Страница 101, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.414. Найдите:

а) 115 от 15; б) 0,3 от 313; в) 23 от 1,5; г) 0,25 от 4.

2.414

$\mathit{а}\mathbf{)} 15 · \frac{1}{15} = 1$

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }3\frac{1}{3} · 0,3 = \frac{10}{3} · \frac{3}{10} = 1;$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} 1,5 · \frac{2}{3} = 1\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{10} }}}· \frac{2}{3} = 1\frac{1}{2}· \frac{2}{3}= \\ = \frac{3}{2}· \frac{2}{3} =1; \end{gathered}$$

$\mathit{г}\mathbf{)} 4 · 0,25 = 4 ·\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{25}}}}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{100}}}} = 4 · \frac{1}{4} =1.$

а) Чтобы найти $ \frac{1}{15} $ от 15, нужно умножить дробь на это число:

$ \frac{1}{15} \times 15 = \frac{1 \times 15}{15} = \frac{15}{15} = 1 $

Ответ: 1

б) Для нахождения 0,3 от $ 3\frac{1}{3} $ представим оба числа в виде обыкновенных дробей и перемножим их. Десятичная дробь $ 0,3 $ равна $ \frac{3}{10} $. Смешанное число $ 3\frac{1}{3} $ переведем в неправильную дробь: $ 3\frac{1}{3} = \frac{3 \times 3 + 1}{3} = \frac{10}{3} $.

Теперь выполним умножение:

$ \frac{3}{10} \times \frac{10}{3} = \frac{3 \times 10}{10 \times 3} = \frac{30}{30} = 1 $

Ответ: 1

в) Чтобы найти $ \frac{2}{3} $ от 1,5, необходимо перемножить эти числа. Для удобства преобразуем десятичную дробь 1,5 в обыкновенную:

$ 1,5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2} $

Теперь выполним умножение дробей:

$ \frac{2}{3} \times \frac{3}{2} = \frac{2 \times 3}{3 \times 2} = \frac{6}{6} = 1 $

Ответ: 1

г) Чтобы найти 0,25 от 4, нужно умножить 0,25 на 4. Можно представить десятичную дробь в виде обыкновенной для упрощения вычислений: $ 0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} $.

Выполним умножение:

$ \frac{1}{4} \times 4 = \frac{4}{4} = 1 $

Можно также умножить десятичные числа напрямую: $ 0,25 \times 4 = 1 $.

Ответ: 1

2.415. Фермеру надо вспахать участок земли размером 1710 га. До обеда он вспахал 1017 этого участка. Сколько гектаров земли вспахал фермер до обеда?

2.415

$1\frac{7}{10} · \frac{10}{17} = \frac{17}{10} · \frac{10}{17} =1$(га) - вспахал до обеда.

Ответ: 1 га.

Чтобы определить, сколько гектаров земли вспахал фермер до обеда, необходимо найти часть от целого. В данном случае целое — это общая площадь участка, а часть — это доля, которую он вспахал. Общая площадь участка составляет $1\frac{7}{10}$ га. Доля вспаханной земли равна $\frac{10}{17}$.

Для решения задачи нужно умножить общую площадь на долю вспаханной части.

1. Переведем смешанное число $1\frac{7}{10}$ в неправильную дробь:
$1\frac{7}{10} = \frac{1 \times 10 + 7}{10} = \frac{17}{10}$ га.

2. Теперь умножим площадь всего участка на долю, которую вспахал фермер:
$\frac{17}{10} \times \frac{10}{17}$

3. Выполним умножение дробей. Мы можем сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе (17 и 10):
$\frac{\cancel{17}}{\cancel{10}} \times \frac{\cancel{10}}{\cancel{17}} = 1$ га.

Таким образом, фермер вспахал 1 гектар земли до обеда.
Ответ: 1 га.

2.416. Для приготовления блинов потребовалось 25 кг муки, а для выпечки пирогов 212 раза больше. Сколько муки потребовалось для выпечки блинов пирогов вместе?

2.416

$\mathbf{1}\mathbf{)} \frac{2}{5} · 2\frac{1}{2} = \frac{2}{5} · \frac{5}{2} = 1$(кг)-муки для выпечки пирогов; 

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{2}{5} + 1 = 1\frac{2}{5}$(кг)- муки для выпечки пирогов и блинов; 

Ответ: $1\frac{2}{5}$ кг.

Для решения этой задачи нужно выполнить два действия. Сначала определим, сколько муки потребовалось для выпечки пирогов, а затем найдем общее количество муки, сложив муку для блинов и муку для пирогов.

1. Найдем количество муки для пирогов

В условии сказано, что для выпечки пирогов потребовалось в $2\frac{1}{2}$ раза больше муки, чем для блинов. На блины ушло $\frac{2}{5}$ кг муки. Чтобы найти количество муки для пирогов, нужно умножить количество муки для блинов на $2\frac{1}{2}$.

Сначала представим смешанное число $2\frac{1}{2}$ в виде неправильной дроби:

$2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$

Теперь умножим количество муки для блинов на полученную дробь:

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2} = \frac{2 \cdot 5}{5 \cdot 2} = \frac{10}{10} = 1$ кг.

Следовательно, на выпечку пирогов потребовался 1 кг муки.

2. Найдем общее количество муки

Чтобы найти, сколько всего муки потребовалось, сложим количество муки для блинов и количество муки для пирогов:

$\frac{2}{5} \text{ кг} + 1 \text{ кг} = 1\frac{2}{5} \text{ кг}$.

Можно также выполнить сложение, представив 1 кг в виде дроби со знаменателем 5:

$\frac{2}{5} + 1 = \frac{2}{5} + \frac{5}{5} = \frac{2+5}{5} = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5}$ кг.

Ответ: для выпечки блинов и пирогов вместе потребовалось $1\frac{2}{5}$ кг муки.

2.417. Найдите частное:

а) 47 : 1649; б) 59 : 12; в) 1225 : 815; г) 914 : 1835.

2.417

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} \frac{4}{7} : \frac{16}{49} = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{4}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{7}{\cancel{49}}}}{{\displaystyle \underset{4}{\bcancel{16}}}} = \frac{1 · 7 }{1 · 4} = \\ = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{7}; \end{gathered}$$

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{5}{9} : \frac{1}{2} = \frac{5}{9}·\frac{2}{1} = \frac{10}{9} = 1\frac{1}{9};$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} \frac{12}{25} : \frac{8}{15} = \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{12}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\bcancel{25}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\bcancel{15}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{8}}}} = \\ = \frac{3 · 3}{5 · 2} = \frac{9}{10}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} \frac{9}{14} : \frac{18}{35}=\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{9}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{14}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\bcancel{35}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{18}}}}= \\ =\frac{1 · 5}{2 · 2}=\frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}. \end{gathered}$$

а) Чтобы найти частное двух дробей, необходимо делимое (первую дробь) умножить на дробь, обратную делителю (второй дроби). Деление заменяется умножением, а вторая дробь "переворачивается".

$\frac{4}{7} : \frac{16}{49} = \frac{4}{7} \cdot \frac{49}{16}$

Перед тем как перемножить числители и знаменатели, выполним сокращение для упрощения вычислений. Числитель 4 и знаменатель 16 можно сократить на 4. Числитель 49 и знаменатель 7 можно сократить на 7.

$\frac{4 \cdot 49}{7 \cdot 16} = \frac{1 \cdot 7}{1 \cdot 4} = \frac{7}{4}$

Результат $\frac{7}{4}$ — это неправильная дробь, так как ее числитель больше знаменателя. Выделим из нее целую часть.

$\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$

Ответ: $1\frac{3}{4}$.

б) Применим то же правило деления дробей: умножим делимое на дробь, обратную делителю.

$\frac{5}{9} : \frac{1}{2} = \frac{5}{9} \cdot \frac{2}{1}$

Перемножим числители и знаменатели. В этом случае общих делителей для сокращения нет.

$\frac{5 \cdot 2}{9 \cdot 1} = \frac{10}{9}$

Преобразуем полученную неправильную дробь в смешанное число, выделив целую часть.

$\frac{10}{9} = 1\frac{1}{9}$

Ответ: $1\frac{1}{9}$.

в) Выполним деление дробей, заменив его умножением на обратную дробь.

$\frac{12}{25} : \frac{8}{15} = \frac{12}{25} \cdot \frac{15}{8}$

Сократим дроби перед умножением. Числитель 12 и знаменатель 8 имеют общий делитель 4. Числитель 15 и знаменатель 25 имеют общий делитель 5.

$\frac{12 \cdot 15}{25 \cdot 8} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 2} = \frac{9}{10}$

Результат $\frac{9}{10}$ является правильной дробью, поэтому дальнейшие преобразования не требуются.

Ответ: $\frac{9}{10}$.

г) Для нахождения частного умножим делимое на дробь, обратную делителю.

$\frac{9}{14} : \frac{18}{35} = \frac{9}{14} \cdot \frac{35}{18}$

Выполним сокращение. Числитель 9 и знаменатель 18 имеют общий делитель 9. Числитель 35 и знаменатель 14 имеют общий делитель 7.

$\frac{9 \cdot 35}{14 \cdot 18} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 2} = \frac{5}{4}$

Выделим целую часть из полученной неправильной дроби.

$\frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$

Ответ: $1\frac{1}{4}$.

2.418. Выполните деление:

а) 59 : 5; б) 47 : 4; в) 1 : 513; г) 7 : 47; д) 9 : 37; е) 4: 89.

2.418

$\mathit{а}\mathbf{)} \frac{5}{9} : 5 = \frac{\cancel{5}}{9} · \frac{1}{\cancel{5}} =\frac{1}{9};$

$\mathit{б}\mathbf{)} \frac{4}{7} : 4 = \frac{\cancel{4}}{7} ·\frac{1}{\cancel{4}} =\frac{1 · 1}{7 · 1} =\frac{1}{7};$

$\mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }1 : \frac{5}{13} = 1 · \frac{13}{5} = \frac{13}{5} = 2\frac{3}{5};$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} 7 : \frac{4}{7} = 7 · \frac{7}{4} = \frac{7 · 7 }{4}= \\ = \frac{49}{4} = 12\frac{1}{4}; \end{gathered}$$

$\mathit{д}\mathbf{)} 9 : \frac{3}{7} = \stackrel{3}{\cancel{9}} · \frac{7}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} = \frac{3 · 7}{1} = 21;$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)} 4 : \frac{8}{9} = \stackrel{1}{\cancel{4}} · \frac{9}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{8}}}} = \frac{1 · 9 }{2} = \\ = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2}. \end{gathered}$$

а) Чтобы разделить дробь на целое число, необходимо представить это целое число в виде дроби со знаменателем 1. Затем деление заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь.

$\frac{5}{9} : 5 = \frac{5}{9} : \frac{5}{1} = \frac{5}{9} \cdot \frac{1}{5}$

Теперь умножаем числители и знаменатели. Можно сократить одинаковые множители (5) в числителе и знаменателе:

$\frac{5 \cdot 1}{9 \cdot 5} = \frac{\cancel{5} \cdot 1}{9 \cdot \cancel{5}} = \frac{1}{9}$

Ответ: $\frac{1}{9}$

б) Выполняем деление по тому же правилу: представляем целое число 4 как дробь $\frac{4}{1}$ и заменяем деление умножением на обратную дробь.

$\frac{4}{7} : 4 = \frac{4}{7} : \frac{4}{1} = \frac{4}{7} \cdot \frac{1}{4}$

Сокращаем 4 в числителе и знаменателе:

$\frac{4 \cdot 1}{7 \cdot 4} = \frac{\cancel{4} \cdot 1}{7 \cdot \cancel{4}} = \frac{1}{7}$

Ответ: $\frac{1}{7}$

в) Чтобы разделить целое число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю.

$1 : \frac{5}{13} = 1 \cdot \frac{13}{5} = \frac{13}{5}$

Полученную неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа: $13$ разделить на $5$ будет $2$ и $3$ в остатке, то есть $2\frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{13}{5}$

г) Делим целое число на дробь, заменяя деление умножением на обратную дробь.

$7 : \frac{4}{7} = 7 \cdot \frac{7}{4} = \frac{7}{1} \cdot \frac{7}{4} = \frac{7 \cdot 7}{1 \cdot 4} = \frac{49}{4}$

Представим результат в виде смешанного числа: $49$ разделить на $4$ будет $12$ и $1$ в остатке, то есть $12\frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{49}{4}$

д) Выполняем деление целого числа на дробь.

$9 : \frac{3}{7} = 9 \cdot \frac{7}{3} = \frac{9}{1} \cdot \frac{7}{3}$

Перед умножением можно сократить 9 и 3 на 3:

$\frac{9 \cdot 7}{3} = \frac{\cancel{9}^3 \cdot 7}{\cancel{3}_1} = 3 \cdot 7 = 21$

Ответ: $21$

е) Выполняем деление целого числа на дробь.

$4 : \frac{8}{9} = 4 \cdot \frac{9}{8} = \frac{4}{1} \cdot \frac{9}{8}$

Сокращаем 4 и 8 на 4:

$\frac{4 \cdot 9}{8} = \frac{\cancel{4}^1 \cdot 9}{\cancel{8}_2} = \frac{9}{2}$

Представим результат в виде смешанного числа: $9$ разделить на $2$ будет $4$ и $1$ в остатке, то есть $4\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{9}{2}$

2.418. Вычислите значение частного:

а) 514 :45; б) 213 : 2213; в) 247 : 1310; г) 1035 : 335; д) 514 : 134; е) 537 : 3; ж) 0 : 10715; з) 5116 : 1.

2.419

$\mathit{а}\mathbf{)} 5\frac{1}{4} : \frac{4}{5} = \frac{21}{4} · \frac{5}{4} = \frac{105}{16} =6\frac{9}{16};$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} \frac{2}{13} : 2\frac{2}{13} = \frac{2}{13} : \frac{28}{13} = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{2}}}}{\cancel{13}} · \frac{\cancel{13}}{{\displaystyle \underset{14}{\bcancel{28}}}}= \\ =\frac{1 · 1}{1 · 14} = \frac{1}{14}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} 2\frac{4}{7} : 1\frac{3}{10} = \frac{18}{7} : \frac{13}{10} = \frac{18}{7} · \frac{10}{13} = \\ = \frac{180}{91}= 1\frac{89}{91}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} 10\frac{3}{5} : 3\frac{3}{5} = \frac{53}{5} : \frac{18}{5}=\frac{53}{\cancel{5}} ·\frac{\cancel{5}}{18} = \\ = \frac{53}{18} = 2\frac{17}{18}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)} 5 \frac{1}{4} : 1\frac{3}{4} = \frac{21}{4} : \frac{7}{4} = \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\bcancel{21}}}}{\cancel{4}} · \frac{\cancel{4}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{7}}}} = \\ = \frac{3 · 1}{1 · 1} =3; \end{gathered}$$

$\mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }5\frac{3}{7} : 3 = \frac{38}{7} · \frac{1}{3} = \frac{38}{21} = 1\frac{17}{21};$

$\mathit{ж}\mathbf{)}\mathbf{ }0 : 10\frac{7}{15} = 0;$

$\mathit{з}\mathbf{)} 5\frac{1}{16} : 1 = 5\frac{1}{16}.$

а) Чтобы найти значение частного $5\frac{1}{4} : \frac{4}{5}$, сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби:$5\frac{1}{4} = \frac{5 \times 4 + 1}{4} = \frac{21}{4}$.

Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь:$\frac{21}{4} : \frac{4}{5} = \frac{21}{4} \times \frac{5}{4} = \frac{21 \times 5}{4 \times 4} = \frac{105}{16}$.

Преобразуем полученную неправильную дробь обратно в смешанное число, выделив целую часть:$\frac{105}{16} = 6\frac{9}{16}$.

Ответ: $6\frac{9}{16}$.

б) Для вычисления $\frac{2}{13} : 2\frac{2}{13}$ представим смешанное число $2\frac{2}{13}$ в виде неправильной дроби:$2\frac{2}{13} = \frac{2 \times 13 + 2}{13} = \frac{28}{13}$.

Выполним деление дробей, заменив его умножением на обратную дробь:$\frac{2}{13} : \frac{28}{13} = \frac{2}{13} \times \frac{13}{28}$.

Сократим дроби перед умножением:$\frac{2}{13} \times \frac{13}{28} = \frac{2 \times 13}{13 \times 28} = \frac{2}{28} = \frac{1}{14}$.

Ответ: $\frac{1}{14}$.

в) Вычислим $2\frac{4}{7} : 1\frac{3}{10}$. Преобразуем оба смешанных числа в неправильные дроби:$2\frac{4}{7} = \frac{2 \times 7 + 4}{7} = \frac{18}{7}$;$1\frac{3}{10} = \frac{1 \times 10 + 3}{10} = \frac{13}{10}$.

Выполним деление:$\frac{18}{7} : \frac{13}{10} = \frac{18}{7} \times \frac{10}{13} = \frac{18 \times 10}{7 \times 13} = \frac{180}{91}$.

Выделим целую часть:$\frac{180}{91} = 1\frac{89}{91}$.

Ответ: $1\frac{89}{91}$.

г) Найдем значение $10\frac{3}{5} : 3\frac{3}{5}$. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:$10\frac{3}{5} = \frac{10 \times 5 + 3}{5} = \frac{53}{5}$;$3\frac{3}{5} = \frac{3 \times 5 + 3}{5} = \frac{18}{5}$.

Выполним деление:$\frac{53}{5} : \frac{18}{5} = \frac{53}{5} \times \frac{5}{18} = \frac{53 \times 5}{5 \times 18} = \frac{53}{18}$.

Выделим целую часть:$\frac{53}{18} = 2\frac{17}{18}$.

Ответ: $2\frac{17}{18}$.

д) Вычислим $5\frac{1}{4} : 1\frac{3}{4}$. Переведем смешанные числа в неправильные дроби:$5\frac{1}{4} = \frac{5 \times 4 + 1}{4} = \frac{21}{4}$;$1\frac{3}{4} = \frac{1 \times 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$.

Произведем деление:$\frac{21}{4} : \frac{7}{4} = \frac{21}{4} \times \frac{4}{7} = \frac{21 \times 4}{4 \times 7} = \frac{21}{7} = 3$.

Ответ: $3$.

е) Вычислим $5\frac{3}{7} : 3$. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь, а целое число представим в виде дроби:$5\frac{3}{7} = \frac{5 \times 7 + 3}{7} = \frac{38}{7}$;$3 = \frac{3}{1}$.

Выполним деление:$\frac{38}{7} : \frac{3}{1} = \frac{38}{7} \times \frac{1}{3} = \frac{38 \times 1}{7 \times 3} = \frac{38}{21}$.

Выделим целую часть:$\frac{38}{21} = 1\frac{17}{21}$.

Ответ: $1\frac{17}{21}$.

ж) Вычислим $0 : 10\frac{7}{15}$.

При делении нуля на любое число, не равное нулю, в результате всегда получается ноль. Так как $10\frac{7}{15}$ не равно нулю, то:$0 : 10\frac{7}{15} = 0$.

Ответ: $0$.

з) Вычислим $5\frac{1}{16} : 1$.

При делении любого числа на единицу, результатом является само это число.$5\frac{1}{16} : 1 = 5\frac{1}{16}$.

Ответ: $5\frac{1}{16}$.

2.420. Вычислите по формуле площади прямоугольника S = ab значение:

а) S при a = 517 и b = 49; б) b при S = 19 и a = 912.

2.420

S = ab;

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} \mathrm{при} \mathrm{а} = 5\frac{1}{7}, \mathrm{b} =\frac{4}{9}; \\ \mathrm{S} = 5\frac{1}{7} · \frac{4}{9} = \frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\cancel{36}}}}{7} · \frac{4}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{9}}}} = \frac{4 · 4}{7 · 1} = \frac{16}{7} = 2\frac{2}{7}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{при} \mathrm{S} = 19, \mathrm{а} = 9\frac{1}{2}; \\ \mathrm{b} = \mathrm{S} : \mathrm{a} = 19 : 9\frac{1}{2} = 19 : \frac{19}{2} = \cancel{19} · \frac{2}{\cancel{19}}= \\ = \frac{1 · 2}{1}=2 \end{gathered}$$

а) S при a = $5\frac{1}{7}$ и b = $\frac{4}{9}$

Для вычисления площади $S$ используется формула $S = ab$. Подставим в нее заданные значения сторон $a$ и $b$.

Сначала представим смешанное число $a$ в виде неправильной дроби:

$a = 5\frac{1}{7} = \frac{5 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{35 + 1}{7} = \frac{36}{7}$

Теперь вычислим площадь, перемножив полученную дробь и значение $b$:

$S = \frac{36}{7} \cdot \frac{4}{9}$

Перед умножением можно сократить числитель первой дроби (36) и знаменатель второй (9) на их общий делитель 9:

$S = \frac{36 \div 9}{7} \cdot \frac{4}{9 \div 9} = \frac{4}{7} \cdot \frac{4}{1}$

Теперь перемножим числители и знаменатели:

$S = \frac{4 \cdot 4}{7 \cdot 1} = \frac{16}{7}$

Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число, разделив 16 на 7 с остатком:

$16 \div 7 = 2$ (остаток 2)

Следовательно, $S = 2\frac{2}{7}$.

Ответ: $S = 2\frac{2}{7}$.

б) b при S = 19 и a = $9\frac{1}{2}$

Из формулы площади $S = ab$ можно выразить сторону $b$:

$b = S \div a$ или $b = \frac{S}{a}$

Сначала представим смешанное число $a$ в виде неправильной дроби:

$a = 9\frac{1}{2} = \frac{9 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{18 + 1}{2} = \frac{19}{2}$

Теперь подставим известные значения $S$ и $a$ в формулу для $b$:

$b = 19 \div \frac{19}{2}$

Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь:

$b = 19 \cdot \frac{2}{19}$

Представим 19 как $\frac{19}{1}$ и выполним сокращение:

$b = \frac{19}{1} \cdot \frac{2}{19} = \frac{19 \cdot 2}{1 \cdot 19} = \frac{2}{1} = 2$

Ответ: $b = 2$.

2.421. Найдите скорость комбайна, который убирает полосу длиной 6 км за 34 ч; за 112 ч.

2.421

Длина – 6 км;

Время – $\frac{4}{3}$ ч; $1\frac{1}{2}$ ч.

Скорость - ? км/ч.

$6 : \frac{3}{4} = 6 · \frac{4}{3} = \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{6}}} · 4}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}}=\frac{2 · 4}{1} =8$(км ⁄ ч)

$6 : 1\frac{1}{2} =6 : \frac{3}{2}= 6 · \frac{2}{3} = \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{6}} · 2}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}}=$

$=\frac{2 · 2}{1} =4$ (км ⁄ ч).

Ответ: 8 км/ч; 4 км/ч.

Чтобы найти скорость, необходимо разделить пройденное расстояние на время, затраченное на этот путь. Общая формула для нахождения скорости $v$ выглядит так: $v = \frac{s}{t}$, где $s$ — это расстояние, а $t$ — это время.

за $\frac{3}{4}$ ч

В этом случае дано:

• Расстояние $s = 6$ км
• Время $t = \frac{3}{4}$ ч

Подставим эти значения в формулу для нахождения скорости:

$v = \frac{6}{\frac{3}{4}}$

Для того чтобы разделить число на дробь, нужно это число умножить на дробь, обратную делителю:

$v = 6 \cdot \frac{4}{3} = \frac{6 \cdot 4}{3} = \frac{24}{3} = 8$ (км/ч)

Ответ: скорость комбайна составляет 8 км/ч.

за $1\frac{1}{2}$ ч

В этом случае дано:

• Расстояние $s = 6$ км
• Время $t = 1\frac{1}{2}$ ч

Сначала преобразуем смешанное число $1\frac{1}{2}$ в неправильную дробь:

$1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$ ч

Теперь подставим значения расстояния и времени в формулу скорости:

$v = \frac{6}{\frac{3}{2}}$

Выполним деление, умножив на обратную дробь:

$v = 6 \cdot \frac{2}{3} = \frac{6 \cdot 2}{3} = \frac{12}{3} = 4$ (км/ч)

Ответ: скорость комбайна составляет 4 км/ч.

2.422. Одно число в 249 раза больше другого. Найдите эти числа, если их разность равна 1056.

2.422

Пусть х – первое число, тогда $\mathbf{2}\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{9}}$ х - второе число. Зная, что разность этих чисел равна $10\frac{5}{6}$составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)} 2\frac{4}{9} х - х = 10\frac{5}{6}; \\ \left(2\frac{4}{9} - 1\right) х= 10\frac{5}{6}; \\ 1\frac{4}{9} х = 10\frac{5}{6}; \\ х = 10\frac{5}{6} : 1\frac{4}{9}; \\ х = \frac{65}{6} : \frac{13}{9}; \\ х = \frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\bcancel{65}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{6}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{9}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{13}}}}; \\ х = \frac{5 · 3 }{2 · 1}; \\ х = \frac{15}{2}; \\ х = 7\frac{1}{2} - \mathrm{первое} \mathrm{число}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{2}\mathbf{)} 7\frac{1}{2} · 2\frac{4}{9} = \frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{15}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{2}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{11}{\bcancel{22}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{9}}}} = \\ =\frac{5 · 11}{1 · 3} = \frac{55}{3} = 18\frac{1}{3} - \mathrm{второе} \mathrm{число}. \end{gathered}$$

Ответ: $7\frac{1}{2}$; $18\frac{1}{3}$.

Пусть меньшее число равно $x$. Тогда большее число, которое по условию в $2\frac{4}{9}$ раза больше, будет равно $2\frac{4}{9}x$.

Разность этих чисел равна $10\frac{5}{6}$. Составим и решим уравнение:

$2\frac{4}{9}x - x = 10\frac{5}{6}$

Вынесем $x$ за скобки в левой части уравнения:

$(2\frac{4}{9} - 1)x = 10\frac{5}{6}$

$1\frac{4}{9}x = 10\frac{5}{6}$

Чтобы решить уравнение, преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$1\frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{13}{9}$

$10\frac{5}{6} = \frac{10 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{65}{6}$

Теперь уравнение имеет вид:

$\frac{13}{9}x = \frac{65}{6}$

Найдем $x$, разделив правую часть на коэффициент при $x$:

$x = \frac{65}{6} \div \frac{13}{9} = \frac{65}{6} \cdot \frac{9}{13}$

Сократим дробь перед умножением:

$x = \frac{65 \cdot 9}{6 \cdot 13} = \frac{5 \cdot 13 \cdot 3 \cdot 3}{2 \cdot 3 \cdot 13} = \frac{5 \cdot 3}{2} = \frac{15}{2}$

Преобразуем результат в смешанное число. Меньшее число равно:

$x = 7\frac{1}{2}$

Теперь найдем большее число. Оно равно сумме меньшего числа и их разности:

$7\frac{1}{2} + 10\frac{5}{6}$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$7\frac{1}{2} = 7\frac{3}{6}$

$7\frac{3}{6} + 10\frac{5}{6} = (7+10) + (\frac{3}{6}+\frac{5}{6}) = 17 + \frac{8}{6} = 17 + 1\frac{2}{6} = 18\frac{2}{6} = 18\frac{1}{3}$

Таким образом, большее число равно $18\frac{1}{3}$.

Ответ: $7\frac{1}{2}$ и $18\frac{1}{3}$.

2.423. Некоторое число умножили на 1223, от произведения отняли 3239 и получили 13739. Чему равно это число?

2.424

Пусть х – некоторое число, тогда

$$\begin{gathered} х · 1\frac{2}{23} - 3\frac{2}{39} = 1\frac{37}{39}; \\ х · 1\frac{2}{23} = 1\frac{37}{39} + 3\frac{2}{39}; \\ х · 1\frac{2}{23} = 5; \\ х = 5 : 1\frac{2}{23}: \\ х = \stackrel{1}{\cancel{5}} · \frac{23}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{25}}}}; \\ х = \frac{23}{5}; \\ х = 4\frac{3}{5}. \\ \mathrm{Ответ}: 4\frac{3}{5}. \end{gathered}$$

Обозначим неизвестное число через $x$. Исходя из условия задачи, мы можем составить следующее уравнение:

$x \cdot 1\frac{2}{23} - 3\frac{2}{39} = 1\frac{37}{39}$

Для решения уравнения сначала преобразуем все смешанные числа в неправильные дроби.

$1\frac{2}{23} = \frac{1 \times 23 + 2}{23} = \frac{25}{23}$

$3\frac{2}{39} = \frac{3 \times 39 + 2}{39} = \frac{117 + 2}{39} = \frac{119}{39}$

$1\frac{37}{39} = \frac{1 \times 39 + 37}{39} = \frac{76}{39}$

Теперь подставим эти значения обратно в уравнение:

$x \cdot \frac{25}{23} - \frac{119}{39} = \frac{76}{39}$

Чтобы найти произведение $x \cdot \frac{25}{23}$, перенесем $\frac{119}{39}$ в правую часть уравнения, изменив знак на "+":

$x \cdot \frac{25}{23} = \frac{76}{39} + \frac{119}{39}$

Сложим дроби в правой части, так как у них одинаковый знаменатель:

$x \cdot \frac{25}{23} = \frac{76 + 119}{39} = \frac{195}{39}$

Упростим дробь $\frac{195}{39}$. Для этого разделим числитель на знаменатель:

$195 \div 39 = 5$

Теперь уравнение выглядит так:

$x \cdot \frac{25}{23} = 5$

Чтобы найти $x$, нужно разделить 5 на $\frac{25}{23}$. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:

$x = 5 \div \frac{25}{23} = 5 \cdot \frac{23}{25}$

$x = \frac{5 \cdot 23}{25} = \frac{1 \cdot 23}{5} = \frac{23}{5}$

Преобразуем полученную неправильную дробь в смешанное число:

$x = \frac{23}{5} = 4\frac{3}{5}$

Ответ: $4\frac{3}{5}$

2.424. Два прямоугольника имеют равные площади. Стороны первого прямоугольника равны 823 см и 157 см, а одна из сторон второго — 117 см. Чему равна другая сторона второго прямоугольника?

2.424

$\mathbf{1}\mathbf{)} 8\frac{2}{3} · 1\frac{5}{7} = \frac{26}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\cancel{12}}}}{7} =$

$= \frac{26 · 4}{1 · 7} = \frac{104}{7} = 14\frac{6}{7}$(см²)-площадь;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }14\frac{6}{7} : 1\frac{1}{7} = \frac{104}{7} : \frac{8}{7} = \frac{104}{\cancel{7}} · \frac{\cancel{7}}{8}=$

$= \frac{104}{8} = 13$ (см) - другая сторона второго прямоугольника.

Ответ: 13 см.

Для решения задачи сначала найдем площадь первого прямоугольника. По условию, площади двух прямоугольников равны. Зная площадь второго прямоугольника и одну из его сторон, мы сможем найти другую сторону.

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ и $b$ — длины его сторон.

1. Найдем площадь первого прямоугольника ($S_1$). Его стороны равны $8\frac{2}{3}$ см и $1\frac{5}{7}$ см. Для удобства вычислений переведем смешанные числа в неправильные дроби:
$8\frac{2}{3} = \frac{8 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{26}{3}$
$1\frac{5}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 5}{7} = \frac{12}{7}$
Теперь вычислим площадь:
$S_1 = \frac{26}{3} \cdot \frac{12}{7} = \frac{26 \cdot 12}{3 \cdot 7}$
Сократим дробь на 3:
$S_1 = \frac{26 \cdot 4}{7} = \frac{104}{7}$ см$^2$.

2. Так как площади прямоугольников равны, площадь второго прямоугольника ($S_2$) также равна $\frac{104}{7}$ см$^2$.

3. Одна из сторон второго прямоугольника равна $1\frac{1}{7}$ см. Найдем длину другой стороны ($b_2$). Сначала переведем известную сторону в неправильную дробь:
$1\frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{8}{7}$ см.
Чтобы найти неизвестную сторону, нужно площадь разделить на известную сторону:
$b_2 = S_2 : a_2 = \frac{104}{7} : \frac{8}{7}$
Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:
$b_2 = \frac{104}{7} \cdot \frac{7}{8} = \frac{104 \cdot 7}{7 \cdot 8}$
Сократим на 7:
$b_2 = \frac{104}{8} = 13$ см.

Ответ: другая сторона второго прямоугольника равна 13 см.

2.425. Представьте делитель в виде десятичной дроби и найдите частное:

а) 0,75 : 14; б) 0,8 : 45; в) 0,9 : 35; г) 0,16 : 825.

2.425

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 0,75 : {\frac{1}{4}}^{\overline{)·25}} = 0,75 : \frac{25}{100} = 0,75 : 0,25 = \\ = 75 : 25 = 3; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 0,8 : {\frac{4}{5}}^{\overline{)·2}} = 0,8 : \frac{8}{10} = 0,8 : 0,8 = \\ = 8 : 8 = 1; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} 0,9 : {\frac{3}{5}}^{\overline{)·2}} = 0,9 : \frac{6}{10} = 0,9 : 0,6 = \\ = 9 : 6 = 1,5; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} 0,16 : {\frac{8}{25}}^{\overline{)·4}} = 0,16 : \frac{32}{100} = 0,16 : 0,32 = \\ = 16 : 32 = 0,5. \end{gathered}$$

а) $0,75 : \frac{1}{4}$

Сначала представим делитель $\frac{1}{4}$ в виде десятичной дроби. Для этого можно разделить числитель на знаменатель или привести дробь к знаменателю 10, 100, 1000 и т.д. Умножим числитель и знаменатель на 25:
$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 0,25$.

Теперь найдем частное, разделив делимое на полученную десятичную дробь:
$0,75 : 0,25$.
Чтобы разделить десятичные дроби, перенесем запятую в делимом и делителе на столько знаков вправо, сколько их в делитеle, то есть на два знака:
$75 : 25 = 3$.

Ответ: 3

б) $0,8 : \frac{4}{5}$

Представим делитель $\frac{4}{5}$ в виде десятичной дроби. Умножим числитель и знаменатель на 2:
$\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{8}{10} = 0,8$.

Теперь найдем частное:
$0,8 : 0,8$.
При делении числа на само себя (кроме нуля) частное всегда равно 1.
$0,8 : 0,8 = 1$.

Ответ: 1

в) $0,9 : \frac{3}{5}$

Представим делитель $\frac{3}{5}$ в виде десятичной дроби. Умножим числитель и знаменатель на 2:
$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{6}{10} = 0,6$.

Теперь найдем частное:
$0,9 : 0,6$.
Перенесем запятую в делимом и делителе на один знак вправо:
$9 : 6 = 1,5$.

Ответ: 1,5

г) $0,16 : \frac{8}{25}$

Представим делитель $\frac{8}{25}$ в виде десятичной дроби. Умножим числитель и знаменатель на 4:
$\frac{8}{25} = \frac{8 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{32}{100} = 0,32$.

Теперь найдем частное:
$0,16 : 0,32$.
Перенесем запятую в делимом и делителе на два знака вправо:
$16 : 32 = \frac{16}{32} = \frac{1}{2} = 0,5$.

Ответ: 0,5

2.426. Представьте делитель в виде обыкновенной дроби и найдите частное:

а) 350: 0,3; б) 58 : 0,625; в) 625 : 0,12; г) 116 : 0,25.

2.426

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} \frac{3}{50} : 0,3 = \frac{3}{50} : \frac{3}{10} = \frac{\bcancel{3}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{50}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{10}}}}{\bcancel{3}} = \\ = \frac{1 · 1 }{5 · 1} = \frac{1}{5}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} \frac{5}{8} : 0,625 = \frac{5}{8} : \frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{625}}}}{{\displaystyle \underset{8}{\cancel{1000}}}} = \frac{5}{8} : \frac{5}{8} = \\ = \frac{5}{8} · \frac{8}{5} = 1; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} \frac{6}{25} : 0,12 = \frac{6}{25} : \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{12}}}}{{\displaystyle \underset{25}{\cancel{100}}}} = \frac{6}{25} : \frac{3}{25} = \\ = \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\bcancel{6}}}}{\cancel{25}} · \frac{ \cancel{25}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{3}}}} = \frac{2 · 1}{1 · 1} = 2; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} \frac{1}{16} : 0,25 = \frac{1}{16} : \frac{25}{100 }= \frac{1}{16} : \frac{1}{4} = \\ = \frac{1}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{16}}}} · \stackrel{1}{\cancel{4} }= \frac{1 · 1 }{4} = \frac{1}{4}. \end{gathered}$$

а)

Чтобы найти частное $\frac{3}{50} : 0,3$, сначала представим делитель $0,3$ в виде обыкновенной дроби.

Десятичная дробь $0,3$ читается как "три десятых", что соответствует обыкновенной дроби $\frac{3}{10}$.

Теперь исходное выражение можно записать так:

$\frac{3}{50} : \frac{3}{10}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую):

$\frac{3}{50} \cdot \frac{10}{3}$

Теперь выполним умножение. Можно сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$\frac{3 \cdot 10}{50 \cdot 3} = \frac{\cancel{3} \cdot 10}{50 \cdot \cancel{3}} = \frac{10}{50}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 10:

$\frac{10 \div 10}{50 \div 10} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$.

б)

Найдем частное $\frac{5}{8} : 0,625$. Представим делитель $0,625$ в виде обыкновенной дроби.

Десятичная дробь $0,625$ читается как "шестьсот двадцать пять тысячных", что соответствует дроби $\frac{625}{1000}$.

Сократим эту дробь. Наибольший общий делитель для 625 и 1000 это 125.

$\frac{625 \div 125}{1000 \div 125} = \frac{5}{8}$

Теперь выполним деление:

$\frac{5}{8} : 0,625 = \frac{5}{8} : \frac{5}{8}$

При делении любого ненулевого числа на само себя результат всегда равен 1.

$\frac{5}{8} : \frac{5}{8} = 1$

Ответ: $1$.

в)

Найдем частное $\frac{6}{25} : 0,12$. Представим делитель $0,12$ в виде обыкновенной дроби.

$0,12$ — это "двенадцать сотых", то есть $\frac{12}{100}$.

Сократим эту дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 4:

$\frac{12 \div 4}{100 \div 4} = \frac{3}{25}$

Теперь выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:

$\frac{6}{25} : \frac{3}{25} = \frac{6}{25} \cdot \frac{25}{3}$

Сократим одинаковые множители (25) и выполним оставшееся деление:

$\frac{6 \cdot \cancel{25}}{\cancel{25} \cdot 3} = \frac{6}{3} = 2$

Ответ: $2$.

г)

Найдем частное $\frac{1}{16} : 0,25$. Представим делитель $0,25$ в виде обыкновенной дроби.

$0,25$ — это "двадцать пять сотых", то есть $\frac{25}{100}$.

Сократим эту дробь на 25:

$\frac{25 \div 25}{100 \div 25} = \frac{1}{4}$

Теперь выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:

$\frac{1}{16} : \frac{1}{4} = \frac{1}{16} \cdot \frac{4}{1}$

Выполним умножение и сократим полученную дробь:

$\frac{1 \cdot 4}{16 \cdot 1} = \frac{4}{16} = \frac{4 \div 4}{16 \div 4} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$.