Страница 97, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.390. а) Было собрано 180 кг яблок. На приготовление сока израсходовали 712 всех яблок, а остальные яблоки оставили в свежем виде на зиму. Сколько килограммов яблок было оставлено на зиму?

б) В саду посажены 24 куста чёрной и красной смородины. Красная смородина составила 0,25 всех кустов. Сколько кустов чёрной смородины было посажено в саду?

2.390

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }180 · \frac{7}{12}=\frac{{\displaystyle \stackrel{15}{\cancel{180}}} · 7 }{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{12}}}}=\frac{15 · 7}{1} = 105$(кг)-на сок;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }180-105=75$(кг)-оставили на зиму.

Ответ: 75 кг.

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }24 · 0,25 = 6$(к.) – красной смородины;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }24 – 6 = 18$(к.) – чёрной смородины.

Ответ: 18 кустов чёрной смородины.

а) Для решения этой задачи можно использовать два способа.

Способ 1:

1. Сначала найдем, сколько килограммов яблок израсходовали на приготовление сока. Для этого умножим общее количество яблок на долю, которая пошла на сок:

$180 \text{ кг} \times \frac{7}{12} = \frac{180 \times 7}{12} = 15 \times 7 = 105 \text{ кг}$

2. Теперь вычтем из общего количества яблок то количество, которое израсходовали на сок, чтобы найти, сколько осталось на зиму:

$180 \text{ кг} - 105 \text{ кг} = 75 \text{ кг}$

Способ 2:

1. Сначала определим, какая часть яблок осталась на зиму. Если все яблоки – это 1 (или $\frac{12}{12}$), а на сок ушло $\frac{7}{12}$, то осталось:

$1 - \frac{7}{12} = \frac{12}{12} - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$

2. Теперь найдем, сколько килограммов составляет эта часть от общего количества яблок:

$180 \text{ кг} \times \frac{5}{12} = \frac{180 \times 5}{12} = 15 \times 5 = 75 \text{ кг}$

Ответ: 75 кг

б) Эту задачу также можно решить двумя способами.

Способ 1:

1. Найдем количество кустов красной смородины. Для этого общее число кустов умножим на долю красной смородины (0,25 это то же самое, что $\frac{1}{4}$):

$24 \times 0,25 = 24 \times \frac{1}{4} = 6 \text{ кустов}$

2. Теперь вычтем из общего количества кустов количество кустов красной смородины, чтобы найти количество кустов чёрной смородины:

$24 - 6 = 18 \text{ кустов}$

Способ 2:

1. Определим, какую долю от всех кустов составляет чёрная смородина. Если все кусты – это 1, а доля красной смородины – 0,25, то доля чёрной смородины равна:

$1 - 0,25 = 0,75$

2. Теперь найдем количество кустов чёрной смородины, умножив общее количество кустов на её долю:

$24 \times 0,75 = 18 \text{ кустов}$

Ответ: 18 кустов

2.391. В библиотеке 2450 книг. Книги для детей составляют 0,4 всех книг. Сколько книг для детей в библиотеке? Сколько в библиотеке книг для взрослых?

2.391

1) 2450 ∙ 0,4 = 980 (книг) – для детей;

2) 2450 – 980 = 1470 (книг) – для взрослых.

Ответ: 1470 книг.

Сколько книг для детей в библиотеке?

Чтобы найти количество книг для детей, необходимо общее количество книг в библиотеке умножить на долю, которую составляют детские книги. Общее количество книг равно 2450, а доля детских книг — 0,4.

Выполним вычисление:

$2450 \cdot 0,4 = 980$ (книг)

Ответ: в библиотеке 980 книг для детей.

Сколько в библиотеке книг для взрослых?

Чтобы найти количество книг для взрослых, нужно из общего количества книг вычесть количество книг для детей, которое мы нашли в предыдущем пункте.

Выполним вычисление:

$2450 - 980 = 1470$ (книг)

Альтернативный способ:

Сначала можно найти долю книг для взрослых. Если все книги — это 1, а доля детских книг — 0,4, то доля книг для взрослых составит:

$1 - 0,4 = 0,6$

Теперь умножим общее количество книг на найденную долю книг для взрослых:

$2450 \cdot 0,6 = 1470$ (книг)

Ответ: в библиотеке 1470 книг для взрослых.

2.392. В субботу Катя прочитала 49 всей книги, причём до обеда она прочитала 35 прочитанного за субботу. Какую часть книги прочитала Катя до обеда в субботу?

2.392

$\frac{4}{9} · \frac{3}{5} = \frac{4 · {\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{3}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{9}}} · 5} = \frac{4 · 1}{3 · 5}=\frac{4}{15}$(части)-до обеда.

Ответ: $\frac{4}{15}$ части.

Чтобы найти, какую часть всей книги Катя прочитала до обеда в субботу, необходимо найти долю от уже известной части.

Из условия задачи мы знаем, что за всю субботу Катя прочитала $ \frac{4}{9} $ всей книги.

Часть, прочитанная до обеда, составляет $ \frac{3}{5} $ от прочитанного за всю субботу. Чтобы найти эту часть от всей книги, нужно умножить долю, прочитанную за субботу, на долю, прочитанную до обеда:

$ \frac{4}{9} \times \frac{3}{5} $

Для умножения дробей перемножаем их числители и знаменатели:

$ \frac{4 \times 3}{9 \times 5} = \frac{12}{45} $

Теперь необходимо сократить полученную дробь. Наибольший общий делитель для числителя 12 и знаменателя 45 равен 3. Разделим числитель и знаменатель на 3:

$ \frac{12 \div 3}{45 \div 3} = \frac{4}{15} $

Следовательно, до обеда в субботу Катя прочитала $ \frac{4}{15} $ всей книги.

Ответ: $ \frac{4}{15} $

2.393. Музыкальный телевизионный конкурс проходил в три этапа. По результатам первого этапа 40 % участников не прошли на второй этап, а по результатам второго этапа 75 % оставшихся участников не попали на третий этап. Сколько процентов участников конкурса состязалось на третьем этапе?

2.393

1 этап – 40 % не прошли;

2 этап - ?, 75% оставшихся не прошли;

3 этап - ?.

1) 100% – 40% = 60% (уч.) – прошли на второй этап;

60% = 0,6; 75% = 0,75.

2) 0,75 • 0,6 = 0,45 •100% = 45% (уч.) – не попали на третий этап;

3) 60% – 45% = 15% (уч.) – состязались на третьем этапе.

Ответ: 15% участников.

Примем общее количество участников конкурса за 100%. Решение задачи сводится к последовательному вычислению процента участников, проходящих в следующий этап.

1. Определение процента участников, прошедших во второй этап.
По условию, после первого этапа отсеялось 40% всех участников. Следовательно, количество участников, прошедших во второй этап, составляет:
$100\% - 40\% = 60\%$
Таким образом, во втором этапе участвовало 60% от первоначального числа конкурсантов.

2. Определение процента участников, прошедших в третий этап.
На втором этапе отсеялось 75% от оставшихся участников, то есть 75% от тех 60%, которые прошли во второй этап.
Это означает, что в третий этап прошло $100\% - 75\% = 25\%$ от числа участников второго этапа.
Чтобы найти, какой это процент от первоначального числа участников, нужно вычислить 25% от 60%. Для этого переведем проценты в десятичные дроби и перемножим их:
$0.25 \times 60\% = 15\%$
Значит, в третий этап прошло 15% от общего первоначального числа участников.

Ответ: 15% участников конкурса состязалось на третьем этапе.

2.394. Со склада выдали в первый раз для штукатурки стен 49 имеющейся сухой смеси, а во второй раз — 0,4 оставшейся смеси. Сколько килограммов смеси выдали во второй раз, если на складе первоначально было 4500 кг?

2.394

$\mathbf{1}\mathbf{)} 4500 · \frac{4}{9} = \frac{{\displaystyle \stackrel{500}{\cancel{4500}}} · 4 }{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{9}}}} = 500 · 4 = 2000$ (кг)-выдали в первый раз; 

$\mathbf{2}\mathbf{)} 4500-2000=2500$(кг)-остаток;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 2500 · 0,4=1000$(кг)-выдали во второй раз .

Ответ: 1000 кг.

Для решения этой задачи нужно последовательно выполнить несколько шагов.

1. Найдем массу смеси, которую выдали со склада в первый раз.
В первый раз выдали $\frac{4}{9}$ от общего количества смеси, которое составляло 4500 кг. Чтобы найти дробь от числа, нужно это число умножить на дробь.
$4500 \cdot \frac{4}{9} = \frac{4500 \cdot 4}{9} = 500 \cdot 4 = 2000$ кг.

2. Найдем массу смеси, которая осталась на складе после первой выдачи.
Для этого из первоначальной массы смеси вычтем массу, которую выдали в первый раз.
$4500 - 2000 = 2500$ кг.

3. Найдем массу смеси, которую выдали со склада во второй раз.
Во второй раз выдали 0,4 от оставшейся смеси. Мы уже знаем, что осталось 2500 кг. Чтобы найти десятичную дробь от числа, нужно это число умножить на эту дробь.
$2500 \cdot 0,4 = 1000$ кг.

Ответ: во второй раз выдали 1000 кг смеси.

2.395. Выполните действия:

а) 2735 · 79 – 924 · 645;
б) 14144 · 1117 – 2740 · 518;
в) 12110 · 2411 + 22431 · 734;
г) 1327 – 558 · (129 – 3945);
д) (35)³;
е) (78)².

2.395

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} \frac{27}{35}\stackrel{1}{·} \frac{7}{9} \stackrel{3}{-} \frac{9}{24} \stackrel{2}{·} \frac{6}{45} = \frac{11}{20} \\ 1) \frac{27}{35}· \frac{7}{9} = \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{27}}} · {\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{7}}} }{{\displaystyle \underset{5}{\bcancel{35}}} ·{\displaystyle \underset{1}{\cancel{ 9}}}} = \frac{3 · 1}{5 · 1}=\frac{3}{5}; \\ 2) \frac{9}{24} · \frac{6}{45} = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{9}}} · {\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{6}}} }{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{24}}} · {\displaystyle \underset{5}{\bcancel{45}}}} = \frac{1 · 1}{4 · 5} = \frac{1}{20}; \\ 3) {\frac{3}{5}}^{\overline{)·4}} - \frac{1}{20}=\frac{12}{20} - \frac{1}{20}=\frac{11}{20} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 1\frac{41}{44} \stackrel{1}{·} \frac{11}{17} \stackrel{3}{-} \frac{27}{40} \stackrel{2}{·} \frac{5}{18}=1\frac{1}{16} \\ 1) 1\frac{41}{44} · \frac{11}{17} = \frac{85}{44} · \frac{11}{17} = \frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{85}}} · {\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{11}}}}{{\displaystyle \underset{4}{\bcancel{44}}} · {\displaystyle \underset{1}{\cancel{17}}}}= \\ =\frac{5 · 1}{4 · 1}=\frac{5}{4}; \\ 2) \frac{27}{40} · \frac{5}{18} =\frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{27}}} · {\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{8}{\bcancel{40}}} · {\displaystyle \underset{2}{\cancel{18}}}}=\frac{3 · 1}{8 · 2}=\frac{3}{16}; \\ 3) {\frac{5}{4}}^{\overline{)·4}} - \frac{3}{16}=\frac{20}{16} -\frac{3}{16} =\frac{17}{16}=1\frac{1}{16}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} 12\frac{1}{10} \stackrel{1}{·} 2\frac{4}{11}\stackrel{3}{+}2\frac{24}{31} \stackrel{2}{·} 7\frac{3}{4}=50\frac{1}{10}. \\ 1) 12\frac{1}{10} · 2\frac{4}{11} = \frac{121}{10} ·\frac{26}{11}=\frac{{\displaystyle \stackrel{11}{\bcancel{121}}} · {\displaystyle \stackrel{13}{\cancel{26}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{10}}} · {\displaystyle \underset{1}{\bcancel{11}}}}= \\ =\frac{11 · 13}{5 · 1}=\frac{143}{5}=28\frac{3}{5}; \\ 2) 2\frac{24}{31} · 7\frac{3}{4} = \frac{86}{31} ·\frac{31}{4} = \frac{{\displaystyle \stackrel{43}{\cancel{86}}} · \bcancel{31}}{\bcancel{31} · {\displaystyle \underset{2}{\cancel{4}}}}= \\ =\frac{43 · 1}{1 · 2}=\frac{43}{2}=21\frac{1}{2}; \\ 3) {28\frac{3}{5}}^{\overline{)·2}} + {21\frac{1}{2}}^{\overline{)·5}}=28\frac{6}{10}+21\frac{5}{10}= \\ =49\frac{11}{10}=49 + 1\frac{1}{10}=50\frac{1}{10}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} 13\frac{2}{7} \stackrel{3}{-} 5\frac{5}{8} \stackrel{2}{·} \left(1\frac{2}{9} \stackrel{1}{-}\frac{39}{45}\right)=11\frac{2}{7} \\ 1){ 1\frac{2}{9}}^{\overline{)·5}} -\frac{39}{45}=1\frac{10}{45}-\frac{39}{45}=\frac{55}{45}-\frac{39}{45}=\frac{16}{45}; \\ 2) 5\frac{5}{8} · \frac{16}{45}=\frac{45}{8} · \frac{16}{45}=\frac{\cancel{45} · {\displaystyle \stackrel{2}{\bcancel{16}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{8}}} · \cancel{45}}= \\ =\frac{1 · 2}{1 · 1}=2; \\ 3) 13\frac{2}{7} - 2 = 11\frac{2}{7}. \end{gathered}$$

$\mathit{д}\mathbf{)} {\left(\frac{3}{5}\right)}^3=\frac{3}{5} · \frac{3}{5} · \frac{3}{5} =\frac{27}{125};$

$\mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }{\left(\frac{7}{8}\right)}^2=\frac{7}{8} · \frac{7}{8} = \frac{49}{64}.$

а) $\frac{27}{35} \cdot \frac{7}{9} - \frac{9}{24} \cdot \frac{6}{45}$

1. Выполним первое умножение, предварительно сократив дроби:

$\frac{27}{35} \cdot \frac{7}{9} = \frac{27 \cdot 7}{35 \cdot 9} = \frac{3 \cdot 9 \cdot 7}{5 \cdot 7 \cdot 9} = \frac{3}{5}$

2. Выполним второе умножение, также сократив дроби:

$\frac{9}{24} \cdot \frac{6}{45} = \frac{9 \cdot 6}{24 \cdot 45} = \frac{9 \cdot 6}{4 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 9} = \frac{1}{4 \cdot 5} = \frac{1}{20}$

3. Выполним вычитание, приведя дроби к общему знаменателю 20:

$\frac{3}{5} - \frac{1}{20} = \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{1}{20} = \frac{12}{20} - \frac{1}{20} = \frac{11}{20}$

Ответ: $\frac{11}{20}$

б) $1\frac{41}{44} \cdot \frac{11}{17} - \frac{27}{40} \cdot \frac{5}{18}$

1. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$1\frac{41}{44} = \frac{1 \cdot 44 + 41}{44} = \frac{85}{44}$

2. Выполним первое умножение:

$\frac{85}{44} \cdot \frac{11}{17} = \frac{85 \cdot 11}{44 \cdot 17} = \frac{5 \cdot 17 \cdot 11}{4 \cdot 11 \cdot 17} = \frac{5}{4}$

3. Выполним второе умножение:

$\frac{27}{40} \cdot \frac{5}{18} = \frac{27 \cdot 5}{40 \cdot 18} = \frac{3 \cdot 9 \cdot 5}{8 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 9} = \frac{3}{16}$

4. Выполним вычитание, приведя дроби к общему знаменателю 16:

$\frac{5}{4} - \frac{3}{16} = \frac{5 \cdot 4}{4 \cdot 4} - \frac{3}{16} = \frac{20}{16} - \frac{3}{16} = \frac{17}{16}$

5. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{17}{16} = 1\frac{1}{16}$

Ответ: $1\frac{1}{16}$

в) $12\frac{1}{10} \cdot 2\frac{4}{11} + 2\frac{24}{31} \cdot 7\frac{3}{4}$

1. Преобразуем все смешанные числа в неправильные дроби:

$12\frac{1}{10} = \frac{121}{10}$; $2\frac{4}{11} = \frac{26}{11}$; $2\frac{24}{31} = \frac{2 \cdot 31 + 24}{31} = \frac{86}{31}$; $7\frac{3}{4} = \frac{31}{4}$

2. Выполним первое умножение:

$\frac{121}{10} \cdot \frac{26}{11} = \frac{121 \cdot 26}{10 \cdot 11} = \frac{11 \cdot 11 \cdot 2 \cdot 13}{5 \cdot 2 \cdot 11} = \frac{11 \cdot 13}{5} = \frac{143}{5}$

3. Выполним второе умножение:

$\frac{86}{31} \cdot \frac{31}{4} = \frac{86 \cdot 31}{31 \cdot 4} = \frac{43 \cdot 2 \cdot 31}{31 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{43}{2}$

4. Выполним сложение, приведя дроби к общему знаменателю 10:

$\frac{143}{5} + \frac{43}{2} = \frac{143 \cdot 2}{10} + \frac{43 \cdot 5}{10} = \frac{286 + 215}{10} = \frac{501}{10}$

5. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{501}{10} = 50\frac{1}{10}$

Ответ: $50\frac{1}{10}$

г) $13\frac{2}{7} - 5\frac{5}{8} \cdot (1\frac{2}{9} - \frac{39}{45})$

1. Выполним действие в скобках. Сначала упростим дробь $\frac{39}{45}$, разделив числитель и знаменатель на 3: $\frac{39 \div 3}{45 \div 3} = \frac{13}{15}$.

2. Преобразуем $1\frac{2}{9}$ в неправильную дробь: $1\frac{2}{9} = \frac{11}{9}$.

3. Выполним вычитание в скобках, приведя к общему знаменателю 45:

$\frac{11}{9} - \frac{13}{15} = \frac{11 \cdot 5}{9 \cdot 5} - \frac{13 \cdot 3}{15 \cdot 3} = \frac{55}{45} - \frac{39}{45} = \frac{16}{45}$

4. Выполним умножение. Преобразуем $5\frac{5}{8}$ в неправильную дробь: $5\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 8 + 5}{8} = \frac{45}{8}$.

$ \frac{45}{8} \cdot \frac{16}{45} = \frac{45 \cdot 16}{8 \cdot 45} = \frac{16}{8} = 2 $

5. Выполним вычитание:

$13\frac{2}{7} - 2 = 11\frac{2}{7}$

Ответ: $11\frac{2}{7}$

д) $(\frac{3}{5})^3$

Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель:

$(\frac{3}{5})^3 = \frac{3^3}{5^3} = \frac{3 \cdot 3 \cdot 3}{5 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{27}{125}$

Ответ: $\frac{27}{125}$

е) $(\frac{7}{8})^2$

Возводим в квадрат числитель и знаменатель:

$(\frac{7}{8})^2 = \frac{7^2}{8^2} = \frac{7 \cdot 7}{8 \cdot 8} = \frac{49}{64}$

Ответ: $\frac{49}{64}$

2.396. Вычислите:

1) (4,51 : 1,1 + 5,3) · (8,4 – 10,23 : 3,1);
2) (4,05 : 2,7 – 1,2) · (2,5 + 8,37 : 2,7).

2.396

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }(4,51 \stackrel{1}{:} 1,1 \stackrel{2}{+} 5,3) \stackrel{5}{·} (8,4 \stackrel{4}{–} 10,23 \stackrel{3}{: }3,1) = 47,94$

1.	2.
3.	4.
5.

$\mathbf{2}\mathbf{)} (4,05\stackrel{1}{ :} 2,7 \stackrel{2}{–} 1,2) \stackrel{5}{·} (2,5 \stackrel{4}{+} 8,37 \stackrel{3}{:} 2,7) = 1,68$

1.	2.
3.	4.
5.

1) $(4,51 : 1,1 + 5,3) \cdot (8,4 - 10,23 : 3,1)$
Решим по действиям. Сначала выполняем действия в скобках. Внутри скобок сначала выполняем деление, а затем сложение или вычитание.
1. Вычислим значение в первой скобке:
$4,51 : 1,1 = 45,1 : 11 = 4,1$
$4,1 + 5,3 = 9,4$
2. Вычислим значение во второй скобке:
$10,23 : 3,1 = 102,3 : 31 = 3,3$
$8,4 - 3,3 = 5,1$
3. Теперь умножим результаты, полученные в скобках:
$9,4 \cdot 5,1 = 47,94$
Ответ: 47,94

2) $(4,05 : 2,7 - 1,2) \cdot (2,5 + 8,37 : 2,7)$
Решим по действиям, соблюдая порядок операций.
1. Вычислим значение в первой скобке:
$4,05 : 2,7 = 40,5 : 27 = 1,5$
$1,5 - 1,2 = 0,3$
2. Вычислим значение во второй скобке:
$8,37 : 2,7 = 83,7 : 27 = 3,1$
$2,5 + 3,1 = 5,6$
3. Теперь умножим результаты, полученные в скобках:
$0,3 \cdot 5,6 = 1,68$
Ответ: 1,68

2.397. Найдите произведение:

а) 8415 · 2 ; б) 3914 · 7; в) 7427 · 5; г) 8 · 218; д) 556 · 3; е) 7711 · 11.

2.397

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 8\frac{4}{15} · 2 = \left(8 + \frac{4}{15}\right) · 2 = 8 · 2 + \\ + \frac{4}{15} ·2 = 16 + \frac{8}{15}=16\frac{8}{15}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }3\frac{9}{14} · 7 = \left(3 + \frac{9}{14}\right) · 7 = 3 · 7 + \\ + \frac{9}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{14}}}} · \stackrel{1}{\cancel{7}} = 21 + \frac{9}{2}=21 + 4\frac{1}{2}=25\frac{1}{2}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} 7\frac{4}{27} · 5 = \left(7 + \frac{4}{27}\right) · 5 =7 · 5 + \\ + \frac{4}{27} · 5 = 35 + \frac{20}{27}=35\frac{20}{27}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} 8 · 2\frac{1}{8} = 8 · \left(2 + \frac{1}{8}\right) = 8 · 2 + 8 · \frac{1}{8}= \\ =16 + 1 = 17; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)} 7\frac{7}{11} · 11 = \left(7 + \frac{7}{11}\right) · 11 = 7 · 11 + \\ + \frac{7}{11} · 11 = 77 + 7 = 84. \end{gathered}$$

а) Чтобы найти произведение смешанного числа на целое число, необходимо сначала перевести смешанное число в неправильную дробь. Целая часть умножается на знаменатель, и к результату прибавляется числитель. Знаменатель остается прежним. $8\frac{4}{15} = \frac{8 \cdot 15 + 4}{15} = \frac{120 + 4}{15} = \frac{124}{15}$. Теперь умножим полученную дробь на целое число 2. Для этого числитель дроби умножаем на это число, а знаменатель оставляем без изменений. $ \frac{124}{15} \cdot 2 = \frac{124 \cdot 2}{15} = \frac{248}{15}$. Так как получилась неправильная дробь (числитель больше знаменателя), выделим из нее целую часть, разделив числитель на знаменатель с остатком. $248 \div 15 = 16$ (остаток $8$). Результат записываем в виде смешанного числа. $\frac{248}{15} = 16\frac{8}{15}$. Ответ: $16\frac{8}{15}$.

б) Переведем смешанное число $3\frac{9}{14}$ в неправильную дробь: $3\frac{9}{14} = \frac{3 \cdot 14 + 9}{14} = \frac{42 + 9}{14} = \frac{51}{14}$. Умножим полученную дробь на 7. Перед умножением можно сократить числитель и знаменатель на их общий делитель. В данном случае, 7 и 14 делятся на 7. $\frac{51}{14} \cdot 7 = \frac{51 \cdot 7}{14} = \frac{51 \cdot \cancel{7}^1}{\cancel{14}^2} = \frac{51}{2}$. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $51 \div 2 = 25$ (остаток $1$). $\frac{51}{2} = 25\frac{1}{2}$. Ответ: $25\frac{1}{2}$.

в) Переведем смешанное число $7\frac{4}{27}$ в неправильную дробь: $7\frac{4}{27} = \frac{7 \cdot 27 + 4}{27} = \frac{189 + 4}{27} = \frac{193}{27}$. Умножим полученную дробь на 5: $\frac{193}{27} \cdot 5 = \frac{193 \cdot 5}{27} = \frac{965}{27}$. Выделим целую часть из дроби $\frac{965}{27}$: $965 \div 27 = 35$ (остаток $20$). Таким образом, получаем смешанное число: $\frac{965}{27} = 35\frac{20}{27}$. Ответ: $35\frac{20}{27}$.

г) Сначала представим смешанное число $2\frac{1}{8}$ в виде неправильной дроби: $2\frac{1}{8} = \frac{2 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{16 + 1}{8} = \frac{17}{8}$. Теперь умножим целое число 8 на полученную дробь. $8 \cdot \frac{17}{8} = \frac{8 \cdot 17}{8}$. Сократим множитель 8 в числителе и знаменатель 8: $\frac{\cancel{8}^1 \cdot 17}{\cancel{8}^1} = 17$. Ответ: $17$.

д) Переведем смешанное число $5\frac{5}{6}$ в неправильную дробь: $5\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{30 + 5}{6} = \frac{35}{6}$. Умножим полученную дробь на 3 и выполним сокращение (3 и 6 делятся на 3): $\frac{35}{6} \cdot 3 = \frac{35 \cdot 3}{6} = \frac{35 \cdot \cancel{3}^1}{\cancel{6}^2} = \frac{35}{2}$. Преобразуем неправильную дробь $\frac{35}{2}$ в смешанное число: $35 \div 2 = 17$ (остаток $1$). $\frac{35}{2} = 17\frac{1}{2}$. Ответ: $17\frac{1}{2}$.

е) Переведем смешанное число $7\frac{7}{11}$ в неправильную дробь: $7\frac{7}{11} = \frac{7 \cdot 11 + 7}{11} = \frac{77 + 7}{11} = \frac{84}{11}$. Умножим полученную дробь на 11 и сократим: $\frac{84}{11} \cdot 11 = \frac{84 \cdot \cancel{11}^1}{\cancel{11}^1} = 84$. Ответ: $84$.

2.398. Вычислите:

а) (434 – 3112) · 4; б) (51419 – 5138) · 38; в) 7419 · 614 + 41519 · 614; г) 3114 · 17729 – 3114 · 3729 ; д) (112 + 2116) · 21011; е) 223 · (2116 – 178).

2.398

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} \left({4\frac{3}{4}}^{\overline{)·3}} - 3\frac{1}{12}\right) · 4 = \left(4\frac{9}{12} - 3\frac{1}{12}\right) · 4 = \\ =1\frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{8}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{12}}}} · 4 = 1\frac{2}{3} · 4 =\left(1 + \frac{2}{3}\right) · 4 = \\ =1 · 4 + \frac{2}{3} · 4= 4 + \frac{8}{3} = 4 + 2\frac{2}{3}=6\frac{2}{3}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} \left({5\frac{14}{19}}^{\overline{)·2}} - 5\frac{1}{38}\right) · 38= \left(5\frac{28}{38} - 5\frac{1}{38}\right) · 38= \\ =\frac{27}{38} · 38=27; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }7\frac{4}{19} · 6 \frac{1}{4} + 4\frac{15}{19} · 6 \frac{1}{4} = \left(7\frac{4}{19} + 4\frac{15}{19}\right)· 6 \frac{1}{4}= \\ =11\frac{19}{19} · 6 \frac{1}{4} = 12 · 6 \frac{1}{4}=12 · \left(6 + \frac{1}{4}\right)= \\ =12 · 6 + \stackrel{3}{\cancel{12}} · \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}}=72 + 3=75; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }3\frac{1}{14} · 17\frac{7}{29} - 3\frac{1}{14} · 3\frac{7}{29}= \\ =3\frac{1}{14} · \left(17\frac{7}{29} - 3\frac{7}{29}\right) = 3\frac{1}{14} ·14 = \\ =\left( 3 + \frac{1}{14}\right) ·14 =3 · 14 + \frac{1}{14} · 14 = 42 + 1 = 43. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }\left({1\frac{1}{2}}^{\overline{)·8}}+2\frac{1}{16}\right) · 2\frac{10}{11}=\left(1\frac{8}{16}+2\frac{1}{16}\right) · 2\frac{10}{11}= \\ =3 \frac{9}{16} · 2\frac{10}{11} = \frac{57}{16} · \frac{32}{11}=\frac{57 · {\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{32}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{16}}} · 11}= \\ =\frac{57 · 2}{1 · 11} = \frac{114}{11}=10\frac{4}{11}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }2\frac{2}{3} · \left(2\frac{1}{16} - {1\frac{7}{8}}^{\overline{)·2}}\right)=2\frac{2}{3} · \left(2\frac{1}{16} - 1\frac{14}{16}\right)= \\ = 2\frac{2}{3} · \left(1\frac{17}{16} - 1\frac{14}{16}\right)=2\frac{2}{3} · \frac{3}{16}= \\ = \frac{8}{3}· \frac{3}{16} = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{8}}} · \cancel{3}}{\cancel{3} · {\displaystyle \underset{2}{\bcancel{16}}}}= \frac{1 · 1}{1 · 2}=\frac{1}{2}. \end{gathered}$$

а) $(4\frac{3}{4} - 3\frac{1}{12}) \cdot 4$
Сначала выполним вычитание в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 12.
$4\frac{3}{4} = 4\frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = 4\frac{9}{12}$
Теперь выполним вычитание:
$4\frac{9}{12} - 3\frac{1}{12} = (4-3) + (\frac{9}{12} - \frac{1}{12}) = 1 + \frac{8}{12} = 1\frac{8}{12}$
Сократим дробную часть: $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$. В скобках получаем $1\frac{2}{3}$.
Теперь умножим результат на 4. Переведем смешанное число $1\frac{2}{3}$ в неправильную дробь:
$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$
Выполним умножение:
$\frac{5}{3} \cdot 4 = \frac{20}{3} = 6\frac{2}{3}$
Ответ: $6\frac{2}{3}$

б) $(5\frac{14}{19} - 5\frac{1}{38}) \cdot 38$
Выполним вычитание в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю 38.
$5\frac{14}{19} = 5\frac{14 \cdot 2}{19 \cdot 2} = 5\frac{28}{38}$
Теперь выполним вычитание:
$5\frac{28}{38} - 5\frac{1}{38} = (5-5) + (\frac{28}{38} - \frac{1}{38}) = 0 + \frac{27}{38} = \frac{27}{38}$
Теперь умножим результат на 38:
$\frac{27}{38} \cdot 38 = 27$
Ответ: $27$

в) $7\frac{4}{19} \cdot 6\frac{1}{4} + 4\frac{15}{19} \cdot 6\frac{1}{4}$
В этом выражении есть общий множитель $6\frac{1}{4}$. Воспользуемся распределительным свойством умножения $(a+b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$ и вынесем общий множитель за скобки:
$(7\frac{4}{19} + 4\frac{15}{19}) \cdot 6\frac{1}{4}$
Сложим числа в скобках:
$7\frac{4}{19} + 4\frac{15}{19} = (7+4) + (\frac{4}{19} + \frac{15}{19}) = 11 + \frac{19}{19} = 11 + 1 = 12$
Теперь умножим полученный результат на $6\frac{1}{4}$:
$12 \cdot 6\frac{1}{4} = 12 \cdot \frac{6 \cdot 4 + 1}{4} = 12 \cdot \frac{25}{4} = \frac{12 \cdot 25}{4} = 3 \cdot 25 = 75$
Ответ: $75$

г) $3\frac{1}{14} \cdot 17\frac{7}{29} - 3\frac{1}{14} \cdot 3\frac{7}{29}$
Здесь также есть общий множитель $3\frac{1}{14}$. Вынесем его за скобки, используя распределительное свойство $c \cdot (a-b) = c \cdot a - c \cdot b$:
$3\frac{1}{14} \cdot (17\frac{7}{29} - 3\frac{7}{29})$
Выполним вычитание в скобках:
$17\frac{7}{29} - 3\frac{7}{29} = (17-3) + (\frac{7}{29} - \frac{7}{29}) = 14 + 0 = 14$
Теперь умножим результат на $3\frac{1}{14}$:
$3\frac{1}{14} \cdot 14 = \frac{3 \cdot 14 + 1}{14} \cdot 14 = \frac{43}{14} \cdot 14 = 43$
Ответ: $43$

д) $(1\frac{1}{2} + 2\frac{1}{16}) \cdot 2\frac{10}{11}$
Сначала выполним сложение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю 16.
$1\frac{1}{2} = 1\frac{1 \cdot 8}{2 \cdot 8} = 1\frac{8}{16}$
$1\frac{8}{16} + 2\frac{1}{16} = (1+2) + (\frac{8}{16} + \frac{1}{16}) = 3 + \frac{9}{16} = 3\frac{9}{16}$
Теперь умножим результат на $2\frac{10}{11}$. Для этого переведем оба смешанных числа в неправильные дроби:
$3\frac{9}{16} = \frac{3 \cdot 16 + 9}{16} = \frac{48+9}{16} = \frac{57}{16}$
$2\frac{10}{11} = \frac{2 \cdot 11 + 10}{11} = \frac{22+10}{11} = \frac{32}{11}$
Выполним умножение дробей:
$\frac{57}{16} \cdot \frac{32}{11} = \frac{57 \cdot 32}{16 \cdot 11} = \frac{57 \cdot 2}{11} = \frac{114}{11}$
Переведем неправильную дробь обратно в смешанное число:
$\frac{114}{11} = 10\frac{4}{11}$
Ответ: $10\frac{4}{11}$

е) $2\frac{2}{3} \cdot (2\frac{1}{16} - 1\frac{7}{8})$
Сначала выполним вычитание в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю 16.
$1\frac{7}{8} = 1\frac{7 \cdot 2}{8 \cdot 2} = 1\frac{14}{16}$
Получаем выражение: $2\frac{1}{16} - 1\frac{14}{16}$. Так как дробная часть уменьшаемого ($\frac{1}{16}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{14}{16}$), нужно занять единицу у целой части уменьшаемого:
$2\frac{1}{16} = 1 + 1 + \frac{1}{16} = 1 + \frac{16}{16} + \frac{1}{16} = 1\frac{17}{16}$
Теперь вычитание выглядит так:
$1\frac{17}{16} - 1\frac{14}{16} = (1-1) + (\frac{17}{16} - \frac{14}{16}) = 0 + \frac{3}{16} = \frac{3}{16}$
Теперь умножим $2\frac{2}{3}$ на полученный результат. Переведем $2\frac{2}{3}$ в неправильную дробь:
$2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$
Выполним умножение:
$\frac{8}{3} \cdot \frac{3}{16} = \frac{8 \cdot 3}{3 \cdot 16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

2.399. Упростите и найдите значение выражения:

а) 47х + 514х при х = 514, 913;

б) 516y + y – 38y при y = 1115, 178;

в) 1742c – 27c + 718c при c = 312, 258;

г) 34n + 23n – 418n при n = 11323, 641.

2.399

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{4}{7}}^{\overline{)·2}}х + \frac{5}{14}х = \left(\frac{8}{14}+\frac{5}{14}\right)х =\frac{13}{14}х;$

при x = $5\frac{1}{4}$:

$$\begin{gathered} \frac{13}{14}х = \frac{13}{14}· 5\frac{1}{4} = \frac{13 ·{\displaystyle \stackrel{3}{ \cancel{21}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{14}}} · 4 }= \\ =\frac{13 · 3}{2 · 4 }= \frac{39}{8}=4\frac{7}{8}; \end{gathered}$$

при x = $\frac{9}{13}$:

$$\begin{gathered} \frac{13}{14}х = \frac{13}{14}· \frac{9}{13} = \frac{\cancel{13} ·{\displaystyle 9}}{{\displaystyle 14 ·\cancel{ 13} }}= \\ =\frac{1 · 9}{14 · 1 }= \frac{9}{14}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{5}{16}у + у - {\frac{3}{8}}^{\overline{)·2}}у = \left(\frac{5}{16} + \frac{16}{16} - \frac{6}{16}\right)у= \\ =\frac{15}{16}у; \end{gathered}$$

при у = $1\frac{1}{15}$:

$$\begin{gathered} \frac{15}{16}у = \frac{15}{16 }· 1\frac{1}{15}=\frac{15 · 16 }{16 · 15}= \\ =\frac{1 · 1}{1 · 1} = 1; \end{gathered}$$

при у = $1\frac{7}{8}$:

$$\begin{gathered} \frac{15}{16}у = \frac{15}{16 }· 1\frac{7}{8}=\frac{15 · 15 }{16 · 8}= \\ =\frac{225}{128} = 1\frac{97}{128}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{17}{42}}^{\overline{)·3}} с - {\frac{2}{7}}^{\overline{)·18}}с +{\frac{7}{18}}^{\overline{)·7}}с = \\ = \left(\frac{51}{126}-\frac{36}{126}+\frac{49}{126}\right) с =\frac{{\displaystyle \stackrel{32}{\cancel{64}}}}{{\displaystyle \underset{63}{\cancel{126}}}} с = \frac{32}{63} с \end{gathered}$$

при с = $3\frac{1}{2}$:

$$\begin{gathered} \frac{32}{63} с = \frac{32}{63} · 3\frac{1}{2} = \frac{{\displaystyle \stackrel{16}{\cancel{32}}} · {\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{7}}}}{{\displaystyle \underset{9}{\bcancel{63}}} · {\displaystyle \underset{1}{\cancel{2}}}} = \\ =\frac{16 · 1}{9 · 1} = \frac{16}{9}=1\frac{7}{9}; \end{gathered}$$

при с = $2\frac{5}{8}$:

$$\begin{gathered} \frac{32}{63} с = \frac{32}{63} · 2\frac{5}{8} = \frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\cancel{32}} · \stackrel{1}{\bcancel{21}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\bcancel{63}} · \underset{1}{\cancel{8}}}} = \\ =\frac{4 · 1}{3 · 1} = \frac{4}{3}=1\frac{1}{3}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} {\frac{3}{4}}^{\overline{)·9}}n +{\frac{2}{3}}^{\overline{)·12}}n -{\frac{4}{18}}^{\overline{)·2}}n = \\ =\left(\frac{27}{36} +\frac{24}{36}-\frac{8}{36}\right)n=\frac{43}{36}n \end{gathered}$$

при n = $1\frac{13}{23}$:

$\frac{43}{36}n = \frac{43}{36} · 1\frac{13}{23}=\frac{43 · \cancel{36}}{\cancel{36} · 23}=\frac{43}{23}=1\frac{20}{23};$

при n = $\frac{6}{41}$:

$\frac{43}{36}n = \frac{43}{36} · \frac{6}{41}=\frac{43 ·{\displaystyle \stackrel{1}{ \cancel{6}}}}{{\displaystyle \underset{6}{\cancel{36}}} · 41}=\frac{43}{246}.$

а) Сначала упростим выражение. Для этого вынесем общий множитель $x$ за скобки и сложим коэффициенты, приведя их к общему знаменателю 14.
$\frac{4}{7}x + \frac{5}{14}x = (\frac{4}{7} + \frac{5}{14})x = (\frac{4 \cdot 2}{7 \cdot 2} + \frac{5}{14})x = (\frac{8}{14} + \frac{5}{14})x = \frac{13}{14}x$.
Теперь подставим в упрощенное выражение заданные значения $x$.
1) При $x = 5\frac{1}{4}$. Переведем смешанное число в неправильную дробь: $5\frac{1}{4} = \frac{5 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{21}{4}$.
$\frac{13}{14} \cdot \frac{21}{4} = \frac{13 \cdot 21}{14 \cdot 4}$. Сократим 21 и 14 на 7: $\frac{13 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \frac{39}{8}$.
Выделим целую часть: $\frac{39}{8} = 4\frac{7}{8}$.
2) При $x = \frac{9}{13}$.
$\frac{13}{14} \cdot \frac{9}{13} = \frac{13 \cdot 9}{14 \cdot 13}$. Сократим на 13: $\frac{9}{14}$.
Ответ: при упрощении получается $\frac{13}{14}x$; при $x = 5\frac{1}{4}$ значение равно $4\frac{7}{8}$; при $x = \frac{9}{13}$ значение равно $\frac{9}{14}$.

б) Сначала упростим выражение. Вынесем $y$ за скобки, представим $y$ как $1y$ и приведем коэффициенты к общему знаменателю 16.
$\frac{5}{16}y + y - \frac{3}{8}y = (\frac{5}{16} + 1 - \frac{3}{8})y = (\frac{5}{16} + \frac{16}{16} - \frac{3 \cdot 2}{8 \cdot 2})y = (\frac{5 + 16 - 6}{16})y = \frac{15}{16}y$.
Теперь подставим в упрощенное выражение заданные значения $y$.
1) При $y = 1\frac{1}{15}$. Переведем в неправильную дробь: $1\frac{1}{15} = \frac{1 \cdot 15 + 1}{15} = \frac{16}{15}$.
$\frac{15}{16} \cdot \frac{16}{15} = 1$.
2) При $y = 1\frac{7}{8}$. Переведем в неправильную дробь: $1\frac{7}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 7}{8} = \frac{15}{8}$.
$\frac{15}{16} \cdot \frac{15}{8} = \frac{15 \cdot 15}{16 \cdot 8} = \frac{225}{128}$.
Выделим целую часть: $\frac{225}{128} = 1\frac{97}{128}$.
Ответ: при упрощении получается $\frac{15}{16}y$; при $y = 1\frac{1}{15}$ значение равно $1$; при $y = 1\frac{7}{8}$ значение равно $1\frac{97}{128}$.

в) Сначала упростим выражение. Найдем наименьший общий знаменатель для коэффициентов 42, 7 и 18. НОК(42, 7, 18) = 126.
$\frac{17}{42}c - \frac{2}{7}c + \frac{7}{18}c = (\frac{17 \cdot 3}{126} - \frac{2 \cdot 18}{126} + \frac{7 \cdot 7}{126})c = (\frac{51 - 36 + 49}{126})c = \frac{64}{126}c$.
Сократим полученный коэффициент: $\frac{64 \div 2}{126 \div 2}c = \frac{32}{63}c$.
Теперь подставим заданные значения $c$.
1) При $c = 3\frac{1}{2}$. Переведем в неправильную дробь: $3\frac{1}{2} = \frac{7}{2}$.
$\frac{32}{63} \cdot \frac{7}{2} = \frac{32 \cdot 7}{63 \cdot 2}$. Сократим 32 и 2 на 2, а 63 и 7 на 7: $\frac{16 \cdot 1}{9 \cdot 1} = \frac{16}{9} = 1\frac{7}{9}$.
2) При $c = 2\frac{5}{8}$. Переведем в неправильную дробь: $2\frac{5}{8} = \frac{16+5}{8} = \frac{21}{8}$.
$\frac{32}{63} \cdot \frac{21}{8} = \frac{32 \cdot 21}{63 \cdot 8}$. Сократим 32 и 8 на 8, а 63 и 21 на 21: $\frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$.
Ответ: при упрощении получается $\frac{32}{63}c$; при $c = 3\frac{1}{2}$ значение равно $1\frac{7}{9}$; при $c = 2\frac{5}{8}$ значение равно $1\frac{1}{3}$.

г) Сначала упростим выражение. Заметим, что дробь $\frac{4}{18}$ можно сократить на 2: $\frac{4}{18} = \frac{2}{9}$.
Выражение примет вид: $\frac{3}{4}n + \frac{2}{3}n - \frac{2}{9}n$.
Найдем наименьший общий знаменатель для 4, 3 и 9. НОК(4, 3, 9) = 36.
$(\frac{3 \cdot 9}{36} + \frac{2 \cdot 12}{36} - \frac{2 \cdot 4}{36})n = (\frac{27 + 24 - 8}{36})n = \frac{43}{36}n$.
Теперь подставим заданные значения $n$.
1) При $n = 1\frac{13}{23}$. Переведем в неправильную дробь: $1\frac{13}{23} = \frac{23+13}{23} = \frac{36}{23}$.
$\frac{43}{36} \cdot \frac{36}{23} = \frac{43 \cdot 36}{36 \cdot 23}$. Сократим на 36: $\frac{43}{23} = 1\frac{20}{23}$.
2) При $n = \frac{6}{41}$.
$\frac{43}{36} \cdot \frac{6}{41} = \frac{43 \cdot 6}{36 \cdot 41}$. Сократим 36 и 6 на 6: $\frac{43 \cdot 1}{6 \cdot 41} = \frac{43}{246}$.
Ответ: при упрощении получается $\frac{43}{36}n$; при $n = 1\frac{13}{23}$ значение равно $1\frac{20}{23}$; при $n = \frac{6}{41}$ значение равно $\frac{43}{246}$.

2.400. Поезд шёл 5 ч со скоростью 5034 км/ч и 5 ч со скоростью 5014 км/ч. Сколько километров прошёл поезд за эти 10 ч?

2.400

Расстояние - ? км.

$\mathbf{1}\mathbf{)} 5 · 50\frac{3}{4} + 5 · 50 \frac{1}{4} = 5 · \left(50\frac{3}{4} + 50 \frac{1}{4}\right)=$

$=5 · 100\frac{4}{4} = 5 · 101 = 505$(км) – прошел поезд.

Ответ: 505 км.

Чтобы найти, сколько всего километров прошел поезд за 10 часов, необходимо вычислить и сложить расстояния, которые он прошел на каждом из двух участков пути. Расстояние ($S$) вычисляется по формуле $S = v \cdot t$, где $v$ — это скорость, а $t$ — время.

Сначала вычислим расстояние, пройденное поездом за первые 5 часов. Скорость на этом участке составляла $50\frac{3}{4}$ км/ч. Обозначим это расстояние как $S_1$.

$S_1 = 50\frac{3}{4} \cdot 5$

Для удобства вычислений переведем смешанное число $50\frac{3}{4}$ в неправильную дробь:

$50\frac{3}{4} = \frac{50 \times 4 + 3}{4} = \frac{203}{4}$

Теперь вычислим расстояние первого участка:

$S_1 = \frac{203}{4} \cdot 5 = \frac{1015}{4}$ км.

Далее вычислим расстояние ($S_2$), пройденное за следующие 5 часов, когда скорость поезда была $50\frac{1}{4}$ км/ч.

$S_2 = 50\frac{1}{4} \cdot 5$

Переведем смешанное число $50\frac{1}{4}$ в неправильную дробь:

$50\frac{1}{4} = \frac{50 \times 4 + 1}{4} = \frac{201}{4}$

Вычислим расстояние второго участка:

$S_2 = \frac{201}{4} \cdot 5 = \frac{1005}{4}$ км.

Теперь сложим расстояния, пройденные на двух участках, чтобы найти общее расстояние $S_{общ}$:

$S_{общ} = S_1 + S_2 = \frac{1015}{4} + \frac{1005}{4} = \frac{1015 + 1005}{4} = \frac{2020}{4}$

Выполнив деление, получим окончательный ответ:

$\frac{2020}{4} = 505$ км.

Эту задачу также можно решить более рациональным способом. Так как время движения на обоих участках одинаково (5 ч), можно воспользоваться распределительным свойством умножения. Общее расстояние можно выразить так:

$S_{общ} = (50\frac{3}{4} \cdot 5) + (50\frac{1}{4} \cdot 5) = (50\frac{3}{4} + 50\frac{1}{4}) \cdot 5$

Сначала выполним сложение в скобках:

$50\frac{3}{4} + 50\frac{1}{4} = (50+50) + (\frac{3}{4}+\frac{1}{4}) = 100 + \frac{4}{4} = 100 + 1 = 101$

Теперь умножим результат на время:

$101 \cdot 5 = 505$ км.

Ответ: 505 км.

1. Рассчитайте собственную скорость экскурсионного теплохода, если за 5 ч ему надо проплыть путь по течению реки, а за 7 ч вернуться обратно. Скорость течения реки 3 км/ч.

Применяем математику

1.

Пусть х км/ч – собственная скорость теплохода, тогда (х – 3) км/ч – скорость теплохода против течения, (х + 3) км/ч – скорость теплохода по течению, 5(х + 3) км – проплыл теплоход по течению, 7(х – 3) км – проплыл теплоход против течения. Зная, что он проплыл одинаковые расстояния, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} 5(х + 3) = 7(х – 3); \\ 5х + 15 = 7х – 21; \\ 5х – 7х = -21 – 15; \\ -2х = -36; \\ х = -36 : (-2); \end{gathered}$$

х = 18 (км/ч) – собственная скорость теплохода

Ответ: 18 км/ч.

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $v_с$ — это собственная скорость экскурсионного теплохода в км/ч, которую нам необходимо найти.

Из условия задачи нам известны:

• Время движения по течению: $t_{по} = 5$ ч.
• Время движения против течения: $t_{пр} = 7$ ч.
• Скорость течения реки: $v_{теч} = 3$ км/ч.

Скорость теплохода при движении по течению реки складывается из его собственной скорости и скорости течения: $v_{по} = v_с + v_{теч} = v_с + 3$ км/ч.

Скорость теплохода при движении против течения реки равна разности его собственной скорости и скорости течения: $v_{пр} = v_с - v_{теч} = v_с - 3$ км/ч.

Теплоход проплывает один и тот же путь $S$ по течению и обратно против течения. Расстояние вычисляется по формуле $S = v \cdot t$.

Таким образом, мы можем записать выражения для расстояния, пройденного по течению и против течения:

Расстояние по течению: $S = v_{по} \cdot t_{по} = (v_с + 3) \cdot 5$.

Расстояние против течения: $S = v_{пр} \cdot t_{пр} = (v_с - 3) \cdot 7$.

Так как расстояние в обоих случаях одинаковое, мы можем приравнять эти два выражения и составить уравнение:

$(v_с + 3) \cdot 5 = (v_с - 3) \cdot 7$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $v_с$. Сначала раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$5v_с + 15 = 7v_с - 21$

Перенесем все слагаемые с переменной $v_с$ в правую часть, а числовые значения — в левую часть уравнения:

$15 + 21 = 7v_с - 5v_с$

Выполним сложение и вычитание:

$36 = 2v_с$

Чтобы найти $v_с$, разделим обе части уравнения на 2:

$v_с = \frac{36}{2}$

$v_с = 18$

Следовательно, собственная скорость теплохода равна 18 км/ч.

Ответ: собственная скорость экскурсионного теплохода равна 18 км/ч.

2. Два рефрижератора из двух городов, расстояние между которыми 770 км, должны доставить груз одновременно через 5 ч на комбинат, расположенный между этими городами, выехав также одновременно навстречу друг другу. Средняя скорость на трассе одного рефрижератора на 20 км/ч больше средней скорости другого. С какими средними скоростями они должны двигаться, чтобы прибыть в пункт назначения, соблюдая данные условия?

2.

Пусть х км/ч – средняя скорость одного рефрижератора, тогда
(х + 20) км/ч – средняя скорость второго рефрижератора, (х + х + 20) км/ч – скорость их сближения, 5(2х + 20) км – нужно им проехать вместе, т.к. общий путь составляет 770 км, получим уравнение:

$$\begin{gathered} 5(2х + 20) = 770; \\ 2х + 20 = 770 : 5; \\ 2х + 20 = 154; \\ 2х = 154 – 20; \\ 2х = 134; \\ х = 134 : 2; \end{gathered}$$

х = 67 (км/ч) – средняя скорость одного рефрижератора;

$\mathbf{1}\mathbf{)} 67 + 20 = 87$(км/ч) – средняя скорость второго рефрижератора

Ответ: 67 км/ч и 87 км/ч.

Обозначим средние скорости рефрижераторов как $v_1$ и $v_2$ (в км/ч).Общее расстояние между городами, которое они должны преодолеть вместе, составляет $S = 770$ км.Время, за которое они должны прибыть в пункт назначения (встретиться), равно $t = 5$ ч.

Поскольку рефрижераторы движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = v_1 + v_2$.Общее расстояние равно произведению скорости сближения на время: $S = (v_1 + v_2) \cdot t$.Подставив известные значения, можем найти сумму скоростей рефрижераторов:
$770 = (v_1 + v_2) \cdot 5$
$v_1 + v_2 = \frac{770}{5}$
$v_1 + v_2 = 154$ км/ч.

Также по условию задачи известно, что средняя скорость одного рефрижератора на 20 км/ч больше средней скорости другого. Запишем это в виде уравнения (пусть $v_1$ будет большей скоростью):
$v_1 - v_2 = 20$ км/ч.

Теперь мы имеем систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
1) $v_1 + v_2 = 154$
2) $v_1 - v_2 = 20$

Для решения системы сложим первое и второе уравнения. Это позволит нам исключить переменную $v_2$ и найти $v_1$:
$(v_1 + v_2) + (v_1 - v_2) = 154 + 20$
$2v_1 = 174$
$v_1 = \frac{174}{2}$
$v_1 = 87$ км/ч.

Теперь, зная скорость первого рефрижератора, найдем скорость второго, подставив значение $v_1$ в любое из уравнений системы. Воспользуемся первым уравнением:
$87 + v_2 = 154$
$v_2 = 154 - 87$
$v_2 = 67$ км/ч.

Проверим: разница скоростей $87 - 67 = 20$ км/ч, что соответствует условию.

Ответ: Средняя скорость одного рефрижератора должна быть 87 км/ч, а другого — 67 км/ч.

3. Задача Э. Безу. По контракту работникам причитается 48 франков за каждый отработанный день, а за каждый неотработанный день с них вычитается по 12 франков. Через 30 дней выяснилось, что работникам ничего не причитается. Сколько дней они отработали в течение этих 30 дней?

3.

Пусть х дней – было отработанных, тогда (30 – х) дней – не отработано, 48х франков – причитается работникам, 12(30 – х) франков – вычитается с работников. Зная, что работникам ничего не причитается, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} 48х = 12 · (30 – х); \\ 48х = 360 – 12х; \\ 48х + 12х = 360; \\ 60х = 360; \\ х = 360 : 60 \end{gathered}$$

х = 6 (д) – было отработанных.

Ответ: 6 дней.

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Обозначим переменные:

Пусть $x$ — количество отработанных дней.

Пусть $y$ — количество неотработанных дней.

Общий период составляет 30 дней, поэтому сумма отработанных и неотработанных дней равна 30. Это дает нам первое уравнение:

$x + y = 30$

За каждый отработанный день ($x$) работникам начисляется 48 франков, значит, общая сумма начислений составляет $48x$.

За каждый неотработанный день ($y$) с работников вычитается 12 франков, значит, общая сумма вычетов составляет $12y$.

По условию, через 30 дней работникам ничего не причитается. Это означает, что сумма начислений равна сумме вычетов. Отсюда получаем второе уравнение:

$48x = 12y$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 30 \\ 48x = 12y \end{cases} $

Для решения системы упростим второе уравнение. Разделим обе его части на 12:

$\frac{48x}{12} = \frac{12y}{12}$

$4x = y$

Теперь воспользуемся методом подстановки. Подставим выражение $y = 4x$ в первое уравнение системы:

$x + (4x) = 30$

Решим полученное уравнение:

$5x = 30$

$x = \frac{30}{5}$

$x = 6$

Итак, работники отработали 6 дней.

Для полной проверки найдем количество неотработанных дней:

$y = 4x = 4 \times 6 = 24$ дня.

Проверим, выполняется ли первое условие: $x + y = 6 + 24 = 30$ дней. Условие выполняется.

Проверим баланс:

Начислено за 6 дней: $6 \times 48 = 288$ франков.

Вычтено за 24 дня: $24 \times 12 = 288$ франков.

Итоговый расчет: $288 - 288 = 0$. Условие задачи выполнено.

Ответ: работники отработали 6 дней.

4. Старинная задача. На ферме 1000 кроликов и фазанов, у них 3150 ног. Сколько кроликов и сколько фазанов на ферме?

4.

Пусть х – кроликов на ферме, тогда (1000 – х) – фазанов, 4х ног – у кроликов, 2(1000 – х) ног – у фазанов. Зная, что вместе у них 3150 ног, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} 4х + 2(1000 – х) = 3150; \\ 4х + 2000 – 2х = 3150; \\ 2х = 3150 – 2000; \\ 2х = 1150; \\ х = 1150 : 2; \end{gathered}$$

х = 575 кроликов – на ферме;

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }1000 – 575 = 425$ фазанов – на ферме.

Ответ: 575 кроликов и 425 фазанов

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Пусть $k$ — количество кроликов, а $f$ — количество фазанов. Мы знаем, что у каждого кролика 4 ноги, а у каждого фазана — 2 ноги.

Исходя из условий задачи, можно составить два уравнения:

1. Уравнение для общего количества животных:

$k + f = 1000$

2. Уравнение для общего количества ног:

$4k + 2f = 3150$

Теперь решим полученную систему уравнений. Из первого уравнения выразим переменную $f$ через $k$:

$f = 1000 - k$

Подставим это выражение для $f$ во второе уравнение:

$4k + 2(1000 - k) = 3150$

Далее, раскроем скобки и решим уравнение относительно $k$:

$4k + 2000 - 2k = 3150$

$2k + 2000 = 3150$

$2k = 3150 - 2000$

$2k = 1150$

$k = \frac{1150}{2} = 575$

Таким образом, мы нашли, что на ферме 575 кроликов.

Теперь, зная количество кроликов, найдем количество фазанов, подставив значение $k$ в первое уравнение:

$f = 1000 - k = 1000 - 575 = 425$

Следовательно, на ферме 425 фазанов.

Для уверенности выполним проверку:
Общее число животных: $575$ (кроликов) $+ 425$ (фазанов) $= 1000$.
Общее число ног: $(575 \times 4) + (425 \times 2) = 2300 + 850 = 3150$.
Все условия задачи выполнены.

Ответ: на ферме 575 кроликов и 425 фазанов.

5. При несвоевременной оплате счетов за жилищно−коммунальные услуги, платежей по кредиту начисляются пени за первые 30 дней по формуле Р = 1300 М • N · S, где М − сумма долга в рублях, N − количество дней просрочки, S − ставка рефинансирования Центрального банка в процентах. Рассчитайте пени за 25 дней просрочки, которую должен заплатить гражданин при сумме долга в 4000 р. и ставке рефинансирования 7,5 %.

5.

N = 25, M = 4000, S = 7,5% = 0,075

$$\begin{gathered} \mathrm{Р} = \frac{1}{300} · \mathrm{M} · \mathrm{N} · \mathrm{S} = \frac{1}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{300}}}} · \stackrel{40}{\cancel{4000}} · 25 · 0,075= \\ = \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} · 40 · 25 ·\stackrel{0,025}{ \cancel{0,075} }= \frac{1}{1} · 40 · 25 · 0,025 = \end{gathered}$$

$= 40 · 25 · 0,025 = 1 · 25 = 25$ (р) – пеня за 25 дней

Ответ: 25 рублей

Для решения задачи необходимо использовать формулу для расчета пени, указанную в условии:

$P = \frac{1}{300} \cdot M \cdot N \cdot S$

В этой формуле переменные имеют следующие значения:

$M$ — это сумма долга, которая составляет 4000 рублей.

$N$ — это количество дней просрочки, равное 25 дням.

$S$ — это ставка рефинансирования в процентах, которая равна 7,5 %. В формулу подставляется числовое значение процента, то есть 7,5.

Подставим все известные значения в формулу:

$P = \frac{1}{300} \cdot 4000 \cdot 25 \cdot 7,5$

Теперь проведем вычисления. Для удобства запишем выражение в виде дроби:

$P = \frac{4000 \cdot 25 \cdot 7,5}{300}$

Сначала сократим числитель и знаменатель на 100:

$P = \frac{40 \cdot 25 \cdot 7,5}{3}$

Теперь разделим 7,5 на 3:

$P = 40 \cdot 25 \cdot 2,5$

Далее выполним умножение. Удобнее сначала умножить 40 на 2,5:

$40 \cdot 2,5 = 100$

Теперь результат умножим на оставшееся число 25:

$P = 100 \cdot 25 = 2500$

Таким образом, сумма пени за 25 дней просрочки составляет 2500 рублей.

Ответ: 2500 рублей.

6. Турист рассчитал, что если он будет идти к железнодорожной станции со скоростью 4 км/ч, то опоздает к поезду на полчаса, а если он будет идти со скоростью 5 км/ч, то придёт на станцию за 6 мин до отправления поезда. Какое расстояние должен пройти турист?

6.

Пусть х (км) – расстояние до станции, тогда $\frac{х}{4}$ч – время движения со скоростью 4 км/ч, $\frac{х}{5}$ ч – время движения со скоростью 5 км/ч, получим уравнение:

$30 \mathrm{мин} = \frac{1}{2} \mathrm{ч}, 6 \mathrm{мин} = \frac{6}{60}=\frac{1}{10} \mathrm{ч}$

$$\begin{gathered} \frac{х}{4} - \frac{1}{2} = \frac{х}{5} + \frac{1}{10} \overline{) · 20} \\ \frac{х}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}} · \stackrel{5}{\cancel{20}} - \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{2}}}} · \stackrel{10}{\bcancel{20}} = \frac{х}{{\displaystyle \underset{1}{\sout{5}}}} · \stackrel{4}{\sout{20} }+ \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{10}}}} · \stackrel{2}{\bcancel{20}}; \\ \frac{х}{1} · 5 - \frac{1}{1} · 10 = \frac{х}{1} · 4 + \frac{1}{1} · 2; \\ 5х – 10 = 4х + 2; \\ 5х – 4х = 2 + 10; \end{gathered}$$

х = 12 (км) – расстояние туриста

Ответ: 12 км.

Решение:

Для решения этой задачи составим уравнение, основываясь на основной формуле движения: расстояние = скорость × время ($S = v \cdot t$). Из этой формулы время можно выразить как $t = S/v$.

Пусть $S$ (в км) – искомое расстояние до станции, а $t$ (в часах) – время, которое есть у туриста до отправления поезда.

В первом случае турист идет со скоростью $v_1 = 4$ км/ч. Время, которое он затратит на путь, равно $t_1 = S/4$. По условию, он опоздает на полчаса (30 минут), что составляет 0,5 часа. Это означает, что его время в пути на 0,5 часа больше, чем время до отправления поезда:

$t_1 = t + 0.5$

$\frac{S}{4} = t + 0.5$

В втором случае турист идет со скоростью $v_2 = 5$ км/ч. Время, которое он затратит на путь, равно $t_2 = S/5$. По условию, он придёт за 6 минут до отправления поезда. Переведем 6 минут в часы: $6 \text{ мин} = \frac{6}{60} \text{ ч} = 0.1 \text{ ч}$. Это означает, что его время в пути на 0,1 часа меньше, чем время до отправления поезда:

$t_2 = t - 0.1$

$\frac{S}{5} = t - 0.1$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными ($S$ и $t$):

$\begin{cases} \frac{S}{4} = t + 0.5 \\ \frac{S}{5} = t - 0.1 \end{cases}$

Выразим $t$ из каждого уравнения:

$t = \frac{S}{4} - 0.5$

$t = \frac{S}{5} + 0.1$

Поскольку левые части уравнений равны, мы можем приравнять их правые части:

$\frac{S}{4} - 0.5 = \frac{S}{5} + 0.1$

Теперь решим это уравнение относительно $S$. Перенесем слагаемые с $S$ в одну сторону, а числовые значения – в другую:

$\frac{S}{4} - \frac{S}{5} = 0.1 + 0.5$

$\frac{S}{4} - \frac{S}{5} = 0.6$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю (20):

$\frac{5S}{20} - \frac{4S}{20} = 0.6$

$\frac{5S - 4S}{20} = 0.6$

$\frac{S}{20} = 0.6$

Умножим обе части уравнения на 20, чтобы найти $S$:

$S = 0.6 \cdot 20$

$S = 12$

Таким образом, расстояние, которое должен пройти турист, составляет 12 км.

Ответ: 12 км.

7. В растворе содержится 30 % соли. Если добавить 120 г соли, то в растворе будет содержаться 70 % соли. Какова первоначальная масса раствора? Сколько граммов соли было в растворе первоначально?

7.

30% = 0,3; 70% = 0,7.

Пусть х г – первоначальная масса раствора, 0,3х г – соли в первоначальном растворе, (х + 120) г – масса полученного раствора, 0,7(х + 120) г – соли в полученном растворе, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} 0,3х + 120 = 0,7(х + 120); \\ 0,3х + 120 = 0,7х + 84; \\ 0,3х – 0,7х = 84 – 120; \\ -0,4х = -36; \\ х = -36 : (-0,4); \\ х = -360 : (-4); \end{gathered}$$

х = 90 (г) – первоначальная масса раствора

$\mathbf{1}\mathbf{)} 0,3 · 90 = 27$(г) соли было в первоначальном растворе

Ответ: 90 г, 27 г

Какова первоначальная масса раствора?
Обозначим первоначальную массу раствора как $M$ (в граммах).
По условию, в первоначальном растворе содержится 30% соли. Это означает, что масса воды составляет $100\% - 30\% = 70\%$ от массы раствора. Масса воды в граммах равна $0.7 \times M$.
После добавления 120 г соли, масса раствора увеличилась и стала равной $M + 120$ г. Масса соли также увеличилась, но масса воды осталась прежней.
В новом растворе концентрация соли стала 70%. Следовательно, концентрация воды в новом растворе составляет $100\% - 70\% = 30\%$. Масса воды в новом растворе равна $0.3 \times (M + 120)$ г.
Так как масса воды не изменилась, мы можем приравнять два выражения для массы воды:
$0.7M = 0.3(M + 120)$
Решим это уравнение относительно $M$:
$0.7M = 0.3M + 0.3 \times 120$
$0.7M = 0.3M + 36$
$0.7M - 0.3M = 36$
$0.4M = 36$
$M = \frac{36}{0.4} = 90$
Ответ: первоначальная масса раствора равна 90 г.

Сколько граммов соли было в растворе первоначально?
Чтобы найти первоначальную массу соли, нужно рассчитать 30% от первоначальной массы раствора, которая, как мы выяснили, равна 90 г.
Масса соли = $0.30 \times M = 0.30 \times 90 = 27$ г.
Ответ: первоначально в растворе было 27 г соли.

8. Старинная задача. Из трёх жертвователей второй дал вдвое больше первого, третий − втрое больше второго, а вместе 66 рупий. Сколько дал каждый?

8.

Пусть х р. – дал первый, тогда 2х р. – дал второй, $3 · 2х = 6х$ р. – дал третий. Зная, что вместе они дали 66 рупий, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х + 2х + 6х = 66; \\ 9х = 66; \\ х = 66 : 9; \\ х = \frac{{\displaystyle \stackrel{22}{\cancel{66}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{9}}}}; \\ х = \frac{22}{3}; \end{gathered}$$

$х = 7\frac{1}{3}$рупий – дал первый

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }2 · \frac{22}{3} = \frac{44}{3} = 14\frac{2}{3}$ рупии – дал второй;

$\mathbf{2}\mathbf{)} \stackrel{2}{\cancel{6}} · \frac{22}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} = 2 · \frac{22}{1} = 44$ рупий – дал третий

Ответ: $7\frac{1}{3}; 14\frac{2}{3} \mathrm{и} 44 \mathrm{рупии}.$

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — это сумма в рупиях, которую пожертвовал первый жертвователь.

Согласно условию, второй жертвователь дал вдвое больше первого. Следовательно, его вклад составляет $2 \times x = 2x$ рупий.

Третий жертвователь, в свою очередь, дал втрое больше второго. Поскольку второй дал $2x$ рупий, то третий пожертвовал $3 \times (2x) = 6x$ рупий.

Все вместе они пожертвовали 66 рупий. Это позволяет нам составить следующее уравнение, сложив вклады всех троих:

$x + 2x + 6x = 66$

Теперь решим это линейное уравнение. Сначала упростим левую часть, сложив все члены с $x$:

$9x = 66$

Чтобы найти значение $x$, разделим обе части уравнения на 9:

$x = \frac{66}{9}$

Эту дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 3:

$x = \frac{22}{3}$

Итак, мы нашли, что первый жертвователь внес $\frac{22}{3}$ рупий. Эту неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа: $7 \frac{1}{3}$ рупий.

Теперь, зная $x$, мы можем вычислить суммы, пожертвованные вторым и третьим участниками:

Сумма второго жертвователя: $2x = 2 \times \frac{22}{3} = \frac{44}{3} = 14 \frac{2}{3}$ рупий.

Сумма третьего жертвователя: $6x = 6 \times \frac{22}{3} = \frac{6 \times 22}{3} = 2 \times 22 = 44$ рупия.

Чтобы убедиться в правильности расчетов, проведем проверку. Сложим полученные суммы:

$7 \frac{1}{3} + 14 \frac{2}{3} + 44 = (7+14) + (\frac{1}{3} + \frac{2}{3}) + 44 = 21 + 1 + 44 = 66$

Общая сумма в 66 рупий совпадает с условием задачи, значит, решение найдено верно.

Ответ: первый жертвователь дал $7 \frac{1}{3}$ рупий, второй — $14 \frac{2}{3}$ рупий, а третий — 44 рупия.

9. Прибыль, полученная фирмой за первое полугодие, составила 126 млн р., причём за первый квартал было получено на 10 % меньше, чем за второй. Какую прибыль получила фирма во втором квартале?

9.

Примем за условие, что во втором квартале прибыль была на 10% больше, чем в первом.

100% + 10% = 110% =1,1 – прибыль во втором квартале.

Пусть х млн. р. – прибыль за первый квартал, тогда 1,1х млн. р. – прибыль за второй квартал. Зная, что прибыль за полугодие составила 126 млн. рублей, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х + 1,1х = 126; \\ 2,1х = 126; \\ х = 126 : 2,1; \\ х = 1260 : 21; \end{gathered}$$

х = 60 млн. руб. – прибыль за первый квартал;

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }126 – 60 = 66$ млн. руб. – прибыль за второй квартал

Ответ: 66 млн. руб.

Обозначим прибыль, полученную фирмой во втором квартале, через $x$ млн р.
Согласно условию задачи, прибыль за первый квартал была на 10% меньше, чем за второй. Это означает, что прибыль за первый квартал составляет $100\% - 10\% = 90\%$ от прибыли за второй квартал.
Следовательно, прибыль за первый квартал можно выразить как $0.9x$ млн р.

Общая прибыль за первое полугодие, которое состоит из первого и второго кварталов, равна 126 млн р. Мы можем составить уравнение, сложив прибыли за оба квартала:
Прибыль за I квартал + Прибыль за II квартал = Общая прибыль за полугодие
$0.9x + x = 126$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:
$1.9x = 126$
Для нахождения $x$ разделим обе части уравнения на 1.9:
$x = \frac{126}{1.9}$

Чтобы упростить вычисление, избавимся от десятичной дроби в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на 10:
$x = \frac{126 \cdot 10}{1.9 \cdot 10} = \frac{1260}{19}$

Теперь преобразуем неправильную дробь в смешанное число, выполнив деление с остатком:
$1260 \div 19 = 66$ с остатком $6$.
Таким образом, $x = 66\frac{6}{19}$.

Следовательно, прибыль, которую фирма получила во втором квартале, составляет $66\frac{6}{19}$ млн р.

Проверка:
Прибыль за второй квартал: $x = \frac{1260}{19}$ млн р.
Прибыль за первый квартал: $0.9x = 0.9 \cdot \frac{1260}{19} = \frac{9}{10} \cdot \frac{1260}{19} = \frac{1134}{19}$ млн р.
Суммарная прибыль: $\frac{1260}{19} + \frac{1134}{19} = \frac{2394}{19} = 126$ млн р.
Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: фирма получила во втором квартале $66\frac{6}{19}$ млн р.

10. Два акционера владеют 75 % всех акций агрохолдинга в отношении 11 : 9. Остальные 100 000 акций принадлежат работникам агрохолдинга. Определите количество акций у каждого акционера.

10.

$\mathbf{1}\mathbf{)} 100\% – 75\% = 25\%$ всех акций – принадлежат работникам агрохолдинга;

$\mathbf{2}\mathbf{)} \frac{100 000}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{25}\%}}} ·\stackrel{3}{ \cancel{75}\%} = \frac{100 000}{1} · 3 = 300 000$ (акций) – принадлежат двум акционерам;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 30000 : (11 + 9) = 300000 : 20 = 15000$ (акций) – приходится на одну часть;

$\mathbf{4}\mathbf{)} 15000 · 11 = 165000$(акций) – принадлежит одному акционеру;

$\mathbf{5}\mathbf{)}\mathbf{ }15000 · 9 = 135000$(акций) – принадлежат другому акционеру.

Ответ: 165000 и 135000 акций.

Для того чтобы найти количество акций у каждого акционера, сначала определим общее количество акций в агрохолдинге.

1. Два акционера владеют 75% всех акций. Следовательно, на долю работников агрохолдинга приходятся остальные акции, что составляет:

$100\% - 75\% = 25\%$

2. Из условия известно, что эти 25% составляют 100 000 акций. Обозначим общее количество акций в агрохолдинге за $N$. Тогда можно составить пропорцию:

$0.25 \cdot N = 100 000$

Отсюда находим общее количество акций:

$N = \frac{100 000}{0.25} = 400 000 \text{ акций}$

3. Теперь найдем, сколько всего акций принадлежит двум акционерам. Это 75% от общего количества:

$400 000 \times 0.75 = 300 000 \text{ акций}$

4. Эти 300 000 акций распределены между двумя акционерами в отношении 11:9. Это означает, что на каждые 11 акций первого акционера приходится 9 акций второго. Общее количество "частей" в этом соотношении равно:

$11 + 9 = 20 \text{ частей}$

5. Рассчитаем, сколько акций приходится на одну такую часть:

$\frac{300 000}{20} = 15 000 \text{ акций}$

6. Теперь можно определить количество акций у каждого акционера:

• Количество акций у первого акционера (11 частей): $11 \times 15 000 = 165 000 \text{ акций}$
• Количество акций у второго акционера (9 частей): $9 \times 15 000 = 135 000 \text{ акций}$

Проверка: $165 000 + 135 000 = 300 000$, что соответствует общему количеству акций, которыми владеют два акционера.

Ответ: у одного акционера 165 000 акций, у другого — 135 000 акций.