Номер 2.428, страница 102, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

15. Действие деления смешанных чисел. § 2. Действия со смешенными числами. ч. 1 - номер 2.428, страница 102.

2.428. Выполните действия:

а) (413 + 2315) : (415 – 1825);

б) (81124 – 7112) : (314 + 218).

2.428

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} \left(4\frac{1}{3} \stackrel{1}{+} 2\frac{3}{15}\right) \stackrel{3}{:} \left(4\frac{1}{5} \stackrel{2}{-} 1\frac{8}{25}\right)= 2\frac{29}{108}. \\ 1) {4\frac{1}{3}}^{\overline{)·5}} + 2\frac{3}{15} = 4\frac{5}{15} + 2\frac{3}{15} = 6\frac{8}{15}; \\ 2) {4\frac{1}{5}}^{\overline{)·5}} - 1\frac{8}{25} = 4\frac{5}{25} - 1\frac{8}{25} = 3\frac{30}{25} - \\ - 1\frac{8}{25} = 2\frac{22}{25}; \\ 3) 6\frac{8}{15} : 2\frac{22}{25} = \frac{98}{15} : \frac{72}{25} = \frac{{\displaystyle \stackrel{49}{\bcancel{98}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{15}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{25}}}}{{\displaystyle \underset{36}{\bcancel{72}}}}= \\ =\frac{49 · 5}{3 · 26} = \frac{245}{108}=2\frac{29}{108}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\left(8\frac{11}{24} \stackrel{1}{-} 7\frac{1}{12}\right) \stackrel{3}{:} \left(3\frac{1}{4} \stackrel{2}{+} 2\frac{1}{8}\right) = \frac{11}{43}. \\ 1) 8\frac{11}{24} - {7\frac{1}{12}}^{\overline{)·2}} = 8\frac{11}{24} - 7\frac{2}{24} = \\ = 1\frac{9}{24}=1\frac{3}{8}; \\ 2) {3\frac{1}{4}}^{\overline{)·2}} + 2\frac{1}{8} = 3\frac{2}{8} + 2\frac{1}{8} = 5\frac{3}{8}; \\ 3) 1\frac{3}{8} : 5\frac{3}{8} = \frac{11}{8} : \frac{43}{8} = \frac{11}{\cancel{8}} · \frac{\cancel{8}}{43}= \\ =\frac{11}{43}. \end{gathered}$$

а) $(4\frac{1}{3} + 2\frac{3}{15}) : (4\frac{1}{5} - 1\frac{8}{25})$

Решение будет выполнено по действиям в соответствии с порядком операций (сначала действия в скобках, затем деление).

1. Выполним сложение в первых скобках. Сначала упростим дробь $\frac{3}{15}$, сократив ее на 3: $\frac{3}{15} = \frac{1}{5}$.

$4\frac{1}{3} + 2\frac{3}{15} = 4\frac{1}{3} + 2\frac{1}{5}$

Сложим целые и дробные части отдельно. Для сложения дробей найдем общий знаменатель, который равен 15.

$(4+2) + (\frac{1}{3} + \frac{1}{5}) = 6 + (\frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 3}) = 6 + (\frac{5}{15} + \frac{3}{15}) = 6 + \frac{8}{15} = 6\frac{8}{15}$

Для удобства последующего деления переведем смешанное число в неправильную дробь:

$6\frac{8}{15} = \frac{6 \cdot 15 + 8}{15} = \frac{90 + 8}{15} = \frac{98}{15}$

2. Выполним вычитание во вторых скобках. Приведем дроби к общему знаменателю 25.

$4\frac{1}{5} - 1\frac{8}{25} = 4\frac{1 \cdot 5}{5 \cdot 5} - 1\frac{8}{25} = 4\frac{5}{25} - 1\frac{8}{25}$

Так как дробная часть уменьшаемого ($\frac{5}{25}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{8}{25}$), "займем" единицу у целой части:

$4\frac{5}{25} = 3 + 1 + \frac{5}{25} = 3 + \frac{25}{25} + \frac{5}{25} = 3\frac{30}{25}$

Теперь вычитаем:

$3\frac{30}{25} - 1\frac{8}{25} = (3-1) + (\frac{30-8}{25}) = 2\frac{22}{25}$

Переведем в неправильную дробь:

$2\frac{22}{25} = \frac{2 \cdot 25 + 22}{25} = \frac{50+22}{25} = \frac{72}{25}$

3. Теперь выполним деление результатов, полученных в действиях 1 и 2. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь.

$\frac{98}{15} : \frac{72}{25} = \frac{98}{15} \cdot \frac{25}{72}$

Сократим дроби перед умножением: 98 и 72 делятся на 2; 15 и 25 делятся на 5.

$\frac{98 \cdot 25}{15 \cdot 72} = \frac{(49 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 5)}{(3 \cdot 5) \cdot (36 \cdot 2)} = \frac{49 \cdot 5}{3 \cdot 36} = \frac{245}{108}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число, разделив числитель на знаменатель с остатком:

$245 \div 108 = 2$ (остаток $245 - 2 \cdot 108 = 245 - 216 = 29$)

$\frac{245}{108} = 2\frac{29}{108}$

Ответ: $2\frac{29}{108}$.

б) $(8\frac{11}{24} - 7\frac{1}{12}) \cdot (3\frac{1}{4} + 2\frac{1}{8})$

Решение будет выполнено по действиям.

1. Выполним вычитание в первых скобках. Приведем дробные части к общему знаменателю 24.

$8\frac{11}{24} - 7\frac{1}{12} = 8\frac{11}{24} - 7\frac{1 \cdot 2}{12 \cdot 2} = 8\frac{11}{24} - 7\frac{2}{24}$

Вычтем целые и дробные части по отдельности:

$(8-7) + (\frac{11-2}{24}) = 1 + \frac{9}{24} = 1\frac{9}{24}$

Сократим дробную часть, разделив числитель и знаменатель на 3:

$1\frac{9}{24} = 1\frac{3}{8}$

2. Выполним сложение во вторых скобках. Приведем дробные части к общему знаменателю 8.

$3\frac{1}{4} + 2\frac{1}{8} = 3\frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} + 2\frac{1}{8} = 3\frac{2}{8} + 2\frac{1}{8}$

Сложим целые и дробные части:

$(3+2) + (\frac{2+1}{8}) = 5 + \frac{3}{8} = 5\frac{3}{8}$

3. Теперь выполним умножение результатов. Для этого переведем оба смешанных числа в неправильные дроби.

$1\frac{3}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{11}{8}$

$5\frac{3}{8} = \frac{5 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{43}{8}$

Умножим полученные дроби:

$\frac{11}{8} \cdot \frac{43}{8} = \frac{11 \cdot 43}{8 \cdot 8} = \frac{473}{64}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$473 \div 64 = 7$ (остаток $473 - 7 \cdot 64 = 473 - 448 = 25$)

$\frac{473}{64} = 7\frac{25}{64}$

Ответ: $7\frac{25}{64}$.