Номер 2.399, страница 97, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

Часть 1. Параграф 2. Действия со смешенными числами. 14. Применение распределительного свойства умножения - номер 2.399, страница 97.

Условие.

2.399. Упростите и найдите значение выражения:

а) 47х + 514х при х = 514, 913;

б) 516y + y – 38y при y = 1115, 178;

в) 1742c – 27c + 718c при c = 312, 258;

г) 34n + 23n – 418n при n = 11323, 641.

Решение 1.

2.399

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{4}{7}}^{\overline{)·2}}х + \frac{5}{14}х = \left(\frac{8}{14}+\frac{5}{14}\right)х =\frac{13}{14}х;$

при x = $5\frac{1}{4}$:

$$\begin{gathered} \frac{13}{14}х = \frac{13}{14}· 5\frac{1}{4} = \frac{13 ·{\displaystyle \stackrel{3}{ \cancel{21}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{14}}} · 4 }= \\ =\frac{13 · 3}{2 · 4 }= \frac{39}{8}=4\frac{7}{8}; \end{gathered}$$

при x = $\frac{9}{13}$:

$$\begin{gathered} \frac{13}{14}х = \frac{13}{14}· \frac{9}{13} = \frac{\cancel{13} ·{\displaystyle 9}}{{\displaystyle 14 ·\cancel{ 13} }}= \\ =\frac{1 · 9}{14 · 1 }= \frac{9}{14}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{5}{16}у + у - {\frac{3}{8}}^{\overline{)·2}}у = \left(\frac{5}{16} + \frac{16}{16} - \frac{6}{16}\right)у= \\ =\frac{15}{16}у; \end{gathered}$$

при у = $1\frac{1}{15}$:

$$\begin{gathered} \frac{15}{16}у = \frac{15}{16 }· 1\frac{1}{15}=\frac{15 · 16 }{16 · 15}= \\ =\frac{1 · 1}{1 · 1} = 1; \end{gathered}$$

при у = $1\frac{7}{8}$:

$$\begin{gathered} \frac{15}{16}у = \frac{15}{16 }· 1\frac{7}{8}=\frac{15 · 15 }{16 · 8}= \\ =\frac{225}{128} = 1\frac{97}{128}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{17}{42}}^{\overline{)·3}} с - {\frac{2}{7}}^{\overline{)·18}}с +{\frac{7}{18}}^{\overline{)·7}}с = \\ = \left(\frac{51}{126}-\frac{36}{126}+\frac{49}{126}\right) с =\frac{{\displaystyle \stackrel{32}{\cancel{64}}}}{{\displaystyle \underset{63}{\cancel{126}}}} с = \frac{32}{63} с \end{gathered}$$

при с = $3\frac{1}{2}$:

$$\begin{gathered} \frac{32}{63} с = \frac{32}{63} · 3\frac{1}{2} = \frac{{\displaystyle \stackrel{16}{\cancel{32}}} · {\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{7}}}}{{\displaystyle \underset{9}{\bcancel{63}}} · {\displaystyle \underset{1}{\cancel{2}}}} = \\ =\frac{16 · 1}{9 · 1} = \frac{16}{9}=1\frac{7}{9}; \end{gathered}$$

при с = $2\frac{5}{8}$:

$$\begin{gathered} \frac{32}{63} с = \frac{32}{63} · 2\frac{5}{8} = \frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\cancel{32}} · \stackrel{1}{\bcancel{21}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\bcancel{63}} · \underset{1}{\cancel{8}}}} = \\ =\frac{4 · 1}{3 · 1} = \frac{4}{3}=1\frac{1}{3}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} {\frac{3}{4}}^{\overline{)·9}}n +{\frac{2}{3}}^{\overline{)·12}}n -{\frac{4}{18}}^{\overline{)·2}}n = \\ =\left(\frac{27}{36} +\frac{24}{36}-\frac{8}{36}\right)n=\frac{43}{36}n \end{gathered}$$

при n = $1\frac{13}{23}$:

$\frac{43}{36}n = \frac{43}{36} · 1\frac{13}{23}=\frac{43 · \cancel{36}}{\cancel{36} · 23}=\frac{43}{23}=1\frac{20}{23};$

при n = $\frac{6}{41}$:

$\frac{43}{36}n = \frac{43}{36} · \frac{6}{41}=\frac{43 ·{\displaystyle \stackrel{1}{ \cancel{6}}}}{{\displaystyle \underset{6}{\cancel{36}}} · 41}=\frac{43}{246}.$

Решение 2.

а) Сначала упростим выражение. Для этого вынесем общий множитель $x$ за скобки и сложим коэффициенты, приведя их к общему знаменателю 14.
$\frac{4}{7}x + \frac{5}{14}x = (\frac{4}{7} + \frac{5}{14})x = (\frac{4 \cdot 2}{7 \cdot 2} + \frac{5}{14})x = (\frac{8}{14} + \frac{5}{14})x = \frac{13}{14}x$.
Теперь подставим в упрощенное выражение заданные значения $x$.
1) При $x = 5\frac{1}{4}$. Переведем смешанное число в неправильную дробь: $5\frac{1}{4} = \frac{5 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{21}{4}$.
$\frac{13}{14} \cdot \frac{21}{4} = \frac{13 \cdot 21}{14 \cdot 4}$. Сократим 21 и 14 на 7: $\frac{13 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \frac{39}{8}$.
Выделим целую часть: $\frac{39}{8} = 4\frac{7}{8}$.
2) При $x = \frac{9}{13}$.
$\frac{13}{14} \cdot \frac{9}{13} = \frac{13 \cdot 9}{14 \cdot 13}$. Сократим на 13: $\frac{9}{14}$.
Ответ: при упрощении получается $\frac{13}{14}x$; при $x = 5\frac{1}{4}$ значение равно $4\frac{7}{8}$; при $x = \frac{9}{13}$ значение равно $\frac{9}{14}$.

б) Сначала упростим выражение. Вынесем $y$ за скобки, представим $y$ как $1y$ и приведем коэффициенты к общему знаменателю 16.
$\frac{5}{16}y + y - \frac{3}{8}y = (\frac{5}{16} + 1 - \frac{3}{8})y = (\frac{5}{16} + \frac{16}{16} - \frac{3 \cdot 2}{8 \cdot 2})y = (\frac{5 + 16 - 6}{16})y = \frac{15}{16}y$.
Теперь подставим в упрощенное выражение заданные значения $y$.
1) При $y = 1\frac{1}{15}$. Переведем в неправильную дробь: $1\frac{1}{15} = \frac{1 \cdot 15 + 1}{15} = \frac{16}{15}$.
$\frac{15}{16} \cdot \frac{16}{15} = 1$.
2) При $y = 1\frac{7}{8}$. Переведем в неправильную дробь: $1\frac{7}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 7}{8} = \frac{15}{8}$.
$\frac{15}{16} \cdot \frac{15}{8} = \frac{15 \cdot 15}{16 \cdot 8} = \frac{225}{128}$.
Выделим целую часть: $\frac{225}{128} = 1\frac{97}{128}$.
Ответ: при упрощении получается $\frac{15}{16}y$; при $y = 1\frac{1}{15}$ значение равно $1$; при $y = 1\frac{7}{8}$ значение равно $1\frac{97}{128}$.

в) Сначала упростим выражение. Найдем наименьший общий знаменатель для коэффициентов 42, 7 и 18. НОК(42, 7, 18) = 126.
$\frac{17}{42}c - \frac{2}{7}c + \frac{7}{18}c = (\frac{17 \cdot 3}{126} - \frac{2 \cdot 18}{126} + \frac{7 \cdot 7}{126})c = (\frac{51 - 36 + 49}{126})c = \frac{64}{126}c$.
Сократим полученный коэффициент: $\frac{64 \div 2}{126 \div 2}c = \frac{32}{63}c$.
Теперь подставим заданные значения $c$.
1) При $c = 3\frac{1}{2}$. Переведем в неправильную дробь: $3\frac{1}{2} = \frac{7}{2}$.
$\frac{32}{63} \cdot \frac{7}{2} = \frac{32 \cdot 7}{63 \cdot 2}$. Сократим 32 и 2 на 2, а 63 и 7 на 7: $\frac{16 \cdot 1}{9 \cdot 1} = \frac{16}{9} = 1\frac{7}{9}$.
2) При $c = 2\frac{5}{8}$. Переведем в неправильную дробь: $2\frac{5}{8} = \frac{16+5}{8} = \frac{21}{8}$.
$\frac{32}{63} \cdot \frac{21}{8} = \frac{32 \cdot 21}{63 \cdot 8}$. Сократим 32 и 8 на 8, а 63 и 21 на 21: $\frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$.
Ответ: при упрощении получается $\frac{32}{63}c$; при $c = 3\frac{1}{2}$ значение равно $1\frac{7}{9}$; при $c = 2\frac{5}{8}$ значение равно $1\frac{1}{3}$.

г) Сначала упростим выражение. Заметим, что дробь $\frac{4}{18}$ можно сократить на 2: $\frac{4}{18} = \frac{2}{9}$.
Выражение примет вид: $\frac{3}{4}n + \frac{2}{3}n - \frac{2}{9}n$.
Найдем наименьший общий знаменатель для 4, 3 и 9. НОК(4, 3, 9) = 36.
$(\frac{3 \cdot 9}{36} + \frac{2 \cdot 12}{36} - \frac{2 \cdot 4}{36})n = (\frac{27 + 24 - 8}{36})n = \frac{43}{36}n$.
Теперь подставим заданные значения $n$.
1) При $n = 1\frac{13}{23}$. Переведем в неправильную дробь: $1\frac{13}{23} = \frac{23+13}{23} = \frac{36}{23}$.
$\frac{43}{36} \cdot \frac{36}{23} = \frac{43 \cdot 36}{36 \cdot 23}$. Сократим на 36: $\frac{43}{23} = 1\frac{20}{23}$.
2) При $n = \frac{6}{41}$.
$\frac{43}{36} \cdot \frac{6}{41} = \frac{43 \cdot 6}{36 \cdot 41}$. Сократим 36 и 6 на 6: $\frac{43 \cdot 1}{6 \cdot 41} = \frac{43}{246}$.
Ответ: при упрощении получается $\frac{43}{36}n$; при $n = 1\frac{13}{23}$ значение равно $1\frac{20}{23}$; при $n = \frac{6}{41}$ значение равно $\frac{43}{246}$.

Решение 3.

Решение 4.