыновей; 49000 р.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ — общая сумма завещанных сбережений.
• $n$ — число сыновей.
• $D$ — доля каждого сына (по условию задачи, доли всех сыновей равны).

Распишем доли первого и второго сыновей, чтобы использовать условие их равенства.

Доля первого сына ($D_1$): он получает 1000 рублей и восьмую часть остатка ($S - 1000$).

$D_1 = 1000 + \frac{S - 1000}{8}$

Доля второго сына ($D_2$): он получает свою долю из остатка после первого сына. Этот остаток ($R_2$) равен $S - D_1$. Второй сын получает 2000 рублей и восьмую часть нового остатка ($R_2 - 2000$).

$D_2 = 2000 + \frac{R_2 - 2000}{8} = 2000 + \frac{(S - D_1) - 2000}{8}$

Поскольку все доли равны, то $D_1 = D_2 = D$. Приравняем выражения для долей:

$1000 + \frac{S - 1000}{8} = 2000 + \frac{S - D - 2000}{8}$

В этом уравнении $D$ — это доля, которую мы ищем. Умножим обе части уравнения на 8, чтобы избавиться от знаменателей:

$8000 + (S - 1000) = 16000 + (S - D - 2000)$

$S + 7000 = S + 14000 - D$

Вычтем $S$ из обеих частей уравнения:

$7000 = 14000 - D$

Отсюда находим долю каждого сына:

$D = 14000 - 7000 = 7000$ рублей.

Теперь, зная размер доли, мы можем найти общую сумму наследства $S$, используя формулу для доли первого сына:

$7000 = 1000 + \frac{S - 1000}{8}$

$6000 = \frac{S - 1000}{8}$

$6000 \cdot 8 = S - 1000$

$48000 = S - 1000$

$S = 49000$ рублей.

Наконец, определим число сыновей, разделив общую сумму наследства на долю одного сына:

$n = \frac{S}{D} = \frac{49000}{7000} = 7$

Таким образом, мы нашли оба искомых значения.

Число сыновей

После определения общей суммы наследства (49 000 рублей) и доли каждого наследника (7 000 рублей), число сыновей находится их делением: $n = \frac{49000}{7000} = 7$.

Ответ: 7 сыновей.

Размер завещанных сбережений

Из условия равенства долей первого и второго сыновей было выведено, что доля каждого сына составляет 7000 рублей. Подставив это значение в формулу для доли первого сына, мы находим общую сумму сбережений: $S = (7000 - 1000) \cdot 8 + 1000 = 49000$ рублей.

Ответ: 49 000 рублей.

12. Надпись на гробнице знаменитого древнего математика Диофанта составлена в виде математической задачи.

Путник! Здесь прах погребён Диофанта. И числа поведать могут, о чудо, сколь долог был век его жизни. Часть шестую его представляло прекрасное детство. Двенадцатая часть протекла ещё жизни — покрылся пухом тогда подбородок. Седьмую в бездетном браке провёл Диофант. Прошло пятилетие; он был осчастливлен рожденьем прекрасного первенца сына. Коему рок половину лишь жизни прекрасной и светлой дал на земле по сравненью с отцом. И в печали глубокой старец земного удела конец восприял, переживши года четыре с тех пор, как сына лишился. Скажи, сколько лет жизни достигнув, смерть восприял Диофант?

12.

Пусть х лет - прожил Диофант, тогда получаем:

$$\begin{gathered} \frac{1}{6} х - \mathrm{детсво}; \\ \frac{1}{12} \mathrm{х} - \mathrm{юность}; \\ \frac{1}{7} \mathrm{х} - \mathrm{в} \mathrm{браке}; \\ \frac{1}{2} \mathrm{х} - \mathrm{сын} \mathrm{прожил}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} {\frac{1}{6}}^{\overline{)·14}} х + {\frac{1}{12}}^{\overline{)·7}} х + {\frac{1}{7}}^{\overline{)·12}} х + 5 + {\frac{1}{2}}^{\overline{)·42}} х + 4 =х; \\ \frac{14}{84} х + \frac{7}{84} х + \frac{12}{84} х + \frac{42}{84} х + 5 + 4 =х; \\ \frac{75}{84} х + 9 =х; \\ х - \frac{75}{84} х = 9; \\ \left(\frac{84}{84} - \frac{75}{84}\right) х =9; \\ \frac{9}{84} х = 9; \\ х = 9 : \frac{9}{84}; \\ х = \cancel{9} · \frac{84}{\cancel{9}}; \end{gathered}$$

$х = 84$ (года)-прожил Диофант

Ответ: 84 года.

Для решения этой задачи необходимо составить уравнение, основываясь на данных из текста. Пусть $x$ — это общее количество лет, которое прожил Диофант. Вся его жизнь разделена на несколько периодов, сумма которых и будет равна $x$.

Опишем каждый период жизни Диофанта в виде математического выражения, исходя из условия задачи:

• Детство: «Часть шестую его представляло прекрасное детство» — это $\frac{1}{6}$ его жизни, то есть $\frac{x}{6}$.
• Юность: «Двенадцатая часть протекла ещё жизни» — это $\frac{1}{12}$ его жизни, то есть $\frac{x}{12}$.
• Бездетный брак: «Седьмую в бездетном браке провёл Диофант» — это $\frac{1}{7}$ его жизни, то есть $\frac{x}{7}$.
• Ожидание первенца: «Прошло пятилетие; он был осчастливлен рожденьем прекрасного первенца сына» — это 5 лет.
• Жизнь сына: «Коему рок половину лишь жизни прекрасной и светлой дал на земле по сравненью с отцом» — сын прожил половину жизни Диофанта, то есть $\frac{x}{2}$.
• Жизнь после смерти сына: «...переживши года четыре с тех пор, как сына лишился» — это 4 года.

Сумма всех этих периодов составляет полную продолжительность жизни Диофанта. Составим уравнение:

$x = \frac{x}{6} + \frac{x}{12} + \frac{x}{7} + 5 + \frac{x}{2} + 4$

Теперь решим это уравнение. Сначала упростим правую часть, сложив числа:

$x = \frac{x}{6} + \frac{x}{12} + \frac{x}{7} + \frac{x}{2} + 9$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения:

$x - \frac{x}{6} - \frac{x}{12} - \frac{x}{7} - \frac{x}{2} = 9$

Чтобы выполнить вычитание, приведем все дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 6, 12, 7 и 2 равно 84. Выразим левую часть уравнения с этим знаменателем:

$\frac{84x}{84} - \frac{14x}{84} - \frac{7x}{84} - \frac{12x}{84} - \frac{42x}{84} = 9$

Объединим дроби в левой части:

$\frac{(84 - 14 - 7 - 12 - 42)x}{84} = 9$

Выполним вычисления в скобках:

$\frac{9x}{84} = 9$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 84 и разделим на 9:

$9x = 9 \cdot 84$

$x = 84$

Таким образом, Диофант прожил 84 года.

Ответ: Диофант умер в возрасте 84 лет.

6.118. На рисунке 6.36 показан график зависимости высоты полёта от времени полёта. Определите по графику:
а) наибольшую высоту, на которую поднялся самолёт;
б) время, затраченное на набор высоты;
в) в какие промежутки времени самолёт не менял высоту;
г) с какой скоростью самолёт поднимался;
д) с какой скоростью самолёт снижался до высоты 6 км;
д) с какой скоростью самолёт снижался с высоты 6 км до 0 км.

6.118

а) наибольшая высота подъема самолета – 8 км

б) время, затраченное на набор высоты – 0,5 ч

в) самолет не менял высоту с 0,5 ч полета до 1,5 ч полета и с 2 ч полета до 2,5 ч полета

г) $8 : 0,5 = 80 : 5 = 16$ км/ч – скорость подъема самолета

д) $(8 – 6) : 0,5 = 2 : 0,5 = 20 : 5 = 4$ км/ч – скорость снижения до высоты 6 км

е) $6 : 0,5 = 60 : 5 = 12$км/ч – скорость снижения с высоты 6 км до 0 км

а) наибольшую высоту, на которую поднялся самолёт;

Чтобы определить наибольшую высоту, необходимо найти максимальное значение по вертикальной оси (оси высот Y), которого достигает график. Глядя на график, мы видим, что самая высокая точка полёта соответствует горизонтальному участку на уровне 8 км.

Ответ: 8 км.

б) время, затраченное на набор высоты;

Набор высоты происходит на первом, восходящем участке графика. Он начинается в точке с координатами $(0; 0)$ и заканчивается в точке, где самолёт достигает максимальной высоты 8 км. По оси времени (ось X) этой точке соответствует значение $t = 0.8$ ч. Таким образом, время, затраченное на набор высоты, равно разнице между конечным и начальным временем этого участка.
$ \Delta t = 0.8 \text{ ч} - 0 \text{ ч} = 0.8 \text{ ч} $

Ответ: 0.8 ч.

в) в какие промежутки времени самолёт не менял высоту;

Самолёт не менял высоту, когда его высота оставалась постоянной. На графике это соответствует горизонтальным участкам. Таких участков два:
1. Первый горизонтальный участок на высоте 8 км. Он начинается в момент времени $t_1 = 0.8$ ч и заканчивается в $t_2 = 1.8$ ч.
2. Второй горизонтальный участок на высоте 6 км. Он начинается в $t_3 = 2$ ч и заканчивается в $t_4 = 2.4$ ч.

Ответ: с 0.8 ч до 1.8 ч и с 2 ч до 2.4 ч.

г) с какой скоростью самолёт поднимался;

Вертикальная скорость подъёма — это отношение изменения высоты ко времени, за которое это изменение произошло. Найдём её для первого участка графика (участка набора высоты).
Изменение высоты: $\Delta h = 8 \text{ км} - 0 \text{ км} = 8 \text{ км}$.
Изменение времени: $\Delta t = 0.8 \text{ ч} - 0 \text{ ч} = 0.8 \text{ ч}$.
Скорость подъёма: $v_{\text{подъёма}} = \frac{\Delta h}{\Delta t} = \frac{8 \text{ км}}{0.8 \text{ ч}} = 10 \text{ км/ч}$.

Ответ: 10 км/ч.

д) с какой скоростью самолёт снижался до высоты 6 км;

Это соответствует первому участку снижения, который начинается с высоты 8 км в момент времени $t_1 = 1.8$ ч и заканчивается на высоте 6 км в момент времени $t_2 = 2$ ч.
Изменение высоты: $\Delta h = 8 \text{ км} - 6 \text{ км} = 2 \text{ км}$.
Изменение времени: $\Delta t = 2 \text{ ч} - 1.8 \text{ ч} = 0.2 \text{ ч}$.
Скорость снижения: $v_{\text{снижения 1}} = \frac{\Delta h}{\Delta t} = \frac{2 \text{ км}}{0.2 \text{ ч}} = 10 \text{ км/ч}$.

Ответ: 10 км/ч.

е) с какой скоростью самолёт снижался с высоты 6 км до 0 км.

Это последний участок полёта (посадка). Он начинается с высоты 6 км в момент времени $t_1 = 2.4$ ч и заканчивается на земле (высота 0 км) в момент времени $t_2 = 2.9$ ч.
Изменение высоты: $\Delta h = 6 \text{ км} - 0 \text{ км} = 6 \text{ км}$.
Изменение времени: $\Delta t = 2.9 \text{ ч} - 2.4 \text{ ч} = 0.5 \text{ ч}$.
Скорость снижения: $v_{\text{снижения 2}} = \frac{\Delta h}{\Delta t} = \frac{6 \text{ км}}{0.5 \text{ ч}} = 12 \text{ км/ч}$.

Ответ: 12 км/ч.

6.119. Придумайте рассказ к графику движения, изображённому на рисунке 6.37.

6.119

Мотоциклист выехал из города А в город В, находящийся на расстоянии 65 км, в 4 часа утра и за 2 часа проехал 50 км. Затем он отдохнул 1 ч и поехал дальше. Через час пути он проехал еще 10 км и пошел к знакомым. где находился 1 час. Затем он вспомнил, что оставил на предыдущей стоянке рюкзак и вернулся обратно, доехав до места первой стоянки за 1 час. Взяв забытый рюкзак, мотоциклист поехал дальше в город В и прибыл туда в 11 часов. Выполнение всех намеченных дел в городе В заняло 5,5 часов, по истечении которых мотоциклист поехал обратно домой в город А.

За первые 1,5 часа мотоциклист проехал 20 км, а затем увеличил скорость и в 20 часов вечера вернулся обратно в город А.

Данный график можно интерпретировать как рассказ об однодневном путешествии туриста, например, на велосипеде. Ось x представляет время в часах (от 0:00 до 24:00), а ось y — расстояние от дома в километрах.

С 0:00 до 4:00. Ночь. Наш турист находится дома, его путешествие еще не началось. График проходит по оси времени, расстояние равно 0 км.

С 4:00 до 6:00. В 4 часа утра турист выезжает из дома. Он едет с постоянной скоростью и за 2 часа преодолевает 50 км. Его скорость на этом участке: $v = \frac{50 \text{ км}}{6\text{ ч} - 4\text{ ч}} = \frac{50 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 25 \text{ км/ч}$.

С 6:00 до 8:00. Турист делает первую остановку на 2 часа. Он находится в 50 км от дома. Возможно, это привал на завтрак в небольшом городке. График на этом участке параллелен оси времени.

С 8:00 до 9:00. После отдыха турист продолжает путь. За следующий час он проезжает еще 10 км (с 50-го по 60-й километр). Скорость на этом отрезке пути была ниже: $v = \frac{60 \text{ км} - 50 \text{ км}}{9\text{ ч} - 8\text{ ч}} = 10 \text{ км/ч}$.

С 9:00 до 10:00. На отметке 60 км от дома турист обнаруживает, что забыл что-то на месте предыдущей остановки, и решает вернуться. Он едет в обратном направлении 10 км и через час снова оказывается в точке, где завтракал (50 км от дома). Его скорость при движении назад была $10 \text{ км/ч}$.

С 10:00 до 12:00. Забрав забытую вещь, турист снова отправляется в путь. Следующие 2 часа он едет по более медленному, возможно, холмистому участку дороги. Он преодолевает 15 км (с 50 км до 65 км). Его скорость: $v = \frac{65 \text{ км} - 50 \text{ км}}{12\text{ ч} - 10\text{ ч}} = \frac{15 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 7.5 \text{ км/ч}$.

С 12:00 до 16:00. В полдень турист достигает конечной цели своего путешествия — возможно, это живописное озеро или домик в деревне, находящийся в 65 км от дома. Здесь он устраивает большой четырехчасовой привал для отдыха и обеда.

С 16:00 до 20:00. В 16:00 турист отправляется в обратный путь. Дорога домой занимает у него 4 часа. Он едет без остановок и к 20:00 прибывает домой, преодолев 65 км. Средняя скорость на обратном пути составила: $v = \frac{65 \text{ км}}{20\text{ ч} - 16\text{ ч}} = \frac{65 \text{ км}}{4 \text{ ч}} = 16.25 \text{ км/ч}$.

С 20:00 до 24:00. Турист находится дома. Его увлекательное путешествие завершено. График снова идет по оси времени на нулевой отметке расстояния.

Ответ: Выше представлен рассказ, описывающий события, которые могли бы соответствовать данному графику движения.