Страница 94, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

Вопрос.

Расскажите о двух способах умножения смешанного числа на натуральное число.

14. Применение распределительного свойства умножения

Вопросы к параграфу

• 1 способ: применив распределительное свойство умножения

  1) умножить целую часть на натуральное число

  2) умножить дробную часть на натуральное число

  3) сложить полученные результаты

  2 способ: представить смешанное число в виде обыкновенной дроби и умножить по правилу умножения дроби на натуральное число

Существует два основных способа умножения смешанного числа на натуральное число. Рассмотрим их на примере умножения смешанного числа $3\frac{2}{7}$ на натуральное число $5$.

Способ 1: Преобразование смешанного числа в неправильную дробь

Этот способ заключается в том, чтобы сначала представить смешанное число в виде неправильной дроби, а затем выполнить умножение.

1. Представим смешанное число $3\frac{2}{7}$ в виде неправильной дроби. Для этого умножим целую часть на знаменатель и прибавим числитель, а знаменатель оставим прежним: $3\frac{2}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{21 + 2}{7} = \frac{23}{7}$.

2. Теперь умножим полученную неправильную дробь на натуральное число $5$. Чтобы умножить дробь на натуральное число, нужно ее числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения: $\frac{23}{7} \cdot 5 = \frac{23 \cdot 5}{7} = \frac{115}{7}$.

3. Если в результате получилась неправильная дробь, ее следует преобразовать обратно в смешанное число. Разделим числитель на знаменатель с остатком: $115 \div 7 = 16$ (остаток $3$). Таким образом, $\frac{115}{7} = 16\frac{3}{7}$.

Ответ: $16\frac{3}{7}$

Способ 2: Использование распределительного свойства умножения

Этот способ основан на том, что смешанное число можно представить как сумму его целой и дробной частей, а затем применить распределительное свойство умножения относительно сложения: $(a+b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$.

1. Представим смешанное число $3\frac{2}{7}$ в виде суммы целой и дробной частей: $3\frac{2}{7} = 3 + \frac{2}{7}$.

2. Умножим эту сумму на натуральное число $5$, используя распределительное свойство: $(3 + \frac{2}{7}) \cdot 5 = 3 \cdot 5 + \frac{2}{7} \cdot 5$.

3. Выполним умножение для каждого слагаемого отдельно:

   • Умножим целую часть на натуральное число: $3 \cdot 5 = 15$.

   • Умножим дробную часть на натуральное число: $\frac{2}{7} \cdot 5 = \frac{2 \cdot 5}{7} = \frac{10}{7}$.

4. Преобразуем полученную неправильную дробь в смешанное число: $\frac{10}{7} = 1\frac{3}{7}$.

5. Сложим результаты: $15 + 1\frac{3}{7} = 16\frac{3}{7}$.

Ответ: $16\frac{3}{7}$

2.364. Выполните действия:

а) (49 + 736) · 36; б) (1718 – 56) · 18; в) (512 + 1118) · 36; г) (1011 – 1933) · 66; д) (1524 + 736) · 12; е) (2526 – 2765) · 91.

2.364

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} \left(\frac{4}{9} +\frac{7}{36}\right) · 36 =\frac{4}{9} · 36 +\frac{7}{36} · 36= \\ =\frac{4 · {\displaystyle \stackrel{4}{\cancel{36}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{9}}}}+\frac{7 · \cancel{36}}{\cancel{36}}=\frac{4 · 4}{1} +\frac{7 · 1}{1}=16 + 7 =23; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\left(\frac{17}{18} -\frac{5}{6}\right) · 18 =\frac{17}{18} · 18 -\frac{5}{6} · 18= \\ =\frac{17 · {\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{18}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{18}}}}-\frac{5·{\displaystyle \stackrel{3}{ \cancel{18}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{6}}}}=\frac{17 · 1}{1} -\frac{5 · 3}{1}=17 - 15 =2; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} \left(\frac{5}{12} +\frac{11}{18}\right) · 36 =\frac{5}{12} · 36 +\frac{11}{18} · 36= \\ =\frac{5 · {\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{36}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{12}}}}+\frac{11· {\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{36}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{18}}}}=\frac{5 · 3}{1} +\frac{11 · 2}{1}=15 + 22 =37; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\left(\frac{10}{11} -\frac{19}{33}\right) · 66 =\frac{10}{11} · 66 -\frac{19}{33} · 66= \\ =\frac{10 · {\displaystyle \stackrel{6}{\cancel{66}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{11}}}}-\frac{19·{\displaystyle \stackrel{2}{ \cancel{66}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{33}}}}=\frac{10 · 6}{1} -\frac{19 · 3}{1}=60 - 38 =22; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)} \left(\frac{15}{24} +\frac{7}{36}\right) · 12 =\frac{15}{24} · 12 +\frac{7}{36} · 12= \\ =\frac{15 · {\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{12}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{24}}}}+\frac{7· {\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{12}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{36}}}}=\frac{15 · 1}{2} +\frac{7 · 1}{3}= \\ ={\frac{15}{2}}^{\overline{)·3}}+{\frac{7}{3}}^{\overline{)·2}}=\frac{45}{6}+\frac{14}{6}=\frac{59}{6}=9\frac{5}{6}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }\left(\frac{25}{26} -\frac{27}{65}\right) · 91 =\frac{25}{26}· 91 -\frac{27}{65} · 91= \\ =\frac{25 · {\displaystyle \stackrel{7}{\cancel{91}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{26}}}}-\frac{27·{\displaystyle \stackrel{7}{ \cancel{91}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{65}}}}=\frac{25 · 7}{2} -\frac{27 · 7}{5}= \\ =\frac{175}{2}-\frac{189}{5}={87\frac{1}{2}}^{\overline{)·5}}-{37\frac{4}{5}}^{\overline{)·2}}=87\frac{5}{10}-37\frac{8}{10}= \\ =86\frac{15}{10}-37\frac{8}{10}=49\frac{7}{10}. \end{gathered}$$

а) Раскроем скобки, используя распределительное свойство умножения: $(\frac{4}{9} + \frac{7}{36}) \cdot 36 = \frac{4}{9} \cdot 36 + \frac{7}{36} \cdot 36$. Вычислим каждое произведение: $\frac{4 \cdot 36}{9} = 4 \cdot 4 = 16$ и $\frac{7 \cdot 36}{36} = 7$. Сложим результаты: $16 + 7 = 23$.
Ответ: $23$.

б) Применим распределительное свойство умножения: $(\frac{17}{18} - \frac{5}{6}) \cdot 18 = \frac{17}{18} \cdot 18 - \frac{5}{6} \cdot 18$. Вычислим: $\frac{17 \cdot 18}{18} = 17$ и $\frac{5 \cdot 18}{6} = 5 \cdot 3 = 15$. Найдем разность: $17 - 15 = 2$.
Ответ: $2$.

в) Используем распределительное свойство умножения: $(\frac{5}{12} + \frac{11}{18}) \cdot 36 = \frac{5}{12} \cdot 36 + \frac{11}{18} \cdot 36$. Вычислим: $\frac{5 \cdot 36}{12} = 5 \cdot 3 = 15$ и $\frac{11 \cdot 36}{18} = 11 \cdot 2 = 22$. Сложим результаты: $15 + 22 = 37$.
Ответ: $37$.

г) Раскроем скобки по распределительному закону: $(\frac{10}{11} - \frac{19}{33}) \cdot 66 = \frac{10}{11} \cdot 66 - \frac{19}{33} \cdot 66$. Вычислим: $\frac{10 \cdot 66}{11} = 10 \cdot 6 = 60$ и $\frac{19 \cdot 66}{33} = 19 \cdot 2 = 38$. Найдем разность: $60 - 38 = 22$.
Ответ: $22$.

д) Сначала выполним действие в скобках. Сократим дробь $\frac{15}{24}$ на 3: $\frac{15}{24} = \frac{15 \div 3}{24 \div 3} = \frac{5}{8}$. Теперь найдем сумму $\frac{5}{8} + \frac{7}{36}$. Общий знаменатель для 8 и 36 равен 72. Приводим дроби к общему знаменателю: $\frac{5}{8} + \frac{7}{36} = \frac{5 \cdot 9}{72} + \frac{7 \cdot 2}{72} = \frac{45+14}{72} = \frac{59}{72}$. Теперь умножим результат на 12: $\frac{59}{72} \cdot 12 = \frac{59 \cdot 12}{72}$. Сократим 12 и 72 на 12, получим $\frac{59}{6}$.
Ответ: $\frac{59}{6}$.

е) Сначала выполним вычитание в скобках. Найдем общий знаменатель для 26 и 65. Разложим их на простые множители: $26 = 2 \cdot 13$ и $65 = 5 \cdot 13$. Наименьший общий знаменатель равен $2 \cdot 5 \cdot 13 = 130$. Приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{25}{26} - \frac{27}{65} = \frac{25 \cdot 5}{130} - \frac{27 \cdot 2}{130} = \frac{125 - 54}{130} = \frac{71}{130}$. Теперь умножим результат на 91: $\frac{71}{130} \cdot 91 = \frac{71 \cdot 91}{130}$. Сократим 91 и 130 на их общий делитель 13: $\frac{71 \cdot (7 \cdot 13)}{10 \cdot 13} = \frac{71 \cdot 7}{10} = \frac{497}{10}$.
Ответ: $\frac{497}{10}$.

2.365. Найдите произведение:

а) 319 · 5; б) 829 · 4; в) 4 · 215; г) 8 · 2111; д) 515 · 5; е) 337 · 7; ж) 6 · 1016; з) 1113 · 3; и) 2358 · 8; к) 11715 · 15.

2.365

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 3\frac{1}{9} · 5 =\left(3 +\frac{1}{9}\right)· 5=3 · 5 +\frac{1}{9}·5 = \\ =15 + \frac{5}{9}=15\frac{5}{9}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 8\frac{2}{9} · 4 =\left(8 +\frac{2}{9}\right)· 4=8 · 4 +\frac{2}{9}·4 = \\ =32 + \frac{8}{9}=32\frac{8}{9}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} 4 · 2\frac{1}{5} = 4 · \left(2 +\frac{1}{5}\right)=4 · 2 + 4·\frac{1}{5} = \\ =8 + \frac{4}{5}=8\frac{4}{5}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} 8 · 2\frac{1}{11} = 8· \left(2 +\frac{1}{11}\right)=8 ·2+ 8·\frac{1}{11} = \\ =16 + \frac{8}{11}=16\frac{8}{11}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)} 5\frac{1}{5} · 5=\left(5 +\frac{1}{5}\right)· 5=5 · 5 +\frac{1}{5}·5 = \\ =25 + 1=26; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)} 3\frac{3}{7} · 7 =\left(3 +\frac{3}{7}\right)· 7=3 · 7 +\frac{3}{7}·7 = \\ =21+ 3=24; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{ж}\mathbf{)} 6 · 10\frac{1}{6} = 6· \left(10 +\frac{1}{6}\right)=6 ·10+ 6·\frac{1}{6} = \\ =60+ 1=61; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{з}\mathbf{)} 11\frac{1}{3} · 3 =\left(11 +\frac{1}{3}\right)· 3=11 ·3 +\frac{1}{3}·3 = \\ =33+ 1=34; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{и}\mathbf{)} 23\frac{5}{8} · 8 =\left(23 +\frac{5}{8}\right)· 8=23 ·8 +\frac{5}{8}·8 = \\ =184+ 5=189; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{к}\mathbf{)} 11\frac{7}{15} · 15 =\left(11 +\frac{7}{15}\right)· 15=11 ·15 +\frac{7}{15}·15 = \\ =165+ 7=172. \end{gathered}$$

а) Чтобы найти произведение смешанного числа $3\frac{1}{9}$ и натурального числа $5$, сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби. Для этого умножим целую часть на знаменатель и прибавим числитель, а знаменатель оставим прежним.

$3\frac{1}{9} = \frac{3 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{27 + 1}{9} = \frac{28}{9}$

Теперь умножим полученную неправильную дробь на число $5$.

$\frac{28}{9} \cdot 5 = \frac{28 \cdot 5}{9} = \frac{140}{9}$

Преобразуем неправильную дробь $\frac{140}{9}$ обратно в смешанное число, разделив числитель на знаменатель с остатком.

$140 \div 9 = 15$ и $5$ в остатке.

Следовательно, $\frac{140}{9} = 15\frac{5}{9}$.

Ответ: $15\frac{5}{9}$.

б) Представим смешанное число $8\frac{2}{9}$ в виде неправильной дроби.

$8\frac{2}{9} = \frac{8 \cdot 9 + 2}{9} = \frac{72 + 2}{9} = \frac{74}{9}$

Умножим полученную дробь на $4$.

$\frac{74}{9} \cdot 4 = \frac{74 \cdot 4}{9} = \frac{296}{9}$

Выделим целую часть из дроби $\frac{296}{9}$.

$296 \div 9 = 32$ и $8$ в остатке.

Таким образом, $\frac{296}{9} = 32\frac{8}{9}$.

Ответ: $32\frac{8}{9}$.

в) Представим смешанное число $2\frac{1}{5}$ в виде неправильной дроби.

$2\frac{1}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{10 + 1}{5} = \frac{11}{5}$

Умножим $4$ на полученную дробь.

$4 \cdot \frac{11}{5} = \frac{4 \cdot 11}{5} = \frac{44}{5}$

Выделим целую часть из дроби $\frac{44}{5}$.

$44 \div 5 = 8$ и $4$ в остатке.

Следовательно, $\frac{44}{5} = 8\frac{4}{5}$.

Ответ: $8\frac{4}{5}$.

г) Представим смешанное число $2\frac{1}{11}$ в виде неправильной дроби.

$2\frac{1}{11} = \frac{2 \cdot 11 + 1}{11} = \frac{22 + 1}{11} = \frac{23}{11}$

Умножим $8$ на полученную дробь.

$8 \cdot \frac{23}{11} = \frac{8 \cdot 23}{11} = \frac{184}{11}$

Выделим целую часть из дроби $\frac{184}{11}$.

$184 \div 11 = 16$ и $8$ в остатке.

Таким образом, $\frac{184}{11} = 16\frac{8}{11}$.

Ответ: $16\frac{8}{11}$.

д) Представим смешанное число $5\frac{1}{5}$ в виде неправильной дроби.

$5\frac{1}{5} = \frac{5 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{26}{5}$

Умножим полученную дробь на $5$ и сократим.

$\frac{26}{5} \cdot 5 = \frac{26 \cdot \cancel{5}}{\cancel{5}} = 26$

Альтернативный способ: можно использовать распределительное свойство умножения.

$5\frac{1}{5} \cdot 5 = (5 + \frac{1}{5}) \cdot 5 = 5 \cdot 5 + \frac{1}{5} \cdot 5 = 25 + 1 = 26$

Ответ: $26$.

е) Представим смешанное число $3\frac{3}{7}$ в виде неправильной дроби.

$3\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{21 + 3}{7} = \frac{24}{7}$

Умножим полученную дробь на $7$ и сократим.

$\frac{24}{7} \cdot 7 = \frac{24 \cdot \cancel{7}}{\cancel{7}} = 24$

Альтернативный способ:

$3\frac{3}{7} \cdot 7 = (3 + \frac{3}{7}) \cdot 7 = 3 \cdot 7 + \frac{3}{7} \cdot 7 = 21 + 3 = 24$

Ответ: $24$.

ж) Представим смешанное число $10\frac{1}{6}$ в виде неправильной дроби.

$10\frac{1}{6} = \frac{10 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{60 + 1}{6} = \frac{61}{6}$

Умножим $6$ на полученную дробь и сократим.

$6 \cdot \frac{61}{6} = \frac{\cancel{6} \cdot 61}{\cancel{6}} = 61$

Альтернативный способ:

$6 \cdot 10\frac{1}{6} = 6 \cdot (10 + \frac{1}{6}) = 6 \cdot 10 + 6 \cdot \frac{1}{6} = 60 + 1 = 61$

Ответ: $61$.

з) Представим смешанное число $11\frac{1}{3}$ в виде неправильной дроби.

$11\frac{1}{3} = \frac{11 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{33 + 1}{3} = \frac{34}{3}$

Умножим полученную дробь на $3$ и сократим.

$\frac{34}{3} \cdot 3 = \frac{34 \cdot \cancel{3}}{\cancel{3}} = 34$

Альтернативный способ:

$11\frac{1}{3} \cdot 3 = (11 + \frac{1}{3}) \cdot 3 = 11 \cdot 3 + \frac{1}{3} \cdot 3 = 33 + 1 = 34$

Ответ: $34$.

и) Представим смешанное число $23\frac{5}{8}$ в виде неправильной дроби.

$23\frac{5}{8} = \frac{23 \cdot 8 + 5}{8} = \frac{184 + 5}{8} = \frac{189}{8}$

Умножим полученную дробь на $8$ и сократим.

$\frac{189}{8} \cdot 8 = \frac{189 \cdot \cancel{8}}{\cancel{8}} = 189$

Альтернативный способ:

$23\frac{5}{8} \cdot 8 = (23 + \frac{5}{8}) \cdot 8 = 23 \cdot 8 + \frac{5}{8} \cdot 8 = 184 + 5 = 189$

Ответ: $189$.

к) Представим смешанное число $11\frac{7}{15}$ в виде неправильной дроби.

$11\frac{7}{15} = \frac{11 \cdot 15 + 7}{15} = \frac{165 + 7}{15} = \frac{172}{15}$

Умножим полученную дробь на $15$ и сократим.

$\frac{172}{15} \cdot 15 = \frac{172 \cdot \cancel{15}}{\cancel{15}} = 172$

Альтернативный способ:

$11\frac{7}{15} \cdot 15 = (11 + \frac{7}{15}) \cdot 15 = 11 \cdot 15 + \frac{7}{15} \cdot 15 = 165 + 7 = 172$

Ответ: $172$.

2.366. Найдите значение выражения::

а) (459 + 49) · 9; б) (234 + 713) · 6; в) (10 – 2111) · 11; г) (8 – 125 · 3) · 25.

2.366

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} \left(4\frac{5}{9}+\frac{4}{9}\right)· 9 = 4\frac{5}{9} · 9+\frac{4}{9} · 9 = \\ =\left(4 + \frac{5}{9}\right)· 9 +\frac{4}{9} · 9 = 4 · 9 + \frac{5}{9} · 9 + \\ + \frac{4}{9} · 9 =36 + 5 + 4 = 45; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} \left(2\frac{3}{4}+7\frac{1}{3}\right) · 6 = 2\frac{3}{4} · 6+7\frac{1}{3} · 6 = \\ =\left(2 + \frac{3}{4}\right)· 6 +\left(7 +\frac{1}{3} \right) · 6 = 2 · 6 + \frac{3}{4} · 6 + \\ +7 · 6 + \frac{1}{3} · 6 =12 + \frac{9}{2}+ 42 +2 = \\ =56 + 4\frac{1}{2}=60\frac{1}{2}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} \left(10-2\frac{1}{11}\right) · 11 = 10 · 11- 2\frac{1}{11} · 11 = \\ =110 - \left(2 +\frac{1}{11} \right) · 11 =110 - \\ - \left(2 · 11 + \frac{1}{11} · 11\right) = 110 - (22 + 1) = \\ = 110 - 23 = 87; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\left(8 - 1\frac{2}{5} · 3\right)\mathbf{ }\mathbf{·}\mathbf{ }25 = \left(8 - \left(1 · 3 + \frac{2}{5} · 3\right)\right)·25= \\ =\left(8 -\left(3 +\frac{6}{5}\right)\right)· 25 = \left(8 - 4\frac{1}{5}\right) · 25 = \left(7\frac{5}{5}-4\frac{1}{5}\right) · 25 = \\ = 3\frac{4}{5} · 25 = \left(3 + \frac{4}{5}\right)·25 = 3 · 25 + \frac{4}{5} · 25 = \\ = 75 + 20 = 95. \end{gathered}$$

а) Для решения выражения $(4\frac{5}{9} + \frac{4}{9}) \cdot 9$ сначала выполним действие в скобках. Так как у дробей одинаковый знаменатель, можно сложить их, прибавив к целой части.
$4\frac{5}{9} + \frac{4}{9} = 4 + (\frac{5}{9} + \frac{4}{9}) = 4 + \frac{5+4}{9} = 4 + \frac{9}{9} = 4 + 1 = 5$.
Теперь умножим полученный результат на 9:
$5 \cdot 9 = 45$.
Другой способ — использовать распределительное свойство умножения:
$(4\frac{5}{9} + \frac{4}{9}) \cdot 9 = 4\frac{5}{9} \cdot 9 + \frac{4}{9} \cdot 9 = (4 + \frac{5}{9}) \cdot 9 + \frac{4}{9} \cdot 9 = 4 \cdot 9 + \frac{5}{9} \cdot 9 + \frac{4}{9} \cdot 9 = 36 + 5 + 4 = 45$.
Ответ: 45.

б) Для решения выражения $(2\frac{3}{4} + 7\frac{1}{3}) \cdot 6$ сначала выполним сложение в скобках. Для этого приведем дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 3 — это 12.
$2\frac{3}{4} = 2\frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = 2\frac{9}{12}$.
$7\frac{1}{3} = 7\frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = 7\frac{4}{12}$.
Теперь сложим смешанные числа:
$2\frac{9}{12} + 7\frac{4}{12} = (2+7) + (\frac{9}{12} + \frac{4}{12}) = 9 + \frac{13}{12} = 9 + 1\frac{1}{12} = 10\frac{1}{12}$.
Умножим результат на 6. Для этого представим смешанное число $10\frac{1}{12}$ в виде неправильной дроби.
$10\frac{1}{12} = \frac{10 \cdot 12 + 1}{12} = \frac{121}{12}$.
Выполним умножение:
$\frac{121}{12} \cdot 6 = \frac{121 \cdot 6}{12} = \frac{121}{2} = 60\frac{1}{2}$.
Ответ: $60\frac{1}{2}$.

в) Для решения выражения $(10 - 2\frac{1}{11}) \cdot 11$ воспользуемся распределительным свойством умножения (умножим каждый член в скобках на 11):
$(10 - 2\frac{1}{11}) \cdot 11 = 10 \cdot 11 - 2\frac{1}{11} \cdot 11$.
Вычислим каждое произведение отдельно. $10 \cdot 11 = 110$.
Для умножения $2\frac{1}{11}$ на 11, представим смешанное число в виде неправильной дроби:
$2\frac{1}{11} = \frac{2 \cdot 11 + 1}{11} = \frac{23}{11}$.
$2\frac{1}{11} \cdot 11 = \frac{23}{11} \cdot 11 = 23$.
Теперь выполним вычитание:
$110 - 23 = 87$.
Ответ: 87.

г) В выражении $(8 - 1\frac{2}{5} \cdot 3) \cdot 25$ сначала выполним действия в скобках, начиная с умножения.
Переведем смешанное число $1\frac{2}{5}$ в неправильную дробь:
$1\frac{2}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{7}{5}$.
Умножим на 3:
$\frac{7}{5} \cdot 3 = \frac{21}{5}$.
Теперь выполним вычитание в скобках: $8 - \frac{21}{5}$. Представим 8 в виде дроби со знаменателем 5.
$8 = \frac{8 \cdot 5}{5} = \frac{40}{5}$.
$8 - \frac{21}{5} = \frac{40}{5} - \frac{21}{5} = \frac{40 - 21}{5} = \frac{19}{5}$.
Наконец, умножим результат на 25:
$\frac{19}{5} \cdot 25 = \frac{19 \cdot 25}{5} = 19 \cdot \frac{25}{5} = 19 \cdot 5 = 95$.
Ответ: 95.

2.367. Выполните действия:

а) 7413 · 557 + 7413 · 727;

б) 734 · 1038 – 338 · 734;

в) 435 · 435 + 435 · 25.

2.367

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }7\frac{4}{13} · 5 \frac{5}{7} +7\frac{4}{13} · 7 \frac{2}{7} = \\ = 7\frac{4}{13} · \left(5 \frac{5}{7} +7 \frac{2}{7}\right) = 7\frac{4}{13} · 12\frac{7}{7}= \\ =7\frac{4}{13} · 13 = \left(7 + \frac{4}{13}\right) · 13 = 7 · 13 + \\ + \frac{4}{13} · 13 = 91 + 4 = 95; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 7\frac{3}{4} · 10\frac{3}{8} - 3\frac{3}{8} ·7\frac{3}{4} = 7\frac{3}{4} · \left(10\frac{3}{8} - 3\frac{3}{8}\right)= \\ =7\frac{3}{4} · 7 = \left(7 + \frac{3}{4}\right) · 7 =7 · 7 + \frac{3}{4} · 7 = \\ = 49 + \frac{21}{4}=49 + 5\frac{1}{4} = 54\frac{1}{4}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} 4\frac{3}{5} · 4\frac{3}{5} + 4 \frac{3}{5} · \frac{2}{5}=4\frac{3}{5} · \left( 4 \frac{3}{5} + \frac{2}{5}\right)= \\ =4\frac{3}{5} · 4\frac{5}{5} = 4\frac{3}{5} · 5 = \left(4 + \frac{3}{5}\right) · 5 = \\ = 4 · 5 + \frac{3}{5} · 5 = 20 + 3 = 23. \end{gathered}$$

а) $7\frac{4}{13} \cdot 5\frac{5}{7} + 7\frac{4}{13} \cdot 7\frac{2}{7}$
В данном выражении есть общий множитель $7\frac{4}{13}$. Воспользуемся распределительным свойством умножения $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b+c)$ и вынесем общий множитель за скобки:
$7\frac{4}{13} \cdot (5\frac{5}{7} + 7\frac{2}{7})$.
Сначала выполним действие в скобках:
$5\frac{5}{7} + 7\frac{2}{7} = (5+7) + (\frac{5}{7} + \frac{2}{7}) = 12 + \frac{5+2}{7} = 12 + \frac{7}{7} = 12 + 1 = 13$.
Теперь умножим результат на общий множитель. Для этого переведем смешанное число $7\frac{4}{13}$ в неправильную дробь:
$7\frac{4}{13} = \frac{7 \cdot 13 + 4}{13} = \frac{91+4}{13} = \frac{95}{13}$.
Выполним умножение:
$\frac{95}{13} \cdot 13 = 95$.
Ответ: 95

б) $7\frac{3}{4} \cdot 10\frac{3}{8} - 3\frac{3}{8} \cdot 7\frac{3}{4}$
В этом выражении общий множитель равен $7\frac{3}{4}$. Применим распределительное свойство $a \cdot b - c \cdot a = a \cdot (b-c)$ и вынесем его за скобки:
$7\frac{3}{4} \cdot (10\frac{3}{8} - 3\frac{3}{8})$.
Выполним вычитание в скобках:
$10\frac{3}{8} - 3\frac{3}{8} = (10-3) + (\frac{3}{8} - \frac{3}{8}) = 7 + 0 = 7$.
Теперь умножим результат на общий множитель, предварительно переведя его в неправильную дробь:
$7\frac{3}{4} = \frac{7 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{28+3}{4} = \frac{31}{4}$.
Выполним умножение и преобразуем результат в смешанное число:
$\frac{31}{4} \cdot 7 = \frac{217}{4} = 54\frac{1}{4}$.
Ответ: $54\frac{1}{4}$

в) $4\frac{3}{5} \cdot 4\frac{3}{5} + 4\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5}$
Здесь также можно вынести за скобки общий множитель $4\frac{3}{5}$, используя распределительное свойство $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b+c)$:
$4\frac{3}{5} \cdot (4\frac{3}{5} + \frac{2}{5})$.
Вычислим сумму в скобках:
$4\frac{3}{5} + \frac{2}{5} = 4 + (\frac{3}{5} + \frac{2}{5}) = 4 + \frac{3+2}{5} = 4 + \frac{5}{5} = 4 + 1 = 5$.
Теперь умножим результат на общий множитель, переведя его в неправильную дробь:
$4\frac{3}{5} = \frac{4 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{20+3}{5} = \frac{23}{5}$.
Выполним умножение:
$\frac{23}{5} \cdot 5 = 23$.
Ответ: 23

2.368. Упростите выражение:

а) 37 a + 27 a; б) 914 n – 314 n; в) 79 c – 1118 c; г) 78 x – 56 x; д) 413 p + 913 p; е) 411 a + a; ж) z – 19z; з) 134 t – 78 t.

2.368

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{3}{7}а + \frac{2}{7}а =\left(\frac{3}{7} + \frac{2}{7}\right)а = \frac{5}{7}а;$

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{9}{14}n - \frac{3}{14}n =\left(\frac{9}{14}- \frac{3}{14}\right)n =\frac{6}{14}n = \frac{3}{7}n;$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{7}{9}c - \frac{11}{18}c =\left({\frac{7}{9}}^{\overline{)·2}} - \frac{11}{18}\right)c = \\ =\left(\frac{14}{18} - \frac{11}{18}\right)c=\frac{3}{18}c = \frac{1}{6}c; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{7}{8}x - \frac{5}{6}x =\left({\frac{7}{8}}^{\overline{)·3}} - {\frac{5}{6}}^{\overline{)·4}}\right)x= \\ =\left(\frac{21}{24} - \frac{20}{24}\right) x=\frac{1}{24} x; \end{gathered}$$

$\mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{4}{13}р + \frac{9}{13}р =\left(\frac{4}{13} + \frac{9}{13}\right)р = \frac{13}{13}р = р;$

$\mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{4}{11}а + а = \left(\frac{4}{11}+ 1\right) а = 1\frac{4}{11} а;$

$$\begin{gathered} \mathit{ж}\mathbf{)} z - \frac{1}{9} z = \left(1 - \frac{1}{9}\right) z = \left(\frac{9}{9} - \frac{1}{9}\right) z = \\ = \frac{8}{9}z; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{з}\mathbf{)} 1\frac{3}{4}t - \frac{7}{8} t = \left({1\frac{3}{4}}^{\overline{)·2}} - \frac{7}{8}\right)t = \\ =\left(1\frac{6}{8} - \frac{7}{8}\right) t = \left(\frac{14}{8} - \frac{7}{8}\right) t = \frac{7}{8} t. \end{gathered}$$

а) Чтобы упростить выражение $\frac{3}{7}a + \frac{2}{7}a$, нужно сложить коэффициенты при переменной $a$. Для этого вынесем общий множитель $a$ за скобки:
$\frac{3}{7}a + \frac{2}{7}a = (\frac{3}{7} + \frac{2}{7})a$.
Так как знаменатели дробей одинаковые, складываем числители:
$\frac{3}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3+2}{7} = \frac{5}{7}$.
Таким образом, получаем:
$(\frac{3}{7} + \frac{2}{7})a = \frac{5}{7}a$.
Ответ: $\frac{5}{7}a$.

б) Чтобы упростить выражение $\frac{9}{14}n - \frac{3}{14}n$, вынесем общий множитель $n$ за скобки и выполним вычитание дробей:
$\frac{9}{14}n - \frac{3}{14}n = (\frac{9}{14} - \frac{3}{14})n$.
Знаменатели одинаковы, поэтому вычитаем числители:
$\frac{9}{14} - \frac{3}{14} = \frac{9-3}{14} = \frac{6}{14}$.
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 2:
$\frac{6}{14} = \frac{6 \div 2}{14 \div 2} = \frac{3}{7}$.
Следовательно, выражение равно:
$(\frac{9}{14} - \frac{3}{14})n = \frac{3}{7}n$.
Ответ: $\frac{3}{7}n$.

в) Для упрощения выражения $\frac{7}{9}c - \frac{11}{18}c$ вынесем переменную $c$ за скобки:
$\frac{7}{9}c - \frac{11}{18}c = (\frac{7}{9} - \frac{11}{18})c$.
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 9 и 18 это 18. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на 2:
$\frac{7}{9} = \frac{7 \times 2}{9 \times 2} = \frac{14}{18}$.
Теперь выполним вычитание:
$\frac{14}{18} - \frac{11}{18} = \frac{14-11}{18} = \frac{3}{18}$.
Сократим дробь $\frac{3}{18}$ на 3:
$\frac{3}{18} = \frac{3 \div 3}{18 \div 3} = \frac{1}{6}$.
Таким образом, результат:
$(\frac{7}{9} - \frac{11}{18})c = \frac{1}{6}c$.
Ответ: $\frac{1}{6}c$.

г) Упростим выражение $\frac{7}{8}x - \frac{5}{6}x$. Вынесем $x$ за скобки:
$\frac{7}{8}x - \frac{5}{6}x = (\frac{7}{8} - \frac{5}{6})x$.
Найдем общий знаменатель для дробей $\frac{7}{8}$ и $\frac{5}{6}$. Наименьшее общее кратное для 8 и 6 это 24.
Приведем дроби к знаменателю 24:
$\frac{7}{8} = \frac{7 \times 3}{8 \times 3} = \frac{21}{24}$;
$\frac{5}{6} = \frac{5 \times 4}{6 \times 4} = \frac{20}{24}$.
Выполним вычитание:
$\frac{21}{24} - \frac{20}{24} = \frac{21-20}{24} = \frac{1}{24}$.
Итоговый результат:
$(\frac{7}{8} - \frac{5}{6})x = \frac{1}{24}x$.
Ответ: $\frac{1}{24}x$.

д) Для упрощения выражения $\frac{4}{13}p + \frac{9}{13}p$ сложим коэффициенты при $p$:
$\frac{4}{13}p + \frac{9}{13}p = (\frac{4}{13} + \frac{9}{13})p$.
Складываем дроби с одинаковыми знаменателями:
$\frac{4}{13} + \frac{9}{13} = \frac{4+9}{13} = \frac{13}{13} = 1$.
Следовательно, выражение равно:
$(\frac{4}{13} + \frac{9}{13})p = 1p = p$.
Ответ: $p$.

е) Упростим выражение $\frac{4}{11}a + a$. Представим $a$ как $1a$:
$\frac{4}{11}a + a = \frac{4}{11}a + 1a = (\frac{4}{11} + 1)a$.
Представим 1 в виде дроби со знаменателем 11: $1 = \frac{11}{11}$.
Теперь сложим дроби:
$\frac{4}{11} + \frac{11}{11} = \frac{4+11}{11} = \frac{15}{11}$.
Переведем неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{15}{11} = 1\frac{4}{11}$.
Таким образом, получаем:
$(\frac{4}{11} + 1)a = 1\frac{4}{11}a$.
Ответ: $1\frac{4}{11}a$.

ж) Упростим выражение $z - \frac{1}{9}z$. Представим $z$ как $1z$:
$z - \frac{1}{9}z = 1z - \frac{1}{9}z = (1 - \frac{1}{9})z$.
Представим 1 в виде дроби со знаменателем 9: $1 = \frac{9}{9}$.
Выполним вычитание:
$1 - \frac{1}{9} = \frac{9}{9} - \frac{1}{9} = \frac{9-1}{9} = \frac{8}{9}$.
Итоговое выражение:
$(1 - \frac{1}{9})z = \frac{8}{9}z$.
Ответ: $\frac{8}{9}z$.

з) Для упрощения выражения $1\frac{3}{4}t - \frac{7}{8}t$ вынесем $t$ за скобки:
$1\frac{3}{4}t - \frac{7}{8}t = (1\frac{3}{4} - \frac{7}{8})t$.
Сначала переведем смешанное число $1\frac{3}{4}$ в неправильную дробь:
$1\frac{3}{4} = \frac{1 \times 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$.
Теперь нужно вычесть $\frac{7}{8}$ из $\frac{7}{4}$. Приведем дроби к общему знаменателю 8:
$\frac{7}{4} = \frac{7 \times 2}{4 \times 2} = \frac{14}{8}$.
Выполним вычитание:
$\frac{14}{8} - \frac{7}{8} = \frac{14-7}{8} = \frac{7}{8}$.
Следовательно, результат:
$(1\frac{3}{4} - \frac{7}{8})t = \frac{7}{8}t$.
Ответ: $\frac{7}{8}t$.

2.369. Упростите выражение:

а) 35x + 215x – 415x;
б) 34a – 58a + 78a;
в) 724z + (1112z – 23z);
г) 914c – (314c + 27c).

2.369

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{3}{5}х + \frac{2}{15}х - \frac{4}{15}х = \left({\frac{3}{5}}^{\overline{)·3}} + \frac{2}{15} - \frac{4}{15}\right)х = \\ = \left(\frac{9}{15} + \frac{2}{15} - \frac{4}{15}\right)х = \frac{7}{15}х; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{3}{4}а - \frac{5}{8} а + \frac{7}{8} а =\left({\frac{3}{4}}^{\overline{)·2}} - \frac{5}{8} + \frac{7}{8}\right) а = \\ = \left(\frac{6}{8} - \frac{5}{8} + \frac{7}{8}\right) а = \frac{8}{8}а = а; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} \frac{7}{24 }z+\left({\frac{11}{12}}^{\overline{)·2}} z -{\frac{2}{3}}^{\overline{)·8}}z\right)= \frac{7}{24}z + \\ + \left(\frac{22}{24}z - \frac{16}{24} z\right) = \frac{7}{24} z + \frac{6}{24} z = \\ = \left(\frac{7}{24} + \frac{6}{24}\right) z = \frac{13}{24}z; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} \frac{9}{14 }c - \left(\frac{3}{14 }c + {\frac{2}{7}}^{\overline{)·2}}c\right) = \frac{9}{14 }c -\left(\frac{3}{14 }c + \frac{4}{14}c\right) = \\ =\frac{9}{14 }c - \frac{7}{14}c = \left(\frac{9}{14 } - \frac{7}{14}\right)c = \frac{2}{14} c = \frac{1}{7}c. \end{gathered}$$

а) Чтобы упростить выражение, необходимо вынести общий множитель $x$ за скобки и выполнить действия с коэффициентами-дробями.
$\frac{3}{5}x + \frac{2}{15}x - \frac{4}{15}x = (\frac{3}{5} + \frac{2}{15} - \frac{4}{15})x$.
Приведем дроби в скобках к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 15 — это 15. Дополнительный множитель для первой дроби равен 3 ($15 : 5 = 3$).
$(\frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{2}{15} - \frac{4}{15})x = (\frac{9}{15} + \frac{2}{15} - \frac{4}{15})x$.
Теперь выполним сложение и вычитание числителей:
$\frac{9 + 2 - 4}{15}x = \frac{11 - 4}{15}x = \frac{7}{15}x$.
Ответ: $\frac{7}{15}x$.

б) Вынесем общий множитель $a$ за скобки.
$\frac{3}{4}a - \frac{5}{8}a + \frac{7}{8}a = (\frac{3}{4} - \frac{5}{8} + \frac{7}{8})a$.
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 8 — это 8. Дополнительный множитель для первой дроби равен 2 ($8 : 4 = 2$).
$(\frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} - \frac{5}{8} + \frac{7}{8})a = (\frac{6}{8} - \frac{5}{8} + \frac{7}{8})a$.
Выполним действия в скобках:
$\frac{6 - 5 + 7}{8}a = \frac{1 + 7}{8}a = \frac{8}{8}a = 1a = a$.
Ответ: $a$.

в) Сначала упростим выражение в скобках.
$\frac{11}{12}z - \frac{2}{3}z$.
Вынесем $z$ за скобки и приведем дроби к общему знаменателю 12:
$(\frac{11}{12} - \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4})z = (\frac{11}{12} - \frac{8}{12})z = \frac{11 - 8}{12}z = \frac{3}{12}z$.
Сократим дробь $\frac{3}{12}$ на 3, получим $\frac{1}{4}$. Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{1}{4}z$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$\frac{7}{24}z + \frac{1}{4}z$.
Приведем к общему знаменателю 24:
$(\frac{7}{24} + \frac{1 \cdot 6}{4 \cdot 6})z = (\frac{7}{24} + \frac{6}{24})z = \frac{7 + 6}{24}z = \frac{13}{24}z$.
Ответ: $\frac{13}{24}z$.

г) Сначала упростим выражение в скобках.
$\frac{3}{14}c + \frac{2}{7}c$.
Вынесем $c$ за скобки и приведем дроби к общему знаменателю 14:
$(\frac{3}{14} + \frac{2 \cdot 2}{7 \cdot 2})c = (\frac{3}{14} + \frac{4}{14})c = \frac{3+4}{14}c = \frac{7}{14}c$.
Сократим дробь $\frac{7}{14}$ на 7, получим $\frac{1}{2}$. Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{1}{2}c$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$\frac{9}{14}c - \frac{1}{2}c$.
Приведем к общему знаменателю 14:
$(\frac{9}{14} - \frac{1 \cdot 7}{2 \cdot 7})c = (\frac{9}{14} - \frac{7}{14})c = \frac{9-7}{14}c = \frac{2}{14}c$.
Сократим дробь $\frac{2}{14}$ на 2:
$\frac{1}{7}c$.
Ответ: $\frac{1}{7}c$.

2.370. Ваня за одну минуту проходит 8323 м. Какое расстояние он пройдёт за 3 мин; 20 мин; 1 ч?

2.370

За 1 минуту – $83\frac{2}{3}$ м

За 3 мин.- ?, за 20 мин. - ?, за 1 ч = 60 мин. - ?.

$\mathbf{1}\mathbf{)} 83\frac{2}{3} · 3 = \left(83 + \frac{2}{3}\right)· 3 =83 · 3 +$

$+ \frac{2}{3} · 3 = 249 + 2 = 251$(м) – пройдет за 3 минуты;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 83\frac{2}{3} · 20 = \left(83 + \frac{2}{3}\right)· 20 =83 · 20 +$

$+ \frac{2}{3} · 20 = 1660 + \frac{40}{3} = 1660 + 13\frac{1}{3}=1673\frac{1}{3}$м – пройдет за 20 минут;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 83\frac{2}{3} · 60 = \left(83 + \frac{2}{3}\right)· 60 =83 · 60 +$

$+ \frac{2}{3} · 60 = 4980 +2 · 20 =4980 + 40 = 5020$ м – пройдет за 1 ч.

Ответ: 251 м; 1673 $\frac{1}{3}$ м; 5020м.

Для решения задачи воспользуемся формулой расстояния: Расстояние = Скорость × Время. Скорость Вани дана в условии и составляет $83\frac{2}{3}$ м/мин. Для удобства расчетов переведем это смешанное число в неправильную дробь.

$83\frac{2}{3} = \frac{83 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{249 + 2}{3} = \frac{251}{3}$ м/мин.

за 3 мин

Чтобы найти расстояние, которое Ваня пройдет за 3 минуты, умножим его скорость на указанное время:

$\frac{251}{3} \text{ м/мин} \times 3 \text{ мин} = \frac{251 \times 3}{3} = 251$ м.

Ответ: 251 м.

за 20 мин

Аналогично найдем расстояние за 20 минут:

$\frac{251}{3} \text{ м/мин} \times 20 \text{ мин} = \frac{251 \times 20}{3} = \frac{5020}{3}$ м.

Преобразуем полученную неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{5020}{3} = 1673\frac{1}{3}$ м.

Ответ: $1673\frac{1}{3}$ м.

за 1 ч

Сначала необходимо перевести время из часов в минуты, так как скорость дана в м/мин. В одном часу 60 минут.

$1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}$.

Теперь вычислим расстояние, которое Ваня пройдет за 60 минут:

$\frac{251}{3} \text{ м/мин} \times 60 \text{ мин} = 251 \times \frac{60}{3} = 251 \times 20 = 5020$ м.

Это расстояние также можно выразить как 5 км 20 м.

Ответ: 5020 м.

5.119. Докажите, что при любом значении буквы значение выражения:

1) 6(8а – 3) – 8(6а + 5) равно –58; 2) 7(5с + 8) – 5(7с – 8) равно 96.

5.119

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }6(8\mathrm{а} – 3) – 8(6\mathrm{а} + 5) = 48\mathrm{а} – 18 – 48\mathrm{а} – \\ - 40 = -18 – 40 = -58 \mathrm{доказано} \\ \mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }7(5\mathrm{с} + 8) – 5(7\mathrm{с} – 8) = 35\mathrm{с} + 56 – 35\mathrm{с} + \\ + 40 = 56 + 40 = 96 \mathrm{доказано} \end{gathered}$$

1) Чтобы доказать, что значение выражения $6(8a - 3) - 8(6a + 5)$ равно -58 при любом значении буквы $a$, необходимо упростить это выражение.

Сначала раскроем скобки, используя распределительное свойство умножения $k(x + y) = kx + ky$:

$6(8a - 3) = 6 \cdot 8a - 6 \cdot 3 = 48a - 18$

$-8(6a + 5) = -8 \cdot 6a - 8 \cdot 5 = -48a - 40$

Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное:

$6(8a - 3) - 8(6a + 5) = (48a - 18) + (-48a - 40) = 48a - 18 - 48a - 40$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(48a - 48a) + (-18 - 40) = 0 - 58 = -58$

После упрощения переменная $a$ сократилась, и мы получили число -58. Это означает, что значение выражения не зависит от значения $a$ и всегда равно -58, что и требовалось доказать.

Ответ: значение выражения равно -58.

2) Чтобы доказать, что значение выражения $7(5c + 8) - 5(7c - 8)$ равно 96 при любом значении буквы $c$, необходимо упростить это выражение.

Раскроем скобки, применяя распределительное свойство:

$7(5c + 8) = 7 \cdot 5c + 7 \cdot 8 = 35c + 56$

$-5(7c - 8) = -5 \cdot 7c - 5 \cdot (-8) = -35c + 40$

Теперь подставим полученные результаты в исходное выражение:

$7(5c + 8) - 5(7c - 8) = (35c + 56) + (-35c + 40) = 35c + 56 - 35c + 40$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(35c - 35c) + (56 + 40) = 0 + 96 = 96$

После упрощения переменная $c$ сократилась, и мы получили число 96. Это доказывает, что значение выражения не зависит от значения $c$ и всегда равно 96.

Ответ: значение выражения равно 96.

5.120. Выполните действия:

а) 45,09 : 1,5 – (213 · 412 – 2,5 · 212) : 414;
б) (5,05 : 140 – 2,8 · 57) · 0,3 + 1,6 · 0,1875.

5.120

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }45,09 : 1,5 – \left(2\frac{1}{3} · 4\frac{1}{2} – 2,5 · 2\frac{1}{2} \right) : 4\frac{1}{4} = \\ = 450,9 : 15 – \left(\frac{7}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{3}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\bcancel{9}}}}{2} - \frac{25}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{10}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{5}}}}{2}\right) : \frac{17}{4}= \\ = 30,06 – \left(\frac{7}{1} · \frac{3}{2} - \frac{25}{2} · \frac{1}{2}\right) : \frac{17}{4}= \\ = 30,06 – \left({\frac{21}{2}}^{\overline{)·2}} - \frac{25}{4}\right) · \frac{4}{17}= 30,06 – \\ - \left(\frac{42}{4} - \frac{25}{4}\right) · \frac{4}{17} = 30,06 – \frac{\bcancel{17}}{\cancel{4}} · \frac{\cancel{4}}{\bcancel{17}}= \\ = 30,06 – \frac{1}{1} · \frac{1}{1} = 30,06 – 1 = 29,06 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{2}\mathbf{)} \left(5,05 : \frac{1}{40} - 2,8 · \frac{5}{7}\right) · 0,3 + 1,6 · 0,1875= \\ = \left(\frac{505}{{\displaystyle \underset{10}{\cancel{100}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\cancel{40}}}}{1} - \frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\cancel{28}}}}{10}· \frac{5}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}}\right) · 0,3 + 1,6 · 0,1875= \\ =\left(\frac{505}{10} · \frac{4}{1} - \frac{4}{10}· \frac{5}{1}\right) · 0,3 + 0,3= \\ = \left(\frac{2020}{10} - \frac{20}{10 }\right) · 0,3 + 0,3=\frac{2 000}{10} · 0,3 + 0,3= \\ = 200 · 0,3 + 0,3= 60 + 0,3 = 60,3 \end{gathered}$$

1) $45,09 : 1,5 - (2\frac{1}{3} \cdot 4\frac{1}{2} - 2,5 \cdot 2\frac{1}{2}) : 4\frac{1}{4}$

Выполним вычисления по действиям, соблюдая порядок операций: сначала действия в скобках (умножение, затем вычитание), затем деление и вычитание вне скобок. Для удобства будем переводить числа в наиболее подходящий для каждого действия формат (десятичные или обыкновенные дроби).

1. Вычислим первое произведение в скобках. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$2\frac{1}{3} \cdot 4\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{3} \cdot \frac{9}{2} = \frac{7 \cdot 9}{3 \cdot 2} = \frac{63}{6} = \frac{21}{2} = 10,5$.

2. Вычислим второе произведение в скобках. Преобразуем десятичную дробь и смешанное число в обыкновенные дроби:

$2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$

$2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$

$2,5 \cdot 2\frac{1}{2} = \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} = \frac{25}{4} = 6,25$.

3. Найдем разность в скобках:

$10,5 - 6,25 = 4,25$.

4. Теперь выполним действия вне скобок. Первое деление:

$45,09 : 1,5 = 450,9 : 15 = 30,06$.

5. Далее разделим результат, полученный в скобках (4,25), на $4\frac{1}{4}$. Преобразуем смешанное число в десятичную дробь: $4\frac{1}{4} = 4,25$.

$4,25 : 4,25 = 1$.

6. Выполним последнее действие — вычитание:

$30,06 - 1 = 29,06$.

Ответ: 29,06.

2) $(5,05 : \frac{1}{40} - 2,8 \cdot \frac{5}{7}) \cdot 0,3 + 1,6 \cdot 0,1875$

Выполним вычисления по действиям: сначала операции в скобках (деление и умножение, затем вычитание), потом умножение и сложение вне скобок.

1. Вычислим частное в скобках. Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь:

$5,05 : \frac{1}{40} = 5,05 \cdot 40 = 202$.

2. Вычислим произведение в скобках. Преобразуем десятичную дробь $2,8$ в обыкновенную:

$2,8 \cdot \frac{5}{7} = \frac{28}{10} \cdot \frac{5}{7} = \frac{14}{5} \cdot \frac{5}{7} = \frac{14 \cdot 5}{5 \cdot 7} = \frac{14}{7} = 2$.

3. Найдем разность в скобках:

$202 - 2 = 200$.

4. Умножим результат, полученный в скобках, на 0,3:

$200 \cdot 0,3 = 60$.

5. Вычислим второе произведение в выражении. Для удобства преобразуем десятичные дроби в обыкновенные:

$1,6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$

$0,1875 = \frac{1875}{10000} = \frac{3}{16}$

$1,6 \cdot 0,1875 = \frac{8}{5} \cdot \frac{3}{16} = \frac{8 \cdot 3}{5 \cdot 16} = \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 2} = \frac{3}{10} = 0,3$.

6. Выполним последнее действие — сложение:

$60 + 0,3 = 60,3$.

Ответ: 60,3.

5.121. Старинная задача.
— Скажи мне, учитель, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы?
— Вот сколько, — ответил учитель. — Половина изучает математику, четверть — природу, седьмая часть проводит время в размышлении, и, кроме того, есть ещё три женщины.

5.121

Пусть х учеников – посещают школу, тогда $\frac{1}{2}х$ учеников – изучают математику, $\frac{1}{4}х$ учеников – изучают природу, $\frac{1}{7}х$ учеников – проводят время в размышлении, получим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{1}{2}х + \frac{1}{4} х+ \frac{1}{7}х + 3 =х; \overline{)· 28} \\ \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{2}}}}х ·\stackrel{14}{ \cancel{28} }+ \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}} х · \stackrel{7}{\cancel{28}}+ \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{7}}}}х ·\stackrel{4}{ \bcancel{28}} + 3 · 28 =х · 28; \\ \frac{1}{1}х · 14 + \frac{1}{1} х · 7+ \frac{1}{1}х · 4 + 84 =28х; \\ 14х + 7х + 4х + 84 = 28х; \\ 25х – 28х = -84; \\ -3х = -84; \\ х = -84 : (-3); \end{gathered}$$

х = 28 учеников – посещают школу

Ответ: 28 учеников.

Это классическая задача на составление уравнения. Давайте решим её по шагам.

Пусть $x$ — это общее количество учеников в школе. Согласно рассказу учителя, мы можем разбить всех учеников на четыре группы:

• Половина изучает математику: $ \frac{1}{2}x $
• Четверть изучает природу: $ \frac{1}{4}x $
• Седьмая часть проводит время в размышлении: $ \frac{1}{7}x $
• И ещё 3 женщины.

Сумма всех этих групп должна быть равна общему количеству учеников $x$. Составим уравнение:

$ \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x + \frac{1}{7}x + 3 = x $

Чтобы решить это уравнение, сначала найдем сумму дробей в левой части. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 2, 4 и 7 равно 28.

$ \frac{14}{28}x + \frac{7}{28}x + \frac{4}{28}x + 3 = x $

Теперь сложим коэффициенты при $x$:

$ \frac{14 + 7 + 4}{28}x + 3 = x $

$ \frac{25}{28}x + 3 = x $

Перенесем все слагаемые с $x$ в правую часть уравнения, чтобы изолировать число 3:

$ 3 = x - \frac{25}{28}x $

Чтобы выполнить вычитание, представим $x$ как $ \frac{28}{28}x $:

$ 3 = \frac{28}{28}x - \frac{25}{28}x $

$ 3 = \frac{3}{28}x $

Наконец, чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на $ \frac{28}{3} $:

$ x = 3 \cdot \frac{28}{3} $

$ x = 28 $

Проверим результат:

• Изучают математику: $ \frac{1}{2} \cdot 28 = 14 $ учеников.
• Изучают природу: $ \frac{1}{4} \cdot 28 = 7 $ учеников.
• Проводят время в размышлении: $ \frac{1}{7} \cdot 28 = 4 $ ученика.
• Женщины: 3.

Общее число учеников: $ 14 + 7 + 4 + 3 = 28 $. Решение верное.

Ответ: всего в школе учителя было 28 учеников.

5.122. Найдите корень уравнения и выполните проверку:
а) –30(х – 21) = –180;
б) (15 – 9х)4 = 204;
в) 94х – 514 = 17;
г) (3,6 – 0,2х)4,9 = 9,8;
д) (7х – 3,4)9 = 13,5;
е) 13х + 56х = 3,5.

5.122

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }-30(\mathrm{х} – 21) = -180; \\ \mathrm{х} – 21 = -180 : (-30); \\ \mathrm{х} – 21 = 6; \\ \mathrm{х} = 6 + 21; \\ \mathrm{х} = 27. \\ \mathrm{Ответ}: 27. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{(}15 – 9\mathrm{х}) · 4 = 204; \\ 15 – 9\mathrm{х} = 204 : 4; \\ 15 – 9\mathrm{х} = 51; \\ -9\mathrm{х} = 51 – 15 ; \\ -9\mathrm{х} = 36; \\ \mathrm{х} = 36 : (-9); \\ \mathrm{х} = -4. \\ \mathrm{Ответ}: -4. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{9}{4}\mathrm{х} - \frac{5}{14} = \frac{1}{7}; \overline{)· 28} \\ \frac{9}{{\displaystyle \underset{1}{\sout{4}}}}\mathrm{х} ·\stackrel{7}{ \sout{28}} - \frac{5}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{14}}}} · \stackrel{2}{\bcancel{28}} = \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}}· \stackrel{4}{\cancel{28}}; \\ \frac{9}{1}\mathrm{х} · 7 - \frac{5}{1} · 2 = \frac{1}{1}· 4; \\ 63\mathrm{х} – 10 = 4; \\ 63\mathrm{х} = 4 + 10; \\ 63\mathrm{х} = 14; \\ \mathrm{х} = \frac{14}{63}; \\ \mathrm{х} = \frac{2}{9}. \\ \mathrm{Ответ}: \frac{2}{9}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }(3,6 – 0,2\mathrm{х}) · 4,9 = 9,8 \\ 3,6 – 0,2\mathrm{х} = 9,8 : 4,9; \\ 3,6 – 0,2\mathrm{х} = 98 : 49; \\ 3,6 – 0,2\mathrm{х} = 2; \\ -0,2\mathrm{х} = 2 – 3,6; \\ -0,2\mathrm{х} = -1,6; \\ \mathrm{х} = -1,6 : (-0,2); \\ \mathrm{х} = -16 : (-2); \\ \mathrm{х} = 8. \\ \mathrm{Ответ}: 8. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{д}\mathbf{)}\mathbf{ }(7\mathrm{х} – 3,4) · 9 = 13,5; \\ 7\mathrm{х} – 3,4 = 13,5 : 9; \\ 7\mathrm{х} – 3,4 = 1,5; \\ 7\mathrm{х} = 1,5 + 3,4; \\ 7\mathrm{х} = 4,9; \\ \mathrm{х} = 4,9 : 7; \\ \mathrm{х} = 0,7. \\ \mathrm{Ответ}: 0,7. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{е}\mathbf{)} \frac{1}{3}\mathrm{х} + \frac{5}{6} \mathrm{х} = 3,5; \overline{)· 6} \\ \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{3}}}}\mathrm{х} · \stackrel{2}{\bcancel{6}} + \frac{5}{\cancel{6}} \mathrm{х} · \cancel{6}= 3,5 · 6; \\ \frac{1}{1}\mathrm{х} · 2 + \frac{5}{1} \mathrm{х} · 1= 3,5 · 6; \\ 2\mathrm{х} + 5\mathrm{х} = 21; \\ 7\mathrm{х} = 21; \\ \mathrm{х} = 21 : 7; \\ \mathrm{х} = 3. \\ \mathrm{Ответ}: 3. \end{gathered}$$

а) $-30(x - 21) = -180$
Для решения этого уравнения разделим обе части на $-30$:
$x - 21 = \frac{-180}{-30}$
$x - 21 = 6$
Теперь перенесем $-21$ в правую часть уравнения, изменив знак:
$x = 6 + 21$
$x = 27$
Проверка:
Подставим найденное значение $x = 27$ в исходное уравнение:
$-30(27 - 21) = -180$
$-30 \cdot 6 = -180$
$-180 = -180$
Равенство верно.
Ответ: $x = 27$.

б) $(15 - 9x) \cdot 4 = 204$
Разделим обе части уравнения на 4:
$15 - 9x = \frac{204}{4}$
$15 - 9x = 51$
Перенесем 15 в правую часть:
$-9x = 51 - 15$
$-9x = 36$
Разделим обе части на -9:
$x = \frac{36}{-9}$
$x = -4$
Проверка:
Подставим $x = -4$ в исходное уравнение:
$(15 - 9(-4)) \cdot 4 = 204$
$(15 + 36) \cdot 4 = 204$
$51 \cdot 4 = 204$
$204 = 204$
Равенство верно.
Ответ: $x = -4$.

в) $\frac{9}{4}x - \frac{5}{14} = \frac{1}{7}$
Перенесем $\frac{5}{14}$ в правую часть, изменив знак:
$\frac{9}{4}x = \frac{1}{7} + \frac{5}{14}$
Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 14:
$\frac{9}{4}x = \frac{2}{14} + \frac{5}{14}$
$\frac{9}{4}x = \frac{7}{14}$
Сократим дробь в правой части:
$\frac{9}{4}x = \frac{1}{2}$
Чтобы найти $x$, умножим обе части на обратную дробь к $\frac{9}{4}$, то есть на $\frac{4}{9}$:
$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9}$
$x = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}$
Проверка:
Подставим $x = \frac{2}{9}$ в исходное уравнение:
$\frac{9}{4} \cdot \frac{2}{9} - \frac{5}{14} = \frac{1}{7}$
$\frac{2}{4} - \frac{5}{14} = \frac{1}{7}$
$\frac{1}{2} - \frac{5}{14} = \frac{1}{7}$
$\frac{7}{14} - \frac{5}{14} = \frac{1}{7}$
$\frac{2}{14} = \frac{1}{7}$
$\frac{1}{7} = \frac{1}{7}$
Равенство верно.
Ответ: $x = \frac{2}{9}$.

г) $(3,6 - 0,2x) \cdot 4,9 = 9,8$
Разделим обе части на 4,9:
$3,6 - 0,2x = \frac{9,8}{4,9}$
$3,6 - 0,2x = 2$
Перенесем 3,6 в правую часть:
$-0,2x = 2 - 3,6$
$-0,2x = -1,6$
Разделим обе части на -0,2:
$x = \frac{-1,6}{-0,2}$
$x = 8$
Проверка:
Подставим $x = 8$ в исходное уравнение:
$(3,6 - 0,2 \cdot 8) \cdot 4,9 = 9,8$
$(3,6 - 1,6) \cdot 4,9 = 9,8$
$2 \cdot 4,9 = 9,8$
$9,8 = 9,8$
Равенство верно.
Ответ: $x = 8$.

д) $(7x - 3,4) \cdot 9 = 13,5$
Разделим обе части на 9:
$7x - 3,4 = \frac{13,5}{9}$
$7x - 3,4 = 1,5$
Перенесем -3,4 в правую часть:
$7x = 1,5 + 3,4$
$7x = 4,9$
Разделим обе части на 7:
$x = \frac{4,9}{7}$
$x = 0,7$
Проверка:
Подставим $x = 0,7$ в исходное уравнение:
$(7 \cdot 0,7 - 3,4) \cdot 9 = 13,5$
$(4,9 - 3,4) \cdot 9 = 13,5$
$1,5 \cdot 9 = 13,5$
$13,5 = 13,5$
Равенство верно.
Ответ: $x = 0,7$.

е) $\frac{1}{3}x + \frac{5}{6}x = 3,5$
Сложим коэффициенты при $x$, приведя их к общему знаменателю 6:
$(\frac{2}{6} + \frac{5}{6})x = 3,5$
$\frac{7}{6}x = 3,5$
Представим 3,5 в виде обыкновенной дроби: $3,5 = \frac{35}{10} = \frac{7}{2}$.
$\frac{7}{6}x = \frac{7}{2}$
Чтобы найти $x$, умножим обе части на обратную дробь к $\frac{7}{6}$, то есть на $\frac{6}{7}$:
$x = \frac{7}{2} \cdot \frac{6}{7}$
$x = \frac{6}{2} = 3$
Проверка:
Подставим $x = 3$ в исходное уравнение:
$\frac{1}{3} \cdot 3 + \frac{5}{6} \cdot 3 = 3,5$
$1 + \frac{15}{6} = 3,5$
$1 + 2,5 = 3,5$
$3,5 = 3,5$
Равенство верно.
Ответ: $x = 3$.

5.123. Решите уравнение:
а) –36х + 660 = –3х;
б) 9z = –350 + 4z;
в) –8х + 83 = 3х – 49;
г) 43 – 7z = 27 – 9z;
д) 41 + 23y = 341 + 13y;
е) 21х – 34 = 12х – 16.

5.123

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} -36\mathrm{х} + 660 = -3\mathrm{х}; \\ -36\mathrm{x} + 3\mathrm{x} = -660; \\ -33\mathrm{x} = -660; \\ \mathrm{x} = -660 : (-33); \\ \mathrm{x} = 20. \\ \mathrm{Ответ}: 20 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)} 9\mathrm{z} = -350 + 4\mathrm{z}; \\ 9\mathrm{z} – 4\mathrm{z} = -350; \\ 5\mathrm{z} = -350; \\ \mathrm{z} = -350 : 5; \\ \mathrm{z} = -70. \\ \mathrm{Ответ}: -70. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }-8\mathrm{x} + 83 = 3\mathrm{x} – 49; \\ -8\mathrm{x} – 3\mathrm{x} = -49 – 83; \\ -11\mathrm{x} = -132; \\ \mathrm{x} = -132 : (-11); \\ \mathrm{x} = 12. \\ \mathrm{Ответ}: 12. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)} 43 – 7\mathrm{z} = 27 – 9\mathrm{z}; \\ -7\mathrm{z} + 9\mathrm{z} = 27 – 43; \\ 2\mathrm{z} = -16; \\ \mathrm{z} = -16 : 2; \\ \mathrm{z} = -8. \\ \mathrm{Ответ}: -8. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{д}\mathbf{)}\mathbf{ }41 + 23\mathrm{у} = 341 +13\mathrm{у} \\ 23\mathrm{у} – 13\mathrm{у} = 341 – 41; \\ 10\mathrm{у} = 300; \\ \mathrm{у} = 300 : 10; \\ \mathrm{у} = 30. \\ \mathrm{Ответ}: 30. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{е}\mathbf{)} 21\mathrm{х} – 34 = 12\mathrm{х} – 16; \\ 21\mathrm{х} – 12\mathrm{х} = -16 + 34; \\ 9\mathrm{х} = 18; \\ \mathrm{х} = 18 : 9; \\ \mathrm{х} = 2. \\ \mathrm{Ответ}: 2. \end{gathered}$$

а) Дано уравнение: $-36x + 660 = -3x$.
Для решения перенесем все слагаемые с переменной $x$ в одну часть уравнения, а свободные члены (числа) — в другую. Перенесем $-36x$ в правую часть, изменив знак на противоположный:
$660 = -3x + 36x$
Упростим правую часть, приведя подобные слагаемые:
$660 = 33x$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 33:
$x = \frac{660}{33}$
$x = 20$
Ответ: 20

б) Дано уравнение: $9z = -350 + 4z$.
Перенесем слагаемое $4z$ из правой части в левую, изменив его знак:
$9z - 4z = -350$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$5z = -350$
Разделим обе части уравнения на 5, чтобы найти $z$:
$z = \frac{-350}{5}$
$z = -70$
Ответ: -70

в) Дано уравнение: $-8x + 83 = 3x - 49$.
Соберем все слагаемые с переменной $x$ в правой части, а числа — в левой. Перенесем $-8x$ вправо и $-49$ влево, меняя их знаки:
$83 + 49 = 3x + 8x$
Упростим обе части уравнения:
$132 = 11x$
Найдем $x$, разделив обе части на 11:
$x = \frac{132}{11}$
$x = 12$
Ответ: 12

г) Дано уравнение: $43 - 7z = 27 - 9z$.
Перенесем слагаемые с переменной $z$ в левую часть, а числа — в правую. Не забываем менять знаки при переносе:
$-7z + 9z = 27 - 43$
Приведем подобные слагаемые в обеих частях:
$2z = -16$
Разделим обе части на 2, чтобы найти $z$:
$z = \frac{-16}{2}$
$z = -8$
Ответ: -8

д) Дано уравнение: $41 + 23y = 341 + 13y$.
Перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а числа — в правую:
$23y - 13y = 341 - 41$
Упростим обе части уравнения:
$10y = 300$
Найдем $y$, разделив обе части на 10:
$y = \frac{300}{10}$
$y = 30$
Ответ: 30

е) Дано уравнение: $21x - 34 = 12x - 16$.
Перенесем слагаемые с $x$ влево, а числа — вправо:
$21x - 12x = -16 + 34$
Приведем подобные слагаемые в обеих частях:
$9x = 18$
Разделим обе части на 9, чтобы найти $x$:
$x = \frac{18}{9}$
$x = 2$
Ответ: 2

5.124. Решите уравнение:
а) –5(–y + 9) = y + 10;
б) m – 17 = (m + 4)(–9);
в) 17 – 4(m + 11) = 43;
г) –7(4х + 2) – 3 = –17;
д) –4,8y + 7,2 = 3(2,4y + 4,8);
е) –5(0,6y – 1,8) = –2y + 8,5.

5.124

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }-5(-\mathrm{у} + 9) = \mathrm{у} + 10; \\ 5\mathrm{y} – 45 = \mathrm{y} + 10; \\ 5\mathrm{y} – \mathrm{y} = 10 + 45; \\ 4\mathrm{y} = 55; \\ \mathrm{y} = 55 : 4; \\ \mathrm{y} = 13,75. \\ \mathrm{Ответ}: 13,75. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)} \mathrm{m} – 17 = (\mathrm{m} + 4) · (-9); \\ \mathrm{m} – 17 = -9\mathrm{m} – 36; \\ \mathrm{m} + 9\mathrm{m} = -36 + 17; \\ 10\mathrm{m} = -19; \\ \mathrm{m} = -19 : 10; \\ \mathrm{m} = -1,9 . \\ \mathrm{Ответ}: -1,9. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }17 – 4 · (\mathrm{m} + 11) = 43; \\ 17 – 4\mathrm{m} – 44 = 43; \\ -4\mathrm{m} = 43 – 17 + 44; \\ -4\mathrm{m} = 70; \\ \mathrm{m} = 70 : (-4); \\ \mathrm{m} = -17,5. \\ \mathrm{Ответ}: -17,5. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }-7 · (4\mathrm{x} + 2) – 3 = -17; \\ -28\mathrm{x} – 14 – 3 = -17; \\ -28\mathrm{x} = -17 + 14 + 3; \\ -28\mathrm{x} = 0; \\ \mathrm{x} = 0 : (-28); \\ \mathrm{x} = 0. \\ \mathrm{Ответ}: 0. \end{gathered}$$