Страница 99, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

1. Упростите выражение и найдите его значение:

а) 12p + 314p при p = 312;

б) 1437 + 316 n – 437 + 2312n при n = 315.

Проверочная работа № 2

1.

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} \frac{1}{2} \mathrm{р} + \frac{3}{14} \mathrm{р} =\left(\frac{1}{2} + \frac{3}{14} \right) \mathrm{р} = \\ = \frac{10}{14} \mathrm{р} = \frac{5}{7} \mathrm{р}; \\ \mathrm{при} \mathrm{р} = 3\frac{1}{2}: \\ \frac{5}{7}\mathrm{р} = \frac{5}{7} · 3\frac{1}{2} = \frac{5}{\cancel{7}} · \frac{\cancel{7}}{2}=\frac{5}{2} =2\frac{1}{2}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)} 1\frac{4}{37} + {\frac{3}{16}}^{\overline{)·3}} \mathrm{n} - \frac{4}{37} + 2\frac{3}{12} \mathrm{n} = \\ = \left(1\frac{4}{37} -\frac{4}{37} \right) + \left(\frac{9}{48} \mathrm{n} +2\frac{3}{12} \mathrm{n} \right)= \\ = 1 + \left(\frac{9}{48} +2\frac{3}{12}\right)\mathrm{n} = 1 + 2\frac{7}{16} \mathrm{n}; \\ \mathrm{при} \mathrm{n} =3\frac{1}{5}: \\ 1 + 2\frac{7}{16} · 3\frac{1}{5} = 1 + \frac{39}{\cancel{16}} · \frac{\cancel{16}}{5} = 1 + \frac{39}{5} = \\ = 1 + 7\frac{4}{5} =8\frac{4}{5}. \end{gathered}$$

а)

Сначала упростим выражение $\frac{1}{2}p + \frac{3}{14}p$. Для этого вынесем общий множитель $p$ за скобки и сложим коэффициенты:

$(\frac{1}{2} + \frac{3}{14})p$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 14:

$(\frac{1 \cdot 7}{2 \cdot 7} + \frac{3}{14})p = (\frac{7}{14} + \frac{3}{14})p = \frac{10}{14}p$

Сократим полученную дробь:

$\frac{10}{14}p = \frac{5}{7}p$

Теперь подставим значение $p = 3\frac{1}{2}$ в упрощенное выражение. Сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби:

$p = 3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$

Вычислим значение выражения:

$\frac{5}{7} \cdot p = \frac{5}{7} \cdot \frac{7}{2} = \frac{5 \cdot 7}{7 \cdot 2} = \frac{5}{2}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$

Ответ: $2\frac{1}{2}$.

б)

Сначала упростим выражение $1\frac{4}{37} + \frac{3}{16}n - \frac{4}{37} + 2\frac{3}{12}n$. Сгруппируем слагаемые: отдельно числа и отдельно слагаемые с переменной $n$.

$(1\frac{4}{37} - \frac{4}{37}) + (\frac{3}{16}n + 2\frac{3}{12}n)$

Вычислим значение первой скобки:

$1\frac{4}{37} - \frac{4}{37} = 1$

Теперь упростим выражение во второй скобке. Сначала сократим дробь у второго слагаемого: $2\frac{3}{12} = 2\frac{1}{4}$.

$\frac{3}{16}n + 2\frac{1}{4}n = (\frac{3}{16} + 2\frac{1}{4})n$

Сложим коэффициенты. Для этого представим $2\frac{1}{4}$ в виде неправильной дроби: $2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$.

$(\frac{3}{16} + \frac{9}{4})n$

Приведем дроби к общему знаменателю 16:

$(\frac{3}{16} + \frac{9 \cdot 4}{4 \cdot 4})n = (\frac{3}{16} + \frac{36}{16})n = \frac{39}{16}n$

Итак, упрощенное выражение имеет вид: $1 + \frac{39}{16}n$.

Подставим значение $n = 3\frac{1}{5}$ в упрощенное выражение. Представим смешанное число в виде неправильной дроби:

$n = 3\frac{1}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{16}{5}$

Вычислим значение выражения:

$1 + \frac{39}{16} \cdot n = 1 + \frac{39}{16} \cdot \frac{16}{5} = 1 + \frac{39 \cdot 16}{16 \cdot 5} = 1 + \frac{39}{5}$

Преобразуем $\frac{39}{5}$ в смешанное число: $\frac{39}{5} = 7\frac{4}{5}$.

$1 + 7\frac{4}{5} = 8\frac{4}{5}$

Ответ: $8\frac{4}{5}$.

2. Решите уравнение:

а) 14x + 23x + 112x = 5; б) 315y – 2625y = 2425; в) 138x – 716x = 178.

2.

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} \frac{1}{4} \mathrm{х} + \frac{2}{3} \mathrm{х} + \frac{1}{12}\mathrm{х} = 5; \\ \left({\frac{1}{4}}^{\overline{)·3}} + {\frac{2}{3}}^{\overline{)·4}} + \frac{1}{12}\right) \mathrm{х} = 5; \\ \left(\frac{3}{12} + \frac{8}{12} +\frac{1}{12}\right) \mathrm{х} = 5; \\ \frac{12}{12} \mathrm{х} = 5; \\ \mathrm{х} = 5. \\ \mathrm{Ответ}: 5. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)} 3\frac{1}{5} \mathrm{у} - 2\frac{6}{25}\mathrm{у} = \frac{24}{25}; \\ \left({3\frac{1}{5}}^{\overline{)·5}} - 2\frac{6}{25}\right) \mathrm{у} = \frac{24}{25}; \\ \left(3\frac{5}{25} - 2\frac{6}{25}\right) \mathrm{у} = \frac{24}{25}; \\ \frac{24}{25} \mathrm{у} = \frac{24}{25}; \\ \mathrm{у} = 1. \\ \mathrm{Ответ}: 1. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)} 1\frac{3}{8} \mathrm{х} - \frac{7}{16} \mathrm{х} = 1\frac{7}{8}; \\ \left({1\frac{3}{8}}^{\overline{)·2}} - \frac{7}{16}\right) \mathrm{х} =1\frac{7}{8}; \\ \left(1\frac{6}{16} - \frac{7}{16}\right) \mathrm{х} =1\frac{7}{8}; \\ \left(\frac{22}{16} -\frac{7}{16}\right) \mathrm{х} ={\frac{15}{8}}^{\overline{)·2}}; \\ \frac{15}{16} \mathrm{х} = \frac{30}{16}; \\ 15 \mathrm{х} = 30; \\ \mathrm{х} = 30 : 15; \\ \mathrm{х} = 2. \\ \mathrm{Ответ}: 2. \end{gathered}$$

а) $\frac{1}{4}x + \frac{2}{3}x + \frac{1}{12}x = 5$

Сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки в левой части уравнения:

$(\frac{1}{4} + \frac{2}{3} + \frac{1}{12})x = 5$

Теперь сложим дроби в скобках. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4, 3 и 12 равен 12.

$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12}$

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$

Подставим полученные дроби обратно в уравнение:

$(\frac{3}{12} + \frac{8}{12} + \frac{1}{12})x = 5$

Сложим числители:

$\frac{3+8+1}{12}x = 5$

$\frac{12}{12}x = 5$

$1 \cdot x = 5$

$x = 5$

Ответ: $x=5$.

б) $3\frac{1}{5}y - 2\frac{6}{25}y = \frac{24}{25}$

Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$(3\frac{1}{5} - 2\frac{6}{25})y = \frac{24}{25}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$3\frac{1}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{16}{5}$

$2\frac{6}{25} = \frac{2 \cdot 25 + 6}{25} = \frac{56}{25}$

Подставим неправильные дроби в уравнение:

$(\frac{16}{5} - \frac{56}{25})y = \frac{24}{25}$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 25:

$(\frac{16 \cdot 5}{5 \cdot 5} - \frac{56}{25})y = \frac{24}{25}$

$(\frac{80}{25} - \frac{56}{25})y = \frac{24}{25}$

Выполним вычитание:

$\frac{80 - 56}{25}y = \frac{24}{25}$

$\frac{24}{25}y = \frac{24}{25}$

Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на $\frac{24}{25}$:

$y = \frac{24}{25} : \frac{24}{25}$

$y = 1$

Ответ: $y=1$.

в) $1\frac{3}{8}x - \frac{7}{16}x = 1\frac{7}{8}$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки в левой части уравнения:

$(1\frac{3}{8} - \frac{7}{16})x = 1\frac{7}{8}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$1\frac{3}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{11}{8}$

$1\frac{7}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 7}{8} = \frac{15}{8}$

Теперь уравнение выглядит так:

$(\frac{11}{8} - \frac{7}{16})x = \frac{15}{8}$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 16:

$(\frac{11 \cdot 2}{8 \cdot 2} - \frac{7}{16})x = \frac{15}{8}$

$(\frac{22}{16} - \frac{7}{16})x = \frac{15}{8}$

Выполним вычитание в скобках:

$\frac{22 - 7}{16}x = \frac{15}{8}$

$\frac{15}{16}x = \frac{15}{8}$

Чтобы найти $x$, нужно разделить правую часть на коэффициент при $x$:

$x = \frac{15}{8} : \frac{15}{16}$

Для деления на дробь, умножим на обратную ей дробь:

$x = \frac{15}{8} \cdot \frac{16}{15}$

Сократим дроби:

$x = \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{1}$

$x = 2$

Ответ: $x=2$.

6.1. Используя транспортир, постройте две перпендикулярные прямые.

6.1

6.1 Для построения двух перпендикулярных прямых с помощью транспортира необходимо выполнить следующие действия. Перпендикулярными называются прямые, угол пересечения которых составляет ровно $90^\circ$.

1. Начертите на листе бумаги произвольную прямую линию. Для этого можно использовать линейку или прямой край самого транспортира. Обозначим эту прямую буквой a.
2. Выберите на этой прямой любую точку и отметьте её, например, как точку O. Эта точка будет точкой пересечения прямых и вершиной прямого угла.
3. Приложите транспортир к прямой a так, чтобы его центр (специальная отметка, риска или отверстие) совпал с точкой O, а его основание (линия, соединяющая отметки $0^\circ$ и $180^\circ$) легло точно на прямую a.
4. Найдите на шкале транспортира отметку $90^\circ$. Поставьте карандашом небольшую точку на бумаге точно напротив этой отметки. Обозначим эту новую точку буквой P.
5. Уберите транспортир. Теперь у вас есть прямая a, точка O на ней и точка P вне её.
6. С помощью линейки проведите вторую прямую линию через точки O и P. Обозначим эту прямую буквой b.

В результате выполненных действий прямая b пересекает прямую a в точке O под углом $90^\circ$. Следовательно, построенные прямые a и b перпендикулярны. В математике это обозначается как $a \perp b$.

Ответ: Построение, описанное в шагах 1-6, позволяет получить две перпендикулярные прямые с использованием транспортира.

6.2. Определите на глаз, какие пары прямых на рисунке 6.5 перпендикулярны, и запишите. Проверьте с помощью чертёжного треугольника, верно ли найдены пары перпендикулярных прямых.

6.2

$s \perp t, b \perp m, a \perp c, z \perp n$

Определите на глаз, какие пары прямых на рисунке 6.5 перпендикулярны, и запишите.

При визуальном анализе представленного рисунка можно сделать предварительное заключение о перпендикулярности некоторых пар прямых. Перпендикулярными называются прямые, которые пересекаются под прямым углом ($90^\circ$).

На глаз наиболее вероятными кандидатами на перпендикулярность являются:

• Прямые a и c. Прямая a выглядит горизонтальной, а прямая c — вертикальной, что создаёт впечатление прямого угла в точке их пересечения.
• Прямые z и t. Угол их пересечения также близок к прямому, хотя и с меньшей уверенностью, чем в предыдущем случае.

Ответ: На глаз перпендикулярными кажутся пары прямых (a, c) и (z, t).

Проверьте с помощью чертёжного треугольника, верно ли найдены пары перпендикулярных прямых.

Для точной проверки воспользуемся методом, имитирующим применение чертёжного треугольника (угольника), у которого один из углов равен $90^\circ$.

1. Проверка пары (a, c): Если приложить одну сторону прямого угла чертёжного треугольника к прямой a так, чтобы вершина прямого угла совпала с точкой пересечения, то вторая сторона прямого угла полностью совпадёт с прямой c. Это подтверждает, что угол между прямыми a и c равен $90^\circ$. Следовательно, прямые a и c перпендикулярны. Математически это записывается как $a \perp c$.

2. Проверка пары (z, t): Если приложить одну сторону прямого угла треугольника к прямой z, то можно увидеть, что прямая t не совпадает со второй стороной прямого угла. Угол между прямыми z и t является острым (меньше $90^\circ$). Следовательно, прямые z и t не перпендикулярны.

3. Проверка других пар: Проверка остальных пар пересекающихся прямых (например, a и s, s и t, b и m) также показывает, что углы их пересечения не являются прямыми.

Таким образом, после проверки с помощью чертёжного треугольника выясняется, что только одна пара прямых на рисунке является перпендикулярной.

Ответ: Верно найдена только одна пара перпендикулярных прямых: a и c ($a \perp c$).

6.3. а) Проведите прямую NM, отметьте точку К (рис. 6.6). Используя чертёжный треугольник, проведите через эту точку перпендикулярную прямую к прямой NM. Сколько прямых, перпендикулярных отрезку NM, можно провести через точку К?

б) Проведите прямую NM, отметьте точку Р (см. рис. 6.6). Используя чертёжный треугольник, проведите перпендикулярную прямую к прямой NM через точку Р. Можно ли провести перпендикулярную прямую через точку Р к отрезку NM?

6.3

а)

Через точку К можно провести только одну прямую, перпендикулярную отрезку MN.

б)

Через точку Р нельзя провести прямую, перпендикулярную отрезку MN.

а) Согласно аксиоме перпендикулярности, через любую точку плоскости, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную данной, и притом только одну. Точка K не лежит на прямой NM. Следовательно, через точку K можно провести ровно одну прямую, которая будет перпендикулярна прямой NM. Эта же прямая будет перпендикулярна и отрезку NM, так как отрезок является частью прямой. Для построения с помощью чертёжного треугольника необходимо приложить один из его катетов к прямой NM, а затем сдвигать треугольник вдоль прямой до тех пор, пока второй катет не совпадет с точкой K. Прямая, проведённая вдоль этого второго катета, и будет искомым перпендикуляром.

Ответ: можно провести только одну прямую.

б) Через точку P можно провести единственную прямую, перпендикулярную бесконечной прямой, содержащей отрезок NM. Однако в задаче спрашивается о возможности провести перпендикуляр именно к отрезку NM. Это означает, что точка пересечения перпендикуляра с прямой NM (так называемое основание перпендикуляра) должна лежать на самом отрезке, то есть между точками N и M.

Если посмотреть на рисунок, то можно увидеть, что основание перпендикуляра, опущенного из точки P на прямую NM, будет находиться левее точки N, то есть на продолжении отрезка NM. Таким образом, хотя перпендикуляр к прямой NM из точки P построить можно, он не будет пересекать сам отрезок NM.

Ответ: нет, провести перпендикулярную прямую через точку P к отрезку NM нельзя, так как основание перпендикуляра, опущенного из точки P на прямую NM, не принадлежит отрезку NM.

6.4. Найдите и запишите, какие из отрезков на рисунке 6.7 перпендикулярны.

6.4

$XY \perp AB$

Перпендикулярными называются отрезки, которые лежат на прямых, пересекающихся под прямым углом, то есть под углом в $90^\circ$.

Чтобы найти перпендикулярные отрезки на рисунке, необходимо мысленно продлить их до точки пересечения и визуально оценить угол между ними. Это можно сделать «на глаз» или приложив к предполагаемому пересечению прямой угол (например, уголок листа бумаги или чертежный угольник).

Применив этот метод к отрезкам на рисунке 6.7, можно установить следующие перпендикулярные пары:

• Отрезок AB и отрезок LK. Если продлить эти отрезки, они пересекутся под прямым углом.
• Отрезок AB и отрезок OP. Аналогично, при продлении эти отрезки также образуют прямой угол.

Остальные пары отрезков, например $XY$ и $SC$, при пересечении образуют углы, отличные от $90^\circ$.

Ответ: Перпендикулярными являются отрезки $AB$ и $LK$, а также отрезки $AB$ и $OP$. Это можно записать с помощью математического символа: $AB \perp LK$ и $AB \perp OP$.

6.5. Постройте прямой угол А. Отметьте на сторонах угла точки В и D так, что АВ = AD, и проведите через них прямые, перпендикулярные сторонам угла. Отметьте точку С пересечения этих прямых. Как называется четырёхугольник ABCD?

6.5

ABCD – квадрат

Постройте прямой угол А. Отметьте на сторонах угла точки B и D так, что AB = AD, и проведите через них прямые, перпендикулярные сторонам угла. Отметьте точку C пересечения этих прямых.

Выполним построение в соответствии с условиями задачи:
1. Строим прямой угол с вершиной в точке A.
2. На сторонах угла отмечаем точки B и D так, чтобы отрезки $AB$ и $AD$ были равны ($AB = AD$).
3. Через точку B проводим прямую, перпендикулярную стороне, на которой лежит точка B (то есть прямой AB).
4. Аналогично, через точку D проводим прямую, перпендикулярную стороне, на которой лежит точка D (то есть прямой AD).
5. Точку пересечения этих двух построенных прямых обозначаем как C.
В результате этих действий мы получаем четырёхугольник ABCD.

Как называется четырёхугольник ABCD?

Чтобы определить вид четырёхугольника ABCD, проанализируем его свойства, вытекающие из построения.
Сначала рассмотрим углы фигуры.

• Угол $\angle A$ — прямой по условию, то есть $\angle A = 90^\circ$.
• Прямая, содержащая сторону BC, по построению перпендикулярна прямой, содержащей сторону AB. Следовательно, угол $\angle B = 90^\circ$.
• Аналогично, прямая, содержащая сторону DC, перпендикулярна прямой, содержащей сторону AD. Следовательно, угол $\angle D = 90^\circ$.
• Сумма углов любого выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$. Поэтому угол $\angle C = 360^\circ - \angle A - \angle B - \angle D = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Так как все углы четырёхугольника ABCD прямые, он является прямоугольником.

Теперь рассмотрим стороны фигуры.

• По условию, смежные стороны $AB$ и $AD$ равны: $AB = AD$.
• Поскольку ABCD — прямоугольник, его противолежащие стороны равны, то есть $AB = CD$ и $AD = BC$.
• Из этих двух фактов следует, что все четыре стороны четырёхугольника равны между собой: $AB = BC = CD = DA$.

Прямоугольник, у которого все стороны равны, является квадратом.

Ответ: Четырёхугольник ABCD является квадратом.

6.6. Начертите четырёхугольник MNPK, у которого:
а) MN ⟂ NP;
б) MN ⟂ МК и NP ⟂MN;
в) MN ⟂ NP, MN ⟂ МК и РК ⟂ NP.

6.6

а) $MN \perp NP$

б) $MN \perp MK, NP \perp MN$

в) $MN \perp NP, MN \perp MK, PK \perp NP$

Для решения задачи рассмотрим каждый случай отдельно и опишем, как построить требуемый четырёхугольник MNPK.

а)

По условию, в четырёхугольнике MNPK сторона $MN$ перпендикулярна стороне $NP$. Математически это записывается как $MN \perp NP$.

Это означает, что угол между сторонами MN и NP является прямым, то есть $\angle MNP = 90^\circ$. Остальные углы и стороны могут быть произвольными, при условии, что фигура остаётся четырёхугольником (не самопересекающимся).

Построение:

1. Начертим две перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке N.
2. На одной прямой отложим отрезок MN, а на другой — отрезок NP. Длины отрезков могут быть любыми.
3. Выберем любую точку K, не лежащую на этих прямых, так, чтобы она вместе с точками M, N и P образовывала выпуклый или невыпуклый четырёхугольник.
4. Последовательно соединим отрезками точки M и K, а также P и K.

В результате мы получим четырёхугольник MNPK, у которого угол при вершине N — прямой. Существует бесконечное множество таких четырёхугольников.

Ответ: Четырёхугольник MNPK, у которого угол $\angle MNP = 90^\circ$.

б)

По условию, в четырёхугольнике MNPK даны два перпендикуляра: $MN \perp MK$ и $NP \perp MN$.

Рассмотрим эти условия:

• $MN \perp MK$ означает, что угол между сторонами MN и MK прямой, то есть $\angle KMN = 90^\circ$.
• $NP \perp MN$ означает, что угол между сторонами NP и MN прямой, то есть $\angle MNP = 90^\circ$. Условие $NP \perp MN$ эквивалентно $MN \perp NP$.

Мы имеем две прямые (содержащие отрезки MK и NP), которые перпендикулярны одной и той же третьей прямой (содержащей отрезок MN). Согласно свойству перпендикулярных прямых, если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны между собой. Следовательно, $MK \parallel NP$.

Четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие — нет, называется трапецией. Так как у этой трапеции есть прямые углы при боковой стороне MN, она является прямоугольной трапецией.

Построение:

1. Начертим отрезок MN.
2. Из точки M проведём луч, перпендикулярный MN, и отложим на нём отрезок MK.
3. Из точки N проведём луч, перпендикулярный MN (в ту же полуплоскость относительно прямой MN, что и луч из точки M), и отложим на нём отрезок NP.
4. Соединим точки K и P отрезком.

Полученная фигура MNPK является прямоугольной трапецией с основаниями MK и NP и прямыми углами при вершинах M и N.

Ответ: Четырёхугольник MNPK является прямоугольной трапецией, у которой $MK \parallel NP$, а $\angle KMN = \angle MNP = 90^\circ$.

в)

По условию, в четырёхугольнике MNPK даны три перпендикуляра: $MN \perp NP$, $MN \perp MK$ и $PK \perp NP$.

Рассмотрим эти условия в виде углов:

• $MN \perp NP \implies \angle MNP = 90^\circ$.
• $MN \perp MK \implies \angle KMN = 90^\circ$.
• $PK \perp NP \implies \angle NPK = 90^\circ$.

Мы имеем четырёхугольник, у которого три угла являются прямыми. Сумма углов любого выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$. Найдём четвёртый угол $\angle PKM$:

$\angle PKM = 360^\circ - (\angle KMN + \angle MNP + \angle NPK) = 360^\circ - (90^\circ + 90^\circ + 90^\circ) = 360^\circ - 270^\circ = 90^\circ$.

Так как все четыре угла четырёхугольника прямые, то этот четырёхугольник — прямоугольник.

Это же можно доказать и через параллельность сторон:

• Из $MN \perp MK$ и $MN \perp NP$ следует, что $MK \parallel NP$.
• Из $MN \perp NP$ и $PK \perp NP$ следует, что $MN \parallel PK$.

Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником.

Построение:

1. Начертим отрезок MN.
2. Из точки N проведём луч, перпендикулярный MN, и отложим на нём отрезок NP.
3. Из точки M проведём луч, перпендикулярный MN (в ту же полуплоскость).
4. Из точки P проведём луч, перпендикулярный NP (в ту же полуплоскость).
5. Точка пересечения лучей, проведённых из точек M и P, будет вершиной K.

Полученная фигура MNPK будет прямоугольником.

Ответ: Четырёхугольник MNPK является прямоугольником.

6.7. Решите уравнение:

а) 3a – 4 = 2a + 6;
б) 47x + 37 = 17x;
в) 1,7y – 1 = 1,3y + 1,4;
г)47x = 421x – 821.

6.7

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} 3\mathrm{а} – 4 = 2\mathrm{а} + 6; \\ 3\mathrm{а} – 2\mathrm{а} = 6 + 4; \\ \mathrm{а} = 10. \\ \mathrm{Ответ}: 10. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)} \frac{4}{7}\mathrm{х} + \frac{3}{7} = \frac{1}{7} \mathrm{х} \overline{) · 7} \\ \frac{4}{\cancel{7}}\mathrm{х} ·\cancel{ 7} + \frac{3}{\cancel{7}} · \cancel{7} = \frac{1}{\cancel{7}} \mathrm{х} · \cancel{7}; \\ \frac{4}{1}\mathrm{х} · 1 + \frac{3}{1} · 1 = \frac{1}{1} \mathrm{х} ·1; \\ 4\mathrm{х} + 3 = \mathrm{х}; \\ 4\mathrm{х} – \mathrm{х} = -3; \\ 3\mathrm{х} = -3; \\ \mathrm{х} = -3 : 3; \\ \mathrm{х} = -1. \\ \mathrm{Ответ}: -1. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)} 1,7\mathrm{у} – 1 = 1,3\mathrm{у} + 1,4; \\ 1,7\mathrm{у} – 1,3\mathrm{у} = 1,4 + 1; \\ 0,4\mathrm{у} = 2,4; \\ \mathrm{у} = 2,4 : 0,4; \\ \mathrm{у} = 24 : 4; \\ \mathrm{у} = 6. \\ \mathrm{Ответ}: 6. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{4}{7}\mathrm{х} = \frac{4}{21} \mathrm{х} - \frac{8}{21}; \overline{) · 21} \\ \frac{4}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}}\mathrm{х} · \stackrel{3}{\cancel{21} }= \frac{4}{\bcancel{21}} \mathrm{х} · \bcancel{21} - \frac{8}{\sout{21}} · \sout{21}; \\ \frac{4}{1}\mathrm{х} · 3 = \frac{4}{1} \mathrm{х} · 1 - \frac{8}{1} · 1; \\ 12\mathrm{х} = 4\mathrm{х} – 8; \\ 12\mathrm{х} – 4\mathrm{х} = -8; \\ 8\mathrm{х} = -8; \\ \mathrm{х} = -8 : 8; \\ \mathrm{х} = -1. \\ \mathrm{Ответ}: -1. \end{gathered}$$

а) $3a - 4 = 2a + 6$
Это линейное уравнение. Для его решения перенесем все слагаемые с переменной $a$ в левую часть уравнения, а числовые слагаемые — в правую. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный.
$3a - 2a = 6 + 4$
Теперь приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения.
$a = 10$
Ответ: $10$

б) $\frac{4}{7}x + \frac{3}{7} = \frac{1}{7}x$
Чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим обе части уравнения на общий знаменатель, который равен 7.
$7 \cdot (\frac{4}{7}x + \frac{3}{7}) = 7 \cdot \frac{1}{7}x$
$7 \cdot \frac{4}{7}x + 7 \cdot \frac{3}{7} = 7 \cdot \frac{1}{7}x$
$4x + 3 = x$
Теперь перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числа — в правую.
$4x - x = -3$
$3x = -3$
Разделим обе части уравнения на 3, чтобы найти $x$.
$x = \frac{-3}{3}$
$x = -1$
Ответ: $-1$

в) $1,7y - 1 = 1,3y + 1,4$
Сгруппируем слагаемые с переменной $y$ в левой части уравнения, а постоянные слагаемые — в правой.
$1,7y - 1,3y = 1,4 + 1$
Выполним вычитание и сложение в обеих частях.
$0,4y = 2,4$
Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $y$, то есть на 0,4.
$y = \frac{2,4}{0,4}$
Для удобства вычислений можно умножить числитель и знаменатель на 10.
$y = \frac{24}{4}$
$y = 6$
Ответ: $6$

г) $\frac{4}{7}x = \frac{4}{21}x - \frac{8}{21}$
Наименьший общий знаменатель дробей в уравнении — 21. Умножим обе части уравнения на 21, чтобы устранить дроби.
$21 \cdot \frac{4}{7}x = 21 \cdot (\frac{4}{21}x - \frac{8}{21})$
$21 \cdot \frac{4}{7}x = 21 \cdot \frac{4}{21}x - 21 \cdot \frac{8}{21}$
$(3 \cdot 7) \cdot \frac{4}{7}x = 4x - 8$
$3 \cdot 4x = 4x - 8$
$12x = 4x - 8$
Перенесем слагаемое $4x$ в левую часть с противоположным знаком.
$12x - 4x = -8$
$8x = -8$
Разделим обе части на 8.
$x = \frac{-8}{8}$
$x = -1$
Ответ: $-1$

6.8. Развивай мышление. В клетках прямоугольника расставьте числа 11, –12, 13, –14, 15, –16, 17, –18, 19 так, чтобы их произведения были больше 0 по всем горизонталям, вертикалям и диагоналям.

6.8

Чтобы произведение чисел было положительным, оно должно содержать четное количество отрицательных множителей. В данной задаче требуется расставить числа в прямоугольнике $3 \times 3$ так, чтобы произведение чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих главных диагоналях было больше нуля ($> 0$).

Нам дан набор из 9 чисел: 11, -12, 13, -14, 15, -16, 17, -18, 19. Среди них 5 положительных (11, 13, 15, 17, 19) и 4 отрицательных (-12, -14, -16, -18).

Поскольку каждая линия (строка, столбец или диагональ) содержит 3 числа, для положительного произведения в ней должно быть либо 0, либо 2 отрицательных числа. Давайте проанализируем, как можно расставить 4 отрицательных числа в таблице, соблюдая это правило.

Пусть количество отрицательных чисел в трех строках равно $r_1, r_2, r_3$. Каждое из этих чисел может быть только 0 или 2. Их сумма должна быть равна общему числу отрицательных чисел, то есть 4: $r_1 + r_2 + r_3 = 4$. Единственная комбинация, удовлетворяющая этому условию, — это (0, 2, 2). Следовательно, одна строка должна состоять только из положительных чисел, а две другие — содержать по два отрицательных числа. Аналогичные рассуждения верны и для столбцов.

Таким образом, в таблице должна быть одна строка и один столбец, полностью состоящие из положительных чисел. Пересечение этой строки и столбца также содержит положительное число. Эта структура образует "крест" из 5 положительных чисел. Оставшиеся 4 клетки (в углах этого "креста") должны быть заняты 4 отрицательными числами. Пример такой схемы расположения знаков:

Эта схема удовлетворяет всем условиям задачи: в каждой строке, столбце и диагонали находится четное количество отрицательных чисел (0 или 2). Остается лишь подставить числа в соответствии с их знаками. Конкретные значения чисел не влияют на знак произведения, поэтому любая расстановка положительных чисел на местах '+' и отрицательных на местах '-' будет верной.

Ответ: