Страница 103, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.438. Когда велосипедист отъехал от лагеря на 2556 км, из лагеря выехал мотоциклист и догнал его через 23 ч. Скорость велосипедиста составляла 38 скорости мотоциклиста. Найдите скорости мотоциклиста и велосипедиста.

2.438

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }25\frac{5}{6} : \frac{2}{3} = \frac{155}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{6}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{3}}}}{2} =$

$= \frac{155 · 1}{2 · 2} = \frac{155}{4} = 38\frac{3}{4}$(км/ч) – скорость сближения мотоциклиста и велосипедиста;

Пусть х км/ч – скорость мотоциклиста, тогда $\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{8}}$х км/ч – скорость велосипедиста. Зная, что скорость сближения $38\frac{3}{4}$ км/ч составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х - \frac{3}{8} х = 38\frac{3}{4}; \\ \left(1 - \frac{3}{8}\right) х = 38\frac{3}{4}; \\ \left(\frac{8}{8}- \frac{3}{8}\right) х = 38\frac{3}{4}; \\ \frac{5}{8} х = \frac{155}{4}; \\ х = \frac{155}{4} : \frac{5}{8}; \\ х = \frac{{\displaystyle \stackrel{31}{\cancel{155}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{4}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\bcancel{8}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}}; \\ х = \frac{31 · 2}{1 · 1}; \end{gathered}$$

$х = 62$ (км/ч) – скорость мотоциклиста;

$\mathbf{2}\mathbf{)} \frac{3}{8} · 62 = \frac{3 · {\displaystyle \stackrel{31}{\cancel{62}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{8}}}} = \frac{3 · 31}{4} =$

$= \frac{93}{4} = 23\frac{1}{4}$ (км/ч) – скорость велосипедиста.

Ответ: 62 км/ч и $23\frac{1}{4}$ км/ч.

Пусть $v_м$ — скорость мотоциклиста в км/ч, а $v_в$ — скорость велосипедиста в км/ч.

Согласно условию задачи, скорость велосипедиста составляет $\frac{3}{8}$ от скорости мотоциклиста. Это можно записать в виде формулы:

$v_в = \frac{3}{8} v_м$

На момент старта мотоциклиста велосипедист опережал его на $S_0 = 25\frac{5}{6}$ км. Мотоциклист догнал велосипедиста за время $t = \frac{2}{3}$ часа.

Скорость, с которой мотоциклист догоняет велосипедиста, называется скоростью сближения и равна разности их скоростей:

$v_{сбл} = v_м - v_в$

Чтобы догнать велосипедиста, мотоциклист должен был сократить начальное расстояние $S_0$ до нуля. Это расстояние равно произведению скорости сближения на время:

$S_0 = v_{сбл} \cdot t$

Подставим в это уравнение выражение для скорости сближения:

$S_0 = (v_м - v_в) \cdot t$

Теперь заменим $v_в$ на $\frac{3}{8} v_м$:

$S_0 = (v_м - \frac{3}{8} v_м) \cdot t$

Упростим выражение в скобках:

$v_м - \frac{3}{8} v_м = (1 - \frac{3}{8}) v_м = \frac{5}{8} v_м$

Теперь уравнение выглядит так:

$S_0 = \frac{5}{8} v_м \cdot t$

Подставим числовые значения $S_0$ и $t$. Сначала переведем смешанное число $25\frac{5}{6}$ в неправильную дробь:

$S_0 = 25\frac{5}{6} = \frac{25 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{150 + 5}{6} = \frac{155}{6}$ км.

Подставляем известные значения в уравнение:

$\frac{155}{6} = \frac{5}{8} v_м \cdot \frac{2}{3}$

$\frac{155}{6} = \frac{5 \cdot 2}{8 \cdot 3} v_м = \frac{10}{24} v_м$

Сократим дробь $\frac{10}{24}$ на 2:

$\frac{155}{6} = \frac{5}{12} v_м$

Отсюда находим скорость мотоциклиста $v_м$:

$v_м = \frac{155}{6} : \frac{5}{12} = \frac{155}{6} \cdot \frac{12}{5}$

$v_м = \frac{155 \cdot 12}{6 \cdot 5} = \frac{31 \cdot 2}{1 \cdot 1} = 62$ км/ч.

Зная скорость мотоциклиста, найдем скорость велосипедиста:

$v_в = \frac{3}{8} v_м = \frac{3}{8} \cdot 62 = \frac{186}{8}$

Сократим полученную дробь на 2:

$v_в = \frac{93}{4} = 23\frac{1}{4}$ км/ч.

Ответ: скорость мотоциклиста — 62 км/ч, скорость велосипедиста — $23\frac{1}{4}$ км/ч.

2.439. Группа волонтёров для уборки мусора на Крайнем Севере 2215 ч летела на вертолёте, а затем ещё 334 ч ехала на вездеходе. При этом на вертолёте она преодолела путь, в з15 раза больший, чем на вездеходе. С какими скоростями группа передвигалась на вертолёте и на вездеходе, если весь путь равен 504 км?

2.439

Пусть х км – преодолели на вездеходе, тогда $\mathbf{3}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{5}}$х км-на вертолёте.  Зная, что весь путь 504 км, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)} х + 3\frac{1}{5} х = 504; \\ \left(1 + 3\frac{1}{5} \right) х = 504; \\ 4\frac{1}{5} х = 504; \\ х = 504 : 4\frac{1}{5}; \\ х = \stackrel{24}{\cancel{504} }· \frac{5}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{21}}}}; \\ х = 24 · 5; \end{gathered}$$

$х =120$км -преодолела на вездеходе;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }504-120=384$(км)-преодолела на вертолете ;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }384 : 2\frac{2}{15} = \frac{{\displaystyle \stackrel{12}{\cancel{384} }}· 15}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{32}}}} = 12 · 15 = 180$ (км⁄ч)-на вертолете; 

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }120 : 3\frac{3}{4} = \frac{{\displaystyle \stackrel{8}{\cancel{120}}} · 4 }{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{15}}}} = 8 · 4 = 32$(км⁄ч)-на вездеходе.

Ответ: 180 км/ч; 32 км/ч.

Для решения задачи сначала найдём расстояния, которые группа преодолела на вертолёте и на вездеходе. Затем, зная время и расстояние для каждого этапа, вычислим их скорости.

1. Вычисление расстояний
Пусть $x$ км — это расстояние, которое группа проехала на вездеходе.
Из условия известно, что на вертолёте группа преодолела путь в $3\frac{1}{5}$ раза больший. Значит, расстояние, преодолённое на вертолёте, составляет $3\frac{1}{5}x$ км.
Общий путь равен 504 км. Составим уравнение:
$x + 3\frac{1}{5}x = 504$
Переведём смешанное число в неправильную дробь: $3\frac{1}{5} = \frac{16}{5}$.
$x + \frac{16}{5}x = 504$
$(1 + \frac{16}{5})x = 504$
$(\frac{5}{5} + \frac{16}{5})x = 504$
$\frac{21}{5}x = 504$
Найдём $x$:
$x = 504 \div \frac{21}{5} = 504 \times \frac{5}{21}$
$x = \frac{504 \times 5}{21} = 24 \times 5 = 120$
Таким образом, расстояние, пройденное на вездеходе, равно 120 км.
Теперь найдём расстояние, преодолённое на вертолёте:
$504 - 120 = 384$ км.

2. Вычисление скоростей
Скорость вычисляется по формуле $v = S \div t$, где $v$ - скорость, $S$ - расстояние, $t$ - время.
Время в пути на вертолёте: $t_{верт} = 2\frac{2}{15}$ ч = $\frac{32}{15}$ ч.
Время в пути на вездеходе: $t_{вездеход} = 3\frac{3}{4}$ ч = $\frac{15}{4}$ ч.
Найдём скорость вертолёта:
$v_{верт} = S_{верт} \div t_{верт} = 384 \div \frac{32}{15} = 384 \times \frac{15}{32} = 12 \times 15 = 180$ км/ч.
Найдём скорость вездехода:
$v_{вездеход} = S_{вездеход} \div t_{вездеход} = 120 \div \frac{15}{4} = 120 \times \frac{4}{15} = 8 \times 4 = 32$ км/ч.

Ответ: скорость вертолёта — 180 км/ч, скорость вездехода — 32 км/ч.

2.440. Пёс Барбос с хозяином ехали на автобусе 3 ч со скоростью 76 км/ч, затем 12 ч ехали на поезде и 2 ч шли пешком со скоростью, в 19 раз меньшей скорости автобуса. Найдите их среднюю скорость передвижения, если скорость автобуса составляет 113 скорости поезда.

2.440

$\mathbf{1}\mathbf{)} 76 : 1\frac{1}{3} = 76 : \frac{4}{3} = 76 · \frac{3}{4} =$

$= \frac{{\displaystyle \stackrel{19}{\cancel{76}}} · 3}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}} = 19 · 3 = 57$ (км/ч) – скорость поезда;

2) 76 : 19 = 4 (км/ч) – скорость пешком;

3) 76 • 3 = 228 (км) – проехали на автобусе;

4) 57 • 12 = 684 (км) – проехали на поезде;

5) 4 • 2 = 8 (км) – прошли пешком;

6) 228 + 684 + 8 = 920 (км) – весь путь;

7) 3 + 12 + 2 = 17 (ч) – затратили на весь путь;

8) 920 : 17 = $54\frac{2}{7}$ (км/ч) – средняя скорость движения.

Ответ: $54\frac{2}{17}$ км/ч.

Для нахождения средней скорости движения необходимо разделить весь пройденный путь на всё затраченное время. Средняя скорость ($v_{ср}$) вычисляется по формуле: $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$, где $S_{общ}$ — общий путь, а $t_{общ}$ — общее время в пути.

Решим задачу по действиям.

1. Нахождение скорости пешком.

Скорость автобуса ($v_{авт}$) равна 76 км/ч. Скорость пешком ($v_{пеш}$) в 19 раз меньше скорости автобуса.
$v_{пеш} = 76 \text{ км/ч} \div 19 = 4$ км/ч.

2. Нахождение скорости поезда.

Скорость автобуса ($v_{авт}$) составляет $1\frac{1}{3}$ скорости поезда ($v_{поезд}$).
Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $1\frac{1}{3} = \frac{1 \times 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$.
Теперь у нас есть соотношение: $v_{авт} = \frac{4}{3} v_{поезд}$.
Чтобы найти скорость поезда, нужно скорость автобуса разделить на эту дробь:
$v_{поезд} = v_{авт} \div \frac{4}{3} = 76 \div \frac{4}{3} = 76 \times \frac{3}{4} = \frac{228}{4} = 57$ км/ч.

3. Расчет пройденного расстояния для каждого участка пути.

Расстояние ($S$) равно скорости ($v$), умноженной на время ($t$).
• Расстояние на автобусе: $S_{авт} = v_{авт} \times t_{авт} = 76 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 228$ км.
• Расстояние на поезде: $S_{поезд} = v_{поезд} \times t_{поезд} = 57 \text{ км/ч} \times 12 \text{ ч} = 684$ км.
• Расстояние пешком: $S_{пеш} = v_{пеш} \times t_{пеш} = 4 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 8$ км.

4. Нахождение общего пути и общего времени.

Общий путь — это сумма всех пройденных расстояний:
$S_{общ} = S_{авт} + S_{поезд} + S_{пеш} = 228 + 684 + 8 = 920$ км.
Общее время — это сумма времени на всех участках:
$t_{общ} = t_{авт} + t_{поезд} + t_{пеш} = 3 + 12 + 2 = 17$ ч.

5. Расчет средней скорости движения.

Подставим найденные значения в формулу средней скорости:
$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{920 \text{ км}}{17 \text{ ч}}$.
Выполним деление, чтобы найти точное значение: $920 \div 17 = 54$ и остаток $2$.
Таким образом, средняя скорость равна $54\frac{2}{17}$ км/ч.

Ответ: средняя скорость передвижения составляет $54\frac{2}{17}$ км/ч.

2.441. Вычислите.

2.441

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 200 – 101 = 99; \\ 99 : 3 = 33; \\ 33 + 37 = 70; \\ 70 : 5 = 14. \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 200 · 5 = 1000; \\ 1000 – 130 = 870; \\ 870 : 29 = 30; \\ 30 + 270 = 300. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }3 · 0,3 = 0,9; \\ 0,9 + 4,1 = 5; \\ 5 : 100 = 0,05; \\ 0,05 · 20 = 1. \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }0,45 : 9 = 0,05; \\ 0,05 · 6 = 0,3; \\ 0,3 + 2,7 = 3; \\ 3 : 0,01 = 300 : 1 = 300. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }5,6 : 0,7 = 56 : 7 = 8; \\ 8 : 20 = 0,4; \\ 0,4 + 4,8 = 5,2; \\ 5,2 : 26 = 0,2. \end{gathered}$$

а) Выполним вычисления по шагам:
1) $200 - 101 = 99$
2) $99 : 3 = 33$
3) $33 + 37 = 70$
4) $70 : 5 = 14$
Ответ: 14

б) Выполним вычисления по шагам:
1) $200 \cdot 5 = 1000$
2) $1000 - 130 = 870$
3) $870 : 29 = 30$
4) $30 + 270 = 300$
Ответ: 300

в) Выполним вычисления по шагам:
1) $3 \cdot 0,3 = 0,9$
2) $0,9 + 4,1 = 5$
3) $5 : 100 = 0,05$
4) $0,05 \cdot 20 = 1$
Ответ: 1

г) Выполним вычисления по шагам:
1) $0,45 : 9 = 0,05$
2) $0,05 \cdot 6 = 0,3$
3) $0,3 + 2,7 = 3$
4) $3 : 0,01 = 300$
Ответ: 300

д) Выполним вычисления по шагам:
1) $5,6 : 0,7 = 56 : 7 = 8$
2) $8 : 20 = 0,4$
3) $0,4 + 4,8 = 5,2$
4) $5,2 : 26 = 0,2$
Ответ: 0,2

2.442. Запишите наибольшее и наименьшее значения выражения 47x, если х = 1; х = 18; x = 134; x = 38.

2.442

Если x = 1, то $\frac{4}{7} х = \frac{4}{7} · 1 = \frac{4}{7}.$

Если х = $\frac{1}{8}$, то $\frac{4}{7} х = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{4}}}}{7} · \frac{1}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{8}}}} =\frac{1}{7} · \frac{1}{2}= \frac{1}{14}.$

Если х = $1\frac{3}{4}$, то $\frac{4}{7} х = \frac{4}{7} · 1\frac{3}{4} = \frac{4}{7} · \frac{7}{4} = 1.$

Если х = $\frac{3}{8}$, то $\frac{4}{7} х = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{4}}}}{7} · \frac{3}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{8}}}} = \frac{1}{7} · \frac{3}{2} = \frac{3}{14}.$

Ответ: 1; $\frac{1}{14}$.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения выражения $-\frac{4}{7}x$, необходимо вычислить его значение для каждого из предложенных значений $x$, а затем сравнить полученные результаты.

Выполним вычисления для каждого значения $x$:

При $x = 1$:

$-\frac{4}{7} \cdot 1 = -\frac{4}{7}$

При $x = \frac{1}{8}$:

$-\frac{4}{7} \cdot \frac{1}{8} = -\frac{4}{56} = -\frac{1}{14}$

При $x = 1\frac{3}{4}$:

Сначала переведем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$.

$-\frac{4}{7} \cdot \frac{7}{4} = -1$

При $x = \frac{3}{8}$:

$-\frac{4}{7} \cdot \frac{3}{8} = -\frac{12}{56} = -\frac{3}{14}$

Теперь у нас есть четыре значения: $-\frac{4}{7}$, $-\frac{1}{14}$, $-1$ и $-\frac{3}{14}$. Чтобы их сравнить, приведем все дроби к общему знаменателю 14:

• $-\frac{4}{7} = -\frac{4 \cdot 2}{7 \cdot 2} = -\frac{8}{14}$
• $-\frac{1}{14}$
• $-1 = -\frac{14}{14}$
• $-\frac{3}{14}$

Сравнивая полученные числа, располагаем их в порядке возрастания:

$-1 < -\frac{4}{7} < -\frac{3}{14} < -\frac{1}{14}$

Из этого следует, что наименьшее значение выражения равно $-1$, а наибольшее равно $-\frac{1}{14}$.

Ответ: Наибольшее значение выражения: $-\frac{1}{14}$; наименьшее значение: $-1$.

2.443. Проверьте вычисления:

а) 15 · 215 = 15 · 2 + 15 : 5 = 30 + 3 = 33;

б) 24 · 414 = 24 · 4 + 24 : 4 = 96 + 6 = 102;

в) 36 · 23 = 36 + 36 : 3 = 36 + 12 = 48;

г) 98 · 67 = 98 - 98 : 7 = 98 - 14 = 84.

Ответ обьясните.

2.443

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }15 · 2\frac{1}{5} = 15 · 2 + \stackrel{3}{\cancel{15}} · \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}} = 30 + 3 = 33$

а - верно

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }24 · 4\frac{1}{4} = 24 · 4 + \stackrel{6}{\cancel{24}} · \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}} = 96+ 6 = 102$

б - верно

$\mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }36· \frac{2}{3} = 36 - \stackrel{12}{\cancel{36}} · \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} = 36 - 12 = 24$

в - неверно, так как $\frac{2}{3} = 1 - \frac{1}{3}, \mathrm{а} \mathrm{не} 1 + \frac{1}{3}$

$\mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }98 · \frac{6}{7} = 98 - \stackrel{14}{\cancel{98}} · \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}} = 98 -14 = 84$

г - верно

а) $15 \cdot 2\frac{1}{5} = 15 \cdot 2 + 15 : 5 = 30 + 3 = 33$
Проверим вычисление. Для умножения целого числа на смешанное число можно использовать распределительное свойство умножения. Смешанное число $2\frac{1}{5}$ можно представить в виде суммы его целой и дробной частей: $2 + \frac{1}{5}$.
$15 \cdot 2\frac{1}{5} = 15 \cdot (2 + \frac{1}{5}) = 15 \cdot 2 + 15 \cdot \frac{1}{5}$
Вычислим каждое слагаемое: $15 \cdot 2 = 30$ и $15 \cdot \frac{1}{5} = \frac{15}{5} = 3$.
Сложим результаты: $30 + 3 = 33$.
В примере из задания умножение на дробную часть $15 \cdot \frac{1}{5}$ заменено эквивалентным действием деления $15 : 5$, что является верным. Все шаги и итоговый результат правильные.
Ответ: вычисление верно.

б) $24 \cdot 4\frac{1}{4} = 24 \cdot 4 + 24 : 4 = 96 + 6 = 102$
Проверим вычисление, используя тот же подход. Представим смешанное число $4\frac{1}{4}$ в виде суммы $4 + \frac{1}{4}$ и применим распределительное свойство умножения.
$24 \cdot 4\frac{1}{4} = 24 \cdot (4 + \frac{1}{4}) = 24 \cdot 4 + 24 \cdot \frac{1}{4}$
Вычислим: $24 \cdot 4 = 96$ и $24 \cdot \frac{1}{4} = \frac{24}{4} = 6$.
Сложим результаты: $96 + 6 = 102$.
В примере, как и в предыдущем случае, используется верный метод.
Ответ: вычисление верно.

в) $36 \cdot \frac{2}{3} = 36 + 36 : 3 = 36 + 12 = 48$
Проверим вычисление. Чтобы умножить целое число на обыкновенную дробь, нужно это число умножить на числитель дроби и результат разделить на знаменатель.
$36 \cdot \frac{2}{3} = \frac{36 \cdot 2}{3}$
Можно сначала разделить 36 на 3, а затем умножить результат на 2:
$(36 : 3) \cdot 2 = 12 \cdot 2 = 24$.
В примере же выполнено сложение числа 36 с результатом деления $36 : 3$. Это действие не соответствует исходному выражению умножения. Знак умножения был ошибочно заменен на знак сложения, а умножение на числитель (2) пропущено.
Ответ: вычисление неверно. Правильный результат: $36 \cdot \frac{2}{3} = 24$.

г) $98 \cdot \frac{6}{7} = 98 - 98 : 7 = 98 - 14 = 84$
Проверим вычисление. Данный пример можно решить, представив дробь $\frac{6}{7}$ в виде разности $1 - \frac{1}{7}$. Это позволяет применить распределительное свойство умножения относительно вычитания.
$98 \cdot \frac{6}{7} = 98 \cdot (1 - \frac{1}{7}) = 98 \cdot 1 - 98 \cdot \frac{1}{7}$
Вычислим: $98 \cdot 1 = 98$ и $98 \cdot \frac{1}{7} = \frac{98}{7} = 14$.
Вычтем из первого результата второй: $98 - 14 = 84$.
В задании используется именно этот рациональный способ вычисления. Все шаги и результат верны.
Ответ: вычисление верно.

2.444. Найдите произведение:

а) 437 · 7; б) 925 · 5; в) 319 · 3; г) 7514 · 7; д) 5721 · 7.

2.444

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }4\frac{3}{7} · 7 = \left(4 + \frac{3}{7}\right) · 7 = \\ = 4 · 7 + \frac{3}{\cancel{7}} · \cancel{7} = 28 + 3 = 31; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 9\frac{2}{5} · 5 = \left(9 + \frac{2}{5}\right) · 5 = \\ = 9 · 5 + \frac{2}{\cancel{5}} ·\cancel{ 5} = 45 + 2 = 47; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }3\frac{1}{9} · 3 = \left(3 + \frac{1}{9}\right) · 3 = \\ = 3 · 3 +\frac{1}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{9}}}} · \stackrel{1}{\cancel{3}} = 9 + \frac{1}{3} = 9\frac{1}{3}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} 7\frac{5}{14} · 7 = \left(7 +\frac{5}{14}\right) · 7 = \\ = 7 · 7 + \frac{5}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{14}}}} · \stackrel{1}{\cancel{7}} = 49 + \frac{5}{2} = \\ = 49 + 2\frac{1}{2} = 51\frac{1}{2}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)} 5\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{7}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{21}}}} · 7 = 5\frac{1}{3}· 7 =\left(5 + \frac{1}{3}\right)· 7 = \\ = 5 · 7 + \frac{1}{3} · 7 = 35 + \frac{7}{3} = 35 + 2\frac{1}{3} = \\ = 37\frac{1}{3}. \end{gathered}$$

Чтобы найти произведение смешанного числа и целого числа, необходимо сначала преобразовать смешанное число в неправильную дробь. Для этого целую часть умножают на знаменатель дробной части и к полученному произведению прибавляют числитель дробной части. Полученный результат записывают в числитель, а знаменатель оставляют прежним. Затем числитель полученной неправильной дроби умножают на целое число, а знаменатель оставляют без изменений. При необходимости, полученную дробь сокращают и, если она является неправильной, выделяют из нее целую часть.

а) $4\frac{3}{7} \cdot 7$

Переведем смешанное число $4\frac{3}{7}$ в неправильную дробь:

$4\frac{3}{7} = \frac{4 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{28 + 3}{7} = \frac{31}{7}$

Умножим полученную дробь на 7:

$\frac{31}{7} \cdot 7 = \frac{31 \cdot 7}{7} = \frac{31 \cdot \cancel{7}}{\cancel{7}} = 31$

Ответ: $31$

б) $9\frac{2}{5} \cdot 5$

Переведем смешанное число $9\frac{2}{5}$ в неправильную дробь:

$9\frac{2}{5} = \frac{9 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{45 + 2}{5} = \frac{47}{5}$

Умножим полученную дробь на 5:

$\frac{47}{5} \cdot 5 = \frac{47 \cdot 5}{5} = \frac{47 \cdot \cancel{5}}{\cancel{5}} = 47$

Ответ: $47$

в) $3\frac{1}{9} \cdot 3$

Переведем смешанное число $3\frac{1}{9}$ в неправильную дробь:

$3\frac{1}{9} = \frac{3 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{27 + 1}{9} = \frac{28}{9}$

Умножим полученную дробь на 3 и сократим:

$\frac{28}{9} \cdot 3 = \frac{28 \cdot 3}{9} = \frac{28 \cdot \cancel{3}}{^3\cancel{9}} = \frac{28}{3}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{28}{3} = 9\frac{1}{3}$

Ответ: $9\frac{1}{3}$

г) $7\frac{5}{14} \cdot 7$

Переведем смешанное число $7\frac{5}{14}$ в неправильную дробь:

$7\frac{5}{14} = \frac{7 \cdot 14 + 5}{14} = \frac{98 + 5}{14} = \frac{103}{14}$

Умножим полученную дробь на 7 и сократим:

$\frac{103}{14} \cdot 7 = \frac{103 \cdot 7}{14} = \frac{103 \cdot \cancel{7}}{^2\cancel{14}} = \frac{103}{2}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{103}{2} = 51\frac{1}{2}$

Ответ: $51\frac{1}{2}$

д) $5\frac{7}{21} \cdot 7$

Сначала можно упростить дробную часть смешанного числа, сократив ее на 7:

$\frac{7}{21} = \frac{7 \div 7}{21 \div 7} = \frac{1}{3}$

Таким образом, выражение принимает вид $5\frac{1}{3} \cdot 7$.

Переведем смешанное число $5\frac{1}{3}$ в неправильную дробь:

$5\frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{15 + 1}{3} = \frac{16}{3}$

Умножим полученную дробь на 7:

$\frac{16}{3} \cdot 7 = \frac{16 \cdot 7}{3} = \frac{112}{3}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{112}{3} = 37\frac{1}{3}$

Ответ: $37\frac{1}{3}$

2.445. Выполните действия:

а) 13 · 37; б) 121 · 415; в) 113 · 34; г) 323 · 611; д) (15 + 120) · 45; е) (13 – 14) · 12.

2.445

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{1}{\cancel{3}} · \frac{\cancel{3}}{7} = \frac{1}{7};$

$\mathit{б}\mathbf{)} \frac{1}{21} · 4\frac{1}{5} = \frac{1}{\cancel{21}} · \frac{\cancel{21}}{5} = \frac{1}{5};$

$\mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }1\frac{1}{3} · \frac{3}{4} = \frac{\bcancel{4}}{\cancel{3}}· \frac{\cancel{3}}{\bcancel{4}} =1;$

$\mathit{г}\mathbf{)} 3\frac{2}{3} · \frac{6}{11} = \frac{\cancel{11}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{3}}}}· \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\bcancel{6}}}}{\cancel{11}} =2;$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }\left({\frac{1}{5}}^{\overline{)·4}} + \frac{1}{20}\right) · \frac{4}{5} = \left(\frac{4}{20} + \frac{1}{20}\right) · \frac{4}{5} = \\ = \frac{\cancel{5}}{{\displaystyle \underset{5}{\bcancel{20}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{4}}}}{\cancel{5}} = \frac{1}{5}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)} \left({\frac{1}{3}}^{\overline{)·4}} - {\frac{1}{4}}^{\overline{)·3}}\right) ·12 = \left(\frac{4}{12} - \frac{3}{12}\right) ·12 = \\ = \frac{1}{\cancel{12}}·\cancel{12} = 1. \end{gathered}$$

а)

Для умножения дробей необходимо перемножить их числители и знаменатели. Затем, если возможно, сократить полученную дробь.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{7} = \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 7}$

В числителе и знаменателе есть общий множитель 3, который можно сократить:

$\frac{1 \cdot \cancel{3}}{\cancel{3} \cdot 7} = \frac{1}{7}$

Ответ: $\frac{1}{7}$

б)

Сначала преобразуем смешанное число $4\frac{1}{5}$ в неправильную дробь. Для этого умножаем целую часть на знаменатель и прибавляем числитель: $4 \cdot 5 + 1 = 21$. Результат записываем в числитель, а знаменатель оставляем прежним.

$4\frac{1}{5} = \frac{4 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{21}{5}$

Теперь умножаем дроби:

$\frac{1}{21} \cdot \frac{21}{5} = \frac{1 \cdot 21}{21 \cdot 5}$

Сокращаем общий множитель 21:

$\frac{1 \cdot \cancel{21}}{\cancel{21} \cdot 5} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$

в)

Преобразуем смешанное число $1\frac{1}{3}$ в неправильную дробь:

$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$

Выполним умножение:

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 4}$

Сокращаем общие множители 4 и 3:

$\frac{\cancel{4} \cdot \cancel{3}}{\cancel{3} \cdot \cancel{4}} = \frac{1}{1} = 1$

Ответ: 1

г)

Преобразуем смешанное число $3\frac{2}{3}$ в неправильную дробь:

$3\frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{11}{3}$

Выполним умножение:

$\frac{11}{3} \cdot \frac{6}{11} = \frac{11 \cdot 6}{3 \cdot 11}$

Сокращаем общий множитель 11, а затем делим 6 на 3:

$\frac{\cancel{11} \cdot 6}{3 \cdot \cancel{11}} = \frac{6}{3} = 2$

Ответ: 2

д)

Сначала выполним действие в скобках (сложение дробей). Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 5 и 20 — это 20.

$\frac{1}{5} + \frac{1}{20} = \frac{1 \cdot 4}{5 \cdot 4} + \frac{1}{20} = \frac{4}{20} + \frac{1}{20} = \frac{4+1}{20} = \frac{5}{20}$

Сократим полученную дробь: $\frac{5}{20} = \frac{5}{5 \cdot 4} = \frac{1}{4}$.

Теперь умножим результат на $\frac{4}{5}$:

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{1 \cdot 4}{4 \cdot 5}$

Сокращаем общий множитель 4:

$\frac{1 \cdot \cancel{4}}{\cancel{4} \cdot 5} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$

е)

Сначала выполним действие в скобках (вычитание дробей). Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 3 и 4 — это 12.

$\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{4}{12} - \frac{3}{12} = \frac{4-3}{12} = \frac{1}{12}$

Теперь умножим результат на 12. Представим целое число 12 в виде дроби $\frac{12}{1}$:

$\frac{1}{12} \cdot 12 = \frac{1}{12} \cdot \frac{12}{1} = \frac{1 \cdot 12}{12 \cdot 1}$

Сокращаем общий множитель 12:

$\frac{1 \cdot \cancel{12}}{\cancel{12} \cdot 1} = 1$

Ответ: 1

2.446. Задания олимпиады по математике распечатывали на трёх принтерах. На первом принтере распечатали 35 % всех заданий, а на втором принтере — 25 % всех заданий. Сколько заданий распечатали на третьем принтере, если всего было 240 заданий?

2.446

1) 0,35 + 0,25 = 0,6 – распечатали на 2 принтерах;

2) 240 • 0,6 = 144 (з) – распечатали на 2 принтерах;

3) 240 – 144 = 96 (з) – распечатали на 3 принтере.

Ответ: 96 заданий.

Для решения этой задачи можно использовать два способа. Оба приведут к одинаковому результату.

Способ 1: Последовательное вычисление количества заданий

1. Сначала найдем, сколько заданий распечатали на первом принтере. Для этого вычислим 35% от общего числа заданий (240):

$240 \cdot \frac{35}{100} = 240 \cdot 0.35 = 84$ (задания).

2. Далее найдем, сколько заданий распечатали на втором принтере. Это 25% от 240 заданий:

$240 \cdot \frac{25}{100} = 240 \cdot 0.25 = 60$ (заданий).

3. Теперь сложим количество заданий, распечатанных на первом и втором принтерах вместе:

$84 + 60 = 144$ (задания).

4. Чтобы найти, сколько заданий распечатал третий принтер, вычтем из общего количества заданий сумму заданий, распечатанных на первых двух принтерах:

$240 - 144 = 96$ (заданий).

Способ 2: Вычисление через проценты

1. Сначала найдем, какой процент заданий был распечатан на первом и втором принтерах вместе:

$35\% + 25\% = 60\%$

2. Все задания составляют 100%. Найдем, какой процент заданий приходится на третий принтер, вычитая долю первых двух принтеров из 100%:

$100\% - 60\% = 40\%$

3. Теперь вычислим, сколько конкретно заданий составляют эти 40% от общего числа (240):

$240 \cdot \frac{40}{100} = 240 \cdot 0.4 = 96$ (заданий).

Ответ: 96 заданий.

6.31. 1) Нарисуйте параллелограмм, у которого все стороны равны и при этом:

а) нет прямых углов; б) есть прямые углы.

2) Как называют ромб, у которого углы прямые?

6.28

1)

а)

б)

2) Ромб, у которого все углы прямые, называется квадрат.

1)

В условии задачи дано определение: параллелограмм, у которого все стороны равны, называют ромбом. Следовательно, нам необходимо нарисовать и описать два вида ромба.

а) нет прямых углов;

Нужно нарисовать параллелограмм с равными сторонами, но без прямых углов. Такой фигурой является ромб, углы которого не равны $90^\circ$. У такого ромба, как и у любого параллелограмма, противолежащие углы равны, а сумма соседних углов составляет $180^\circ$. Таким образом, у него будут два равных острых угла (меньше $90^\circ$) и два равных тупых угла (больше $90^\circ$).

Ответ: Это ромб, который не является квадратом.

б) есть прямые углы.

Нужно нарисовать параллелограмм с равными сторонами, у которого есть прямые углы. Если у ромба есть один прямой угол ($90^\circ$), то все его углы будут прямыми. Это следует из свойств параллелограмма: противолежащие углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$ ($180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$). Четырехугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые, является квадратом.

Ответ: Это квадрат.

2)

Исходя из решения пункта 1-б, мы можем ответить на этот вопрос. Ромб — это четырехугольник, у которого все четыре стороны равны. Если к этому условию добавляется требование, чтобы все углы были прямыми, то такая фигура полностью соответствует определению квадрата.

Ответ: Квадрат.

6.29. Верно ли утверждение:
а) прямоугольник является квадратом;
б) квадрат является прямоугольником;
в) квадрат является ромбом;
г) ромб является квадратом?

Ответ поясните.

6.29

а) неверно, т.к. у прямоугольника могут быть не равные стороны

б) верно, т.к. у квадрата все углы прямые

в) верно, т.к. у квадрата все стороны равны

г) неверно, т.к. у ромба могут быть не прямые углы

Для ответа на эти вопросы, давайте вспомним определения геометрических фигур:

• Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые (равны $90^\circ$).
• Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.
• Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Также можно сказать, что квадрат — это ромб, у которого все углы прямые. Таким образом, квадрат сочетает в себе свойства и прямоугольника, и ромба.

Теперь разберем каждое утверждение.

а) прямоугольник является квадратом

Это утверждение неверно. Чтобы прямоугольник был квадратом, необходимо, чтобы все его стороны были равны. Однако, по определению, у прямоугольника равны только противолежащие стороны, а смежные стороны могут иметь разную длину. Например, прямоугольник со сторонами 3 см и 5 см не является квадратом. Таким образом, только частный случай прямоугольника (с равными сторонами) является квадратом, но не любой прямоугольник.

Ответ: нет, неверно.

б) квадрат является прямоугольником

Это утверждение верно. Основное свойство прямоугольника — наличие четырех прямых углов. У квадрата по определению все углы прямые, то есть равны $90^\circ$. Следовательно, квадрат удовлетворяет определению прямоугольника. Квадрат — это частный случай прямоугольника.

Ответ: да, верно.

в) квадрат является ромбом

Это утверждение верно. Основное свойство ромба — равенство всех четырех сторон. У квадрата по определению все стороны равны. Следовательно, квадрат удовлетворяет определению ромба. Квадрат — это частный случай ромба.

Ответ: да, верно.

г) ромб является квадратом

Это утверждение неверно. Чтобы ромб был квадратом, необходимо, чтобы все его углы были прямыми. Однако, по определению, у ромба равны только противолежащие углы, и они не обязательно равны $90^\circ$. Например, ромб с острыми углами $60^\circ$ и тупыми углами $120^\circ$ не является квадратом. Таким образом, только частный случай ромба (с прямыми углами) является квадратом, но не любой ромб.

Ответ: нет, неверно.

6.30. Развивай мышление. Постройте угол COD, который равен 40°. Отметьте точку А на стороне ОС так, что ОА = 3 см, и точку В на стороне OD так, что ОВ = 3 см. Проведите через точки А и В прямые, перпендикулярные сторонам OD и ОС. Обозначьте точку пересечения буквой М. Измерьте транспортиром углы СОМ и DOM. Сделайте предположение.

6.30

$$\begin{gathered} \angle \mathrm{COD} = 40°; \angle \mathrm{COM} = 20°, \angle \mathrm{DOM} = 20° \\ \mathrm{OM} – \mathrm{биссектриса} \angle \mathrm{COD} \end{gathered}$$

Задача решается в несколько этапов: построение, измерение и выдвижение предположения, и, наконец, математическое доказательство этого предположения.

1. Построение

Выполним построение в соответствии с условием задачи:

1. С помощью транспортира строим угол $COD$, равный $40^\circ$.
2. На его сторонах, лучах $OC$ и $OD$, откладываем от вершины $O$ отрезки $OA = 3$ см и $OB = 3$ см.
3. Через точку $A$ (лежащую на $OC$) проводим прямую, перпендикулярную стороне $OD$.
4. Через точку $B$ (лежащую на $OD$) проводим прямую, перпендикулярную стороне $OC$.
5. Точку, в которой эти две прямые пересекаются, обозначаем буквой $M$.
6. Проводим луч $OM$.

2. Измерение и предположение

Вооружившись транспортиром и измерив полученные углы $COM$ и $DOM$, мы обнаружим, что они равны между собой:
$\angle COM \approx 20^\circ$
$\angle DOM \approx 20^\circ$

Исходя из результатов измерений, можно сделать предположение: луч $OM$ является биссектрисой угла $COD$, то есть делит его пополам.

3. Доказательство

Чтобы строго доказать наше предположение, воспользуемся геометрией.

Пусть прямая, проходящая через точку $A$ перпендикулярно $OD$, пересекает луч $OD$ в точке $P$. По построению, $\angle OPM = 90^\circ$.
Пусть прямая, проходящая через точку $B$ перпендикулярно $OC$, пересекает луч $OC$ в точке $Q$. По построению, $\angle OQM = 90^\circ$.

Теперь рассмотрим два треугольника: $\triangle OAP$ и $\triangle OBQ$.

• $\triangle OAP$ является прямоугольным ( $\angle OPA = 90^\circ$ по построению), с гипотенузой $OA = 3$ см и острым углом $\angle AOP = \angle COD = 40^\circ$.
• $\triangle OBQ$ является прямоугольным ( $\angle OQB = 90^\circ$ по построению), с гипотенузой $OB = 3$ см и острым углом $\angle BOQ = \angle COD = 40^\circ$.

Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике найдем длины катетов $OP$ и $OQ$:
$OP = OA \cdot \cos(\angle AOP) = 3 \cdot \cos(40^\circ)$
$OQ = OB \cdot \cos(\angle BOQ) = 3 \cdot \cos(40^\circ)$
Так как правые части выражений равны, то и $OP = OQ$.

Теперь сравним треугольники $\triangle OPM$ и $\triangle OQM$.

• Они оба прямоугольные ( $\angle OPM = 90^\circ$ и $\angle OQM = 90^\circ$).
• Сторона $OM$ у них общая, и она является их гипотенузой.
• Катеты $OP$ и $OQ$ равны, как мы только что доказали.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle OPM$ и $\triangle OQM$ равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов: $\angle POM = \angle QOM$.
Поскольку луч $OP$ совпадает с лучом $OD$, а луч $OQ$ — с лучом $OC$, то это равенство можно записать как $\angle DOM = \angle COM$.

Это доказывает, что луч $OM$ является биссектрисой угла $COD$. Так как по условию $\angle COD = 40^\circ$, то:
$\angle COM = \angle DOM = \frac{40^\circ}{2} = 20^\circ$.
Таким образом, предположение, сделанное на основе измерений, полностью подтвердилось.

Ответ: Измерение транспортиром показывает, что углы $COM$ и $DOM$ равны $20^\circ$. Можно сделать предположение, что луч $OM$ является биссектрисой угла $COD$. Это предположение верно и доказывается через равенство прямоугольных треугольников $\triangle OPM$ и $\triangle OQM$ по общей гипотенузе $OM$ и равным катетам $OP$ и $OQ$.

6.31. Найдите корень уравнения:
а) 15х = 12х + 6;
б) 14х = 13х + 1;
в) 8y = 25;
г) 34 = x12.

6.31

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} \frac{1}{5}\mathrm{х} = \frac{1}{2}\mathrm{х} + 6; \overline{) · 10} \\ \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{5}}}}\mathrm{х} · \stackrel{2}{\bcancel{10} }= \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{2}}}}\mathrm{х} · \stackrel{5}{\cancel{10} }+ 6 · 10; \\ \frac{1}{1}\mathrm{х} · 2 = \frac{1}{1}\mathrm{х} · 5 + 60; \\ 2\mathrm{х} = 5\mathrm{х} + 60; \\ 2\mathrm{х} – 5\mathrm{х} = 60; \\ -3\mathrm{х} = 60; \\ \mathrm{х} = 60 : (-3); \\ \mathrm{х} = -20. \\ \mathrm{Ответ}: -20. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{1}{4}\mathrm{х} = \frac{1}{3}\mathrm{х} + 1; \overline{) · 12} \\ \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{4}}}}\mathrm{х} · \stackrel{3}{\bcancel{12}} = \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}}\mathrm{х} · \stackrel{4}{\cancel{12}} + 1 · 12; \\ \frac{1}{1}\mathrm{х} · 3 = \frac{1}{1}\mathrm{х} · 4 + 12; \\ 3\mathrm{х} = 4\mathrm{х} + 12; \\ 3\mathrm{х} – 4\mathrm{х} = 12; \\ -\mathrm{х} = 12; \\ \mathrm{х} = 12 : (-1); \\ \mathrm{х} = -12. \\ \mathrm{Ответ}: -12 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)} \frac{8}{\mathrm{у}} = \frac{2}{5}; \\ \mathrm{у} = \frac{8 · 5}{2}; \\ \mathrm{у} = \frac{40}{2}; \\ \mathrm{у} = 20. \\ \mathrm{Ответ}: 20. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)} \frac{3}{4} = \frac{\mathrm{х}}{12}; \\ \mathrm{х} = \frac{3 · {\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{12}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}}; \\ \mathrm{х} = \frac{3 · 3}{1}; \\ \mathrm{х} = 9. \\ \mathrm{Ответ}: 9. \end{gathered}$$

а) Дано уравнение $\frac{1}{5}x = \frac{1}{2}x + 6$. Для решения перенесем все слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный: $\frac{1}{5}x - \frac{1}{2}x = 6$. Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 5 и 2 равно 10. $\frac{2}{10}x - \frac{5}{10}x = 6$. Теперь выполним вычитание коэффициентов при $x$: $(\frac{2 - 5}{10})x = 6$, $-\frac{3}{10}x = 6$. Чтобы найти $x$, нужно разделить обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $-\frac{3}{10}$. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь: $x = 6 \div (-\frac{3}{10}) = 6 \cdot (-\frac{10}{3})$. $x = -\frac{6 \cdot 10}{3} = -\frac{60}{3} = -20$.
Ответ: -20.

б) Дано уравнение $\frac{1}{4}x = \frac{1}{3}x + 1$. Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а число 1 оставим в правой части: $\frac{1}{4}x - \frac{1}{3}x = 1$. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 3 равен 12: $\frac{3}{12}x - \frac{4}{12}x = 1$. Выполним вычитание: $(\frac{3 - 4}{12})x = 1$, $-\frac{1}{12}x = 1$. Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на -12: $x = 1 \cdot (-12)$, $x = -12$.
Ответ: -12.

в) Дано уравнение $\frac{8}{y} = \frac{2}{5}$. Это пропорция. Согласно основному свойству пропорции, произведение крайних членов равно произведению средних членов. $8 \cdot 5 = y \cdot 2$. $40 = 2y$. Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на 2: $y = \frac{40}{2}$, $y = 20$.
Ответ: 20.

г) Дано уравнение $\frac{3}{4} = \frac{x}{12}$. Это также пропорция. Используем основное свойство пропорции: $3 \cdot 12 = 4 \cdot x$. $36 = 4x$. Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 4: $x = \frac{36}{4}$, $x = 9$.
Ответ: 9.

6.32. Приведите подобные слагаемые:

x – 11 + 4x – 7x +5.

6.32

$$\begin{gathered} х – 11 + 4х – 7х + 5 = (1 + 4 – 7) х + \\ + (-11 + 5) = -2х – 6 \end{gathered}$$

Чтобы привести подобные слагаемые, необходимо сгруппировать и выполнить арифметические операции с членами, имеющими одинаковую переменную часть, и отдельно с числовыми членами (константами).

В данном выражении $x - 11 + 4x - 7x + 5$ есть две группы подобных слагаемых:

• Слагаемые с переменной $x$: $x$, $4x$ и $-7x$.
• Числовые слагаемые (константы): $-11$ и $5$.

Сгруппируем их для удобства вычислений:

$(x + 4x - 7x) + (-11 + 5)$

Теперь сложим коэффициенты при переменной $x$. Следует помнить, что $x$ это то же самое, что и $1x$.

$1x + 4x - 7x = (1 + 4 - 7)x = (5 - 7)x = -2x$

Затем сложим числовые слагаемые:

$-11 + 5 = -6$

Объединив полученные результаты, получаем упрощенное выражение:

$-2x - 6$

Ответ: $-2x - 6$

6.33. Выполните действия:

а) 4,20,7;
б) 0,855;
в) 2,8 · 84;
г) 25 · 630.

6.33

$\mathit{а}\mathbf{)} \frac{4,2}{0,7} = \frac{42}{7} = 42 : 7 = 6$

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{0,85}{5} = 0,85 : 5 = 0,17$

$\mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{2,8 · {\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{8}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}} = \frac{2,8 · 2}{1} = 5,6$

$\mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{25 · {\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{6}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{30}}}} = \frac{25 · 1}{5} = 5$

а) Чтобы выполнить деление десятичных дробей, мы можем домножить и делимое, и делитель на такое число, чтобы делитель стал целым. В данном случае умножим числитель и знаменатель на 10:
$\frac{4,2}{0,7} = \frac{4,2 \cdot 10}{0,7 \cdot 10} = \frac{42}{7}$
Теперь выполним деление целых чисел:
$42 \div 7 = 6$
Ответ: 6

б) Чтобы разделить десятичную дробь на целое число, выполним деление, не обращая внимания на запятую, а затем поставим запятую в частном, когда закончится деление целой части. Делим $0,85$ на $5$:
Целая часть $0$ при делении на $5$ дает $0$. Ставим $0$ и запятую в ответе.
Делим $8$ десятых на $5$, получаем $1$ в частном и $3$ в остатке.
Сносим $5$ сотых, получаем $35$ сотых. Делим $35$ на $5$, получаем $7$.
В итоге: $\frac{0,85}{5} = 0,17$
Ответ: 0,17

в) В данном выражении можно сначала выполнить умножение в числителе, а затем деление, но удобнее сначала сократить дробь. Сократим $8$ в числителе и $4$ в знаменателе на $4$:
$\frac{2,8 \cdot 8}{4} = 2,8 \cdot \frac{8}{4} = 2,8 \cdot 2$
Теперь выполним умножение:
$2,8 \cdot 2 = 5,6$
Ответ: 5,6

г) В этом выражении также удобнее сначала выполнить сокращение. Мы можем сократить $6$ и $30$ на $6$:
$\frac{25 \cdot 6}{30} = \frac{25 \cdot 1}{5}$
Теперь осталось разделить $25$ на $5$:
$\frac{25}{5} = 5$
Ответ: 5

6.34. Какое из чисел меньше: а) n или 3n; б) n или n3?

6.34

а) если n > 0, то n < 3n
если n < 0, то n > 3n
если n = 0, то n = 3n

б) если n > 0, то n > $\frac{\mathrm{n}}{3}$
если n < 0, то n < $\frac{\mathrm{n}}{3}$
если n = 0, то n = $\frac{\mathrm{n}}{3}$

Чтобы определить, какое из чисел меньше, необходимо рассмотреть различные случаи для значения переменной $n$, поскольку результат сравнения зависит от того, является ли $n$ положительным, отрицательным или равным нулю.

Для сравнения чисел $n$ и $3n$, найдем их разность: $3n - n = 2n$.

• Если $n$ — положительное число ($n > 0$), то разность $2n$ также будет положительной. Это означает, что $3n - n > 0$, и, следовательно, $3n > n$. В этом случае меньшим числом является $n$.
• Если $n$ — отрицательное число ($n < 0$), то разность $2n$ будет отрицательной. Это означает, что $3n - n < 0$, и, следовательно, $3n < n$. В этом случае меньшим числом является $3n$.
• Если $n = 0$, то $3n = 3 \cdot 0 = 0$. В этом случае числа равны: $n = 3n$.

Ответ: если $n > 0$, то меньше $n$; если $n < 0$, то меньше $3n$; если $n = 0$, то числа равны.

Для сравнения чисел $n$ и $\frac{n}{3}$, найдем их разность: $n - \frac{n}{3} = \frac{3n}{3} - \frac{n}{3} = \frac{2n}{3}$.

• Если $n$ — положительное число ($n > 0$), то разность $\frac{2n}{3}$ будет положительной. Это означает, что $n - \frac{n}{3} > 0$, и, следовательно, $n > \frac{n}{3}$. В этом случае меньшим числом является $\frac{n}{3}$.
• Если $n$ — отрицательное число ($n < 0$), то разность $\frac{2n}{3}$ будет отрицательной. Это означает, что $n - \frac{n}{3} < 0$, и, следовательно, $n < \frac{n}{3}$. В этом случае меньшим числом является $n$.
• Если $n = 0$, то $\frac{n}{3} = \frac{0}{3} = 0$. В этом случае числа равны: $n = \frac{n}{3}$.

Ответ: если $n > 0$, то меньше $\frac{n}{3}$; если $n < 0$, то меньше $n$; если $n = 0$, то числа равны.

6.35. Какое время показывают часы, если до конца суток осталось 56 того времени, которое прошло от начала суток?

6.35

Пусть х часов – прошло от начала суток, тогда $\frac{5}{6}х$ часов – осталось до конца суток. Зная, что в сутках 24 часа, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х + \frac{5}{6} х = 24; \overline{) · 6} \\ х · 6 + \frac{5}{\cancel{6}} х · \cancel{6} = 24 · 6; \\ 6х + \frac{5}{1} х · 1 = 144; \\ 6х + 5х = 144; \\ 11х = 144; \\ х = 144 : 11; \\ х = \frac{144}{11}; \end{gathered}$$

$х = 13\frac{1}{11}$ ч – прошло от начала суток

Ответ: почти 13 ч 6 мин.

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество часов, которое прошло от начала суток. Это время часы и показывают. В сутках 24 часа, следовательно, до конца суток осталось $24 - x$ часов.

Согласно условию задачи, время, оставшееся до конца суток, составляет $\frac{5}{6}$ от времени, прошедшего с начала суток. Мы можем составить уравнение:

$24 - x = \frac{5}{6}x$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$. Перенесем $-x$ в правую часть уравнения, изменив знак:

$24 = \frac{5}{6}x + x$

Чтобы сложить $x$ и $\frac{5}{6}x$, представим $x$ как $\frac{6}{6}x$:

$24 = \frac{5}{6}x + \frac{6}{6}x$

$24 = \frac{11}{6}x$

Теперь, чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на $\frac{6}{11}$:

$x = 24 \cdot \frac{6}{11}$

$x = \frac{144}{11}$

Мы нашли, что с начала суток прошло $\frac{144}{11}$ часа. Чтобы понять, какое это время, переведем это значение в часы и минуты. Сначала выделим целую часть, чтобы найти количество полных часов:

$\frac{144}{11} = 13 \frac{1}{11}$ часа

Это означает, что прошло 13 полных часов. Теперь нужно перевести дробную часть, $\frac{1}{11}$ часа, в минуты. В одном часе 60 минут, поэтому:

$\frac{1}{11} \cdot 60 = \frac{60}{11} = 5 \frac{5}{11}$ минут

Таким образом, с начала суток прошло 13 часов и $5 \frac{5}{11}$ минут.

Ответ: часы показывают 13 часов $5 \frac{5}{11}$ минут.

6.36. Найдите число, 1113 которого равны 1311 этого числа.

6.36

Пусть число будет равно х, тогда

$$\begin{gathered} \frac{11}{13}\mathrm{х} = \frac{13}{11}\mathrm{х}; \\ \frac{13}{11}\mathrm{х} - \frac{11}{13}\mathrm{х} =0; \\ \frac{2}{11}\mathrm{х} = 0; \\ \mathrm{х} = 0 : \frac{2}{11}; \\ \mathrm{х} = 0. \\ \mathrm{Ответ}: 0. \end{gathered}$$

Пусть искомое число — это $x$.

По условию задачи, $\frac{11}{13}$ от числа $x$ равны $\frac{13}{11}$ от этого же числа $x$. Составим уравнение на основе этого условия:

$\frac{11}{13}x = \frac{13}{11}x$

Для решения уравнения перенесем все его члены в одну сторону:

$\frac{13}{11}x - \frac{11}{13}x = 0$

Теперь вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x \left(\frac{13}{11} - \frac{11}{13}\right) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю только в том случае, если хотя бы один из них равен нулю. Проверим значение выражения в скобках:

$\frac{13}{11} - \frac{11}{13} = \frac{13 \cdot 13}{11 \cdot 13} - \frac{11 \cdot 11}{13 \cdot 11} = \frac{169}{143} - \frac{121}{143} = \frac{48}{143}$

Так как множитель $\frac{48}{143}$ не равен нулю, то для истинности равенства $x \cdot \frac{48}{143} = 0$ необходимо, чтобы второй множитель, $x$, был равен нулю.

Таким образом, $x=0$.

Проверим найденное решение:

$\frac{11}{13} \cdot 0 = 0$

$\frac{13}{11} \cdot 0 = 0$

$0 = 0$. Равенство выполняется.

Ответ: 0.

6.37. Развивай мышление. Найдите длину цепи из сорока звеньев в натянутом состоянии (рис. 6.16). Размеры даны в миллиметрах.

6.37

Возьмём 40 раз по 20 мм (длина каждого звена) и 2 раза по 5 мм (толщина начала и конца каждого звена).

$20 · 40 + 5 · 2 = 800 + 10 = 810 \left(\mathrm{мм}\right) = 81 \left(\mathrm{см}\right)$ – длина цепи

Ответ: 81 см

Для того чтобы найти длину цепи из сорока звеньев в натянутом состоянии, необходимо проанализировать размеры одного звена и способ их соединения. Из рисунка мы имеем следующие данные:

• Общее количество звеньев в цепи, $N = 40$.
• Внешняя длина (или высота) одного звена, $L_{звена} = 20$ мм.
• Толщина материала, из которого изготовлено звено, $d = 5$ мм.

Когда цепь натянута, общая длина определяется суммой длин, которые добавляет каждое звено. Существует два логичных способа расчета.

Способ 1: Расчет на основе приращения длины

Мы можем представить процесс сборки цепи по одному звену. Первое звено определяет начальную длину, которая равна его полной внешней длине, то есть $20$ мм. Каждое последующее звено, проходя через предыдущее, увеличивает общую длину цепи. Величина этого увеличения равна внутреннему продольному размеру звена, который можно рассчитать, вычтя из внешней длины толщину материала с обеих сторон (сверху и снизу).

Внутренняя длина звена, которая определяет шаг цепи, равна:$L_{внутр} = L_{звена} - 2 \times d = 20 \text{ мм} - 2 \times 5 \text{ мм} = 10$ мм.

Таким образом, общая длина цепи состоит из полной длины первого звена и длин, добавляемых остальными $N-1 = 39$ звеньями.Общая длина цепи ($L_{цепи}$) вычисляется по формуле:

$L_{цепи} = L_{звена} + (N - 1) \times L_{внутр}$

Подставляем наши значения:

$L_{цепи} = 20 + (40 - 1) \times 10 = 20 + 39 \times 10 = 20 + 390 = 410$ мм.

Способ 2: Расчет через вычитание "перекрытий"

Другой подход — представить, что все $40$ звеньев выложены в ряд без соединения. Их суммарная длина была бы:

$L_{общая} = N \times L_{звена} = 40 \times 20 = 800$ мм.

При соединении звеньев в цепь возникают "перекрытия", которые уменьшают общую длину. В цепи из $N$ звеньев имеется $N-1=39$ мест соединения. В каждом таком месте одно звено проходит через другое, и общая длина уменьшается на толщину материала первого звена и толщину материала второго звена. Таким образом, уменьшение длины на одно соединение составляет:

$2 \times d = 2 \times 5 = 10$ мм.

Общее уменьшение длины для всех 39 соединений будет:

$39 \times 10 \text{ мм} = 390$ мм.

Теперь вычтем общее уменьшение из суммарной длины несоединенных звеньев, чтобы найти итоговую длину натянутой цепи:

$L_{цепи} = L_{общая} - (N - 1) \times 2d = 800 - 390 = 410$ мм.

Оба метода приводят к одному и тому же результату, что подтверждает верность рассуждений.

Ответ: 410 мм.

6.38. Вычислите:
1) (503,44 : 12,4 – 225,36 : 7,2) · (1,6905 : 0,49);
2) (971,1 : 23,4 – 211,14 : 6,9) · (6,5704 : 0,86).

6.38

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)} (503,44 : 12,4 – 225,36 : 7,2) · (1,6905 : 0,49) = \\ = (5034,4 \stackrel{1}{:} 124 – 2253,6\stackrel{2}{ :} 72) · (169,05 \stackrel{3}{:} 49) = \\ = (40,6 – 31,3) · 3,45 = 9,3 \stackrel{4}{·} 3,45 = 32,085 \end{gathered}$$

1.	2.
3.	4.

$$\begin{gathered} \mathbf{2}\mathbf{)} (971,1 : 23,4 – 211,14 : 6,9) · (6,5704 : 0,86) = \\ = (9711\stackrel{1}{ :} 234 – 2111,4\stackrel{2}{ :} 69) · (657,04\stackrel{3}{ :} 86) = \\ = (41,5 – 30,6) · 7,64 = 10,9 \stackrel{4}{·} 7,64 = 83,276 \end{gathered}$$

1.	2.
3.	4.

Для решения выражения $(503,44 : 12,4 - 225,36 : 7,2) \cdot (1,6905 : 0,49)$ необходимо соблюдать порядок действий. Сначала выполняются операции в скобках, причем деление имеет приоритет перед вычитанием. Затем полученные результаты перемножаются.

1. Выполним первое деление в первых скобках:
$503,44 : 12,4 = 40,6$

2. Выполним второе деление в первых скобках:
$225,36 : 7,2 = 31,3$

3. Найдем разность результатов в первых скобках:
$40,6 - 31,3 = 9,3$

4. Выполним деление во вторых скобках:
$1,6905 : 0,49 = 3,45$

5. Перемножим результаты, полученные в скобках:
$9,3 \cdot 3,45 = 32,085$

Ответ: 32,085.

Для решения выражения $(971,1 : 23,4 - 211,14 : 6,9) \cdot (6,5704 : 0,86)$ решим его по действиям, соблюдая правильный порядок их выполнения.

1. Выполним первое деление в первых скобках:
$971,1 : 23,4 = 41,5$

2. Выполним второе деление в первых скобках:
$211,14 : 6,9 = 30,6$

3. Найдем разность результатов в первых скобках:
$41,5 - 30,6 = 10,9$

4. Выполним деление во вторых скобках:
$6,5704 : 0,86 = 7,64$

5. Перемножим полученные результаты:
$10,9 \cdot 7,64 = 83,276$

Ответ: 83,276.

6.39. Проведите через точки К и N прямые (рис. 6.17), параллельные прямой а, и прямые, перпендикулярные прямой а.

6.39

а

Построение параллельных прямых:
На рисунке 'а' прямая a является вертикальной, то есть она параллельна вертикальным линиям сетки. Прямая, параллельная данной, должна быть также вертикальной. Поэтому через точки K и N необходимо провести вертикальные прямые.

Построение перпендикулярных прямых:
Прямая, перпендикулярная вертикальной прямой, является горизонтальной. Поэтому через точки K и N необходимо провести горизонтальные прямые, которые будут параллельны горизонтальным линиям сетки.

Ответ: Через точки K и N проводятся вертикальные прямые (параллельные прямой a) и горизонтальные прямые (перпендикулярные прямой a).

б

Построение параллельных прямых:
Чтобы построить параллельную прямую, ее угловой коэффициент (наклон) должен совпадать с угловым коэффициентом прямой a. Найдем его, выбрав на прямой a две точки на узлах сетки: при смещении на 1 клетку вправо происходит смещение на 2 клетки вниз. Таким образом, угловой коэффициент $k_a = \frac{-2}{1} = -2$. Через точки K и N проводим прямые с таким же наклоном (от каждой точки строим прямую, которая для смещения на 1 клетку вправо смещается на 2 клетки вниз).

Построение перпендикулярных прямых:
Угловой коэффициент перпендикулярной прямой $k_{\perp}$ связан с угловым коэффициентом исходной прямой $k_a$ соотношением $k_{\perp} = -1/k_a$. В данном случае $k_{\perp} = -1/(-2) = 1/2$. Для построения прямых с таким наклоном через точки K и N откладываем от них 2 клетки вправо и 1 клетку вверх и проводим прямые через исходные и новые точки.

Ответ: Через точки K и N проводятся прямые с угловым коэффициентом $k=-2$ (параллельные прямой a) и прямые с угловым коэффициентом $k=1/2$ (перпендикулярные прямой a).

в

Построение параллельных прямых:
Определим угловой коэффициент прямой a. Двигаясь по прямой от одного узла сетки до другого, мы смещаемся на 3 клетки вправо и на 1 клетку вверх. Следовательно, угловой коэффициент $k_a = 1/3$. Параллельные прямые будут иметь такой же наклон. Строим их через точки K и N, используя тот же шаг (3 клетки вправо, 1 клетка вверх).

Построение перпендикулярных прямых:
Находим угловой коэффициент для перпендикулярных прямых: $k_{\perp} = -1/k_a = -1/(1/3) = -3$. Это означает, что для построения перпендикулярных прямых через точки K и N необходимо от каждой точки смещаться на 1 клетку вправо и 3 клетки вниз (или 1 влево и 3 вверх) и проводить прямые.

Ответ: Через точки K и N проводятся прямые с угловым коэффициентом $k=1/3$ (параллельные прямой a) и прямые с угловым коэффициентом $k=-3$ (перпендикулярные прямой a).