Номер 6.91, страница 114, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

Часть 2. Параграф 6. Координаты на плоскости. 44. Представление числовой информации на графиках - номер 6.91, страница 114.

Условие.

6.91. Графики движения грузового автомобиля (график АB) и мотоцикла (график MN) из одного города изображены на рисунке 6.34. Определите по данным графикам:

а) время выезда грузового автомобиля и мотоцикла из города;
б) расстояние от города до мотоцикла в 6 ч 40 мин; в 9 ч;
в) расстояние от города до грузового автомобиля в 5 ч 20 мин; в 9 ч;
г) время, когда грузовой автомобиль находился в 325 км от города; в 425 км от города;
д) время, когда мотоцикл находился в 325 км от города; в 425 км от города;
е) останавливались ли грузовой автомобиль и мотоцикл; сколько времени длились остановки;
ж) на каком расстоянии от города и в какое время мотоцикл догнал грузовой автомобиль;
з) в какое время грузовой автомобиль двигался с постоянной скоростью;
и) скорость грузового автомобиля между 3 ч и 4 ч; между 8 ч и 9 ч;
к) расстояние между грузовым автомобилем и мотоциклом в 6 ч; в 10 ч;
л) среднюю скорость грузового автомобиля и среднюю скорость мотоцикла до времени их встречи.

Решение 1.

6.91

а) грузовой автомобиль выехал в 2 ч, мотоцикл выехал в 5 ч

б) в 6 ч 40 мин расстояние от города до мотоцикла было 180 км
в 9 ч расстояние от города до мотоцикла было 300 км

в) в 5 ч 20 мин расстояние от города до грузового автомобиля было 290 км
в 9 ч расстояние от города до грузового автомобиля было 420 км

г) грузовой автомобиль находился в 325 км от города в 5 ч 45 мин
грузовой автомобиль находился в 425 км от города в 9 ч 10 мин

д) мотоцикл находился в 325 км от города в 9 ч 15 мин
мотоцикл находился в 425 км от города в 10 ч 15 мин

е) грузовой автомобиль останавливался с 6 ч до 7 ч 20 мин, стоянка 1 ч 20 мин
мотоцикл останавливался с 8 ч до 9 ч, стоянка 1 ч

ж) мотоцикл догнал грузовой автомобиль в 11 ч на расстоянии 500 км от города

з) грузовой автомобиль двигался с постоянной скоростью с 2 до 6 ч и с 7 ч 20 мин до конца движения

и) скорость грузового автомобиля между 3 ч и 4 ч была
(175 – 75) : 1 = 100 км/ч

скорость грузового автомобиля между 8 ч и 9 ч была
(420 – 380) : 1 = 40 км/ч

к) в 6 ч расстояние между грузовым автомобилем и мотоциклом было
350 – 125 = 225 км
в 10 ч расстояние между грузовым автомобилем и мотоциклом было
460 – 400 = 60 км

л) $500 : (11 – 2) = \frac{500}{9} = 55\frac{5}{9}$ км/ч – средняя скорость грузового автомобиля

$500 : (11 – 5) = \frac{500}{6} = \frac{250}{3} = 83\frac{1}{3}$ – средняя скорость мотоцикла.

Решение 2.

а) время выезда грузового автомобиля и мотоцикла из города;

Для определения времени выезда посмотрим на точки, в которых графики начинаются на оси времени (ось x).
График мотоцикла (зеленая линия MN) начинается в точке (0, 0). Это означает, что мотоцикл выехал в момент времени t = 0 часов.
График грузового автомобиля (синяя линия AB) начинается в точке (2, 0). Это означает, что грузовой автомобиль выехал в момент времени t = 2 часа.
Ответ: Мотоцикл выехал в 0 ч, грузовой автомобиль – в 2 ч.

б) расстояние от города до мотоцикла в 6 ч 40 мин; в 9 ч;

Находим на оси времени (ось x) нужные значения и определяем соответствующее расстояние по оси y для графика мотоцикла (зеленая линия).
• В 6 ч 40 мин: Время 6 ч 40 мин равно $6 \frac{40}{60} = 6 \frac{2}{3}$ часа. В промежутке с 6 ч до 8 ч график мотоцикла – горизонтальная линия на уровне 350 км, что означает остановку. Следовательно, в 6 ч 40 мин мотоцикл находился на расстоянии 350 км от города.
• В 9 ч: На графике точка с абсциссой 9 ч находится ровно посередине между 8 ч и 10 ч. В 8 ч мотоцикл был на расстоянии 350 км, а в 10 ч – на расстоянии 500 км. Так как на этом участке движение равномерное (прямая линия), то в 9 ч он будет на расстоянии, равном среднему арифметическому: $(350 + 500) / 2 = 425$ км.
Ответ: В 6 ч 40 мин – 350 км; в 9 ч – 425 км.

в) расстояние от города до грузового автомобиля в 5 ч 20 мин; в 9 ч;

Находим на оси времени (ось x) нужные значения и определяем соответствующее расстояние по оси y для графика грузового автомобиля (синяя линия).
• В 5 ч 20 мин: Время 5 ч 20 мин равно $5 \frac{20}{60} = 5 \frac{1}{3}$ часа. В промежутке с 5 ч до 7 ч график грузовика – горизонтальная линия на уровне 250 км, что означает остановку. Следовательно, в 5 ч 20 мин автомобиль находился на расстоянии 250 км от города.
• В 9 ч: Точка с абсциссой 9 ч находится ровно посередине между 7 ч и 11 ч. В 7 ч автомобиль был на расстоянии 250 км, а в 11 ч – на расстоянии 500 км. Так как движение равномерное, то в 9 ч он будет на расстоянии $(250 + 500) / 2 = 375$ км.
Ответ: В 5 ч 20 мин – 250 км; в 9 ч – 375 км.

г) время, когда грузовой автомобиль находился в 325 км от города; в 425 км от города;

Находим на оси расстояний (ось y) нужные значения и определяем соответствующее время по оси x для графика грузового автомобиля (синяя линия). Оба расстояния приходятся на участок движения с 7 ч до 11 ч.
Скорость на этом участке: $v = (500 - 250) / (11 - 7) = 250 / 4 = 62,5$ км/ч.
• В 325 км: Автомобиль проехал $325 - 250 = 75$ км от начала этого участка. Время на это: $t = 75 / 62,5 = 1,2$ ч. Общее время: $7 + 1,2 = 8,2$ ч, или 8 ч 12 мин.
• В 425 км: Автомобиль проехал $425 - 250 = 175$ км от начала этого участка. Время на это: $t = 175 / 62,5 = 2,8$ ч. Общее время: $7 + 2,8 = 9,8$ ч, или 9 ч 48 мин.
Ответ: В 325 км – в 8,2 ч (8 ч 12 мин); в 425 км – в 9,8 ч (9 ч 48 мин).

д) время, когда мотоцикл находился в 325 км от города; в 425 км от города;

Находим на оси расстояний (ось y) нужные значения и определяем соответствующее время по оси x для графика мотоцикла (зеленая линия).
• В 325 км: Это расстояние достигается на первом участке движения (с 0 до 6 ч). Скорость на этом участке: $v = (350 - 0) / (6 - 0) = 350 / 6 = 175/3$ км/ч. Время: $t = 325 / (175/3) = (325 \cdot 3) / 175 = 975 / 175 = 39/7 \approx 5,57$ ч, или примерно 5 ч 34 мин.
• В 425 км: Это расстояние достигается на втором участке движения (с 8 до 10 ч). Как мы выяснили в пункте б), расстояние в 425 км было достигнуто в 9 ч.
Ответ: В 325 км – в $39/7$ ч (примерно в 5 ч 34 мин); в 425 км – в 9 ч.

е) останавливались ли грузовой автомобиль и мотоцикл; сколько времени длились остановки;

Остановка на графике изображается горизонтальным участком линии.
• Мотоцикл (зеленая линия) имеет горизонтальный участок с 6 ч до 8 ч. Длительность остановки: $8 - 6 = 2$ часа.
• Грузовой автомобиль (синяя линия) имеет горизонтальный участок с 5 ч до 7 ч. Длительность остановки: $7 - 5 = 2$ часа.
Ответ: Да, оба останавливались. Длительность каждой остановки – 2 часа.

ж) на каком расстоянии от города и в какое время мотоцикл догнал грузовой автомобиль;

Событие "догнал" означает, что объекты оказались в одной точке в одно и то же время, что на графике соответствует точке пересечения их линий.
Мотоцикл выехал в 0 ч, а грузовик в 2 ч. К моменту выезда грузовика мотоцикл уже проехал некоторое расстояние. На всем протяжении пути, судя по графикам, мотоцикл находится впереди грузового автомобиля (зеленая линия всегда выше синей после t=2 ч). Математический анализ уравнений движения на каждом участке также показывает, что пересечения графиков не происходит. Таким образом, мотоцикл не мог догнать грузовой автомобиль, так как он все время был впереди.
Ответ: Мотоцикл не догонял грузовой автомобиль, так как на всем пути находился впереди него.

з) в какое время грузовой автомобиль двигался с постоянной скоростью;

Движение с постоянной скоростью на графике изображается прямыми наклонными линиями.
Для грузового автомобиля это два временных промежутка: с 2 ч до 5 ч и с 7 ч до 11 ч.
Ответ: С 2 ч до 5 ч и с 7 ч до 11 ч.

и) скорость грузового автомобиля между 3 ч и 4 ч; между 8 ч и 9 ч;

• Между 3 ч и 4 ч: Этот интервал находится на первом участке движения (с 2 ч до 5 ч). Скорость здесь постоянна и равна: $v = (250 - 0) / (5 - 2) = 250 / 3 = 83 \frac{1}{3}$ км/ч.
• Между 8 ч и 9 ч: Этот интервал находится на втором участке движения (с 7 ч до 11 ч). Скорость здесь постоянна и равна: $v = (500 - 250) / (11 - 7) = 250 / 4 = 62,5$ км/ч.
Ответ: Между 3 ч и 4 ч – $83 \frac{1}{3}$ км/ч; между 8 ч и 9 ч – 62,5 км/ч.

к) расстояние между грузовым автомобилем и мотоциклом в 6 ч; в 10 ч;

Расстояние между ними равно разности их расстояний от города в указанное время.
• В 6 ч: Расстояние мотоцикла $s_{м} = 350$ км. Расстояние грузовика $s_{г} = 250$ км (остановка). Разница: $350 - 250 = 100$ км.
• В 10 ч: Расстояние мотоцикла $s_{м} = 500$ км. Расстояние грузовика $s_{г}$ находим на участке с 7 ч до 11 ч со скоростью 62,5 км/ч: $s_{г} = 250 + 62,5 \cdot (10 - 7) = 250 + 62,5 \cdot 3 = 250 + 187,5 = 437,5$ км. Разница: $500 - 437,5 = 62,5$ км.
Ответ: В 6 ч – 100 км; в 10 ч – 62,5 км.

л) среднюю скорость грузового автомобиля и среднюю скорость мотоцикла до времени их встречи.

Как установлено в пункте (ж), встреча (обгон) не произошла. Следовательно, рассчитать среднюю скорость до момента встречи невозможно. Однако, можно рассчитать среднюю скорость за весь путь, показанный на графике, которая вычисляется как отношение всего пройденного пути ко всему затраченному времени (включая остановки).
• Средняя скорость грузового автомобиля: Весь путь 500 км. Время в пути: с 2 ч до 11 ч, т.е. $11 - 2 = 9$ часов. $v_{ср.г} = 500 / 9 = 55 \frac{5}{9}$ км/ч.
• Средняя скорость мотоцикла: Весь путь 500 км. Время в пути: с 0 ч до 10 ч, т.е. $10 - 0 = 10$ часов. $v_{ср.м} = 500 / 10 = 50$ км/ч.
Ответ: Рассчитать среднюю скорость до времени встречи невозможно, так как встреча не произошла. Средняя скорость за весь показанный путь составляет $55 \frac{5}{9}$ км/ч для грузовика и 50 км/ч для мотоцикла.

Решение 3.

Решение 4.