Номер 6.90, страница 113, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

Часть 2. Параграф 6. Координаты на плоскости. 44. Представление числовой информации на графиках - номер 6.90, страница 113.

Условие.

6.90. Выйдя из дома, Миша шёл 0,5 ч до реки и ловил рыбу 2 ч, а потом 2 ч он шёл в гости к бабушке, где в течение 1,5 ч они варили уху и обедали. После обеда Миша отправился домой. На всё это он затратил 7 ч. График движения Миши изображён на рисунке 6.33. По графику определите:
а) расстояние от дома через 30 мин после выхода Миши из дома; через 4 ч 40 мин после выхода из дома;
б) через сколько часов после выхода из дома Миша был в 3 км от дома;
в) на каком наибольшем расстоянии от дома был Миша;
г) в какое время расстояние от дома увеличивалось; уменьшалось; не изменялось;
д) расстояние между домами бабушки и Миши;
e) скорость Миши в первые полчаса пути; между 2,5 ч и 3 ч после выхода из дома.

Решение 1.

6.90

а) через 30 мин после выхода из дома расстояние до дома было 2,5 км
через 4 ч 40 мин после выхода из дома расстояние до дома было 5,5 км

б) в 3 км от дома Миша был в 2 ч 40 мин и 6 ч 24 мин

в) наибольшее расстояние от дома – 5,5 км

г) расстояние от дома увеличивалось с 0 ч до 0,5 ч и с 2,5 ч до 4,5 ч
расстояние от дома уменьшалось с 6 до 7 ч
расстояние от дома не изменялось с 0,5 ч до 2,5 ч и с 4,5 ч до 6 ч

д) расстояние между домами бабушки и Миши равно 5,5 км

е) 2,5 : 0,5 = 25 : 5 = 5 (км/ч) – скорость в первый час пути;
5,5 : 1 = 5,5 (км/ч) – скорость в последний час пути;
1,5 : 0,5 = 15 : 5 = 3 (км/ч) – скорость между 2,5 ч и 3 ч.

Решение 2.

а) расстояние от дома через 30 мин после выхода Миши из дома; через 4 ч 40 мин после выхода из дома;

1. Чтобы найти расстояние через 30 минут, найдём на оси времени (ось x) точку, соответствующую 30 минутам. 30 минут – это $0,5$ часа. Найдём на графике точку с координатой по оси времени $t = 0,5$ ч. Из этой точки проведём вертикальную линию до пересечения с графиком, а затем горизонтальную линию до пересечения с осью расстояний (ось y). Получаем, что при $t = 0,5$ ч, расстояние $s = 2,5$ км.

2. Чтобы найти расстояние через 4 часа 40 минут, переведём минуты в часы: $40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3}$ ч. Таким образом, нам нужно найти расстояние в момент времени $t = 4 + \frac{2}{3}$ ч $\approx 4,67$ ч. Найдём этот момент времени на графике. Он находится в промежутке от 4,5 ч до 6 ч. В этом промежутке времени график представляет собой горизонтальную линию на уровне $s = 5,5$ км. Это означает, что расстояние от дома не менялось и было постоянным, так как Миша был в гостях у бабушки. Следовательно, через 4 ч 40 мин Миша находился на расстоянии 5,5 км от дома.

Ответ: через 30 мин расстояние от дома составляло 2,5 км; через 4 ч 40 мин – 5,5 км.

б) через сколько часов после выхода из дома Миша был в 3 км от дома;

Чтобы найти время, когда Миша был в 3 км от дома, найдём на оси расстояний (ось y) точку $s = 3$ км и проведём горизонтальную линию до пересечения с графиком. Мы видим, что линия пересекает график в двух точках, одна на пути к бабушке, другая — на пути домой.

1. Первое пересечение происходит на участке пути от 2,5 ч до 4,5 ч. Этот участок представляет собой прямую, проходящую через точки $(2,5; 2,5)$ и $(4,5; 5,5)$. Найдём уравнение этой прямой. Сначала найдём скорость (угловой коэффициент): $v_1 = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{5,5 - 2,5}{4,5 - 2,5} = \frac{3}{2} = 1,5$ км/ч. Уравнение движения имеет вид $s(t) = s_0 + v \cdot (t - t_0)$. Используя точку $(2,5; 2,5)$, получаем: $s(t) = 2,5 + 1,5 \cdot (t - 2,5)$. Найдём время $t$, когда $s(t) = 3$ км: $3 = 2,5 + 1,5 \cdot (t - 2,5)$
$0,5 = 1,5 \cdot (t - 2,5)$
$t - 2,5 = \frac{0,5}{1,5} = \frac{1}{3}$
$t = 2,5 + \frac{1}{3} = \frac{5}{2} + \frac{1}{3} = \frac{15+2}{6} = \frac{17}{6}$ ч. Переведём в часы и минуты: $\frac{17}{6} \text{ ч} = 2 \frac{5}{6} \text{ ч} = 2$ часа и $\frac{5}{6} \cdot 60 = 50$ минут.

2. Второе пересечение происходит на обратном пути, на участке от 6 ч до 7 ч. Этот участок проходит через точки $(6; 5,5)$ и $(7; 0)$. Скорость на этом участке: $v_2 = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{0 - 5,5}{7 - 6} = -5,5$ км/ч. Используя точку $(7; 0)$, получим уравнение движения: $s(t) = 0 - 5,5(t-7)$. Найдём время $t$, когда $s(t) = 3$ км: $3 = -5,5(t-7)$
$t - 7 = -\frac{3}{5,5} = -\frac{30}{55} = -\frac{6}{11}$
$t = 7 - \frac{6}{11} = \frac{77 - 6}{11} = \frac{71}{11}$ ч. Переведём в часы и минуты: $\frac{71}{11} \text{ ч} = 6 \frac{5}{11} \text{ ч} \approx 6$ часов и $\frac{5}{11} \cdot 60 \approx 27$ минут.

Ответ: Миша был в 3 км от дома через $2 \frac{5}{6}$ часа (2 часа 50 минут) и через $6 \frac{5}{11}$ часа (примерно 6 часов 27 минут) после выхода из дома.

в) на каком наибольшем расстоянии от дома был Миша;

Наибольшее расстояние от дома соответствует максимальному значению на оси y (Расстояние, км). Из графика видно, что самая высокая точка графика соответствует расстоянию $s = 5,5$ км. Это расстояние было достигнуто, когда Миша пришёл к бабушке, и не менялось, пока он был у неё в гостях (с 4,5 ч до 6 ч).

Ответ: наибольшее расстояние от дома, на котором был Миша, составляет 5,5 км.

г) в какое время расстояние от дома увеличивалось; уменьшалось; не изменялось;

Анализируем наклон графика движения: Расстояние увеличивалось, когда график идёт вверх (положительный наклон). Это происходит на временных промежутках от 0 до 0,5 часа (путь до реки) и от 2,5 до 4,5 часов (путь от реки к бабушке). Расстояние уменьшалось, когда график идёт вниз (отрицательный наклон). Это происходит на временном промежутке от 6 до 7 часов (путь домой). Расстояние не изменялось, когда график является горизонтальной линией (нулевой наклон). Это происходит на временных промежутках от 0,5 до 2,5 часов (рыбалка) и от 4,5 до 6 часов (в гостях у бабушки).

Ответ: расстояние от дома увеличивалось с 0 ч до 0,5 ч и с 2,5 ч до 4,5 ч; уменьшалось с 6 ч до 7 ч; не изменялось с 0,5 ч до 2,5 ч и с 4,5 ч до 6 ч.

д) расстояние между домами бабушки и Миши;

Дом бабушки — это самая дальняя точка, которой достиг Миша. На графике это соответствует максимальному расстоянию от дома. Как было определено в пункте (в), наибольшее расстояние от дома составляет 5,5 км.

Ответ: расстояние между домами бабушки и Миши составляет 5,5 км.

е) скорость Миши в первые полчаса пути; между 2,5 ч и 3 ч после выхода из дома.

Скорость движения на графике зависимости расстояния от времени равна наклону графика. Формула скорости: $v = \frac{\Delta s}{\Delta t}$, где $\Delta s$ – изменение расстояния за промежуток времени $\Delta t$.

1. Скорость в первые полчаса (от 0 ч до 0,5 ч): За этот промежуток времени $\Delta t = 0,5 - 0 = 0,5$ ч. Расстояние, пройденное за это время, $\Delta s = 2,5 - 0 = 2,5$ км. Скорость $v_1 = \frac{2,5 \text{ км}}{0,5 \text{ ч}} = 5$ км/ч.

2. Скорость между 2,5 ч и 3 ч: Этот временной интервал является частью участка пути от 2,5 ч до 4,5 ч. На всём этом участке скорость была постоянной, так как график является прямой линией. Найдём скорость на этом участке, используя его начальную и конечную точки: $(2,5; 2,5)$ и $(4,5; 5,5)$. Промежуток времени $\Delta t = 4,5 - 2,5 = 2$ ч. Пройденное расстояние $\Delta s = 5,5 - 2,5 = 3$ км. Скорость $v_2 = \frac{3 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 1,5$ км/ч.

Ответ: скорость Миши в первые полчаса пути была 5 км/ч; скорость между 2,5 ч и 3 ч после выхода из дома была 1,5 км/ч.

Решение 3.

Решение 4.