Страница 92, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.362. Практическая работа

Оборудование: карандаш, линейка, транспортир, плотная бумага, ножницы, клей.

а) Задание: склейте модель треугольной пирамиды (рис. 2.8, а).

Порядок работы:

1) На плотном листе бумаги постройте развёртку треугольной пирамиды по следующему алгоритму:

1. Постройте равносторонний треугольник, используя алгоритм задачи 1.136, с. 34. Сторону треугольника возьмите больше 12 см, но меньше 20 см.
2. Разделите каждую сторону треугольника пополам и соедините точки деления отрезками.

2) Нарисуйте клапаны (рис. 2.9, а).
3) Склейте модель треугольной пирамиды.

б) Задание: сделайте модель четырёхугольной пирамиды (рис. 2.8, б).

Порядок работы:

1) На плотном листе бумаги постройте развёртку четырёхугольной пирамиды по следующему алгоритму:

1. Постройте квадрат, сторона которого больше 6 см, но меньше 10 см.
2. На сторонах квадрата постройте одинаковые равнобедренные треугольники, используя алгоритм задачи 1.136, с. 34 (сторона квадрата — основание равнобедренного треугольника). Боковую сторону треугольника возьмите больше 8 см, но меньше 16 см.

2) Нарисуйте клапаны (рис. 2.9, б).
3) Склейте модель четырёхугольной пирамиды.

2.362

Нужно сделать пирамиду из бумаги, как указано в задании.

а)

Для того чтобы изготовить модель треугольной пирамиды (рис. 2.8, а), которая в данном случае является правильным тетраэдром, необходимо выполнить следующие шаги, используя карандаш, линейку, циркуль, плотную бумагу, ножницы и клей.

1. Построение развёртки на листе плотной бумаги.

   1. Следуя инструкции, необходимо построить равносторонний треугольник со стороной $a$, где $12 \text{ см} < a < 20 \text{ см}$. В качестве примера выберем длину стороны $a = 18$ см.
   2. С помощью линейки начертите на бумаге отрезок $AB$ длиной 18 см.
   3. Установите раствор циркуля равным 18 см. Поставьте острие циркуля в точку $A$ и проведите дугу. Затем, не меняя раствора циркуля, поставьте острие в точку $B$ и проведите вторую дугу так, чтобы она пересеклась с первой. Точку пересечения дуг обозначьте как $C$.
   4. Соедините точки $A$, $B$ и $C$ отрезками. В результате получится большой равносторонний треугольник $ABC$.
   5. Далее, разделите каждую сторону треугольника $ABC$ пополам. С помощью линейки найдите середины сторон, отмерив по $18/2 = 9$ см от каждой вершины. Обозначьте середины сторон $AB$, $BC$ и $AC$ как $D$, $E$ и $F$ соответственно.
   6. Соедините точки $D$, $E$ и $F$ отрезками. У вас получится развёртка, состоящая из четырех одинаковых малых равносторонних треугольников, как показано на рисунке 2.9, а. Центральный треугольник $DEF$ будет служить основанием пирамиды.

2. Рисование клапанов для склейки.

   Для того чтобы модель можно было склеить, нарисуйте небольшие клапаны (шириной примерно 1 см) на трёх внешних сторонах развертки. Клапаны нужно нарисовать на одной из свободных сторон каждого из трёх "внешних" треугольников ($ADF$, $BDE$, $CEF$).

3. Вырезание и сборка модели.

   1. Аккуратно вырежьте всю развёртку по внешнему контуру, не забывая про клапаны.
   2. Используя линейку, аккуратно согните заготовку по всем начерченным внутренним линиям (сторонам $DE$, $EF$ и $FD$).
   3. Нанесите клей на внешнюю сторону клапанов.
   4. Соберите пирамиду, поднимая боковые грани ($ADF$, $BDE$, $CEF$) так, чтобы их вершины ($A$, $B$, $C$) сошлись в одной точке. Клапаны при этом подворачиваются внутрь и приклеиваются к соседним граням.
   5. Прижмите склеиваемые части друг к другу и подержите некоторое время до полного высыхания клея.

Ответ: Модель треугольной пирамиды изготовлена в соответствии с инструкцией.

б)

Для того чтобы изготовить модель четырёхугольной пирамиды (рис. 2.8, б), необходимо выполнить следующие шаги.

1. Построение развёртки на листе плотной бумаги.

   1. Сначала выберем размеры для нашей модели. Сторона квадрата в основании $b$ должна быть в пределах $6 \text{ см} < b < 10 \text{ см}$. Возьмём $b = 8$ см. Боковая сторона $l$ равнобедренных треугольников (боковых граней) должна быть в пределах $8 \text{ см} < l < 16 \text{ см}$. Возьмём $l = 12$ см.
   2. Начертите на бумаге квадрат $ABCD$ со стороной 8 см. Это будет основание пирамиды. Для точности используйте линейку и угольник.
   3. На каждой из четырёх сторон квадрата постройте по одинаковому равнобедренному треугольнику. Для этого установите раствор циркуля равным длине боковой стороны, то есть 12 см.
   4. Для стороны $AB$ поставьте острие циркуля в точку $A$ и проведите дугу с внешней стороны квадрата. Затем поставьте острие в точку $B$ и проведите дугу, пересекающую первую. Точку их пересечения обозначьте $P_1$. Треугольник $ABP_1$ — первая боковая грань.
   5. Повторите эту операцию для остальных сторон квадрата ($BC$, $CD$, $DA$), получая вершины $P_2$, $P_3$ и $P_4$. В результате у вас получится развёртка, как на рисунке 2.9, б.

2. Рисование клапанов для склейки.

   Нарисуйте клапаны для склейки на одной из боковых сторон у трёх из четырёх треугольников (например, на сторонах $BP_2$, $CP_3$ и $DP_4$). Четвёртый треугольник остаётся без клапана на боковой стороне, так как он будет приклеен к клапану соседнего.

3. Вырезание и сборка модели.

   1. Аккуратно вырежьте всю фигуру по внешнему контуру, включая нарисованные клапаны.
   2. Согните заготовку по сторонам квадрата ($AB$, $BC$, $CD$, $DA$).
   3. Нанесите клей на внешнюю сторону клапанов.
   4. Поднимите боковые грани-треугольники вверх так, чтобы их вершины ($P_1, P_2, P_3, P_4$) сошлись в одной точке — вершине пирамиды.
   5. Приклейте боковые стороны треугольников друг к другу, подворачивая клапаны внутрь. Прижмите склеиваемые части и дайте клею высохнуть.

Ответ: Модель четырёхугольной пирамиды изготовлена в соответствии с инструкцией.

2.363. Найдите значение выражения:

а) 23,535 : 0,9 - 0,552 : 0,6 + 0,902 : 2,2;

б) (0,0256 : 1,6 + 1,6 • 0,04) • 41,25;

в) (31,941 : 6,3 - 3,2) : 0,01;

г) (4,6 • 2,5 - 31,5 : 3,5) : 6,25.

2.363

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }23,535\stackrel{1}{ : }0,9\stackrel{4}{ –} 0,552 \stackrel{2}{:} 0,6 \stackrel{5}{+} 0,902\stackrel{3}{ :} 2,2 = 25,64$

1.	2.
3.	4.
5.

$\mathit{б}\mathbf{)} (0,0256\stackrel{1}{ :} 1,6 \stackrel{3}{+} 1,6 \stackrel{2}{·} 0,04 ) \stackrel{4}{·} 41,25 = 3,3$

1.	2.
3.	4.

$\mathit{в}\mathbf{)} (31,941 \stackrel{1}{:} 6,3 \stackrel{2}{–} 3,2)\stackrel{3}{ :} 0,01 = 187$

1.	2.
3. 1,87 : 0,01 = 187 : 1 = 187

$\mathit{г}\mathbf{)} (4,6 \stackrel{1}{·} 2,5 \stackrel{3}{–} 31,5 \stackrel{2}{:} 3,5) \stackrel{4}{:} 6,25 = 0,4$

1.	2.
3.	4.

а) $23,535 : 0,9 – 0,552 : 0,6 + 0,902 : 2,2$
Вычисляем по действиям, соблюдая порядок: сначала деление, затем сложение и вычитание слева направо.
1. Первое деление: $23,535 : 0,9$. Чтобы разделить на десятичную дробь, перенесем запятую в делимом и делителе на один знак вправо: $235,35 : 9 = 26,15$.
2. Второе деление: $0,552 : 0,6$. Аналогично переносим запятую: $5,52 : 6 = 0,92$.
3. Третье деление: $0,902 : 2,2$. Аналогично переносим запятую: $9,02 : 22 = 0,41$.
4. Теперь подставим полученные значения в исходное выражение: $26,15 - 0,92 + 0,41$.
5. Выполняем вычитание: $26,15 - 0,92 = 25,23$.
6. Выполняем сложение: $25,23 + 0,41 = 25,64$.
Ответ: 25,64

б) $(0,0256 : 1,6 + 1,6 · 0,04) · 41,25$
Сначала выполняем действия в скобках: деление и умножение, затем сложение. После этого результат умножаем.
1. Действие в скобках (деление): $0,0256 : 1,6 = 0,256 : 16 = 0,016$.
2. Действие в скобках (умножение): $1,6 · 0,04 = 0,064$.
3. Действие в скобках (сложение): $0,016 + 0,064 = 0,08$.
4. Последнее действие (умножение): $0,08 · 41,25 = 3,3$.
Ответ: 3,3

в) $(31,941 : 6,3 – 3,2) : 0,01$
Сначала выполняем действия в скобках: деление, затем вычитание. После этого делим результат на 0,01.
1. Действие в скобках (деление): $31,941 : 6,3 = 319,41 : 63 = 5,07$.
2. Действие в скобках (вычитание): $5,07 - 3,2 = 5,07 - 3,20 = 1,87$.
3. Последнее действие (деление): $1,87 : 0,01$. Деление на 0,01 эквивалентно умножению на 100, поэтому переносим запятую на два знака вправо: $187$.
Ответ: 187

г) $(4,6 · 2,5 – 31,5 : 3,5) : 6,25$
Сначала выполняем действия в скобках: умножение и деление, затем вычитание. После этого делим результат на 6,25.
1. Действие в скобках (умножение): $4,6 · 2,5 = 11,5$.
2. Действие в скобках (деление): $31,5 : 3,5 = 315 : 35 = 9$.
3. Действие в скобках (вычитание): $11,5 - 9 = 2,5$.
4. Последнее действие (деление): $2,5 : 6,25$. Перенесем запятые на два знака вправо: $250 : 625$. Сократим дробь $\frac{250}{625}$ на 125: $\frac{250:125}{625:125} = \frac{2}{5} = 0,4$.
Ответ: 0,4

5.98. Решите уравнение, умножив обе части уравнения на одно и то же число:
а) 78х + 4 = 34х + 6;
б) 13х + 56х + 3 = 34х – 2;
в) 13х + 19х + 10 = х;
г) 0,Зх + 8,1 = 0,8х – 2,9.

5.98

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{7}{8}\mathrm{х} + 4 = \frac{3}{4}\mathrm{х} + 6; | · 8 \\ \frac{7}{\cancel{8}}\mathrm{х} · \cancel{8} + 4 · 8 = \frac{3}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{4}}}}\mathrm{х} · \stackrel{2}{\bcancel{8}} + 6 · 8; \\ 7\mathrm{х} + 32 = 6\mathrm{х} + 48; \\ 7\mathrm{х} – 6\mathrm{х} = 48 – 32; \\ \mathrm{х} = 16. \\ \mathrm{Ответ}: 16. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{1}{3}\mathrm{х} + \frac{5}{6} \mathrm{х} + 3 = \frac{3}{4}\mathrm{х} - 2; \overline{)·12} \\ \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\sout{3}}}}\mathrm{х} ·\stackrel{4}{\sout{12}}+ \frac{5}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{6}}}} \mathrm{х} ·\stackrel{2}{\bcancel{12}} + 3 ·12= \frac{3}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}}\mathrm{х} ·\stackrel{3}{\cancel{12}} - 2 ·12; \\ 4\mathrm{х} + 10\mathrm{х} + 36 = 9\mathrm{х} – 24; \\ 14\mathrm{х} – 9\mathrm{х} = -24 – 36; \\ 5\mathrm{х} = -60; \\ \mathrm{х} = -60 : 5; \\ \mathrm{х} = -12. \\ \mathrm{Ответ}: -12. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{1}{3} \mathrm{х} + \frac{1}{9} \mathrm{х} + 10 = \mathrm{х}; \overline{) · 9} \\ \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} \mathrm{х} · \stackrel{3}{\cancel{9}} + \frac{1}{\bcancel{9}} \mathrm{х} · \bcancel{9} + 10 · 9= \mathrm{х} · 9; \\ 3\mathrm{x} + \mathrm{x} + 90 = 9\mathrm{x}; \\ 4\mathrm{x} – 9\mathrm{x} = -90; \\ -5\mathrm{x} = -90; \\ \mathrm{x} = -90 : (-5); \\ \mathrm{х} = 18. \\ \mathrm{Ответ}: 18. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }0,3\mathrm{х} + 8,1 = 0,8\mathrm{х} – 2,9; | ·10 \\ 0,3\mathrm{х} · 10 + 8,1 · 10 = 0,8\mathrm{х} · 10 – 2,9 · 10; \\ 3\mathrm{x} + 81 = 8\mathrm{x} – 29; \\ 3\mathrm{x} – 8\mathrm{x} = -29 – 81; \\ -5\mathrm{x} = -110; \\ \mathrm{x} = -110 : (-5); \\ \mathrm{х} = 22. \\ \mathrm{Ответ}: 22. \end{gathered}$$

а) $ \frac{7}{8}x + 4 = \frac{3}{4}x + 6 $

Чтобы избавиться от дробей в уравнении, умножим обе его части на наименьшее общее кратное знаменателей 8 и 4. Наименьшее общее кратное (НОК) для 8 и 4 равно 8.
$ 8 \cdot (\frac{7}{8}x + 4) = 8 \cdot (\frac{3}{4}x + 6) $
Раскроем скобки, умножив каждый член на 8:
$ 8 \cdot \frac{7}{8}x + 8 \cdot 4 = 8 \cdot \frac{3}{4}x + 8 \cdot 6 $
$ 7x + 32 = 6x + 48 $
Теперь перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а свободные члены — в правую, изменяя их знаки на противоположные:
$ 7x - 6x = 48 - 32 $
Приведем подобные слагаемые:
$ x = 16 $

Ответ: 16

б) $ \frac{1}{3}x + \frac{5}{6}x + 3 = \frac{3}{4}x - 2 $

Знаменатели дробей в уравнении: 3, 6 и 4. Найдем их наименьшее общее кратное. НОК(3, 6, 4) = 12. Умножим обе части уравнения на 12, чтобы избавиться от дробей.
$ 12 \cdot (\frac{1}{3}x + \frac{5}{6}x + 3) = 12 \cdot (\frac{3}{4}x - 2) $
Раскроем скобки:
$ 12 \cdot \frac{1}{3}x + 12 \cdot \frac{5}{6}x + 12 \cdot 3 = 12 \cdot \frac{3}{4}x - 12 \cdot 2 $
$ 4x + 10x + 36 = 9x - 24 $
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$ 14x + 36 = 9x - 24 $
Перенесем слагаемые с $x$ влево, а числа вправо:
$ 14x - 9x = -24 - 36 $
$ 5x = -60 $
Разделим обе части на 5, чтобы найти $x$:
$ x = \frac{-60}{5} $
$ x = -12 $

Ответ: -12

в) $ \frac{1}{3}x + \frac{1}{9}x + 10 = x $

Знаменатели дробей в уравнении: 3 и 9. НОК(3, 9) = 9. Умножим обе части уравнения на 9.
$ 9 \cdot (\frac{1}{3}x + \frac{1}{9}x + 10) = 9 \cdot x $
Раскроем скобки:
$ 9 \cdot \frac{1}{3}x + 9 \cdot \frac{1}{9}x + 9 \cdot 10 = 9x $
$ 3x + x + 90 = 9x $
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$ 4x + 90 = 9x $
Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть:
$ 90 = 9x - 4x $
$ 90 = 5x $
Найдем $x$:
$ x = \frac{90}{5} $
$ x = 18 $

Ответ: 18

г) $ 0,3x + 8,1 = 0,8x - 2,9 $

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе части уравнения на 10, так как у всех чисел один знак после запятой.
$ 10 \cdot (0,3x + 8,1) = 10 \cdot (0,8x - 2,9) $
Раскроем скобки:
$ 10 \cdot 0,3x + 10 \cdot 8,1 = 10 \cdot 0,8x - 10 \cdot 2,9 $
$ 3x + 81 = 8x - 29 $
Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа — в левую:
$ 81 + 29 = 8x - 3x $
Приведем подобные слагаемые:
$ 110 = 5x $
Найдем $x$:
$ x = \frac{110}{5} $
$ x = 22 $

Ответ: 22

5.99. Найдите корень уравнения и выполните проверку:
а) –50 · (–9х + 3) = –15 000;
б) (–30х – 60) · 2 = 120;
в) –4 · (3 – 21х) = –12;
г) 3,1 · (15 – 5у) = –93.

5.99

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }-50 · (-9\mathrm{х} + 3) = -15000; \\ 450\mathrm{х} – 150 = -15000; \\ 450\mathrm{х} = -15000 + 150; \\ 450\mathrm{х} = -14850; \\ \mathrm{х} = -14850 : 450; \\ \mathrm{х} = -33. \\ \mathrm{Ответ}: -33. \\ \mathrm{Проверка}: -50 · (-9 · (-33) + 3) = \\ = - 50 · (297 + 3) = -50 · 300 = \\ = -15000 – \mathrm{верно}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)} (-30\mathrm{х} – 60) · 2 = 120; \\ -60\mathrm{х} – 120 = 120; \\ -60\mathrm{х} = 120 + 120; \\ -60\mathrm{х} = 240; \\ \mathrm{х} = 240 : (-60); \\ \mathrm{х} = -4. \\ \mathrm{Ответ}: -4. \\ \mathrm{Проверка}: (-30 · (-4) – 60) · 2 = \\ = (120 – 60) · 2 = 60 · 2 = 120 - \mathrm{верно} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }-4 · (3 – 21\mathrm{х}) = -12; \\ -12 + 84\mathrm{х} = -12; \\ 84\mathrm{х} = -12 + 12; \\ 84\mathrm{х} = 0; \\ \mathrm{х} = 0 : 84; \\ \mathrm{х} = 0. \\ \mathrm{Ответ}: 0. \\ \mathrm{Проверка}: -4 · (3 – 21 · 0) = \\ = -4 · (3 – 0) = -4 · 3 = -12 – \mathrm{верно}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }3,1 · (15 – 5\mathrm{у}) = -93; \\ 46,5 – 15,5\mathrm{у} = -93; \\ -15,5\mathrm{у} = -93 – 46,5; \\ -15,5\mathrm{у} = -139,5 \\ \mathrm{у} = -139,5 : (-15,5); \\ \mathrm{у} = 1395 : 155; \\ \mathrm{у} = 9. \\ \mathrm{Ответ}: 9. \\ \mathrm{Проверка}: 3,1 · (15 – 5 · 9) = \\ = 3,1 · (15 – 45) = 3,1 · (-30) = \\ =-93 – \mathrm{верно}. \end{gathered}$$

а) $-50 \cdot (-9x + 3) = -15000$

Разделим обе части уравнения на $-50$:

$-9x + 3 = \frac{-15000}{-50}$

$-9x + 3 = 300$

Перенесем $3$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$-9x = 300 - 3$

$-9x = 297$

Найдем $x$, разделив обе части на $-9$:

$x = \frac{297}{-9}$

$x = -33$

Проверка:

Подставим $x = -33$ в исходное уравнение:

$-50 \cdot (-9 \cdot (-33) + 3) = -50 \cdot (297 + 3) = -50 \cdot 300 = -15000$

$-15000 = -15000$

Равенство верное.

Ответ: $-33$.

б) $(-30x - 60) \cdot 2 = 120$

Разделим обе части уравнения на $2$:

$-30x - 60 = \frac{120}{2}$

$-30x - 60 = 60$

Перенесем $-60$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$-30x = 60 + 60$

$-30x = 120$

Найдем $x$, разделив обе части на $-30$:

$x = \frac{120}{-30}$

$x = -4$

Проверка:

Подставим $x = -4$ в исходное уравнение:

$(-30 \cdot (-4) - 60) \cdot 2 = (120 - 60) \cdot 2 = 60 \cdot 2 = 120$

$120 = 120$

Равенство верное.

Ответ: $-4$.

в) $-4 \cdot (3 - 21x) = -12$

Разделим обе части уравнения на $-4$:

$3 - 21x = \frac{-12}{-4}$

$3 - 21x = 3$

Перенесем $3$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$-21x = 3 - 3$

$-21x = 0$

Найдем $x$:

$x = 0$

Проверка:

Подставим $x = 0$ в исходное уравнение:

$-4 \cdot (3 - 21 \cdot 0) = -4 \cdot (3 - 0) = -4 \cdot 3 = -12$

$-12 = -12$

Равенство верное.

Ответ: $0$.

г) $3,1 \cdot (15 - 5y) = -93$

Разделим обе части уравнения на $3,1$:

$15 - 5y = \frac{-93}{3,1}$

$15 - 5y = -30$

Перенесем $15$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$-5y = -30 - 15$

$-5y = -45$

Найдем $y$, разделив обе части на $-5$:

$y = \frac{-45}{-5}$

$y = 9$

Проверка:

Подставим $y = 9$ в исходное уравнение:

$3,1 \cdot (15 - 5 \cdot 9) = 3,1 \cdot (15 - 45) = 3,1 \cdot (-30) = -93$

$-93 = -93$

Равенство верное.

Ответ: $9$.

5.100. Решите уравнение:
а) 0,7х + 4 = 0,Зх;
б) –0,2х – 18 = 0,7х;
в) 2х – 313 = 56х + 212;
г) 8,3 – 8n = – 6n – 31,7;
д) 34х – 114 = 138х + 12,5;
е) 5,5 – 7z = 5,8 – 10z;
ж) 4,6х = 7,2х;
з) –23х = 17х;
и) 17х + 34 = 0.

5.100

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} 0,7\mathrm{х} + 4 = 0,3\mathrm{х}; \\ 0,7\mathrm{х} – 0,3\mathrm{х} = -4; \\ 0,4\mathrm{х} = -4; \\ \mathrm{х} = -4 : 0,4; \\ \mathrm{х} = -40 : 4; \\ \mathrm{х} = -10. \\ \mathrm{Ответ}: -10. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }-0,2\mathrm{х} – 18 = 0,7\mathrm{х}; \\ -0,2\mathrm{х} – 0,7\mathrm{х} = 18; \\ -0,9\mathrm{х} = 18; \\ \mathrm{х} = 18 : (-0,9); \\ \mathrm{х} = 180 : (-9); \\ \mathrm{х} = -20. \\ \mathrm{Ответ}: -20. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }2\mathrm{х} - 3\frac{1}{3} = \frac{5}{6}\mathrm{х} + 2\frac{1}{2}; \\ 2\mathrm{х} - \frac{5}{6}\mathrm{х} = {2\frac{1}{2}}^{\overline{)·3}} +{ 3\frac{1}{3}}^{\overline{)·2}}; \\ 1\frac{1}{6}\mathrm{х} = 2\frac{3}{6} + 3\frac{2}{6}; \\ 1\frac{1}{6}\mathrm{х} = 5\frac{5}{6}; \\ \mathrm{х} = 5\frac{5}{6} : 1\frac{1}{6}; \\ \mathrm{х} = \frac{35}{6} : \frac{7}{6}; \\ \mathrm{х} = \frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\bcancel{35}}}}{\cancel{6}} · \frac{\cancel{6}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{7}}}}; \\ \mathrm{х} = 5. \\ \mathrm{Ответ}: 5. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }8,3 – 8\mathrm{n} = -6\mathrm{n} – 31,7 \\ -8\mathrm{n} + 6\mathrm{n} = -31,7 – 8,3; \\ -2\mathrm{n} = -40; \\ \mathrm{n} = -40 : (-2); \\ \mathrm{n} = 20. \\ \mathrm{Ответ}: 20. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{д}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{3}{4}\mathrm{х} - 1\frac{1}{4} = 1\frac{3}{8}\mathrm{х} + 12,5; \\ {\frac{3}{4}}^{\overline{)·2}} \mathrm{х} - 1\frac{3}{8} \mathrm{х} = 12,5 + 1\frac{1}{4}; \\ \frac{6}{8} \mathrm{х} - \frac{11}{8} \mathrm{х} = {12\frac{1}{2}}^{\overline{)·2}} + 1\frac{1}{4}; \\ -\frac{5}{8} \mathrm{х} =12\frac{2}{4} + 1\frac{1}{4}; \\ -\frac{5}{8} \mathrm{х} = 13\frac{3}{4}; \\ \mathrm{х} = 13\frac{3}{4} : \left(-\frac{5}{8}\right); \\ \mathrm{х} = \frac{55}{4} : \left(-\frac{5}{8}\right); \\ \mathrm{х} = \frac{{\displaystyle \stackrel{11}{\bcancel{55}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}} · \left(-\frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{8}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{5}}}}\right); \\ \mathrm{х} = \frac{11}{1} · \left(-\frac{2}{1}\right); \\ \mathrm{х} = -22. \\ \mathrm{Ответ}: -22. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{е}\mathbf{)} 5,5 – 7\mathrm{z} = 5,8 – 10\mathrm{z}; \\ -7\mathrm{z} + 10\mathrm{z} = 5,8 – 5,5; \\ 3\mathrm{z} = 0,3; \\ \mathrm{z} = 0,3 : 3; \\ \mathrm{z} = 0,1. \\ \mathrm{Ответ}: 0,1. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{ж}\mathbf{)}\mathbf{ }4,6\mathrm{x} = 7,2\mathrm{x}; \\ 4,6\mathrm{x} – 7,2\mathrm{x} = 0; \\ -2,6\mathrm{x} = 0; \\ \mathrm{x} = 0 : (-2,6); \\ \mathrm{х} = 0. \\ \mathrm{Ответ}: 0. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{з}\mathbf{)}\mathbf{ }-23\mathrm{x} = 17\mathrm{x}; \\ -23\mathrm{x} – 17\mathrm{x} = 0; \\ -40\mathrm{x} = 0; \\ \mathrm{x} = 0 : (-40); \\ \mathrm{x} = 0. \\ \mathrm{Ответ}: 0. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{и}\mathbf{)} 17\mathrm{x} + 34 = 0; \\ 17\mathrm{x} = -34; \\ \mathrm{x} = -34 : 17; \\ \mathrm{x} = -2. \\ \mathrm{Ответ}: -2. \end{gathered}$$

а) $0,7x + 4 = 0,3x$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а числовые слагаемые в правую, меняя их знаки на противоположные:
$0,7x - 0,3x = -4$
Упростим левую часть:
$0,4x = -4$
Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 0,4:
$x = \frac{-4}{0,4}$
$x = -10$
Ответ: -10.

б) $-0,2x - 18 = 0,7x$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть уравнения, чтобы работать с положительным коэффициентом при $x$:
$-18 = 0,7x + 0,2x$
Упростим правую часть:
$-18 = 0,9x$
Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 0,9:
$x = \frac{-18}{0,9}$
$x = -20$
Ответ: -20.

в) $2x - 3\frac{1}{3} = \frac{5}{6}x + 2\frac{1}{2}$
Сначала преобразуем смешанные дроби в неправильные:
$3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$; $2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$
Уравнение примет вид:
$2x - \frac{10}{3} = \frac{5}{6}x + \frac{5}{2}$
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей (чисел 3, 6 и 2), который равен 6:
$6 \cdot (2x) - 6 \cdot \frac{10}{3} = 6 \cdot \frac{5}{6}x + 6 \cdot \frac{5}{2}$
$12x - 20 = 5x + 15$
Перенесем слагаемые с $x$ влево, а числа вправо:
$12x - 5x = 15 + 20$
$7x = 35$
$x = \frac{35}{7}$
$x = 5$
Ответ: 5.

г) $8,3 - 8n = -6n - 31,7$
Перенесем слагаемые с переменной $n$ в правую часть, а числовые слагаемые в левую:
$8,3 + 31,7 = -6n + 8n$
Упростим обе части уравнения:
$40 = 2n$
Найдем $n$, разделив обе части на 2:
$n = \frac{40}{2}$
$n = 20$
Ответ: 20.

д) $\frac{3}{4}x - 1\frac{1}{4} = 1\frac{3}{8}x + 12,5$
Преобразуем смешанные дроби и десятичную дробь в неправильные дроби:
$1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$; $1\frac{3}{8} = \frac{11}{8}$; $12,5 = \frac{25}{2}$
Уравнение примет вид:
$\frac{3}{4}x - \frac{5}{4} = \frac{11}{8}x + \frac{25}{2}$
Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель (чисел 4, 8 и 2), который равен 8:
$8 \cdot \frac{3}{4}x - 8 \cdot \frac{5}{4} = 8 \cdot \frac{11}{8}x + 8 \cdot \frac{25}{2}$
$6x - 10 = 11x + 100$
Перенесем слагаемые с $x$ влево, а числа вправо:
$6x - 11x = 100 + 10$
$-5x = 110$
$x = \frac{110}{-5}$
$x = -22$
Ответ: -22.

е) $5,5 - 7z = 5,8 - 10z$
Перенесем слагаемые с переменной $z$ в левую часть, а числа в правую:
$-7z + 10z = 5,8 - 5,5$
Упростим обе части уравнения:
$3z = 0,3$
Найдем $z$, разделив обе части на 3:
$z = \frac{0,3}{3}$
$z = 0,1$
Ответ: 0,1.

ж) $4,6x = 7,2x$
Перенесем все слагаемые в одну часть:
$4,6x - 7,2x = 0$
$-2,6x = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Так как $-2,6 \neq 0$, то:
$x = 0$
Ответ: 0.

з) $-23x = 17x$
Перенесем все слагаемые в одну часть:
$-23x - 17x = 0$
$-40x = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Так как $-40 \neq 0$, то:
$x = 0$
Ответ: 0.

и) $17x + 34 = 0$
Перенесем числовое слагаемое в правую часть:
$17x = -34$
Найдем $x$, разделив обе части на 17:
$x = \frac{-34}{17}$
$x = -2$
Ответ: -2.

5.101. Найдите х из пропорции:
а) х – 48 = 74;
б) 53х + 2 = 2,527,5;
в) х + 64 = 2х – 157;
г) 0,3х + 5 = 0,8х – 9.

5.101

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} \frac{\mathrm{х} - 4}{8} = \frac{7}{4}; \\ \mathrm{х} - 4 = \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{8}}} · 7}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}}; \\ \mathrm{х} - 4 = \frac{2 · 7}{1}; \\ \mathrm{х} – 4 = 14; \\ \mathrm{х} = 14 + 4; \\ \mathrm{х} = 18. \\ \mathrm{Ответ}: 18. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)} \frac{5}{3\mathrm{х} + 2} = \frac{2,5}{27,5}; \\ 3\mathrm{х} + 2 = \frac{5 · 27,5}{2,5}; \\ 3\mathrm{х} + 2 = \frac{5 · {\displaystyle \stackrel{11}{\cancel{275}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{25}}}}; \\ 3\mathrm{х} + 2 = \frac{5 · 11}{1}; \\ 3\mathrm{х} + 2 = 55; \\ 3\mathrm{х} = 55 – 2; \\ 3\mathrm{х} = 53; \\ \mathrm{х} = 53 : 3; \\ \mathrm{х} = 17\frac{2}{3}. \\ \mathrm{Ответ}: 17\frac{2}{3}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)} \frac{\mathrm{х} + 6}{4} = \frac{2\mathrm{х} - 15}{7}; \\ 2\mathrm{х} - 15 = \frac{7 · \left(\mathrm{х} + 6\right)}{4}; \\ 2\mathrm{х} - 15 = \frac{7\mathrm{х} + 42}{4}; \overline{)·4} \\ 8\mathrm{х} - 60 = 7\mathrm{х} + 42; \\ 8\mathrm{х} - 7\mathrm{х} = 42 + 60; \\ \mathrm{х} = 102; \\ \mathrm{Ответ}: 102. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)} \frac{0,3}{\mathrm{х} + 5} = \frac{0,8}{\mathrm{х} - 9}; \\ \mathrm{х} + 5 = \frac{0,3 · \left(\mathrm{х} - 9\right)}{0,8}; \\ \mathrm{х} + 5 = \frac{0,3\mathrm{х} - 2,9}{0,8}; \overline{)·0,8} \\ 0,8 · (\mathrm{х} + 5) = 0,3\mathrm{х} -2,7; \\ 0,8 \mathrm{х} + 4 = 0,3\mathrm{х} – 2,7; \\ 0,8 \mathrm{х} – 0,3\mathrm{х} = - 2,7 – 4; \\ 0,5 \mathrm{х} = - 6,7; \\ \mathrm{х} = -6,7 : 0,5; \\ \mathrm{х} = -67 : 5; \\ \mathrm{х} = -13,4. \\ \mathrm{Ответ}: -13,4. \end{gathered}$$

а) $\frac{x-4}{8} = \frac{7}{4}$

Чтобы найти $x$, воспользуемся основным свойством пропорции (перекрестным умножением): произведение крайних членов равно произведению средних.

$4 \cdot (x-4) = 8 \cdot 7$

Раскроем скобки и выполним умножение:

$4x - 16 = 56$

Перенесем $-16$ в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$4x = 56 + 16$

$4x = 72$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 4:

$x = \frac{72}{4}$

$x = 18$

Ответ: 18

б) $\frac{5}{3x+2} = \frac{2,5}{27,5}$

Сначала упростим дробь в правой части, умножив числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичных знаков, а затем сократим:

$\frac{2,5}{27,5} = \frac{2,5 \cdot 10}{27,5 \cdot 10} = \frac{25}{275} = \frac{1}{11}$

Теперь пропорция имеет вид:

$\frac{5}{3x+2} = \frac{1}{11}$

Применим правило перекрестного умножения:

$5 \cdot 11 = 1 \cdot (3x+2)$

$55 = 3x + 2$

Перенесем 2 в левую часть уравнения:

$55 - 2 = 3x$

$53 = 3x$

Найдем $x$:

$x = \frac{53}{3}$

Ответ: $\frac{53}{3}$

в) $\frac{x+6}{4} = \frac{2x-15}{7}$

Используем правило перекрестного умножения:

$7 \cdot (x+6) = 4 \cdot (2x-15)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$7x + 42 = 8x - 60$

Сгруппируем слагаемые с $x$ в одной части уравнения, а свободные члены — в другой. Перенесем $7x$ вправо, а $-60$ влево:

$42 + 60 = 8x - 7x$

$102 = x$

Ответ: 102

г) $\frac{0,3}{x+5} = \frac{0,8}{x-9}$

Применим правило перекрестного умножения. При этом учтем, что $x \neq -5$ и $x \neq 9$.

$0,3 \cdot (x-9) = 0,8 \cdot (x+5)$

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе части уравнения на 10:

$10 \cdot 0,3 \cdot (x-9) = 10 \cdot 0,8 \cdot (x+5)$

$3 \cdot (x-9) = 8 \cdot (x+5)$

Раскроем скобки:

$3x - 27 = 8x + 40$

Перенесем слагаемые с $x$ вправо, а свободные члены влево:

$-27 - 40 = 8x - 3x$

$-67 = 5x$

Найдем $x$:

$x = \frac{-67}{5}$

$x = -13,4$

Ответ: -13,4

5.102. В первом составе на железнодорожной станции было в 3 раза больше вагонов, чем во втором. Чтобы вагонов в составах стало поровну, от первого состава отцепили 17 вагонов и прицепили их ко второму составу. Сколько вагонов было в каждом составе?

5.102

Пусть х вагонов – было во втором составе, тогда 3х вагонов – было в первом составе, (3х – 17) вагонов – стало в первом составе, (х + 17) вагонов – стало во втором составе. Зная, что вагонов в составах стало поровну, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} 3х – 17 = х + 17; \\ 3х – х = 17 + 17; \\ 2х = 34; \\ х = 34 : 2; \end{gathered}$$

х = 17 вагонов – было во втором составе;

$\mathbf{1}\mathbf{)} 17 · 3 = 51$вагон – было в первом составе.

Ответ: 51 вагон и 17 вагонов

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это первоначальное количество вагонов во втором составе.

Исходя из условия, в первом составе было в 3 раза больше вагонов, чем во втором. Следовательно, в первом составе было $3x$ вагонов.

Далее, от первого состава отцепили 17 вагонов. Количество вагонов в нем стало равно $(3x - 17)$.

Эти 17 вагонов прицепили ко второму составу. Количество вагонов во втором составе стало равно $(x + 17)$.

После этих изменений количество вагонов в обоих составах стало одинаковым. Мы можем составить уравнение, приравняв количество вагонов в составах после изменений:

$3x - 17 = x + 17$

Теперь решим это уравнение. Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения, а числовые значения — в правую:

$3x - x = 17 + 17$

$2x = 34$

Найдем $x$:

$x = \frac{34}{2}$

$x = 17$

Мы нашли, что первоначально во втором составе было 17 вагонов.

Теперь найдем, сколько вагонов было в первом составе, умножив количество вагонов второго состава на 3:

$3 \times 17 = 51$ (вагон).

Ответ: первоначально в первом составе был 51 вагон, а во втором — 17 вагонов.

5.103. На футбол в первой кассе продали 96 билетов, а во вторую привезли ещё 24 билета, и в обеих кассах билетов стало поровну. Сколько билетов было в каждой кассе первоначально, если в первой кассе билетов было в 3 раза больше, чем во второй?

5.103

Пусть х билетов – было во второй кассе первоначально, тогда 3х билетов – было в первой кассе первоначально, (3х – 96) билетов – стало в первой кассе, (х + 24) билета – стало во второй кассе. Зная, что билетов в кассах стало поровну, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} 3х – 96 = х + 24; \\ 3х – х = 24 + 96; \\ 2х = 120; \\ х = 120 : 2; \end{gathered}$$

х = 60 билетов – было во второй кассе;

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ } 60 · 3 = 180$билетов – было в первой кассе.

Ответ: 180 билетов и 60 билетов.

Для решения этой задачи составим уравнение. Обозначим за $x$ первоначальное количество билетов во второй кассе.

Из условия задачи известно, что в первой кассе билетов было в 3 раза больше, чем во второй. Значит, в первой кассе было $3x$ билетов.

После того как в первой кассе продали 96 билетов, в ней осталось: $3x - 96$ билетов.

Во вторую кассу привезли ещё 24 билета, и в ней стало: $x + 24$ билета.

По условию, после этих изменений количество билетов в обеих кассах стало равным. На основе этого мы можем составить следующее уравнение:

$3x - 96 = x + 24$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$. Перенесем все члены с $x$ в левую часть, а числовые значения — в правую часть уравнения:

$3x - x = 24 + 96$

Упростим выражение:

$2x = 120$

Найдем $x$:

$x = \frac{120}{2}$

$x = 60$

Таким образом, мы нашли, что первоначально во второй кассе было 60 билетов.

Теперь найдем первоначальное количество билетов в первой кассе, зная, что их было в 3 раза больше:

$3 \times 60 = 180$

Итак, в первой кассе было 180 билетов.

Проверка:

1. Изначально в первой кассе было 180 билетов, а во второй — 60. $180 = 3 \times 60$. Условие выполняется.

2. После продажи 96 билетов в первой кассе осталось: $180 - 96 = 84$ билета.

3. После привоза 24 билетов во второй кассе стало: $60 + 24 = 84$ билета.

4. В обеих кассах стало по 84 билета, то есть поровну. Условие выполняется. Решение верное.

Ответ: первоначально в первой кассе было 180 билетов, а во второй кассе — 60 билетов.

5.104. Семья ехала от дома до дачи 1 ч 30 мин. Если бы скорость машины была больше на 10 км/ч, то поездка заняла бы 1 ч 15 мин. Чему равна скорость машины и расстояние до дачи?

5.104

1 ч 30 мин = 1,5 ч, 1 ч 15 мин = 1,25 ч

Пусть х км/ч – скорость машины, тогда 1,5х км – расстояние от дома до дачи, (х + 10) км/ч – была бы скорость машины, 1,25(х + 10) км – расстояние от дома до дачи. Зная, что расстояние одинаковое, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} 1,5х = 1,25(х + 10); \\ 1,5х = 1,25х + 12,5; \\ 1,5х – 1,25х = 12,5; \\ 0,25х = 12,5; \\ х = 12,5 : 0,25; \\ х = 1250 : 25 \end{gathered}$$

х = 50 км/ч – скорость машины;

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }1,5 · 50 = 75$км – расстояние от дома до дачи

Ответ: 50 км/ч, 75 км.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v$ (в км/ч) – это первоначальная скорость машины, а $S$ (в км) – расстояние от дома до дачи.

По условию, время в пути в первом случае составляет $t_1 = 1 \text{ ч } 30 \text{ мин}$, а во втором, гипотетическом, случае $t_2 = 1 \text{ ч } 15 \text{ мин}$.

Сначала переведем время в часы для удобства вычислений.

Время в первом случае:

$t_1 = 1 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 1 + \frac{30}{60} \text{ ч} = 1.5 \text{ ч}$.

Время во втором случае:

$t_2 = 1 \text{ ч } 15 \text{ мин} = 1 + \frac{15}{60} \text{ ч} = 1 + \frac{1}{4} \text{ ч} = 1.25 \text{ ч}$.

Расстояние вычисляется по формуле $S = \text{скорость} \times \text{время}$.

В первом случае расстояние до дачи можно выразить как:

$S = v \cdot t_1 = v \cdot 1.5$

Во втором случае скорость машины была бы на 10 км/ч больше, то есть $v + 10$ км/ч. Расстояние до дачи в этом случае выражается как:

$S = (v + 10) \cdot t_2 = (v + 10) \cdot 1.25$

Так как расстояние от дома до дачи в обоих случаях одно и то же, мы можем приравнять два полученных выражения для $S$ и составить уравнение:

$1.5v = 1.25(v + 10)$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти первоначальную скорость $v$. Раскроем скобки в правой части:

$1.5v = 1.25v + 1.25 \cdot 10$

$1.5v = 1.25v + 12.5$

Перенесем все члены с переменной $v$ в левую часть уравнения:

$1.5v - 1.25v = 12.5$

$0.25v = 12.5$

Найдем $v$, разделив обе части на 0.25:

$v = \frac{12.5}{0.25} = \frac{1250}{25} = 50$

Таким образом, первоначальная скорость машины равна 50 км/ч.

Теперь, зная скорость, можем найти расстояние до дачи. Для этого подставим найденное значение $v$ в формулу для первого случая:

$S = 1.5 \cdot v = 1.5 \cdot 50 = 75$ км.

Для проверки можно рассчитать расстояние и для второго случая: скорость $v + 10 = 50 + 10 = 60$ км/ч.

$S = 1.25 \cdot 60 = 75$ км.

Результаты совпадают, следовательно, задача решена верно.

Ответ: скорость машины 50 км/ч, расстояние до дачи 75 км.

5.105. На одной полке в 1,5 раза больше книг, чем на другой. Со второй полки переставили на первую 5 книг, и на второй стало в 2 раза меньше книг, чем на первой. Сколько книг было на каждой полке первоначально?

5.105

Пусть х книг – было на второй полке, тогда 1,5х книг – было на первой полке, (х – 5) книг – стало на второй полке, (1,5х + 5) книг – стало на первой полке. Зная, что на второй полке стало книг в 2 раза меньше, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} 2(х – 5) = 1,5х + 5; \\ 2х – 10 = 1,5х + 5; \\ 2х – 1,5х = 5 + 10; \\ 0,5х = 15; \\ х = 15 : 0,5; \\ х = 150 : 5; \end{gathered}$$

х = 30 книг – было на второй полке ;

1) 1,5 • 30 = 45 книг – было на первой полке.

Ответ: 45 книг и 30 книг.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это первоначальное количество книг на второй полке.

Согласно условию, на первой полке было в 1,5 раза больше книг, чем на другой. Следовательно, на первой полке было $1,5x$ книг.

Далее, со второй полки переставили на первую 5 книг. Это означает, что количество книг на второй полке уменьшилось на 5, а на первой — увеличилось на 5.

Новое количество книг на второй полке: $x - 5$.

Новое количество книг на первой полке: $1,5x + 5$.

После этого изменения на второй полке стало в 2 раза меньше книг, чем на первой. Это равносильно тому, что на первой полке стало в 2 раза больше книг, чем на второй. На основе этого составим уравнение:

$1,5x + 5 = 2 \cdot (x - 5)$

Теперь решим это уравнение. Сначала раскроем скобки в правой части:

$1,5x + 5 = 2x - 10$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в правую часть, а числовые слагаемые — в левую:

$5 + 10 = 2x - 1,5x$

Упростим обе части уравнения:

$15 = 0,5x$

Найдем $x$:

$x = \frac{15}{0,5} = 30$

Итак, мы нашли, что первоначально на второй полке было 30 книг.

Теперь найдем первоначальное количество книг на первой полке:

$1,5 \cdot x = 1,5 \cdot 30 = 45$ книг.

Ответ: первоначально на первой полке было 45 книг, а на второй — 30 книг.

5.106. Туристы отправились в трёхдневный поход. В первый день они прошли 511 всего пути, во второй день – 23 оставшегося пути, а в третий день – последние 10 км. Найдите длину туристического маршрута.

5.106

$1 - \frac{5}{11} = \frac{6}{11}$ пути – осталось пройти после первого дня;

Пусть х км – длина всего пути, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{5}{11} х + \frac{2}{3} · \frac{6}{11} х + 10 = х; \overline{)·11} \\ \frac{5}{11} х ·11 + \frac{2}{3} · \frac{6}{11} х ·11 + 10 ·11 = х ·11; \\ \frac{5}{\cancel{11}} х ·\cancel{11} + \frac{2}{{\displaystyle \underset{1}{\sout{3}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\sout{6}}}}{\bcancel{11}} х ·\bcancel{11} + 110= 11х; \\ 5х + 4х + 110 = 11х; \\ 9х – 11х = - 110; \\ - 2х = - 110; \\ х = -110 : (-2); \end{gathered}$$

х = 55 (км)-длина маршрута

Ответ:55 км.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ км — это общая длина всего туристического маршрута.

1. Найдем расстояние, пройденное в первый день.
В первый день туристы прошли $\frac{5}{11}$ всего пути. В виде выражения это будет:
$\frac{5}{11}x$ км.

2. Найдем оставшуюся часть пути после первого дня.
Чтобы найти, сколько осталось пройти, вычтем из всего пути расстояние, пройденное в первый день:
$x - \frac{5}{11}x = \frac{11}{11}x - \frac{5}{11}x = \frac{6}{11}x$ км.

3. Найдем расстояние, пройденное во второй день.
Во второй день туристы прошли $\frac{2}{3}$ от оставшегося пути. Вычислим это расстояние:
$\frac{2}{3} \cdot (\frac{6}{11}x) = \frac{2 \cdot 6}{3 \cdot 11}x = \frac{12}{33}x = \frac{4}{11}x$ км.

4. Найдем, какая часть пути осталась на третий день.
Путь, пройденный в третий день, — это остаток после второго дня. Его можно найти, если из остатка после первого дня вычесть путь, пройденный во второй день:
$\frac{6}{11}x - \frac{4}{11}x = \frac{2}{11}x$ км.
Также можно рассуждать по-другому: если во второй день прошли $\frac{2}{3}$ остатка, то на третий день оставалось пройти $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ этого же остатка.
$\frac{1}{3} \cdot (\frac{6}{11}x) = \frac{6}{33}x = \frac{2}{11}x$ км.

5. Составим и решим уравнение.
Из условия известно, что в третий день туристы прошли 10 км. Мы выяснили, что это составляет $\frac{2}{11}$ всего маршрута. Приравняем эти значения:
$\frac{2}{11}x = 10$
Теперь найдем $x$ (весь путь), решив это уравнение:
$x = 10 : \frac{2}{11}$
$x = 10 \cdot \frac{11}{2}$
$x = \frac{110}{2}$
$x = 55$ км.

Ответ: 55 км.

5.107. Краску перелили из бочки в 3 бидона. В первый бидон вошло 310 всей краски, во второй – 12 всей краски. Сколько краски было в бочке, если в третьем бидоне – на 6 л меньше краски, чем в первом?

5.107

Пусть х л – краски в бочке, тогда $\frac{3}{10}х$ л - краски в первом бидоне, $\frac{1}{2}х$ л-краски во втором бидоне, $\left(\frac{3}{10}х - 6\right)$ л - в третьем бидоне. Составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{3}{10} х + \frac{1}{2}х + \left(\frac{3}{10}х -6\right) =х; \\ \frac{3}{10}х + \frac{1}{2}х + \frac{3}{10}х - 6 = х; \\ \frac{3}{10}х + {\frac{1}{2}}^{·5} х + \frac{3}{10}х - х =6; \\ \frac{3}{10}х + \frac{5}{10} х + \frac{3}{10}х - х =6; \\ \frac{11}{10}х - х = 6; \\ 1\frac{1}{10}х - х = 6; \\ \frac{1}{10}х = 6; \\ х = 6 : \frac{1}{10}; \\ х = 6 · 10; \end{gathered}$$

х = 60 (л) - было в бочке.

Ответ: 60 л

Для решения задачи обозначим общее количество краски в бочке за $x$ литров. Это искомая величина.

1. Найдем, какая часть краски осталась для третьего бидона.

Вся краска, которую мы принимаем за 1 (целое), была распределена по трем бидонам. В первый бидон вошло $\frac{3}{10}$ всей краски, а во второй — $\frac{1}{2}$ всей краски. Чтобы найти, какая часть краски вошла в третий бидон, нужно из целого вычесть части, вошедшие в первый и второй бидоны.

Сначала сложим части краски в первом и втором бидонах, приведя дроби к общему знаменателю 10:

$\frac{3}{10} + \frac{1}{2} = \frac{3}{10} + \frac{5}{10} = \frac{8}{10}$

Теперь вычтем эту сумму из единицы, чтобы найти долю третьего бидона:

$1 - \frac{8}{10} = \frac{10}{10} - \frac{8}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Таким образом, в третий бидон вошло $\frac{1}{5}$ всей краски.

2. Составим уравнение на основе разницы в количестве краски.

Мы знаем, что в третьем бидоне на 6 литров краски меньше, чем в первом. Это означает, что разница между количеством краски в первом и третьем бидонах составляет 6 литров.

Количество краски в первом бидоне: $\frac{3}{10}x$ л.

Количество краски в третьем бидоне: $\frac{1}{5}x$ л.

Составим уравнение, выражающее эту разницу:

$\frac{3}{10}x - \frac{1}{5}x = 6$

3. Решим уравнение.

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю 10:

$\frac{3}{10}x - \frac{2}{10}x = 6$

$\frac{1}{10}x = 6$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 10:

$x = 6 \cdot 10$

$x = 60$

Следовательно, в бочке было 60 литров краски.

Проверка:

Количество краски в первом бидоне: $\frac{3}{10} \cdot 60 = 18$ л.

Количество краски во втором бидоне: $\frac{1}{2} \cdot 60 = 30$ л.

Количество краски в третьем бидоне: $18 \text{ л} - 6 \text{ л} = 12$ л.

Суммарное количество краски: $18 + 30 + 12 = 60$ л. Все верно.

Ответ: в бочке было 60 л краски.