Страница 90, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.338. Вычислите.

2.338

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }1,25 · 2 = 2,5; \\ 2,5 + 1,7 = 4,2; \\ 4,2 – 1,5 = 2,7; \\ 2,7 : 9 = 0,3. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 14,7 : 7 = 2,1; \\ 2,1 – 1,6 = 0,5; \\ 0,5 + 3,3 = 3,8; \\ 3,8 : 2 = 1,9. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }8 · 0,5 = 4; \\ 4 + 3,6 = 7,6; \\ 7,6 – 2 = 5,6; \\ 5,6 : 0,7 = 56 : 7 = 8. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }{2}^2 : 0,25 = 4 : 0,25 = 400 : 25 = 16; \\ 16 – 1,6 = 14,4; \\ 14,4 : 1,2 = 144 : 12 = 12; \\ 12 + 0,8 = 12,8. \end{gathered}$$

а) Решим данный пример по действиям, последовательно выполняя операции сверху вниз:

1. Выполним умножение: $1,25 \cdot 2 = 2,5$
2. К результату прибавим 1,7: $2,5 + 1,7 = 4,2$
3. Из полученного числа вычтем 1,5: $4,2 - 1,5 = 2,7$
4. Результат разделим на 9: $2,7 : 9 = 0,3$

Ответ: 0,3

б) Решим данный пример по действиям, последовательно выполняя операции сверху вниз:

1. Выполним деление: $14,7 : 7 = 2,1$
2. Из результата вычтем 1,6: $2,1 - 1,6 = 0,5$
3. К полученному числу прибавим 3,3: $0,5 + 3,3 = 3,8$
4. Результат разделим на 2: $3,8 : 2 = 1,9$

Ответ: 1,9

в) Решим данный пример по действиям, последовательно выполняя операции сверху вниз:

1. Выполним умножение: $8 \cdot 0,5 = 4$
2. К результату прибавим 3,6: $4 + 3,6 = 7,6$
3. Из полученного числа вычтем 2: $7,6 - 2 = 5,6$
4. Результат разделим на 0,7: $5,6 : 0,7 = 56 : 7 = 8$

Ответ: 8

г) Решим данный пример по действиям, последовательно выполняя операции сверху вниз:

1. Первым действием возведем число в степень: $2^2 = 4$
2. Затем выполним деление: $4 : 0,25 = 16$. (Деление на 0,25 эквивалентно умножению на 4)
3. Из результата вычтем 1,6: $16 - 1,6 = 14,4$
4. Полученное число разделим на 1,2: $14,4 : 1,2 = 144 : 12 = 12$
5. К результату прибавим 0,8: $12 + 0,8 = 12,8$

Ответ: 12,8

2.339. Вычислите:

а) (115)²; б) (34 - 23)²; в) (13)³ - (19)².

2.339

$\mathit{а}\mathbf{)} {\left(1\frac{1}{5}\right)}^2={\left(\frac{6}{5}\right)}^2=\frac{6}{5} · \frac{6}{5} =\frac{35}{25}=1\frac{11}{25};$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }{\left({\frac{3}{4}}^{\overline{)·3}}-{\frac{2}{3}}^{\overline{)·4}}\right)}^2={\left(\frac{9}{12}-\frac{8}{12}\right)}^2={\left(\frac{1}{12}\right)}^2= \\ =\frac{1}{12} · \frac{1}{12} =\frac{1}{144}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} {\left(\frac{1}{3}\right)}^3-{\left(\frac{1}{9}\right)}^2=\frac{1}{3}·\frac{1}{3}· \frac{1}{3}-\frac{1}{9} · \frac{1}{9}= \\ ={\frac{1}{27}}^{\overline{)·3}}-\frac{1}{81}=\frac{3}{81}-\frac{1}{81}=\frac{2}{81}. \end{gathered}$$

а) Для того чтобы возвести смешанное число в степень, сначала преобразуем его в неправильную дробь. Для этого умножаем целую часть на знаменатель и прибавляем числитель: $1\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{6}{5}$.

Теперь возведем полученную дробь в квадрат. Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель: $(\frac{6}{5})^2 = \frac{6^2}{5^2} = \frac{36}{25}$.

Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число, разделив числитель на знаменатель с остатком: $36 \div 25 = 1$ (остаток $11$). Получаем $1\frac{11}{25}$.

Ответ: $1\frac{11}{25}$

б) Сначала выполним действие в скобках. Для вычитания дробей $\frac{3}{4}$ и $\frac{2}{3}$ найдем общий знаменатель. Наименьший общий знаменатель для 4 и 3 — это 12.

Приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$; $\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$.

Выполним вычитание: $\frac{9}{12} - \frac{8}{12} = \frac{9 - 8}{12} = \frac{1}{12}$.

Теперь возведем результат в квадрат: $(\frac{1}{12})^2 = \frac{1^2}{12^2} = \frac{1}{144}$.

Ответ: $\frac{1}{144}$

в) Вычислим каждое слагаемое по отдельности, согласно порядку действий.

Возведем первую дробь в третью степень: $(\frac{1}{3})^3 = \frac{1^3}{3^3} = \frac{1}{27}$.

Возведем вторую дробь во вторую степень: $(\frac{1}{9})^2 = \frac{1^2}{9^2} = \frac{1}{81}$.

Теперь выполним вычитание полученных результатов: $\frac{1}{27} - \frac{1}{81}$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 27 и 81 — это 81. Домножим первую дробь на 3: $\frac{1 \cdot 3}{27 \cdot 3} - \frac{1}{81} = \frac{3}{81} - \frac{1}{81} = \frac{3 - 1}{81} = \frac{2}{81}$.

Ответ: $\frac{2}{81}$

2.340. Какое число прибавили к 13 и получили:

а) 1; б) 56; в) 12; г) 1112; д) 2524?

2.340

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} \frac{1}{3}+ х =1; \\ х =1 -\frac{1}{3}; \\ х= \frac{3}{3}-\frac{1}{3}; \\ х = \frac{2}{3}. \\ \mathrm{Ответ}: \frac{2}{3}. \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} \frac{1}{3} + х =\frac{5}{6}; \\ х = \frac{5}{6} - {\frac{1}{3}}^{\overline{)·2}}; \\ х = \frac{5}{6} - \frac{2}{6}; \\ х= \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{3}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{6}}}}; \\ х = \frac{1}{2}. \\ \mathrm{Ответ}: \frac{1}{2}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{1}{3}+ х =\frac{1}{2}; \\ х = {\frac{1}{2}}^{\overline{)·3}} -{\frac{1}{3}}^{\overline{)·2}}; \\ х = \frac{3}{6} -\frac{2}{6}; \\ х = \frac{1}{6}. \\ \mathrm{Ответ}: \frac{1}{6}. \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} \frac{1}{3} + х= 1\frac{1}{12}; \\ х = 1\frac{1}{12} - \frac{1}{3}; \\ х = \frac{13}{12} - {\frac{1}{3}}^{\overline{)·4}}; \\ х = \frac{13}{12} - \frac{4}{12}; \\ х= \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{9}}}}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{12}}}}; \\ х = \frac{3}{4}. \\ \mathrm{Ответ}: \frac{3}{4}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)} \frac{1}{3} + х =2\frac{5}{24}; \\ х = 2\frac{5}{24} - {\frac{1}{3}}^{\overline{)·8}}; \\ х = \frac{53}{24} - \frac{8}{24}; \\ х = \frac{45}{24}; \\ х = 1\frac{7}{8}. \\ \mathrm{Ответ}: 1\frac{7}{8}. \end{gathered}$$

Чтобы найти, какое число прибавили к $\frac{1}{3}$, чтобы получить заданное число, необходимо из заданного числа вычесть $\frac{1}{3}$.

а)

Найдем разность между 1 и $\frac{1}{3}$. Для этого представим 1 в виде дроби со знаменателем 3.

$1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{3-1}{3} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

б)

Найдем разность между $\frac{5}{6}$ и $\frac{1}{3}$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 6.

$\frac{5}{6} - \frac{1}{3} = \frac{5}{6} - \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{5}{6} - \frac{2}{6} = \frac{5-2}{6} = \frac{3}{6}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

в)

Найдем разность между $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$. Приведем дроби к общему знаменателю 6.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$

г)

Найдем разность между $1\frac{1}{12}$ и $\frac{1}{3}$. Сначала представим $1\frac{1}{12}$ в виде неправильной дроби.

$1\frac{1}{12} = \frac{1 \cdot 12 + 1}{12} = \frac{13}{12}$

Теперь выполним вычитание, приведя дроби к общему знаменателю 12.

$\frac{13}{12} - \frac{1}{3} = \frac{13}{12} - \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{13}{12} - \frac{4}{12} = \frac{13-4}{12} = \frac{9}{12}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{9}{12} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$

д)

Найдем разность между $2\frac{5}{24}$ и $\frac{1}{3}$. Сначала представим $2\frac{5}{24}$ в виде неправильной дроби.

$2\frac{5}{24} = \frac{2 \cdot 24 + 5}{24} = \frac{48+5}{24} = \frac{53}{24}$

Теперь выполним вычитание, приведя дроби к общему знаменателю 24.

$\frac{53}{24} - \frac{1}{3} = \frac{53}{24} - \frac{1 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{53}{24} - \frac{8}{24} = \frac{53-8}{24} = \frac{45}{24}$

Сократим полученную дробь на 3:

$\frac{45}{24} = \frac{15}{8}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{15}{8} = 1\frac{7}{8}$

Ответ: $1\frac{7}{8}$

2.341. Найдите числа, которых не хватает в цепочке и на схеме.

2.341

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{1}{5} · \frac{5}{6} = \frac{1· \cancel{5}}{\cancel{5} · 6}=\frac{1 · 1}{1 · 6}=\frac{1}{6} \\ \frac{1}{6} · \frac{6}{7} = \frac{1· \cancel{6}}{\cancel{6} · 7}=\frac{1 · 1}{1 · 7}=\frac{1}{7} \\ \frac{1}{7} · \frac{7}{8} = \frac{1· \cancel{7}}{\cancel{7 }· 8}=\frac{1 · 1}{1 · 8}=\frac{1}{8} \\ \frac{1}{8} · \frac{8}{9} = \frac{1· \cancel{8}}{\cancel{8} · 9}=\frac{1 · 1}{1 · 9}=\frac{1}{9} \end{gathered}$$   $$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{4}{15} · 0 =0; \\ \frac{4}{15} · 3 = \frac{4 · {\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{3}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{15}}}} =\frac{4 · 1}{5}=\frac{4}{5} \\ \frac{4}{15} · 4 = \frac{4 ·4}{{\displaystyle 15}} =\frac{16}{15}=1\frac{1}{15} \\ \frac{4}{15} · 5 = \frac{4 · {\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{15}}}} =\frac{4 · 1}{3}=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}. \end{gathered}$$

а)

В данной цепочке вычислений нужно последовательно выполнять умножение, чтобы найти числа в пустых фигурах.

1. Найдем число в первом пустом кружке (справа вверху), умножив число из начального квадрата на $\frac{5}{6}$:

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{1 \cdot 5}{5 \cdot 6} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$

2. Найдем число во втором кружке (справа внизу), умножив результат предыдущего шага на $\frac{6}{7}$:

$\frac{1}{6} \cdot \frac{6}{7} = \frac{1 \cdot 6}{6 \cdot 7} = \frac{6}{42} = \frac{1}{7}$

3. Найдем число в третьем кружке (слева внизу), умножив результат предыдущего шага на $\frac{7}{8}$:

$\frac{1}{7} \cdot \frac{7}{8} = \frac{1 \cdot 7}{7 \cdot 8} = \frac{7}{56} = \frac{1}{8}$

4. Найдем число в пустом квадрате, умножив результат предыдущего шага на $\frac{8}{9}$:

$\frac{1}{8} \cdot \frac{8}{9} = \frac{1 \cdot 8}{8 \cdot 9} = \frac{8}{72} = \frac{1}{9}$

Ответ: в пустые кружки по порядку следует вписать числа $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{7}$, $\frac{1}{8}$. В пустой квадрат следует вписать число $\frac{1}{9}$.

б)

В этой схеме нужно умножить центральное число $\frac{4}{15}$ на числа, указанные на стрелках, чтобы найти значения в пустых кружках.

1. Кружок слева вверху. Умножаем на 0:

$\frac{4}{15} \cdot 0 = 0$

2. Кружок справа вверху. Умножаем на 3:

$\frac{4}{15} \cdot 3 = \frac{4 \cdot 3}{15} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$

3. Кружок справа внизу. Умножаем на 4:

$\frac{4}{15} \cdot 4 = \frac{4 \cdot 4}{15} = \frac{16}{15}$

4. Кружок слева внизу. Умножаем на 5:

$\frac{4}{15} \cdot 5 = \frac{4 \cdot 5}{15} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}$

Ответ: в пустые кружки, двигаясь по часовой стрелке от левого верхнего, следует вписать числа $0$, $\frac{4}{5}$, $\frac{16}{15}$, $\frac{4}{3}$.

2.342. Выполните действия:

а) 3111 + 2322; б) 313 – 115; в) 4 – 247; г) 234 – 156.

2.342

$\mathit{а}\mathbf{)} {3\frac{1}{11}}^{\overline{)·2}}+2\frac{3}{22}=3\frac{2}{22}+2\frac{3}{22}=5\frac{5}{22};$

$\mathit{б}\mathbf{)} {3\frac{1}{3}}^{\overline{)·5}}-{1\frac{1}{5}}^{\overline{)·3}}=3\frac{5}{15}-1\frac{3}{15}=2\frac{2}{15};$

$\mathit{в}\mathbf{)} 4 - 2\frac{4}{7} =3\frac{7}{7}-2\frac{4}{7} = 1\frac{3}{7};$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }{2\frac{3}{4}}^{\overline{)·3}} - {1\frac{5}{6}}^{\overline{)·2}} =2\frac{9}{12}-1\frac{10}{12}= \\ =1\frac{21}{12}-1\frac{10}{12}=\frac{11}{12}. \end{gathered}$$

а) $3\frac{1}{11} + 2\frac{3}{22}$

Для сложения смешанных чисел сложим отдельно их целые и дробные части.
Сначала сложим целые части: $3 + 2 = 5$.
Затем сложим дробные части: $\frac{1}{11} + \frac{3}{22}$.
Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 11 и 22 это 22.
Приведем дробь $\frac{1}{11}$ к знаменателю 22, умножив ее числитель и знаменатель на 2:
$\frac{1}{11} = \frac{1 \cdot 2}{11 \cdot 2} = \frac{2}{22}$.
Теперь выполним сложение дробей:
$\frac{2}{22} + \frac{3}{22} = \frac{2+3}{22} = \frac{5}{22}$.
Объединим целую и дробную части:
$5 + \frac{5}{22} = 5\frac{5}{22}$.
Ответ: $5\frac{5}{22}$.

б) $3\frac{1}{3} - 1\frac{1}{5}$

Для вычитания смешанных чисел вычтем отдельно их целые и дробные части.
Сначала вычтем целые части: $3 - 1 = 2$.
Затем вычтем дробные части: $\frac{1}{3} - \frac{1}{5}$.
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 5 это 15.
$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{5}{15}$.
$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{3}{15}$.
Теперь выполним вычитание дробей:
$\frac{5}{15} - \frac{3}{15} = \frac{5-3}{15} = \frac{2}{15}$.
Объединим результат:
$2 + \frac{2}{15} = 2\frac{2}{15}$.
Ответ: $2\frac{2}{15}$.

в) $4 - 2\frac{4}{7}$

Чтобы вычесть из целого числа смешанное, представим целое число 4 в виде смешанного числа. Для этого "займем" у 4 единицу и представим ее в виде дроби со знаменателем 7:
$4 = 3 + 1 = 3 + \frac{7}{7} = 3\frac{7}{7}$.
Теперь выполним вычитание:
$3\frac{7}{7} - 2\frac{4}{7}$.
Вычтем целые части: $3 - 2 = 1$.
Вычтем дробные части: $\frac{7}{7} - \frac{4}{7} = \frac{7-4}{7} = \frac{3}{7}$.
Объединим результат:
$1 + \frac{3}{7} = 1\frac{3}{7}$.
Ответ: $1\frac{3}{7}$.

г) $2\frac{3}{4} - 1\frac{5}{6}$

Для вычитания смешанных чисел сначала приведем их дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 6 это 12.
$2\frac{3}{4} = 2\frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = 2\frac{9}{12}$.
$1\frac{5}{6} = 1\frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = 1\frac{10}{12}$.
Теперь выражение выглядит так: $2\frac{9}{12} - 1\frac{10}{12}$.
Так как дробная часть уменьшаемого ($\frac{9}{12}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{10}{12}$), нужно "занять" единицу у целой части уменьшаемого.
$2\frac{9}{12} = 1 + 1 + \frac{9}{12} = 1 + \frac{12}{12} + \frac{9}{12} = 1\frac{21}{12}$.
Теперь выполним вычитание:
$1\frac{21}{12} - 1\frac{10}{12}$.
Вычтем целые части: $1 - 1 = 0$.
Вычтем дробные части: $\frac{21}{12} - \frac{10}{12} = \frac{21-10}{12} = \frac{11}{12}$.
Ответ: $\frac{11}{12}$.

2.343. Найдите значение произведения:

а) 35 · 123; б) 337 · 213; в) 247 · 319.

2.343

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{3}{5} · 1\frac{2}{3}=\frac{3}{5}·\frac{5}{3}=\frac{\cancel{3} · \bcancel{5}}{\bcancel{5} · \cancel{3}}=\frac{1 · 1}{1 · 1}=1;$

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }3\frac{3}{7} · 2\frac{1}{3}=\frac{24}{7}·\frac{7}{3}=\frac{{\displaystyle \stackrel{8}{\bcancel{24}}} · \bcancel{7}}{\bcancel{7} · \cancel{3}}=\frac{8 · 1}{1 · 1}=8;$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }2\frac{4}{7} · 3\frac{1}{9} = \frac{18}{7} · \frac{28}{9}= \\ =\frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{18}}} · {\displaystyle \stackrel{4}{\bcancel{28}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{7}}} ·{\displaystyle \underset{1}{ \cancel{9}}}}=\frac{2 · 4}{1 · 1}=8. \end{gathered}$$

а) Чтобы найти значение произведения $\frac{3}{5} \cdot 1\frac{2}{3}$, сначала необходимо преобразовать смешанное число в неправильную дробь. Для этого умножаем целую часть на знаменатель и к результату прибавляем числитель, знаменатель оставляем прежним.

$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$

Теперь выполним умножение дробей. Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и их знаменатели.

$\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3} = \frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 3} = \frac{15}{15} = 1$

Можно также выполнить сокращение общих множителей до умножения:

$\frac{\cancel{3}^1}{\cancel{5}_1} \cdot \frac{\cancel{5}^1}{\cancel{3}_1} = 1$

Ответ: $1$

б) Для вычисления произведения $3\frac{3}{7} \cdot 2\frac{1}{3}$ преобразуем оба смешанных числа в неправильные дроби.

$3\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{21 + 3}{7} = \frac{24}{7}$

$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{6 + 1}{3} = \frac{7}{3}$

Теперь умножим полученные дроби. Удобно сначала сократить общие множители: 7 в числителе и знаменателе, а также 24 и 3 (оба делятся на 3).

$\frac{24}{7} \cdot \frac{7}{3} = \frac{\cancel{24}^8}{\cancel{7}_1} \cdot \frac{\cancel{7}^1}{\cancel{3}_1} = \frac{8 \cdot 1}{1 \cdot 1} = 8$

Ответ: $8$

в) Сначала представим оба смешанных числа $2\frac{4}{7}$ и $3\frac{1}{9}$ в виде неправильных дробей.

$2\frac{4}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{14 + 4}{7} = \frac{18}{7}$

$3\frac{1}{9} = \frac{3 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{27 + 1}{9} = \frac{28}{9}$

Теперь выполним умножение полученных дробей, предварительно сократив их. Числитель 18 и знаменатель 9 сокращаются на 9. Числитель 28 и знаменатель 7 сокращаются на 7.

$\frac{18}{7} \cdot \frac{28}{9} = \frac{\cancel{18}^2}{\cancel{7}_1} \cdot \frac{\cancel{28}^4}{\cancel{9}_1} = \frac{2 \cdot 4}{1 \cdot 1} = 8$

Ответ: $8$

2.344. Выполните действия:

а) 952 · 413 · 13 + (323 + 245) · 6097 + 536 · 145;

б) (59 + 15) · (2867 – 19514) · 917 – 15.

2.344

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{9}{52} \stackrel{2}{·} 4\frac{1}{3} \stackrel{3}{·}\frac{1}{3} \stackrel{7}{+}\left(3\frac{2}{3}\stackrel{1}{+}2\frac{4}{5}\right) \stackrel{4}{· }\frac{60}{97}\stackrel{6}{+}\frac{5}{36} \stackrel{5}{·}1\frac{4}{5}=4\frac{1}{2}$

$$\begin{gathered} 1) {3\frac{2}{3}}^{\overline{)·5}}+{ 2\frac{4}{5}}^{\overline{)·3}}=3\frac{10}{15}+ 2\frac{12}{15}=5\frac{22}{15}= \\ =5 + 1\frac{7}{15}=6\frac{7}{15}; \\ 2) \frac{9}{52 } · 4\frac{1}{3}=\frac{9}{52 } · \frac{13}{3}=\frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\bcancel{9}}} · {\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{13}}}}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{52}}} ·{\displaystyle \underset{1}{ \bcancel{3}}}}= \\ =\frac{3 · 1}{4 · 1}=\frac{3}{4}; \\ 3) \frac{3}{4}· \frac{1}{3}=\frac{\cancel{3} · 1}{4 · \cancel{3}}=\frac{1 · 1}{4 · 1}=\frac{1}{4}; \\ 4) 6\frac{7}{15}·\frac{60}{97}=\frac{97}{15}·\frac{60}{97}=\frac{\cancel{97} · {\displaystyle \stackrel{4}{\bcancel{60}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{15}}} · \cancel{97}}= \\ =\frac{1 · 4}{1 · 1}=4; \\ 5) \frac{5}{36} · 1\frac{4}{5} =\frac{5}{36} · \frac{9}{5}=\frac{\cancel{5} · {\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{9}}}}{{\displaystyle \underset{4}{\bcancel{36}}} · \cancel{5}}= \\ =\frac{1 · 1}{4 · 1}=\frac{1}{4}; \\ 6) \frac{1}{4}+ 4 = 4\frac{1}{4}; \\ 7) 4\frac{1}{4} +\frac{1}{4}=4\frac{2}{4}=4\frac{1}{2}. \end{gathered}$$

$\mathit{б}\mathbf{)} \left(\frac{5}{9}\stackrel{1}{+}\frac{1}{5}\right) \stackrel{3}{· }\left(28\frac{6}{7} \stackrel{2}{-} 19\frac{5}{14}\right)\stackrel{4}{·}\frac{9}{17}\stackrel{5}{-}\frac{1}{5}=3\frac{3}{5}$

$$\begin{gathered} 1) {\frac{5}{9}}^{\overline{)·5}}+{\frac{1}{5}}^{\overline{)·9}}=\frac{25}{45}+\frac{9}{45}=\frac{34}{45}; \\ 2) {28\frac{6}{7}}^{\overline{)·2}} - 19\frac{5}{14}= 28\frac{12}{14} - 19\frac{5}{14}= \\ =9\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{7}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{14}}}}=9\frac{1}{2}; \\ 3) \frac{34}{45} · 9\frac{1}{2} = \frac{34}{45} · \frac{19}{2}=\frac{{\displaystyle \stackrel{17}{\cancel{34}}} · 19}{45 · {\displaystyle \underset{1}{\cancel{2}}}}= \\ =\frac{17 · 19}{45 · 1}=\frac{323}{45}; \\ 4) \frac{323}{45} · \frac{9}{17}=\frac{{\displaystyle \stackrel{19}{\cancel{323} }}·{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{ 9}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\bcancel{45}}} · {\displaystyle \underset{1}{\cancel{17}}}}=\frac{19 · 1}{5 · 1}= \\ =\frac{19}{5}=3\frac{4}{5}; \\ 5) 3\frac{4}{5} - \frac{1}{5}=3\frac{3}{5}. \end{gathered}$$

а) $ \frac{9}{52} \cdot 4\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} + (3\frac{2}{3} + 2\frac{4}{5}) \cdot \frac{60}{97} + \frac{5}{36} \cdot 1\frac{4}{5} $

Решим данный пример по действиям, так как он состоит из трех слагаемых.

1. Вычислим значение первого слагаемого. Для этого сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $ 4\frac{1}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{13}{3} $. Теперь выполним умножение, сокращая дроби: $ \frac{9}{52} \cdot \frac{13}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{9 \cdot 13 \cdot 1}{52 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{\cancel{9} \cdot \cancel{13}}{\cancel{52}_4 \cdot \cancel{9}} = \frac{1}{4} $.

2. Вычислим значение второго слагаемого. Сначала выполним действие в скобках. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $ 3\frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{11}{3} $; $ 2\frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{14}{5} $. Приведем дроби к общему знаменателю 15 и сложим их: $ \frac{11}{3} + \frac{14}{5} = \frac{11 \cdot 5}{15} + \frac{14 \cdot 3}{15} = \frac{55 + 42}{15} = \frac{97}{15} $. Теперь умножим полученный результат на $ \frac{60}{97} $: $ \frac{97}{15} \cdot \frac{60}{97} = \frac{\cancel{97} \cdot 60}{15 \cdot \cancel{97}} = \frac{60}{15} = 4 $.

3. Вычислим значение третьего слагаемого. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $ 1\frac{4}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{9}{5} $. Выполним умножение: $ \frac{5}{36} \cdot \frac{9}{5} = \frac{\cancel{5} \cdot 9}{36 \cdot \cancel{5}} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4} $.

4. Теперь сложим все полученные результаты: $ \frac{1}{4} + 4 + \frac{1}{4} = 4 + (\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) = 4 + \frac{2}{4} = 4 + \frac{1}{2} = 4\frac{1}{2} $.

Ответ: $ 4\frac{1}{2} $.

б) $ (\frac{5}{9} + \frac{1}{5}) \cdot (28\frac{6}{7} - 19\frac{5}{14}) \cdot \frac{9}{17} - \frac{1}{5} $

Выполним действия в соответствии с их порядком: сначала действия в скобках, затем умножение, и в конце вычитание.

1. Выполним сложение в первых скобках. Найдем общий знаменатель для дробей $ \frac{5}{9} $ и $ \frac{1}{5} $, он равен 45: $ \frac{5}{9} + \frac{1}{5} = \frac{5 \cdot 5}{45} + \frac{1 \cdot 9}{45} = \frac{25 + 9}{45} = \frac{34}{45} $.

2. Выполним вычитание во вторых скобках. Приведем дробные части смешанных чисел к общему знаменателю 14: $ 28\frac{6}{7} = 28\frac{6 \cdot 2}{7 \cdot 2} = 28\frac{12}{14} $. Теперь вычтем целые и дробные части по отдельности: $ 28\frac{12}{14} - 19\frac{5}{14} = (28 - 19) + (\frac{12}{14} - \frac{5}{14}) = 9 + \frac{7}{14} = 9 + \frac{1}{2} = 9\frac{1}{2} $. Преобразуем результат в неправильную дробь для удобства дальнейших вычислений: $ 9\frac{1}{2} = \frac{9 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{19}{2} $.

3. Теперь выполним умножение результатов, полученных в скобках, на дробь $ \frac{9}{17} $: $ \frac{34}{45} \cdot \frac{19}{2} \cdot \frac{9}{17} = \frac{34 \cdot 19 \cdot 9}{45 \cdot 2 \cdot 17} $. Сократим полученное выражение: $ \frac{(2 \cdot \cancel{17}) \cdot 19 \cdot \cancel{9}}{(\cancel{9} \cdot 5) \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{17}} = \frac{19}{5} $.

4. Выполним последнее действие — вычитание: $ \frac{19}{5} - \frac{1}{5} = \frac{19 - 1}{5} = \frac{18}{5} $. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $ \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} $.

Ответ: $ 3\frac{3}{5} $.

2.345. Найдите, между какими соседними натуральными числами расположены числа

235, 5411, 10160.

2.345

$2\frac{3}{5}: 2 и 3;$

$\frac{54}{11}= 4\frac{10}{11}: 4 и 5;$

$\frac{101}{60}= 1\frac{41}{60}: 1 и 2.$

$2\frac{3}{5}$

Чтобы найти, между какими соседними натуральными числами расположено число $2\frac{3}{5}$, рассмотрим его состав. Это смешанное число, состоящее из целой части и дробной части.

Целая часть числа равна 2.

Дробная часть $\frac{3}{5}$ является правильной дробью, что означает, что ее значение находится в интервале от 0 до 1: $0 < \frac{3}{5} < 1$.

Следовательно, само число $2\frac{3}{5}$ будет больше своей целой части (2), но меньше следующего натурального числа (3). Это можно записать в виде двойного неравенства:

$2 < 2\frac{3}{5} < 3$

Ответ: между 2 и 3.

$\frac{54}{11}$

Чтобы определить, между какими соседними натуральными числами находится неправильная дробь $\frac{54}{11}$, необходимо выделить из нее целую часть. Для этого разделим числитель 54 на знаменатель 11 с остатком.

$54 \div 11 = 4$ (остаток $10$)

Это означает, что дробь можно представить в виде смешанного числа:

$\frac{54}{11} = 4\frac{10}{11}$

Целая часть этого числа равна 4. Дробная часть $\frac{10}{11}$ больше 0 и меньше 1. Таким образом, число $\frac{54}{11}$ больше 4, но меньше 5. Запишем это в виде двойного неравенства:

$4 < \frac{54}{11} < 5$

Ответ: между 4 и 5.

$\frac{101}{60}$

Чтобы найти, между какими соседними натуральными числами расположена неправильная дробь $\frac{101}{60}$, выделим из нее целую часть. Разделим числитель 101 на знаменатель 60 с остатком.

$101 \div 60 = 1$ (остаток $41$)

Это означает, что дробь можно представить в виде смешанного числа:

$\frac{101}{60} = 1\frac{41}{60}$

Целая часть этого числа равна 1. Дробная часть $\frac{41}{60}$ больше 0 и меньше 1. Следовательно, число $\frac{101}{60}$ больше 1, но меньше 2. Запишем это в виде двойного неравенства:

$1 < \frac{101}{60} < 2$

Ответ: между 1 и 2.

2.346. Найдите какие-нибудь четыре решения неравенства:

а) a < 0,7; б) 3 < b < 5; в) 812 < c < 917; г) 0,2 < d < 0,3.

2.346

а) а < 0,7

a = 0; 0,1; 0,15; 0,5

б) 3 < b < 5

b = 3,1; 3,9; 4; 4,5

в) $8\frac{1}{2}$< c < $9\frac{1}{7}$

$8\frac{7}{14}$ < c < $9\frac{2}{14}$

c = $8\frac{9}{14}$; $8\frac{11}{14}$; 9; $9\frac{1}{14}$

г) 0,2 < d < 0,3

d = 0,21; 0,25; 0,27; 0,288.

а) Неравенство $a < 0,7$ означает, что нужно найти любое число, которое строго меньше, чем 0,7. Решением может быть любое число на числовой прямой, расположенное левее точки 0,7. Таких чисел бесконечно много, включая положительные, отрицательные числа и ноль.
Вот четыре примера таких решений:
1. $a = 0,6$ (поскольку $0,6 < 0,7$)
2. $a = 0,5$ (поскольку $0,5 < 0,7$)
3. $a = 0$ (поскольку $0 < 0,7$)
4. $a = -2$ (поскольку любое отрицательное число меньше любого положительного числа)
Ответ: 0,6; 0,5; 0; -2.

б) Двойное неравенство $3 < b < 5$ означает, что нужно найти числа, которые строго больше 3 и одновременно строго меньше 5.
Между числами 3 и 5 находится только одно целое число — 4. Остальные решения должны быть дробными числами (десятичными или обыкновенными дробями).
Примеры четырех решений:
1. $b = 3,1$ (поскольку $3 < 3,1 < 5$)
2. $b = 3,5$ (поскольку $3 < 3,5 < 5$)
3. $b = 4$ (поскольку $3 < 4 < 5$)
4. $b = 4,8$ (поскольку $3 < 4,8 < 5$)
Ответ: 3,1; 3,5; 4; 4,8.

в) В неравенстве $8\frac{1}{2} < c < 9\frac{1}{7}$ требуется найти числа, находящиеся в интервале между $8\frac{1}{2}$ и $9\frac{1}{7}$.
Чтобы было удобнее подбирать числа, приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2 и 7 — это 14.
$8\frac{1}{2} = 8\frac{1 \cdot 7}{2 \cdot 7} = 8\frac{7}{14}$
$9\frac{1}{7} = 9\frac{1 \cdot 2}{7 \cdot 2} = 9\frac{2}{14}$
Неравенство принимает вид: $8\frac{7}{14} < c < 9\frac{2}{14}$.
Теперь можно выбрать подходящие значения, например:
1. $c = 8\frac{8}{14} = 8\frac{4}{7}$ (поскольку $8\frac{7}{14} < 8\frac{8}{14} < 9\frac{2}{14}$)
2. $c = 8\frac{10}{14} = 8\frac{5}{7}$ (поскольку $8\frac{7}{14} < 8\frac{10}{14} < 9\frac{2}{14}$)
3. $c = 9$ (целое число 9 удовлетворяет неравенству: $8\frac{1}{2} < 9$ и $9 < 9\frac{1}{7}$)
4. $c = 9\frac{1}{14}$ (поскольку $8\frac{7}{14} < 9\frac{1}{14} < 9\frac{2}{14}$)
Ответ: $8\frac{4}{7}$; $8\frac{5}{7}$; 9; $9\frac{1}{14}$.

г) В неравенстве $0,2 < d < 0,3$ нужно найти четыре числа, которые строго больше 0,2, но строго меньше 0,3.
Чтобы легче было найти промежуточные значения, можно представить граничные числа с большим количеством знаков после запятой: иными словами, найти число между $0,20$ и $0,30$.
Любое число между 0,20 и 0,30 будет решением, например, от 0,21 до 0,29. Можно также использовать числа с большим количеством знаков после запятой.
Примеры четырех решений:
1. $d = 0,21$ (поскольку $0,2 < 0,21 < 0,3$)
2. $d = 0,22$ (поскольку $0,2 < 0,22 < 0,3$)
3. $d = 0,25$ (поскольку $0,2 < 0,25 < 0,3$)
4. $d = 0,28$ (поскольку $0,2 < 0,28 < 0,3$)
Ответ: 0,21; 0,22; 0,25; 0,28.

3.347. Сколькими способами можно выбрать четырёх участников марафона из 16 человек?

2.347

1-ый участник: 16 вариантов;

2-ой участник: 16 – 1 = 15 вариантов;

3-ий участник: 15 – 1 = 14 вариантов;

4-ый участник: 14 – 1 = 13 вариантов.

16 • 15 • 14 • 13 = 43680 способов всего.

Ответ: 43 680 способов.

Данная задача решается с помощью комбинаторики, а именно — через нахождение числа сочетаний. Это связано с тем, что порядок, в котором выбираются участники марафона, не имеет значения. Важен только итоговый состав группы из четырёх человек.

Формула для расчёта числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ элементам выглядит следующим образом:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В условиях нашей задачи:

• общее количество людей, из которых производится выбор, $n = 16$;
• количество участников, которых необходимо выбрать, $k = 4$.

Подставим эти значения в формулу:

$C_{16}^4 = \frac{16!}{4!(16-4)!} = \frac{16!}{4! \cdot 12!}$

Теперь выполним вычисления. Для этого распишем факториалы и сократим их:

$C_{16}^4 = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12!}{ (4 \times 3 \times 2 \times 1) \times 12!}$

Сокращаем $12!$ в числителе и знаменателе:

$C_{16}^4 = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13}{4 \times 3 \times 2 \times 1}$

Рассчитаем полученное выражение:

$C_{16}^4 = \frac{43680}{24} = 1820$

Можно также упростить вычисление, сократив множители:

$C_{16}^4 = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = ( \frac{16}{4 \cdot 2} ) \cdot ( \frac{15}{3} ) \cdot 14 \cdot 13 = 2 \cdot 5 \cdot 14 \cdot 13 = 10 \cdot 182 = 1820$

Следовательно, существует 1820 способов выбрать четырёх участников марафона из 16 человек.

Ответ: 1820.

2.348. Для ателье закупили 36 м шерстяной ткани, бархата — в 116 раза больше, чем шерстяной ткани, а хлопковой ткани — в 213 раза больше, чем бархата. Сколько метров хлопковой ткани купили?

2.348

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }36 · 1\frac{1}{6 }=36 · \frac{7}{6}=\frac{{\displaystyle \stackrel{6}{\cancel{36}}}· 7}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{6}}}}=$

$=\frac{6 · 7}{1}=42$(м)-бархата; 

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }42 · 2\frac{1}{3 }=42 · \frac{7}{3}=\frac{{\displaystyle \stackrel{14}{\cancel{42}}· 7}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}}=$

$=14 · 7 = 98$ (м)-хлопковой ткани.

Ответ: 98 м.

Для того чтобы определить, сколько метров хлопковой ткани купили, необходимо сначала вычислить количество закупленного бархата.

1. Найдём количество бархатной ткани.

По условию задачи, шерстяной ткани закупили 36 м, а бархата — в $1\frac{1}{6}$ раза больше. Чтобы найти количество бархата, необходимо количество шерстяной ткани умножить на $1\frac{1}{6}$.

Сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби:

$1\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{7}{6}$

Теперь выполним умножение:

$36 \cdot \frac{7}{6} = \frac{36 \cdot 7}{6} = 6 \cdot 7 = 42$ (м)

Таким образом, для ателье закупили 42 метра бархата.

2. Найдём количество хлопковой ткани.

Известно, что хлопковой ткани закупили в $2\frac{1}{3}$ раза больше, чем бархата. Поскольку мы уже рассчитали, что бархата было 42 м, мы можем найти искомое количество хлопковой ткани.

Представим смешанное число $2\frac{1}{3}$ в виде неправильной дроби:

$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$

Теперь выполним умножение:

$42 \cdot \frac{7}{3} = \frac{42 \cdot 7}{3} = 14 \cdot 7 = 98$ (м)

Следовательно, хлопковой ткани купили 98 метров.

Ответ: 98 метров.