Страница 116, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

1. Петя может покрасить забор за 8 ч, а Миша — за 10 ч. Успеют ли они покрасить весь забор до тренировки, которая начнётся через 5 ч?

Применяем математику

1.

Петя – за 8 часов;

Миша – за 10 часов;

Успеют ли вместе за 5 часов - ?.

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }1 : 8 = \frac{1}{8}$(часть)-покрасит Петя за 1 ч;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 1 : 10 = \frac{1}{10}$ (часть)-покрасит Миша за 1 ч;

$\mathbf{3}\mathbf{)} {\frac{1}{8}}^{\overline{)·5}} + {\frac{1}{10}}^{\overline{)·4}} = \frac{5}{40} + \frac{4}{40} = \frac{9}{40}$(части)-покрасят вместе за 1 ч;

$\mathbf{4}\mathbf{)} 1 : \frac{9}{40} = 1 · \frac{40}{9} = \frac{40}{9} = 4\frac{4}{9}$ (ч)-будут красить забор вместе за 5 ч;

$4\frac{4}{9} < 5$

Ответ: успеют.

1. Чтобы определить, успеют ли Петя и Миша покрасить забор, необходимо рассчитать время, которое им потребуется для совместной работы, и сравнить его с имеющимися 5 часами.

Сначала определим производительность каждого мальчика. Примем всю работу по покраске забора за единицу (1).

Петя красит весь забор за 8 часов, следовательно, его производительность (часть забора, которую он красит за 1 час) составляет $1/8$ работы в час.

Миша красит весь забор за 10 часов, его производительность составляет $1/10$ работы в час.

Теперь найдем их общую производительность при совместной работе, сложив их индивидуальные производительности:

$V_{общая} = \frac{1}{8} + \frac{1}{10}$

Чтобы сложить эти дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 8 и 10 — это 40.

$\frac{1}{8} + \frac{1}{10} = \frac{1 \cdot 5}{40} + \frac{1 \cdot 4}{40} = \frac{5}{40} + \frac{4}{40} = \frac{9}{40}$

Таким образом, работая вместе, за один час они покрасят $9/40$ часть забора.

Теперь вычислим, сколько времени ($T$) им потребуется, чтобы покрасить весь забор (выполнить 1 работу). Для этого нужно разделить всю работу на их общую производительность:

$T = \frac{1}{V_{общая}} = \frac{1}{\frac{9}{40}} = 1 \cdot \frac{40}{9} = \frac{40}{9}$ часа.

Чтобы сравнить это время с 5 часами, представим дробь $\frac{40}{9}$ в виде смешанного числа:

$\frac{40}{9} = 4 \frac{4}{9}$ часа.

Теперь сравним полученное время с временем до тренировки:

$4 \frac{4}{9}$ часа < 5 часов.

Так как время, необходимое для совместной покраски забора, меньше времени, которое у них есть до тренировки, они успеют.

Ответ: да, успеют.

2. 1) Фарфор может состоять из 1 части полевого шпата, 3 частей кварца и 6 частей каолина (белая глина) Найдите массу вазы, если в ней кварца на 0,24 кг больше, чем полевого шпата.

2) Сплавы магния используют в производстве ракет и авиационных турбин, корпусов приборов, дисков автомобильных колёс и др. Их существует несколько видов. Часто сплав состоит из 1 части алюминия, 2 частей цинка и 18 частей магния. Сколько получилось этого сплава, если в нём магния на 3,9 т больше, чем цинка?

2.

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }3 – 1 = 2$(части) – составляют 0,24 кг;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }0,24 : 2 = 0,12$ (кг) – в одной части;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 1 + 3 + 6 = 10$(частей) – всего;

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }0,12 · 10 = 1,2$(кг) – масса вазы.

Ответ: 1,2 кг.

$\mathbf{1}\mathbf{)} 18 – 2 = 16$(частей) – составляет 3,9 т;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 3,9 : 16 = 3\frac{9}{10} · \frac{1}{16} = \frac{39}{10} · \frac{1}{16} =\frac{30}{160}$(т) – в одной части;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }1 + 2 + 18 = 21$(часть) – всего;

$\mathbf{4}\mathbf{)} \frac{39}{160} · 21 = \frac{819}{160} = 5\frac{19}{160}$(т) – получилось сплава.

Ответ: 5,11875 т.

1)

Для решения задачи введем переменную. Пусть масса одной части, из которых состоит фарфор, равна $x$ кг. Согласно условию, фарфор состоит из 1 части полевого шпата, 3 частей кварца и 6 частей каолина. Значит, масса полевого шпата в вазе составляет $1 \cdot x = x$ кг. Масса кварца составляет $3 \cdot x = 3x$ кг. Масса каолина составляет $6 \cdot x = 6x$ кг.

В условии сказано, что масса кварца на 0,24 кг больше массы полевого шпата. На основании этого можно составить уравнение: $3x - x = 0,24$

Решим это уравнение: $2x = 0,24$ $x = 0,24 / 2$ $x = 0,12$

Таким образом, масса одной части равна 0,12 кг. Общая масса вазы складывается из масс всех ее компонентов. Общее количество частей в составе фарфора: $1 + 3 + 6 = 10$ частей.

Чтобы найти массу всей вазы, нужно массу одной части умножить на общее количество частей: $10 \cdot x = 10 \cdot 0,12 = 1,2$ кг.

Ответ: 1,2 кг.

2)

Для решения задачи введем переменную. Пусть масса одной части, из которых состоит сплав, равна $y$ т. Согласно условию, сплав состоит из 1 части алюминия, 2 частей цинка и 18 частей магния. Значит, масса алюминия в сплаве составляет $1 \cdot y = y$ т. Масса цинка составляет $2 \cdot y = 2y$ т. Масса магния составляет $18 \cdot y = 18y$ т.

В условии сказано, что масса магния на 3,9 т больше массы цинка. Составим уравнение на основе этих данных: $18y - 2y = 3,9$

Решим полученное уравнение: $16y = 3,9$ $y = 3,9 / 16$ $y = 0,24375$

Следовательно, масса одной части сплава равна 0,24375 т. Общая масса сплава складывается из масс всех его компонентов. Найдем общее количество частей в сплаве: $1 + 2 + 18 = 21$ часть.

Чтобы найти общую массу всего полученного сплава, нужно массу одной части умножить на их общее количество: $21 \cdot y = 21 \cdot 0,24375 = 5,11875$ т.

Ответ: 5,11875 т.

3. Как разделить поровну семь дынь между 12 гостями, если каждую дыню можно разрезать только на равные части и частей должно быть не больше 5?

3.

1) 4 дыни разделим на 3 равные части, получим 12 частей, каждому дадим одну часть

2) оставшиеся 3 дыни разделим на 4 равные части, получим 12 частей, каждому дадим по одной части

Чтобы поровну разделить 7 дынь между 12 гостями, сначала вычислим, какая доля дыни должна достаться каждому. Для этого общее количество дынь делим на количество гостей:$$ \frac{7 \text{ дынь}}{12 \text{ гостей}} = \frac{7}{12} \text{ дыни} $$Таким образом, каждый гость должен получить $\frac{7}{12}$ дыни.

Согласно условию, каждую дыню можно разрезать только на равные части, число которых не превышает 5. Это значит, что мы можем получать куски, равные $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{4}$ или $\frac{1}{5}$ от целой дыни. Наша задача — представить долю каждого гостя, $\frac{7}{12}$, в виде суммы таких дробей. Наиболее удобное разложение для дроби $\frac{7}{12}$ выглядит так:$$ \frac{7}{12} = \frac{3 + 4}{12} = \frac{3}{12} + \frac{4}{12} = \frac{1}{4} + \frac{1}{3} $$Это разложение подходит, так как и 3, и 4 части не превышают 5.

Из этого следует, что каждый из 12 гостей должен получить по одному куску размером в $\frac{1}{3}$ дыни и по одному куску размером в $\frac{1}{4}$ дыни. Чтобы реализовать этот план, необходимо:
1. Для получения 12 кусков размером в $\frac{1}{3}$ дыни, нужно взять 4 дыни и каждую разрезать на 3 равные части ($4 \times 3 = 12$ кусков).
2. Для получения 12 кусков размером в $\frac{1}{4}$ дыни, нужно взять 3 дыни и каждую разрезать на 4 равные части ($3 \times 4 = 12$ кусков).

Всего будет использовано $4 + 3 = 7$ дынь, что соответствует условию задачи. Каждая дыня разрезана на 3 или 4 части, что не нарушает ограничение в 5 частей. В результате каждый гость получит свою равную долю.

Ответ: 4 дыни следует разрезать на 3 равные части каждую, а 3 оставшиеся дыни — на 4 равные части каждую. Затем каждому из 12 гостей нужно дать по одному куску от дынь, разрезанных на трети, и по одному куску от дынь, разрезанных на четверти.

4. Который сейчас час, если оставшаяся часть суток 125 раза больше прошедшей?

4.

Пусть х ч – прошедшая часть суток, $1\frac{2}{5} х$ ч – оставшаяся часть суток. Зная, что в сутках 24 часа, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х + 1\frac{2}{5} х = 24; \\ \left(1 + 1\frac{2}{5}\right) х = 24; \\ 2\frac{2}{5} х = 24; \\ х = 24 : 2\frac{2}{5}; \\ х = 24 : \frac{12}{5}; \\ х = \stackrel{2}{\cancel{24}} · \frac{5}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{12}}}}; \\ х = 2 · 5; \end{gathered}$$

$х = 10$(ч) – прошедшая часть суток, т.е. сейчас 10 часов утра

Ответ: 10 часов утра.

Для решения этой задачи необходимо составить уравнение. В сутках 24 часа. Обозначим прошедшую часть суток за $x$ часов. Тогда оставшаяся часть суток будет равна $(24 - x)$ часов.

По условию задачи, оставшаяся часть суток в $1\frac{2}{5}$ раза больше прошедшей. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь для удобства вычислений:
$1\frac{2}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{7}{5}$

Теперь мы можем составить математическое уравнение, исходя из условия:
$24 - x = \frac{7}{5}x$

Для решения этого уравнения перенесем все члены с переменной $x$ в одну сторону:
$24 = \frac{7}{5}x + x$

Чтобы сложить дроби, приведем $x$ к знаменателю 5:
$24 = \frac{7}{5}x + \frac{5}{5}x$
$24 = \frac{12}{5}x$

Теперь найдем $x$, умножив обе части уравнения на обратную дробь $\frac{5}{12}$:
$x = 24 \cdot \frac{5}{12}$
$x = \frac{24 \cdot 5}{12} = 2 \cdot 5 = 10$

Таким образом, прошедшая часть суток равна 10 часам. Это означает, что сейчас 10 часов утра.

Проверим полученный результат:
Прошедшее время: 10 часов.
Оставшееся время: $24 - 10 = 14$ часов.
Найдем отношение оставшегося времени к прошедшему: $\frac{14}{10} = 1,4 = 1\frac{4}{10} = 1\frac{2}{5}$.
Результат совпадает с условием задачи.
Ответ: 10 часов.

6.104. Какая последняя цифра у значения разности 1 · 2 · 3 · 4 · ... · 26 · 27 – 1 · 3 · 5 · 7 · ... · 25 · 27?

6.104

$1 · 2 · 3 · 4 · \dots · 26 · 27 - 1 · 3 · 5 · 7 · \dots · 25 · 27 = \dots 5$

Уменьшаемое оканчивается на 0, потому что среди множителей есть число 10 (а так же пары множителей на 2 и 5)

Вычитаемое оканчивается на 5, потому что множители состоят только из нечётных чисел и там присутствует 5

Так как уменьшаемое оканчивается на 0, а вычитаемое на 5, то разность будет оканчивается на 5.

Ответ: цифра 5

Для того чтобы определить последнюю цифру значения разности, необходимо найти последнюю цифру уменьшаемого и последнюю цифру вычитаемого, а затем найти последнюю цифру результата их вычитания.

Исходное выражение: $(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \dots \cdot 26 \cdot 27) - (1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \dots \cdot 25 \cdot 27)$.

Сначала определим последнюю цифру уменьшаемого: $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \dots \cdot 26 \cdot 27$.

Это произведение, также известное как факториал $27!$, содержит в качестве множителей как четные числа (например, 2, 4, 6, ...), так и числа, оканчивающиеся на 5 (5, 15, 25). Произведение любого четного числа на число, оканчивающееся на 5, дает в результате число, оканчивающееся на 0. Например, $2 \cdot 5 = 10$. Так как в произведении $1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 27$ есть множители 2 и 5, то результат будет кратен 10. Следовательно, последняя цифра этого произведения равна 0.

Теперь определим последнюю цифру вычитаемого: $1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \dots \cdot 25 \cdot 27$.

Это произведение состоит только из нечетных множителей. Один из множителей равен 5. При умножении числа 5 на любое нечетное число результат всегда будет оканчиваться на 5 (например, $1 \cdot 5 = 5$, $3 \cdot 5 = 15$, $7 \cdot 5 = 35$). Поскольку все множители в данном произведении нечетные, то их итоговое произведение будет оканчиваться на 5.

Наконец, найдем последнюю цифру разности. Нам нужно из числа, оканчивающегося на 0, вычесть число, оканчивающееся на 5. Уменьшаемое ($27!$) очевидно больше вычитаемого. При вычитании в столбик из 0 в разряде единиц нужно вычесть 5. Для этого мы "занимаем" десяток из старшего разряда, и вычисление сводится к $10 - 5 = 5$. Таким образом, последняя цифра разности будет 5.

Ответ: 5

6.105. Запишите в виде двойного неравенства и в виде промежутка условия, которым подчиняются (рис. 6.35):
а) абсциссы любой точки фигуры;
б) ординаты любой точки фигуры.

6.105

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }-3 \le \mathrm{х} \le 4, \mathrm{х} \in [-3;4] \\ -1 \le \mathrm{х} \le 6, \mathrm{х} \in [-1;6] \\ \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }-2 \le \mathrm{у} \le 1, \mathrm{х} \in [-2;1] \\ -5 \le \mathrm{у} \le 3, \mathrm{х} \in [-5;3] \end{gathered}$$

Для фигуры а (прямоугольник):

а) Чтобы найти условия для абсцисс (координат $x$), необходимо определить крайние левое и правое положения фигуры. Прямоугольник простирается от $x = -3$ до $x = 4$. Поскольку границы фигуры изображены сплошной линией, точки на границе принадлежат фигуре. Таким образом, абсциссы всех точек фигуры удовлетворяют условию:
- в виде двойного неравенства: $-3 \le x \le 4$;
- в виде промежутка: $[-3; 4]$.
Ответ: $-3 \le x \le 4$; $[-3; 4]$.

б) Чтобы найти условия для ординат (координат $y$), необходимо определить крайние нижнее и верхнее положения фигуры. Прямоугольник простирается от $y = -2$ до $y = 1$. Границы включены, поэтому ординаты всех точек фигуры удовлетворяют условию:
- в виде двойного неравенства: $-2 \le y \le 1$;
- в виде промежутка: $[-2; 1]$.
Ответ: $-2 \le y \le 1$; $[-2; 1]$.

Для фигуры б (треугольник):

а) Абсциссы (координаты $x$) любой точки треугольника определяются его крайними по горизонтали точками. Самая левая точка фигуры имеет абсциссу $x = -1$, а самая правая — $x = 6$. Таким образом, для любой точки фигуры выполняется условие:
- в виде двойного неравенства: $-1 \le x \le 6$;
- в виде промежутка: $[-1; 6]$.
Ответ: $-1 \le x \le 6$; $[-1; 6]$.

б) Ординаты (координаты $y$) любой точки треугольника определяются его крайними по вертикали точками. Самая нижняя точка фигуры имеет ординату $y = -5$, а самая верхняя — $y = 3$. Таким образом, для любой точки фигуры выполняется условие:
- в виде двойного неравенства: $-5 \le y \le 3$;
- в виде промежутка: $[-5; 3]$.
Ответ: $-5 \le y \le 3$; $[-5; 3]$.

6.106. Где расположена на координатной плоскости точка М(х; у), если:
а) х = 0, у = 0;
б) х = 0;
в) у = 0;
г) х > 0;
д) у > 0;
е) у < 0;
ж) х > 0, у > 0;
з) х < 0, у < 0;
и) х < 0, у > 0;
к) х > 0, у < 0?

6.106

а) х = 0, у = 0 – точка начала координат

б) х = 0 – на оси у

в) у = 0 – на оси х

г) х > 0 – правее оси у

д) у > 0 – выше оси х

е) у < 0 – ниже оси х

ж) х > 0, y > 0 – выше оси х и правее оси у

з) x < 0, y < 0 – ниже оси х и левее оси у

и) х < 0, y > 0 – выше оси х и левее оси у

к) x > 0, y < 0 – ниже оси х и правее оси у

Для определения положения точки $M(x; y)$ на координатной плоскости необходимо проанализировать знаки ее координат — абсциссы $x$ и ординаты $y$. Координатная плоскость делится осями координат (осью абсцисс Ox и осью ординат Oy) на четыре четверти (квадранта).

а) Если координаты точки равны $x = 0$ и $y = 0$, то эта точка является началом координат — точкой пересечения оси абсцисс (Ox) и оси ординат (Oy).

Ответ: точка M находится в начале координат.

б) Условие $x = 0$ означает, что точка не имеет смещения по горизонтали (ни вправо, ни влево) относительно начала координат. Все точки с абсциссой, равной нулю, лежат на оси ординат (оси Oy).

Ответ: точка M расположена на оси ординат (оси Oy).

в) Условие $y = 0$ означает, что точка не имеет смещения по вертикали (ни вверх, ни вниз) относительно начала координат. Все точки с ординатой, равной нулю, лежат на оси абсцисс (оси Ox).

Ответ: точка M расположена на оси абсцисс (оси Ox).

г) Условие $x > 0$ означает, что абсцисса точки положительна. Такие точки расположены в правой полуплоскости, то есть справа от оси ординат (оси Oy). Это включает в себя все точки I и IV координатных четвертей, а также точки на положительной части оси Ox.

Ответ: точка M расположена в правой полуплоскости (справа от оси Oy).

д) Условие $y > 0$ означает, что ордината точки положительна. Такие точки расположены в верхней полуплоскости, то есть выше оси абсцисс (оси Ox). Это включает в себя все точки I и II координатных четвертей, а также точки на положительной части оси Oy.

Ответ: точка M расположена в верхней полуплоскости (выше оси Ox).

е) Условие $y < 0$ означает, что ордината точки отрицательна. Такие точки расположены в нижней полуплоскости, то есть ниже оси абсцисс (оси Ox). Это включает в себя все точки III и IV координатных четвертей, а также точки на отрицательной части оси Oy.

Ответ: точка M расположена в нижней полуплоскости (ниже оси Ox).

ж) Условия $x > 0$ и $y > 0$ означают, что абсцисса точки положительна (точка правее оси Oy), а ордината положительна (точка выше оси Ox). Эта область является первой координатной четвертью (I четверть).

Ответ: точка M расположена в I координатной четверти.

з) Условия $x < 0$ и $y < 0$ означают, что абсцисса точки отрицательна (точка левее оси Oy), а ордината отрицательна (точка ниже оси Ox). Эта область является третьей координатной четвертью (III четверть).

Ответ: точка M расположена в III координатной четверти.

и) Условия $x < 0$ и $y > 0$ означают, что абсцисса точки отрицательна (точка левее оси Oy), а ордината положительна (точка выше оси Ox). Эта область является второй координатной четвертью (II четверть).

Ответ: точка M расположена во II координатной четверти.

к) Условия $x > 0$ и $y < 0$ означают, что абсцисса точки положительна (точка правее оси Oy), а ордината отрицательна (точка ниже оси Ox). Эта область является четвертой координатной четвертью (IV четверть).

Ответ: точка M расположена в IV координатной четверти.

6.107. Найдите корень уравнения:
а) 7у – 3,7 = 5у;
б) 56n – 1 = 13n;
в) 15,9а = 15,7а + 5.

6.107

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} 7\mathrm{у} – 3,7 = 5\mathrm{у}; \\ 7\mathrm{y} – 5\mathrm{y} = 3,7; \\ 2\mathrm{y} = 3,7; \\ \mathrm{y} = 3,7 : 2; \\ \mathrm{y} = 1,85. \\ \mathrm{Ответ}: 1,85. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)} \frac{5}{6}\mathrm{n} - 1 = \frac{1}{3}\mathrm{n}; \\ \frac{5}{6} \mathrm{n} - {\frac{1}{3}}^{\overline{)·2}} \mathrm{n} = 1; \\ \frac{5}{6} \mathrm{n} - \frac{2}{6} \mathrm{n} = 1; \\ \frac{3}{6} \mathrm{n} = 1; \\ \frac{1}{2} \mathrm{n} = 1; \\ \mathrm{n} = 1 : \frac{1}{2}; \\ \mathrm{n} = 1 · 2; \\ \mathrm{n} = 2. \\ \mathrm{Ответ}: 2. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)} 15,9\mathrm{a} = 15,7\mathrm{a} + 5; \\ 15,9\mathrm{a} – 15,7\mathrm{a} = 5; \\ 0,2\mathrm{a} = 5; \\ \mathrm{a} = 5 : 0,2; \\ \mathrm{a} = 50 : 2; \\ \mathrm{a} = 25. \\ \mathrm{Ответ}: 25. \end{gathered}$$

а) Дано уравнение $7y - 3,7 = 5y$.
Для его решения перенесем все слагаемые с переменной $y$ в левую часть уравнения, а числовые слагаемые — в правую. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный.
$7y - 5y = 3,7$
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$2y = 3,7$
Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при $y$, то есть на 2:
$y = \frac{3,7}{2}$
$y = 1,85$
Ответ: 1,85.

б) Дано уравнение $\frac{5}{6}n - 1 = \frac{1}{3}n$.
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 6 и 3, которое равно 6.
$6 \cdot (\frac{5}{6}n - 1) = 6 \cdot (\frac{1}{3}n)$
$6 \cdot \frac{5}{6}n - 6 \cdot 1 = 6 \cdot \frac{1}{3}n$
$5n - 6 = 2n$
Теперь перенесем слагаемые с переменной $n$ в одну сторону, а числа — в другую.
$5n - 2n = 6$
Приведем подобные слагаемые:
$3n = 6$
Разделим обе части уравнения на 3:
$n = \frac{6}{3}$
$n = 2$
Ответ: 2.

в) Дано уравнение $15,9a = 15,7a + 5$.
Перенесем слагаемое $15,7a$ из правой части в левую с противоположным знаком.
$15,9a - 15,7a = 5$
Выполним вычитание в левой части уравнения:
$0,2a = 5$
Чтобы найти $a$, разделим обе части уравнения на 0,2.
$a = \frac{5}{0,2}$
Для удобства вычисления можно умножить числитель и знаменатель на 10.
$a = \frac{50}{2}$
$a = 25$
Ответ: 25.

6.108. Решите уравнение:
а) |у| + |–43| = |–53|;
б) |у| · |–11| = |–88|.

6.108

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} |\mathrm{y}| + |-43| = |-53|; \\ |\mathrm{y}| + 43 = 53; \\ |\mathrm{y}| = 53 – 43; \\ |\mathrm{y}| = 10; \\ \mathrm{у} = 10 \mathrm{или} \mathrm{у} = -10. \\ \mathrm{Ответ}: -10 \mathrm{или} 10. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }|\mathrm{y}| · |-11| = |-88|; \\ |\mathrm{y}| · 11 = 88; \\ |\mathrm{y}| = 88 : 11; \\ |\mathrm{y}| = 8. \\ \mathrm{у} = 8 \mathrm{или} \mathrm{у} = -8. \\ \mathrm{Ответ}: -8 \mathrm{или} 8. \end{gathered}$$

а) $|y| + |-43| = |-53|$

Для решения этого уравнения сначала раскроем модули известных чисел. Модуль числа — это его абсолютное значение, которое всегда неотрицательно. Таким образом, $|-43| = 43$ и $|-53| = 53$.

Подставим эти значения в исходное уравнение:

$|y| + 43 = 53$

Теперь найдем значение $|y|$, перенеся 43 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$|y| = 53 - 43$

$|y| = 10$

Уравнение $|y| = 10$ означает, что значение переменной $y$ может быть как 10, так и -10, поскольку модуль обоих этих чисел равен 10.

Ответ: $y = 10$ или $y = -10$.

б) $|y| \cdot |-11| = |-88|$

Аналогично первому пункту, сначала вычислим значения модулей известных чисел: $|-11| = 11$ и $|-88| = 88$.

Подставим полученные значения в уравнение:

$|y| \cdot 11 = 88$

Чтобы найти $|y|$, разделим обе части уравнения на 11:

$|y| = \frac{88}{11}$

$|y| = 8$

Так как модуль числа 8 и числа -8 равен 8, уравнение имеет два корня.

Ответ: $y = 8$ или $y = -8$.

6.109. Найдите целые решения неравенства:
а) 2 < |а| < 9;
б) 7,8 < |n| < 1347.

6.109

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} 2 < |\mathrm{a}| < 9 \\ \mathrm{a} = -8, -7, -6, -5, -4, -3, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 7,8 < |n| < 13\frac{4}{7} \\ n = -13, -12, -11, -10, -9, -8, 8, 9, 10, 11, 12, 13 \end{gathered}$$

а) Найдём целые решения неравенства $2 < |a| < 9$.

Данное двойное неравенство означает, что мы ищем целые числа $a$, модуль которых $|a|$ строго больше 2 и строго меньше 9. Так как $a$ является целым числом, его модуль $|a|$ может быть только целым неотрицательным числом. Целые значения для $|a|$, удовлетворяющие этому условию, это: 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Для каждого положительного значения модуля существует два соответствующих целых числа $a$: одно положительное и одно отрицательное.
Если $|a|=3$, то $a = 3$ или $a = -3$.
Если $|a|=4$, то $a = 4$ или $a = -4$.
Если $|a|=5$, то $a = 5$ или $a = -5$.
Если $|a|=6$, то $a = 6$ или $a = -6$.
Если $|a|=7$, то $a = 7$ или $a = -7$.
Если $|a|=8$, то $a = 8$ или $a = -8$.

Объединив все найденные значения, получаем искомый набор целых решений.

Ответ: -8, -7, -6, -5, -4, -3, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

б) Найдём целые решения неравенства $7,8 < |n| < 13\frac{4}{7}$.

Мы ищем целые числа $n$, поэтому их модуль $|n|$ также должен быть целым числом. Нам нужно найти все целые числа для $|n|$, которые больше 7,8 и меньше $13\frac{4}{7}$.

Первое целое число, которое больше 7,8, — это 8. Дробь $13\frac{4}{7}$ находится между целыми числами 13 и 14, поэтому наибольшее целое число, которое меньше $13\frac{4}{7}$, — это 13. Таким образом, возможные целые значения для $|n|$: 8, 9, 10, 11, 12, 13.

Для каждого из этих значений модуля существуют два соответствующих целых числа $n$: положительное и отрицательное.
Это числа: $\pm 8, \pm 9, \pm 10, \pm 11, \pm 12, \pm 13$.

Ответ: -13, -12, -11, -10, -9, -8, 8, 9, 10, 11, 12, 13.

6.110. На координатной плоскости постройте прямоугольник, у которого абсциссы и ординаты точек удовлетворяют условиям:
а) –4 ≤ х ≤ 4, –6 ≤ у ≤ 5;
б) |х| ≤ 3, |у | ≤ 7.

6.110

а) -4 ≤ х ≤ 4, -6 ≤ у ≤ 5

б) |x| ≤ 3, т.е. -3 ≤ х ≤ 3
|y| ≤ 7, т.е. -7 ≤ y ≤ 7

а)

Условия, которым должны удовлетворять абсциссы $x$ и ординаты $y$ точек прямоугольника, заданы в виде системы неравенств:
$ -4 \le x \le 4 $
$ -6 \le y \le 5 $

Первое неравенство $ -4 \le x \le 4 $ означает, что все точки искомого прямоугольника лежат в вертикальной полосе, ограниченной прямыми $x = -4$ (слева) и $x = 4$ (справа).

Второе неравенство $ -6 \le y \le 5 $ означает, что все точки искомого прямоугольника лежат в горизонтальной полосе, ограниченной прямыми $y = -6$ (снизу) и $y = 5$ (сверху).

Множество точек, удовлетворяющих обоим условиям одновременно, представляет собой пересечение этих двух полос. Это и есть прямоугольник, стороны которого параллельны осям координат.

Вершины этого прямоугольника находятся в точках пересечения граничных прямых. Найдем координаты этих вершин:
- Пересечение прямых $x = -4$ и $y = -6$ дает вершину с координатами $(-4, -6)$.
- Пересечение прямых $x = 4$ и $y = -6$ дает вершину с координатами $(4, -6)$.
- Пересечение прямых $x = 4$ и $y = 5$ дает вершину с координатами $(4, 5)$.
- Пересечение прямых $x = -4$ и $y = 5$ дает вершину с координатами $(-4, 5)$.

Ответ: Прямоугольник с вершинами в точках с координатами $(-4, -6)$, $(4, -6)$, $(4, 5)$ и $(-4, 5)$.

б)

В этом случае условия для координат точек заданы неравенствами с модулем:
$ |x| \le 3 $
$ |y| \le 7 $

Для решения раскроем эти неравенства. Неравенство вида $|a| \le b$ (где $b$ — положительное число) равносильно двойному неравенству $-b \le a \le b$.

Применяя это правило к нашим условиям, получаем:
- Для абсциссы $x$: неравенство $ |x| \le 3 $ эквивалентно $ -3 \le x \le 3 $.
- Для ординаты $y$: неравенство $ |y| \le 7 $ эквивалентно $ -7 \le y \le 7 $.

Как и в предыдущем пункте, эти неравенства определяют прямоугольник на координатной плоскости.
Неравенство $ -3 \le x \le 3 $ задает вертикальную полосу между прямыми $x = -3$ и $x = 3$.
Неравенство $ -7 \le y \le 7 $ задает горизонтальную полосу между прямыми $y = -7$ и $y = 7$.

Прямоугольник является пересечением этих двух полос. Найдем координаты его вершин:
- Пересечение прямых $x = -3$ и $y = -7$ дает вершину с координатами $(-3, -7)$.
- Пересечение прямых $x = 3$ и $y = -7$ дает вершину с координатами $(3, -7)$.
- Пересечение прямых $x = 3$ и $y = 7$ дает вершину с координатами $(3, 7)$.
- Пересечение прямых $x = -3$ и $y = 7$ дает вершину с координатами $(-3, 7)$.

Ответ: Прямоугольник с вершинами в точках с координатами $(-3, -7)$, $(3, -7)$, $(3, 7)$ и $(-3, 7)$.

6.111. Найдите два числа, если их сумма равна 125 и 12 одного числа равна 34 другого.

6.111

Пусть х – одно число, тогда (125 – х) – другое число, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{1}{2}х = \frac{3}{4}\left(125 - х\right); \overline{) · 4} \\ \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{2}}}}х · \stackrel{2}{\bcancel{4}} = \frac{3}{\cancel{4}}\left(125 - х\right) · \cancel{4}; \\ \frac{1}{1}х · 2 = \frac{3}{1}\left(125 - х\right) · 1; \\ 2х = 3(125 – х); \\ 2х = 375 – 3х; \\ 2х + 3х = 375; \\ 5х = 375; \\ х = 375 : 5; \end{gathered}$$

х = 75 – одно число

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }125 – 75 = 50$ – другое число.

Ответ: 75 и 50.

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть первое искомое число будет $x$, а второе — $y$.

Согласно условию, сумма этих двух чисел равна 125. Это можно записать в виде первого уравнения:

$x + y = 125$

Также в условии сказано, что $\frac{1}{2}$ первого числа равна $\frac{3}{4}$ второго. Это дает нам второе уравнение:

$\frac{1}{2}x = \frac{3}{4}y$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} x + y = 125 \\ \frac{1}{2}x = \frac{3}{4}y \end{cases} $

Для решения системы выразим одну переменную через другую из второго уравнения. Умножим обе части второго уравнения на 2, чтобы выразить $x$:

$2 \cdot \frac{1}{2}x = 2 \cdot \frac{3}{4}y$

$x = \frac{6}{4}y$

Сократим дробь:

$x = \frac{3}{2}y$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$(\frac{3}{2}y) + y = 125$

Чтобы решить это уравнение относительно $y$, сложим коэффициенты при $y$:

$\frac{3}{2}y + \frac{2}{2}y = 125$

$\frac{5}{2}y = 125$

Теперь найдем $y$, умножив обе части уравнения на $\frac{2}{5}$:

$y = 125 \cdot \frac{2}{5}$

$y = \frac{125 \cdot 2}{5} = \frac{250}{5}$

$y = 50$

Мы нашли второе число. Теперь, чтобы найти первое число $x$, подставим значение $y = 50$ в выражение $x = \frac{3}{2}y$:

$x = \frac{3}{2} \cdot 50$

$x = 3 \cdot \frac{50}{2}$

$x = 3 \cdot 25$

$x = 75$

Таким образом, искомые числа — это 75 и 50.

Выполним проверку:

1. Проверим сумму: $75 + 50 = 125$. Это соответствует условию.

2. Проверим соотношение: $\frac{1}{2}$ от 75 равна $75 \div 2 = 37.5$. $\frac{3}{4}$ от 50 равна $(3 \cdot 50) \div 4 = 150 \div 4 = 37.5$. Это также соответствует условию.

Ответ: 75 и 50.

6.112. За три дня было продано 2,7 ц яблок. Во второй день продали 60 % от продажи первого дня, в третий – в 1,4 раза больше, чем в первый. Сколько центнеров яблок продавали каждый день?

6.112

Пусть х ц яблок – продано в 1 день, тогда 0,6х ц яблок – продано во 2 день, 1,4х ц яблок – продали в 3 день. Зная, что за три дня продано 2,7 ц яблок, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х + 0,6х + 1,4х = 2,7; \\ 3х = 2,7; \\ х = 2,7 : 3; \end{gathered}$$

х = 0,9 ц  – продано в 1 день;

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }0,6 · 0,9 = 0,54$– продано во 2 день;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }1,4 · 0,9 = 1,26$ц – продано в 3 день

Ответ: 0,9 ц, 0,54 ц и 1,26 ц

Для решения задачи обозначим количество яблок, проданных в первый день, через $x$ центнеров.

Согласно условию, во второй день продали 60% от количества, проданного в первый день. Переведем проценты в десятичную дробь: $60\% = 0.6$. Следовательно, во второй день было продано $0.6x$ центнеров яблок.

В третий день продали в 1,4 раза больше, чем в первый, то есть $1.4x$ центнеров яблок.

Общее количество яблок, проданных за три дня, равно 2,7 центнера. Мы можем составить уравнение, сложив продажи за все три дня:

$x + 0.6x + 1.4x = 2.7$

Теперь решим полученное уравнение. Сначала упростим левую часть, сложив коэффициенты при $x$:

$(1 + 0.6 + 1.4)x = 2.7$

$3x = 2.7$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 3:

$x = \frac{2.7}{3}$

$x = 0.9$

Таким образом, в первый день было продано 0,9 центнера яблок.

Теперь, зная продажи первого дня, можем найти продажи за второй и третий дни.

Продажи во второй день:

$0.6 \times x = 0.6 \times 0.9 = 0.54$ центнера.

Продажи в третий день:

$1.4 \times x = 1.4 \times 0.9 = 1.26$ центнера.

Проверим правильность решения, сложив продажи за все дни: $0.9 + 0.54 + 1.26 = 2.7$ центнера. Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: в первый день было продано 0,9 центнера яблок, во второй день – 0,54 центнера, а в третий – 1,26 центнера.

6.113. Катамаран прошёл вниз по реке 155 км, а вверх 36 км. Найдите среднюю скорость на всём пути, если скорость течения 2 км/ч, а собственная скорость 18 км/ч.

6.113

S_{по течению} = 155 км
S_{против течения} = 36 км
v_{течения} = 2 км/ч
v_{собств.} = 18 км/ч

$\mathbf{1}\mathbf{)} 18 + 2 = 20$ (км/ч) – скорость катамарана по течению;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }18 – 2 = 16$ (км/ч) – скорость катамарана против течения;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }155 : 20 = 7,75$ (ч) – время движения по течению;

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }36 : 16 = 2,25$ (ч) – время движения против течения;

$\mathbf{5}\mathbf{)} 7,75 + 2,25 = 10$ (ч) – время движения катамарана;

$\mathbf{6}\mathbf{)} 155 + 36 = 191$ (км) – путь катамарана;

$\mathbf{7}\mathbf{)} 191 : 10 = 19,1$ (км/ч) – средняя скорость катамарана.

Ответ: 19,1 км/ч .

Средняя скорость движения вычисляется как отношение всего пройденного пути ко всему затраченному времени. Обозначим искомую среднюю скорость как $v_{ср}$.

1. Вычисление скорости катамарана по течению и против течения.

Скорость движения катамарана по течению (вниз) складывается из его собственной скорости и скорости течения:

$v_{по\;теч.} = v_{собств.} + v_{теч.} = 18 \text{ км/ч} + 2 \text{ км/ч} = 20 \text{ км/ч}$

Скорость движения катамарана против течения (вверх) равна разности его собственной скорости и скорости течения:

$v_{против\;теч.} = v_{собств.} - v_{теч.} = 18 \text{ км/ч} - 2 \text{ км/ч} = 16 \text{ км/ч}$

2. Вычисление времени, затраченного на каждый участок пути.

Время, затраченное на путь вниз по реке, находим по формуле $t = \frac{S}{v}$:

$t_{вниз} = \frac{S_{вниз}}{v_{по\;теч.}} = \frac{155 \text{ км}}{20 \text{ км/ч}} = 7,75 \text{ ч}$

Время, затраченное на путь вверх по реке:

$t_{вверх} = \frac{S_{вверх}}{v_{против\;теч.}} = \frac{36 \text{ км}}{16 \text{ км/ч}} = 2,25 \text{ ч}$

3. Вычисление общего расстояния и общего времени в пути.

Общее расстояние, которое прошел катамаран, равно сумме расстояний вниз и вверх по реке:

$S_{общ} = S_{вниз} + S_{вверх} = 155 \text{ км} + 36 \text{ км} = 191 \text{ км}$

Общее время движения:

$t_{общ} = t_{вниз} + t_{вверх} = 7,75 \text{ ч} + 2,25 \text{ ч} = 10 \text{ ч}$

4. Вычисление средней скорости на всем пути.

Теперь мы можем найти среднюю скорость, разделив общее расстояние на общее время:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{191 \text{ км}}{10 \text{ ч}} = 19,1 \text{ км/ч}$

Ответ: 19,1 км/ч.

6.114. В первый день магазином было продано 49 привезённой моркови, во второй день – 38 оставшейся моркови, а в третий день – последние 70 кг. Сколько килограммов моркови было привезено в магазин?

6.114

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$ (части)-оставшаяся морковь;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{5}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{9}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{3}}}}{8} = \frac{5}{3} · \frac{1}{8} = \frac{5}{24}$ (части)-продали во второй день;

$\mathbf{3}\mathbf{)} {\frac{5}{9}}^{\overline{)·8}} - {\frac{5}{24}}^{\overline{)·3}} = \frac{40}{72} - \frac{15}{72} = \frac{25}{72}$ (части)-продали в третий день;

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }70 : \frac{25}{72} = \stackrel{14}{\cancel{70}} · \frac{72}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{25}}}} = 14 · \frac{72}{5} =$

$= \frac{1008}{5} = \frac{2016}{10}= 201,6$ (кг)-было привезено

Ответ: 201,6 кг.

Для решения этой задачи будем действовать последовательно, начиная с конца.

1. Известно, что в третий день продали последние 70 кг моркови. Это количество — остаток после второго дня продаж. Во второй день продали $ \frac{3}{8} $ от моркови, которая была в наличии к началу этого дня. Следовательно, часть, оставшаяся на третий день, составляет $ 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8} $ от количества моркови на начало второго дня. Таким образом, 70 кг — это $ \frac{5}{8} $ остатка после первого дня.

2. Найдем, сколько килограммов моркови было в магазине в начале второго дня (то есть то, что осталось после первого дня). Для этого нужно найти число по его части:$ 70 \div \frac{5}{8} = 70 \cdot \frac{8}{5} = \frac{70 \cdot 8}{5} = 14 \cdot 8 = 112 $ кг.Значит, после первого дня в магазине оставалось 112 кг моркови.

3. В первый день было продано $ \frac{4}{9} $ всей привезенной моркови. Это означает, что остаток после первого дня (112 кг) составляет $ 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} $ от всего первоначального количества.

4. Теперь найдем, сколько всего килограммов моркови было привезено в магазин. Снова найдем целое число по его части:$ 112 \div \frac{5}{9} = 112 \cdot \frac{9}{5} = \frac{1008}{5} = 201.6 $ кг.

Ответ: в магазин было привезено 201,6 кг моркови.

6.115. Масса $\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4}}$ дм³ некоторого вещества равна $\frac{\mathbf{9}}{\mathbf{16}}$ г. Найдите:
а) массу 1 дм³ вещества;
б) объём 1 кг вещества.

6.115

а)

$\frac{х}{{\displaystyle \frac{9}{16}}} = \frac{1}{{\displaystyle \frac{3}{4}}}$

$$\begin{gathered} \mathrm{х} = \frac{9}{16} · 1 : \frac{3}{4} = \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\bcancel{9}}}}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{16}}}} · 1 · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{4}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{3}}}} = \\ = \frac{3}{4} · 1 · \frac{1}{1} = \frac{3}{4} \left(\mathrm{г}\right) \end{gathered}$$

б)

$\frac{1000}{{\displaystyle \frac{9}{16}}} = \frac{х}{{\displaystyle \frac{3}{4}}}$

$$\begin{gathered} \mathrm{х} = 1000 · \frac{3}{4} : \frac{9}{16} = 1000 · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{3}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\cancel{16}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\bcancel{9}}}} = \\ = 1000 · \frac{1}{1} · \frac{4}{3} = \frac{4000}{3} = 1333\frac{1}{3} \left({\mathrm{дм}}^3\right) \end{gathered}$$

Ответ: а)$\frac{3}{4} \mathrm{г}$; б) $1333\frac{1}{3} {\mathrm{дм}}^3$

а) массу 1 дм³ вещества;

Чтобы найти массу 1 дм³ вещества, необходимо определить его плотность ($\rho$), которая численно равна массе единицы объема. Плотность вычисляется по формуле $\rho = \frac{m}{V}$, где $m$ — масса, а $V$ — объем.

По условию задачи, масса $m = \frac{9}{16}$ г для объема $V = \frac{3}{4}$ дм³.

Найдем плотность:

$\rho = \frac{m}{V} = \frac{\frac{9}{16} \text{ г}}{\frac{3}{4} \text{ дм}^3}$

Для деления дробей, мы умножаем делимое на дробь, обратную делителю:

$\rho = \frac{9}{16} \times \frac{4}{3} = \frac{9 \times 4}{16 \times 3} = \frac{36}{48} \frac{\text{г}}{\text{дм}^3}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 12:

$\rho = \frac{3}{4} \frac{\text{г}}{\text{дм}^3}$

Следовательно, масса 1 дм³ данного вещества равна $\frac{3}{4}$ г.

Ответ: $\frac{3}{4}$ г.

б) объём 1 кг вещества.

Для нахождения объема ($V$) 1 кг вещества воспользуемся найденной плотностью $\rho = \frac{3}{4} \frac{\text{г}}{\text{дм}^3}$ и формулой $V = \frac{m}{\rho}$.

Сначала необходимо привести массу к единой системе единиц измерения. Переведем килограммы в граммы:

$m = 1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$

Теперь подставим значения массы и плотности в формулу для расчета объема:

$V = \frac{1000 \text{ г}}{\frac{3}{4} \frac{\text{г}}{\text{дм}^3}} = 1000 \times \frac{4}{3} \text{ дм}^3$

$V = \frac{4000}{3} \text{ дм}^3$

Представим результат в виде смешанного числа, выделив целую часть:

$4000 \div 3 = 1333$ (остаток 1)

$V = 1333\frac{1}{3} \text{ дм}^3$

Ответ: $1333\frac{1}{3}$ дм³.

6.116. Вычислите:

$1) \frac{3{\displaystyle \frac{4}{5}} · {\displaystyle \frac{5,5}{5,7}} + 2{\displaystyle \frac{2}{3}} : (-4)}{(8 - 2,9) : 17};$

$2) \frac{6{\displaystyle \frac{1}{4}} : 5 + {\displaystyle \frac{0,7}{7,6}} · (-2{\displaystyle \frac{5}{7}})}{(9,7 - 4,8) : 49}.$

6.116

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{3{\displaystyle \frac{4}{5}} · {\displaystyle \frac{5,5}{5,7}} + 2{\displaystyle \frac{2}{3}} : (-4)}{(8 - 2,9) : 17} = \frac{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{19}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{5}}}}} · {\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{11}{\bcancel{55}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{57}}}}} + {\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\sout{8}}}}{3}} ·\left(-{\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\sout{4}}}}}\right)}{5,1 : 17} = \\ = \frac{{\displaystyle \frac{1}{1} · \frac{11}{3} + \frac{2}{3} ·\left(-\frac{1}{1}\right)}}{0,3} = \frac{{\displaystyle \frac{11}{3} - \frac{2}{3} }}{0,3} = \frac{{\displaystyle \frac{9}{3} }}{0,3} = \\ = 3 : 0,3 = 30 : 3 = 10 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{6{\displaystyle \frac{1}{4}} : 5 + {\displaystyle \frac{0,7}{7,6}} · \left(-2{\displaystyle \frac{5}{7}}\right)}{(9,7 - 4,8) : 49} = \frac{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{25}}}}{4}} · {\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}}} + {\displaystyle \frac{\bcancel{7}}{{\displaystyle \underset{4}{\sout{76}}}}} · \left(-{\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\sout{19}}}}{\bcancel{7}}}\right)}{4,9 : 49} = \\ = \frac{{\displaystyle \frac{5}{4} · \frac{1}{1} + \frac{1}{4} · \left(-\frac{1}{1}\right)}}{0,1} = \frac{{\displaystyle \frac{5}{4} - \frac{1}{4}}}{0,1} = \frac{{\displaystyle \frac{4}{4} }}{0,1} = \\ = 1 : 0,1 = 10 : 1 = 10 \end{gathered}$$

1) Вычислим значение выражения по действиям. Сначала вычислим числитель, затем знаменатель и, наконец, их частное.

Выражение: $ \frac{3\frac{4}{5} \cdot \frac{5,5}{5,7} + 2\frac{2}{3} : (-4)}{(8 - 2,9) : 17} $

Вычисление числителя:
1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби и десятичные дроби в обыкновенные:
$ 3\frac{4}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{19}{5} $
$ \frac{5,5}{5,7} = \frac{55}{57} $
$ 2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3} $
2. Выполним умножение:
$ \frac{19}{5} \cdot \frac{55}{57} = \frac{19 \cdot 55}{5 \cdot 57} = \frac{19 \cdot (5 \cdot 11)}{5 \cdot (3 \cdot 19)} = \frac{11}{3} $
3. Выполним деление:
$ \frac{8}{3} : (-4) = \frac{8}{3} \cdot (-\frac{1}{4}) = -\frac{8 \cdot 1}{3 \cdot 4} = -\frac{2}{3} $
4. Выполним сложение результатов:
$ \frac{11}{3} + (-\frac{2}{3}) = \frac{11-2}{3} = \frac{9}{3} = 3 $
Таким образом, числитель равен 3.

Вычисление знаменателя:
1. Выполним вычитание в скобках:
$ 8 - 2,9 = 5,1 $
2. Выполним деление:
$ 5,1 : 17 = 0,3 $
Таким образом, знаменатель равен 0,3.

Итоговое вычисление:
$ \frac{3}{0,3} = \frac{3}{\frac{3}{10}} = 3 \cdot \frac{10}{3} = 10 $

Ответ: 10

2) Вычислим значение выражения по действиям, аналогично предыдущему пункту.

Выражение: $ \frac{6\frac{1}{4} : 5 + \frac{0,7}{7,6} \cdot (-2\frac{5}{7})}{(9,7 - 4,8) : 49} $

Вычисление числителя:
1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби и десятичные дроби в обыкновенные:
$ 6\frac{1}{4} = \frac{6 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{25}{4} $
$ \frac{0,7}{7,6} = \frac{7}{76} $
$ -2\frac{5}{7} = -(\frac{2 \cdot 7 + 5}{7}) = -\frac{19}{7} $
2. Выполним деление:
$ \frac{25}{4} : 5 = \frac{25}{4} \cdot \frac{1}{5} = \frac{25}{20} = \frac{5}{4} $
3. Выполним умножение:
$ \frac{7}{76} \cdot (-\frac{19}{7}) = -\frac{7 \cdot 19}{76 \cdot 7} = -\frac{19}{76} $. Так как $ 76 = 4 \cdot 19 $, то $ -\frac{19}{4 \cdot 19} = -\frac{1}{4} $
4. Выполним сложение результатов:
$ \frac{5}{4} + (-\frac{1}{4}) = \frac{5-1}{4} = \frac{4}{4} = 1 $
Таким образом, числитель равен 1.

Вычисление знаменателя:
1. Выполним вычитание в скобках:
$ 9,7 - 4,8 = 4,9 $
2. Выполним деление:
$ 4,9 : 49 = 0,1 $
Таким образом, знаменатель равен 0,1.

Итоговое вычисление:
$ \frac{1}{0,1} = \frac{1}{\frac{1}{10}} = 1 \cdot 10 = 10 $

Ответ: 10

6.117. Найдите х из пропорции:

$1) \frac{2,3}{0,5х + 2,2}=\frac{2,8}{х + 1,7};$

$2) \frac{5{\displaystyle \frac{1}{3}}}{2х +{\displaystyle \frac{2}{3}}}=\frac{4{\displaystyle \frac{1}{2}}}{3х - 3{\displaystyle \frac{3}{8}}}.$

6.117

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)} \frac{2,3}{0,5\mathrm{х} + 2,2} = \frac{2,8}{\mathrm{х} + 1,7}; \\ 2,3(\mathrm{х} + 1,7) = 2,8(0,5\mathrm{х} + 2,2); \\ 2,3\mathrm{х} + 3,91 = 1,4\mathrm{х} + 6,16; \\ 2,3\mathrm{х} – 1,4\mathrm{х} = 6,16 – 3,91; \\ 0,9\mathrm{х} = 2,25 \mathrm{х} = 2,25 : 0,9; \\ \mathrm{х} = 22,5 : 9; \\ \mathrm{х} = 2,5. \\ \mathrm{Ответ}: 2,5. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{2}\mathbf{)} \frac{5{\displaystyle \frac{1}{3}}}{2\mathrm{х} + {\displaystyle \frac{2}{3}}} = \frac{4{\displaystyle \frac{1}{2}}}{3\mathrm{х} - 3{\displaystyle \frac{3}{8}}}; \\ 5\frac{1}{3} \left(3\mathrm{х} - 3\frac{3}{8}\right) = 4\frac{1}{2}\left(2\mathrm{х} + \frac{2}{3}\right); \\ \frac{16}{3} \left(3\mathrm{х} - 3\frac{3}{8}\right) = \frac{9}{2}\left(2\mathrm{х} + \frac{2}{3}\right); \overline{) · 6} \\ \frac{16}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} \left(3\mathrm{х} - 3\frac{3}{8}\right) · \stackrel{2}{\cancel{6} }= \frac{9}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{2}}}}\left(2\mathrm{х} + \frac{2}{3}\right) · \stackrel{3}{\bcancel{6}}; \\ \frac{16}{1} \left(3\mathrm{х} - 3\frac{3}{8}\right) · 2 = \frac{9}{1}\left(2\mathrm{х} + \frac{2}{3}\right) · 3; \\ 32\left(3\mathrm{х} – 3\frac{3}{8}\right) = 27\left(2\mathrm{х} + \frac{2}{3}\right); \\ 96\mathrm{х} – \stackrel{4}{\cancel{32}} · \frac{27}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{8}}}} = 54\mathrm{х} +\stackrel{9}{ \bcancel{27}} · \frac{2}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{3}}}}; \\ 96\mathrm{х} – 4 · \frac{27}{1} = 54\mathrm{х} + 9 · \frac{2}{1}; \\ 96\mathrm{х} – 108 = 54\mathrm{х} + 18; \\ 96\mathrm{х} – 54\mathrm{х} = 18 + 108; \\ 42\mathrm{х} = 126; \\ \mathrm{х} = 126 : 42; \\ \mathrm{х} = 3. \\ \mathrm{Ответ}: 3. \end{gathered}$$

1)
Дана пропорция:
$ \frac{2.3}{0.5x + 2.2} = \frac{2.8}{x + 1.7} $
Чтобы решить пропорцию, воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов (перекрестное умножение).
$ 2.3 \cdot (x + 1.7) = 2.8 \cdot (0.5x + 2.2) $
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$ 2.3x + 2.3 \cdot 1.7 = 2.8 \cdot 0.5x + 2.8 \cdot 2.2 $
$ 2.3x + 3.91 = 1.4x + 6.16 $
Теперь сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части уравнения, а свободные члены — в правой:
$ 2.3x - 1.4x = 6.16 - 3.91 $
Приведем подобные слагаемые:
$ 0.9x = 2.25 $
Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 0.9:
$ x = \frac{2.25}{0.9} $
$ x = 2.5 $
Ответ: $x = 2.5$

2)
Дана пропорция:
$ \frac{5\frac{1}{3}}{2x + \frac{2}{3}} = \frac{4\frac{1}{2}}{3x - 3\frac{3}{8}} $
Для удобства вычислений преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$ 5\frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{16}{3} $
$ 4\frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{9}{2} $
$ 3\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{27}{8} $
Теперь подставим эти значения обратно в пропорцию:
$ \frac{\frac{16}{3}}{2x + \frac{2}{3}} = \frac{\frac{9}{2}}{3x - \frac{27}{8}} $
Применим основное свойство пропорции (перекрестное умножение):
$ \frac{16}{3} \cdot (3x - \frac{27}{8}) = \frac{9}{2} \cdot (2x + \frac{2}{3}) $
Раскроем скобки:
$ \frac{16}{3} \cdot 3x - \frac{16}{3} \cdot \frac{27}{8} = \frac{9}{2} \cdot 2x + \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{3} $
Выполним умножение и сократим дроби:
$ 16x - \frac{16 \cdot 27}{3 \cdot 8} = 9x + \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 3} $
$ 16x - (2 \cdot 9) = 9x + 3 $
$ 16x - 18 = 9x + 3 $
Сгруппируем слагаемые с $x$ в левой части, а свободные члены — в правой:
$ 16x - 9x = 3 + 18 $
Приведем подобные слагаемые:
$ 7x = 21 $
Найдем $x$:
$ x = \frac{21}{7} $
$ x = 3 $
Ответ: $x = 3$