Номер 2.539, страница 114, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

Часть 1. Параграф 2. Действия со смешенными числами. 17. Дробные выражения - номер 2.539, страница 114.

Условие.

2.539. Вычислите значение дробного выражения:

а) 2,16 · 0,55 · 4,52,7 · 0,15 · 1,2; б) 223 · 237 · 911337 · 523 · 111; в) 1114 : 9322113 · 514 – 10213 · 4811; г) 30,6 : 1447 + 13,2 : 1131516 : 1,75.

Решение 1.

2.539

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} \frac{2,16 · 0,55 · 4,5}{2,7 · 0,15 · 1,2}=\frac{{\displaystyle \stackrel{18}{\bcancel{216} }}· 5,5 · {\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{45}}}}{27 · {\displaystyle \underset{1}{\cancel{15}}} · {\displaystyle \underset{1}{\bcancel{12}}}}=\frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{18}}} · 5,5 ·{\displaystyle \stackrel{1}{ \cancel{3}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{27}}} · 1 · 1}= \\ =\frac{2 · 5,5 · 1}{1 · 1 · 1} = \frac{5,5 · 2}{1} =11; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} \frac{2{\displaystyle \frac{2}{3}} · 2{\displaystyle \frac{3}{7}} · {\displaystyle \frac{9}{11}}}{3{\displaystyle \frac{3}{7}} · 5{\displaystyle \frac{2}{3}} · {\displaystyle \frac{1}{11}}}= \frac{{\displaystyle \frac{8}{3}} · {\displaystyle \frac{17}{7}} · {\displaystyle \frac{9}{11}}}{{\displaystyle \frac{24}{7}} · {\displaystyle \frac{17}{3}} · {\displaystyle \frac{1}{11}}}= \frac{{\displaystyle \frac{8 · 17 · 9}{3 · 7 · 11}}}{{\displaystyle \frac{24 · 17 · 1}{7 · 3 · 11}}}= \\ =\frac{8 · 17 · 9}{3 · 7 · 11} : \frac{24 · 17 · 1}{7 · 3 · 11} = \frac{\sout{8} · \cancel{17} · {\displaystyle \stackrel{3}{\bcancel{9}}}}{\cancel{3} · \cancel{7} · \cancel{11}} · \frac{\cancel{7 }· \cancel{3} · \cancel{11}}{{\displaystyle \underset{\sout{8}}{\bcancel{24}}} · \cancel{17} · 1}= \\ =3; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} \frac{11{\displaystyle \frac{1}{4}} : {\displaystyle \frac{9}{32}}}{21{\displaystyle \frac{1}{3}} · 5{\displaystyle \frac{1}{4}} - 10{\displaystyle \frac{2}{13}} · 4{\displaystyle \frac{8}{11}}}=\frac{{\displaystyle \frac{45}{4}} · {\displaystyle \frac{32}{9}}}{{\displaystyle \frac{64}{3}} · {\displaystyle \frac{21}{4}} - {\displaystyle \frac{132}{13}} · {\displaystyle \frac{52}{11}}}= \\ =\frac{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{45}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{4}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{8}{\bcancel{32}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{9}}}}}}{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{18}{\cancel{64}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{3}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{7}{\bcancel{21}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}} - \frac{{\displaystyle \stackrel{12}{\cancel{132}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{13}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\bcancel{52}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{11}}}}}}=\frac{40}{112 - 48}=\frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{40}}}}{{\displaystyle \underset{8}{\cancel{64}}}} = \frac{5}{8}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{30,6 : 14{\displaystyle \frac{4}{7}} + 13,2 : 1{\displaystyle \frac{1}{3}}}{1{\displaystyle \frac{5}{16}} : 1,75}=\frac{30{\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{6}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{10}}}}} : {\displaystyle \frac{102}{7}} + 13{\displaystyle \frac{2}{10}} : {\displaystyle \frac{4}{3}}}{{\displaystyle \frac{21}{16}} : 1{\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{75}}}}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{100}}}}}}= \\ =\frac{30{\displaystyle \frac{3}{5}} · {\displaystyle \frac{7}{102}} + {\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{33}{\cancel{132}}}}{10}} · {\displaystyle \frac{3}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}}}}{{\displaystyle \frac{21}{16} : 1\frac{3}{4}}} = \frac{{\displaystyle \frac{153}{5}} · {\displaystyle \frac{7}{102}} + {\displaystyle \frac{33}{10}} · {\displaystyle \frac{3}{1}}}{{\displaystyle \frac{21}{16} : \frac{7}{4}}}= \\ =\frac{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{153}}}}{5} · \frac{7}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{102}}}} + \frac{99}{10}}}{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{21}}}}{{\displaystyle \underset{4}{\bcancel{16}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{4}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}}}}=\frac{{\displaystyle \frac{3}{5}} · {\displaystyle \frac{7}{2}} + {\displaystyle \frac{99}{10}}}{{\displaystyle \frac{3}{4}} · {\displaystyle \frac{1}{1}}} = \frac{{\displaystyle \frac{21}{10}} + {\displaystyle \frac{99}{10}}}{{\displaystyle \frac{3}{4}}}= \\ = \frac{2,1 + 9,9}{{\displaystyle \frac{3}{4}} }= \frac{12}{{\displaystyle \frac{3}{4}}} = 12 : \frac{3}{4} = \stackrel{4}{\cancel{12}} · \frac{4}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} = 4 · 4 =16. \end{gathered}$$

Решение 2.

а) Вычислим значение выражения $ \frac{2,16 \cdot 0,55 \cdot 4,5}{2,7 \cdot 0,15 \cdot 1,2} $.

Для удобства вычислений сгруппируем множители в дроби, которые легко сократить. Это можно сделать, так как в числителе и знаменателе только операции умножения.

$ \frac{2,16 \cdot 0,55 \cdot 4,5}{2,7 \cdot 0,15 \cdot 1,2} = \frac{2,16}{1,2} \cdot \frac{0,55}{0,15} \cdot \frac{4,5}{2,7} $

Теперь вычислим значение каждой дроби по отдельности:

1) $ \frac{2,16}{1,2} = \frac{21,6}{12} = 1,8 $

2) $ \frac{0,55}{0,15} = \frac{55}{15} = \frac{11 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{11}{3} $

3) $ \frac{4,5}{2,7} = \frac{45}{27} = \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 9} = \frac{5}{3} $

Перемножим полученные результаты:

$ 1,8 \cdot \frac{11}{3} \cdot \frac{5}{3} = \frac{18}{10} \cdot \frac{11}{3} \cdot \frac{5}{3} = \frac{18 \cdot 11 \cdot 5}{10 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{18 \cdot 55}{90} = \frac{9 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 11}{9 \cdot 10} = \frac{10 \cdot 11}{10} = 11 $.

Ответ: 11

б) Вычислим значение выражения $ \frac{2\frac{2}{3} \cdot 2\frac{3}{7} \cdot \frac{9}{11}}{3\frac{3}{7} \cdot 5\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{11}} $.

Сначала преобразуем все смешанные числа в неправильные дроби.

Числитель:

$ 2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3} $

$ 2\frac{3}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{17}{7} $

Выражение в числителе: $ \frac{8}{3} \cdot \frac{17}{7} \cdot \frac{9}{11} $

Знаменатель:

$ 3\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{24}{7} $

$ 5\frac{2}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{17}{3} $

Выражение в знаменателе: $ \frac{24}{7} \cdot \frac{17}{3} \cdot \frac{1}{11} $

Теперь разделим числитель на знаменатель. Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь:

$ (\frac{8}{3} \cdot \frac{17}{7} \cdot \frac{9}{11}) : (\frac{24}{7} \cdot \frac{17}{3} \cdot \frac{1}{11}) = (\frac{8}{3} \cdot \frac{17}{7} \cdot \frac{9}{11}) \cdot (\frac{7}{24} \cdot \frac{3}{17} \cdot \frac{11}{1}) $

Сгруппируем множители и проведем сокращение:

$ \frac{8 \cdot 17 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 11}{3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 24 \cdot 17 \cdot 1} = \frac{8 \cdot 9}{24} = \frac{72}{24} = 3 $.

Ответ: 3

в) Вычислим значение выражения $ \frac{11\frac{1}{4} : \frac{9}{32}}{21\frac{1}{3} \cdot 5\frac{1}{4} - 10\frac{2}{13} \cdot 4\frac{8}{11}} $.

Вычислим числитель и знаменатель по отдельности.

1. Числитель: $ 11\frac{1}{4} : \frac{9}{32} $

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь и выполним деление:

$ 11\frac{1}{4} = \frac{11 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{45}{4} $

$ \frac{45}{4} : \frac{9}{32} = \frac{45}{4} \cdot \frac{32}{9} = \frac{45 \cdot 32}{4 \cdot 9} = \frac{5 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 4}{4 \cdot 9} = 5 \cdot 8 = 40 $.

2. Знаменатель: $ 21\frac{1}{3} \cdot 5\frac{1}{4} - 10\frac{2}{13} \cdot 4\frac{8}{11} $

Выполним действия по порядку, начиная с умножения:

$ 21\frac{1}{3} \cdot 5\frac{1}{4} = \frac{64}{3} \cdot \frac{21}{4} = \frac{64 \cdot 21}{3 \cdot 4} = 16 \cdot 7 = 112 $.

$ 10\frac{2}{13} \cdot 4\frac{8}{11} = \frac{132}{13} \cdot \frac{52}{11} = \frac{132 \cdot 52}{13 \cdot 11} = 12 \cdot 4 = 48 $.

Теперь выполним вычитание:

$ 112 - 48 = 64 $.

3. Найдем значение всего выражения, разделив результат числителя на результат знаменателя:

$ \frac{40}{64} $

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 8:

$ \frac{40:8}{64:8} = \frac{5}{8} $.

Ответ: $ \frac{5}{8} $

г) Вычислим значение выражения $ \frac{30,6 : 14\frac{4}{7} + 13,2 : 1\frac{1}{3}}{1\frac{5}{16} : 1,75} $.

Вычислим числитель и знаменатель по отдельности. Для удобства преобразуем все десятичные дроби в обыкновенные.

1. Числитель: $ 30,6 : 14\frac{4}{7} + 13,2 : 1\frac{1}{3} $

Выполним первое деление:

$ 30,6 = 30\frac{6}{10} = 30\frac{3}{5} = \frac{153}{5} $

$ 14\frac{4}{7} = \frac{14 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{102}{7} $

$ \frac{153}{5} : \frac{102}{7} = \frac{153}{5} \cdot \frac{7}{102} = \frac{ (3 \cdot 51) \cdot 7}{5 \cdot (2 \cdot 51)} = \frac{3 \cdot 7}{5 \cdot 2} = \frac{21}{10} = 2,1 $.

Выполним второе деление:

$ 13,2 = 13\frac{2}{10} = 13\frac{1}{5} = \frac{66}{5} $

$ 1\frac{1}{3} = \frac{4}{3} $

$ \frac{66}{5} : \frac{4}{3} = \frac{66}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{66 \cdot 3}{5 \cdot 4} = \frac{33 \cdot 3}{5 \cdot 2} = \frac{99}{10} = 9,9 $.

Сложим полученные результаты:

$ 2,1 + 9,9 = 12 $.

2. Знаменатель: $ 1\frac{5}{16} : 1,75 $

$ 1\frac{5}{16} = \frac{16+5}{16} = \frac{21}{16} $

$ 1,75 = 1\frac{75}{100} = 1\frac{3}{4} = \frac{7}{4} $

$ \frac{21}{16} : \frac{7}{4} = \frac{21}{16} \cdot \frac{4}{7} = \frac{3 \cdot 7 \cdot 4}{4 \cdot 4 \cdot 7} = \frac{3}{4} $.

3. Найдем значение всего выражения, разделив результат числителя на результат знаменателя:

$ \frac{12}{\frac{3}{4}} = 12 : \frac{3}{4} = 12 \cdot \frac{4}{3} = \frac{12 \cdot 4}{3} = 4 \cdot 4 = 16 $.

Ответ: 16

Решение 3.

Решение 4.