Номер 2.309, страница 85, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

12. Действие умножения смешанных чисел. § 2. Действия со смешенными числами. ч. 1 - номер 2.309, страница 85.

2.309. Найдите значение выражения:

а) (112)³ – 223 · 114; б) (3,5 – 2,9) · (4122 – 3733); в) (5314 – 447) · (31115 – 125).

2.309

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\left(1\frac{1}{2}\right)\stackrel{\mathbf{1}}{{ }^{\mathbf{3}}}\stackrel{3}{-}2\frac{2}{3} \stackrel{2}{·} 1\frac{1}{4}=\frac{1}{24} \\ 1) {\left(1\frac{1}{2}\right)}^3={\left(\frac{3}{2}\right)}^3=\frac{3}{2} · \frac{3}{2} · \frac{3}{2} =\frac{27}{8}; \\ 2) 2\frac{2}{3} · 1\frac{1}{4}=\frac{8}{3} · \frac{5}{4}=\frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{8}}} · 5}{3 · {\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}}= \\ =\frac{2 · 5}{3 · 1}=\frac{10}{3}; \\ 3) {\frac{27}{8}}^{\overline{)·3}} -{\frac{10}{3}}^{\overline{)·8}}=\frac{81}{24} - \frac{80}{24}=\frac{1}{24}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\left(3,5 \stackrel{1}{-} 2,9\right) \stackrel{3}{·} \left(4\frac{1}{22}\stackrel{2}{ -} 3\frac{7}{33}\right)=\frac{1}{2} \\ 1) 3,5 - 2,9= 0,6; \\ 2) {4\frac{1}{22}}^{\overline{)·3}}-{ 3\frac{7}{33}}^{\overline{)·2}}= 4\frac{3}{66}- 3\frac{14}{66}= \\ =3\frac{69}{66}-3\frac{14}{66}=\frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{55}}}}{{\displaystyle \underset{6}{\cancel{66}}}}=\frac{5}{6}; \\ 3) 0,6 · \frac{5}{6} =\frac{6}{10 }· \frac{5}{6} = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{6}}} · {\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{10}}} · {\displaystyle \underset{1}{\cancel{6}}}}= \\ =\frac{1 · 1}{2 · 1}=\frac{1}{2}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} \left(5\frac{3}{14}\stackrel{1}{-}4\frac{4}{7}\right) \stackrel{3}{·} \left(3\frac{11}{15}\stackrel{2}{-}1\frac{2}{5}\right)=1\frac{1}{2} \\ 1) 5\frac{3}{14}-4{\frac{4}{7}}^{\overline{)·2}}= 5\frac{3}{14}-4\frac{8}{14}= \\ =4\frac{17}{14}-4\frac{8}{14}=\frac{9}{14}; \\ 2) 3\frac{11}{15}-{1\frac{2}{5}}^{\overline{)·3}}=3\frac{11}{15}-1\frac{6}{15}= \\ =2\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{15}}}}=2\frac{1}{3}; \\ 3) \frac{9}{14} · 2\frac{1}{3} = \frac{9}{14} · \frac{7}{3} = \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{9}}} · {\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{7}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{14}}} · {\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}}= \\ =\frac{3 ·1}{2 · 1}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}. \end{gathered}$$

а) $(1\frac{1}{2})^3 - 2\frac{2}{3} \cdot 1\frac{1}{4}$

Для решения этого выражения необходимо соблюдать порядок действий: сначала возведение в степень, затем умножение, и в конце вычитание. Для удобства вычислений преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$

$2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$

$1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$

2. Выполним первое действие — возведение в степень:

$(1\frac{1}{2})^3 = (\frac{3}{2})^3 = \frac{3^3}{2^3} = \frac{27}{8}$

3. Выполним второе действие — умножение:

$2\frac{2}{3} \cdot 1\frac{1}{4} = \frac{8}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{8 \cdot 5}{3 \cdot 4} = \frac{40}{12} = \frac{10}{3}$ (сократили дробь на 4)

4. Выполним третье действие — вычитание:

$\frac{27}{8} - \frac{10}{3}$

Приведем дроби к общему знаменателю, который равен 24:

$\frac{27 \cdot 3}{8 \cdot 3} - \frac{10 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{81}{24} - \frac{80}{24} = \frac{81 - 80}{24} = \frac{1}{24}$

Ответ: $\frac{1}{24}$

б) $(3,5 - 2,9) \cdot (4\frac{1}{22} - 3\frac{7}{33})$

Сначала выполним действия в скобках, а затем умножим полученные результаты.

1. Вычислим значение в первой скобке:

$3,5 - 2,9 = 0,6$

2. Вычислим значение во второй скобке:

$4\frac{1}{22} - 3\frac{7}{33}$

Приведем дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 22 и 33 — это 66.

$4\frac{1 \cdot 3}{22 \cdot 3} - 3\frac{7 \cdot 2}{33 \cdot 2} = 4\frac{3}{66} - 3\frac{14}{66}$

Поскольку дробная часть уменьшаемого ($3/66$) меньше дробной части вычитаемого ($14/66$), "займем" единицу у целой части:

$4\frac{3}{66} = 3 + 1 + \frac{3}{66} = 3 + \frac{66}{66} + \frac{3}{66} = 3\frac{69}{66}$

Теперь выполним вычитание:

$3\frac{69}{66} - 3\frac{14}{66} = (3-3) + (\frac{69-14}{66}) = 0 + \frac{55}{66} = \frac{55}{66} = \frac{5}{6}$ (сократили на 11)

3. Выполним умножение результатов:

$0,6 \cdot \frac{5}{6}$

Преобразуем десятичную дробь $0,6$ в обыкновенную: $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

$\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 6} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

в) $(5\frac{3}{14} - 4\frac{4}{7}) \cdot (3\frac{11}{15} - 1\frac{2}{5})$

Сначала выполним вычитание в каждой из скобок, затем умножим результаты.

1. Вычислим значение в первой скобке:

$5\frac{3}{14} - 4\frac{4}{7}$

Приведем дроби к общему знаменателю 14:

$5\frac{3}{14} - 4\frac{4 \cdot 2}{7 \cdot 2} = 5\frac{3}{14} - 4\frac{8}{14}$

"Займем" единицу у целой части уменьшаемого:

$5\frac{3}{14} = 4\frac{14+3}{14} = 4\frac{17}{14}$

Выполним вычитание:

$4\frac{17}{14} - 4\frac{8}{14} = (4-4) + (\frac{17-8}{14}) = \frac{9}{14}$

2. Вычислим значение во второй скобке:

$3\frac{11}{15} - 1\frac{2}{5}$

Приведем дроби к общему знаменателю 15:

$3\frac{11}{15} - 1\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = 3\frac{11}{15} - 1\frac{6}{15}$

Вычтем целые и дробные части по отдельности:

$(3-1) + (\frac{11-6}{15}) = 2 + \frac{5}{15} = 2\frac{5}{15} = 2\frac{1}{3}$ (сократили дробную часть на 5)

3. Выполним умножение результатов:

$\frac{9}{14} \cdot 2\frac{1}{3}$

Преобразуем смешанное число $2\frac{1}{3}$ в неправильную дробь: $2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$.

$\frac{9}{14} \cdot \frac{7}{3} = \frac{9 \cdot 7}{14 \cdot 3} = \frac{63}{42}$

Сократим дробь, например, на 21: $\frac{63 : 21}{42 : 21} = \frac{3}{2}$.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.

Ответ: $1\frac{1}{2}$