Номер 2.432, страница 102, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

Часть 1. Параграф 2. Действия со смешенными числами. 15. Действие деления смешанных чисел - номер 2.432, страница 102.

Условие.

2.432. Решите уравнение:

а) 157 : x = 67 : 2; б) а : 134 = 134 · 14; в) 123 · (13n + 37) = 214; г) (54z – 35) · 78 = 78.

Решение 1.

2.432

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }1\frac{5}{7} : х =\frac{6}{7} : 2; \\ \frac{12}{7} : х = \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{6}}}}{7} · \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{2}}}}; \\ \frac{12}{7} : х = \frac{3}{7}; \\ х = \frac{12}{7} : \frac{3}{7}; \\ х = \frac{12}{\cancel{7}} · \frac{\cancel{7}}{3}; \\ х = \frac{12}{3}; \\ х = 4. \\ \mathrm{Ответ}: 4. \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }а : 1\frac{3}{4} = 1\frac{3}{4} · \frac{1}{4}: \\ а : \frac{7}{4} = \frac{7}{4} ·\frac{1}{4}; \\ а : \frac{7}{4} = \frac{7}{16}; \\ а = \frac{7}{16} · \frac{7}{4}; \\ а = \frac{49}{64}. \\ \mathrm{Ответ}: \frac{49}{64}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} 1\frac{2}{3} · \left(\frac{1}{3} n + \frac{3}{7}\right) = 2\frac{1}{4}; \\ \frac{1}{3} n + \frac{3}{7} = 2\frac{1}{4} : 1\frac{2}{3}; \\ \frac{1}{3} n + \frac{3}{7} = \frac{9}{4} : \frac{5}{3}; \\ \frac{1}{3} n + \frac{3}{7} = \frac{9}{4} · \frac{3}{5}; \\ \frac{1}{3} n + \frac{3}{7} = \frac{27}{20}; \\ \frac{1}{3} n = {\frac{27}{20}}^{\overline{)·7}} - {\frac{3}{7}}^{\overline{)·20}}; \\ \frac{1}{3} n = \frac{189}{140} - \frac{60}{140}; \\ \frac{1}{3} n = \frac{129}{140}; \\ n = \frac{129}{140} : \frac{1}{3}; \\ n = \frac{129}{140} · \frac{3}{1}; \\ n = \frac{387}{140}; \\ n = 2\frac{107}{140}. \\ \mathrm{Ответ}: 2\frac{107}{140}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} \left(\frac{5}{4} z - \frac{3}{5}\right) · \frac{7}{8} = \frac{7}{8}; \\ \frac{5}{4} z - \frac{3}{5} = \frac{7}{8} : \frac{7}{8}; \\ \frac{5}{4} z - \frac{3}{5} =\frac{7}{8} · \frac{8}{7}; \\ \frac{5}{4} z - \frac{3}{5} = 1; \\ \frac{5}{4} z = 1 + \frac{3}{5}; \\ \frac{5}{4} z = 1\frac{3}{5}; \\ \frac{5}{4} z =\frac{8}{5}; \\ z = \frac{8}{5} : \frac{5}{4}; \\ z = \frac{8}{5} · \frac{4}{5}; \\ z = \frac{32}{25}; \\ z = 1\frac{7}{25}. \\ \mathrm{Ответ}: 1\frac{7}{25}. \end{gathered}$$

Решение 2.

а) Исходное уравнение: $1\frac{5}{7} : x = \frac{6}{7} : 2$.
Данное уравнение представляет собой пропорцию. Согласно основному свойству пропорции, произведение средних членов равно произведению крайних членов.
Средние члены пропорции: $x$ и $\frac{6}{7}$. Крайние члены: $1\frac{5}{7}$ и $2$.
Запишем равенство произведений:
$x \cdot \frac{6}{7} = 1\frac{5}{7} \cdot 2$
Переведем смешанное число $1\frac{5}{7}$ в неправильную дробь: $1\frac{5}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 5}{7} = \frac{12}{7}$.
Подставим полученное значение в уравнение:
$x \cdot \frac{6}{7} = \frac{12}{7} \cdot 2$
$x \cdot \frac{6}{7} = \frac{24}{7}$
Чтобы найти неизвестный множитель $x$, необходимо произведение ($\frac{24}{7}$) разделить на известный множитель ($\frac{6}{7}$):
$x = \frac{24}{7} : \frac{6}{7}$
$x = \frac{24}{7} \cdot \frac{7}{6} = \frac{24}{6} = 4$
Ответ: 4.

б) Исходное уравнение: $a : 1\frac{3}{4} = 1\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4}$.
В данном уравнении переменная $a$ является делимым. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.
Сначала вычислим значение правой части уравнения (частное). Переведем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{3}{4} = \frac{7}{4}$.
$1\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{7}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{7}{16}$
Теперь уравнение выглядит так:
$a : 1\frac{3}{4} = \frac{7}{16}$
Теперь найдем $a$, умножив частное на делитель:
$a = \frac{7}{16} \cdot 1\frac{3}{4} = \frac{7}{16} \cdot \frac{7}{4} = \frac{7 \cdot 7}{16 \cdot 4} = \frac{49}{64}$
Ответ: $\frac{49}{64}$.

в) Исходное уравнение: $1\frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{3}n + \frac{3}{7}) = 2\frac{1}{4}$.
Выражение в скобках $(\frac{1}{3}n + \frac{3}{7})$ — это неизвестный множитель. Чтобы его найти, нужно произведение ($2\frac{1}{4}$) разделить на известный множитель ($1\frac{2}{3}$).
Переведем смешанные числа в неправильные дроби:
$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$
$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$
Найдем выражение в скобках:
$\frac{1}{3}n + \frac{3}{7} = \frac{9}{4} : \frac{5}{3} = \frac{9}{4} \cdot \frac{3}{5} = \frac{27}{20}$
Теперь имеем более простое уравнение: $\frac{1}{3}n + \frac{3}{7} = \frac{27}{20}$.
Здесь $\frac{1}{3}n$ — неизвестное слагаемое. Найдем его, вычтя из суммы ($\frac{27}{20}$) известное слагаемое ($\frac{3}{7}$):
$\frac{1}{3}n = \frac{27}{20} - \frac{3}{7}$
Приведем дроби к общему знаменателю $140$:
$\frac{1}{3}n = \frac{27 \cdot 7}{20 \cdot 7} - \frac{3 \cdot 20}{7 \cdot 20} = \frac{189}{140} - \frac{60}{140} = \frac{129}{140}$
Чтобы найти $n$, разделим произведение ($\frac{129}{140}$) на известный множитель ($\frac{1}{3}$):
$n = \frac{129}{140} : \frac{1}{3} = \frac{129}{140} \cdot 3 = \frac{387}{140}$
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$n = 2\frac{107}{140}$
Ответ: $2\frac{107}{140}$.

г) Исходное уравнение: $(\frac{5}{4}z - \frac{3}{5}) \cdot \frac{7}{8} = \frac{7}{8}$.
Выражение в скобках $(\frac{5}{4}z - \frac{3}{5})$ — неизвестный множитель. Чтобы его найти, разделим произведение ($\frac{7}{8}$) на известный множитель ($\frac{7}{8}$).
$\frac{5}{4}z - \frac{3}{5} = \frac{7}{8} : \frac{7}{8}$
Так как любое число (кроме нуля), деленное на само себя, равно 1:
$\frac{5}{4}z - \frac{3}{5} = 1$
Теперь $\frac{5}{4}z$ — неизвестное уменьшаемое. Чтобы его найти, к разности (1) прибавим вычитаемое ($\frac{3}{5}$):
$\frac{5}{4}z = 1 + \frac{3}{5} = \frac{5}{5} + \frac{3}{5} = \frac{8}{5}$
Чтобы найти $z$, разделим произведение ($\frac{8}{5}$) на известный множитель ($\frac{5}{4}$):
$z = \frac{8}{5} : \frac{5}{4} = \frac{8}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{32}{25}$
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$z = 1\frac{7}{25}$
Ответ: $1\frac{7}{25}$.

Решение 3.

Решение 4.